高中数学 第1章 数列 1.1 数列的概念讲义教案 北师大版必修5

§1数列1．1 数列的概念(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系．2．过程与方法按照观察、猜想、发现、归纳和总结的学习过程，进行启发式教学，体会归纳思想．3．情感、态度与价值观通过本节课学习，体会数学源于生活，提高数学学习兴趣．●重点难点重点：了解数列的概念，了解数列是一种特殊函数．根据数列的前n项写出它的一个通项公式．难点：将数列作为一种特殊函数去认识，了解数列与函数之间的关系．(教师用书独具)●教学建议问题/情境设计意图师生活动同学们都知道大自然是美丽的，但如果我说，大自然还是懂数学的，你相信吗？下面，请看图片．师：多媒体课件展示生动丰富的大自然场景：花菜、向日葵、菠萝等，这些事物似乎都与这列数有关：1，1，2，3，5，8，13，21……生：观察图片，投入到教学活动中来．如果细心观察，就会发现自然界的一些看似千差万别的事物，似乎都能在这一列数中找到联系，这是巧合，还是别的什么原因？同学们若感兴趣，想研究它，就需要先来学习我们今天的内容：数列的概念．●教学流程创设问题情境，提出3个问题⇒引导学生解答问题，引出数列的有关概念⇒通过例1及变式训练，使学生进一步认识数列的有关概念⇒通过例2及变式训练，使学生掌握数列的通项公式的求法⇒通过例3及互动探究，让学生掌握利用通项公式确定数列的项的问题⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正(对应学生用书第1页)课标解读1.了解数列、通项公式的概念．2．了解数列是自变量为正整数的一类函数(难点)．3．能根据通项公式确定数列的某一项(重点)．4．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式(重点、难点).数列的有关概念及表示【问题导思】小山想利用电子邮箱发送一个E－mail，但是由于长时间未登录邮箱，从而他忘记了邮箱的密码，只记得密码由3～8这6个数字构成，如：(1)3 4 5 6 7 8；(2)4 6 8 7 3 5；(3)7 6 5 3 8 4.1．这三组数字有什么异同之处？【提示】都是由3～8这6个数字构成，但是排列顺序不同．2．小山把上面3组数当成密码来试验时，都没有打开邮箱，他说：“仅仅知道数字及个数还不能确定密码”．那么，找到密码还需要确定什么？【提示】 数字的排列顺序． 1．数列的有关概念数列 按一定次序排列的一列数叫作数列 项 数列中的每一个数叫作这个数列的项首项 数列的第1项常称为首项 通项数列中的第n 项a n ，叫数列的通项2.数列的表示①一般形式：a 1，a 2，a 3，…，a n ，…； ②字母表示：上面数列也记为{a n }．数列的分类【问题导思】当n 分别取1，2，3，4，…时，sin n π2的值排成一个数列：1，0，－1，0…；当n分别取1，2，3，4，5时，sinn π2的值排成一个数列：1，0，－1，0，1.这两个数列是同一数列吗？若不是同一数列，这两个数列有何区别与联系？【提示】 不是同一数列．第一个数列有无穷多项，第二个数列共有5项，这5项恰好是第一个数列的前5项．按数列的项数，数列分为有穷数列与无穷数列． (1)项数有限的数列叫作有穷数列； (2)项数无限的数列叫作无穷数列．数列的通项公式【问题导思】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．如图：图1－1－1上图表示的数可构成数列1，4，9，16，…，这个数列的第n 项a n 与n 之间能否用一个函数式表示？怎样表示？【提示】 可以．函数式可表示为a n ＝n 2.1．如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n ＝f (n )，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式．2．数列可以看作定义域为正整数集N ＋(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．(对应学生用书第2页)数列的有关概念下列说法哪些是正确的？哪些是错误的？并说明理由．(1){0，1，2，3，4}是有穷数列； (2)所有自然数能构成数列； (3)同一个数在数列中可能重复出现； (4)数列1，2，3，4，…，2n 是无穷数列．【思路探究】 紧扣数列的有关概念，验证每一个说法是否符合条件． 【自主解答】 (1)错误．{0，1，2，3，4}是集合，不是数列． (2)正确．如将所有自然数按从小到大的顺序排列． (3)正确．数列中的数可以重复出现．(4)错误．数列1，2，3，4，…，2n ，共有2n 项，是有穷数列．1．数列{a n }表示数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，不是表示一个集合，与集合表示有本质的区别．2．从数列的定义可以看出，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；在定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现．下列说法正确的是( )A ．数列3，5，7与数列7，5，3是相同数列B ．数列2，3，4，4可以记为{2，3，4}C ．数列1，12，13，…，1n ，…可以记为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1nD ．数列{2n ＋1}的第5项是10【解析】 数列是有序的，选项A 错；数列与数集是两个不同的概念，选项B 错；对于D ，当n ＝5时，a 5＝2×5＋1＝11，选项D 错，故选C.【答案】 C由数列的前n 项写出数列的一个通项公式写出下列数列的一个通项公式． (1)1，－3，5，－7，9，…； (2)3，3，15，21，33，…； (3)22－12，32－13，42－14，52－15，…；(4)0.9，0.99，0.999，0.9999，…； (5)32，1，710，917，…. 【思路探究】 分析各项a n 与对应序号n 之间的关系，从中发现规律，得到一个合适的函数解析式，再验证是否正确即可．【自主解答】 (1)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…是连续的正奇数，考虑(－1)n ＋1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)．(2)数列可化为3，9，15，21，27，…， 即3×1， 3×3，3×5，3×7，3×9，…，每个根号里面可分解成两个数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n －1，故原数列的一个通项公式为a n ＝3（2n －1）＝6n －3.(3)这个数列的前4项的分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去1，所以它的一个通项公式是：a n ＝（n ＋1）2－1n ＋1.(4)原数列可变形为：1－110，1－1102，1－1103，1－1104，…，故所给数列的一个通项为a n ＝1－110n . (5)将数列统一为32，55，710，917，…对于分子3，5，7，9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1；对于分母2，5，10，17，…联想到数列1，4，9，16，…即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，∴可得原数列的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1.1．本题通过观察各项与项数的关系，再进行比较，归纳出结论，主要从以下几个方面来考虑：(1)符号用(－1)n或(－1)n ＋1来调节．(2)分式形式的数列，分子、分母分别找通项，要充分借助分子、分母的关系．(3)将数列的各项分解成若干个基本数列后再进行分析归纳．2．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，可以用添项、还原、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式． (1)23，415，635，863，…；(2)12，2，92，8，252，…； (3)2，22，222，2 222，….【解】 (1)分子均为偶数，分母分别为1×3，3×5，5×7，7×9是相邻两个奇数的乘积，故a n ＝2n（2n －1）（2n ＋1）.(2)将分母统一成2，在数列12，42，92，162，252，…中分母为2，分子为n 2，故a n ＝n 22.(3)由9，99，999，9 999，…的通项公式a n ＝10n－1可知，2，22，222，2 222，…的通项公式为a n ＝29(10n－1)．利用通项公式确定数列的项已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n . (1)写出数列的第4项和第6项；(2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由． 【思路探究】 (1)将n ＝4，6代入a n 即可．(2)若某个数是数列的某一项，则在通项中必存在一个正整数n 与其对应，否则就不是数列中的项．【自主解答】 (1)∵a n ＝3n 2－28n ， ∴a 4＝3×42－28×4＝－64，a 6＝3×62－28×6＝－60.(2)令3n 2－28n ＝－49，即3n 2－28n ＋49＝0， 解得n ＝7，或n ＝73(舍)．∴－49是该数列的第7项， 即a 7＝－49.令3n 2－28n ＝68，即3n 2－28n －68＝0， 解得n ＝－2，或n ＝343.∵－2∉N ＋，343∉N ＋，∴68不是该数列的项．1．数列的通项公式给出了第n 项a n 与它的位置序号n 之间的关系，只要用序号代替公式中的n ，就可以求出数列的相应项．2．判断某数值是否为该数列的项，需假定它是数列中的项去列方程．若方程的解为正整数则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．若本例的条件不变，(1)试写出该数列的第3项和第8项；(2)问20是不是该数列的一项，若是，应是第几项？【解】 (1)∵a n ＝3n 2－28n ， ∴a 3＝3×32－28×3＝－57，a 8＝3×82－28×8＝－32.(2)设3n 2－28n ＝20，解得n ＝10或n ＝－23(舍去)．