【全国市级联考】广东省广州2017届高三下学期第一次模拟(文)数学试题

2017年广州市普通高中毕业班文科数学综合测试（一）第Ⅰ卷一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．复数21i+的虚部是（ ）A ．2- B ．1- C ．1 D ．22．已知集合}{}{2001x x ax ,+==，则实数a 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2 3．已知tan 2θ=，且θ∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，则c o s 2θ=（ ） A ．45 B ．35 C ．35- D ．45-4．阅读如图的程序框图. 若输入5n =，则输出k 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．已知函数()122,0,1l o g,0,+⎧≤=⎨->⎩x x f x x x 则()()3=f f （ ）A ．43 B ．23 C ．43-D ．3- 6．已知双曲线C 222:14x y a -=的一条渐近线方程为230+=x y ，1F ,2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上, 且12=PF , 则2PF 等于（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10 7．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（ ）A ．14 B ．716C ．12 D ．9168．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是（ ）9．设函数()32f x x ax =+，若曲线()=y f x 在点()()00,P x f x 处的切线方程为0+=x y ，则点P 的坐标为（ ）A ．()0,0B ．()1,1-C ．()1,1-D ．()1,1-或()1,1-10．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥-P ABC 为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，4AC =，三棱锥-P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面 积为（ ）A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π11．已知函数()()()()s in co =+++ωϕωϕfx x x是奇函数，直线y =与函数()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π，则（ ）A ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增12．已知函数()1cos 212x f x x x π+⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭, 则201612017k k f =⎛⎫ ⎪⎝⎭∑的值为（ ） A ．2016 B ．1008 C ．504 D ．0 第Ⅱ卷二、填空题：本小题共4题，每小题5分 13．已知向量a ()1,2=，b (),1=-x ，若a //()a b -，则a b ⋅= 14．若一个圆的圆心是抛物线24=x y 的焦点，圆的标准方_____15．满足不等式组⎩⎨⎧≤≤≥-++-a x y x y x 00)3)(1(的点(),x y 组成的图形的面积是5，则实数a 的值是_____ 16．在ABC ∆中，160,1,2ACB BC AC AB ︒∠=>=+，当ABC ∆的周长最短时，BC 的长是 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17． 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-（*N n ∈）（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ) 求数列{}n S 的前n 项和n T18．（本小题满分12分）某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在(]195,210内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本的频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图（Ⅰ）根据图１，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；（Ⅱ）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲、乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？ （Ⅲ）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中=+++n a b cd 为样本容量） 19．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，AD //BC ，AB⊥BC ，BD ⊥DC ，点E 是BC 边的中点，将ABD ∆沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ,AC ,DE ，得到如图2所示的几何体 （Ⅰ）求证：AB ⊥平面ADC ； （Ⅱ）若1=AD ，AC 与其在平面ABD 内的正投影所成角的正切值为6，求点B 到平面ADE 的距离 20．（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为23，且过点)1,2(A （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若Q P ,是椭圆C 上的两个动点，且使PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴，试判断直线PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由 21．（本小题满分12分） 已知函数)0(ln )(>+=a xax x f （Ⅰ）若函数)(x f 有零点，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）证明：当e a 2≥时，xex f ->)(请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为B3,(1,=-⎧⎨=+⎩x t t y t 为参数)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线:2c o s .4⎛⎫=- ⎪⎝⎭πρθC（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()12=+-+-f x x a x a .（Ⅰ）若()13<f ，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若1,≥∈a x R ，求证：()2≥f x .2017年广州市普通高中毕业班文科数学综合测试（一）答案评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题不给中间分． 一、选择题（1）B （2）A （3）C （4）B （5）A （6）C（7）B （8）D （9）D （10）C （11）D （12）B 二、填空题（13）52- （14）()2212x y +-= （15）3 （16）12+三、解答题 (17) 解:（Ⅰ）当1n =时，1122S a =-，即1122a a =-， (1)分 解得12a =． ………………………………………………………2分当2n ≥时，11(22)n n n n a S S a --=-=-， ………………3分即12n n a a -=， ………………………………………………………4分所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列．……………………………………5分所以122n nn a -=⨯=（n ∈N *）． ………………………………………………6分 (Ⅱ) 因为12222n n n S a +=-=-， ………………………………………………8分所以12n n T S S S =++⋅⋅⋅+ ………………………………………………9分2312222n n +=++⋅⋅⋅+- ………………………………………………10分()412212n n ⨯-=-- ………………………………………………11分2242n n +=--． ………………………………………………12分 (18) 解：（Ⅰ）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x ，因为()(0.480.0120.0320.05250.50.0=++⨯<<+，………………………………………1分 则()()0.0120.0320.05250.0762050.5,x ++⨯+⨯-= ……………………………3分 解得390019x =． ………………………………………4分 （Ⅱ）由甲，乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为153,5010P ==甲 ………………………5分乙流水线生产的产品为不合格品的概率为()10.0120.02855P =+⨯=乙， ………6分 于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线生产的不合格品件数分别为：315000=1500,5000=1000105⨯⨯． …………………………8分（Ⅲ）列联表:…………………………10分 则()2210035060041.3505075253K ⨯-==≈⨯⨯⨯， ……………………………………………11分 因为1.3 2.072,<所以没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线 的选择有关”． ……………………………………………………12分 (19) 解：(Ⅰ) 因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面BCD BD =，又BD ⊥DC ，所以DC ⊥平面ABD . …………………………………1分因为AB ⊂平面ABD ，所以DC ⊥AB .......................................2分 又因为折叠前后均有AD ⊥AB ，DC ∩AD D =, (3)分所以AB ⊥平面A D. …………………………………4分(Ⅱ) 由（Ⅰ）知DC ⊥平面ABD ，所以AC 在平面ABD 内的正投影为AD ，即∠CAD 为AC 与其在平面ABD 内的正投影所成角. ……………………………5分 依题意6tan ==∠AD CDCAD ， 因为1A D ,=所以6=CD . …………………………6分设()0AB x x =>，则12+=x BD ,因为△ABD ～△BDC ，所以BDDCAD AB =， ………………………………7分即1612+=x x ，=，故3. …………………，AB ⊥AC , E 为BC 由平面几何知识得AE 322BC ==, 同理DE 322==BC ,所以22=∆ADS .…………………………9分因为DC ⊥平面ABD ，所以3331=⋅=-AB DBC D A S CD V . ………………………10分设点B 到平面ADE 的距离为d , 则632131====⋅---BCD A BDE A ADE B ADE V V V S d ,…………………………11分 所以26=d ，即点B 到平面ADE 的距离为26. …………………………12分 (20) 解:(Ⅰ) 因为椭圆C, 且过点()2,1A ,所以22411a b +=,2c a =. ………………………………………………2分因为222a b c =+, 解得28a =, 22b =, ………………………………………………3分 所以椭圆C 的方程为22182x y +=. ……………………………………………4分(Ⅱ)法1：因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴, 所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称. 设直线PA 的斜率为k , 则直线AQ 的斜率为k -. ………………………………5分所以直线PA 的方程为()12y k x -=-,直线AQ 的方程为()12y k x -=--.设点(),P P P x y , (),Q Q Q x y ,由()2212,1,82y k x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,得()()222214168161640k x k k x k k +--+--=. ①因为点()2,1A 在椭圆C 上, 所以2x =是方程①的一个根, 则2216164214P k k x k --=+,……………………………………………6分所以2288214P k k x k --=+. ……………………………………………7分同理2288214Q k k x k +-=+. ……………………………………………8分所以21614P Q kx x k-=-+. ……………………………………………9分又()28414P Q P Q ky y k x x k -=+-=-+. ……………………………………………10分所以直线PQ 的斜率为12P Q PQ P Qy y k x x -==-. …………………………………………11分所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12. ……………………………………………12分 法2：设点()()1122,,,P x y Q x y ， 则直线PA 的斜率1112PA y k x -=-, 直线QA 的斜率2212QA y k x -=-. 因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴, 所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称. 所以P A Q k k=-, 即1112y x --22102y x -+=-,① ………………………………………5分 因为点()()1122,,,P x y Q x y 在椭圆C 上,所以2211182x y +=，② 2222182x y +=. ③ 由②得()()22114410x y -+-=, 得()111112241y x x y -+=--+, ④ ………………………6分 同理由③得()222212241y x x y -+=--+,⑤ (7)分由①④⑤得()()12122204141x x y y +++=++,化简得()()12211212240x y x y x x y y ++++++=, ⑥ ……………………………8分 由①得()()12211212240x y x y x x y y +-+-++=, ⑦ ……………………………9分⑥-⑦得()12122x x y y +=-+. …………………………………………10分 ②-③得22221212082x x y y --+=,得()12121212142y y x x x x y y -+=-=-+. …………………11分所以直线PQ 的斜率为121212PQy y k x x -==-为定值. …………………………………12分法3：设直线PQ 的方程为y k x b=+，点()()1122,,,P x y Q x y ， 则1122,y kx b y kx b =+=+, 直线PA 的斜率1112PAy k x -=-, 直线QA 的斜率2212QAy k x -=-. ………………………5分 因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴, 所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称. 所以P Ak k =-, 即1112y x --2212y x -=--, ……………………………………………6分 化简得()()12211212240x y x y x x y y +-+-++=.把1122,y kx b y kx b =+=+代入上式, 并化简得 ()()1212212440k x x bk x x b +--+-+=.(*) …………………………………7分由22,1,82y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()222418480k x kbx b +++-=, (**)则2121222848,4141kb b x x x x k k -+=-=++, ……………………………………………8分代入(*)得()()2222488124404141k b kb b k b k k -----+=++, ……………………………9分整理得()()21210k b k -+-=, 所以12k =或12b k =-. ……………………………………………10分若12b k =-, 可得方程(**)的一个根为2，不合题意. ………………………………11分 若12k =时, 合题意. 所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12. ……………………………………………12分 (21) 解:(Ⅰ)法1: 函数()ln af x x x =+的定义域为()0,+∞. 由()ln af x x x=+, 得()221a x af x x x x-'=-=. ……………………………………1分因为0a >,则()0,x a ∈时,()0f x '<;(),x a ∈+∞时, ()0f x '>.所以函数()f x 在()0,a 上单调递减, 在(),a +∞上单调递增. ………………………2分当x a =时,()minln 1f x a =+⎡⎤⎣⎦. …………………………………………………3分当ln 10a +≤, 即0a <≤1e时, 又()1ln10=+=>f a a , 则函数()f x 有零点. …4分所以实数a 的取值范围为10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦. ……………………………………………………5分法2：函数()ln af x x x =+的定义域为()0,+∞. 由()ln 0af x x x=+=, 得ln a x x =-. …………………………………………………1分令()ln g x x x =-，则()()ln 1g x x '=-+.当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, ()0g x '>; 当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时, ()0g x '<.所以函数()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增, 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. ……………………2分 故1x e=时, 函数()g x 取得最大值1111ln g e e e e ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. …………………………3分因而函数()ln af x x x=+有零点, 则10a e<≤. ………………………………………4分所以实数a 的取值范围为10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦. …………………………………………………5分(Ⅱ) 要证明当2a e≥时, ()->x f x e , 即证明当0,x >2a e ≥时, ln x ax e x-+>, 即ln x x x a xe -+>.………………………6分 令()ln h x x x a =+, 则()ln 1h x x '=+.当10x e <<时, ()0f x '<;当1x e >时,()0f x '>.所以函数()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减, 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 当1x e=时,()min1h x a e=-+⎡⎤⎣⎦. ……………………………………………………7分于是,当2a e≥时, ()11.h x a e e ≥-+≥ ① ……………………………………8分 令()xx xe ϕ-=, 则()()1x x x x e xe e x ϕ---'=-=-.当01x <<时,()0f x '>;当1x >时,()0f x '<. 所以函数()x ϕ在()0,1上单调递增, 在()1,+∞上单调递减.当1x =时,()max1x eϕ=⎡⎤⎣⎦. ……………………………………………………9分于是,当0x >时,()1.x e ϕ≤② ……………………………………………………10分显然, 不等式①、②中的等号不能同时成立. …………………………………11分 故当2a e≥时,()->x f x e . ……………………………………………………12分 （22）解： (Ⅰ)由3,1,=-⎧⎨=+⎩x t y t消去t 得40+-=x y , ………………………………………1分所以直线l 的普通方程为40+-=x y . ………………………………………2分由4⎛⎫=-⎪⎝⎭πρθcos cos sin sin 2cos 2sin 44⎫=+=+⎪⎭ππθθθθ,……3分得22cos 2sin =+ρρθρθ. ………………………………………4分将222,cos ,sin =+==ρρθρθx y x y 代入上式,得曲线C 的直角坐标方程为2222+=+x y x y , 即()()22112-+-=x y . ………5分(Ⅱ)法1:设曲线C上的点为()1c o ,12s i nααP , ………………………………6分 则点P 到直线l的距离为2s i n 4-=d …………………………7分=………………………………………8分当sin 14⎛⎫+=- ⎪⎝⎭πα时, max =d , ………………………………………9分所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为分法2: 设与直线l 平行的直线为:0l x y b '++=, ………………………………………6分当直线l '与圆C 相切时,得=, ………………………………………7分解得0b =或4b =-(舍去), 所以直线l '的方程为0x y +=. ………………………………………8分所以直线l 与直线l '的距离为d ==. …………………………………9分所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为分（23）解： (Ⅰ)因为()13<f ，所以123+-<a a . ………………………………………1分① 当0≤a 时，得()123-+-<a a ，解得23>-a ，所以203-<≤a ; ……………2分② 当102<<a 时，得()123+-<a a ，解得2>-a ，所以102<<a ; ……………3分③ 当12a ≥时，得()123--<a a ，解得43<a ，所以1423a ≤<; ……………4分综上所述，实数a 的取值范围是24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭. ………………………………………5分(Ⅱ) 因为1,≥∈a x R , 所以()()()121=+-fxx……………………………7分31=-a ……………………………………………………………………8分31=-a ……………………………………………………………………9分2≥. ……………………………………………………………………10分。

