第五章《相交线与平行线》_提高篇B

第五章相交线与平行线1、：如图4， AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DEF的平分线相交于点P．求∠P的度数2、图AD ⊥ BC于D，EF ⊥ BC于F，交AB于G，交CA延长线于E，∠ 1 = ∠ 2求证：AD平分∠ BAC证：∵AD ⊥ BC于D，EF ⊥ BC于F（已知）∴AD // EF（）∴∠ 1 = ∠ 4（）∴∠ 2 = （）又∠ 1 = ∠ 2（）∴∠ 3 = ∠ 4（）∴AD平分∠ BAC（）3、，已知∠BED=∠B+∠D，试说明AB与CD的关系。

解：AB∥CD，理由如下：过点E作∠BEF=∠B∴AB∥EF（）∵∠BED=∠B+∠D∴∠FED=∠D∴CD∥EF（）∴AB∥CD（）4、图，AB∥DE，试问∠B、∠E、∠BCE有什么关系．解：∠B＋∠E＝∠BCE过点C作CF∥AB，则B∠=∠____（）又∵AB∥DE，AB∥CF，∴____________（）∴∠E＝∠____（）∴∠B＋∠E＝∠1＋∠2即∠B＋∠E＝∠BCE．5、线a b∥，直线c与a b，相交．若170∠= ，则2_____∠= ．6、图已知AB // CD，∠ 1 = ∠ B，∠ 2 = ∠ D求证：BE ⊥ DE证明：过E作EF // AB则∠ B = ∠ BEF（）又AB // CD（已知）∴EF // CD（）∴∠ D = ∠ DEF（）∵∠ 1 = ∠ B ， 2 = ∠ D∴∠ 1= ∠ BEF ，2=∠ DEF（）∵∠ 1 + ∠ BEF + ∠ DEF + ∠ 2 = 180︒（）∴∠ BEF + ∠ DEF = 90︒（）即∠ BED = 90︒∴BE ⊥ DE （）7、EB∥DC，∠C=∠E，请你说出∠A=∠ADE的理由。

b MPN 1235、已知：如图∠1=∠2，∠C=∠D，问∠A与∠F相等吗？试说明理由．1、如图EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70 o，求∠AGD。

相交线与平行线（提高篇） 教学目标 巩固相交线平行线相关知识， 并进一步提高 教学重点 相交线平行线的性质判断的运用 教学过程 一. 选择题1．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32o ，那么∠2的度数是（ ）A.32oB.58oC.68oD.60o2．如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于（ ）A .70° B .65° C .50° D .25°3．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130250∠=∠=°，°，则3∠的度数等于（ ）A ．50°B ．30°C ．20°D ．15°4．如图，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，∠EBC ＝∠BCF ，那么，∠ABE 与∠DCF 的位置与大小关系是（ ） A.是同位角且相等 B.不是同位角但相等 C.是同位角但不等 D.不是同位角也不等5．如图，12//l l ，∠1=120°，∠2=100°，则∠3= （ ） A ．20° B ．40° C ．50° D ．60° 6．在一个平面内，任意四条直线相交，交点的个数最多有（ ）A. 7个 B. 6个 C. 5个D. 4个 7．如图所示，已知BC AC ⊥ ，AB CD ⊥，垂足分别是C 、D ，那 么以下线段大小的比较必定成立．．．．的是（ ） A. AD CD > B. BC AC < C. BD BC > D. BD CD < 8．下列说法中，正确的个数为（ ）⑴有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角；⑵相等的两个角是对顶角 ⑶如果两个角是对顶角，那么这两个角相等⑷如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这两个角是对顶角 ⑸如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个9．轮船从A 地出发向北偏东70°方向行驶了4海里到达B 地，又从B 地出发向南偏西20°方向行驶 5海里到达C 地，则∠ABC 等于 （ ）A ．