人教版九上数学第24章 圆 24.1.3 弧 弦 圆心角教案+学案

教学目标1.通过观察实验，使学生了解圆心角的概念.教学重点：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，•所对弦也相等及其两个推论和它们的应用．教学难点：探索定理和推导及其应用．教学过程一．课前预习1.下列说法中，正确的是 ( )A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等C.圆心角相等，所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等2.如图24-1-3-1，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为3.一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为______4.弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是_____，图24-1-3-1弦所对的圆心角是________，5.如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，∠A=70°则∠BOC=二．课堂研讨（一）重点研讨1.如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF．（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？（2）如果OE=OF，那么与的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？•为什么？∠AOB与∠COD呢？2.如图3和图4，MN是⊙O的直径，弦AB、CD•相交于MN•上的一点P，•∠APM=∠CPM．（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明教师活动学情分析：检查预习情况：导语：精讲点拨：课堂小结：板书设计：教学札记：（二）深化提高1.如图,AB是圆O的直径,BC是弦,OD⊥BC于点E,交弧BC于点D（1）请写出四个不同类型的正确结论（2）若BC＝8，ED＝2求⊙O的半径（三）达标测试1.如图，AB、CD是⊙O中的两条弦，M、N分别是AB、CD的中点，且∠OMN=∠ONM．求证：AB＝CD．三、课后巩固1.如图，已知⊙O的半径为2，弦AB的长为2√3 ，点C与点D分别是劣弧AB与优弧ADB上的任一点（点C、D均不与A、B重合）．（1）求∠ACB；（2）求△ABD的最大面积．6.如图 AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，我们知道EC和DF相等.若直线EF平移到与直径AB相交于P(P不与A、B 重合),在其他条件不变的情况下,结论是否依然成立?为什么?当EF∥AB 时,情况又怎样?。

24.1.3弧、弦、圆心角一．学习目标：1．理解圆心角的概念．2．掌握在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角及弦心距之间的关系．二、学习重点、难点：1. 重点：圆心角、弧、弦之间的关系的应用。

2. 难点：圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明。

三、学习过程：（一）温故知新已知△OAB，如图所示，作出绕O点顺时针旋转30°、60°的图形．（二）自主学习自学课本Ｐ83---P84思考下列问题：1．举例说明什么是圆心角？2．教材Ｐ84思考中，通过旋转∠AOB，试写出你发现的哪些等量关系？为什么？3．在圆心角的性质中定理中，为什么要说“同圆或等圆”？能不能去掉？4．由探究得到的定理及结论是什么？在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等，所对的也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的相等，所对的也相等．（三）合作探究如图，在⊙O中，，︒=∠60ACB.求证：AOCBOCAOB∠=∠=∠B'BAA'O（四）达标训练：1．如果两个圆心角相等，那么（ ）A ．这两个圆心角所对的弦相等;B ．这两个圆心角所对的弧相等C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D ．以上说法都不对2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD ，则两条弧AB 与CD 关系是（ ）A ．AB =2CD B ．AB >CDC ．AB <2CD D ．不能确定 ．3．如图，⊙O 中，如果=2⌒AC ，那么（ ）．A ．ACAB 2= B ．AC AB = C ．AC AB 2< D ．AC AB 2>4.一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的圆心角_________．5．如图，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=________．6．已知：如图，A 、B 、C 、D 在⊙O 上，AB =CD ．求证：∠AOC =∠DOB ．7．已知：AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上的两点，且C 为⌒AD 的中点，若∠BAD =20°，求∠ACO 的度数。