∵n ∈N ＋，∴20是该数列的第10项．(对应学生用书第3页)归纳推理在求数列通项公式中的应用(12分)根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和点数，并写出由图中点数依次组成的数列的通项公式．(1) (3) (6) 图1－1－2【思路点拨】 观察图形的构成规律，寻找点数构成的数列中a 1与a 2，a 2与a 3的关系，便可发现a 4，a 5，…，a n 的取值规律及图形的构成特征．【规范解答】 观察前3个图形和点数，易知(10) (15)4分记图形中的点数构成的数列为{a n }．观察可知：a 1＝1＝22＝1×22， a 2＝3＝62＝2×32， a 3＝6＝122＝3×42， a 4＝10＝202＝4×52， a 5＝15＝302＝5×62.9分∴数列{a n }的通项公式为a n ＝n （n ＋1）2.12分本题先观察数列前n 项的共同特点，再概括出数列的通项公式．这种推理就是归纳推理．归纳推理就是由个别事实概括出一般结论的推理，归纳推理是一种重要的推理方法，在数学领域有着广泛的应用．1．对通项公式的理解(1)数列的通项公式的表示形式不一定是唯一的，如数列：1，0，－1，0，1，0，－1，0，…，通项公式可以是a n ＝sinn π2，也可以是a n ＝cosn －12π(n ∈N ＋)．(2)并不是所有数列都能写出通项公式．如由π的精确度的数值排列：3，3.1，3.14，3.141，3.1415，…就写不出通项公式．2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴涵着“从特殊到一般”的思想．3．数列是一类特殊函数，因此用函数观点解决数列问题是一种常用的方法，但要注意其定义域为正整数集或其有限子集．(对应学生用书第4页)1．下列说法中，正确的是( )A ．数列1，3，5，7可表示为{}1，3，5，7B ．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列C ．数列{n ＋1n }的第k 项为1＋1kD ．数列0，2，4，6，8，…可记为{2n }【解析】 由数列定义知A 错，B 中排列次序不同，D 中n ∈N . 【答案】 C2．(2013·宝鸡高二检测)数列13，24，35，46，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝1n －1B ．a n ＝n 2n －1C ．a n ＝n n ＋2 D ．a n ＝n2n ＋1【解析】 观察前4项的特点易知a n ＝nn ＋2.【答案】 C3．(原创题)在数列{n 2－1n }中，第7项是________．【解析】 令n ＝7，则n 2－1n ＝72－17＝487.【答案】4874．已知数列{a n }，a n ＝kn －5，且a 8＝1，求a 16. 【解】 由a 8＝1，得8k －5＝1，解得k ＝34，∴a n ＝34n －5，∴a 16＝34×16－5＝7.(对应学生用书第79页)一、选择题1．下列解析式中不是数列1，－1，1，－1，1，…的通项公式的是( ) A ．a n ＝(－1)nB ．a n ＝(－1)n ＋1C ．a n ＝(－1)n －1 D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n 为奇数，－1 n 为偶数.【解析】 A 中当n ＝1时，a 1＝－1，n ＝2时，a 2＝1，显然不是数列1，－1，1，－1，1，…的通项公式．【答案】 A2．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋2，则其第3、4项分别是( ) A ．11，3 B ．11，15 C ．11，18 D ．13，18【解析】 a 3＝32＋2＝11，a 4＝42＋2＝18. 【答案】 C3．已知数列1，3，5，7，…，2n －1，…则35是它的( ) A ．第22项 B ．第23项 C ．第24项 D ．第28项【解析】 令2n －1＝35，解得n ＝23. 【答案】 B4．下列四个数中，是数列{n (n ＋1)}中的一项的是( ) A ．380 B ．39 C ．32 D ．23【解析】 分别令n (n ＋1)＝380，39，32，23解出n ∈N ＋即可，验证知n ＝19时，19×20＝380.【答案】 A5．(2013·德州高二检测)数列－13×5，25×7，－37×9，49×11，…的通项公式a n 为( )A ．(－1)n ＋11（2n ＋1）（2n ＋3）B ．(－1)n ＋1n（2n ＋1）（2n ＋3）C ．(－1)n1（2n ＋1）（2n ＋3）D ．(－1)nn（2n ＋1）（2n ＋3）【解析】 观察式子的分子为1，2，3，4，…，n ，…，分母为3×5，5×7，7×9，…，(2n ＋1)(2n ＋3)，…，而且正负间隔，故通项公式a n ＝(－1)nn（2n ＋1）（2n ＋3）.【答案】 D 二、填空题6．数列35，12，511，37，717，…的一个通项公式是________．【解析】 数列35，12，511，37，717，…即数列35，48，511，614，717，…，故a n ＝n ＋23n ＋2.【答案】 a n ＝n ＋23n ＋27．已知数列{a n }的通项公式a n ＝－n 2＋7n ＋9，则其第3、4项分别是________、________． 【解析】 a 3＝－32＋7×3＋9＝21，a 4＝－42＋7×4＋9＝21. 【答案】 21 218．已知曲线y ＝x 2＋1，点(n ，a n )(n ∈N ＋)位于该曲线上，则a 10＝________． 【解析】 ∵点(n ，a n )位于曲线y ＝x 2＋1上，∴a n ＝n 2＋1，故a 10＝102＋1＝101. 【答案】 101 三、解答题9．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． (1)－1，7，－13，19，… (2)0.8，0.88，0.888，… (3)12，14，－58，1316，－2932，6164，… 【解】 (1)符号可通过(－1)n表示，后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6， 故通项公式为a n ＝(－1)n·(6n －5)．(2)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴a n ＝89(1－110n )．(3)各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出第2，3，4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32.原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴a n ＝(－1)n·2n－32n .10．已知数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式是项数n 的一次函数． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)88是否是数列{a n }中的项？【解】 (1)设a n ＝an ＋b .∴a 1＝a ＋b ＝2，①a 17＝17a ＋b ＝66.②②－①，得16a ＝64，∴a ＝4，b ＝－2. ∴a n ＝4n －2(n ∈N ＋)．(2)令4n －2＝88⇒4n ＝90，n ＝452∉N ＋，∴88不是数列{a n }中的项．图1－1－311．如图1－1－3所示，有n (n ≥2)行n ＋1列的士兵方阵：(1)写出一个数列，用它表示当n 分别为2，3，4，5，6，…时方阵中的士兵人数．(2)说出(1)中数列的第5，6项，用a 5，a 6表示； (3)若把(1)中的数列记为{a n }，求该数列的通项公式a n ； (4)求a 10，并说明a 10所表示的实际意义．【解】 (1)当n ＝2时，表示士兵的人数为2行3列，人数为6；当n ＝3时，表示3行4列，人数为12，依此类推，故所求数列为6，12，20，30，42，….(2)方阵的行数比数列的序号大1，因此第5项表示的是6行7列，第6项表示7行8列，故a 5＝42，a 6＝56.(3)根据对数列的前几项的观察、归纳，猜想数列的通项公式． 前4项分别为：6＝2×3，12＝3×4，20＝4×5，30＝5×6 因此a n ＝(n ＋1)(n ＋2)．(4)由(3)知a 10＝11×12＝132，a 10表示11行12列的士兵方阵中士兵的人数．(教师用书独具)数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－21n2(n ∈N ＋)．(1)0和1是不是数列{a n }中的项？如果是，那么是第几项？(2)数列{a n }中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？【思路探究】 若某个数是数列的某一项，则在通项中必存在一个正整数n 与其对应，否则就不是数列中的项．【自主解答】 (1)若0是{a n }中的第n 项，则n 2－21n2＝0，∵n ∈N ＋，∴n ＝21.∴0是{a n }中的第21项． 若1是{a n }中的第n 项，则n 2－21n2＝1，∴n 2－21n ＝2，即n 2－21n －2＝0. ∵方程n 2－21n －2＝0不存在正整数解， ∴1不是{a n }中的项．(2)假设{a n }中存在第m 项与第m ＋1项相等，即a m ＝a m ＋1，则解得m ＝10. ∴数列{a n }中存在连续的两项第10项与第11项相等．1．本题易忽视n ∈N ＋，导致解方程n 2－21n －2＝0出错．2．数列通项公式反映了一个项与项数的函数关系，通项公式的作用： (1)求数列中任意一项；(2)检验某数是否是该数列中的一项．在上述例题中，当n 为何值时，a n <0? 【解】 由a n <0，得0<n <21， 又∵n ∈N ＋，∴当n ＝1，2，3，…，20时，a n <0.1．2 数列的函数特性(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能了解递增数列、递减数列、常数列的概念．掌握判断数列增减性的方法．2．过程与方法通过画数列图像，观察图像的升降趋势的学习过程使学生体会数列的增减性，学习过程采用启发、引导式教学．3．情感、态度与价值观通过本节课的学习培养学生数形结合思想，函数思想的应用．●重点难点判定数列的增减性．(教师用书独具)●教学建议针对判断数列的增减性问题可以从以下两种方法着手解决：(1)图像法：利用数列的图像的升、降趋势进行判断．