90°B ．50°C ．110°D ．70° 二. 填空题21 EDBC′FCD ′A1 23l 1 l 212 3DCBAFEDCBA1．如图，若OE ⊥AB ，∠2比∠1大70°则∠AOC = ，∠BOC =2．观察如图所示的三棱柱.（1）用符号表示下列线段的位置关系：AC CC 1 ,BC B 1C 1 ；（2）⊿A 1B 1C 1 可看作是把⊿ABC 而得到的.3．如图，一条路两次拐弯后和原来的方向相同，也就是拐弯前后的两条路互相平行，第一次拐的角∠B 是142°，第二次拐的角∠C 是4．如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，∠CDE ＝150°，则∠C ＝______5．如图，AB ∥CD ，∠BAC 的平分线和∠ACD 的平分线交于点E ，则∠AEC 的度数是．三. 解答题1. 如果下图所示,O 为直线AB上一点, ∠AOC=13∠BOC, OC 是∠AOD 的平分线.(1)求∠COD 的度数; (2)判断OD 与AB 的位置关系,并说明理由.2．已知：∠BAP+∠APD=180°，∠BAF=∠CPE ，求证：∠E=∠F ．3．如图，已知AB ∥CD ，∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于F ，∠E = 140º，求∠BFD 的度数.A 1AB C B 1C 1ABCDEED CBA4．如图是我们生活中经常接触的小刀，刀柄外形是一个直角梯形（下底挖去一小半圆）， 刀片上、下是平行的，转动刀片时会形成∠1、∠2，求∠1+∠2的度数。

人教版七年级数学下册《平行线的性质》同步提升训练（附答案）1．如图，AB∥DE，BC∥EF，∠B＝50°，则∠E的度数为（ ）A．50°B．120°C．130°D．150°2．如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AED'＝50°，则∠EFC等于（ ）A．65°B．110°C．115°D．130°3．如图，AB∥CD，与EF交于B，∠ABF＝3∠ABE，则∠E+∠D的度数（ ）A．等于30°B．等于45°C．等于60°D．不能确定4．将一块直角三角尺ABC按如图所示的方式放置，其中点A、C分别落在直线a、b上，若a∥b，∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）A．75°B．65°C．35°D．25°5．下列说法中：①若两条直线相交所形成的四个角中有三个角相等，则这两条直线互相垂直；②若AC＝BC，则C是线段AB的中点；③在同一平面内，不相交的两条线段必平行；④两点确定一条直线．其中说法正确的个数是（ ）A．1B．2C．3D．46．如图，AB∥CD，BE交AD于点E，若∠B＝18°，∠D＝32°，则∠BED的度数为（ ）A．18°B．32°C．50°D．60°7．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、γ的关系为（ ）A．β＝α+γB．α+β﹣γ＝90°C．α+β+γ＝180°D．β+γ﹣α＝90°8．如图，已知AE交CD于点O，AB∥CD，∠A＝50°，∠E＝15°，则∠C的度数为（ ）A．50°B．65°C．35°D．15°9．如图，已知AD⊥BC，FG⊥BC，∠BAC＝90°，DE∥AC．则结论：①FG∥AD；②DE 平分∠ADB；③∠B＝∠ADE；④∠CFG+∠BDE＝90°．正确的是（ ）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④10．如图，∠ABC＝∠ADC，AB∥CD，E为射线BC上一点，AE平分∠BAD，AE、CD交于点F，点E在线段BC延长线上时，连接DE，若∠DCB+2∠CDE＝180°，∠B＝24°，则∠DEF的度数为 ．11．已知如图，AB∥CD，∠A＝130°，∠D＝25°，那么∠AED＝ °．12．如图，AB∥CD，AE⊥CE，∠EAF＝∠EAB，∠ECF＝∠ECD．（1）当a＝2时，∠AFC＝ ；（2）当a＝3时，∠AFC＝ ．13．如图，已知a∥b，∠2＝93°25′，∠3＝140°，则∠1的度数为 ．14．