【Ks5u名校】四川省成都七中2021-2022学年高一上学期入学考试数学试卷 Word版含答案

2021-2022学年四川省成都七中高三（上）一诊数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={x|0<x<3}，N={x|13≤x≤6}，则M∪N=()A. {x|0<x≤6}B. {x|13≤x<3} C. {x|3<x<6} D. {x|0<x≤13}2.已知z=2−i，则z(z−+i)的虚部是()A. 2B. −2C. 2iD. −2i3.如图所示的几何体是由一个正方体截去一个小正方体而得到，则该几何体的左(侧)视图为()A.B.C.D.4.已知向量a⃗=(2,−1)，a⃗⋅b⃗ =5，|a⃗+b⃗ |=8，则|b⃗ |=()A. 5B. 6C. 7D. 85.已知F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|⋅|MF2|的最大值为()A. 13B. 12C. 9D. 66.饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期．将青铜器中的饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，有一点P从点A出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么点P经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为()A. 116B. 18C. 14D. 127. 记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5−a 3=12，a 6−a 4=24，则Sna n=( )A. 2n −1B. 2−21−nC. 2−2n−1D. 21−n −18. 设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：y 2=2px(p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( )A. (14,0)B. (12,0)C. (1,0)D. (2,0)9. 星等分为两种：目视星等与绝对星等但它们之间可用公式M =m +5−5lg d3.26转换，其中M 为绝对星等，m 为目视星等，d 为距离(单位：光年).现在地球某处测得牛郎星目视星等为0.77，绝对星等为2.19；织女星目视星等为0.03，绝对星等为0.5，且牛郎星和织女星与地球连线的夹角大约为34°，则牛郎星与织女星之间的距离约为( )(参考数据：100.906≈8.054，100.716≈5.199，cos34°≈0.8)A. 26光年B. 16光年C. 12光年D. 5光年10. 若α∈(π2,π)，cosα=(2−sinα)tan2α，则tanα=( )A. √1515B. −√1515C. √53D. −√5311. 在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =A 1A 1=1，点P 满足BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则下列说法正确的个数是( ) ①当λ=1时，△AB 1P 的周长为定值； ②当μ=1时，三棱锥P −A 1BC 的体积为定值； ③当λ=12时，有且仅有一个点P ，使得A 1P ⊥BP ； ④当μ=12时，有且仅有一个点P ，使得A 1B ⊥平面AB 1P.A. 1B. 2C. 3D. 412. 若a =ln(ln 3)2，b =2ln(ln2)，c =2ln2，则a ，b ，c 的大小关系为( )二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 曲线y =2x−1x+2在点(−1,−3)处的切线方程为 ．14. 已知F 1，F 2为双曲线C ：x 216−y 29=1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F 1F 2|，则四边形PF 1QF 2的面积为______． 15. 已知函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[−3π4,π4]上单调递增，且直线y =−2与函数f(x)的图象在[−2π,0]上有且仅有一个交点，则实数ω的取值范围是______． 16. 已知正数x ，y 满足x +4y =x 2y 3，则8x +1y 的最小值是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 巳知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6=36，_____．请在①a 3=5；②a 2+a 4+a 6=21，③S 7=49，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并回答以下问题． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n3n }的前n 项和T n ．18. 某投资公司2012年至2021年每年的投资金额x(单位：万元)与年利润增量y(单位：万元)的散点图如图：该投资公司为了预测2022年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了y 关于x 的两个回归模型；模型①：由最小二乘公式可求得y 与x 的线性回归方程：y ̂=2.50x −2.50； 模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：y =blnx +a 的附近，对投资金额x 做交换，令t =lnx ，则y =b ⋅t +a ，且有∑t 10=22.00，∑y 10=230，(1)根据所给的统计量，求模型②中y 关于x 的回归方程；(2)分别利用这两个回归模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量(结果保留两位小数)；(3)根据下列表格中的数据，比较两种模型相关指数R 2，并说明谁的预测值精度更高、更可靠．回归模型 模型① 模型② 回归方程y ̂=2.50x −2.50y ̂=blnx +a ∑(10i=1y i ,y ̂i )2102.2836.19附：样本(t i ,y i )(i =1,2,…,n)的最小乘估计公式为b ̂=∑(n i=1t i −t −)(y i −y −)∑(n i=1t i −t −)，a ̂=y −−b ̂t −；相关指数R 2=1−∑(n i=1y i −y ̂)2∑(ni=1y i −y −)2．参考数据：ln2≈0.6931，ln5≈1.6094．19. 已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，M 、N 分别是CC 1与A 1B 的中点，△ABA 1为等边三角形，CA =CA 1，A 1A =A 1M =2BC ．(Ⅰ)求证：MN//平面ABC；(Ⅱ)(i)求证：BC⊥平面ABB1A1；(ii)求二面角A−MN−B的正弦值．20.已知两圆C1：(x−2)²+y²=54，C2：(x+2)²+y²=6，动圆M在圆C1内部且和圆C1内切，和圆C2外切．(1)求动圆圆心M的轨迹方程C；(2)过点A(3,0)的直线与曲线C交于P，Q两点．P关于x轴的对称点为R，求△ARQ面积的最大值．21.已知x∈[0,+∞)，函数f(x)=e x+sinx，函数g(x)=ax2+2x+1．(1)若a=1，证明：f(x)+x≥g(x)+sinx；2(2)f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cos k t,y =sin k t(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为4ρcosθ−16ρsinθ+3=0．(1)当k =1时，C 1是什么曲线？(2)当k =4时，求C 1与C 2的公共点的直角坐标．23. 已知函数f(x)=|3x +1|−2|x −1|．(1)画出y =f(x)的图象；(2)求不等式f(x)>f(x +1)的解集．答案和解析1.【答案】A≤x≤6}，【解析】解：∵集合M={x|0<x<3}，N={x|13∴M∪N={x|0<x≤6}．故选：A．利用并集定义直接求解．本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：因为z=2−i，则z(z−+i)=(2−i)(2+i+i)=(2−i)(2+2i)=4+2+2i=6+2i，所以虚部为2，故选：A．利用复数的运算性质以及共轭复数的性质即可求解．本题考查了复数的运算性质，涉及到复数虚部的定义，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：从几何体的左边看可得到一个正方形，正方形的右上角处是一个看得到的小正方形．故选：B．找到从左向右看得到的图形即可．本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，关键掌握侧视图是从左向右看得到的视图．4.【答案】C【解析】解：因为a⃗=(2,−1)，所以|a⃗|=√22+(−1)2=√5，又因为a⃗⋅b⃗ =5，|a⃗+b⃗ |= 8，所以|a⃗+b⃗ |²=a⃗2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ =8²，所以|b⃗ |²=64−2⋅5−5=49，所以|b⃗ |=7故选：C．根据向量运算性质列方程，解方程求解．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题．5.【答案】C【解析】【分析】利用椭圆的定义，结合基本不等式，转化求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用，是基础题．【解答】解：F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，|MF1|+|MF2|=6，所以|MF1|⋅|MF2|≤(|MF1|+|MF2|2)2=9，当且仅当|MF1|=|MF2|=3时，取等号，所以|MF1|⋅|MF2|的最大值为9．故选：C．6.【答案】B【解析】解：点P从A点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，则有(右，右，右)，(右，右，下)，(右，下，右)，(下，右，右)，(右，下，下)，(下，右，下)，(下，下，右)，(下，下，下)，共8种不同的跳法(线路)，符合题意的只有(下，下，右)这1种，所以3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为P=18．故选：B．先利用列举法得到共8种不同的跳法，再利用概率公式求解即可．本题考查概率的求法，利用列举法是关键，是基础题．【解析】【分析】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，考查了运算求解能力，属于较易题．根据等比数列的通项公式求出首项和公比，再根据求和公式即可求出．【解答】解：设等比数列的公比为q，∵a5−a3=12，∴a6−a4=q(a5−a3)，∴q=2，∴a1q4−a1q2=12，∴12a1=12，∴a1=1，∴S n=1−2n1−2=2n−1，a n=2n−1，∴S na n =2n−12n−1=2−21−n，故选：B．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．利用已知条件转化求解E、D坐标，通过k OD⋅k OE=−1，求解抛物线方程，即可得到抛物线的焦点坐标．【解答】解：将x=2代入抛物线y2=2px，可得y=±2√p，OD⊥OE，可得k OD⋅k OE=−1，即2√p2⋅−2√p2=−1，解得p=1，所以抛物线方程为：y2=2x，它的焦点坐标(12,0)．故选：B．【解析】解：∵M=m+5−5lg d3.26，∴d=3.26×10m+5−M5，由题意可知，M牛=2.19，m牛=0.77，M织=0.5，m织=0.03，设地球与牛郎星距离为d1，地球与织女星距离为d2，织女星与牛郎星距离为d，则d1=3.26×100.77+5−2.195=3.26×100.716≈3.26×5.199≈17，d2=3.26×100.03+5−0.55=3.26×100.906≈3.26×8.054≈26，d2=d12+d22−2d1d2cos34°=172+262−2×17×26×0.8=257，故d=√257≈16，故牛郎星与织女星之间的距离约为16光年．故选：B．根据已知条件，结合余弦定理，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：由cosα=(2−sinα)tan2α，得tan2α=cosα2−sinα，即sin2αcos2α=cosα2−sinα，∴2sinαcosα1−2sin2α=cosα2−sinα，∵α∈(π2,π)，∴cosα≠0，则2sinα(2−sinα)=1−2sin2α，解得sinα=14，∴cosα=−√1−sin2α=−√154，则tanα=sinαcosα=−√1515．故选：B．把已知等式变形，然后切化弦，整理后求得sinα，进一步求得cosα，再由商的关系得答案．本题考查二倍角公式、同角三角函数基本关系式的应用，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】C【解析】解：对于①，当λ=1时，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以CP ⃗⃗⃗⃗⃗ //BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故点P 在线段CC 1上，此时△AB 1P 的周长为AB 1+B 1P +AP ， 当点P 为CC 1的中点时，△AB 1P 的周长为√5+√2， 当点P 在点C 1处时，△AB 1P 的周长为2√2+1， 故周长不为定值，故①错误；对于②，当μ=1时，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故点P 在线段B 1C 1上， 因为B 1C 1//平面A 1BC ，所以直线B 1C 1上的点到平面A 1BC 的距离相等， 又△A 1BC 的面积为定值，所以三棱锥P −A 1BC 的体积为定值，故②正确；对于③，当λ=12时，取线段BC ，B 1C 1的中点分别为M ，M 1，连结M 1M ，因为BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点P 在线段M 1M 上，当点P 在M 1处时，A 1M 1⊥B 1C 1，A 1M 1⊥B 1B ， 又B 1C 1∩B 1B =B 1，所以A 1M 1⊥平面BB 1C 1C ，又BM 1⊂平面BB 1C 1C ，所以A 1M 1⊥BM 1，即A 1P ⊥BP ， 同理，当点P 在M 处，A 1P ⊥BP ，故③正确；对于④，当μ=12时，取CC 1的中点D 1，BB 1的中点D ，因为BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以DP ⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点P 在线的DD 1上，当点P 在点D 1处时，取AC 的中点E ，连结A 1E ，BE ，因为BE ⊥平面ACC 1A 1，又AD 1⊂平面ACC 1A 1，所以AD 1⊥BE ， 在正方形ACC 1A 1中，AD 1⊥A 1E ， 又BE ∩A 1E =E ，BE ，A 1E ⊂平面A 1BE ，故AD 1⊥平面A 1BE ，又A 1B ⊂平面A 1BE ，所以A 1B ⊥AD 1， 在正方形ABB 1A 1中，A 1B ⊥AB 1，又AD 1∩AB 1=A ，AD 1，AB 1⊂平面AB 1D 1，所以A 1B ⊥平面AB 1D 1， 因为过定点A 与定直线A 1B 垂直的平面有且只有一个， 故有且仅有一个点P ，使得A 1B ⊥平面AB 1P ，故④正确．故选：C ．判断当λ=1时，点P在线段CC1上，分别计算点P为两个特殊点时的周长，即可判断①；当μ=1时，点P在线段B1C1上，利用线面平行的性质以及锥体的体积公式，即可判断②；当λ=12时，取线段BC，B1C1的中点分别为M，M1，连结M1M，则点P在线段M1M上，分别取点P在M1，M处，得到均满足A1P⊥BP，即可判断③；当μ=12时，取CC1的中点D1，BB1的中点D，则点P在线的DD1上，证明当点P在点D1处时，A1B⊥平面AB1D1，利用过定点A与定直线A1B垂直的平面有且只有一个，即可判断④．本题考查了动点轨迹，线面平行与线面垂直的判定，锥体的体积问题等，综合性强，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于难题．12.【答案】D【解析】解：∵a=2ln(|ln3π|)=2ln(lnπ3)，b=2ln(ln2)，c=2ln21e，而函数f(x)=2lnx在定义域(0,+∞)上单调递增，0<lnπ3<ln2<1<21e，∴a<b<c，故选：D．根据对数的运算性质以及对数函数的单调性即可判断．本题主要考查了对数函数的性质，以及利用函数的单调性比较大小，是基础题．13.【答案】5x−y+2=0【解析】【分析】本题主要考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．