一元二次方程的根的判别式导学案

第1页/共10页 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系

【目标导航】

1、经历从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系

2、掌握一元二次方程根与系数的关系式

3、能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根

4、会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差

【知识链接】

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有一种非常密切的关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达在16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论证。用于求方程中的特定系数，求含有方程根的一些代数式的值等问题，由方程的根确定方程的系数的方法等都很方便。

【珍宝探寻】

珍宝 一．一元二次方程根与系数的关系

1． 设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，试推导x1+x2=-ba，x1·x2=ca；

解析：（1）∵x1、x2是ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，

∴x1=242bbaca，x2=242bbaca

∴x1+x2=22442bbacbbaca=-ba，

x1·x2=242bbaca·242bbaca=ca

即 abxx21；acxx21

这就是一元二次方程根与系数的关系，它是由法国的数学家韦达发现的，所以我们又称之为韦达定理。

2.使用一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数的关系时需注意： 第2页/共10页 (1)先把方程化为一般形式，并要注意隐含条件a≠0；

(2)应用时一定要记住根的判别式Δ=b2-4ac≥0这个前提条件；

(3)写 时不要弄错符号.

【营养快餐】

快餐 一 经典基础题

例1：若1x，2x是一元二次方程0322xx的两个根，则21xx的值是（ ）

公式法解一元二次方程（3）

一、教材分析：

首先是教材的地位与作用：

公式法解一元二次方程是鲁教版八年级数学下册第七章第三节的内容，共分5个课时，本节学习第三课时。内容是一元二次方程根的判别式的理解和应用，是在学习了配方法、公式法解一元二次方程的基础上对一元二次方程求根公式的进一步的深入研究和理解。通过本节课的学习，使学生理解一元二次方程的根的判别式，并能用根的判别式判断方程根的情况，更有利于学生顺利的解一元二次方程，同时为以后学习不等式的解法和函数的有关内容奠定基础。

再是教学重、难点：

教学重点：一元二次方程的根的判别式定理及逆定理的正确理解和应用。

教学难点：对一元二次方程的根的判别式定理及逆定理使用条件的透彻理解。

由于本节课的内容主要是使学生在以后的学习过程中能合理准确的运用根的判别式的定理及逆定理，所以，我确定一元二次方程的根的判别式定理及逆定理的正确理解和应用为教学重点，而学生能做到灵活运用根的判别式的定理及逆定理的关键就是对一元二次方程的根的判别式定理及逆定理使用条件的透彻理解，所以我确定它为教学难点。

二、教学目标：

根据新课标的要求及对教材的分析，结合学生已有的知识基础，确定本节课的教学目标为：

1、知识与技能方面：

①感悟一元二次方程的根的判别式的产生过程。

②能运用根的判别式判别方程根的情况和进行有关的推理论证。

③会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值。

2、数学思考方面：

经历一元二次方程根的判别式的探究过程，体会分类讨论和转化的思想方法，感受数学思想的严密性与方法的灵活性。

3、解决问题方面：

通过对一元二次方程定理及逆定理的运用，体会数学的互逆思想，提高学生的计算能力及解决实际问题的能力。

4、情感态度方面：

通过对一元二次方程根的判别式的意义及作用的探究，培养学生对科学的探索精神和严谨的治学态度。

三、学情分析及教法学法：

八年级数学 《7.3用公式法解一元二次方程》导学案（三）

执笔人 李业新 参与人 高建成 林姣 赵永波

●学习目标：

知识技能目标:能从正反两个方面灵活运用一元二次方程的根的判别式解决与之相关的问题。

过程方法目标:培养逻辑思维能力以及推理论证能力。

情感态度目标:经历和体验数学发现的过程，培养自主学习的能力。

●重点难点：

重点: 一元二次方程的根的判别式的运用。

难点: 一元二次方程的根的判别式的运用。

●学习过程

【知识回顾】

1.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）只有当系数a、b、c满足条件 时才有实数根。

2. 一元二次方程的根有三种情况：

(1)当b2－4ac 0时，方程有两个不相等的实数根(2)当b2－4ac 0时，方程有两个相等的实数根；(3)当b2－4ac 0时，方程没有实数根.这里的 叫做一元二次方程的根的判别式。

3.方程2x2+4x-3=0的根的情况

4.方程mx2-mx+2=0有两个相等的实数根，则m=

5.关于x的方程2x2-3x++m+1=0没有实数根，则m的取值范围是____

6.在关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，若a与c异号，则方程根的情况是 _____

【典例拓展】

例1.已知关于x的方程m2x2+2（m+1）x+1=0有实根，求m的取值范围（组中1,2号分析思路）

例2.证明：关于x的方程x2+(2k+1)x+k-1=0有两个不相等的实数根。（组中1,2号分析思路）

【消化反思】

【跟踪练习】

A类:1.k为何值时，方程kx²-6x+9=0有两个不相等的实数根？（组中1,2号分析思路）

2.已知关于x的一元二次方程(b-c)x2+(c-a)x+(a-b)=0有两个相等的实数根。

求证：2b=a+c（组中1,2号分析思路）

《一元二次方程根的判别式》精品教案课题2.3一元二次方程根的判别式单元第二单元学科数学年级九年级

学习目标1.知识与技能：

①能运用根的判别式，判别方程根的情况；

②会运用根的判别式求一元二次方程中系数的范围。2.过程与方法：经历一元二次方程根的判别式的意义及作用的探究过程，体会分类讨论和

转化的思想方法，感受数学思想的严密性与方法的灵活性。3.情感态度与价值观：过对根的判别式的意义及作用的探究，培养对科学的探索精神和严

谨的治学态度。

重点用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根或没有实根。

难点在具体题目中，能用一元二次方程根的判别式判别方程实根个数的情况。

教学过程

教学环节教师活动学生活动设计意图

回顾知识+

导入新课同学们，在前面的学习中，我们已将学习了用直接开方

的方法、以及配方法解一元二次方程的方法，这节课我们

将探究方程的根到底与什么有关系，在上新课之前，我们

一起回顾下前面学习的知识：1.定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的整式方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)3.解法：

【导入新课】用公式法求出下列方程的解：(1)2x2+x-6＝0；解：b2-4ac=49，∵b2-4ac=49>0学生跟着教

师回忆知识，

并思考本节

课的知识，注

意与老师一回顾学过

的知识，帮

学生复习

知识，引出

这节课的

教学内容，

同时也帮

助学生能

更好的融

回顾知识+

导入新课∴x=

∴x1=，x2=－1.(2)3x2-12x+12＝0；解：b2-4ac=0∵b2-4ac=0

∴x=∴x1=x2=2.(3)2x2-6x+5＝0．解：b2-4ac=-4，∵b2-4ac=-4<0∴原方程无实数解.我们在运用公式法求解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)时，只有b2-4ac≥0原方程才有解.我们将一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）配方后，可以得到：

由于a≠0，所以4a²＞0，因此我们不难发现：