(2)定义法：根据相邻两项a n与a n＋1的大小关系来判断．判断这两项的大小可采用作差或作商的方法．●教学流程根据本节知识，提出问题：从函数的单调性上观察数列特点⇒引导学生回答问题引出递增、递减、常数列，讲解各自特点⇒通过例1及变式训练，使学生掌握数列的图像及应用⇒通过例2及变式训练，让学生掌握数列增减性的判断⇒通过例3及变式训练，使学生会求数列的最大（小）项问题⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(对应学生用书第4页)课标解读1.了解数列的几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)(重点)．2．了解递增数列、递减数列、常数列的概念．3．掌握判断数列增减性的方法(难点).数列的表示法表示一个数列我们可以用图像、列表、通项公式．数列增减性【问题导思】观察以下几个数列：①1，2，3，4，…；②－2，－4，－6，－8，…；③1，1，1，1，….从函数的单调性上考查，以上三个数列有何特点？【提示】①是递增的数列②是递减的数列③是常数列名称定义表达式图像特点递增数列从第2项起，每一项都大于它前面的一项a n＋1＞a n上升递减数列从第2项起，每一项都小于它前面的一项a n＋1＜a n下降常数列各项都相等a n＋1＝a n不升不降(对应学生用书第5页)数列的图像及应用已知数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －9，画出它的图像，并判断增减性．【思路探究】 借助函数y ＝22x －9的图像作出数列{a n }的图像，然后根据图像的升降趋势判断单调性．【自主解答】 图像如图所示，该数列在{1，2，3，4}上是递减的，在{5，6，…}上也是递减的．1．解答本题的关键是借助函数y ＝1x －92的图像．2．若数列的通项公式a n ＝f (n )所对应的函数y ＝f (x )是基本初等函数，则可利用对应函数的图像及性质，研究数列的性质．把数列{n 2－9n }用列表法表示出来，在直角坐标系中画出它的图像，并根据图像指出它的增减性．【解】 列表法表示为： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 … 项－8－14－18－20－20－18－14－8…记a n ＝n 2－qn ，数列图像如图所示：由图像直观地看出它在{1，2，3，4}上是递减的，在{5，6，7，8，…}上是递增的．数列增减性的判断已知数列{a n }的通项公式a n ＝nn 2＋1，试判断该数列的增减性．【思路探究】 可用作差法或作商法判断数列的增减性．【自主解答】 a n ＋1－a n ＝n ＋1（n ＋1）2＋1－nn 2＋1＝1－n 2－n[（n ＋1）2＋1]（n 2＋1）. 因为n ∈N ＋，所以1－n 2－n <0， 所以a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n .故该数列为递减数列．1．本题中1－n 2－n 的符号判断是关键，不要忽视n ∈N ＋这一条件．2．应用函数单调性的判断方法来判断数列的单调性，常用的方法有：作差法，将a n ＋1－a n 与0进行比较；作商法，将a n ＋1a n与1进行比较(在作商时，要注意a n <0还是 a n >0)．判断数列1，23，35，47，…，n2n －1，…的增减性．【解】 设a n ＝n2n －1. ∵a n ＋1－a n ＝n ＋12n ＋1－n 2n －1＝－1（2n ＋1）（2n －1）＜0，∴a n ＋1＜a n ，∴{a n }是递减数列．求数列的最大(小)项已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)(1011)n(n ∈N ＋)，试问数列{a n }有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由．【思路探究】 假设存在最大项→作差a n ＋1－a n →讨论差式的符号→确定最大项 【自主解答】 法一 假设数列{a n }中存在最大项． ∵a n ＋1－a n＝(n ＋2)(1011)n ＋1－(n ＋1)(1011)n ＝(1011)n ·9－n11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 故a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10>a 11>a 12…，所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，且a 9＝a 10＝1010119.法二 假设数列{a n }中有最大项，并设第k 项为最大项，则⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥a k －1a k ≥a k ＋1对任意的k ∈N ＋且k≥2都成立．即⎩⎪⎨⎪⎧（k ＋1）（1011）k≥k （1011）k －1，（k ＋1）（1011）k≥（k ＋2）（1011）k ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1011（k ＋1）≥k ，k ＋1≥1011（k ＋2），解得9≤k ≤10. 又k ∈N ＋，∴数列{a n }中存在的最大项是第9项和第10项， 且a 9＝a 10＝1010119.1．解答探索性题目的方法：首先假设存在，然后在此前提下，利用已知条件进行推理，若推出合理的结论，则说明存在；若推出矛盾的结论，则说明不存在．2．求数列的最大(小)项的两种方法：(1)利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项． (2)设a k 是最大项，则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥a k －1a k ≥a k ＋1对任意的k ∈N ＋且k ≥2都成立，解不等式组即可．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －122n －7，求数列{a n }的最大项和最小项．【解】 ∵a n ＋1－a n ＝4n －82n －5－4n －122n －7＝（4n －8）（2n －7）－（4n －12）（2n －5）（2n －5）（2n －7）＝（8n 2－44n ＋56）－（8n 2－44n ＋60）（2n －5）（2n －7）＝－4（2n －5）（2n －7）＝－1（n －52）（n －72）当n ≤2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ； 当n ＝3时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ≥4时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 又当n ≤3时，a n <2；当n ≥4时，a n >2. ∴a 4>a 5>…>a n >…>2>a 1>a 2>a 3. 故a 3最小为0，a 4最大为4.(对应学生用书第6页)忽视n 的范围致误设数列{a n }的通项公式为：a n ＝n 2＋kn (n ∈N ＋)，若数列{a n }是单调递增数列，求实数k 的取值范围 .【错解】 ∵a n ＝n 2＋kn ，其图像对称轴方程为n ＝－k2，又数列{a n }是单调递增数列， ∴－k2≤1，得k ≥－2.故实数k 的取值范围为[－2，＋∞)．【错因分析】 导致上述错解的原因是仅考虑了数列{a n }为单调递增数列时的一种情形，而没考虑到n ∈N ＋，n 的值是离散的．【防范措施】 数列是特殊函数，一定要注意其定义域是N ＋(或它的有限子集)． 【正解】 法一 ∵数列{a n }是单调递增数列， ∴a n ＋1－a n >0(n ∈N ＋)恒成立． 又∵a n ＝n 2＋kn (n ∈N ＋)，∴(n ＋1)2＋k (n ＋1)－(n 2＋kn )>0恒成立． 即2n ＋1＋k >0.∴k >－(2n ＋1)(n ∈N ＋)恒成立．而n ∈N ＋时，－(2n ＋1)的最大值为－3(n ＝1时)， ∴k >－3.即k 的取值范围为(－3，＋∞)．法二 结合二次函数y ＝x 2＋kx 的图像，要使{a n }是递增数列，只要a 1<a 2，即可， 即1＋k <4＋2k ，得k >－3， 所以k 的取值范围为(－3，＋∞)．1．数列的三种表示方法各有优缺点：(1)用通项公式表示数列，简洁明了，便于计算．公式法是常用的数学方法．(2)列表法的优点是不经过计算，就可以直接看出项数与项的对应关系．(3)图像能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项变化的趋势．2．判断一个数列的增减性，可以借助于图像的升、降趋势进行判断，也可以利用递增数列、递减数列、常数列的定义进行判断，即通过判断一个数列的任意相邻两项之间的大小关系来确定数列的增减性．(对应学生用书第7页)1．已知数列{a n }的通项公式a n ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n(a ＜0)，则该数列是( )A ．递减数列B ．递增数列C ．常数列D ．以上都不是【解析】 ∵a n ＋1－a n ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝ －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＞0，即a n ＋1＞a n ，∴该数列是递增数列．【答案】 B2．递减数列{a n }中，a n ＝kn (k 为常数)，则实数k 的取值范围是( ) A ．R B ．(0，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(－∞，0]【解析】 a n ＋1－a n ＝k (n ＋1)－kn ＝k ＜0. 【答案】 C3．若数列{a n }的通项公式为a n ＝k3n (k >0，且k 为常数)，则该数列是________(填“递增”、“递减”)数列．【解析】 a n ＋1a n ＝k 3n ＋1·3n k ＝13<1.∵k >0，∴a n >0，∴a n ＋1<a n ，∴{a n }是递减数列． 【答案】 递减4．写出数列1，24，37，410，513，…的通项公式，并判断其增减性．