2017年广州一模（文数）试题及答案2017年广州市一模(文科数学)第I卷一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)复数右的虚部是(B) 135(4)阅读如图的程序框图. 的值为(A) 2(D)(5)已知函数f x2 2 （6）已知双曲线cA (C)1(2)已知集合(A) 1(D) 22x x ax 0 0,1 ,贝V实数a的值为(B) 0(C)(3)已知tan(D ) 22，且0,2，则cos21Jlog2 x,(C )输(B)x35x(A ) 3( B ) 2 ( c )2七i 的一条渐近线方程为a 42x 3y 0,»F 2分另U是双曲线C 的左，右焦点，点P 在双曲线C 上, 且I PR 2,则PF 2等于（A ）4（ B ）6（ C ）(D)10（7）四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放 着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的 硬币•若硬币正面朝上，则这个人站起来；若 硬币正面朝下，则这个人继续坐着•那么，没 有相邻的两个人站起来的概率为 （A） I（ B ）16（C）（D）97（8）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线 画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为8,则该几何体的俯视图可以是（A）（B）（c）（D）（9）设函数f x X3ax2，若曲线y f x在点P x。

, f x。

处的切线方程为x y 0，则点P的坐标为（A ）0,0 （B ）i, i（C ）1,1 （D ）i, i 或i,i（10）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑. 若三棱锥P ABC为鳖臑,PA丄平面ABC,PA AB 2 , AC 4,三棱锥P ABC的四个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为(A)8(B) 12 (C ) 520（ D ） 24（11）已知函数fx sin x cos x 0,0奇函数，直线y .2与函数f x 的图象的两个相邻交点的 横坐标之差的绝对值为q 则 （A ） f x 在o,-上单调递减 （B ） f x在8令上单调递减8 8（C ） f x 在0,-上单调递增 （D ） f x在«，3T 上单调递增8 8（12）已知函数fX cos X,则―f盏的 值为（A ） 2016（B ） 1008（C ）504（ D ） 0第H 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2017-2018学年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1≤x≤0}C．{x|1≤x≤2}D．{x|0≤x≤1}2．已知复数z满足z=（i为虚数单位），则复数z所对应的点所在象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知函数则f（f（﹣2））的值为（）A．B．C． D．4．设P是△ABC所在平面内的一点，且=2，则△PAB与△PBC的面积之比是（）A．B．C．D．5．如果函数（ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为（）A．3 B．6 C．12 D．246．执行如图所示的程序框图，如果输入x=3，则输出k的值为（）A．6 B．8 C．10 D．127．在平面区域{（x，y）|0≤x≤1，1≤y≤2}内随机投入一点P，则点P的坐标（x，y）满足y≤2x的概率为（）A．B．C．D．8．已知f（x）=sin（x+），若sinα=（＜α＜π），则f（α+）=（）A．B．﹣C．D．9．如果P1，P2，…，P n是抛物线C：y2=4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，x n，F是抛物线C的焦点，若x1+x2+…+x n=10，则|P1F|+|P2F|+…+|P n F|=（）A．n+10 B．n+20 C．2n+10 D．2n+2010．一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）A．20πB． C．5πD．11．已知下列四个：p1：若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；p2：若f（x）=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）；p3：若，则∃x0∈（0，+∞），f（x0）=1；p4：在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．其中真的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．412．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）A．8+8+4B．8+8+2C．2+2+D． ++二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．函数f（x）=x3﹣3x的极小值为．14．设实数x，y满足约束条件，则z=﹣2x+3y的取值范围是．15．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，点B（0，b），且，则双曲线C的离心率为．16．在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，，CD=5，BD=2AD，则AD的长为．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}是等比数列，a2=4，a3+2是a2和a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2log2a n﹣1，求数列{a n b n}的前n项和T n．18．从某企业生产的某中产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值．由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1．（Ⅰ）求这些产品质量指标落在区间[75，85]内的概率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[45，75）内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间[45，65）内的概率．19．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，A1O⊥底面ABCD，AB=AA1=2．（Ⅰ）证明：BD⊥平面A1CO；（Ⅱ）若∠BAD=60°，求点C到平面OBB1的距离．20．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（﹣2，0），点B（2，）在椭圆C上，直线y=kx（k≠0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF 分别与y轴交于点M，N（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=me x﹣lnx﹣1．（Ⅰ）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当m≥1时，证明：f（x）＞1．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图所示，△ABC内接于⊙O，直线AD与⊙O相切于点A，交BC的延长线于点D，过点D作DE∥CA交BA的延长线于点E．（I）求证：DE2=AE•BE；（Ⅱ）若直线EF与⊙O相切于点F，且EF=4，EA=2，求线段AC的长．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点0为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）在曲线C上求一点D，使它到直线l：，（t为参数，t∈R）的距离最短，并求出点D的直角坐标．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|．（I）当a=1时，求不等式f（x）≥的解集；（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，求实数b的取值范围．2016年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1≤x≤0}C．{x|1≤x≤2}D．{x|0≤x≤1}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：B={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，则A∩B={x|0≤x≤1}，故选：D2．已知复数z满足z=（i为虚数单位），则复数z所对应的点所在象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数的几何意义，即可得到结论．【解答】解：z===，对应的坐标为（2，﹣1），位于第四象限，故选：D．3．已知函数则f（f（﹣2））的值为（）A．B．C． D．【考点】函数的值．【分析】利用分段函数的性质求解．【解答】解：∵函数，∴f（﹣2）=（﹣2）2﹣（﹣2）=6，f（f（﹣2））=f（6）==﹣．故选：C．4．设P是△ABC所在平面内的一点，且=2，则△PAB与△PBC的面积之比是（）【考点】向量数乘的运算及其几何意义．【分析】由=2可知P 为AC 上靠近A 点的三等分点．【解答】解：∵=2，∴P 为边AC 靠近A 点的三等分点，∴△PAB 与△PBC 的面积比为1：2． 故选：B ．5．如果函数（ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为（ ） A ．3 B ．6 C ．12 D ．24【考点】y=Asin （ωx +φ）中参数的物理意义．【分析】根据余弦函数的相邻两个零点之间的距离恰好等于半个周期，即可求得ω的值．【解答】解：函数（ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为，∴T=2×=，又=，解得ω=6． 故选：B ．6．执行如图所示的程序框图，如果输入x=3，则输出k 的值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件x ＞100，跳出循环体，确定输出k 的值．【解答】解：模拟执行程序，可得 x=3，k=0 x=9，k=2不满足条件x ＞100，x=21，k=4 不满足条件x ＞100，x=45，k=6 不满足条件x ＞100，x=93，k=8 不满足条件x ＞100，x=189，k=10满足条件x ＞100，退出循环，输出k 的值为10． 故选：C ．7．在平面区域{（x ，y ）|0≤x ≤1，1≤y ≤2}内随机投入一点P ，则点P 的坐标（x ，y ）满足y ≤2x 的概率为（ ）【考点】简单线性规划；几何概型．【分析】作出不等式组对应的区域，利用几何概型的概率公式，即可得到结论．【解答】解：不等式组表示的平面区域为D的面积为1，不等式y≤2x对应的区域为三角形ABC，则三角形ABC的面积S==，则在区域D内任取一点P（x，y），则点P满足y≤2x的概率为，故选：A．8．已知f（x）=sin（x+），若sinα=（＜α＜π），则f（α+）=（）A．B．﹣C．D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】根据同角的三角函数的关系，以及两角和的正弦公式，即可求出．【解答】解：∵＜α＜π，sinα=，∴cosα=﹣∵f（x）=sin（x+），∴f（α+）=sin（α++）=sin（α+）=sinαcos+cosαsin=﹣（﹣）=，故选：C．