24.1.3 弧、弦、圆心角学案【学习目标】1、通过观察实验，使学生了解圆心角的概念；2、掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量都分别相等，以及它们在解题中的应用. 【重点难点】重点：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等及其两个推论和它们的应用.难点：探索定理和推论及其应用.【课堂探究】一、自主探究探究一作一个圆，并在圆中画出两个圆心角，根据你画出的角，说出圆心角的顶点的位置，两边与圆的关系是什么？探究二如图所示，OA 、OB 、OC 、OD 是⊙O 的半径.观察、思考并回答下列问题：(1)如果∠AOB =∠COD ,那么弦AB 与CD 、︵AB 与︵CD 有什么关系？.OAC DB（2）如果AB =CD ，那么∠AOB 与∠COD 、︵AB 与︵CD 有什么关系？（3）如果︵AB =︵CD ，那么∠AOB 与∠COD 、AB 与CD 有什么关系？（4）由以上探究，弧、弦、圆心角之间有怎样的关系？二、尝试运用1、下列命题中的真命题有（ ）个.①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；②长度相等的两条弧是等弧； ③等弧所对的圆心角相等；④相等的圆心角所对的弧相等.A .1B .2C .3D .4 2、如图所示，在⊙O 中，AB AC =,60ACB ∠=︒.求证：AOB BOC AOC ∠=∠=∠ABCO3、如图,AB ,CD 是⊙O 的两条弦.(1)如果AB =CD ,那么______=______,_____=______.(2)如果∠AOB =∠COD ,那么_____=_____,_______=________.⑶如果弧AB =弧CD ,那么_________=_________,______________=_____________ . ⑷如果AB =CD ,OE ⊥AB 于点E ,OF ⊥CD 于点F ,OE 与OF 相等吗?为什么?AEC DBE FB OOCDA4、如图A 是⊙O 的直径，BC CD DE ==,∠COD=35°.求∠AOE 的度数.三、补偿提高1、已知弦AB 把圆周分成1：5的两部分，这弦AB 所对应的圆心角的度数为 .2、如图，已知︵AB 、 ︵CD 是⊙O 的两条劣弧，且︵AB =2︵CD ，则弦AB 与CD 的大小关系是（ ）.A.AB =2CDB.AB ＜2CDC.AB ＞2CDD.不能确定CDAB.O3、如图，在⊙O 中，︵AB =︵AC ，∠B =50°，求∠A 的度数.四、小结与作业学生小结 ：1.必做题教材P 90第11题 2.选做题教材P 90第13题ACB.O。

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1。

3 弧、弦、圆心角课标依据理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念,了解等圆、等弧的概念;探索并了解点与圆的位置关系。

教学目标知识与技能1．了解圆心角的概念；2．掌握在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等．过程与方法通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题,进一步理解和体会研究几何图形的各种方法。

情感态度与价值观培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，同时渗透事物之间是可相互转化的辨证唯物主义教育.教学重点难点教学重点同圆或等圆中弧、弦、圆心角之间的关系．教学难点从圆的旋转不变性出发，得到圆心角，弦，弧之间的相等关系及其应用.教法学法操作、讲解、自学、练习、合作交流。

教学过程设计师生活动设计意图一、复习引入思考下面的问题：圆是中心对称图形吗？将圆旋转任意角度后会出现什么情况?我们学过的几何图形中既是中心对称图形,又是轴对称图形的是？二、探究新知（一）、圆心角定义在纸上任意画一个圆，任意画出两条不在同一条直线上的半径，构成一个角，这样的角就是圆心角.如图所示，∠A OB的顶点在圆心，像这样，顶点在圆心的角叫做圆心角．（二)、圆心角、弧、弦之间的关系定理1.按下列要求作图并回答问题：如图所示的⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB•和∠A•′OB•′将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A‵OB‵的位置,你能发现哪些等量关系？为什么?得到：在同一个圆中,相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．通过该问题引起学生思考,进行探究,发现关系定理,（学生按照要求作图，并观察图形,结合圆的旋转不变性和相关知识进行思考,尝试得出关系定理,再进行严格的几何证明。

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1.3弧、弦、圆心角一、教材分析了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等,及其它们在解题中的应用．通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等,最后应用它解决一些具体问题．二、学情分析与园有关的概念:学生对弧、弦、圆心角的概念认识比较容易，但对有关弧、弦、圆心角关系的定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等及定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等的性质的应用比较困难。