【解】 通项公式为a n ＝n 3n －2. ∵a n ＋1－a n ＝n ＋13（n ＋1）－2－n 3n －2＝－2（3n ＋1）（3n －2）<0，∴a n ＋1<a n ，∴{a n }是递减数列．(对应学生用书第81页)一、选择题1．已知数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．以上都不对【解析】 ∵a n ＋1＝a n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝2＞0， ∴a n ＋1＞a n ，故数列{a n }为递增数列． 【答案】 A2．已知数列{a n }满足a 1>0，且a n ＋1＝nn ＋1a n ，则数列{a n }的最大项是( ) A ．a 1 B ．a 9 C ．a 10 D ．不存在 【解析】 ∵a 1>0且a n ＋1＝nn ＋1a n ，∴a n >0，a n ＋1a n ＝nn ＋1<1， ∴a n ＋1<a n ，∴此数列为递减数列，故最大项为a 1. 【答案】 A3．(2013·西安高二检测)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2nn ＋1，那么这个数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列【解析】 a n ＋1－a n ＝2（n ＋1）n ＋2－2n n ＋1＝2（n ＋1）2－2n 2－4n （n ＋1）（n ＋2）＝2（n ＋1）（n ＋2）＞0，∴{a n }是递增数列．【答案】 A4．已知a n ＝－2n 2＋9n ＋3，则数列{a n }中的最大项为( ) A ．a 1＝10 B ．a 2＝13 C ．a 3＝12 D ．以上均不正确【解析】 a n ＝－2(n －94)2＋1058，由于n ∈N ＋，∴当n ＝2时，a 2＝13最大． 【答案】 B5．(2013·沈阳高二检测)函数y ＝f (x )的图像在下列图中，并且对任意a 1∈(0，1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }满足a n ＋1＞a n (n ∈N ＋)，则该函数的图像可能是( )【解析】 由a n ＋1＝f (a n )及a n ＋1＞a n 可知，f (a n )＞a n ，即图像上每一点的纵坐标大于其横坐标，∴函数y ＝f (x )的图像应在直线y ＝x 上方，故选A.【答案】 A 二、填空题6．(2013·黄冈高二检测)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n(n ∈N ＋)，则a 2 012＝________．【解析】 ∵a 1＝2由a n ＋1＝1＋a n 1－a n 得a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，∴{a n }为周期为4的数列，∴a 2 012＝a 4×503＝a 4＝13.【答案】 137．已知数列{a n }，a n ＝2n 2－10n ＋3，它的最小项是________．【解析】 a n ＝2n 2－10n ＋3＝2(n －52)2－192.故当n ＝2或3时，a n 最小．【答案】 2或3项8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －102，则数列从第________项开始值大于零．【解析】 令4n －102＞0得n ＞2512，∴数列{a n }从第26项开始大于零． 【答案】 26 三、解答题9．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋10n ＋11，试作出其图像，并判断数列的增减性．【解】 列表：n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … a n20273235363532272011…图像如图所示：由数列的图像知，当1≤n ≤5时数列递增；当n ≥5时数列递减． 10．已知函数f (x )＝x －1x，设a n ＝f (n )(n ∈N ＋), (1)求证：a n <1；(2){a n }是递增数列还是递减数列？为什么？ 【解】 (1)证明 a n ＝f (n )＝n －1n ＝1－1n<1. (2)∵a n ＋1－a n ＝（n ＋1）－1n ＋1－n －1n ＝(1－1n ＋1)－(1－1n )＝1n （n ＋1）>0，∴a n ＋1>a n ， ∴{a n }是递增数列．11．(2013·广州高二检测)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． 【解】 (1)由n 2－5n ＋4＜0，解得1＜n ＜4. ∵n ∈N ＋，∴n ＝2，3. ∴数列中有两项是负数．(2)法一 ∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94，可知对称轴方程为n ＝52.又因n ∈N ＋，故n ＝2或3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝22－5×2＋4＝32－5×3＋4＝－2.法二 设第n 项最小，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1a n ≤a n －1，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2－5n ＋4≤（n ＋1）2－5（n ＋1）＋4，n 2－5n ＋4≤（n －1）2－5（n －1）＋4. 解这个不等式组得2≤n ≤3， ∴n ＝2，3，∴a 2＝a 3且最小，∴a 2＝a 3＝22－5×2＋4＝32－5×3＋4＝－2.(教师用书独具)已知函数f (x )＝2x －2－x，数列{a n }满足f (log 2a n )＝－2n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明数列{a n }是递减数列．【思路探究】 首先建立关于a n 的一元二次方程求解，再证明a n >a n ＋1即可证明数列{a n }是递减数列．【自主解答】 (1)∵f (x )＝2x－2－x，f (log 2a n )＝－2n ， ∴2log 2a n －2－log 2a n ＝－2n ， ∴a n －1a n＝－2n ，∴a n 2＋2na n －1＝0，解得a n ＝－n ±n 2＋1. ∵a n >0，∴a n ＝n 2＋1－n ，n ∈N ＋.(2)a n ＋1a n ＝（n ＋1）2＋1－（n ＋1）n 2＋1－n＝n 2＋1＋n（n ＋1）2＋1＋（n ＋1）<1. ∵a n >0，∴a n ＋1<a n ， ∴数列{a n }是递减数列．本题是函数、方程与数列的典型结合与运用，要比较a n 与a n ＋1的大小，可以用作差法或作商法，即若a n ＋1－a n >0，则a n ＋1>a n ，可以判断数列{a n }是递增数列；当a n >0时，若a n ＋1a n>1，则a n ＋1>a n ，也能判断数列{a n }是递增数列．对于递减数列，同理可以给出判断．若数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n 2＋13n (n ∈N ＋)，画出它在x 轴上方的图像，并根据图像求出a n 的最大值，并在同一坐标系中画出函数f (x )＝－2x 2＋13x 的图像，根据图像求出f (x )的最大值．若用函数来求a n ＝－2n 2＋13n 的最大值，应如何处理？【解】 由－2n 2＋13n >0，可得0<n <132.又因为n ∈N ＋，所以n ＝1，2，3，4，5，6，分别代入通项公式，可得a 1＝11，a 2＝18，a 3＝21，a 4＝20，a 5＝15，a 6＝6，图像如图所示，为6个点．最大值为21.函数f (x )＝－2x 2＋13x 的图像如图所示(图中曲线)．f (x )＝－2x 2＋13x ＝－2(x －134)2＋1698，所以当x ＝134时，f (x )max ＝1698. 用函数来求{a n }的最大值时， 因为3<134<4，且314离3较近，所以最大值为a 3＝21.§2等差数列2．1 等差数列 第1课时 等差数列(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能掌握等差数列通项公式及推导，掌握判断等差数列的方法． 2．过程与方法通过对等差数列图像的应用进一步渗透数形结合思想，通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想．3．情感、态度与价值观通过对等差数列的研究，使学生明白等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辨证唯物主义观点．●重点难点重点：等差数列的判定．难点：求等差数列的通项公式及其应用．(教师用书独具)●教学建议问题：数列：1，3，( )，7，9，…2，5，8，( )，14，…－2，3，8，( )，18，…师：先根据数列的特点填空，再思考一下这些数列的共同特点？生：后一项减前一项都等于常数．师：对这样的数列，如何表示相邻两项的关系(a n＋1与a n)?生：a n＋1－a n＝d(d为常数)．师：这样的数列就是我们这节课要讲的等差数列．(板书课题)●教学流程创设情境，提出了2个问题⇒引导学生根据问题引入等差数列⇒通过例1及互动探究，使学生掌握等差数列的判定⇒通过例2及变式训练，使学生掌握如何求通项公式⇒通过例3及变式训练，使学生掌握等差数列通项公式的应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(对应学生用书第7页)课标解读1.理解等差数列的概念(重点)．2．掌握等差数列的判断方法(重点)．3．掌握等差数列的通项公式及其应用(重点、难点).等差数列的概念【问题导思】对于数列2，4，6，8，…该数列相邻两项的差(后项减去前项)有什么特点？怎样表示相邻两项间的关系？【提示】等于同一常数．a n＋1－a n＝2或a n－a n－1＝2(n≥2)．文字语言从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这样的数列就叫做等差数列．称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示.符号语言若a n－a n－1＝d(n≥2)，则数列{a n}为等差数列.等差数列的通项公式【问题导思】你能观察出数列2，4，6，8，…的通项公式吗？能否给予证明？【提示】a n＝2n，证明如下：由a n＋1－a n＝2，。