9．如果P1，P2，…，P n是抛物线C：y2=4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，x n，F是抛物线C的焦点，若x1+x2+…+x n=10，则|P1F|+|P2F|+…+|P n F|=（）A．n+10 B．n+20 C．2n+10 D．2n+20【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线性质得|P n F|==x n+1，由此能求出结果．【解答】解：∵P1，P2，…，P n是抛物线C：y2=4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，x n，F是抛物线C的焦点，x1+x2+…+x n=10，∴|P1F|+|P2F|+…+|P n F|=（x1+1）+（x2+1）+…+（x n+1）=x1+x2+…+x n+n=n+10．故选：A．10．一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）A．20πB． C．5πD．【考点】球的体积和表面积．【分析】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，设正六棱柱的上下底面中心分别为O1，O2，球心为O，一个顶点为A，如右图．可根据题中数据结合勾股定理算出球的半径OA，再用球的体积公式即可得到外接球的体积．【解答】解：作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，如右图，则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边，设球心为O，正六棱柱的上下底面中心分别为O1，O2，则球心O是O1，O2的中点．∵正六棱柱底面边长为1，侧棱长为1，∴Rt△AO1O中，AO1=1，O1O=，可得AO==，因此，该球的体积为V=π•（）3=．故选：D．11．已知下列四个：p1：若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；p2：若f（x）=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）；p3：若，则∃x0∈（0，+∞），f（x0）=1；p4：在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．其中真的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】的真假判断与应用．【分析】p1：根据线面垂直的判断定理判定即可；p2：根据奇函数的定义判定即可；p3：对表达式变形可得=x+1+﹣1，利用均值定理判定即可；p4：根据三角形角边关系和正弦定理判定结论成立．【解答】解：p1：根据判断定理可知，若直线l和平面α内两条相交的直线垂直，则l⊥α，若没有相交，无数的平行直线也不能判断垂直，故错误；p2：根据奇函数的定义可知，f（﹣x）=2﹣x﹣2x=﹣f（x），故∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x），故正确；p3：若=x+1+﹣1≥1，且当x=0时，等号成立，故不存在x0∈（0，+∞），f（x0）=1，故错误；p4：在△ABC中，根据大边对大角可知，若A＞B，则a＞b，由正弦定理可知，sinA＞sinB，故正确．故选：B．12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）A．8+8+4B．8+8+2C．2+2+D． ++【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知几何体为从边长为4的正方体切出来的三棱锥．作出直观图，计算各棱长求面积．【解答】解：由三视图可知几何体为从边长为4的正方体切出来的三棱锥A﹣BCD．作出直观图如图所示：其中A，C，D为正方体的顶点，B为正方体棱的中点．∴S△ABC==4，S△BCD==4．∵AC=4，AC⊥CD，∴S△ACD==8，由勾股定理得AB=BD==2，AD=4．∴cos∠ABD==﹣，∴sin∠ABD=．∴S△ABD==4．∴几何体的表面积为8+8+4．故选A．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．函数f（x）=x3﹣3x的极小值为﹣2．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】首先求导可得f′（x）=3x2﹣3，解3x2﹣3=0可得其根，再判断导函数的符号分析函数的单调性，即可得到极小值．【解答】解析：令f′（x）=3x2﹣3=0，得x=±1，可求得f（x）的极小值为f（1）=﹣2．故答案：﹣2．14．设实数x，y满足约束条件，则z=﹣2x+3y的取值范围是[﹣6，15] ．【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，化简z=﹣2x+3y为y=x+，从而结合图象求解．【解答】解：由题意作平面区域如下，化简z=﹣2x+3y为y=x+，故结合图象可知，在点B（3，0）处有最小值，在点C（﹣3，3）处有最大值，故﹣2×3+3×0≤z≤﹣2×（﹣3）+3×3，即z∈[﹣6，15]，故答案为：[﹣6，15]．15．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，点B（0，b），且，则双曲线C的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出A，F的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，结合a，bc的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得A（﹣a，0），F（c，0），B（0，b），可得=（﹣a，﹣b），=（c，﹣b），由，可得﹣ac+b2=0，即有b2=c2﹣a2=ac，由e=，可得e2﹣e﹣1=0，解得e=（负的舍去）．故答案为：．16．在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，，CD=5，BD=2AD，则AD的长为5．【考点】三角形中的几何计算．【分析】根据题意画出图象，延长BC、过A做AE⊥BC、垂足为E，根据平行线的性质和勾股定理依次求出AE、CE、BC、BD，由条件求出AD的长．【解答】解：如图所示：延长BC，过A做AE⊥BC，垂足为E，∵CD⊥BC，∴CD∥AE，∵CD=5，BD=2AD，∴，解得AE=，在RT△ACE，CE===，由得BC=2CE=5，在RT△BCD中，BD===10，则AD=5，故答案为：5．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}是等比数列，a2=4，a3+2是a2和a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2log2a n﹣1，求数列{a n b n}的前n项和T n．【考点】数列递推式；等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）等比数列{a n}中，a2=4，a3+2是a2和a4的等差中项，有等比数列的首项和公比分别表示出已知条件，解方程组即可求得首项和公比，代入等比数列的通项公式即可求得结果；（Ⅱ）把（1）中求得的结果代入b n=2log2a n﹣1，求出b n，利用错位相减法求出T n．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，因为a2=4，所以a3=4q，．）因为a3+2是a2和a4的等差中项，所以2（a3+2）=a2+a4．即2（4q+2）=4+4q2，化简得q2﹣2q=0．因为公比q≠0，所以q=2．所以（n∈N*）．（Ⅱ）因为，所以b n=2log2a n﹣1=2n﹣1．所以．则，①，，②，①﹣②得，．=，所以．18．从某企业生产的某中产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值．由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1．（Ⅰ）求这些产品质量指标落在区间[75，85]内的概率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[45，75）内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间[45，65）内的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（I）由题意，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之和，利用之比为4：2：1，即可求出这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率；（2）由频率分布直方图得从[45，65）的产品数中抽取5件，记为A，B，C，D，E，从[65，75）的产品数中抽取1件，记为a，由此利用列举法求出概率．【解答】解：（I）由题意，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之和为1﹣0.04﹣0.12﹣0.19﹣0.3=0.35，∵质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1，∴这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率为0.35×=0.05，（Ⅱ）由频率分布直方图得：这些产品质量指标值落在区间[55，65）内的频率为0.35×=0.2，这些产品质量指标值落在区间[65，75）内的频率为0.35×=0.1，这些产品质量指标值落在区间[45，55）内的频率为0.03×10=0.30，所以这些产品质量指标值落在区间[45，65）内的频率为0.3+0.2=0.5，∵=∴从[45，65）的产品数中抽取6×=5件，记为A，B，C，D，E，从[65，75）的产品数中抽取6×=1件，记为a，从中任取两件，所有可能的取法有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，a），（B，C），（B，D），（B，E），（B，a），（C，D），（D（C，E），（C，a），（D，E），（D，a），（E，a），共15种，这2件产品都在区间[45，65）内的取法有10种，∴从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间[45，65）内的概率=．19．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，A1O⊥底面ABCD，AB=AA1=2．（Ⅰ）证明：BD⊥平面A1CO；（Ⅱ）若∠BAD=60°，求点C到平面OBB1的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明A1O⊥BD．CO⊥BD．即可证明BD⊥平面A1CO．（Ⅱ）解法一：说明点B1到平面ABCD的距离等于点A1到平面ABCD的距离A1O．设点C到平面OBB1的距离为d，通过，求解点C到平面OBB1的距离．解法二：连接A1C1与B1D1交于点O1，连接CO1，OO1，推出OA1O1C为平行四边形．证明CH⊥平面BB1D1D，然后求解点C到平面OBB1的距离．【解答】（Ⅰ）证明：因为A1O⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以A1O⊥BD．…因为ABCD是菱形，所以CO⊥BD．…因为A1O∩CO=O，A1O，CO⊂平面A1CO，所以BD⊥平面A1CO．…（Ⅱ）解法一：因为底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，AB=AA1=2，∠BAD=60°，所以OB=OD=1，．…所以△OBC的面积为．…因为A1O⊥平面ABCD，AO⊂平面ABCD，所以A1O⊥AO，．