需要加强突破。

三、教学目标 1．了解圆心角的概念．2．理解有关弧、弦、圆心角关系的定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3．理解定理的推论:在同圆或等圆中，如果两条弧相等，•那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中,如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．四、教学重点难点重点定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等，所对弦也相等及其两个推论和它们的应用．难点探索定理和推导及其应用．五、教学过程设计一、思考圆是中心对称图形吗？如果是，对称中心是什么？根据圆的旋转性，可以很快得出结论：圆是中心对称图形，对称中心是圆心.二、探索新知如图所示，∠AOB的顶点在圆心,像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．BAO（学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题:如图所示的⊙O中,分别作相等的圆心角∠AOB•和∠A•′OB•′将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么?B'BAA'OAB=''A B，AB=A′B′理由：∵半径OA与O′A′重合，且∠AOB=∠A′OB′A B CO同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．（学生活动）请同学们现在给予说明一下．请三位同学到黑板板书，老师点评．例1 ：如图在⊙O 中，⌒ = ⌒ ∠ACB=60°,求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC 。

24．1.3弧、弦、圆心角教学目标1．了解圆心角的概念．2．探索并掌握弧、弦、圆心角的关系，了解圆的中心对称性和旋转不变性．3．能用弧、弦、圆心角的关系解决圆中的计算和证明．教学重点弧、弦、圆心角关系定理及推论．教学难点定理的探索、证明过程．教学设计一师一优课一课一名师(设计者：)教学过程设计一、创设情景明确目标剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你能得到什么结论？把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？二、自主学习指向目标1．自读教材第83至84页．2．学习至此：请完成学生用书“课前预习”部分．三、合作探究达成目标探究点一圆心角活动一：出示教材第83页“探究”，问1：你能得到什么结论？问2：把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？【展示点评】圆是中心对称图形，同时也具有旋转对称性，顶点在圆心的角叫做圆心角．【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点一探究点二弧、弦、圆心角之间的关系活动二：出示教材第84页思考，问1：AB和A'B'，弦AB和弦A'B'相等吗？问2：如何证明它们的相等关系．思考：圆是旋转对称的，即圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．那么，弧、弦、圆心角之间有何关系？【展示点评】定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．符号语言：在⊙O中，∵∠AOB＝∠A′OB′，∴AB＝A′B′.推论：1.__________________.2.__________________．符号语言：1.______________.2.________________．【小组讨论】同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量有什么关系？【反思小结】定理和推论都是以“在同圆或等圆中”为前提的，否则不成立．定理和推论可总结概括为：在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弦，两条弧中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点二四、总结梳理内化目标正确理解和使用弧、弦、圆心角三者关系：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，即一项相等，其余二项相等．五、达标检测反思目标1．已知圆O的半径为5，弦AB的长为5，则弦AB所对的圆心角∠AOB＝__60°或300°__．第2题图2．如图，在⊙O中，AB＝AC，∠B＝70°，则∠A等于__40°__．3．在⊙O中，圆心角∠AOB＝90°，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的直径的长为( B )A．42 B．82 C．24 D．164．如图，AB是⊙O的直径，BC＝CD, 求证：OC∥AD.【证明】连接OD.∵BC＝CD，∴∠BOC＝∠COD，∴∠BOD＝2∠COD.∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠BOD＝∠OAD＋∠ODA＝2∠ODA，∴∠COD＝∠ODA，∴OC∥AD.六、布置作业巩固目标1．上交作业教材第89页第3，4题．2．课后作业见学生用书的“课后作业”部分．教学反思。