数列的概念教案教学目标1．通过教学使学生理解数列的概念，了解数列的表示法，能够根据通项公式写出数列的项．2．通过数列定义的归纳概括，初步培养学生的观察、抽象概括能力；渗透函数思想．3．通过有关数列实际应用的介绍，激发学生学习研究数列的积极性．教学重点，难点教学重点是数列的定义的归纳与认识；教学难点是数列与函数的联系与区别．教学用具：电脑，课件（媒体资料），投影仪，幻灯片教学方法：讲授法为主教学过程一．揭示课题今天开始我们研究一个新课题．先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要但求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是这样的一列数（板书）象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列．（板书）第三章数列（一）数列的概念二．讲解新课要研究数列先要知道何为数列，即先要给数列下定义，为帮助同学概括出数列的定义，再给出几列数：（幻灯片）①自然数排成一列数：②3个1排成一列：③无数个1排成一列：④的不足近似值，分别近似到排列起来：⑤正整数的倒数排成一列数：⑥函数当依次取时得到一列数：⑦函数当依次取时得到一列数：⑧请学生观察8列数，说明每列数就是一个数列，数列中的每个数都有自己的特定的位置，这样数列就是按一定顺序排成的一列数．（板书）1．数列的定义：按一定次序排成的一列数叫做数列．为表述方便给出几个名称：项，项数，首项（以幻灯片的形式给出）．以上述八个数列为例，让学生练习指出某一个数列的首项是多少，第二项是多少，指出某一个数列的一些项的项数．由此可以看出，给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，……，每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定．所以数列中的每一项与其项数有着对应关系，这与我们学过的函数有密切关系．（板书）2．数列与函数的关系数列可以看作特殊的函数，项数是其自变量，项是项数所对应的函数值，数列的定义域是正整数集，或是正整数集的有限子集．于是我们研究数列就可借用函数的研究方法，用函数的观点看待数列．遇到数学概念不单要下定义，还要给其数学表示，以便研究与交流，下面探讨数列的表示法．（板书）3．数列的表示法数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用表示第一项，用表示第一项，……，用表示第项，依次写出成为（板书）（1）列举法．（如幻灯片上的例子）简记为．一个函数的直观形式是其图象，我们也可用图形表示一个数列，把它称作图示法．（板书）（2）图示法启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．有些函数可以用解析式来表示，解析式反映了一个函数的函数值与自变量之间的数量关系，类似地有一些数列的项能用其项数的函数式表示出来，即，这个函数式叫做数列的通项公式．（板书）（3）通项公式法如数列的通项公式为；的通项公式为；的通项公式为；数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．例如，数列的通项公式，则．值得注意的是，正如一个函数未必能用解析式表示一样，不是所有的数列都有通项公式，即便有通项公式，通项公式也未必唯一．除了以上三种表示法，某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．（板书）（4）递推公式法如前面所举的钢管的例子，第层钢管数与第层钢管数的关系是，再给定，便可依次求出各项．再如数列中，，这个数列就是．像这样，如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系用一个公式来表示，这个公式叫做这个数列的递推公式．递推公式是数列所特有的表示法，它包含两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不可．可由学生举例，以检验学生是否理解．三．小结1．数列的概念2．数列的四种表示四．作业略。