如图，AB∥CD∥EF，且CF平分∠AFE，若∠C＝20°，则∠A的度数是 ．15．两个角的两边两两互相平行，且一个角的等于另一个角的，则这两个角中较小角的度数为 °．16．如图，若AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为 ．17．如图，OP∥QR∥ST，若∠2＝100°，∠3＝120°，则∠1＝ ．18．如图，已知AE∥BD，∠1＝130°，∠2＝30°，则∠C＝ ．19．如图，已知AB∥CD，∠1：∠2：∠3＝1：2：3，则∠EBA的度数为 ．20．图1是一盏可折叠台灯．图2为其平面示意图，底座AO⊥OE于点O，支架AB，BC 为固定支撑杆，∠A是∠B的两倍，灯体CD可绕点C旋转调节．现把灯体CD从水平位置旋转到CD′位置（如图2中虚线所示），此时，灯体CD′所在的直线恰好垂直支架AB，且∠BCD﹣∠DCD′＝126°，则∠DCD′＝ ．21．已知，AB∥CD，E为直线AB上一点，F为直线CD上一点，EF交AD于点G，且∠AEF ＝∠C．（1）如图1，求证：∠C+∠ADC＝∠AGF；（2）如图2，∠C、∠ADC和∠AGF的数量关系是 ；（3）图3，在（2）条件下，连接BF，DE相交于点H，∠AED和∠BFC的平分线交于P，若FC恰好平分∠BFG，∠C＝60，∠P＝2∠HEG，求∠EHF度数．22．如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，试说明：∠E＝∠F．23．如图，AC∥FE，∠1+∠3＝180°．（1）判定∠FAB与∠4的大小关系，并说明理由；（2）若AC平分∠FAB，EF⊥BE于点E，∠4＝78°，求∠BCD的度数．24．如图，已知∠1+∠2＝180°，且∠3＝∠B．（1）求证：∠AFE＝∠ACB；（2）若CE平分∠ACB，且∠2＝110°，∠3＝50°，求∠ACB的度数．25．如图，在△ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD 的延长线交于点H，∠CDG＝∠B，∠1+∠FEA＝180°．求证：（1）EH∥AD；（2）∠BAD＝∠H．26．阅读下面材料：小亮同学遇到这样一个问题：已知：如图甲，AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．（1）小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整．证明：过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝ ．∵AB∥CD，∴ ∥ ，∴∠FED＝ ．∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．（2）请你参考小亮思考问题的方法，解决问题：如图乙，已知：直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E．①如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，求∠BED的度数；②如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BED的度数（用含有α，β的式子表示）．27．如图，已知AB∥CD，E是直线AB上的一点，CE平分∠ACD，射线CF⊥CE，∠1＝32°，（1）求∠ACE的度数；（2）若∠2＝58°，求证：CF∥AG．参考答案1．解：∵AB∥DE，∴∠1＝∠B＝50°，∵BC∥EF，∴∠E＝180°﹣∠1＝180°﹣50°＝130°．故选：C．2．解：∵∠AED′＝50°，∴∠DED′＝180°﹣∠AED′＝180°﹣50°＝130°，∵长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，∴∠DEF＝∠D′EF，∴∠DEF＝∠DED′＝×130°＝65°．∵DE∥CF，∴∠EFC＝180°﹣∠DEF＝115°．故选：C．3．解：∵∠ABF＝3∠ABE，∠ABF+∠ABE＝180°，∴4∠ABE＝180°，∴∠ABE＝45°，∵AB∥CD，∴∠CFE＝∠ABE＝45°，∴∠E+∠D＝∠CFE＝45°．故选：B．4．