机械能与弹簧综合练习题1、如图所示,劲度系数为k 1的轻质弹簧两端分别与质量为m 1、m 2的物块1、2拴接,劲度系数为k 2的轻质弹簧上端与物块2拴接,下端压在桌面上不拴接,整个系统处于平衡状态.现施力将物块1缓慢地竖直上提,直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面.在此过程中,物块2的重力势能增加了______,物块1的重力势能增加了________.分析与解 由题意可知：弹簧ｋ２长度的增加量就是物块２的高度增加量,弹簧ｋ２长度的增加量与弹簧ｋ１长度的增加量之和就是物块１的高度增加量,由物体的受力平衡可知：弹簧ｋ２的弹力将由原来的压力ｍ１＋ｍ２ｇ变为０；弹簧ｋ１的弹力将由原来的压力ｍ１ｇ变为拉力ｍ２ｇ,弹力改变量也为ｍ１＋ｍ２ｇ; 所以１、２弹簧的伸长量分别为11k m 1+m 2g 和21k m 1+m 2g 故物块2的重力势能增加了21k m 2m 1+m 2g 2, 物块1的重力势能增加了1211k k m 1m 1+m 2g 2 2．16分如图所示,竖直放置的光滑半圆形轨道与光滑水平面AB 相切于B 点,半圆形轨道的最高点为C;轻弹簧一端固定在竖直挡板上,另一端有一质量为0.1 kg 的小球小球与弹簧不相连;用力将小球向左推,小球将弹簧压缩一定量时用细绳固定住;此时弹簧的弹性势能为4.05 J,烧断细绳,弹簧将小球弹出;取g=10 m/s 2;求:1欲使小球能通过最高点C,则半圆形轨道的半径最大为多少 2欲使小球通过最高点C 后落到水平面上的水平距离最大,则半 圆形轨道的半径为多大 落至B 点的最大距离为多少3．如图是为了检验某种防护罩承受冲击能力的装置,M 为半径为 1.0R m =、固定于竖直平面内的1/4光滑圆弧轨道,轨道上端切线水平,N 为待检验的固定曲面,该曲面在竖直面内的截面为半径0.69r m =的1/4圆弧,圆弧下端切线水平且圆心恰好位于M 轨道的上端点,M 的下端相切处置放竖直向上的弹簧枪,可发射速度不同的质量0.01m kg =的小钢珠,假设某次发射的钢珠沿轨道恰好能经过M 的上端点,水平飞出后落到N 的某一点上,取g=10m/s 2,求： 1发射该钢珠前,弹簧的弹性势能俄E P 多大2钢珠落到圆弧N 上时的速度大小v N 是多少 结果保留两位有效数字11、1设钢珠在M 轨道最高点的速度为v ,在最高点,由题意2v mg m R=从发射前到最高点,由机械能守恒定律得：212p E mgR mv =+2钢珠从最高点飞出后,做平抛运动x vt = 212y gt =由几何关系222x y r += 从飞出M 到打在N 得圆弧面上,由机械能守恒定律： 221122N mgy mv mv += 解出所求 5.0/N v m s =4．18分如图所示,将质量均为m 厚度不计的两物块A 、B 用轻质弹簧相连接,现用手托着B物块于H 高处,A 在弹簧弹力的作用下处于静止后,将弹簧锁定．现由静止释放A 、B 两物块,B 物块着地时速度立即变为零,与此同时解除弹簧锁定,在随后的过程中,当弹簧恢复到原长时A 物块运动的速度为υ0,且过程中B 物块恰能离开地面但不能继续上升．已知弹簧具有相同形变量时弹性势能也相同．求：⑴B 物块着地后,A 在随后的运动过程中,A 所受合外力为零时的速度υ1；⑵从B 物块着地到B 物块恰能离开地面但不继续上升的过程中,A 物块运动的位移Δx ； ⑶第二次用手拿着A 、B 两物块,使得弹簧竖直并处于原长状态,此时物块B 离地面的距离也为H,然后由静止同时释放A 、B 两物块,B 物块着地后速度同样立即变为零．求第二次释放A 、B 后,B 刚要离地时A 的速度υ2．