北师大版高中必修5第一章数列课程设计一、背景数列是数学中一种基本的概念，也是高中数学必修的一个章节。

数列的概念不仅在数学中有广泛的应用，也涉及到某些实际问题的策略和方法。

因此，数列的学习对高中数学的日常课程以及未来的学习和发展有重要的影响。

二、课程设计目标通过本课程，学生应该能够达到以下目标：•掌握数列的概念和性质；•熟练进行数列的公式推导及题目求解；•对数列的应用能够有一定的理解和掌握。

三、教学内容3.1 数列的概念1.数列概念1.等差数列的概念2.等比数列的概念3.斐波那契数列的概念2.数列的性质1.数列有界性及数列极限的概念2.数列的递推公式及通项公式3.2 数列的基本操作1.求和公式的推导及实际应用2.数列基本操作题目讲解及习题完成3.3 数列的应用1.数列在实际问题中的应用2.数列应用题目讲解及习题完成四、教学步骤4.1 第一课时4.1.1 导入数列是数学中的一个基础概念，本章的教学将介绍所涉及到的数列类型及数列的基本性质，让同学们对此有一个清晰的认识。

4.1.2 引入本节课将主要讲解等差数列的概念及性质，包括差、首项、公差等。

学生应该学会如何求出等差数列的通项公式及其与和式的关系。

4.1.3 操作1.老师首先讲解等差数列的概念及性质。

2.引导学生完成一系列简单的等差数列题目，以掌握其推导和应用方法。

3.最后让学生独立完成几道综合性的等差数列应用题目。

4.2 第二课时4.2.1 导入本节课将主要讲解等比数列的概念及性质，包括比、首项、公比等。

学生应该学会如何求出等比数列的通项公式及其与和式的关系。

4.2.2 引入本章主要讲解斐波那契数列的概念及其应用，引导学生从一个简单的问题入手，渐渐深入到一系列的高层应用。

4.2.3 操作1.老师首先讲解等比数列的概念及性质。

2.引导学生完成一系列简单的等比数列题目，以掌握其推导和应用方法。

3.最后让学生独立完成几道综合性的等比数列应用题目。

4.3 第三课时4.3.1 导入数列学习的最后一个环节是数列的应用，是这个学习过程的重点，将深入介绍数列在实际问题中的应用。

数列概念学案学习目标：了解数列的概念和数列几种常见表示方法（列表、图像、通项公式）并能根据一定条件求数列的通项公式。

学习重点：数列概念学习难点：根据条件求数列的通项公式 学习过程：一、课前准备：阅读P 3—4 二、新课导入：①什么是数列数： ②数列项是： ③按项分类数列分为： 和 ④数列通项公式： 自主测评1、判断下列是否有通项公式若有，写出其通项公式。

①3，3，3，3……②2，4，6，8，10……③1，3，5，7，9……④0，1，0，1，0，1…… ⑤0，1，-2，4，-7，6，10，5，9……2、数列{}n a 中，22(3)2n a log n =+-,写出数列前五项，32log 是这个数列的第几项 探究：（1）是不是所有数列都有通项公式，能否举例说明（2）若数列有通项公式，通项公式是不是唯一的，若不是能否举例说明三、巩固应用例1. P 5 试一试：P 6 T 1-2 例2. P 5 试一试：P 6 T 31、写出下列数列的一个通项公式 ①-2，-2，-2，-2……②7，77，777，7777…… ③0.7，0.77，0.777，0.7777…… ④3，5，9，17，33…… ⑤0，-1，0，1，0，-1，0，1……⑥1112,,,6323…… 四、总结提升 1、探究新知：2、数列通项公式n a 与函数有何联系 五、知识拓展 数列前几项和123nn S a a a a a n-1…+=++++且11(1)()nnn a n a s s n -=⎧=⎨-⎩≥2六、能力拓展 1、数列2102102101,1,1,1223(1)gg g n n +…………××中首次出现负值的项是第几项 ≥≤2、已知数例{}n a 的通项公式254n a n n =-+ （1）数列{}n a 中有多少项是负项？（2）当n 为何值时，n a 有最小值，最小值是多少？3、已知数列{}n a 的前n 项和221n s n n =++，求数列{}n a 的通项公式？自我评价：这节课你学到了什么，你认为做自己的好的地方在哪里？作业：P 9 A ：T 4 T 6 B ：T 1。

数列一、教学目标：1、知识与技能（1）、理解数列及其有关概念，了解数列与函数之间的关系（2）、了解数列的通项公式，并会用数列的通项公式写出数列的任意一项。

（3）、会根据数列的前几项写出它的一个通项公式2、过程与方法（1）、通过实例，引入数列的概念（2）、通过对一列数的观察、分析、归纳，写出符合条件的一个通项公式3、情感、态度与价值观（1）、培养学生的观察能力和抽象概括能力，逐步培养学生善于思考和解决问题的能力（2）、调动学生的积极情感，主动参与学习。

二、教学重点：数列的有关概念，通项公式及其应用三、教学难点：根据数列的前几项写出它的一个通项公式四、创造情景，引入新课有一种优良品种的兔子，每对小兔出生后第三个月开始有生殖能力，以后每月可再生一对小兔.从一对刚出生的小兔算起，到第6个月共有多少对兔子？(假定在不发生死亡的情况下)1，1，2，3，5，8，13，21，34，....数列概貌：数列是一种特殊的函数，是一种重要的数学模型，有广泛的实际应用.如:银行利率、人口增长等；同时数列起着承前启后的作用，是高中数学中的经典内容，本章主要学习数列的一些基础知识及其简单应用.数列还是培养我们思维能力的良好题材，通过对它的学习可以使不聪明的同学聪明起来，聪明的同学更聪明！猜一猜：例1：观察下面各列数的特点，用适当的数填空：1、 21-22 ，31-32 ，41-42（ ），…；2、 1，－1，1，－1, ( )，－1，…；3、 211-⨯ ， 321⨯ ，431-⨯ （ ），…； 4、 2，5，10，17，( )，37.数列定义：*按一定次序排列的一列数叫做数列 .如：1,3，5,7,9,11，...3,1,5,7,9,11，......,...,,,,,4321n a a a a a 简记{}n a ，其中n a 是数列的第n 项。

数列中的每一个数都叫做这个数列的项。

各项依次叫做第1项（首项），第2项，.....，第n 项辩一辩：1、{}n n a a 与的区别。

§1数列1．1数列的概念1．了解数列通项公式的概念．2．能根据通项公式确定数列的某一项．(重点)3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．(重、难点)[基础·初探]教材整理1数列的基本概念阅读教材P3～P4，完成下列问题．1．数列的有关概念2.(1)一般形式：a1，a2，a3，…，a n，…；(2)字母表示：上面数列也记为{a n}．3．数列的分类判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1,2，－2,5，－3可以构成数列．( ) (2)1,2,3,4,5,6,7是无穷数列．( ) (3)数列中的项不能相等．( )【解析】 (1)由数列的概念知该列数可以构成数列． (2)是有穷数列，要表示无穷数列，应把“…”放在“7”后． (3)由数列的概念知，数列中的项可以相等． 【答案】 (1)√(2)× (3)× 教材整理2 通项公式阅读教材P 5“抽象概括”以下至“例1”以上的内容，完成下列问题． 1．如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n ＝f (n )，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式．2．数列可以看作是定义域为正整数集N ＋(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．(1)数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2＋2n ＋1，则数列中的第4项为________． (2)若数列的通项公式为an ＝2n －1，则a n ＋1＝________. 【解析】 (1)当n ＝4时，a 4＝3×42＋2×4＋1＝57. 【答案】 57(2)a n ＋1＝2(n ＋1)－1＝2n ＋1. 【答案】 2n ＋1[小组合作型]。