…因为A1B1∥平面ABCD，所以点B1到平面ABCD的距离等于点A1到平面ABCD的距离A1O．…由（Ⅰ）得，BD⊥平面A1AC．因为A1A⊂平面A1AC，所以BD⊥A1A．因为A1A∥B1B，所以BD⊥B1B．…所以△OBB1的面积为．…设点C到平面OBB1的距离为d，因为，所以．…所以．所以点C到平面OBB1的距离为．…解法二：由（Ⅰ）知BD⊥平面A1CO，因为BD⊂平面BB1D1D，所以平面A1CO⊥平面BB1D1D．…连接A1C1与B1D1交于点O1，连接CO1，OO1，因为AA1=CC1，AA1∥CC1，所以CAA1C1为平行四边形．又O，O1分别是AC，A1C1的中点，所以OA1O1C为平行四边形．所以O1C=OA1=1．…因为平面OA1O1C与平面BB1D1D交线为OO1，过点C作CH⊥OO1于H，则CH⊥平面BB1D1D．…因为O1C∥A1O，A1O⊥平面ABCD，所以O1C⊥平面ABCD．因为OC⊂平面ABCD，所以O•1C⊥OC，即△OCO1为直角三角形．…所以．所以点C到平面OBB1的距离为．…20．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（﹣2，0），点B（2，）在椭圆C上，直线y=kx（k≠0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF 分别与y轴交于点M，N（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可设椭圆标准方程为+=1（a＞b＞0），结合已知及隐含条件列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a2，b2的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），写出AE、AF所在直线方程，求出M、N的坐标，得到以MN为直径的圆的方程，由圆的方程可知以MN为直径的圆经过定点（±2，0），即可判断存在点P．【解答】解：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），则c=2，a2﹣b2=c2， +=1，解得：a2=8，b2=4．可得椭圆C的方程为+=1；（Ⅱ）如图，设F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），则+=1，A（﹣2，0），AF所在直线方程y=（x+2），取x=0，得y=，∴N （0，），AE 所在直线方程为y=（x +2），取x=0，得y=．则以MN 为直径的圆的圆心坐标为（0，），半径r=，圆的方程为x 2+（y ﹣）2==，即x 2+（y +）2=．取y=0，得x=±2．可得以MN 为直径的圆经过定点（±2，0）． 可得在x 轴上存在点P （±2，0），使得无论非零实数k 怎样变化，总有∠MPN 为直角．21．已知函数f （x ）=me x ﹣lnx ﹣1．（Ⅰ）当m=1时，求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）当m ≥1时，证明：f （x ）＞1．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（Ⅰ）求得m=1时，f （x ）的导数，可得切点坐标和切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线的方程；（Ⅱ）证法一：运用分析法证明，当m ≥1时，f （x ）=me x ﹣lnx ﹣1≥e x ﹣lnx ﹣1．要证明f （x ）＞1，只需证明e x ﹣lnx ﹣2＞0，思路1：设g （x ）=e x ﹣lnx ﹣2，求得导数，求得单调区间，可得最小值，证明大于0即可； 思路2：先证明e x ≥x +1（x ∈R ），设h （x ）=e x ﹣x ﹣1，求得导数和单调区间，可得最小值大于0；证明x ﹣lnx ﹣1≥0．设p （x ）=x ﹣lnx ﹣1，求得导数和单调区间，可得最小值大于0，即可得证；思路3：先证明e x﹣lnx＞2．：因为曲线y=e x与曲线y=lnx的图象关于直线y=x对称，结合点到直线的距离公式，求得两曲线上的点的距离AB＞2，即可得证；证法二：因为f（x）=me x﹣lnx﹣1，要证明f（x）＞1，只需证明me x﹣lnx﹣2＞0．思路1：设g（x）=me x﹣lnx﹣2，求得导数和单调区间，求得最小值，证明大于0，即可得证；思路2：先证明e x≥x+1（x∈R），且lnx≤x+1（x＞0）．设F（x）=e x﹣x﹣1，求得导数和单调区间，可得最小值大于0，再证明me x﹣lnx﹣2＞0，运用不等式的性质，即可得证．【解答】（Ⅰ）解：当m=1时，f（x）=e x﹣lnx﹣1，所以．…所以f（1）=e﹣1，f'（1）=e﹣1．…所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（e﹣1）=（e﹣1）（x﹣1）．即y=（e﹣1）x．…（Ⅱ）证法一：当m≥1时，f（x）=me x﹣lnx﹣1≥e x﹣lnx﹣1．要证明f（x）＞1，只需证明e x﹣lnx﹣2＞0．…以下给出三种思路证明e x﹣lnx﹣2＞0．思路1：设g（x）=e x﹣lnx﹣2，则．设，则，所以函数h（x）=在（0，+∞）上单调递增．…因为，g'（1）=e﹣1＞0，所以函数在（0，+∞）上有唯一零点x0，且．…因为g'（x0）=0时，所以，即lnx0=﹣x0．…当x∈（0，x0）时，g'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，g'（x）＞0．所以当x=x0时，g（x）取得最小值g（x0）．…故．综上可知，当m≥1时，f（x）＞1．…思路2：先证明e x≥x+1（x∈R）．…设h（x）=e x﹣x﹣1，则h'（x）=e x﹣1．因为当x＜0时，h'（x）＜0，当x＞0时，h'（x）＞0，所以当x＜0时，函数h（x）单调递减，当x＞0时，函数h（x）单调递增．所以h（x）≥h（0）=0．所以e x≥x+1（当且仅当x=0时取等号）．…所以要证明e x﹣lnx﹣2＞0，只需证明（x+1）﹣lnx﹣2＞0．…下面证明x﹣lnx﹣1≥0．设p（x）=x﹣lnx﹣1，则．当0＜x＜1时，p'（x）＜0，当x＞1时，p'（x）＞0，所以当0＜x＜1时，函数p（x）单调递减，当x＞1时，函数p（x）单调递增．所以p（x）≥p（1）=0．所以x﹣lnx﹣1≥0（当且仅当x=1时取等号）．…由于取等号的条件不同，所以e x﹣lnx﹣2＞0．综上可知，当m≥1时，f（x）＞1．…（若考生先放缩lnx，或e x、lnx同时放缩，请参考此思路给分！）思路3：先证明e x﹣lnx＞2．因为曲线y=e x与曲线y=lnx的图象关于直线y=x对称，设直线x=t（t＞0）与曲线y=e x，y=lnx分别交于点A，B，点A，B到直线y=x的距离分别为d1，d2，则．其中，（t＞0）．①设h（t）=e t﹣t（t＞0），则h'（t）=e t﹣1．因为t＞0，所以h'（t）=e t﹣1＞0．所以h（t）在（0，+∞）上单调递增，则h（t）＞h（0）=1．所以．②设g（t）=t﹣lnt（t＞0），则．因为当0＜t＜1时，g'（t）＜0；当t＞1时，g'（t）＞0，所以当0＜t＜1时，g（t）=t﹣lnt单调递减；当t＞1时，g（t）=t﹣lnt单调递增．所以g（t）≥g（1）=1．所以．所以．综上可知，当m≥1时，f（x）＞1．…证法二：因为f（x）=me x﹣lnx﹣1，要证明f（x）＞1，只需证明me x﹣lnx﹣2＞0．…以下给出两种思路证明me x﹣lnx﹣2＞0．思路1：设g（x）=me x﹣lnx﹣2，则．设，则．所以函数h（x）=在（0，+∞）上单调递增．…因为，g'（1）=me﹣1＞0，所以函数在（0，+∞）上有唯一零点x0，且．…因为g'（x0）=0，所以，即lnx0=﹣x0﹣lnm．…当x∈（0，x0）时，g'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，g'（x）＞0．所以当x=x0时，g（x）取得最小值g（x0）．…故．综上可知，当m≥1时，f（x）＞1．…思路2：先证明e x≥x+1（x∈R），且lnx≤x+1（x＞0）．…设F（x）=e x﹣x﹣1，则F'（x）=e x﹣1．因为当x＜0时，F'（x）＜0；当x＞0时，F'（x）＞0，所以F（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．所以当x=0时，F（x）取得最小值F（0）=0．所以F（x）≥F（0）=0，即e x≥x+1（当且仅当x=0时取等号）．…由e x≥x+1（x∈R），得e x﹣1≥x（当且仅当x=1时取等号）．…所以lnx≤x﹣1（x＞0）（当且仅当x=1时取等号）．…再证明me x﹣lnx﹣2＞0．因为x＞0，m≥1，且e x≥x+1与lnx≤x﹣1不同时取等号，所以me x﹣lnx﹣2＞m（x+1）﹣（x﹣1）﹣2=（m﹣1）（x+1）≥0．综上可知，当m≥1时，f（x）＞1．…请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图所示，△ABC内接于⊙O，直线AD与⊙O相切于点A，交BC的延长线于点D，过点D作DE∥CA交BA的延长线于点E．（I）求证：DE2=AE•BE；（Ⅱ）若直线EF与⊙O相切于点F，且EF=4，EA=2，求线段AC的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）推导出△AED∽△DEB，由此能证明DE2=AE•BE．（Ⅱ）由切割线定理得EF2=EA•EB，由DE∥CA，得△BAC∽△BED，由此能求出AC．【解答】证明：（Ⅰ）∵AD是⊙O的切线，∴∠DAC=∠B，∵DE∥CA，∴∠DAC=∠EDA，∴∠EDA=∠B，∵∠AED=∠DEB，∴△AED∽△DEB，∴，∴DE2=AE•BE．解：（Ⅱ）∵EF是⊙O的切线，EAB是⊙O割线，∴EF2=EA•EB，∵EF=4，EA=2，∴EB=8，AB=EB﹣EA=6，由（Ⅰ）知DE2=AE•BE，∴DE=4，∵DE∥CA，∴△BAC∽△BED，∴，∴AC==．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点0为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）在曲线C上求一点D，使它到直线l：，（t为参数，t∈R）的距离最短，并求出点D的直角坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）利用可把圆C的极坐标方程化为普通方程．（II）消去参数把直线l的参数方程化为普通方程，求出圆心C到直线l的距离d，得出直线与圆的位置关系即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π），即ρ2=2ρsinθ，化为x2+y2﹣2y=0，配方为x2+（y﹣1）2=1．（2）曲线C的圆心C（0，1），半径r=1．直线l：，（t为参数，t∈R）化为普通方程：﹣y﹣1=0，可得圆心C到直线l的距离d==1=0，∴直线l与圆C相切，其切点即为所求．联立，解得D．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|．（I）当a=1时，求不等式f（x）≥的解集；（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，求实数b的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（I）当a=1时，利用绝对值的意义求得不等式的解集．（Ⅱ）由题意可得b大于f（x）的最大值．再根据绝对值的意义可得f（x）的最大值为1，可得实数b的范围．【解答】解：（I）当a=1时，不等式f（x）≥，即|x+1|﹣|x|≥，即数轴上的x对应点到﹣1对应点的距离减去它到原点的距离大于，而﹣0.25对应点到﹣1对应点的距离减去它到原点的距离正好等于，故|x+1|﹣|x|≥的解集为{x|x≥﹣0.25}．（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，则b大于f（x）的最大值．而由绝对值的意义可得f（x）的最大值为1，故实数b＞1．2016年7月29日。