先求导，利用导数的几何意义可求出切线的斜率，再由点斜式即可求得切线方程．【解答】解：因为y=2x−1x+2，(−1,−3)在曲线上，所以y′=2(x+2)−(2x−1)(x+2)2=5(x+2)2，所以y′|x=−1=5，则曲线y=2x−1x+2在点(−1,−3)处的切线方程为：y−(−3)=5[x−(−1)]，即5x−y+2=0．故答案为：5x−y+2=0．14.【答案】16【解析】解：因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F1F2|，所以四边形PF1QF2为矩形，设|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可得||PF1|−|PF2||=|m−n|=2a=8，所以m2−2mn+n2=64，因为|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=4(a2+b2)=100，即m2+n2=100，所以mn=16，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1||PF2|=mn=16．故答案为：16．判断四边形PF1QF2为矩形，利用双曲线的定义及勾股定理求解即可．本题主要考查双曲线的性质，双曲线的定义，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．15.【答案】[14,2 3 ]【解析】解：∵函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[−3π4,π4]上单调递增，∴ω×(−3π4)≥−π2，且ω×π4≤π2，求得0<ω≤23．且直线y=−2与函数f(x)的图象在[−2π,0]上有且仅有一个交点，ωx∈[−2ωπ,0]，∴−5π2<−2ωπ≤−π2，求得14≤ω<54．综上可得，实数ω的取值范围为[14,23 ]，故答案为：[14,2 3 ].由题意利用正弦函数的图象和性质，求得实数ω的取值范围．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．16.【答案】2√2【解析】解：令1y =m ，8x +1y =t(t >0)， ∵x +4y =x 2y 3， ∴8t−m+4m=(8t−m)2⋅(1m)3，即m 4−t 2m 2+16=0，令m 2=a ，则a 2−t 2a +16=0，所以关于a 的方程a 2−t 2a +16=0有两个正实根，∴{△=t 4−64≥016>0，∴t ≥2√2，当x =4(√2+1)，y =12时取等号， ∴8x +1y 的最小值是2√2． 故答案为：2√2．利用换元法得到关于a 的方程a 2−t 2a +16=0有两个正实根，再利用根与系数的关系即可求解．本题考查了换元法的应用，一元二次方程有两个正实根的求解，属于中档题．17.【答案】解：(1)选①a 3=5．设等差数列{a n }的公差为d ， 则S 6=6a 1+6×52d =36，a 1+2d =5，解得：a 1=1，d =2， ∴a n =1+2(n −1)=2n −1． 选②a 2+a 4+a 6=21， 设等差数列{a n }的公差为d ， 则S 6=6a 1+6×52d =36，3a 1+9d =21，解得：a 1=1，d =2， ∴a n =1+2(n −1)=2n −1． 选③S 7=49，设等差数列{a n }的公差为d ， 则S 6=6a 1+6×52d =36，7a 1+7×62d =49，解得：a 1=1，d =2， ∴a n =1+2(n −1)=2n −1．(2)a n3n =2n−13n．数列{an3n }的前n 项和T n =13+332+533+⋯…+2n−13n，∴13T n =132+333+⋯…+2n−33n +2n−13n+1，相减可得：23T n =13+2(132+133+⋯…+13n )−2n−13n+1=13+2×19[1−(13)n−1]1−13−2n−13n+1，化为：T n =1−n+13n．【解析】(1)选①a 3=5.设等差数列{a n }的公差为d ，利用等差数列的通项公式与求和公式解得a 1，d ，即可得出a n ．选②a 2+a 4+a 6=21，设等差数列{a n }的公差为d ，利用等差数列的通项公式与求和公式解得a 1，d ，即可得出a n ．选③S 7=49，设等差数列{a n }的公差为d ，利用等差数列的求和公式解得a 1，d ，即可得出a n ．(2)a n3n =2n−13n.利用错位相减法可得数列{an3n}的前n 项和T n ． 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)∵∑t i 10i=1=22.00，∑y i 10i=1=230， ∴t −=2.2，y −=23，b ̂=∑(n i=1t i −t −)(y i −y −)∑(n i=1t i −t −)=∑t i 10i=1y i −10t −⋅y−∑t i 210i=1−10t−2=569−10×2.2×2350.92−10×2.2×2.2=25，则a ̂=y −−b ̂t −=23−25×2.2=−32，故模型②中y 关于x 的回归方程为y ̂=25lnx −32．(2)当x =20时，模型①的年利润的预测值为y ̂=2.5×20−2.5=47.5 (万元)， 当x =20时，模型②年利润的预测值为y ̂=25ln20−32=25×(2ln2+ln5)−32≈25×(2×0.6931+1.6094)−32=42.89(万元)．(3)由表格中的数据可得，102.28>36.19，即102.28∑(10i=1y i−y−)2>36.19∑(10i=1y i−y −)2， ∴模型①的相关指数R 2小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好，故当x=20时，模型②的预测值比模型①的预测值进度更高，更可靠．【解析】(1)根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解．(2)将x=20分别代入两个线性回归方程中，即可求解．(3)根据已知条件，结合相关系数的公式，即可求解．本题主要考查了线性回归方程的求解，需要学生熟练掌握最小二乘法公式，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)证明：取BB1的中点P，连接MP，NP，又M是CC1的中点，则MP//BC，∵MP⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴MP//平面ABC，又N是A1B的中点，∴NP//A1B1，而AB//A1B1，∴NP//AB，∵NP⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴NP//平面ABC，∵MP∩NP=P，MP、NP⊂平面MNP，∴平面PMN//平面ABC，∵MN⊂平面PMN，∴MN//平面ABC．(Ⅱ)(i)证明：设BC=1，则A1A=A1M=2，依题意CA1=CA=C1A1，∴A1M是等腰△A1CC1底边上的中线，则A1M⊥CC1，∴AC=A1C1=√A1M2+MC12=√5，∵△ABA1为等边三角形，∴AB=AA1=BA1=2，∴AB2+BC2=5=AC2，∴AB⊥BC，同理，A1B2+BC2=A1C2，∴A1B⊥BC，∵A1B∩AB=B，A1B、AB⊂平面ABB1A1，∴BC⊥平面ABB1A1．(ii)解：∵BC⊥平面ABB1A1，AN⊂平面ABB1A1，∴AN⊥BC，∵正△ABA1中，N为BA1中点，∴AN⊥BA1，又BC∩BA1=B，BC、BA1⊂平面A1BC，∴AN⊥平面A1BC，又AN⊂平面AMN，∴平面AMN⊥平面A1BC，设A1C∩AM=Q，连接QN，则QN 为平面AMN 与平面A 1BC 的交线， 过B 作BH ⊥QN 于点H ，则BH ⊥平面AMN ， ∵MN ⊂平面AMN ，∴BH ⊥MN ， 过B 作BG ⊥MN 于点G ，连接HG ， 又BG ∩BH =B ，BG 、BH ⊂平面BGH ，∴MN ⊥平面BGH ，又GH ⊂平面BGH ，∴MN ⊥GH ， ∴∠BGH 是二面角A −MN −B 的平面角，由(i)知BC =1，CM =1，∴BM =√2， △BMA 1中，BA 1=A 1M =2，BM =√2， ∴由余弦定理得cos∠MBA 1=222×2×√2=√24， ∵N 为BA 1中点，∴BN =1， ∴△BMN 中，由余弦定理可得 MN =√12+2−2×1×√2×√24=√2，∵S △BMN =12BM ·BN ·sin∠MBN =12BG ·MN∴BG =√2×1×√78√2=√78，∵CM//AA 1，CM ：AA 1=1:2，∴CQ ：QA 1=1:2， 又A 1C =√5，∴A 1Q =2√53， Rt △A 1BC 中，cos∠BA 1C =BA1CA 1=√5，∴△A 1NQ 中，由余弦定理可得 QN =(2√53)2√532√5=√53， ∴cos∠QNA 1=(√53)2+12−(2√53)22×√53×1=−√55， ∴sin∠QNA 1=sin∠BNH =2√55，在Rt △BHN 中，sin∠BNH =BHBN ， ∴BH =BN ·2√55=2√55，∴二面角A −MN −B 的正弦值为sin∠BGH =BH BG=√3235=4√7035．【解析】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，题目较难． (Ⅰ)取BB 1的中点P ，证得MP//平面ABC ，NP//平面ABC ，进而平面PMN//平面ABC ，由此能证明MN//平面ABC ．(Ⅱ)(i)设BC =1，则A 1A =A 1M =2，CA 1=CA =C 1A 1，从而A 1M 是等腰△A 1CC 1底边上的中线，则A 1M ⊥CC 1，AC =A 1C 1=√A 1M 2+MC 12=√5，推导出AB ⊥BC ，同理A 1B ⊥BC ，由此能证明BC ⊥平面ABB 1A 1．(ii)由AN ⊥BC ，AN ⊥BA 1，知AN ⊥平面A 1BC ，从而平面AMN ⊥平面A 1BC ，设A 1C ∩AM =Q ，则QN 为平面AMN 与平面A 1BC 的交线，过B 作BH ⊥QN 于点H ，则BH ⊥平面AMN ，又过B 作BG ⊥MN 于点G ，则MN ⊥平面BGH ，从而∠BGH 是二面角A −MN −B 的平面角，由此能求出二面角A −MN −B 的正弦值．20.【答案】解：(1)由题意可知，圆C 1的圆心(2,0)，半径为3√6，圆C 2的圆心(−2,0)，半径为√6， 设圆M 的半径为R ，则|MC 1|+|MC 2|=(3√6−R)+(√6+R)=4√6>4=|C 1C 2|， 所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆， 则2a =4√6，2c =4，所以a =2√6，c =2，b =√a 2−b 2=2√5， 故动圆圆心M 的轨迹方程C 为x 224+y 220=1； (2)由题得直线斜率不为0，设直线的方程为x =my +3，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则R(x 1,−y 1)，由{x =my +35x 2+6y 2=120，可得(5m 2+6)y 2+30my −75=0，Δ=(30m)2+4×75(5m 2+6)>0恒成立，由韦达定理可得y 1+y 2=−30m5m 2+6，y 1y 2=−755m 2+6， 由椭圆的对称性，不妨设m <0，则x 1<3，y 1>0，x 2>3，y 2<0，如图所示，则S △PQR =12×2y 1×(x 2−x 1)=y 1×(x 2−x 1)，S △PAR =12×2y 1×(3−x 1)=y 1×(3−x 1)，S △ARQ =S △PQR −S △PAR =y 1×(x 2−x 1)−y 1×(3−x 1)=y 1(x 2−3)=y 1(my 2+3−3)=my 1y 2=m ×(−755m 2+6)=75−5m+6−m ≤2√(−5m)×6−m =5√304， 当且仅当−5m =6−m ，即m =−√305时取等号，故△ARQ 面积的最大值为5√304．【解析】(1)设圆M 的半径为R ，由椭圆的定义得到点M 的轨迹，求出椭圆方程即可；(2)由题得直线斜率不为0，设直线的方程为x =my +3，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，与椭圆联立方程组由韦达定理可得y 1+y 2=−30m 5m 2+6，y 1y 2=−755m 2+6，S △ARQ =S △PQR −S △PAR =my 1y 2=m ×(−755m 2+6)，计算可得△ARQ 面积的最大值．本题考查了动点轨迹方程的求解，椭圆定义的理解与应用，椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，直线与圆的位置关系的理解与应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．21.【答案】(1)证明：当a =12时，令G(x)=f(x)+x −g(x)−sinx =e x −12x 2−x −1(x ≥0)，则G′(x)=e x −x −1，G ″(x)=e x −1≥0，所以G′(x)在[0,+∞)上单调递增，所以G′(x)≥G′(0)=0，所以G(x)在[0,+∞)上单调递增，所以G(x)≥G(0)=0，所以f(x)+x ≥g(x)+sinx ；(2)e x +sinx −(ax 2+2x +1)，由题意得，ℎ(x)min ≥0，因为ℎ′(x)=e x −2ax −2+cosx ，ℎ′(0)=0，ℎ″(x)=e x −sinx −2a ，ℎ″(0)=1−2a ，ℎ″′(x)=e x −cosx ≥0，则ℎ″(x)在[0,+∞)上单调递增，当a ≤12时，ℎ″(0)=1−2a ≥0，则ℎ″(x)≥ℎ″(0)≥0，ℎ′(x)单调递增，ℎ′(x)≥ℎ′(0)=0， 则ℎ(x)在[0,+∞)上单调递增，ℎ(x)≥ℎ(0)=0，符合题意；当a >12时，ℎ″(0)=1−2a <0，由(1)的结论可得ℎ″(x)在[0,+∞)上单调递增，ℎ″(1+2a)=e 1+2a −2a −sin(1+2a)≥1+(1+2a)−2a −1>0，故必然存在x 0∈(0,1+2a)使得，x ∈(0,x 0)时，ℎ″(0)<0，则ℎ′(x)在(0,x 0)上单调递减，此时ℎ′(x)<ℎ′(0)=0，则ℎ(x)在(0,x 0)上单调递减，此时ℎ(x)<ℎ(0)=0，不符合题意，综上，a 的范围为(−∞,12].【解析】(′)把a =12代入后，构造函数令G(x)=f(x)+x −g(x)−sinx ，对其求导，然后结合导数与单调性关系即可证明；(2)令ℎ(x)=f(x)−g(x)，然后对函数求导，结合导数与单调性关系分析导数符号，再由函数的性质及零点判定定理可求．本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了利用导数及函数性质证明不等式，求解与不等式恒成立问题，体现了转化思想及分类讨论思想的应用，属于难题．22.【答案】解：(1)当k =1时，曲线C 1的参数方程为{x =cost y =sint ，(t 为参数)， 消去参数t ，可得x 2+y 2=1，故C 1是以原点为圆心，以1为半径的圆；(2)当k =4时，曲线C 1的参数方程为{x =cos 4t y =sin 4t，(t 为参数)， 两式作差可得x −y =cos 4t −sin 4t =cos 2t −sin 2t =2cos 2t −1，∴cos 2t =x−y+12，得x =cos 4t =(x−y+12)2， 整理得：(x −y)2−2(x +y)+1=0(0≤x ≤1,0≤y ≤1)．由4ρcosθ−16ρsinθ+3=0，又x =ρcosθ，y =ρsinθ，∴4x −16y +3=0．联立{(x −y)2−2(x +y)+1=04x −16y +3=0，解得{x =16936y =4936(舍)，或{x =14y =14． ∴C 1与C 2的公共点的直角坐标为(14,14).【解析】(1)当k =1时，曲线C 1的参数方程为{x =cost y =sint ，(t 为参数)，利用平方关系消去参数t ，可得x 2+y 2=1，故C 1是以原点为圆心，以1为半径的圆；(2)当k =4时，曲线C 1的参数方程为{x =cos 4t y =sin 4t，(t 为参数)，消去参数t ，可得(x −y)2−2(x +y)+1=0(0≤x ≤1,0≤y ≤1).由4ρcosθ−16ρsinθ+3=0，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得4x −16y +3=0.联立方程组即可求得C 1与C 2的公共点的直角坐标为(14,14).本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查计算能力，是中档题．23.【答案】解：函数f(x)=|3x +1|−2|x −1|={x +3,(x ≥1)5x −1,(−13≤x <1)−x −3,(x <−13)， 图象如图所示(2)由于f(x +1)的图象是函数f(x)的图象向左平移了一个1单位所得，(如图所示)直线y =5x −1向左平移一个单位后表示为y =5(x +1)−1=5x +4，联立{y =−x −3y =5x +4，解得横坐标为x =−76， ∴不等式f(x)>f(x +1)的解集为{x|x <−76}.【解析】(1)将函数零点分段，即可作出图象；(2)由于f(x+1)是函数f(x)向左平移了一个1单位，作出图象可得答案；本题考查了绝对值函数的解法，分段作出图象是解题的关键．属于基础题．。