解：如图，∵a∥b，∴∠3＝∠2＝65°，∵∠2+∠3＝90°，∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣65°＝25°．故选：D．5．解：①两条直线相交成四个角，则这四个角中有2对对顶角．如果三个角相等，则这四个角相等，都是直角，所以这两条直线垂直．故正确；②若AC＝BC且三点在同一条直线上，则C是线段AB的中点，故原说法不正确；③在同一平面内，不相交的两条线段所在的直线必平行，故原说法不正确；④两点确定一条直线，正确．说法正确的有2个，故选：C．6．解：如图，∵AB∥CD，∠D＝32°，∴∠A＝∠D＝32°，∵∠B＝18°，∴∠BED＝∠A+∠B＝18°+32°＝50°．故选：C．7．解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，∵AB∥EF，∴∠1＝∠2，∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．故选：B．8．解：∵AB∥CD，∠A＝50°，∴∠DOE＝∠A＝50°，∵∠E＝15°，∴∠C＝∠DOE﹣∠E＝50°﹣15°＝35°，故选：C．9．解：∵AD⊥BC，FG⊥BC，∴∠FGD＝∠ADB＝90°，∴FG∥AD，故①正确；∵DE∥AC，∠BAC＝90°，∴DE⊥AB，不能证明DE为∠ADB的平分线，故②错误；∵AD⊥BC，∴∠B+∠BAD＝90°，∵DE⊥AB，∴∠BAD+∠ADE＝90°，∴∠B＝∠ADE，故③正确；∵∠BAC＝90°，DE⊥AB，∴∠CFG+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，∠C+∠B＝90°，∴∠CFG+∠BDE＝90°，故④正确，综上所述，正确的选项①③④，故选：C．10．解：设∠CDE＝x，∵∠BCD+2∠CDE＝180°，∴∠DCB＝180°﹣2x，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝2x°，∵∠B＝24°，∴x＝12°，∴∠ADE＝36°，∵AE平分∠BAD，AB∥CD，∠B＝24°，∴∠DAE＝78°，∴∠DEF＝180°﹣∠DAE﹣∠ADE＝180°﹣78°﹣36°＝66°．故答案为：66°．11．解：如图：过E作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，∵∠A＝130°，∴∠1＝180°﹣130°＝50°，∵∠D＝25°，∴∠2＝∠D＝25°，∴∠AED＝50°+25°＝75°，故答案为：75．12．解：（1）如图，连接AC，设∠EAF＝x°，∠ECF＝y°，∠EAB＝2x°，∠ECD＝2y °，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴∠CAE+2x°+∠ACE+2y°＝180°，∴∠CAE+∠ACE＝180°﹣（2x°+2y°），∠FAC+∠FCA＝180°﹣（x°+y°），∵∠AFC+∠FAC+∠FCA＝180°，∴∠AFC＝x°+y°，∵AE⊥CE，∴∠CAE+∠ACE＝90°，∴180°﹣（2x°+2y°）＝90°，∴x°+y°＝45°，∴∠AFC＝45°；故答案为：45°；（2）设∠EAF＝x°，∠ECF＝y°，∠EAB＝3x°，∠ECD＝3y°，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴∠CAE+3x°+∠ACE+3y°＝180°，∴∠CAE+∠ACE＝180°﹣（3x°+3y°），∠FAC+∠FCA＝180°﹣（2x°+2y°），∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝180°﹣[180°﹣（2x°+2y°）]＝2x°+2y°＝2（x°+y°），∵AE⊥CE，∴∠CAE+∠ACE＝90°，∴180°﹣（3x°+3y°）＝90°，∴x°+y°＝30°，∴∠AFC2（x°+y°）＝60°．故答案为：60°．13．解：如图，∵∠3＝140°，∠3+∠4＝180°，∴∠4＝40°，∵∠2＝93°25′，∠2＝∠5+∠4，∴∠5＝53°25′，∵a∥b，∴∠1+∠5＝180°，∴∠1＝126°35′．故答案为：126°35′．14．解：∵CD∥EF，∠C＝20°，∴∠CFE＝∠C＝20°．又∵CF平分∠AFE，∴∠AFE＝2∠CFE＝40°．