【关键字】数学华附、执信、深外2017届高三级联考数学（文科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答题卡前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设全集，若集合，，则（A）（B）（C）（D）（2）平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则（A）（B）（C）1 （D）2（3）若复数满足,则的虚部为（A）（B）（C）4 （D）（4）连续两次抛掷一枚骰子,记录向上的点数,则向上的点数之差的绝对值为2的概率是（A）（B）（C）（D）（5）如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是（A）直线（B）抛物线（C）椭圆（D）双曲线的一支（6）一个四面体的三视图如右图所示，则该四面体的表面积是（A）（B）（C）（D）（7）若变量满足约束条件且的最大值为,最小值为,则的值是（A）（B）（C）（D）（8）定义在上的函数满足.当时，当时,。

则（A）335 （B）338 （C）1678 （D）2012（9）已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是（A）2 （B）3 （C）4 （D）5（10）将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，，有，则（A）（B）（C）（D）（11）右图是用模拟方法估计圆周率的程序框图，表示估计结果，则图中空白框内应填入（A）（B）（C）（D）（12）设函数则下列结论错误的是（A）的值域为{0,1}（B）是偶函数（C）不是周期函数（D）不是单调函数第Ⅱ卷（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

2017届广州市普通高中毕业班模拟考试文科数学2016.12 本试卷共4页，23小题， 满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2．作答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