3.1设A 、B 下落H 高度时速度为υ,由机械能守恒定律得： 22212mv mgH ⋅=B 着地后,A 先向下运动,再向上运动到,当A 回到B 着地时的高度时合外力为0,对此过程有：22121210mv mv -=解得：gH v 21=2B 物块恰能离开地面时,弹簧处于伸长状态,弹力大小等于mg ,B 物块刚着地解除弹簧锁定时,弹簧处于压缩状态,弹力大小等于mg ．因此,两次弹簧形变量相同,则这两次弹簧弹性势能相同,设为E P ．又B 物块恰能离开地面但不继续上升,此时A 物块速度为0．从B 物块着地到B 物块恰能离开地面但不继续上升的过程中,A 物块和弹簧组成的系统机械能守恒,即：P P E x mg mv E +∆=+2121解得：Δx ＝H3因为B 物块刚着地解除弹簧锁定时与B 物块恰能离开地面时弹簧形变量相同,所以弹簧形变量x x ∆=21第一次从B 物块着地到弹簧恢复原长过程中,弹簧和A 物块组成的系统机械能守恒：2212121mv mgx mv E P +=+ 第二次释放A 、B 后,A 、B 均做自由落体运动,由机械能守恒得刚着地时A 、B 系统的速度为gH v 2=从B 物块着地到B 刚要离地过程中,弹簧和A 物块组成的系统机械能守恒：P E mv mgx mv ++=2222121 联立以上各式得：222v gH v -=5、如图所示,A 、B 两木块叠放在竖直轻弹簧上,已知木块A 、B 质量分别为0.42 kg 和0.40 kg,弹簧的劲度系数k =100 N/m ,若在木块A 上作用一个竖直向上的力F ,使A 由静止开始以0.5 m/s 2的加速度竖直向上做匀加速运动g =10 m/s 2.1使木块A 竖直做匀加速运动的过程中,力F 的最大值；2若木块由静止开始做匀加速运动,直到A 、B 分离的过程中,弹簧的弹性势能减少了0.248 J,求这一过程F 对木块做的功;分析与解此题难点和失分点在于能否通过对此物理过程的分析后,确定两物体分离的临界点,即当弹簧作用下的两物体加速度、速度相同且相互作用的弹力 N =0时 ,恰好分离.当F =0即不加竖直向上F 力时,设A 、B 叠放在弹簧上处于平衡时弹簧的压缩量为x ,有A B A B m +m gkx=(m +m )g x k()即 =①对A 施加F 力,分析A 、B 受力如右图所示 对A A A F+N-m g=m a②对B ''B B kx -N-m g=m a③可知,当N ≠0时,AB 有共同加速度a =a ′,由②式知欲使A 匀加速运动,随N 减小F 增大.当N =0时,F 取得了最大值F m ,即m A F =m (g+a)=4.41 N又当N =0时,A 、B 开始分离,由③式知, 此时,弹簧压缩量B B m (a+g)kx'=m (a+g) x'=k④ AB 共同速度 2 v =2a(x-x')⑤由题知,此过程弹性势能减少了W P =E P =0.248 J 设F 力功W F ,对这一过程应用功能原理2F A B A B p 1W =( m +m )v +(m +m )g(x-x')-E 2⑥联立①④⑤⑥,且注意到E P =0.248 J 可知,W F =9.64×10-2J6.22分如图所示,AB 是两块竖直放置的平行金属板,相距为2L ,分别带有等量的正、负电荷,在两板间形成电场强度大小为E 的匀强电场;A 板上有一小孔它的存在对两板间匀强电场分布的影响可忽略不计,孔中有一条与板垂直的水平光滑绝缘轨道,一个质量为m ,电荷量为>0的小球可视为质点,在外力作用下静止在轨道的中点P 处;一自然长度为L 的轻弹簧左端固定在距A 板左侧L 处挡板上,右端固定一块轻小的绝缘材料制成的薄板Q;撤去外力释放带电小球,它将在电场力作用下由静止开始向左运动,穿过小孔后不与金属板A 接触与薄板Q 一起压缩弹簧,由于薄板Q 及弹簧的质量都可以忽略不计,可认为小球与Q 接触过程中不损失机械能;小球从接触Q 开始,经过一段时间第一次把弹簧压缩至最短,然后又被弹簧弹回;由于薄板Q 的绝缘性能有所欠缺,使得小球每次离开Q 瞬间,小球的电荷量都损失一部分,而变成刚与Q 接触时小球电荷量的1/k k>l ;求：l 弹簧第一次压缩到最左边时的弹性势能；2小球在与B 板相碰之前,最多能与薄板Q 碰撞多少次；3设A 板的电势为零,当k =2、且小孔右侧的轨道粗糙与带电小球间的滑动摩擦力F J =4qE 时,求带电小球初、末状态的电势能变化量;21．