∵AB∥EF，∴∠A＝∠AFE＝40°．故答案为：40°．15．解：∵一个角的等于另一个角的，∴这两个角不相等，设其中一个角的度数为x°，另一个角的度数为x＝x°，∵两个角的两边两两互相平行，∴x+x＝180，解得：x＝72，即较小角的度数是72°，故选：72．16．解：如图，过点E作EF∥AB，∴∠α+∠AEF＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED＝∠EDC（两直线平行，内错角相等），∵∠β＝∠AEF+∠FED，又∵∠γ＝∠EDC，∴∠α+∠β﹣∠γ＝180°．故答案为：∠α+∠β﹣∠γ＝180°17．解：∵OP∥QR∥ST，∠2＝100°，∠3＝120°，∴∠2+∠PRQ＝180°，∠3＝∠SRQ＝120°，∴∠PRQ＝180°﹣100°＝80°，∴∠1＝∠SRQ﹣∠PRQ＝40°，故答案是40°．18．解：∵AE∥BD，∠1＝130°，∠2＝30°，∴∠CBD＝∠1＝130°．∵∠BDC＝∠2，∴∠BDC＝30°．在△BCD中，∠CBD＝130°，∠BDC＝30°，∴∠C＝180°﹣130°﹣30°＝20°．故答案为：20°．19．解：∵∠1：∠2：∠3＝1：2：3，∴设∠1＝x°，∠2＝2x°，∠3＝3x°，∵AB∥CD，∴∠2+∠3＝180°，∴2x+3x＝180，∴x＝36，即∠1＝36°，∠2＝72°，∠3＝108°，∴∠EBA＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣36°﹣72°＝72°，故答案为：72°．20．解：延长OA交CD于点F，延长D'C交AB于点G，∵CD∥OE，∴OA⊥CD，∵AO⊥OE，D'C⊥AB，∴∠AGC＝∠AFC＝90°，∴∠GCF+∠GAF＝180°，∵∠DCD'+∠GCF＝180°，∴∠DCD'＝∠GAF，∴∠BAO＝180°﹣∠DCD'，∴∠B＝（180°﹣∠DCD'），∵∠BCD﹣∠DCD'＝126°，∴∠BCD＝∠DCD'+126°，在四边形ABCF中，有∠GAF+∠B+∠BCD+∠AFC＝360°，∴∠DCD'+（180°﹣∠DCD'）+∠DCD'+126°+90°＝360°，解得：∠DCD'＝36°，故答案为：36°．21．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠AEF＝∠EFD，∵∠AEF＝∠C，∴∠C＝∠EFD，∵∠EFD+∠ADC＝∠AGF，∴∠C+∠ADC＝∠AGF；（2）解：∵AB∥CD，∴∠AEF＝∠CFG，∵∠AEF＝∠C，∴∠C＝∠CFG，∵∠CFG+∠FDG+∠AGF＝180°，∠FDG＝∠ADC，∴∠C+∠ADC+∠AGF＝180°；故答案为：180°；（3）解：设∠HEG＝α，则∠P＝2α，∵∠C＝60°，∠AEF＝∠C，∴∠AEF＝60°，∴∠AED＝60°﹣α，∵EP平分∠AED，∴∠PED＝30°﹣α，∵∠AEF＝60°，∵AB∥CD，∴∠CFG＝60°，∵FC平分∠BFG，∴∠CFB＝60°，∠BFE＝60°，∵FP平分∠PFC，∴∠PFC＝30°，∴∠PFE＝90°，在△PEF中，∠EPF+∠PFE+∠PEF＝180°，∴2α+α+30°﹣α+90°＝180°，解得：α＝24°，∴∠EHF＝180°﹣∠DEF﹣∠BFE＝180°﹣24°﹣60°＝96°．22．解：∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD，∵∠1＝∠2，∴∠ABC﹣∠1＝∠BCD﹣∠2，∴∠EBC＝∠BCF，∴BE∥CF，∴∠E＝∠F．23．解：（1）∠FAB＝∠4，理由如下：∵AC∥EF，∴∠1+∠2＝180°，又∵∠1+∠3＝180°，∴∠2＝∠3，∴FA∥CD，∴∠FAB＝∠4；（2）∵AC平分∠FAB，∴∠2＝∠CAD，∵∠2＝∠3，∴∠CAD＝∠3，∵∠4＝∠3+∠CAD，∴，∵EF⊥BE，AC∥EF，∴AC⊥BE，∴∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°﹣∠3＝51°．24．