1.1.1 数列的概念教学目标1、知识与技能：了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；了解数列是一种特殊的函数；2、过程与方法：通过三角形数与正方形数引入数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；3、情态与价值：体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。

教学重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，探索并掌握数列的几种间单的表示法（列表、图象、通项公式）；难点：了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式。

教学方法：讲授法为主教学过程:一．揭示课题:今天开始我们研究一个新课题．先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要但求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是这样的一列数象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列．二．讲解新课:要研究数列先要知道何为数列，即先要给数列下定义，为帮助同学概括出数列的定义，再给出几列数：①自然数排成一列数：②3个1排成一列：③无数个1排成一列：④的不足近似值，分别近似到排列起来：⑤正整数的倒数排成一列数：⑥函数当依次取时得到一列数：⑦函数当依次取时得到一列数：⑧请学生观察8列数，说明每列数就是一个数列，数列中的每个数都有自己的特定的位置，这样数列就是按一定顺序排成的一列数．数列的定义：按一定次序排成的一列数叫做数列．为表述方便给出几个名称：项--------数列中的每一个数叫做这个数列的项.首项-------其中数列的第一项也称首项.通项-------数列的第n项叫数列的通项．以上述八个数列为例，让学生练习指出某一个数列的首项是多少，第二项是多少，指出某一个数列的一些项的项数．由此可以看出，给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，……，每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定．所以数列中的每一项与其项数有着对应关系，这与我们学过的函数有密切关系．2．数列与函数的关系数列可以看作特殊的函数，项数是其自变量，项是项数所对应的函数值，数列的定义域是正整数集，或是正整数集的有限子集．于是我们研究数列就可借用函数的研究方法，用函数的观点看待数列．遇到数学概念不单要下定义，还要给其数学表示，以便研究与交流，下面探讨数列的表示法．3．数列的表示法数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用表示第一项，用表示第一项，……，用表示第项，依次写出成为（1）列举法:．简记为．一个函数的直观形式是其图象，我们也可用图形表示一个数列，把它称作图示法．（2）图示法:启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．有些函数可以用解析式来表示，解析式反映了一个函数的函数值与自变量之间的数量关系，类似地有一些数列的项能用其项数的函数式表示出来，即，这个函数式叫做数列的通项公式．（3）通项公式法:如数列的通项公式为；的通项公式为；的通项公式为；数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．例如，数列的通项公式，则．值得注意的是，正如一个函数未必能用解析式表示一样，不是所有的数列都有通项公式，即便有通项公式，通项公式也未必唯一．除了以上三种表示法，某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．（4）递推公式法:如前面所举的钢管的例子，第层钢管数与第层钢管数的关系是，再给定，便可依次求出各项．再如数列中，，这个数列就是．像这样，如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系用一个公式来表示，这个公式叫做这个数列的递推公式．递推公式是数列所特有的表示法，它包含两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不可．可由学生举例，以检验学生是否理解．三．小结: 1．数列的概念2．数列的四种表示四．作业习题1---1 P9 A组第4题；B组第1题。

定边县教育教学成果参评课题：数列的概念邹英教学目的〔一〕知识与技能：1.理解数列及其有关概念，理解数列和函数之间的关系；2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3.对于比拟简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式。

〔二〕过程与方法：1.采用探究法，通过观察、考虑、交流、分析得出结论的方法进展启发式教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性学习；3.理论联络实际，激发学生的学习积极性。

〔三〕情感、态度与价值观：1.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联络实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；2.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，效劳于生活，进步数学学习的兴趣。

教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用。

教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳出数列的通项公式。

教学方法启发式教学法：以设问和疑问层层引导，激发学生，启发学生积极考虑，逐步从常识走向科学，将感性认识提升到理性认识，培养和开展学生的抽象思维才能。

探究教学法：引导学生去疑；鼓励学生去探；鼓励学生去思，培养学生的创造性思维和批判精神。

合作学习：通过师生讨论到达探究、归纳的目的。

教学环节教学内容师生互动设计意图创设情景，引入问问题：1．国际象棋的传说：每格棋盘上的麦粒数排成一列数；2．古语：一尺之老师：以上五个问题中的数蕴涵着五列数。

学生：1：63322...2,2,2,1。

2：从数学史与数学文化以及学生熟悉的体育知识等角度切入课题，使课题的引入23451111122222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，老师引导学生去考虑，让学生来完成例题解答。