22分1当P 由静止开始释放到弹簧第一次压缩到最左边的过程中根据能的转化和守恒定律可得弹性势能：E P =qEL 6分2分析知：小球每次离开Q 时的速度大小相同,等于小球第一次与Q 接触时速度大小v,根据动能定理可得：qEL =mqELv mv 2212=⇒2分 设小球与薄板Q 碰撞n 次后恰好向右运动到B 板,则：q n n kq=2分小球与薄板Q 碰撞n 次后向右运动从与Q 分离到恰好到达B 板的过程中,根据动能定理可得：-22102mv L E k q n -=⋅2分 由以上几式可得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=k n lg 2lg 或取k lg 2lg 的整数2分 3设小球第一次弹回两板间后向右运动最远距A 板的距离为L 1,则：L L L f E kqL f qE =⇒=+--110)()(2分设小球第2次弹回两板间后向右运动最远距A 板的距离为L 2,则：20)(2)(2221LL L f E kq L f L f qE =⇒=+---2分 而此时电场力：f qE E kq F ===412,即带电小球可保持静止;2分所以带电小球初、末状态的电势能变化量：qEL qEL L qE Ep Ep E p 872412=-⋅=-=∆2分7．20分如图所示,水平地面M 点左侧粗糙,右侧光滑;整个空间有一场强大小E 1＝1⨯103N/C 、方向竖直向下的匀强电场;质量m A ＝0.04kg 的不带电小物块A 用长为R ＝5m 不可伸长的绝缘轻质细绳拴于O 点,静止时与地面刚好接触;带正电的小物块B 与左端固定在墙上的绝缘轻弹簧接触但不粘连,B 的质量m B =0.02kg,带电量为q ＝+2⨯10-4C,与M 左侧地面间动摩擦因数μ＝0.5;现用水平向左的推力将B 由M 点弹簧原长处缓慢推至P 点弹簧仍在弹性限度内,推力做功W ＝2.65J ,MP 之间的距离为L ＝50cm;撤去推力,B 向右运动,随后与A 发生正碰并瞬间成为一个整体CA 、B 、C 均可视为质点;已知碰撞前后电荷量保持不变,碰后C 的速度为碰前B 速度的31;碰后立即把匀强电场方向变为竖直向上,场强大小变为E 2＝6×103N/C;取g ＝10m/s 2求：1B 与A 碰撞过程中损失的机械能;2碰后C 是否立即做圆周运动 如果是,求C 运动到最高点时绳的拉力大小；如果不是,则C 运动到什么位置时绳子再次绷紧24 20分解：1小球B 在PM 间运动时受到的摩擦力为)(1q E g m f B +=μ 2分由功能关系得,弹簧具有的最大弹性势能 J l q E g m W E B P 45.2)(1=+-=μ 设小球B 运动到M 点时速度为B v ,由功能关系得2121)(BB B P m L q E g m E υμ=+- 4分 s m B /15=υ 两球碰后结合为C ,则C 的速度为s m B C /531==υυ 2分B 与A 碰撞过程中损失的机械能J m m mC B A B B 5.1)(2121E 22=+-=∆υυ 2分2电场变化后,因N g m q E C 6.02=- N Rm Cc3.02=υ 所以C 不能做圆周运动,而是做类平抛运动, 2分设经过时间t 绳子在Qx,y 处绷紧,由运动学规律得 t x C υ= 2分221at y = 2分22/10s m m g m q E a CC =-= 1分()222R R y x =-+ 1分 可得 s t 1=m R y x 5=== 1分即：绳子绷紧时恰好位于水平位置 1分8.