24．1.3 弧、弦、圆心角1．在实际操作中发现圆的旋转不变性． 2．结合图形了解圆心角的概念，学会辨别圆心角．3．能发现圆心角、弦、弧之间的关系，并会初步运用这些关系解决有关的问题．一、情境导入人类为了获得健康和长寿，经过不断的实践探索，到十九世纪末才提出“生命在于运动”的口号．要健康长寿，更重要的是每天要摄取均衡的营养包括蛋白质、糖类、脂肪、维生素、矿物质、纤维和水．根据中国营养学会公布的“中国居民平衡膳食指南”，每人每日摄取量如图．你能求出各扇形的圆心角吗？二、合作探究 探究点一：圆心角【类型一】圆心角的识别如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是()A ．∠ABCB ．∠AOBC ．∠OABD ．∠OCB解析：根据圆心角的概念，∠ABC 、∠OAB 、∠OCB 的顶点分别是B 、A 、C ，都不是圆心O ，因此都不是圆心角．只有B 中的∠AOB 的顶点在圆心，是圆心角．故选B.方法总结：确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是．探究点二：圆心角的性质【类型一】利用圆心角的性质求角如图，已知：AB 是⊙O 的直径，C 、D 是BE ︵的三等分点，∠AOE ＝60°，则∠COE的大小是()A ．40°B ．60°C ．80°D ．120°解析：∵C 、D 是BE ︵的三等分点，∴BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE .∵∠AOE＝60°，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE ＝13×(180°－60°)＝40°，∴∠COE ＝80°.故选C.方法总结：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．探究点三：圆心角、弦、弧之间的关系 【类型一】结合三角形内角和求角如图所示，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠B ＝70°，则∠A ＝________．解析：由AB ︵＝AC ︵，得这两条弧所对的弦AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C .因为∠B ＝70°，所以∠C ＝70°.由三角形的内角和定理可得∠A 的度数为40°.故答案为40°.方法总结：在应用弧、弦、圆心角之间的关系定理时，注意根据具体的需要选择有关部分，本题只需由两弧相等，得到两弦相等就可以了．【类型二】弧相等的简单证明如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是OA ，OB 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，垂足分别为M ，N .求证：AC ︵＝BD ︵.解析：根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，可先证明它们所对的圆心角相等或它们所对的弦相等．证法1：如图所示，连接OC ，OD ，则OC ＝OD .∵OA ＝OB .又M ，N 分别是OA ，OB 的中点，∴OM ＝ON .又∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，∴∠CMO ＝∠DNO ＝90°.∴Rt △CMO ≌Rt △DNO .∴∠1＝∠2.∴AC ︵＝BD ︵.证法2：如图①所示，分别延长CM ，DN 交⊙O 于点E ，F .∵OM ＝12OA ，ON ＝12OB ，OA＝OB ，∴OM ＝ON .又∵OM ⊥CE ，ON ⊥DF ，∴CE ＝DF ，∴CE ︵＝DF ︵.又∵AC ︵＝12CE ︵，BD ︵＝12DF ︵.∴AC ︵＝BD ︵.图①图②证法3：如图②所示，连接AC ，BD .由证法1，知CM ＝DN .又∵AM ＝BN ，∠AMC ＝∠BND ＝90°，∴△AMC ≌△BND .∴AC ＝BD ，∴AC ︵＝BD ︵.方法归纳：在同圆或等圆中，要证明圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中的某一组量相等，通常是转化成证明另外三组量中的某一组量相等．三、板书设计教学过程中，强调弧、弦、圆心角及弦心距之间的关系，只要确定一组等量关系，其他三组也随之确定了.。

24.1.3 弧、弦、圆心角学习目标：了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧、弦心距中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．一、导学过程：（阅读教材P82 — 83 , 完成课前预习）1、知识准备（1）圆是轴 图形，任何一条 所在直线都是它的对称轴．（2）垂径定理 推论 ．2、预习导航。

（1）圆心角：顶点在 的角叫做圆心角。

（2）等圆：能够 的圆叫做等圆，同圆或等圆的半径 。

（3）弧、弦、弦心距、圆心角的关系：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的弦也 ．同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 相等，•所对的弦也 ，所对的弦心距也 。

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的 、 、相等．注：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也 。

二、课堂练习。

1．如果两个圆心角相等，那么（ ）A ．这两个圆心角所对的弦相等B ．这两个圆心角所对的弧相等C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D ．以上说法都不对2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD ，则两条弧AB 与CD 的关系是（ ）A. AB=2CD B ．AB>2CD C ．AB<2CD D ．不能确定3. 一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．4．如图，在⊙O 中，AB=AC ，∠AOB=60 °，求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC三、课堂小结在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的弦也 ．在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 、 、相等．四、反馈检测。