（1）证明：∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠FDE＝180°，∴∠FDE＝∠2，∵∠3+∠FEC+∠FDE＝180°，∠2+∠B+∠ECB＝180°，∠B＝∠3，∴∠FEC＝∠ECB，∴EF∥BC，∴∠AFE＝∠ACB；（2）解：∵∠3＝∠B，∠3＝50°，∴∠B＝50°，∵∠2+∠B+∠ECB＝180°，∠2＝110°，∴∠ECB＝20°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠ECB＝40°．25．证明：（1）∵∠CDG＝∠B，∴DG∥AB，∴∠1＝∠BAD，∵∠1+∠FEA＝180°，∴∠BAD+∠FEA＝180°，∴EH∥AD；（2）由（1）得：∠1＝∠BAD，EH∥AD，∴∠1＝∠H，∴∠BAD＝∠H．26．解：（1）过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED＝∠D，∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D；故答案为：∠B；EF；CD；∠D；（2）①如图1，过点E作EF∥AB，有∠BEF＝∠EBA．∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠EDC．∴∠BEF+∠FED＝∠EBA+∠EDC．即∠BED＝∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EBA＝∠ABC＝30°，∠EDC＝∠ADC＝35°，∴∠BED＝∠EBA+∠EDC＝65°．答：∠BED的度数为65°；②如图2，过点E作EF∥AB，有∠BEF+∠EBA＝180°．∴∠BEF＝180°﹣∠EBA，∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠EDC．∴∠BEF+∠FED＝180°﹣∠EBA+∠EDC．即∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EBA＝∠ABC＝，∠EDC＝∠ADC＝，∴∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC＝180°﹣+．答：∠BED的度数为180°﹣．27．解：（1）∵AB∥CD，∴∠1＝∠DCE＝32°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE＝32°；（2）∵CF⊥CE，∴∠FCE＝90°，∴∠FCH＝90°﹣32°＝58°，∵∠2＝58°，∴∠FCH＝∠2，∴CF∥AG．。

相交线与平行线综合提高知识要点：1. 两条直线的位置关系（1）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：相交与平行．（2）平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．2. 几种特殊关系的角（1）余角和补角：如果两个角的和是直角，称这两个角互为余角．如果两个角的和是平角，称这两个角互为补角．（2）对顶角：①定义：一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这两个角叫对顶角．②性质：对顶角相等．（3）同位角、内错角、同旁内角两条直线分别与第三条直线相交，构成八个角．①在两条直线之间并且在第三条直线的两旁的两个角叫做内错角．②在两条直线的同一侧并且在第三条直线同旁的两个角叫做同位角．③在两条直线之间并且在第三条直线同旁的两个角叫做同旁内角．3. 主要的结论（1）垂线①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．②直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短．（24. 几个概念（1）垂线段：过直线外一点，作已知直线的垂线，这点和垂足之间的线段．（2）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度．5. 几个基本图形（1）相交线型．①一般型（如图①）；②特殊型（垂直，如图②）．（2）三线八角．①一般型（如图①）；②特殊型（平行，如图②）．【典型例题】例 1.如图所示，已知FC∥AB∥DE，∠α∶∠D∶∠B＝2∶3∶4，求∠α、∠D、∠B 的度数．分析：由条件∠α∶∠D∶∠B＝2∶3∶4．