X YZACuCuOCu(OH)2B Ca(OH)2 Ca(NO 3)2 CaCl 2C Fe 2O 3 FeFeSO 4 D Na 2CO 3 NaOHNa 2SO 4 成都七中高 2021 届高一上期入学测试题化学本试卷分为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。

考试时间 50 分钟，满分 100 分。

相对原子质量：H —1 O —16Cl —35.5 Ca —40Fe —56Cu —64第 I 卷（选择题，共 48 分）本卷共 12 题，每题 4 分，共 48 分。

每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．化学与生产、生活亲密联系。

下列物质的用途与其化学性质无关的是 A ．干冰用于舞台制作云海美景 B ．小苏打用于做馒头时的发酵剂 C ．还原铁粉用于月饼盒内的除氧剂 D ．生石灰用于某些食品袋内的干燥剂2．铜锈的主要成分是碱式碳酸铜。

碱式碳酸铜受热分解的化学方程式为： Cu 2(OH)2CO 32CuO+X+CO 2↑。

下列说法正确的是 A ．反应前后固体物质中铜元素的质量分数不变 B ．碱式碳酸铜中铜原子和氧原子的质量比为 8：5 C ．X 是相对分子质量最小的氧化物D ．加热 Cu 2(OH)2CO 3 的试验装置和试验室用双氧水制取 O 2 的发生装置相同 3．通过下列试验操作和现象能得出相应结论的是试验操现结A 向收集满 CO 2 的 软 塑料瓶中加入约 1/3 体 积滴有石蕊试液的水，旋紧瓶盖，振荡 塑料瓶变瘪， 溶液变CO 2 能与石蕊反应 往久置于空气中的氢氧化钠溶液滴加稀硫有气泡氢氧化钠溶液已变 C在某无色溶液中滴加氯化钡溶液有白色沉淀无色溶液中肯定含有D 把质量相同 的镁条与锌粒同时放入相同浓 度和体积的盐酸屮镁条与盐酸 产生气体更镁的金属活动性比锌4．将肯定质量的铁粉加至 H 2SO 4、MgSO 4 和 CuSO 4 的混合溶液中，充分反应后过滤，得到滤液 M 和滤渣 N 。

绝密☆启封并使用完毕前（四川新高考）2022年成都七中高一上第一次月考-----数学模拟卷（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。

考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 （选择题 共60分）注意事项： 必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。

第Ⅰ卷共10小题。

一、本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列各组对象可以组成集合的是( ) A ．数学必修1课本中所有的难题 B ．小于8的所有素数C ．平面直角坐标系内第一象限的一些点D ．所有小的正数2. 已知集合A 中元素满足2x ＋a >0，a ∈R ，若1∉A ，2∈A ，则( ) A ．a >－4 B ．a ≤－2 C ．－4<a <－2D ．－4<a ≤－23．已知x ，y 为非零实数，代数式x |x |＋y|y |的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( ) A ．0∉M B ．1∈M C ．－2∉MD ．2∈M4．对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的是( ) A.{}x |x 是小于18的正奇数 B.{}x |x ＝4k ＋1，k ∈Z ，且k <5 C.{}x |x ＝4t －3，t ∈N ，且t ≤5D.{}x |x ＝4s －3，s ∈N *，且s ≤55．已知集合A ＝{}x |x ＝2m －1，m ∈Z ，B ＝{}x |x ＝2n ，n ∈Z ，且x 1，x 2∈A ，x 3∈B ，则下列判断不正确的是( ) A ．x 1·x 2∈A B ．x 2·x 3∈B C ．x 1＋x 2∈BD ．x 1＋x 2＋x 3∈A6．已知集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N 等于( ) A ．{0,1,2} B ．{－1,0,1,2} C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3}7.设x >0，y ∈R ，则“x >y ”是“x >|y |”的( ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件8.a ，b 中至少有一个不为零的充要条件是( ) A ．ab ＝0 B ．ab >0 C ．a 2＋b 2＝0D ．a 2＋b 2>09.若“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为( ) A . 1 B. 2 C . -1 D. -210．集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋1<0，B ＝{x |－a <x －b <a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是( )A ．[－2,0) B.(0,2] C ．(－2,2) D ．[－2,2]第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。