写在本试卷上无效。

3．第Ⅱ卷必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设全集{0,1,2,3,4}U =，集合{0,1,3}A =，集合{2,3}B =，则()U A B ð= (Ａ) {}4 (Ｂ) {}0,1,2,3 (Ｃ) {}3 (Ｄ) {}0,1,2,4 （2）设(1i)(i)x y ++2=，其中,x y 是实数，则2i x y +=（A ）1 （B （C （D （3）已知双曲线：C 22221x y a b-=（0,0>>b a ）的渐近线方程为2y x =±, 则双曲线C 的离心率为 (A)25(B) 5 (C)26(D) 6（4）袋中有大小，形状相同的红球，黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸出一个球. 若摸到红球得2分，摸到黑球得1分，则3次摸球所得总分为5分的概率是(A)31 (B)83 (C)21 (D)85 （5）已知角θ的顶点与原点重合, 始边与x 轴正半轴重合, 终边过点()12P ,-, 则tan 2=θ （A ）43 （B ）45 （C ）45- （D ）43- （6）已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=, 则BD CD ⋅=(A) 6- (B) 3- (C) 3 (D) 6OyOxO（7）已知函数2,0,()1,0,x x f x x x⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ ()()g x f x =--，则函数()g x 的图象是(A) (B) (C) (D)（8）曲线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为(A) 2 (B)23(C) 1 (D) 1- （9）阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为(A) 7 （10）若将函数()f x =则ϕ的最小正值是(Ａ)8π （11）如图, (A) π25 (C) π29(12) 若函数()e x f x=(A) (]1,∞-753686943859467830975457032417332649858765432甲城市乙城市 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2017年广州市高三一模文科数学试卷及答案(word版可编辑修改) 2017年广州市高三一模文科数学试卷及答案(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017年广州市高三一模文科数学试卷及答案(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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12017年广州市高三一模文科数学试卷及答案(word 版可编辑修改)22017年广州市普通高中毕业班文科数学综合测试（一)第Ⅰ卷一、选择题:本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．复数21i+的虚部是( )A ．2- B ．1- C ．1D ．22．已知集合}{}{2001x x ax ,+==，则实数a 的值为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 3．已知tan 2θ=，且θ∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭,则cos2θ=( )A ．45B ．35C ．35- D ．45-4．阅读如图的程序框图. 若输入5n =，则输出k 的值为（ ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 5．已知函数()122,0,1log ,0,+⎧≤=⎨->⎩x x f x x x 则()()3=f f （ ）A ．43B ．23C ．43- D ．3-6．已知双曲线C 222:14x y a -=的一条渐近线方程为230+=x y ，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上， 且12=PF ， 则2PF 等于（ ）A ．4B ．6C ．8D ．107．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上,则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（ ）A ．14 B ．716 C ．12D ．9168．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形）和侧视图,且该几何体的体积为83,则该几何体的俯视图可以是（ ）39．设函数()32f x x ax =+，若曲线()=y f x 在点()()00,P x f x 处的切线方程为0+=x y ，则点P 的坐标为（ ）A ．()0,0B ．()1,1-C ．()1,1-D ．()1,1-或()1,1-10．《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥-P ABC 为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==,4AC =，三棱锥-P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上,则球O 的表面 积为( ）A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π 11．已知函数()()()()sin cos 0,0=+++><<ωϕωϕωϕπf x x x 是奇函数，直线2y =()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π，则（ ）A ．()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C ．()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增12．已知函数()1cos 212x f x x x π+⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭, 则201612017k k f =⎛⎫⎪⎝⎭∑的值为（ ）A ．2016B ．1008C ．504D ．0第Ⅱ卷二、填空题：本小题共4题，每小题5分13．已知向量a ()1,2=，b (),1=-x ,若a //()a b -，则a b ⋅= 14．若一个圆的圆心是抛物线24=x y 的焦点，且该圆与直线3+=x y 相切,则该圆的标准方_____ 15．满足不等式组⎩⎨⎧≤≤≥-++-a x y x y x 00)3)(1(的点(),x y 组成的图形的面积是5，则实数a 的值是_____16．在ABC ∆中，160,1,2ACB BC AC AB ︒∠=>=+,当ABC ∆的周长最短时,BC 的长是4三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17． 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-(*N n ∈) （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式; （Ⅱ) 求数列{}n S 的前n 项和n T 18．（本小题满分12分)某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况,随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在(]195,210内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本的频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图(Ⅰ)根据图１，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数； （Ⅱ)若将频率视为概率,某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲、乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？ （Ⅲ）根据已知条件完成下面22⨯列联表,并回答是否有85％的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲,乙两条流水线的选择有关"?附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中=+++n a b c d 为样本容量）519．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，AD //BC ,AB ⊥BC ,BD ⊥DC ,点E 是BC 边的中点，将ABD ∆沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ,AC ,DE ，得到如图2所示的几何体 （Ⅰ)求证:AB ⊥平面ADC ；（Ⅱ）若1=AD ，AC 与其在平面ABD 内的正投影所成角的正切值为6，求点B 到平面ADE 的距离20．（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为23,且过点)1,2(A（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若Q P ,是椭圆C 上的两个动点，且使PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴,试判断直线PQ 的斜率是否为定值？若是,求出该值;若不是，说明理由21．(本小题满分12分）已知函数)0(ln )(>+=a xax x f（Ⅰ）若函数)(x f 有零点,求实数a 的取值范围；（Ⅱ）证明:当e a 2≥时，xe xf ->)(请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3,(1,=-⎧⎨=+⎩x t t y t 为参数)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线:22cos .4⎛⎫=- ⎪⎝⎭πρθC（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(Ⅱ)求曲线C甲生产线 乙生产线合计合格品不合格品合计上的点到直线l的距离的最大值23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()12=+-+-f x x a x a。

三角函数0331、在ABC ∆中，若60,2,B AB AC =︒==∆则ABC 的面积是 ． 【答案】32【 解析】由正弦定理sin sin AC AB B C =得sin 1sin 2AB B C AC ===，因为AC AB >,所以C B <，所以030C =。

所以90A =，所以11222ABC S AB AC ∆=⋅=⨯⨯32、已知函数()sin()(f x A x A ωϕ=+＞0，ω＞0，||ϕ＜π)2的图像与y 轴的交点为（0，1），它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为0(,2)x 和0(2π,2).x +- （1）求()f x 的解析式及0x 的值；（2）若锐角θ满足1cos 3θ=，求(4)f θ 的值【答案】解：（1）由题意可得2π2,2π,=4π,4π2T A T ω===即12ω=，………………………3分1()2sin(),(0)2sin 1,2f x x f ϕϕ=+==由||ϕ＜π2,π.6ϕ∴=1π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭………………………………………………………………………5分001π()2sin()2,26f x x =+=所以001ππ2π2π+,4π+(),2623x k x k k +==∈Z又 0x 是最小的正数，02π;3x ∴=……………………………………………………7分（2）π1(0,),cos ,sin 23θθθ∈=∴=27cos 22cos 1,sin 22sin cos 9θθθθθ∴=-=-==………………………………10分π77(4)2sin(2)2cos 2699f θθθθ=+=+==．…………………14分33、在△ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c ，且A , B , C 成等差数列．（1）若3AB BC ⋅=-，且b =，求a c +的值；（2）若sin cos AM A，求M 的取值范围．【答案】解：（1）A 、B 、C 成等差数列，∴2,B A C =+又A B C π++=，∴3B π=， …………………………2分由3AB BC ⋅=-得，2cos33c a π⋅=-，∴6ac = ① ………………………4分 又由余弦定理得2222cos,3b ac ac π=+-∴2218a c ac =+-，∴2224a c += ② ………………………6分 由①、②得，6a c += ……………………………………8分（2）sin sin cos AM A A A==-2sin()3A π=- ……………………………………11分由（1）得3B π=，∴23A C π+=， 由203C A π=->且0A >，可得20,3A π<<故333A πππ-<-<，所以2sin()(3A π-∈，即M 的取值范围为(． …………………………14分34、已知c b a ,,分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边长，且c A b B a 53cos cos =-． （1）求：BAtan tan 的值；（2）若060=A ，5=c ，求a 、b ．【答案】解：（1）由正弦定理C c B b A a sin sin sin ==得C A B B A sin 53cos sin cos sin =-，2分又B A B A B A C sin cos cos sin )sin(sin +=+=，所以A B B A cos sin 58cos sin 52=， · 5分可得4cos sin cos sin tan tan ==AB BA B A ． ······························································································ 7分 （2）若060=A ，则23sin =A ，21cos =A ，3tan =A ，得43t a n =B ，可得19194cos =B ，19193sin ⨯=B ． ······················································································ 10分381935sin cos cos sin )sin(sin ⨯=+=+=B A B A B A C ， 由正弦定理C cB b A a sin sin sin ==得 19sin sin =⋅=AC c a ，2sin sin =⋅=B Cc b 14分35、已知)1,sin 32cos 2(x x +=，),(cos y x -=，满足0=⋅． （1）将y 表示为x 的函数)(x f ，并求)(x f 的最小正周期；（2）已知c b a ,,分别为ABC ∆的三个内角C B A ,,对应的边长，若)2()(Af x f ≤对所有R x ∈恒成立，且2=a ，求c b +的取值范围．【答案】（I ）由0=⋅得0cos sin 32cos 22=-+y x x x ………2分 即x x x y cos sin 32cos 22+=1)62sin(212sin 32cos ++=++=πx x x … …4分所以1)62sin(2)(++=πx x f ，其最小正周期为π． ………6分（II ）因为)2()(Af x f ≤对所有R x ∈恒成立 所以3)2(=A f ，且Z k k A ∈+=+,226πππ…………8分因为A 为三角形内角，所以π<<A 0，所以3π=A ． ……………9分由正弦定理得B b sin 334=，C c sin 334=，C B c b sin 334sin 334+=+ )32sin(334sin 334B B -+=π)6sin(4π+=B ……………………………………12分)32,0(π∈B ，]1,21()6sin(∈+∴πB ，]4,2(∈+c b 所以c b +的取值范围为]4,2( ………… ……………………14分36、已知函数)cos (sin cos )(x x x x f +=，R ∈x ．（1）请指出函数)(x f 的奇偶性，并给予证明；（2）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求)(x f 的取值范围．【答案】解：2142sin 22)(+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx x f （3分） （1）⎪⎭⎫ ⎝⎛±=+±≠=⎪⎭⎫ ⎝⎛-8212218ππf f ，)(x f ∴是非奇非偶函数． （3分）注：本题可分别证明非奇或非偶函数，如01)0(≠=f ，)(x f ∴不是奇函数．（2）由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，得45424πππ≤+≤x ，142sin 22≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-πx ． （4分） 所以2122142sin 220+≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤πx ．即⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈212,0)(x f ． （2分）。