如图,质量为m 1的物体A 经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m 2的物体B 相连,弹簧的劲度系数为k ,A 、B 都处于静止状态.一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮,一端连物体A ,另一端连轻挂钩.开始时各段绳都处于伸直状态,A 上方的一段绳沿竖直方向.现在挂钩上挂一质量为m 3的物体C 并从静止状态释放,已知它恰好能使B 离开地面但不继续上升.若将C 换成另一质量为m 1+m 3的物体D ,仍从上述初始位置由静止状态释放,则这次B 刚离地时D 的速度的大小是多少 已知重力加速度为g .解:开始时,A 、B 静止,设弹簧压缩量为x 1,有 kx 1=m 1g ① 2分挂C 并释放后,C 向下运动,A 向上运动,设B 刚要离地 时弹簧伸长量为x 2,有kx 2=m 2g ② 2分B 不再上升,表示此时A 和C 的速度为零,C 已降到最低点.由机械能守恒,与初始状态相比,弹簧弹性势能的增加量为)()(211213x x g m x x g m E +-+=∆ ③ 3分C 换成D 后,当B 刚离地时弹簧势能的增量与第一次相同,由能量关系得E x x g m x x g m m v m v m m ∆-+-++=++)()()(21)(21211211321213 ④ 4分 由③④式得)()2(21211231x x g m v m m +=+ ⑤ 2分 由①②⑤式得 km m g m m m v )2()(2312211++=⑥ 2分9、如图所示,挡板P 固定在足够高的水平桌面上,小物块A 和B 大小可忽略,它们分别带为+Q A 和+Q B 的电荷量,质量分别为ｍＡ和ｍＢ;两物块由绝缘的轻弹簧相连,一个不可伸长的轻绳跨过滑轮,一端与B 连接,另一端连接轻质小钩;整个装置处于场强为E 、方向水平向左的匀强电场中,A 、B 开始时静止,已知弹簧的劲度系数为k,不计一切摩擦及A 、B 间的库仑力,A 、B 所带电荷量保持不变,B 不会碰到滑轮;1若在小钩上挂质量为M 的物块C 并由静止释放,可使物块A 对挡板P 的压力恰 为零,但不会离开P,求物块C 下降的最大距离ｈOyxQA B m 2km 12若C 的质量为2M,则当A 刚离开挡板P 时,B 的速度多大 分析与解通过物理过程的分析可知：当A 刚离开挡板P 时,弹力恰好与Ａ所受电场力平衡,弹簧伸长量一定,前后两次改变物块Ｃ质量,在第２问对应的物理过程中,弹簧长度的变化及弹性势能的改变相同,可以替代求解;设开始时弹簧压缩量为x 1由平衡条件：B EQ kx =1 可得1BEQ x k= ① 设当A 刚离开档板时弹簧的伸长量为2x ：由：A EQ kx =2 可得kEQ x A=2 ② 故C 下降的最大距离为： 21x x h += ③ 由①—③式可解得 )(A B Q Q kEh +=④ 2由能量转化守恒定律可知：C 下落h 过程中,C 重力势能的减少量等于B 电势能的增量和弹簧弹性势能的增量以及系统动能的增量之和 当C 的质量为M 时： 弹E h E Q mgh B ∆+⋅= ⑤ 当C 的质量为2M 时,设A 刚离开挡板时B 的速度为V2)2(212V m M E Eh Q Mgh B B ++∆+=弹 ⑥由④—⑥式可解得A 刚离开P 时B 的速度为：)2()(2B B A m M k Q Q MgE V ++=⑦说明 研究对象的选择、物理过程的分析、临界条件的应用、能量转化守恒的结合往往在一些题目中需要综合使用;另外,有关弹簧的串、并联和弹性势能的公式,高考中不作定量要求,这里不再说明; 10、如图所示,质量为m 的物体A 用一轻弹簧与下方地面上质量也为m 的物体B 相连,开始时A 和B 均处于静止状态,此时弹簧压缩量为x 