四川省成都市第七中学2021-2022学年高三上学期入学考试文科数学试题一、单选题1．设集合U =R ，集合{}210A x x =->，{}02B x x =<≤，则集合()U A B =A ．()11-，B ．[]11-，C ．(]01，D ．[]12-， 2．已知i 是虚数单位，设2332iz i-=+，则复数2z +对应的点位于复平面（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知向量1(2BA = ,31(),22BC = 则∠ABC =A ．30B ．45C ．60D ．1204．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是,M I N ，中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A ．815 B ．18C ．115D ．1305．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2120n n n a a a n *+++-=∈N ．若16182024a a a ++=，则35S =（ ）．A ．140B ．280C ．70D ．4206．已知命题:p 存在 a R ∈，曲线221-=x ay 为椭圆；命题1:02x q x -≤-的解集是{}12x x <<．给出下列结论中正确的有（ ）①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且（q ⌝）”是真命题；③命题“（p ⌝）或q ”为真命题；④命题“（p ⌝）或（q ⌝）”是真命题． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．公元263年左右，我国数学有刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．某同学利用刘徽的“割圆术”思想设计了一个计算圆周率的近似值的程序框图如图，则输出S 的值为（参考数据：sin150.2588sin7.50.1305︒︒=＝，）A ．2.598B ．3.106C ．3.132D ．3.1428．下列说法正确的是（ ）A ．若函数()f x 对于任意x ∈R 都有()()4f x f x =-成立，则()2f x +是偶函数.B ．若函数()32120163f x alog x blog x f =++=，（），则132016f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；C ．对于函数()f x lnx =，其定义域内任意12x x ≠都满足()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭；D ．函数()(01)x f x a a a =>≠，满足对定义域内任意实数a b ，都有()()()f a b f a f b +=⋅，且()f x 为增函数.9．设函数11()cos 2626f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()y f x =（ ）A ．在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，且其图象关于直线6x π=对称B ．在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，且其图象关于直线3x π=对称C ．在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，且其图象关于直线6x π=对称D ．在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，且其图象关于直线3x π=对称10．如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是A ．12.5；12.5B ．13；13C ．13；12.5D ．12.5；1311．已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ） A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π12．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 A ．13B ．12C ．23D ．34二、填空题13．函数2()sin f x x =的最小正周期为_______.14．已知双曲线过点，且渐近线方程为12y x =±，则该双曲线的标准方程为____________________.15．若x ，y 满足约束条件50210,210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩则z ＝2x ＋y 的最大值为________．16．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a=________．三、解答题17．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足：2sin (2)sin (2)sin a A b B c C =+. （1）求角A 的大小；（2）若2a =，b =ABC 的面积.国正在安全、有序加快推进疫苗接种工作，某乡村采取通知公告、微信推送、广播播放、条幅宣传等形式，积极开展疫苗接种社会宣传工作，消除群众疑虑，提高新冠疫苗接种率，让群众充分地认识到了疫苗接种的重要作用，自宣传开始后村干部统计了本村200名居民（未接种）的一个样本，5天内每天新接种疫苗的情况，如下统计表：（1）建立y 关于x 的线性回归方程；（2）假设全村共计2000名居民（均未接种过疫苗），用样本估计总体来预测该村80%居民接种新冠疫苗需要几天？参考公式：回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆi ii nii x ynxybxnxπ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-． 19．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为菱形，ACBD O =.（1）证明:1B C 平面1A BD ；（2）设AB =12,AA =3BAD π∠=，若1A O ⊥平面ABCD ，求三棱锥11B A BD -的体积.20．设椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，过F 且x 轴垂直的直线与椭圆的一个交点为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，线段AB 的中点为M ，过M 且与l 垂直的直线与x 轴和y 轴分别交于N 、P 两点，记FMN ∆和OPN ∆的面积分别为1S 、2S ，若1210S S =，求直线l 的方程.21．已知函数()12,x xf x te t R e =--∈. （1）当4t =-时，求()f x 的单调区间与极值；（2）当0t >时，若函数()()1x xg x e f x te x =+-+在R 上有唯一零点，求t 的值.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:x tl y at=⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.点A 在曲线21:8cos 120C ρρθ-+=上运动，点B 为线段OA 的中点.（1）求动点B 的运动轨迹2C 的参数方程； （2）若直线l 与2C 的公共点分别为,M N ，当3OMON=时，求a 的值.参考答案：1．C解不等式得A,求得UA ，进而可求().U AB ⋂解：因为集合{}{}21011A x x x x x =->=-或，所以{}11UA x x =-≤≤，所以(){}01U A B x x ⋂=<≤. 故选C.【点睛】本小题考查集合的基本运算，全集、补集、交集等基础知识：考查运算求解能力. 2．A由复数除法法则计算出z ，再计算出2z +，可得其对应点的坐标，得所在象限．解：由已知223(23)(32)649632(32)(32)13i i i i i i z i i i i -----+====-++-，222z i i +=-+=+，对应点为(2,1)，在第一象限． 故选：A ．【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，掌握除法运算法则和共轭复数的概念是解题基础． 3．A解：试题分析：由题意，得112222cos 11BA BC ABC BA BC⨯⋅∠===⨯，所以30ABC ∠=︒，故选A ．【考点】向量的夹角公式．【思维拓展】（1）平面向量a 与b 的数量积为||||cos a b a b θ⋅＝，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ≤≤；（2）由向量的数量积的性质知||=?a a a ，，·0a b a b ⇔⊥＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．4．C解：试题分析：开机密码的可能有(,1),(,2),(,3),(,4),(,5),(,1),(,2),(,3),(,4),(,5)M M M M M I I I I I ，(,1),(,2),(,3),(,4),(,5)N N N N N ，共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是115，故选C ．【考点】古典概型【解题反思】对古典概型必须明确两点：①对于每个随机试验来说，试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等．只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式()mP A n=（其中n 是基本事件的总数，m 是事件A 包含的基本事件的个数）得出的结果才是正确的． 5．B由()2120n n n a a a n *+++-=∈N ，可得数列{}n a 为等差数列，再根据16182024a a a ++=，可得188a =，再根据等差数列前n 项和公式即可得解.解：解：∵()2120n n n a a a n *+++-=∈N ，∴122n n n a a a ++=+，∴数列{}n a 为等差数列，由等差数列的性质得1620135182a a a a a +=+=， ∵16182024a a a ++=，∴188a =， ∴135351835353582802a a S a +=⨯==⨯=． 故选：B ． 6．B由已知命题描述，判断p 、q 的真假，再判断由或且非组合p 、q 构成的复合命题真假即可.解：当12a =-时曲线221-=x ay 为椭圆，故p 是真命题；102x x -≤-的解集是{}12x x ≤<，故q 是假命题； ∴p ⌝是假命题，q ⌝是真命题.“p 且q ”是假命题，①错误；“p 且（q ⌝）”是真命题，②正确；“（p ⌝）或q ”为假命题，③错误；“（p ⌝）或（q ⌝）”是真命题，④正确． 故选：B 7．C解：阅读流程图可得，输出值为：136048sin 240.1305 3.132248S =⨯⨯≈⨯= .本题选择C 选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路 (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．8．A根据函数奇偶性、对数函数、指数函数的性质，计算可得.解：解：对于A ，因为函数()f x 对于任意x ∈R 都有()()4f x f x =-成立，故()f x 关于2x =对称，则()2f x +关于0x =对称，即函数()2f x +是偶函数，故A 正确；对于B ，因为()()32120163f x alog x blog x f =++=，， 即()3220162016201613f alog blog =++=，32201620162alog blog ∴+=()323211112016201611201620162016f alog blog alog blog ⎛⎫∴=++=-++=- ⎪⎝⎭，故B 错误； 对于C ，函数()f x lnx =，其定义域内任意12x x ≠，1212ln 22x x x x f ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()12111222l ln ln 22n f x f x x x x x +==+因为()2112212x x x x +>，ln y x =在定义域上单调递增，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫∴>⎪⎝⎭ 故C 错误；对于D ，函数()(01)x f x a a a =>≠，满足对定义域内任意实数a b ，都有()()()f a b f a f b +=⋅，但当1a >时，()f x 为增函数；当01a <<时，()f x 为减函数，故D 错误； 故选：A【点睛】本题考查函数的奇偶性，指数、对数函数的应用，属于中档题. 9．B利用辅助角公式可得1()2sin()23f x x π=+，再由正弦函数的性质判断各选项的正误.解：由题设，1111()cos ]2sin()2622623f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上，1(,)2332x πππ+∈，可知：()y f x =在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上递增；6x π=时，152312x ππ+=，显然不是()y f x =对称轴，3x π=时，1232x ππ+=，此时1sin(231)x π=+，3x π=是()y f x =对称轴.故选：B 10．D解：分析：根据频率分布直方图中众数与中位数的定义和计算方法，即可求解频率分布直方图的众数与中位数的值.详解：由题意，频率分布直方图中最高矩形的底边的中点的横坐标为数据的众数， 所以中间一个矩形最该，故数据的众数为101512.52+=， 而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y 轴的直线横坐标， 第一个矩形的面积为0.2，第二个矩形的面积为0.3，故将第二个矩形分成3:2即可， 所以中位数是13，故选D.点睛：本题主要考查了频率分布直方图的中位数与众数的求解，其中频率分布直方图中小矩形的面积等于对应的概率，且各个小矩形的面积之和为1是解答的关键，着重考查了推理与计算能力. 11．C解：如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ．考点：外接球表面积和椎体的体积． 12．A解：试题分析：如图取P 与M 重合，则由2(,0),(,)b A a M c a--⇒直线22:()(0,)b b a AM y x a Ec a a c=+⇒-+-同理由222221(,0),(,)(0,)33b b b b B a Mc G a c e a a c a c a c -⇒⇒=⇒=⇒=+-+,故选A.考点：1、椭圆及其性质；2、直线与椭圆.【方法点晴】本题考查椭圆及其性质、直线与椭圆，涉及特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 如图取P 与M 重合，则由2(,0),(,)bA a M c a--⇒直线22:()(0,)b b a AM y x a E c a a c=+⇒-+-同理由2(,0),(,)(0,b B a M c G a-⇒22221)33b b b a c e a c a c a c ⇒=⇒=⇒=+-+. 13．π 解：试题分析：，所以函数的周期等于考点：1.二倍角降幂公式；2.三角函数的周期.14．2214x y -=解：依题意，设所求的双曲线的方程为224x y λ-=.点M 为该双曲线上的点，16124λ∴=-=.∴该双曲线的方程为：2244x y -=，即2214x y -=.故本题正确答案是2214x y -=.15．8解：画出可行域(如图所示)，通过平移直线y ＝－2x 分析最优解．∵z ＝2x ＋y ，∴y ＝－2x ＋z ，将直线y ＝－2x 向上平移，经过点B 时z 取得最大值．由50,210x y x y +-=⎧⎪⎨⎪-+=⎩ 解得x=3,y=2 ∴z max ＝2×3＋2＝8. 16．8解：试题分析：函数ln y x x =+在(1,1)处的导数为111|1|2x x y x===+='，所以切线方程为；曲线2(2)1y ax a x =+++的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.考点：导函数的运用.【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．17．（1）6π；（2（1）ABC 中，由正弦定理得222b c a +-=，再由余弦定理求得cos A =，6A π=；（2）ABC 中，由正弦定理得到sin B =，进而得到角B ，再由内角和为π得到角C ，由三角形面积公式即得结论．解：（1）由已知及正弦定理可得22(2)(2)a b b c c =+，整理得222b c a +-=，所以cos A =又(0,)A π∈，故6A π=．（2）由正弦定理可知sin sin a b A B=，又2a =，b =6A π=，所以sin B =． 又5(0,)6B π∈，故3B π=或23π．若3B π=，则2C π=，于是12ABCSab == 若23B π=，则6C π=，于是1sin 2ABCS ab C ==． 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理，以及三角形面积公式的应用，属于中档题 18．（1）222955y x =+；（2）7． （1）根据公式求线性回归方程即可；（2）根据线性回归方程可设222955n a n ，求出67,S S ，与200080%1600⨯=比较即可求解. 解：（1）1234535x ++++==，1015192328195y ++++==， 则51522222222110305792140531922ˆ12345535i ii ii x y nxybxnx ==-++++-⨯⨯===++++-⨯-∑∑，222919355ˆa =-⨯=，故y 关于x 的线性回归方程222955y x =+． （2）设222955na n ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，易知数列{}n a 是等差数列， 则()12222922291155558225n n n a a S n n n n⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=⋅=⋅=+， 因为6127.2S ，7163.8S ， 所以6101272S =，7101638S =200080%1600⨯=（人），所以预测该村80%居民接种新冠疫苗需要7天．19．（1）证明见解析（2【解析】（1）由已知可得11B C A D ∥，即可证明结论；（2）由（1）1B C 平面1A BD ，有111B A BDC A BD V V --=1A BCD V -=，根据已知条件，即可求解.解：（1）依题意，11//A B AB ，且//AB CD ，∴11//A B CD ， ∴四边形11A B CD 是平行四边形，∴11B C A D ∥， ∵1B C ⊄平面1A BD ，1A D ⊂平面1A BD ，∴1B C平面1A BD .（2）依题意，12,AA AO ==1Rt AAO △中，11AO ， 所以三棱锥1A BCD -的体积1A BCDV 113BCD S AO =⋅△21213⎫=⨯⨯⎪⎪⎝⎭=由（1）知1B C平面1A BD ，∴111B A BDC A BD V V --=1A BCD V -=. 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查用等体积法求三棱锥的体积，属于基础题,20．（1）22143x y +=；（2）3(1)y x =±+. （1）由椭圆得性质得出1c =，将点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭代入椭圆方程结合,,a b c 的关系，列出方程组求解即可得出椭圆方程；（2）设直线AB 方程为1x my =-，联立椭圆方程，结合韦达定理得出点M 的坐标，再由直线MP 方程得出点P ，N 的坐标，由三角形面积公式以及1210S S =，得出m 的值，即可得出直线l 的方程.解：（1）222219141ab a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩22143x y ⇒+=. （2）由题意知，斜率不为0，故设直线AB 方程为1x my =-. 设1122(,),(,)A x y B x y联立椭圆方程可得()2234690m y my +--=221634y y m m ∴++=，()122221268234324m x x m y m m y -+=+--+==+ 2243,3434m M m m -⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭21:34MP y m x m ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭234P m y m -⇒=+ 同理2134N x m -=+，12||||||M FN y S S NO OP ⋅=⋅10N F M N P x x y x y -=⋅=21193m m ⇒=⇒=± 所以直线方程为：3(1)y x =±+【点睛】本题主要考查了根据椭圆上的点求椭圆方程以及椭圆中和三角形相关的问题，属于中档题.21．（1）单调递增区间(),ln 2-∞-，单调递减区间()ln 2,-+∞；极大值6-，无极小值；（2）1 (1)依题意4t =-可知()142xx f x e e =---,则()()12121()4x x x x xe ef x e e e +-'=-+=,利用导数求单调性和极值的常规方法即可求出结果.(2)当0t >时，()2()1(2)x x x xg x e f x te x te t e x =+-+=+--,利用导数的方法可得()g x 的单调区间,()g x 的极小值是()ln g t -，只要()ln 0g t -=，即1ln 10t t-+=时,能满足题意;构造函数()1ln 1t F t t=-+在0,上单调递增,从而确定=1t 时有唯一的零点.解：（1）当4t =-时，()142xxf x e e =---. 则()()12121()4x xx x xe ef x e e e +-'=-+=， 令0f x，得ln2x =-，∴()f x 的单调递增区间是(),ln 2-∞-，单调递减区间是()ln 2,-+∞， ∴()f x 的极大值是1(ln 2)42262f -=-⨯--=-，无极小值（2）当0t >时，()2()1(2)x x x xg x e f x te x te t e x =+-+=+--，则()()2g ()2(2)1121x xx x x te t e te e '=--=-++，令0g x，得ln x t =-，∴()g x 在(),ln t -∞-上单调递减，在()ln ,t -+∞上单调递增，∴()g x 的极小值是()ln g t -，∴只要()ln 0g t -=，即可满足函数在R 上有唯一零点 ∴()n 0ln 1l 1t g t t=-+=-，令()1ln 1t F t t =-+，则211()0F t t t'=+>.∴()F t 在0,上单调递增，∵()01F =，∴t 的值是1.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值,综合考查导数在函数中的运用,难度困难.22．（1）2cos 2:sin x C y αα=+⎧⎨=⎩，α为参数；（2）0a =（1）设(),B ρθ，则()2,A ρθ，将点A 代入曲线1C ，即可得动点B 的运动轨迹2C 的极坐标方程，利用公式222,cos x y x ρρθ=+=转化为普通方程，再写出参数方程即可；（2）设点()()12,,,M N ρθρθ，则123ρρ=，代入2C 的极坐标方程解得221cos 1ρθ=⎧⎨=⎩，再通过22222cos 1cos cos sin 1tan θθθθθ==++求出tan θ，即a 可得. 解：解：（1）设(),B ρθ，则()2,A ρθ，又点A 在曲线21:8cos 120C ρρθ-+=上运动，则()2282cos 120ρρθ-⨯+=，即24cos 30ρρθ-+=， 由222,cos x y x ρρθ=+=得动点B 的运动轨迹2C 的普通方程为：22430x y x +-+=，即()2221x y -+=化为参数方程为2cos 2:sin x C y αα=+⎧⎨=⎩，α为参数；（2）直线:x tl y at =⎧⎨=⎩（t 为参数）普通方程为：y ax =，则极坐标方程为tan a θ=，设点()()12,,,M N ρθρθ，因为3OMON=，则123ρρ=， 将点()()12,,,M N ρθρθ代入22:4cos 30C ρρθ-+=，得2112224cos 304cos 30ρρθρρθ⎧-+=⎨-+=⎩，即222222912cos 304cos 30ρρθρρθ⎧-+=⎨-+=⎩， 解得221cos 1ρθ=⎧⎨=⎩，22222cos 1cos 1cos sin 1tan θθθθθ∴===++，解得tan 0θ=，即0a =.【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查极坐标的应用，是中档题.。