立体几何011、若一个圆锥的轴截面是边长为4cm 的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为 2cm【答案】8π【解析】因为圆锥的轴截面是边长为4cm 的等边三角形，所以母线4l =，底面半径2r =。

所以底面周长24c r ππ==，所以侧面积为1144822lc ππ=⨯⨯=。

2、如图所示，已知一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为俯视图左视图主视图【答案】23π+【 解析】由三视图可知该几何下面是圆柱，上面是四棱锥。

圆柱的底面半径为1，高为2 所以圆柱的体积为2π积为213⨯=，所以该几何体的体积为23π+。

3、正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线C B 1与D C 1所成的角的大小为【答案】【 解析】连结11AC ，1A D ,则11//A D B C ，所以11D BC ∠为直线1BD与平面11B BCC 所成的角，所以设正方体的边长为1，则1BC，所以11111tan D C D BC BC ===，所以11D BC∠arctan2=。

4、 三棱锥S ABC -中，E 、F 、G 、H 分别为SA 、AC 、BC 、SB 的中点，则截面EFGH将三棱锥S ABC -分成两部分的体积之比为【答案】1:1【 解析】因为E 、F 、G 、H 分别为SA 、AC 、BC 、SB 的中点，所以四边形EFGH 为平行四边形，SC 平行平面EFGH 且AB 平行平面EFGH ，且SC 和AB 到平面EFGH 的距离相同。

每一部分都可以可作是一个三棱锥和一个四棱锥两部分的体积和。

如图1中连接DE 、DF ，V ADEFGH =V D ﹣EFGH +V D ﹣EFA ：图2中，连接BF 、BG ，V BCEFGH =V B ﹣EFGH +V G ﹣CBF E ，F ，G 分别是棱AB ，AC ，CD 的中点，所以V D ﹣EFGH =V B ﹣EFGH V D﹣EFA 的底面面积是V G ﹣CBF 的一半，高是它的2倍，所以二者体积相等．所以V ADEFGH ：V BCEFGH =1：15、已知正三棱柱的底面正三角形边长为2，侧棱长为3，则它的体积=V ． 【答案】33【 解析】正三棱柱的底面面积为12222⨯⨯⨯= 6、若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是 ．【答案】π2【解析】设圆柱的底面半径为r ，母线为l ，则2l r π=，所以2l rπ=。

2017年广州市普通高中毕业班综合测试一文科数学第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.函数()()ln 1f x x =+的定义域为（ ）A.(),1-∞-B.(),1-∞C.()1,-+∞D.()1,+∞2.已知i 是虚数单位，若()234m i i +=-，则实数m 的值为（ ）A.2-B.2±C.D.23.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2C B =，则cb为（ ）A.2sin CB.2cos BC.2sin BD.2cos C4.圆()()22121x y -+-=关于直线y x =对称的圆的方程为（ ）A.()()22211x y -+-=B.()()22121x y ++-=C.()()22211x y ++-=D.()()22121x y -++=5.已知1x >-，则函数11y x x =++的最小值为（ ） A.1- B.0 C.1 D.26.函数()21xf x x =+的图象大致是（ ）Ks5u7.已知非空集合M 和N ，规定{}M N x x M x N -=∈∉且，那么()M M N --等于（ ）A.M NB.M NC.MD.N8.任取实数a 、[]1,1b ∈-，则a 、b 满足22a b -≤的概率为（ ） A.18B.14C.34D.789.设a 、b 是两个非零向量，则使a b a b ⋅=⋅ 成立的一个必要非充分的条件是（ ） A.a b = B.a b ⊥C.()0a b λλ=>D.//a b10.在数列{}n a 中，已知11a =，()11sin 2n n n a a π++-=，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2014S =（ ）A.1006B.1007C.1008D.1009第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，，每小题5分，满分20分） 11.执行如图1所示的程序框图，若输出7S =，则输入()k k N *∈的值为 .12.一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图2所示，则这个四棱锥的体积是.图2侧（左）视图正（主）视图13.由空间向量()1,2,3a = ，()1,1,1b =- 构成的向量集合{},A x x a kb k Z ==+∈，则向量x的模x 的最小值为 . Ks5u（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线()sin cos a ρθθ-=与曲线2cos 4sin ρθθ=-相交于A 、B 两点，若AB =a 的值为 .15.（几何证明选讲选做题）如图3，PC 是圆O 的切线，切点为点C ，直线PA 与圆O 交于A 、B 两点，APC ∠的角平分线交弦CA 、CB 于D 、E 两点，已知3PC =，2PB =，则PEPD的值为 .三、解答题 （本大题共6小题，满分80分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）已知某种同型号的6瓶饮料中有2瓶已过了保质期. （1）从6瓶饮料中任意抽取1瓶，求抽到没过保质期的饮料的概率； （2）从6瓶饮料中随机抽取2瓶，求抽到已过保质期的饮料的概率. Ks5u17.（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭. （1）求实数a 的值；（2）设()()22g x f x =-⎡⎤⎣⎦，求函数()g x 的最小正周期与单调递增区间.18.（本小题满分14分）如图4，在棱长为a 的正方体1111ABCD A BC D -中，点E 是棱1D D 的中点，点F 在棱1B B 上，且满足12B F BF =. （1）求证：11EF AC ⊥；（2）在棱1C C 上确定一点G ，使A 、E 、G 、F 四点共面，并求此时1C G 的长； （3）求几何体ABFED 的体积.图4D 1C 1B 1A 1FE DCBA19.（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，数列{}n b 满足62n n nb a n =-，n N *∈. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）记{}max ,n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S . （注：{}max ,a b 表示a 与b 的最大值.）20.（本小题满分14分）已知函数()32693f x x x x =-+-. （1）求函数()f x 的极值；（2）定义：若函数()h x 在区间[](),s t s t <上的取值范围为[],s t ，则称区间[],s t 为函数()h x 的“域同区间”.试问函数()f x 在()3,+∞上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分14分）已知双曲线()222:104x y E a a -=>的中心为原点O ，左、右焦点分别为1F 、2F，离心率为5，点P 是直线23a x =上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且满足220PF QF ⋅=.（1）求实数a的值；（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；（3）若点P的纵坐标为1，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同的两点M、N，在线段MN上去异于点M、N的点H，满足PM MH，证明点H恒在一条定直PN HN线上.。