O B C A1．如图，⊙O 中，如果AB=2CD ，那么（ ）．A ．AB=ACB ．AB=AC C ．AB<2ACD ．AB>2AC 2．如图，以平行四边形ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，分别交BC 、AD 于E、F ，若∠D=50°，求BE 的度数和BF 的度数．3.如图，在⊙O 中，C 、D 是直径AB 上两点，且AC=BD ，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M 、N •在⊙O 上．（1）求证：AM =BN （2）若C 、D 分别为OA 、OB 中点，则AM=MN=NB 成立吗？4．如图，∠AOB=90°，C 、D 是AB 三等分点，AB 分别交OC 、OD 于点E 、F ，求证：AE=BF=CD ．教&改~先&锋*网 教!改~先&锋*网 教!改^先&锋*网 教^改~先^锋*网 /5.如图 ， AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，求弦CE 长度。

24.1.3 弧、弦、圆心角一、教学目标（一）学习目标1.探索圆的中心对称性2.了解圆心角的概念，探索并掌握在同圆或者等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的相等，就可以推出其他两个量对应相等3.掌握圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题（二）学习重点探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题．（三）学习难点圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务(1)旋转的三要素是旋转中心，旋转方向，旋转角度180，它能够与另一个图形重合，那么这(2)中心对称的定义：如果把一个图形绕某个点旋转两个图形关于这个点成中心对称.2.预习自测（1）圆是图形，也是图形【知识点】圆的中心对称性与轴对称性【答案】轴对称中心对称【解题过程】圆既是轴对称图形又是中心对称图形【思路点拨】圆既是轴对称图形又是中心对称图形（2）圆的对称中心是．【知识点】圆的中心对称性【答案】圆心【解题过程】圆是中心对称图形，由于它绕着圆心旋转180°后和原图形重合，所以圆的对称中心是圆心【思路点拨】根据中心对称图形的定义找到圆的对称中心（3）如图，已知O O 'e e 与的半径相等，若AOB A O B '''∠=∠，则________AB A B ''，»¼________AB A B ''（填“>”、“<”或“=”）【知识点】在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．【答案】= =【解题过程】AOB A O B '''∠=∠Q ,AB A B ''∴=,»¼AB A B ''= 【思路点播】在同圆或者等圆中，圆心角，弧，弦有一个量相等，就联想到其他的量也相等(4)已知O e 与O 'e 半径相等，若AB A B ''=，则________AOB A O B '''∠∠，（填“>”、“<”或“=”）【知识点】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等．【答案】=【解题过程】AB A B ''=Q ，OA O A ''=,OB O B ''=,AOB ∴∆≌A O B '''∆，AOB A O B '''∴∠=∠【思路点拨】在同圆或者等圆中，圆心角，弧，弦有一个量相等，就联想到其他的量也相等（二）课堂设计1.知识回顾（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线（2）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧（3）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧2.问题探究探究一 圆的中心对称性活动①以旧引新想一想：这些现象说明了什么？现象一：一块圆形的蛋糕，糕点师只要过圆心点在互相垂直的两个方向上切两刀，不管糕点师站在哪里，分成的四块一定是均等的. 这个现象跟圆的哪个性质有关？学生抢答答案：现象一说明对折后能够完全重合，只要是过圆心的直线，分成的两部分均对称，说明圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的任一条直线.【设计意图】复习回顾圆的轴对称性，为引发新知识铺垫现象二：机械式闹钟上钟时，每次只要转动发条上的钟钮180︒时，看上去跟没转动以前是一个样的.这个现象跟圆的哪个性质有关？现象二说明钟钮左右两端转动180︒后完全重合，而两端均在以轴心为圆心的圆上运动，说明圆是中心对称图形，对称中心是圆心.【设计意图】整合旧知识，探索圆的中心对称性活动②归纳概括想一想：由以上现象，概括圆的对称性结论：1. 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.2. 圆是中心对称图形，对称中心为圆心.探究二圆心角、弧、弦之间的关系★▲活动①大胆操作探究新知识1.按下面的步骤做一做：(1)在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下；(2)在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′，如图1所示，圆心固定．