成都七中2020~2021学年度上期2021届高三入学考试数学试卷（理科）考试时间：120分钟 总分：150分一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．把答案涂在答题卷上．）1．已知集合(){},21A x y y x ==-，(){}2,B x y y x ==，则AB =（ ）A ．∅B ．{}1C ．(){}1,1D ．(){}1,1-2．复数z = ）A ．1BC ．2D3．已知命题():,0p x ∃∈-∞，23x x <；命题:0,2q x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin x x <，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝4．抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点A 在抛物线上，且点A 到直线3x =-的距离是线段AF 长度的2倍，则线段AF 的长度为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（ ） A ．55.2，3.6 B ．55.2，56.4C ．64.8，63.6D ．64.8，3.66．设2323a ⎛⎫=⎪⎝⎭，2313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1313c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>7．一空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积可能为（ ）A ．12π+B ．22π+C ．1π+D ．2π+8．若α，β为锐角，且满足4cos 5α=，()5cos 13αβ+=，则sin β的值为（ ） A ．1665-B ．3365C ．5665D ．63659．已知数列{}n a 满足132n n a -=⨯，*n ∈N ，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第i 行有i 个数，*i ∈N ），从左至右第i 行第j 个数记为(),i j a （i ，*j ∈N 且j i ≤），则()21,20a =（ ）．A ．23132⨯B ．21232⨯C ．23032⨯D ．21132⨯10．已知函数()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，0ϕπ<<，()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，且()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上恰有两个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．()6,10B ．()6,8C ．()8,10D ．()6,1211．正方体1111ABCD A B C D -中，若12CM MC =，P 在底面ABCD 内运动，且满足1DP CPD P MP=，则点P 的轨迹为（ ）A ．椭圆的一部分B ．线段C ．抛物线的一部分D ．圆弧12．己知函数()212ln x f x x -=的定义域为10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦，若对任意的1x ，210,x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()()()1212221212f x f x m x x x x x x -+>-恒成立，则实数m的取值范围为（ ）A ．(],3-∞B ．(],4-∞C ．(],5-∞D ．(],6-∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．）13．在空间直角坐标系O xyz -中，记点()1,2,3A 在xOz 平面内的正投影为点B ，则OB =________．14．已知x ，y 满足22x y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-+的最大值为________．15．在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos cos 2B bC a c=-+，若b =4a c +=，则a 的值为________．16．已知椭圆2222:1x y a b Γ+=与双曲线2222:1x y m nΩ-=共焦点，1F 、2F 分别为左、右焦点，曲线Γ与Ω在第一象限交点为P ，且离心率之积为1．若1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，则该双曲线的离心率为________． 三、解答题（共70分，22与23题二选一，各10分，其余大题均为12分）17．（本题12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a =，121n n a S +=+，数列{}n b 满足11a b =，点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上，*n ∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 18．（本题12分）某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量()g y 与尺寸()mm x 之间近似满足关系式by c x =⋅（b ，c 为大于0的常数）．按照某指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间（0.302，0.388）内时为优等品现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：（1）现从抽取的6件合格产品中再任选2件，求选中的2件均为优等品的概率； （2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：根据所给统计量，求y 关于x 的回归方程． 附：对于样本()(),1,2,,6i i v u i =，其回归直线u b v a =⋅+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()1122211nniii i i i nniii i vv u u v u nvub v v vnv====---==--∑∑∑∑，a u bv =-， 2.7183e ≈．19．（本题12分）如图，在以P ，底面圆的直径AB 长为2，O 为圆心．C 是圆O 所在平面上一点，且AC 与圆O 相切．连接BC 交圆于点D ，连接PD ，PC ，E 是PC 的中点，连接OE ，ED ．（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ； （2）若二面角B PO D --的大小为23π，求平面PAC 与平面DOE 所成锐二面角的余弦值． 20．（本题12分）已知抛物线24x y =，F 为其焦点，椭圆()222210x y a b a b+=>>，1F ，2F 为其左右焦点，离心率12e =，过F 作x 轴的平行线交椭圆于P ，Q 两点，PQ =（1）求椭圆的标准方程；（2）过抛物线上一点A 作切线l 交椭圆于B ，C 两点，设l 与x 轴的交点为D ，BC 的中点为E ，BC 的中垂线交x 轴为K ，KED △，FOD △的面积分别记为1S ，2S ，若121849S S =，且点A 在第一象限．求点A 的坐标．21．（本题12分）已知函数()()1xf x x e =-，()lng x a x =+，其中e 是自然对数的底数．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与曲线()y g x =也相切．求实数a 的值； （2）设()()()h x bf x g x a =-+，求证：当10b e<<时，()h x 恰好有2个零点． （22题与23题为选做题，二选一）22．（本题10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22114x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩（t 为参数）．（1）求曲线C 的普通方程；（2）以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为6πθ=，()ρ∈R ，直线l与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长度AB ． 23．（本题10分）已知函数()1144f x x x =-++，M 为不等式()2f x ≤的解集． （1）求M ；（2）证明：当a ，b M ∈时，a b ≥-．成都七中2020-2021学年度上期2021届高三入学考试数学试卷（理科）答案1-5：CBCBD 6-10：BBBDA 11-12：DB 1314．1- 15．1或3 16．1217．【答案】（Ⅰ）1321n n n a b n -==- （Ⅱ）1133n n n T -+=-【解析】（1）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥， 两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥．又21213a S =+=，所以213a a =．故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列．所以13n n a -=．由点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上，所以12n n b b +-=．则数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列．则()11221n b n n =+-⋅=-． （Ⅱ）因为1213n n n n b n c a --==，所以0121135213333n n n T --=++++． 则12311352133333n nn T -=++++， 两式相减得：21222221133333n n n n T --=++++-11113321121313n nn -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦=+⨯--1121233n nn --⎛⎫=--⎪⎝⎭∴21112113323233n n n n n n T ----+=--=-⋅⋅ 18．【答案】（1）15； （2）0.5y ex =．【解析】（1）由已知，优等品的质量与尺寸的比()0.302,0.388yx∈ 则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，有3件为非优等品，所求概率为232631155C P C ===．（2）对by c x =⋅两边取自然对数得ln ln ln y c b x =+ 令ln i i v x =，ln i i u y =，则u b v a =⋅+，且ln a c = 由所给统计量及最小二乘估计公式有：11222175.324.618.360.271101.424.660.542ni i nii v u nuvb vnv==--⨯÷====-÷-∑∑118.324.6216a u bv ⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭=-==，由ln a c =得c e =，所以y 关于x 的回归方程为0.5y ex =．19．【解析】（1）证明：AB 是底面圆的直径，AC 与圆切于点A ， 所以AC AB ⊥，又PO ⊥底面，则PO AC ⊥，PO AB O =，所以：AC ⊥面PAB AC PB ⇒⊥，又因为，在三角形PAB 中，2PA PB AB PA PB ==⇒⊥ PA AC A =，所以PB ⊥面PAC ，∵PB ⊂面PBC所以：平面PBC ⊥平面PAC ； （2）因为OB PO ⊥，OD PO ⊥， ∴BOD ∠为二面角B PO D --的平面角， ∴23BOD π∠=，如图建立坐标系，易知1OB =，则()0,1,0A -，()0,1,0B ，1,022D ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，,1,03C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,1P ，11,322E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 由（1）知()0,1,1BP =-为平面PAC 的一个法向量， 设平面ODE 的法向量为(),,n x y z =，31111,,0322322OE x y z ⎛⎫=-⇒-+= ⎪ ⎪⎝⎭，311,002222OD x y ⎛⎫=-⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭， 解得：()3,3,1n =，26cos 13n BP n BPθ⋅==． 20．【答案】（1）22143x y +=． （2）()2,1 【解析】（1）不妨设P 在第一象限，由题可知,13P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，∴228113a b +=， 又∵12e =，∴22811123c c +=，可得1c =，椭圆的方程为22143x y +=． （2）设200,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭则切线l 的方程为20024x x y x =-代入椭圆方程得：()4223031204x x x x x +-+-=， 设()11,B x y ，()22,C x y ，()33,E x y ，则()3012320223x x x x x +==+，()22000332032443x x x y x x =-=-+， KE 的方程为()()230022000324323x x y x x x x ⎡⎤⎢⎥+=--++⎢⎥⎣⎦， 即()20200243x y x x x =-++，令0y =得()302083K x x x =+， 在直线l 方程中令0y =得02D x x =，222004124x x FD +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭()()()23000022003428383x x x x DK x x +=-=++，02FD k x =-，02BC xk =，∴1FD BC k k ⋅=-，FD BC ⊥，∴~DEK FOD △△，∴()()22200122220941849163x x S DK S FD x +===+． 化简得()()2200177240x x+-=，∴02x =（02x =-舍去）∴A 的坐标为()1,1，()4223031204x x x x x +-+-=， ()()462420000431234814404x x x x x ⎛⎫∆=-+-=---≥ ⎪⎝⎭，因为2008x ≤≤+21．【解析】（1）由()()1x f x x e =-得()xf x xe '=，所以切线的斜率()1k f e '==．因为切点坐标为()1,0，所以切线的方程为()1y e x =-． 设曲线()y g x =的切点坐标为()11,x y ． 由()ln g x a x =+得()1g x x '=，所以()111g x e x '==，得11x e=． 所以切点坐标为1,1a e ⎛⎫- ⎪⎝⎭．因为对1,1a e⎛⎫- ⎪⎝⎭也在直线()1y e x =-上．所以2a e =-．（2）由()()1ln xh x b x e x =--，得()211x xbx e h x bxe x x-'=-=．令()21xm x bx e =-，0x >，当10b e<<时，()()220x m x bx bx e '=+>， 故()m x 在()0,+∞上单调递增．又因为()110m be =-<，且221111ln ln 1ln 10m b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．所以()0m x =在()0,+∞上有唯一解，从而()0h x '=在()0,+∞上有唯一解． 不妨设为0x ，则011ln x b<<． 当()00,x x ∈时，()()()00m x m x h x x x '=<=，所以()h x 在()00,x 上单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()()()00m x m x h x x x'=>=，所以()h x 在()0,x +∞上单调递增．故0x 是()h x 的唯一极值点．令()ln 1t x x x =-+，则当1x >时，()110t x x'=-<，所以()t x 在()1,+∞上单调递减， 从而当1x >时，()()10t x t <=，即ln 1x x <-，所以1ln 111ln ln 1ln ln b h b e b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111ln 1ln ln ln 0t b b b ⎛⎫⎛⎫=--=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为()()010h x h <=，所以()h x 在()0,x +∞上有唯一零点． 又因为()h x 在()00,x 上有唯一零点，为1， 所以()h x 在()0,+∞上恰好有2个零点．另解：∵02011x x e e b =>>，∴0111x b <<+，再证明11111ln 10b h e b b +⎛⎫⎛⎫+=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．22．【答案】（1）26y x =-（2x ≤-或2x ≥）；（2． 【解析】（1）曲线C 的参数方程为221,14, x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩①②（t 为参数），将①式两边平方，得22212x t t =++③， ③-②，得26x y -=，即26y x =-，因为112x t t t t =+=+≥=，当且仅当1t t =，即1t =±时取“=”，所以2x ≥，即2x ≤-或2x ≥， 所以曲线C 的普通方程为26y x =-（2x ≤-或2x ≥）． （2）把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线C 得：22sin cos 6ρθρθ=-，()cos 2ρθ≥，则曲线C 的极坐标方程为22sin cos 6ρθρθ=-，()cos 2ρθ≥设A ，B 的极坐标分别为1,6A πρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,6B πρ⎛⎫⎪⎝⎭，由226sin cos 6πθρθρθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩11得22sin cos 666ππρρ=-，即232240ρρ--=，且3ρ≥ 因为44324473∆=+⨯⨯=⨯，∴ρ=ρ=，满足ρ≥，不妨设1ρ=2ρ=所以12AB ρρ=-=注：没考虑ρ≥要酌情扣分 23．【解析】（1）()12,,411111,,4424412,4x x f x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-++=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩所以不等式的解集为[]1,1M =-．（2）要证a b -，只需证a b ≥-，即证()241ab a b -≥-，只需证22442ab a ab b -≥-+，即2242a ab b ≥++， 即证()24a b ≥+，只需证2a b ≥+因为a ，b M ∈，所以2a b +≤，所以所证不等式成立．。

2024-2025学年四川省成都七中高一（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={1,2}，B ={1,3,4}，则A ∪B =( )A. {1}B. {1,3,4}C. {1,2}D. {1,2,3,4}2.已知0<x <3，0<y <5，则3x−2y 的取值范围是( )A. (−1,0)B. (−10,9)C. (0,4)D. (0,9)3.对于实数x ，“2+x 2−x ≥0”是“|x|≤2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.下列命题中真命题的个数是( )①命题“∀x ∈R ，|x|+x 2≥0”的否定为“∃x ∈R ，|x|+x 2<0”；②“a 2+(b−1)2=0”是“a(b−1)=0”的充要条件；③集合A ={y|y = x 2+1}，B ={x|y = x 2+1}表示同一集合．A. 0B. 1C. 2D. 35.已知实数x ，y 满足4x 2+4xy +y +6=0，则y 的取值范围是( )A. {y|−3≤y ≤2}B. {y|−2≤y ≤3}C. {y|y ≤−2}∪{y|y ≥3}D. {y|y ≤−3}∪{y|y ≥2}6.已知正实数a ，b 满足2a +b =1，则5a +b a 2+ab 的最小值为( )A. 3B. 9C. 4D. 87.关于x 的不等式(ax−1)2<x 2恰有2个整数解，则实数a 的取值范围是( )A. (−32,−43]∪(43，32]B. (−32,−43]∪[43,32)C. [−32,−43)∪(43,32]D. [−32,−43)∪[43，32)8.已知函数f(x)={4x 2−2x +3,x ≤122x +1x ,x >12，设a ∈R ，若关于x 的不等式f(x)≥|x−a 2|在R 上恒成立，则a 的取值范围是( )A. [−398,478]B. [−4,478]C. [−4,4 3]D. [−398,4 3]二、多选题：本题共3小题，共18分。

绝密☆启封并使用完毕前2022年四川省新高考成都七中高一上期末考试数学模拟卷（一）数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。

考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项： 必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。

第Ⅰ卷共10小题。

一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{0,1,2,3}U =，{}230A x x x =-=∣，则U A （ ） A ．{0} B ．{1} C ．{2} D ．{1,2}【答案】D【分析】解方程求得集合A ,然后利用补集定义求得UA .【详解】由230,x x -=解得120,3x x ==,∴{}0,3A =， 又∵{}0,1,2,3U =,∴{}1,2UA =,故选：D.2．“21x >”是“31x >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】利用必要不充分条件的定义判断即可． 【详解】21x >等价于1x >或1x <-31x >等价于1x >则“21x >”是“31x >”的必要不充分条件 故选：B3．命题2:2,10p x x ∀>->，则p ⌝是（ ）A ．22,10x x ∀>-≤B ．22,10x x ∀≤-≤C ．22,10x x ∃>-≤D ．22,10x x ∃≤-≤ 【答案】C【分析】利用全称命题的否定的定义求解即可．【详解】∵命题2:2,10p x x ∀>->，由全称命题的否定可知，命题2:2,10p x x ⌝∃>-≤． 故选：C4．在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，下列说法正确的是（ ）A ．sin y x =是增函数，且cos y x =是减函数B ．sin y x =是减函数，且cos y x =是增函数C ．sin y x =是增函数，且cos y x =是增函数D ．sin y x =是减函数，且cos y x =是减函数 【答案】A【分析】结合正余弦函数的图象和性质即可作出判定.【详解】由正余弦函数的图象可知，在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，sin y x =是增函数，且cos y x =是减函数， 故选：A .5．若不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为（ ）A ．()3,0-B ．[)3,0-C ．[]3,0-D ．(]3,0-【答案】D【分析】分0k =，0k ≠两种情况，当0k =，308-<对x ∈R 恒成立，当0k ≠时，需开口向下，判别式小于0，不等式恒成立.【详解】当0k =时，原不等式可化为308-<，对x ∈R 恒成立；当0k ≠时，原不等式恒成立，需220342()08k k k <⎧⎪⎨∆=-⨯⨯-<⎪⎩， 解得,0()3k ∈-， 综上(3,0]k ∈-. 故选：D 6．函数y 3341x - ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】判定奇偶性，根据奇函数的图象性质排除C;考察在（0，1）和（1，+∞)上的函数值的正负，进一步取舍判定.（也可使用赋值法） 【详解】由题意，设334()1f x x =-334()()1f x f x x -==--，所以函数的奇函数，故排除C;当01x <<时，()410,0x f x -<∴<，当1x >时，()41,0x f x >∴>，排除BD ,故选:A.7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,∞+单调递减，设233231log ,2,24a f b f c f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．b a c <<【答案】A【分析】根据()f x 在()0,∞+上单调递增，根据偶函数形成将a 化为()34log f ；利用指数、对数函数的性质判定23323log 4,2,2--的大小关系，结合函数单调性可得结果. 【详解】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,∞+上单调递减则：()()3331log log 4log 44a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭33log 4log 3=1>，2303202221--<<<=，∴23323log 422-->>，()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫∴<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即：a c b << 故选：A.8.如图是函数()()sin f x A x =+ωϕ(0A >，0>ω)的部分图象，则（ ）A ．函数()y f x =的最小正周期为2πB ．直线512x π=是函数()y f x =图象的一条对称轴 C ．点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心D ．函数3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭为奇函数【答案】C【分析】由图象先求得,A 由相邻的最高点与零点的横坐标的差为四分之一周期，求得周期，得到角速度ω的值，由最高点的横坐标求得φ的值，然后逐项判定即得.【详解】由题意可知，根据图像得到，2A =，4312T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则选项A 错误；22Tπω==， 又2sin 221212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 解得262k ππϕπ+=+，k ∈Z ，则23k πϕπ=+，k ∈Z ，即()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，572sin 1126f ππ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 所以直线512x π=不是函数()y f x =图象的一条对称轴，则选项B 错误； 2sin 006f π⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 所以点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心，选项C 正确；2sin 22sin 23333f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦不是奇函数，所以选项D 错误. 故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共:20分，在每小题给出的四个选项，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，选错得0分。