每位学生写四个数作为一同桌写出这个数列的一个通项公式。

定边县教育教学成果参评参评类型：教学设计科目：数学工作单位：定边四中姓名：邹英课题名称：数列的概念。

1.1 数列的概念1．数列的基本概念阅读教材P3～P4，完成下列问题(1)数列的有关概念①一般形式：a1，a2，a3，…，a n，…；②字母表示：上面数列也可记为{a n}．③数列的分类[提示] 数列1,2,3,4,5和数列5,4,3,2,1不是同一个数列，因为二者的项的排列次序不同．(2)数列的项和项数有何区别？[提示] 数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号，如数列1,2,3,4,5中第1项为a1＝1，其项数是1.2．通项公式阅读教材P5“抽象概括”以下至“例1”以上的内容，完成下列问题．(1)如果数列{a n}的第n项a n与n之间的函数关系可以用一个式子表示成a n＝f(n)，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式．(2)数列可以看作是定义域为正整数集N＋(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．思考：(1)若a n＝2n－1，则a2＋a3的值是什么？[提示] 因为a n＝2n－1，所以a2＝2×2－1＝3，a3＝2×3－1＝5，则a2＋a3＝3＋5＝8.(2)数列的通项公式a n＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？[提示] 数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})为定义域的函数a n＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域：数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．1．已知数列{a n}的通项公式是a n＝n2＋1，则122是该数列的( )A．第9项B．第10项C．第11项D．第12项C[由n2＋1＝122得n2＝121，∴n＝11.故选C．]2．若数列{a n}的通项公式为a n＝2n2－3n，则a2＝________.2 [a2＝2×22－3×2＝2.]3．数列1,2,3,4,5，…的通项公式为________．a n＝n(n∈N＋) [观察知数列的通项公式为a n＝n(n∈N＋)．]4．已知数列{a n}的通项公式为a n＝(－1)n，n∈N＋，则它的第8项是________，第9项是________．1 －1 [当n＝8时，a8＝(－1)8＝1.当n＝9时，a9＝(－1)9＝－1.]A．数列4,7,3,4的首项是4B．数列{a n}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3C．数列1,2,3，…就是数列{n}D．数列中的项不能是三角形(2)下列各组元素能构成数列吗？如果能，构成的数列是有穷数列，还是无穷数列？并说明理由．①8,8,8,8；②－3，－1,1，x,5,7，y,11；③当n 取1,2,3,4，…时，(－1)n的值排成的一列数．(1)B [根据数列的相关概念，数列4,7,3,4的第1项就是首项，即4，故A 正确；同一个数在数列中可以重复出现，故B 错误；根据数列的相关概念可知C 正确；数列中的项必须是数，不能是其他形式，故D 正确．](2)[解] ①能构成数列，且构成的是有穷数列．②当x ，y 代表数时是数列，此时构成的是有穷数列；当x ，y 中有一个不代表数时，便不能构成数列，这是因为数列必须是由一列数按一定的顺序排列组成的．③能构成数列，且构成的是无穷数列．所构成的数列是－1,1，－1,1，….数列及其分类的判定方法(1)判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的数；(2)判断所给的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列含有限项还是无限项，若数列含有限项，则是有穷数列，否则是无穷数列．1．下列说法正确的是( ) A ．1,2,3,4，…，n 是无穷数列 B ．数列3,5,7与数列7,5,3是相同数列 C ．同一个数在数列中不能重复出现 D ．数列{2n ＋1}的第6项是13D [A 错误，数列1,2，…，n ，共n 项，是有穷数列． B 错误，数列是有次序的． C 错误，数列中的数可以重复出现． D 正确，当n ＝6时，2×6＋1＝13.](1)23，415，635，863，…；(2)12，2，92，8，252，…；(3)－1,2，－3,4，…；(4)2,22,222,2 222，….[解] (1)分子均为偶数，分母分别为1×3,3×5,5×7,7×9，…是两个相邻奇数的乘积． 故a n ＝2n(2n －1)(2n ＋1).(2)将分母统一成2，则数列变为12，42，92，162，252，…，其各项的分子为n 2.∴a n ＝n 22.(3)该数列的前4项的绝对值与序号相同，且奇数项为负，偶数项为正，故a n ＝(－1)n·n . (4)通过观察分析可知所求通项公式为a n ＝29(10n－1)．由数列的前几项求通项公式的思路(1)通过观察、分析、联想、比较，去发现项与序号之间的关系．(2)如果关系不明显，可将各项同时加上或减去一个数，或分解、还原等，将规律呈现，便于找通项公式．(3)要借助一些基本数列的通项，如正整数数列、正整数的平方数列、奇数列、偶数列等． (4)符号用(－1)n或(－1)n ＋1来调整．(5)分式的分子、分母分别找通项，还要充分借助分子、分母的关系．2．(1)数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n ＝( )A ．n 2n ＋1B ．n 2n －1C ．n2n －3D ．n2n ＋3(2)根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式． ①12×4，13×5，14×6，15×7，…； ②－3,7，－15,31，…； ③2,6,2,6，….(1)B [由已知得，数列可写成11，23，35，47，59，…，故通项公式为n2n －1.](2)[解] ①均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上1，第二个因数比第一个因数大2，所以a n ＝1(n ＋1)(n ＋3).②正负相间，且负号在奇数项，故可用(－1)n来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数(项数加1)次幂减1，所以a n ＝(－1)n(2n ＋1－1)．③此数列为摆动数列，一般求两数的平均数2＋62＝4，而2＝4－2,6＝4＋2，中间符号用(－1)n来表示．所以a n ＝4＋(－1)n·2或a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 是奇数，6，n 是偶数.[1．已知数列{a n }的通项公式，如何求数列的某一项？[提示] 把n 的值代入通项公式进行计算即可，相当于函数中，已知函数的解析式和自变量的值求函数值．2．已知数列{a n }的通项公式，如何判断某一个数是否为该数列中的项？[提示] 假定这个数是数列中的第n 项，由通项公式可得方程，解方程求得n ，若n 是正整数，则该数是数列中的项；若方程无解或n 不是正整数，则该数不是数列中的项．【例3】 数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－21n2(n ∈N ＋)．(1)0和1是不是数列{a n }中的项？如果是，那么是第几项？(2)数列{a n }中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？ 思路探究：(1)令a n ＝0，a n ＝1⇒求n ⇒判断(2)假设存在连续且相等的两项⇒列方程⇒求解⇒判断 [解] (1)若0是{a n }中的第n 项，则n 2－21n2＝0，因为n ∈N ＋，所以n ＝21.所以0是{a n }中的第21项． 若1是{a n }中的第n 项，则n 2－21n2＝1，所以n 2－21n ＝2，即n 2－21n －2＝0.因为方程n 2－21n －2＝0不存在正整数解， 所以1不是{a n }中的项．(2)假设{a n }中存在第m 项与第m ＋1项相等，即a m ＝a m ＋1，解得m ＝10. 所以数列{a n }中存在连续的两项，即第10项与第11项相等．1．(变条件)在例3中，把“a n ＝n 2－21n2”改为“a n ＝n 2－3n ”，解答(1)(2)两题．[解] (1)若0是{a n }中的第n 项，则n 2－3n ＝0，因为n ∈N ＋，所以n ＝3，故0是{a n }中的第3项．若1是{a n }中的第n 项，则n 2－3n ＝1，即n 2－3n －1＝0，因为方程n 2－3n －1＝0不存在正整数解，所以1不是{a n }中的项．(2)假设{a n }中存在第m 项与第m ＋1项相等，即a m ＝a m ＋1，所以m 2－3m ＝(m ＋1)2－3(m ＋1)，解得m ＝1.所以数列{a n }中存在连续的两项，第1项与第2项相等． 2．(变结论)例3的条件不变，求a 3＋a 4的值和a 2n .[解] a 3＋a 4＝32－21×32＋42－21×42＝－61，a 2n ＝(2n )2－21×2n 2＝2n 2－21n .1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对n 进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．2．判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．1．观察法写通项公式的注意事项据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．2．并非每一个数列均有通项公式，如2的不同近似值，依不同的近似值，可得数列1,1.4,1.41,1.414，…，便无通项公式，有些数列通项公式也不唯一．3．通项公式的应用．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列中的项不能相等．( )(2)数列1,2,3,4，…，n －1，只有n －1项．( ) (3)数列1,2,3,4，…，n 2是无穷数列．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)×[提示] 数列中的项可以相等，故(1)错；数列1,2,3,4，…，n 2共n 2项，是有穷数列，故(3)错．2．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中0.08是它的( )A ．第100项B ．第12项C ．第10项D ．第8项C [由题意知，a n ＝n －2n 2. 令a n ＝0.08，即n －2n 2＝8100， 所以n ＝10，n ＝52(舍去)，故选C ．]3．若数列{a n }的通项公式是a n ＝3－2n，则a 2n ＝________，a 2a 3＝________. 3－4n15 [根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项． 因为a n ＝3－2n， 所以a 2n ＝3－22n＝3－4n，a 2a 3＝3－223－23＝15.] 4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝4n 2＋3n. (1)写出数列的前三项；(2)110和1627是不是数列{a n }中的项？如果是，是第几项？ [解] (1)数列的前三项：a 1＝412＋3×1＝1，a 2＝422＋3×2＝410＝25，a 3＝432＋3×3＝418＝29. (2)令4n 2＋3n ＝110，则n 2＋3n －40＝0， 解得n ＝5或n ＝－8，注意到n ∈N ＋，故n ＝－8舍去． 所以110是数列{a n }的第5项．令4n 2＋3n ＝1627，则4n 2＋12n －27＝0， 解得n ＝32或n ＝－92，注意到n ∈N ＋，所以1627不是数列{a n }中的项．。