注意：在画∠AOB与∠A′O′B′时，要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与OA′重合时，OB与O′B′不能重合．图1(3)将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O′A′重合．通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由．教师叙述步骤，同学们一起动手操作． 由已知条件可知∠AOB ＝∠A ′O ′B ′；由两圆的半径相等，可以得到∠OAB ＝∠OBA ＝∠O ′A ′B ′=∠O ′B ′A ′；由△AOB ≌△A ′O ′B ′，可得到AB ＝A ′B ′；由旋转法可知»¼''AB A B =． 在学生分析完毕后，教师指出在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA 与O ′A ′重合时，由于∠AOB ＝∠A ′O ′B ′．这样便得到半径OB 与O ′B ′重合．因为点A 和点A ′重合，点B 和点B ′重合，所以»AB 和¼''A B 重合，弦AB 与弦A ′B ′重合，即»¼''AB A B =，AB =A ′B ′．进一步引导学生语言归纳圆心角、弧、弦之间相等关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．【设计意图】大胆猜想，大胆操作，激发学生兴趣，探究新知识活动② 集思广益 证明新知根据对上述定理的理解，你能证明下列命题是正确的吗？（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等．本问题由学生在思考的基础上讨论解决，可以证明上述命题是真命题．【设计意图】创设问题情境，集思广益，证明新知识活动③ 反思过程 发现定理定理“在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？小组讨论，可以在教师的引导下，举出反例说明条件“在同圆或等圆中”不能去掉，比如可以请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图．如图，虽然∠AOB =∠A ′O ′B ′，但AB ≠A ′B ′，弧AB ≠弧A ′B ′．教师进一步引导学生用同样的思路考虑命题：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等中的条件“在同圆和等圆中”是否能够去掉．小结：弦、圆心角、弧三量关系，在同圆或者等圆中，圆心角，弧，弦有一个量相等，那么其他的量也对应相等【设计意图】反思过程，发现定理，重新认识，拓展创新探究三 圆心角、弧、弦之间关系定理的应用活动① 旧题新解例1.如图，O e 的直径CD 与弦AB 交于点M ，添加条件 （写出一个即可），就可得到M 是AB 的中点.【知识点】垂径定理，圆心角、弧、弦之间关系定理【解答过程】补入的条件是：CD AB ⊥或»»»»AC BC AD BD ==或. 【思路点拨】对开放性逆向思维的题目，首先应依题意抓住问题适合的依据定理，再由定理和题设补充条件.【答案】CD AB ⊥或»»»»AC BC AD BD ==或. 练习：如图，CD 是O e 的直径，AB 是弦，CD AB ⊥于M ，则可得出AM MB =，»»AC BC =等多个结论，请你按现有图形给出其他两个结论.【知识点】垂径定理，圆心角、弧、弦之间关系定理【解答过程】另两个结论是：AC BC =，»»AD BD =. 【思路点拨】对开放性思维的题目，首先应依题意抓住已知条件，再由定理和题设得到结论.【设计意图】复习垂径定理，同时利用新知识解决旧问题活动② 集思广益 求解角度例2.如图，在⊙O 中，»»AB AC =，∠ACB ＝60°，求证∠AOB =∠AOC =∠BOC ． OAB C【知识点】圆心角、弧、弦之间关系定理【解答过程】∵ »»AB AC = ∴ AB =AC ，△ABC 是等腰三角形．又 ∠ACB ＝60°，∴ △ABC 是等边三角形，AB =BC =CA ．∴ ∠AOB =∠AOC =∠BOC ．【思路点拨】由»»AB AC =，有AB AC =，可得△ABC 是等边三角形，AB =AC =BC ，所以得到∠AOB =∠AOC =∠BOC ．练习．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 、CD 、DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，求∠BOD 的度数．【知识点】圆心角、弧、弦之间关系定理【解答过程】由BC ＝CD ＝DA 可以得到这三条弦所对的圆心角相等，连接OC ，得到∠AOD =∠DOC =∠BOC ，而AB 是直径，于是∠BOD ＝23×180°＝120°【思路点拨】求圆心角度数，可先求出该圆心角度数所对弧的度数【答案】120°【设计意图】利用圆心角、弧、弦之间关系定理解决圆中简单的角度问题活动③ 大胆探索 证明线段相等与弧度相等例3.如图，AB ，CD 是O e 的弦，M 、N 分别为AB 、CD 的中点且AMN CNM ∠=∠，求证：AB =CD .【知识点】垂径定理， 圆心角、弧、弦之间关系定理，全等三角形的判定定理【解答过程】证明：MN Q 为AB ，CD 中点，OM AB ∴⊥，ON CD ⊥。