成都七中2023届高一上期第一次阶段性考试数 学命题：巢中俊 审题：夏雪 把关：张世永本试卷分选择题和非选择题两部分．第Ⅰ卷（选择题）1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定位置上. 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5．考试结束后，只将答题卡交回.第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 ．下列对象不能组成集合的是（ ） A ．不超过20的质数 B ．π的近似值 C ．方程21x =的实数根 D ．函数2y x =，x ∈R 的最小值2 ．函数()f x =的定义域为（ ） A ．[]3,1--B ．[]1,3C ．[]1,3-D ．[]3,1-3 ．下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ）A ．()f x x =，()g x =B ．()f x =()2g x =C ．()211x f x x -=-，()1g x x =+ D ．()f x ，()g x =4 ．当02x ≤≤时，22a x x -＜恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞ （B ）(],0-∞ C ．(],1-∞- D ．(),1-∞-5 ．已知集合()(){}120A x x x =-+＜，集合01x B xx ⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭＞，则A B =（ ）A ．{}20x x -＜＜B ．{}12x x ＜＜C ．{}01x x ＜＜D ．R6 ．我们用card 来表示有限集合A 中元素的个数，已知集合(){}210A x x x =∈-=R ，则()card A =（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 7 ．已知实数a ，b 满足4a b +=，则ab 的最大值为（ ） A ．2 B ．4 C．D．8 ．设函数()f x 满足()01f =，且对任意x ，y ∈R ，都有()()(()12f xy f x f y f y x +=--+，则()1f =（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1- 9 ．已知函数()212, 02,01x x xf x x x x ⎧++⎪⎪=⎨⎪⎪+⎩＜≥，则函数()y f x =的图象是（ ）10．某公司2020一整年的奖金有如下四种方案可供员工选择（奖金均在年底一次性发放）.方案1：奖金10万元方案2：前半年的半年奖金4.5万元，后半年的半年奖金为前半年的半年奖金的1.2倍方案3：第一个季度奖金2万元，以后每一个季度的奖金均在上一季度的基础上增加5000元 方案4：第n 个月的奖金=基本奖金7000元+200n 元 如果你是该公司员工，你选择的奖金方案是（ ） A ．方案1 B ．方案2 C ．方案3 D ．方案411．已知函数()248f x kx x =-+在[]5,10上单调递减，且()f x 在[]5,10上的最小值为32-，则实数k 的值为（ ）A ．45-B ．0C ．0或45-D ．0或1712．已知函数1()f x x x =+，()g x =则下列结论中正确的是（ ） A ．()()f x g x +是奇函数 B ．()()f x g x ⋅是偶函数 C ．()()f x g x +的最小值为4D ．()()f x g x ⋅的最小值为3第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13．方程260x x p ++=的解集为M ，方程260x qx +-=的解集为N ，且{}1M N =，那么p q +=_______.14．函数21x y x-=，[]3,5x ∈的最小值是_______.15．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()32f x x x =+，则()1f -=_______. 16．已知平行四边形ABCD 的周长为4，且30ABC ∠=︒，则平行四边形ABCD 的面积的取值范围为_______.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）（1）已知集合{}1,2,3A =，{}2,1,1,3B =--，全集U A B =，求()U A B ； （2）解关于x 的不等式()()10x x a --＜，其中a ∈R 18．（本小题满分12分）对于任意的实数a ，b ，{}min ,a b 表示a ，b 中较小的那个数，即{},min ,,a a ba b b a b ⎧=⎨⎩≤＞，已知函数()23f x x =-，()1g x x =-.（1）求函数()f x 在区间[]1,1-上的最小值；（2）设()()(){}min ,h x f x g x =，x ∈R ，求函数()h x 的最大值. 19．（本小题满分12分）已知函数()f x=.（1）用描点法画出函数)f x 的图象；（2）用单调性的定义证明函数()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.参考公式：a b -=，其中0a ≥，0b ≥.20．（本小题满分12分）设函数()f x 是定义在区间I 上的函数，若对区间I 中的任意两个实数1x ，2x ，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫⎪⎝⎭≤则称()f x 为区间I 上的下凸函数.（1）证明：()2f x x =是R 上的下凸函数；（2）证明：已知0a ＞，0b ＞21．（本小题满分12分）据百度百科，罗伯特⋅纳维利斯是一位意大利教师，他的主要成就是于1905年发明了家庭作业.对于数学学科来说，家庭作业通常有选择题、填空题、解答题三种题型构成，据某位专家量化研究发现，适量的家庭作业量有利于学习成绩的提升，过少或过多的家庭作业均不利于学习成绩的提升.这位专家把一个选择题量化为1.0，一个填空题约量化为1.6，一个解答题约量化为4.2.于是数学学科的家庭作业量可以用一个正实数来量化.家庭作业量m 对应的关联函数()4,01040,10201003,203010,30m m m h m m m m ⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩＜≤＜≤＜≤＞，家庭作业量m 对应的学习成绩提升效果()f m 可以表达为坐标轴x 轴，直线x m =以及关联函数()h m 所围成的封闭多边形的面积()S m 与m 的比值（即()()S m f m m=）.通常家庭作业量m 使得()30f m >认为是最佳家庭作业量.（1）求()10S ，()10f 的值；（2）求()f m 的解析式；（3）成都七中高一某班的数学学科家庭作业通常是一个课时对应练习题（6个选择题、4个填空题及3个解答题），问这个班级的数学学科家庭作业量是否是最佳家庭作业量?22．（本小题满分12分）已知函数()211f x x =-，x ∈R ，我们定义()()()211f x f f x =，()()()312f x f f x =，…， ()()()11n n f x f f x -=，其中n =2，3，….（1）判断函数()1f x 的奇偶性，并给出理由； （2）求方程()()13f x f x =的实数根个数；（3）已知实数0x 满足()()00i j f x f x m ==，其中1i j n ≤＜≤，01m ＜＜求实数m 的所有可能值构成的集合.。