可以分别设出∠α、∠D、∠B，再根据题目给出的条件建立方程求解．解：设∠α＝2x，∠D＝3x，∠B＝4x．∵FC∥AB∥DE，∴∠2＋∠B＝180°，∠1＋∠D＝180°，∴∠2＝180°－4x，∠1＝180°－3x，又∵∠1＋∠α＋∠2＝180°，∴180°－3x＋2x＋180°－4x＝180°，∴5x＝180°，x＝36°，∴∠α＝2x＝72°，∠D＝3x＝108°，∠B＝4x＝144°．评析：解答这类计算题不仅要熟悉图形的性质，还要善于进行等量转化，把待求的角逐步和已知条件建立起联系来，当待求结论要经过复杂过程才能求得时，一定要思路清晰、叙述表达严密．例2.如图所示，直线a∥b，则∠A＝__________．分析：已知条件a∥b能转化为三线八角，过A作AD∥a，那么已知的两个角可转换到顶点A（都用内错关系转化），可求∠A. 由AD∥a，a∥b，可知AD∥b，由两直线平行内错角相等得：∠DAB＝∠ABE＝28°，∠DAE＝50°，∴∠EAB＝50°－28°＝22°．解：22°评析：用平行线三线八角把已知角转化成以A为顶点的角即可．例3.已知：如图所示，DF∥AC，∠1＝∠2．试说明DE∥AB.分析：要说明DE∥AB，可以证明∠1＝∠A，而由DF∥AC，有∠2＝∠A，又因为∠1＝∠2，故有∠1＝∠A，从而结论成立．解：∵DF∥AC（已知），∴∠2＝∠A（两直线平行，同位角相等）．∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠A（等式性质），∴DE∥AB（同位角相等，两直线平行）．评析：说明两直线平行的方法有：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一条直线的两条直线互相平行；⑤垂直于同一条直线的两条直线互相平行．例4.试说明：两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的平分线互相平行．分析：先根据题意画出图形，标注字母，找出已知条件和问题，再进行说明．解：已知：如图所示，AB∥CD，EF分别交AB、CD于G、H，GM、HN分别平分∠BGF、∠EHC. 说明GM∥HN．∵GM、HN分别平分∠BGF、∠EHC（已知），∴∠1＝∠BGF，∠2＝∠EHC（角平分线定义）．∵AB∥CD，∴∠BGF＝∠EHC（两直线平行，内错角相等）．∴∠1＝∠2．∴GM∥HN（内错角相等，两直线平行）．评析：（1）上题把内错角平分线改为同位角平分线，原结论也成立，请同学们自己试着解一解．（2）此题为文字题，首先应根据题意画出图形，再根据已知条件和结论结合图形写出解题过程．例5.如图所示，已知CE∥DF，说明∠ACE＝∠A＋∠ABF．分析：结论中∠ACE，∠A与∠ABF在三个顶点处，条件CE∥DF不能直接运用，结论形式启示我们用割补法，即构造一个角等于∠A＋∠ABF，因此想到在点A处补上一个∠GAB＝∠ABF，只要GA∥DF即可，同时可得GA∥CE，∠GAC＝∠ACE，结论便成立．解：过A作AG∥DF，∴∠GAB＝∠ABF（两直线平行，内错角相等）又∵AG∥DF，CE∥DF（已知）∴AG∥CE（平行于同一直线的两条直线互相平行）∴∠GAC＝∠ACE（两直线平行，内错角相等）又∵∠GAC＝∠BAC＋∠GAB（已知）∴∠ACE＝∠BAC＋∠ABF（等量代换）．评析：（1）割补法是一种常用方法．（2）此题还可以过点C作一条直线与AB平行，把∠ACE分成两个角后，分别说明这两个角与∠A、∠ABF相等．例6.解放战争时期，有一天江南某游击队在村庄A点出发向正东行进，此时有一支残匪在游击队的东北方向B点处（如图所示，残匪沿北偏东60°角方向，向C村进发．游击队步行到A’处，A’正在B的正南方向上，突然接到上级命令，决定改变行进方向，沿北偏东30°方向赶往C村．问游击队进发方向A’C与残匪行进方向BC至少是多少角度时，才能保证C村村民不受伤害？分析：如图可知A’C与BC的夹角最小值是∠BCA’．本题关键是引辅助线，延长A’B 到D，过C作CE∥A’D，通过平行线特征来求解．解：根据题意∠DBC＝60°，∠BA’C＝30°．过点C作CE∥A’B，则∠BCE＝∠DBC＝60°，∠A’CE＝∠BA’C＝30°．∴∠BCA’＝∠BCE－∠A’CE＝60°－30°＝30°．夹角至少为30°时才能保证C村村民不受伤害．