人教版九年级数学上册导学案第二十四章圆24.1.3 弧、弦、圆心角【学习目标】1.理解圆心角的概念和圆的旋转不变性，会辨析圆心角。

2.掌握在同圆或等圆中，圆心角与其所对的弦、弧之间的关系，并能应用此关系的证明和计算。

3.能利用圆心角、弦、弧之间的关系解决有关问题。

【课前预习】1．在半径为1的弦所对的弧的度数为（）A．90°B．145度C．90°或270°D．270度或145度2．一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（）A．2.5 cm或6.5 cm B．2.5 cm C．6.5 cm D．5 cm或13cm3．下列命题①若a＞b，则am²＞bm²②相等的圆心角所对的弧相等③各边都相等的多边形是正多边形是±4．其中真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．34．若AB和CD的度数相等，则下列命题中正确的是（）A．AB=CD B．AB和CD的长度相等C．AB所对的弦和CD所对的弦相等D．AB所对的圆心角与CD所对的圆心角相等5．下列说法中错误的有（）①过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧；②弦的垂线平分它所对的两条弧；③过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧；④平分不是直径的弦的直径平分弦所对的两条弧．A．1个B．2个C．3个D．4个6．下列说法错误的是（）A．垂直于弦的直径平分这条弦B．平分弦的直径垂直于这条弦C．弦的垂直平分线经过圆心D．同圆或等园中相等的弧所对的圆周角相等7．下列命题正确的是（ ）A ．点(1,3)关于x 轴的对称点是(1,3)-B ．函数23y x =-+中，y 随x 的增大而增大C ．若一组数据3，x ，4，5，6的众数是3，则中位数是3D ．同圆中的两条平行弦所夹的弧相等8．如图，扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，半径6,OA C =是AB 的中点，//CD OA ，交AB 于点D ，则CD 的长为（）A ．2BC ．2D ．69．如图，△ABC 中，AB=5，AC=4，BC=2，以A 为圆心AB 为半径作圆A ，延长BC 交圆A 于点D ，则CD 长为（）A ．5B ．4C ．92 D ．10．如图，弧 AB 等于弧CD ，OE AB ⊥于点E ，OF CD ⊥于点F ，下列结论中错误．．的是（ ）A ．OE=OFB ．AB=CDC ．∠AOB =∠COD D ．OE ＞OF【学习探究】自主学习阅读课本，完成下列问题1、填空：（1）圆心角的概念：顶点在_______的角叫做圆心角。

陕西省安康市石泉县池河镇九年级数学上册24.1 圆的有关性质24.1.3 弧、弦、圆心角教案3 （新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（陕西省安康市石泉县池河镇九年级数学上册24.1 圆的有关性质24.1.3 弧、弦、圆心角教案3 （新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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24。

1.3 弧、弦、圆心角课标依据探索圆心角及其所对弧的关系。

教学目标知识与技能1．圆的旋转不变性．2．圆心角、弧、弦之间相等关系定理 .过程与方法通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力．利用圆的旋转不变性，研究圆心角、弧、弦之间相等关系定理。

情感态度与价值观培养学生积极探索数学问题的态度及方法.教学重点难点教学重点圆心角、弦、弧、弦心距之间的相等关系 .教学难点圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆"条件的理解及定理的证明.教学师生活动设计意图过程设计一、复习回顾二、创设情境想一想（1）平行四边形绕对角线交点O旋转180°后，你发现了什么？ (2）⊙O绕圆心O旋转180°后，你发现了什么？（3）思考:平行四边形绕对角线交点O任意旋转任意一个角度后，你发现了什么？把⊙O绕圆心O旋转任意一个角度后，你发现了什么？学生动手操作，得出结论：平行四边形旋转任意角度后并不总能与自身重合，而圆旋转任意角度后总能与自身重合，从中引导学生发现圆的旋转不变性。