⎪ 成都七中高三数学入学测试(理)命题人：黄太平 祁祖海满分 150 分 考试时间 120 分钟I 卷 一.选择题.（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，每小题的四个选项中仅有一项符合题目要求） 1.已知集合 A = { x | x < 1} , B = { x | 2 x > 1} , 则 A B = ( ) A.(0,1) B.(-1,1) C. ⎛ 0, 1 ⎫⎝ 2 ⎭ D. (-1,0)2.复数 1 - i2 - i对应的点位于( )A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限3.从数字1、2、3、4、5 中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40 的概率为( )1 2 3 4A. B. C. D.5 5 5 54.已知命题p :函数f ( x ) = x + a在 ( - ∞ , - 1 ) 上是单调函数,命题 q :函数 g ( x ) = lo g(x + 1)(a >0且a ≠ 1) 在( - 1, + ∞ ) 上是增函数,则 ⌝ p 是 q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.按左下图所示的程序框图运算，若输入 x = 200 ，则输出 k 的值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．611 1 1正视图 侧视图11俯视图第 5 题图 第 7 题图6. ( x + 1)( x - 2 ) 6 的开放式中 x 4 的系数为( )A.—100B.—15C.35D.2207.一个几何体的三视图如右上图所示,则该几何体的体积为()16 20 A. B. 3 3 15 13C. D. 2 28.若两个非零向量a, b 满足a + b =a - b⎩ = 2 a , 则向量 a + b 与 a - b 的夹角是()π π A.B. 632 π 5πC. D. 3 6⎧ x + y ≤ 1⎪ 9.设不等式组 ⎨ x - y ≥ - 1 表示的平面区域为D ,若直线 y = k x - 3 与平面区域 D 有公共点,则 k 的取值范围为( ) ⎪ y ≥ 0⎛ 1 ⎤ ⎡ 1 ⎫ ⎡ 1 1 ⎤A. [ - 3 , 3 ]B. - ∞ , -⎥ ⋃⎢ , + ∞ ⎪C. ( - ∞ ,- 3 ] ⋃ [ 3,+ ∞ ) D. ⎢ - , ⎥⎝ 3 ⎦ ⎣ 3 ⎭ ⎣ 3 3 ⎦10.已知 A , B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上, ∆ A B M 为等腰三角形,且顶角为120 0 ,则 E 的离心率为( )5 B.2 3 211.点 E , F 分别是正方体 A B C D - A B C D 的棱 A B , A A 的中点,点 M , N 分别是线段 D E 与 C F 上的点，则1 1 1 1 1 1 1与平面 A B C D 垂直的直线 M N 有()条. A.0B.1C.2D.很多12.设二次函数 f ( x ) = ax 2 + bx + c 的导函数为 f ' ( x ) .对 ∀ x ∈ R ,不等式 f ( x ) ≥ bf ( x ) 恒成立,则的最大值为()a 2 + 2 c 2 A.2 B. 2C. 2 2 + 2D. 2 2 - 2二.填空题.（本大题共4小题，每题5分，共20 分）13.已知∆ A B C 中，A、B、C 的对边分别为a、b、c，且a2 = b 2 + c 2 +14.设α , β , γ 为互不重合的三个平面, l 为直线,给出下列命题:c ，则A=.(1)若α / / β , α⊥ γ , 则β ⊥ γ ; (2)若α⊥ γ , β ⊥ γ且α ⋂ β= l ,则l⊥ γ ;(3)若直线l与平面α 内的很多条直线垂直,则直线l与平面α 垂直;(4)若α 内存在不共线的三点到β 的距离相等, 则平面α 平行于平面β .其中真命题的序号为(写出全部真命题的序号).15.已知f ( x ) = x 3 + a x - 2 b ,假如f ( x ) 的图象在切点P(1, - 2 ) 处的切线与圆(x - 2 ) 2 + ( y + 4 ) 2 = 5 相切，那么3 a + 2 b =.16.已知函数f ( x）为偶函数且f ( x ) = ⎧23⎪ - x -f ( x - 4 ) ,又在区间[0 , 2 ] 上有f ( x ) = ⎨22 ⎩ x + 5 , 0 ≤ x ≤ 1 ,而函数⎪ x+ 2 , 1 < x ≤ 2g ( x ) =1 x( ) + a ,若 F (x ) =2f ( x ) -g ( x ) 恰好有4 个零点,则 a 的取值范围是 .三.解答题.（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12 分）已知a= ( 2 c o s x , s in x ) ，b= ( c o s x , s in x -3 c o s x ) ，设函数f ( x ) = a ⋅ b ，(1)求f( x ) 图象的对称轴方程；(2)求f ( x ) 在[ 5π , π ] 上的值域.12. 本小题满分12 分）随着经济的进展，食品平安问题引起了社会的高度关注，政府加大了食品的检查力度．针对奶制品的平安检查有甲、乙两种检测项目，按规定只有通过至少一种上述检测的奶制品才能进入市场销售．若厂商有一批次奶制品货源欲投入市场，应先由政府食品平安部门对这一批次进行抽样检查（在每批次中只抽选一件产品检查）．若厂商生产的某品牌酸奶通过甲种检测的概率为0.6，通过乙种检测的概率为0.5，而两种检测相互独立．(1) 求某一批次该品牌酸奶进入市场销售的概率；(2) 若厂商有三个批次该品牌酸奶货源，求能进入市场销售的批次数ξ 的分布列和期望．. 本小题满分12 分）如图，五面体A- B C C B4 ．底面是正三角形A B C ，AB 中，AB1 11 1= 2 .四边形B C C B 是矩形，二面角 A - B C - C 是直二面角. (1) D 在 A C 上运动，当 D 在何处时，有 A B // 平面 B DC ；B 1 C1(2)当A B// 平面B DC 时，求二面角C BC22 2 2 2 2 2 2 y BOxA - D 的余弦值.BCDA20.（本小题满分 12 分）如图， O 为坐标原点， A 和 B 分别是椭圆 C ：x y + = 1( a > b > 0 ) 和 C ： 1 2 a bx y += 1( m > n > 0 ) 上的动点，满足 O A ⋅ O B = 0 ，且椭圆 C 的离心率为2 . 当动点 A 在 x 轴上的投影 mn 恰为 C 的右焦点 F 时，有 S (1)求椭圆 C 的标准方程； 1 22 ∆ A O F 4 (2)若 C 与 C 共焦点，且 C 的长轴与 C 的短轴等长，求 | A B |2 的取值范围. 1 2 1 2=.⎪21. （本小题满分 12 分）已知函数 f ( x ) = xe tx - e x + 1 ，其中 t ∈ R ， e =2.71 828…是自然对数的底数. (1)若方程 f ( x ) = 1 无实根，求 t 的取值范围；(2)若 f ( x ) 是 ( 0 , +∞ ) 上的单调递减函数，求 t 的取值范围.请考生在 22、23 题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分 10 分）( 选修 4-4: 坐标系与参数方程)已知在平面直角坐标系 x O y 中, 直线 l 的参数方程是 ⎧ ⎪ x =⎪⎨⎪y = ⎩ t 2 t + 22 π（t 是参数）,以原点O 为极点, Ox 为极轴建立极坐标系, 圆 C 的极坐标方程为ρ = 2 c o s (θ +) .4（1）求圆心C的直角坐标;（2）由直线l上的点向圆C引切线, 求切线长的最小值.23. （本小题满分10 分）(选修4—5;不等式选讲)设a, b, c均为正数,且a+ b + c = 1,1 a b c证明:(1) a b + bc + ca ≤; (2) 3++≥ 1.b c a成都七中高三数学入学测试参考答案(理) 1-12 ADBCB ADCCD BA13.15014. (1)(2) 15. - 716. 2<a < 1 9 817.解：(1) f (x ) = a ⋅ b = 2 c os 2 x + sin x (sin x x )= 2cos 2 x + sin 2 x in x ⋅ cos x= 2 ⋅ 1 + cos 2x + 1 - cos 2x -⋅ sin 2x2 2 2= 1 cos 2x - 3 sin 2x + 33 2 …………………………………2 分2 2 2 π = -sin(2x - ) +3 .………………………………………4 分 62 由 2x - π = k π+ π(k ∈ Z ) ，得 62 函数 f (x ) 的对称轴方程: x = k π+ π(k ∈ Z ) . ………………………………6 分 2 3π (2)令 u = 2x - π ，由 x ∈[ 5π,π] 得 u ∈[ 2π,11 ]，6 12 π 3 6 3π 11π函数 y = -sin u + 3 在 ( 2π, 3 ) 上单增，在 ( , ) 上单减，2 3 2又 -sin 2π < -sin 11π， ………8 分当 u = 3π ， y = 5 ；当 u = 2π ， y=………11 分2 max 23 minf (x ) 在[ 5π,π] 上的值域为[3 - , 5]3 1 1 z B 1 C 1 O B x C yD A ………12 分12 2 218. 解：(1)设某一批次该品牌酸奶进入市场销售的概率为 P 1 ，则P 1 =1- (1- 0.6) ⋅ (1- 0.5) ………………………………………………………2 分 = 0.8 ．…………………………………………………………………………4 分(2) ξ= 0,1, 2, 3. 且ξ~ B (3, 0.8) ，故 P (ξ= i ) = C i P i (1- P )3-i ． ………7 分ξ0 1 2 3 p 0.008 0.096 0.384 0.512………………………………………………10 分E ξ= 3⨯ 0.8 = 2.4 …………………………………………………………12 分19. 解：(1)当 D 为 A C 中点时,有 A B 1 // 平面 B DC 1 ………………2 分 连结 B 1C 交 B C 1 于 O ,连结 D O∵四边形 B CC 1B 1 是矩形 ∴ O 为 B 1C 中点又 D 为 A C 中点,从而 D O // AB 1 ………………………3 分∵ A B 1 ⊄ 平面 B DC 1 , D O ⊂ 平面 B DC 1∴ A B 1 // 平面 B DC 1 ……………………………………5 分(2)建立空间直角坐标系 B - xyz 如图所示,则 B (0, 0, 0) , A ( 3,1, 0) , C (0, 2, 0) , D ( 2 , , 0) , C 1 (0, 2, 2 3) …6 分 2 3 3 所以 B D = (2 , , 0) , B C 1 = (0, 2, 2 3) .……………………………7 分21 1 ⎨⎧设 n = (x , y , z ) 为平面 B DC 的法向量,则有 ⎪ x + 3 y = 0 2 2⎩1 2 3 13 3 13 1 2 24 ⎧⎪x = 3z,即 ⎨……8 分 ⎪2 y + 2 3z = 0⎪⎩ y = - 3z 令 z = 1,可得平面 B DC 1 的一个法向量为 n 1 = (3, -3,1) .…………………………9 分 而平面 B CC 1 的一个法向量为 n 2 = (1, 0, 0) …………………………………………10 分 cos < n , n >= n ⋅ n = = ， | n || n | 13 1 2则二面角 C - BC 1 - D 的余弦值为 13 (12)分 2 b 2 c 2b 2 20.解：(1)椭圆 C 1 的离心率为 ，由 () 2 a2+ ( ) a= 1，可知= a2 3 2 ，……1 分2 而 1 ⋅ c ⋅b = 2 ，……2 分 S ∆AOF =，则 2 a 4x 2 解得 a = ， b = 1 ，椭圆 C 1 的标准方程为 2+ y = 1 .……4 分2 (2) 由 C 1 的长轴与 C 2 的短轴等长，知 n = a = ，又 C 1 与 C 2 共焦点，可知 m = n + 1 = ，椭圆 C 2 的 标准方程为 x y 2+ = 1 .……5 分 321 当线段 O A 斜率 k 存在且 k ≠ 0 时，2 ⎧ x + y 2= 1, 1⎨ ⎩ 1 + k 2 1 联立 ⎪ 2 ⎪ y = kx , 得 x 2 =1+ k 2 2 ，则| OA |2 ==1+1+k22， 1 + 2k 2⎧ x2⎪⎪y2+= 1,11 +1 3联立⎨ 3 2 得x2=，则| OB |2 = k=3 -，……7 分⎪ y = - 1 x, ⎪⎩k 1+1 3 2k 21+1 3 + 2k23 2k 2由O A ⋅ O B = 0 ，知| AB |2 =| OA |2 + | OB |2 ，2即| AB |2 = 4 +1-3= 4 -4k= 4 -4< 4 ，2 2 2 2 31 + 2k 3 + 2k(1 + 2k)(3 + 2k) 8 + + 4k 2k 2又 3 + 4k 2 ≥ 2 k 23⋅ 4k 2 = 4，当 k 2 = 3取等号，2 故| AB |2 ≥ 4 4= 2 + .……11 分 2 当线段 O A 斜率 k 不存在和 k = 0 时，| AB |2 = 4 ， 综上， 2 + 3 ≤| AB |2 ≤ 4 .……12 分 21.解：(1)由 f (x ) = 1 ，得 x e tx = e x ，即 x = e x (1-t ) > 0 ，原方程无负实根，故有 ln x= 1 - t ，……2 分 x 令 g (x ) = ln x， g '(x ) = 1 - ln x ，x x 2 当 0 < x < e ， f '(x ) > 0 ， f (x ) 在 (0,e ) 内单增；当 x > 0 ， f '(x ) < 0 ， f (x ) 在 (e , +∞) 内单增，x x 则 g (x )max = g (e ) = 1 ，而当 x → 0 时， g (x ) → -∞ ，e 故 g (x ) 值域为 (-∞, 1] .……4 分 e方程 f (x ) = 1无正实根等价于当1 - t ∉ (-∞, 1]，即1 - t >1 ，也即 t < 1 - 1 ， ee e 综上，当 t < 1 - 1 时，方程f (x ) = 1无实根. ……5 分e（2） f '(x ) = e tx + tx e tx - e x = e tx [1 + tx - e (1-t ) x ] ， 1 当 t ≤ 1 时，且 x > 0 ，有 f '(x ) = e tx [1 + tx - e (1-t ) x ] ≤ e 2 (1 + x - e 2 ) ，22 xx 易证当 x > 0 时，1 + x < e x ，则有1 + - e 2 < 0 ， 2故 f '(x ) < 0 ，函数 f (x ) 在 (0, +∞) 内单减. ……7 分 2 由题设知 ∀x > 0 ， f '(x ) ≤ 0 ，无妨取 x = 1 ，有 f '(1) = e t (1 + t - e 1-t ) ≤ 0 ， 当 t ≥ 1 时，即1 ≥ e 1-t ≥ 1 + t ≥ 2 ，冲突，不满足题设. ……9 分 3 当 1 < t < 1 时， 0 < 1 - t < 1 ， 且 t > 1，即 1 ln t2 2 1- t 1 - t令h(x) = 1 + tx - e(1-t ) x ，h(0) = 0 ，h'(x) = t - (1 - t)e(1-t ) x = (1 - t)[t- e(1-t ) x ] ，当0< x <1 1 - tlnt 1 - t1-t ，h'(x)> 0，h(x)在(0,1 1 - t ln t1 - t) 内单增，h(x) > h(0) = 0 ，此时f '(x) > 0 ，f (x) 在(0, 11 - tlnt 1 - t)内单增，f (x) > f (0) = 0 ，与题设冲突.综上，当且仅当t≤1时，函数f ((0, +∞) 内的减函数. 分22. 解：（1）由题设可知ρ2 = cosθ-2ρsinθ，即x2 + y2 = 2x - 2 y……2 分圆心C的直角坐标为(, )……4 分2 2（2）直线l的一般方程为y= x + 4 2 ， (6)分圆心C到直线l的距离d为5， (8)分切线长的最小值为2 6 . ……10 分23. 解：……2 分……4 分……5 分……7 分……9 分……10 分3。

1成都七中2022届高三上期一月测试数学试题(理)（2022.1.18）一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． 若复数z ＝i （1-i ）（i 是虚数单位），则复数z 的虚部为( )A ．-1B ．1C ．-iD ．i2． 已知集合A ＝{x ∈Z|x 2＋x-6≤0}，B ＝{x|y ＝ln （x ＋1）}，则A∩B 中的元素个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．53． 函数+=--x f x x x1()222的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．4． 双曲线-=bx y 21222的两条渐近线相互垂直，则其焦距长为( ) A ．2 B．．4 D．5． 如图，将框图输出的y 看成输入的x 的函数，得到函数=y f x )(，则=y f x )(的图像（ ）A.关于直线=x 1对称B.关于直线=-x 1对称C.关于y 轴对称D.关于点0,0)(对称6． 在∠=︒A 90的等腰直角∆ABC 中，E 为AB 的中点，F 为BC 的中点，=+λμBC AF CE ，则=λ（ ）A ．-32B ．-23 C ．-34 D ．-1 7． 以下四组不等式中正确的是( ) A ．log 2.8e ＞ln2.8 B ．0.40.2＜0.30.2 C ．e π＞πeDπ8． “杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…，则错误的结论是( )A ．在第9条斜线上，各数之和为55B ．在第n (n ≥5)条斜线上，各数自左往右先增大后减小C ．在第n 条斜线上，共有+--n n421(1)个数 D ．在第11条斜线上，最大的数是C 7311 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1 15 10 10 5 1 16 15 20 15 6 1315． 甲、乙两人在我校举行的“传承红色经典，纪念抗美援朝70周年”演讲比赛中，6位评委的评分情况如下方茎叶图所示，其中甲的成绩的中位数是82，乙的成绩的平均数是84，若正实数a ，b 满足：x ，2a b +，y 成等差数列，则1111a b +++的最小值为________．16． 平面直角坐标系xOy 中，已知AB 是圆C ：（x-1）2＋（y-1）2＝2的一条弦，且AC ⊥BC ，M 是AB 的中点．当弦AB 在圆C 上运动时，直线l ：3x-4y-9＝0上总存在P ，Q 两点，使得π2PMQ ∠≥恒成立，则线段PQ 长度的取值范围是________．三、解答题：17． 如图，在平面四边形ABCD 中，56DAB π∠=，4ADC π∠=，2AB AC ==1CD =．（1）求cos ACD ∠的值；（2）求BC 的值．18.某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节，当天有多项优惠活动，深受广大消费者喜爱．（1）已知该网络购物平台近5年“双十”购物节当天成交额如表：求成交额y （百亿元）与时间变量x （记2015年为1x =，2016年为2x =，⋯⋯依此类推）的线性回归方程，并预测2020年该平台“双十一”购物节当天的成交额（百亿元）；（2）在2020年“双十一”购物节前，某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台．上分别参加A 、B 两店各一个订单的“秒杀”抢购，若该同学的爸爸、妈妈在A 、B 两店订单“秒杀”成功的概率分别为p 、q ，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为X ． ()i 求X 的分布列及()E X ； ()ii 已知每个订单由*(2,)k k k N ∈件商品W 构成，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品W总数量为Y ，假设27sin sin ,44k k p q k k k πππ=-=，求()E Y 取最大值时正整数k 的值．附：回归方程ˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1122211()()ˆ()n ni i i i i i n n i i i i x y nx y x x y y b x nx x x ====∑-∑--==∑-∑-；ˆa y bx =-． ·419.如图，在三棱台111ABC A B C -中，1AC A B ⊥，O 是BC 的中点，1AO ⊥平面ABC ． （1）求证：AC BC ⊥；（2）若11AO =，AC =112BC A B ==， 求二面角1B BC A --的大小．20.已知 A , B 分别 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点 ，过点 M ( 2,0)任作一条非水平直线交椭圆于 P , Q 两点，若椭圆长轴长为 8,且过点． (1) 求椭圆 C 的方程；(2) 记直线 AP , BQ 的斜率分别为k 1，k 2，则12k k 是否为定值，若是，求出该定值．若不是，请说明理由．21.已知函数()cos 2x f x e a x =+-，()f x '为()f x 的导函数．（1）讨论()f x '在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭内极值点的个数； （2）若,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答。