评析：本题较综合地运用了角、方位角、平行线的有关知识．【方法总结】1. 方程的思想几何图形中常见一些已知线段、角，而要求未知线段和角，我们可以把它们分别视为已知量、未知量，用方程的思想方法求解．2. 推理的方法推理是一个思维形式，它是从一个或几个判断得出新判断的思维形式．推理时要时刻明确最终目标，最后推出结论，推理过程要步步有根据，不能“想当然”，推理的根据，可以是已知条件、定义、性质、基本事实等．【模拟试题】（答题时间：60分钟）一. 选择题1. 如图所示，下列说法中正确的是（）A. 图中没有同位角、内错角、同旁内角B. 图中没有同位角和内错角，但有一对同旁内角C. 图中没有内错角和同旁内角，但有三对同位角D. 图中没有同位角和内错角，但有三对同旁内角2. 一条公路两次转弯后又回到原来的方向（即AB∥CD，如图），如果第一次转弯时的∠B＝140°，那么，∠C应是（）A. 140°B. 40°C. 100°D. 180°3. 如图所示，下列说法正确的是（）A. 若AB∥CD，则∠B＋∠A＝180°B. 若AD∥BC，则∠B＋∠C＝180°C. 若AB∥CD，则∠B＋∠D＝180°D. 若AD∥BC，则∠B＋∠A＝180°4. 如图所示，要得到DE∥BC，需要条件（）A. CD⊥AB，GF⊥ABB. ∠DCE＋∠DEC＝180°C. ∠EDC＝∠DCBD. ∠BGF＝∠DCB5. 如图所示，AB⊥AC，AD⊥BC，DE∥AB，则∠CDE与∠BAD的关系是（）A. 互余B. 互补C. 相等D. 不能确定6. 如图所示，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，∠A＝110°，则∠ECD的度数等于（）A. 110°B. 70°C. 55°D. 35°7. 两条平行线被第三条直线所截，角平分线互相垂直的是（）A. 内错角B. 同旁内角C. 同位角D. 内错角或同位角8. 学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图（1）～（4））：从图中可知，小敏画平行线的依据有：（）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．（）A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④二. 填空题1. 如图所示，A、B之间是一座山，一条铁路要通过A、B两地，在A地测得B地在北偏东70°，如果A、B两地同时开工修建铁路，那么在B地应按__________方向开凿，才能使铁路在山腹中准确接通．2. 如图所示，A、C、B在同一直线上，DC⊥CE于C，∠ACD＝53°，则∠BCE＝_______．3. 如图所示，四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠D＝72°，则∠BCD＝__________．*4. 如图所示，AB∥CD、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝__________．5. 如图所示，a∥b，∠1＝3∠2，则∠1＝__________，∠2＝__________．*6. 已知，如图，AD与BC相交于点O，AB∥CD，如果∠B＝20°，∠D＝40°，那么∠BOD为__________度．7. 如图所示，若AE∥BD，那么相等的角有__________；若AB∥EC，那么互补的角有__________．**8. 设a、b、c为平面内三条不同的直线．（1）若a∥b，c⊥a，则c与b的位置关系是__________；（2）若c⊥a，c⊥b，则a与b的位置关系是__________；（3）若a∥b，则c与b的位置关系是__________．三. 解答题1. 如图所示，已知AB⊥BC，BC⊥CD，∠1＝∠2，试判断BE与CF的关系，并说明理由．2. 如图所示，已知AB∥CD，直线EF⊥CD于F，∠1＝2∠2，求∠2的度数．*3. 如图所示，已知AB∥DE，∠ABC＝60°，∠CDE＝140°，求∠BCD的度数．4. 如图所示，小刚准备在C处牵牛到河边AB饮水．（1）请用三角板作出小刚的最短路线（不考虑其他因素）；（2）如图乙，若小刚在C处牵牛到河边AB饮水，并且必须到河边D处观察河水的水质情况，请作出小刚行走的最短路线（不写作法，保留作图痕迹）．。