0,一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮,一端连接物体A 、另一端C 握在手中,各段绳均处于刚好伸直状态,A 上方的一段绳子沿竖直方向且足够长;现在C 端施 水平恒力F 而使A 从静止开始向上运动;整个过程弹簧始终处在弹性限度以内1如果在C 端所施恒力大小为3mg,则在B 物块刚要离开地面时A 的速度为多大 2若将B 的质量增加到2m,为了保证运动中B 始终不离开地面,则F 最大不超过多少分析与解 由题意可知：弹簧开始的压缩量0mgx k=,在B 物块刚要离开地面时弹簧的伸长量也是0mgx k=1若F=3mg,在弹簧伸长到x 0时,B 开始离开地面,此时弹簧弹性势能与施力前相等,F 所做的功等于A 增加的动能及重力势能的和;即 2002122mv x mg x F +⋅=⋅ 可解得：022gx v = 2所施力为恒力F 0时,物体B 不离开地面,类比竖直弹簧振子,物体A 在竖直方向上除了受变化的弹力外,再受到恒定的重力和拉力;故物体A 做简谐运动;在最低点： F 0－mg+kx 0=ma 1式中k 为弹簧劲度系数,a 1为在最低点A 的加速度;在最高点,B 恰好不离开地面,此时弹簧被拉伸,伸长量为2x 0,则： K2x 0+mg －F 0=ma 2考虑到： kx 0=mg 简谐运动在上、下振幅处 a 1=a 2 解得：F 0=23mg也可以利用简谐运动的平衡位置求恒定拉力F 0;物体A 做简谐运动的最低点压缩量为x 0,最高点伸长量为2x 0,则上下运动中点为平衡位置,即伸长量为2x 所在处; 由： 002x mg kF += 解得：F 0=23mg说明 区别原长位置与平衡位置;与原长位置对应的形变量与弹力大小、方向、弹性势能相关；与平衡位置对应的位移量与回复大小、方向、速度、加速度相关11．16分如图所示,质量m B ＝4.0kg 的物体B 通过一轻弹簧固连在地面上,弹簧的劲度系数k =100N/m ．一轻绳一端与物体B 连接,绕过无摩擦的两个轻质小定滑轮O 1、O 2后,另一端与套在光滑直杆顶端的质量m A ＝1.8kg 的小球A 连接．已知直杆固定,杆长L 为1.2m,且与水平面的夹角θ=53°．初始时使小球A 静止不动,与A 端相连的绳子保持水平,此时绳子中的张力F 为50N ．已知A O 1=1.0m,重力加速度g 取10m/s 2,绳子不可伸长．现将小球A 从静止释放,则： 1在释放小球A 前弹簧的形变量； 2若直线C O 1与杆垂直,求物体A 运动到C 点的过程中机械能改变了多少3求小球A 运动到底端D 点时的速度．23.16分解：1释放小球A 前,物体B 处于平衡状态,kx F mg =- 1分 得0.1x m = 1分 故弹簧被拉长了0.1m2小球从杆顶端运动到C 点的过程,由动能定理：2102T A A A W m gh m v +=- 其中A 下降了00011sin 37sin 53sin 370.48A h CO AO m ==⋅=物体B 下降的高度110.2B h AO CO m =-= 由此可知,此时弹簧被压缩了0.1m,则弹簧的弹性势能在初、末状态相同;再以A 、B 和弹簧为系统,由机械能守恒：221122A B A A B B m gh m gh m v m v '+=+ 对小球进行速度分解可知,小球运动到C 点时物体B 的速度0B v =8F B B W m gh J∴== A 机械能增加8J3因杆长L=1.2m, AC ＝0.6m. 故DO 1=AO 1,弹簧的伸长量依然为0.1m.,与最初状态相比,弹簧的弹性势能相同,物体B 又回到了初始位置,其重力势能也与最初状态相同;在D 点对A 的速度进行分解可得 //0cos53B A v v =由机械能守恒：2'212'2153sin B A A mvmv gL m += 可得sm s m v A/266.3/364'==。