四川省成都七中2021-2022学年高一上期半期考试数学试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．2. 函数的定义域为（）A．B．C．D．3. 下列函数是偶函数的是（）A．B．C．D．4. 若函数(，且)的图象恒过一定点，则的坐标为（）A．B．C．D．5. 已知，，，则（）A．B．C．D．6. 下列结论正确的是（）A．B．D．C．7. 若幂函数在单调递减，则（）A．8 B．3 C．-1D．8. 模型是常用的数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立某地区流感累计确诊病例数（的单位：天）的模型：，其中为最大确诊病例数.为非零常数，当时，则的值为（）A．B．C．D．9. 函数的大致图像为（）A．B．C．10. 关于的方程的两个不等根都在之内，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．11. 若函数，则的单调递增区间为（）A．B．C．D．12. 已知定义在上的函数满足当时，，当时，满足，（为常数），则下列叙述中正确的为（）①当时，；②当时，函数的图象与直线，在上的交点个数为；③当时，在上恒成立.A．①②B．②③C．①③D．①②③二、填空题13. 已知，则____________________.14. 已知函数则_______.15. 函数，的最大值为________.16. 已知函数，，若在区间上的最大值为3，则_______.三、解答题17. 已知集合，.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围.18. 计算下列各式：（1）（2）19. 设声强级（单位）由公式给出，其中为声强（单位）.（1）求若航天飞机发射时的最大声强是，求其声强级；（2）若一般正常人的听觉声强级的范围为（单位），求声强级的取值范围.20. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，（）.（1）求的函数解析式：（2）当时，求满足不等式的实数的取值范围.21. 已知函数为偶函数，为偶函数，且.（1）求函数和的解析式；（2）若在恒成立，求实数的取值范围；（3）记，若，且，求的值.22. 已知函数，若是定义在上的奇函数.（1）求的值；（2）判断函数的单调性，并给出证明，若在上有解，求实数的取值范围；（3）若函数，判断函数在区间上的零点个数，并说明理由.。

四川省成都七中2021届高三数学上学期入学考试试题 理考试时间：120分钟 总分：150分一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．把答案涂在答题卷上．）1．已知集合(){},21A x y y x==-，(){}2,B x y y x ==，则AB =（ ）A ．∅B ．{}1C ．(){}1,1D ．(){}1,1-2．复数13i z -=的模是（ ）A ．1B ．2C ．2D ．63．已知命题():,0p x ∃∈-∞，23x x <；命题:0,2q x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin x x <，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝4．抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点A 在抛物线上，且点A 到直线3x =-的距离是线段AF 长度的2倍，则线段AF 的长度为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（ ） A ．55.2，3.6 B ．55.2，56.4C ．64.8，63.6D ．64.8，3.66．设2323a ⎛⎫=⎪⎝⎭，2313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1313c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>7．一空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积可能为（ ）A ．12π+B ．22π+C ．1π+D ．2π+8．若α，β为锐角，且满足4cos5α=，()5cos13αβ+=，则sinβ的值为（）A．1665-B．3365C．5665D．63659．已知数列{}n a满足132nna-=⨯，*n∈N，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第i行有i个数，*i∈N），从左至右第i行第j个数记为(),i ja（i，*j∈N且j i≤），则()21,20a=（）．A．23132⨯B．21232⨯C．23032⨯D．21132⨯10．已知函数()()sinf x xωϕ=+，其中0ω>，0ϕπ<<，()4f x fπ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，且()f x在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上恰有两个零点，则ω的取值范围是（）A．()6,10B．()6,8C．()8,10D．()6,1211．正方体1111ABCD A B C D-中，若12CM MC=，P在底面ABCD内运动，且满足1DP CPD P MP=，则点P的轨迹为（）A．椭圆的一部分B．线段C．抛物线的一部分D．圆弧12．己知函数()212ln xf xx-=的定义域为10,e⎛⎤⎥⎝⎦，若对任意的1x，210,xe⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()()()1212221212f x f x m x xx x x x-+>-恒成立，则实数m的取值范围为（）A．(],3-∞B．(],4-∞C．(],5-∞D．(],6-∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．）13．在空间直角坐标系O xyz -中，记点()1,2,3A 在xOz 平面内的正投影为点B ，则OB =________．14．已知x ，y 满足22x y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-+的最大值为________．15．在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos cos 2B bC a c=-+，若b =，4a c +=，则a 的值为________．16．已知椭圆2222:1x y a b Γ+=与双曲线2222:1x y m nΩ-=共焦点，1F 、2F 分别为左、右焦点，曲线Γ与Ω在第一象限交点为P ，且离心率之积为1．若1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，则该双曲线的离心率为________． 三、解答题（共70分，22与23题二选一，各10分，其余大题均为12分）17．（本题12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a =，121n n a S +=+，数列{}n b 满足11a b =，点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上，*n ∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 18．（本题12分）某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量()g y 与尺寸()mm x 之间近似满足关系式by c x =⋅（b ，c 为大于0的常数）．按照某指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间（0.302，0.388）内时为优等品现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：（1）现从抽取的6件合格产品中再任选2件，求选中的2件均为优等品的概率； （2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：75.3 24.6 18.3101.4根据所给统计量，求y 关于x 的回归方程． 附：对于样本()(),1,2,,6i i v u i =，其回归直线u b v a =⋅+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()1122211nniii i i i nniii i v v u u v u nvub v v vnv====---==--∑∑∑∑，a u bv =-， 2.7183e ≈．19．（本题12分）如图，在以P 为顶点的圆锥中，母线长为2，底面圆的直径AB 长为2，O 为圆心．C 是圆O 所在平面上一点，且AC 与圆O 相切．连接BC 交圆于点D ，连接PD ，PC ，E 是PC 的中点，连接OE ，ED ．（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ； （2）若二面角B PO D --的大小为23π，求平面PAC 与平面DOE 所成锐二面角的余弦值． 20．（本题12分）已知抛物线24x y =，F 为其焦点，椭圆()222210x y a b a b+=>>，1F ，2F 为其左右焦点，离心率12e =，过F 作x 轴的平行线交椭圆于P ，Q 两点，46PQ =．（1）求椭圆的标准方程；（2）过抛物线上一点A 作切线l 交椭圆于B ，C 两点，设l 与x 轴的交点为D ，BC 的中点为E ，BC 的中垂线交x 轴为K ，KED △，FOD △的面积分别记为1S ，2S ，若121849S S =，且点A 在第一象限．求点A 的坐标．21．（本题12分）已知函数()()1xf x x e =-，()lng x a x =+，其中e 是自然对数的底数．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与曲线()y g x =也相切．求实数a 的值； （2）设()()()h x bf x g x a =-+，求证：当10b e<<时，()h x 恰好有2个零点． （22题与23题为选做题，二选一）22．（本题10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22114x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩（t 为参数）．（1）求曲线C 的普通方程；（2）以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为6πθ=，()ρ∈R ，直线l与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长度AB ． 23．（本题10分）已知函数()1144f x x x =-++，M 为不等式()2f x ≤的解集． （1）求M ；（2）证明：当a ，b M ∈时，a b ≥-．成都七中2021-2021度上期2021届高三入学考试数学试卷（理科）答案1-5：CBCBD 6-10：BBBDA 11-12：DB 13．1- 15．1或3 16．1217．【答案】（Ⅰ）1321n n n a b n -==- （Ⅱ）1133n n n T -+=-【解析】（1）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥， 两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥．又21213a S =+=，所以213a a =．故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列．所以13n n a -=．由点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上，所以12n n b b +-=．则数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列．则()11221n b n n =+-⋅=-． （Ⅱ）因为1213n n n n b n c a --==，所以0121135213333n n n T --=++++． 则12311352133333n nn T -=++++， 两式相减得：21222221133333n n n n T --=++++-11113321121313n nn -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦=+⨯--1121233n nn --⎛⎫=--⎪⎝⎭∴21112113323233n n n n n n T ----+=--=-⋅⋅ 18．【答案】（1）15； （2）0.5y ex =．【解析】（1）由已知，优等品的质量与尺寸的比()0.302,0.388yx∈ 则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，有3件为非优等品，所求概率为232631155C P C ===．（2）对by c x =⋅两边取自然对数得ln ln ln y c b x =+ 令ln i i v x =，ln i i u y =，则u b v a =⋅+，且ln a c = 由所给统计量及最小二乘估计公式有：11222175.324.618.360.271101.424.660.542ni i nii v u nuvb vnv==--⨯÷====-÷-∑∑118.324.6216a u bv ⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭=-==，由ln a c =得c e =，所以y 关于x 的回归方程为0.5y ex =．19．【解析】（1）证明：AB 是底面圆的直径，AC 与圆切于点A ， 所以AC AB ⊥，又PO ⊥底面，则PO AC ⊥，POAB O =，所以：AC ⊥面PAB AC PB ⇒⊥， 又因为，在三角形PAB 中，22PA PB AB PA PB ==⇒⊥ PA AC A =，所以PB ⊥面PAC ，∵PB ⊂面PBC所以：平面PBC ⊥平面PAC ； （2）因为OB PO ⊥，OD PO ⊥， ∴BOD ∠为二面角B PO D --的平面角， ∴23BOD π∠=，如图建立坐标系，易知1OB =，则()0,1,0A -，()0,1,0B ，31,022D ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，23,1,03C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,1P ，311,322E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 由（1）知()0,1,1BP =-为平面PAC 的一个法向量， 设平面ODE 的法向量为(),,n x y z =，311311,0322322OE x y z ⎛⎫=-⇒-+= ⎪ ⎪⎝⎭， 3131,002222OD x y ⎛⎫=-⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭， 解得：()3,3,1n =，26cos 13n BP n BPθ⋅==． 20．【答案】（1）22143x y +=． （2）()2,1 【解析】（1）不妨设P 在第一象限，由题可知26,13P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，∴228113a b +=， 又∵12e =，∴22811123c c +=，可得1c =，椭圆的方程为22143x y +=． （2）设200,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭则切线l 的方程为20024x x y x =-代入椭圆方程得：()4223031204x x x x x +-+-=， 设()11,B x y ，()22,C x y ，()33,E x y ，则()3012320223x x x x x +==+，()22000332032443x x x y x x =-=-+， KE 的方程为()()230022000324323x x y x x x x ⎡⎤⎢⎥+=--++⎢⎥⎣⎦， 即()20200243x y x x x =-++，令0y =得()302083K x x x =+， 在直线l 方程中令0y =得02D x x =，222004124x x FD +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭()()()23000022003428383x x x x DK x x +=-=++，02FD k x =-，02BC x k =，∴1FD BC k k ⋅=-，FD BC ⊥，∴~DEK FOD △△，∴()()22200122220941849163x x S DK S FD x +===+． 化简得()()2200177240x x+-=，∴02x =（02x =-舍去）∴A 的坐标为()1,1，()4223031204x x x x x +-+-=， ()()462420000431234814404x x x x x ⎛⎫∆=-+-=---≥ ⎪⎝⎭，因为2008x ≤≤+21．【解析】（1）由()()1x f x x e =-得()xf x xe '=，所以切线的斜率()1k f e '==．因为切点坐标为()1,0，所以切线的方程为()1y e x =-． 设曲线()y g x =的切点坐标为()11,x y ． 由()ln g x a x =+得()1g x x '=，所以()111g x e x '==，得11x e=． 所以切点坐标为1,1a e ⎛⎫- ⎪⎝⎭．因为对1,1a e⎛⎫- ⎪⎝⎭也在直线()1y e x =-上．所以2a e =-．（2）由()()1ln xh x b x e x =--，得()211x xbx e h x bxe x x-'=-=．令()21xm x bx e =-，0x >，当10b e<<时，()()220x m x bx bx e '=+>， 故()m x 在()0,+∞上单调递增．又因为()110m be =-<，且221111ln ln 1ln 10m b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．所以()0m x =在()0,+∞上有唯一解，从而()0h x '=在()0,+∞上有唯一解． 不妨设为0x ，则011ln x b<<． 当()00,x x ∈时，()()()00m x m x h x x x '=<=，所以()h x 在()00,x 上单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()()()00m x m x h x x x'=>=，所以()h x 在()0,x +∞上单调递增．故0x 是()h x 的唯一极值点．令()ln 1t x x x =-+，则当1x >时，()110t x x'=-<，所以()t x 在()1,+∞上单调递减， 从而当1x >时，()()10t x t <=，即ln 1x x <-，所以1ln 111ln ln 1ln ln b h b e b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111ln 1ln ln ln 0t b b b ⎛⎫⎛⎫=--=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为()()010h x h <=，所以()h x 在()0,x +∞上有唯一零点． 又因为()h x 在()00,x 上有唯一零点，为1， 所以()h x 在()0,+∞上恰好有2个零点．另解：∵02011x x e e b =>>，∴0111x b <<+，再证明11111ln 10b h e b b +⎛⎫⎛⎫+=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．22．【答案】（1）26y x =-（2x ≤-或2x ≥）；（2． 【解析】（1）曲线C 的参数方程为221,14, x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩①②（t 为参数），将①式两边平方，得22212x t t =++③， ③-②，得26x y -=，即26y x =-，因为112x t t t t =+=+≥=，当且仅当1t t =，即1t =±时取“=”，所以2x ≥，即2x ≤-或2x ≥， 所以曲线C 的普通方程为26y x =-（2x ≤-或2x ≥）． （2）把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线C 得：22sin cos 6ρθρθ=-，()cos 2ρθ≥，则曲线C 的极坐标方程为22sin cos 6ρθρθ=-，()cos 2ρθ≥设A ，B 的极坐标分别为1,6A πρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,6B πρ⎛⎫⎪⎝⎭，由226sin cos 6πθρθρθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩优质资料\word 可编辑11 / 1111 得22sin cos 666ππρρ=-，即232240ρρ--=，且3ρ≥因为44324473∆=+⨯⨯=⨯，∴ρ=13ρ+=，满足ρ≥，不妨设1ρ=2ρ=所以12AB ρρ=-=注：没考虑ρ≥要酌情扣分23．【解析】（1）()12,,411111,,4424412,4x x f x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-++=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩所以不等式的解集为[]1,1M =-．（2）要证a b -，只需证a b ≥-，即证()241ab a b -≥-，只需证22442ab a ab b -≥-+，即2242a ab b ≥++， 即证()24a b ≥+，只需证2a b ≥+因为a ，b M ∈，所以2a b +≤，所以所证不等式成立．。