7 8 994 4 6 4 7 3试卷类型：A广州市2017届高三年级调研测试数 学（文 科） 2017．1本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：锥体体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数y =A ．(),4-∞B ．(],4-∞C ．()4,+∞D ．[)4,+∞2．命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是A ．若12≥x ，则11-≤≥x x ，或 B ．若11<<-x ，则12<x C ．若11-<>x x ，或，则12>x D ．若11-≤≥x x ，或，则12≥x 3．如图1是2013年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为 A ． 85，84 B ． 84，85 C ． 86，84D ． 84，86图14．设1i z =-（i 是虚数单位），则复数22i z+的虚部是 A ．i - B ．1- C ．i D ．1 5．若集合,A B 满足{}|3A x x =∈<Z ，B ⊆N ，则A B 不可能．．．是 A ．{0,1,2} B ． {1,2} C ． {1}- D ．∅6．若实数x ，y 满足不等式组220,10,220,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则x y +的最大值为A ．4B ．5C ．6D ．7 7．执行如图2的程序框图，如果输入的N 的值是6，那么输出的p 的值是A ．15B ．105C ．120D ．7208．某几何体的三视图（如图3所示）均为边长为2的等腰直角三角 形，则该几何体的表面积是 A．4+．C．4+．8+9．若点(1,0)A 和点(4,0)B 到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条10．函数()sin f x x =[)0,+∞内A ．没有零点B ．有且仅有1个零点C ．有且仅有2个零点D ．有且仅有3个零点二．填空题： 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）图3正视图侧视图11．若向量()1,2=m ，(),1x =n 满足⊥m n ，则||=n __________． 12．在等比数列{}n a 中，若1323a a a =⋅，则4a = ．13．在边长为2的正方形ABCD 内部任取一点M ，则满足90>∠AMB 的概率为_______． （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图4，AC 为⊙O 的直径，OB AC ⊥，弦BN 交AC 于点M ．若OC ，1OM =，则MN 的长为 ．15．（坐标系与参数方程选讲选做题）若点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，θ∈R ）上，则y x 的取值范围是 ．三．解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且cos 2A C +=（1）求cos B 的值；（2）若3a =，b =c 的值．17．（本小题满分12分）某单位N 名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们 的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组 [40,45)，第5组[45,50]，得到的频率分布直方图如图5所示．下表是年龄的频率分布表．ABCOM N图4图5（1）求正整数a ，b ，N 的值；（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．18．（本小题满分14分）如图6，在三棱锥P ABC -中，PA AC ⊥，PC BC ⊥，M 为PB 的中点，D 为AB 的中点，且△AMB 为正三角形．（1）求证：⊥BC 平面PAC ；（2）若4BC =，10PB =，求点B 到平面DCM 的距离．19．（本小题共14分）设数列{}n a 满足321212222n n a a a a n -++++= ，*n ∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()111nn n n a b a a +=--，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20．（本小题满分14分）在圆422=+y x 上任取一点P ，设点P 在x 轴上的正投影为点D ．当点P 在圆上运动时，动点M 满足2=，动点M 形成的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）已知点()0,1E ，若B A ,是曲线C 上的两个动点，且满足EB EA ⊥，求BA EA ⋅的取值范围．21．（本小题满分14分）已知函数()()2ln 2f x x ax a x =-+-．（1）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值； （2）求函数()f x 在区间2[,]a a 上的最大值．广州市2017届高三年级调研测试 数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二．填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．11．3 13．8π14．1 15．⎡⎢⎣⎦三．解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）解：（1）在△ABC 中，A B C ++=π． (1)分所以cos cos 22A C Bπ+-= …………………………………………………………………………2分sin23B ==．………………………………………………………………………3分所以2cos 12sin 2BB =- ……………………………………………………………………………5分13=．………………………………………………………………………………………7分（2）因为3a =，b =1cos 3B =， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，………………………………………………………………9分得2210c c -+=．……………………………………………………………………………………11分解得1c =．……………………………………………………………………………………………12分17．（本小题满分12分） 解：（1）由频率分布直方图可知，[25,30)与[30,35)两组的人数相同，所以25a =人．………………………………………………………………………………………1分且0.08251000.02b =⨯=人．……………………………………………………………………………2分总人数252500.025N ==⨯人． (3)分（2）因为第1，2，3组共有25+25+100=150人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为： 第1组的人数为2561150⨯=，…………………………………………………………………………4分第2组的人数为2561150⨯=，…………………………………………………………………………5分第3组的人数为10064150⨯=，………………………………………………………………………6分所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．……………………………………………………7分（3）由（2）可设第1组的1人为A ，第2组的1人为B ，第3组的4人分别为1234,,,C C C C ，则从6人中抽取2人的所有可能结果为：(,)A B ，1(,)A C ，2(,)A C ，3(,)A C ，4(,)A C ，1(,)B C ，2(,)B C ，3(,)B C ，4(,)B C ，12(,)C C ，13(,)C C ，14(,)C C ，23(,)C C ，24(,)C C ，34(,)C C ，共有15种． (9)分其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：1(,)A C ，2(,)A C ，3(,)A C ，4(,)A C ，1(,)B C ，2(,)B C ，3(,)B C ，4(,)B C ，共有8种． (11)分所以恰有1人年龄在第3组的概率为815． (12)分18．（本小题满分14分）（1）证明：在正AMB ∆中，D 是AB 的中点，所以MD AB ⊥．……………………………………1分因为M 是PB 的中点，D 是AB 的中点，所以//MD PA ，故PA AB ⊥．……………………2分又PA AC ⊥，AB AC A = ，,AB AC ⊂平面ABC ， 所以PA ⊥平面ABC ．…………………………………4分 因为⊂BC 平面ABC ，所以PA BC ⊥．……………5分 又,,,PC BC PA PC P PA PC ⊥=⊂ 平面PAC ， 所以⊥BC 平面PAC ．………………………………7分 （2）解法1：设点B 到平面DCM 的距离为h ，………8分因为10PB =，M 是PB 的中点，所以5MB =．因为AMB ∆为正三角形，所以5AB MB ==．……………………………………………………9分因为4,BC BC AC =⊥，所以3AC =． 所以1111143322222BCD ABC S S BC AC ∆∆==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=．…………………………………10分因为23525522=⎪⎭⎫⎝⎛-=MD ，由（1）知//MD PA ，所以DC MD ⊥． 在ABC ∆中，1522CD AB ==， 所以8325252352121=⨯⨯=⨯⨯=∆CD MD S MCD ．…………………………………………11分因为MCD B BCD M V V --=，……………………………………………………………………………12分所以h S MD S MCD BCD ⋅=⋅∆∆3131，即1133238h ⨯⨯=⨯．……………………………………………………………………13分所以512=h ． 故点B 到平面DCM 的距离为512．………………………………………………………………14分解法2：过点B 作直线CD 的垂线，交CD 的延长线于点H ，…………………………………………8分由（1）知，PA ⊥平面ABC ，//MD PA ， 所以MD ⊥平面ABC ．因为BH ⊂平面ABC ，所以MD BH ⊥．因为CD MD D = ，所以BH ⊥平面DCM ．所以BH 为点B 到平面DCM 的距离．………………9分因为10PB =，M 是PB 的中点，所以5MB =． 因为AMB ∆为正三角形，所以5AB MB ==．……10分 因为D 为AB 的中点，所以52CD BD ==． 以下给出两种求BH 的方法：方法1：在△BCD 中，过点D 作BC 的垂线，垂足为点E ， 则1322DE AC ==．…………………………………………………………………………………11分因为1122CD BH BC DE ⨯⨯=⨯⨯，………………………………………………………………12分所以3412252BC DEBH CD⨯⨯===．方法2：在Rt △BHD 中，222254BH DH BD +==． ①…………………………11分在Rt △BHC 中，因为4BC =， 所以222BH CH BC +=，即225162BH DH ⎛⎫++= ⎪⎝⎭． ② (12)分由①，②解得125BH =． 故点B 到平面DCM 的距离为512．………………………………………………………………14分19．（本小题满分14分） 解：（1）因为321212222n n a a a a n -++++= ，*n ∈N ， ① 所以当1=n 时，12a =．……………………………………………………………………………1分当2≥n 时，()31212221222n n a a a a n --++++=- ， ② …………………………………2分①－②得，122nn a -=．…………………………………………………………………………………4分所以2n n a =．…………………………………………………………………………………………5分因为12a =，适合上式，所以2n n a =()*n ∈N ． (6)分（2）由（1）得2n n a =．所以()()111n n n n a b a a +=--()()122121nn n +=--…………………………………………………8分1112121n n +=---．…………………………………………………………………………10分所以12n n S b b b =+++1111111113377152121n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭………………………………12分11121n +=--． (14)分20．（本小题满分14分）（1）解法1：由2=知点M 为线段PD 的中点．……………………………………………1分设点M 的坐标是(,)x y ，则点P 的坐标是(),2x y ．……………………………………………2分 因为点P 在圆422=+y x 上，所以()2224x y +=．…………………………………………………………………………………3分所以曲线C 的方程为1422=+y x ．…………………………………………………………………4分解法2：设点M 的坐标是(,)x y ，点P 的坐标是()00,y x ， 由MD PD 2=得，x x =0，y y 20=．……………………………………………………………1分因为点P ()00,y x 在圆422=+y x 上， 所以42020=+y x ． ①………………………2分把x x =0，y y 20=代入方程①，得4422=+y x ．……………………………………………3分 所以曲线C 的方程为1422=+y x ．…………………………………………………………………4分（2）解：因为EB EA ⊥，所以0=⋅．…………………………………………………………5分 所以()2=-⋅=⋅．……………………………………………………………7分 设点()11,A x y ，则221114x y +=，即221114x y =-．………………………………………………8分所以()222221*********x EA BA EA x y x x ⋅==-+=-++- 221113342224433x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-+=-+．……………………………………………………………10分因为点()11,A x y 在曲线C 上，所以122x -≤≤．………………………………………………11分所以21234293433x ⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭．……………………………………………………………………13分 所以⋅的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡932，．………………………………………………………………14分21．（本小题满分14分）解：（1）因为2()ln (2)f x x ax a x =-+-，所以函数()f x 的定义域为(0,)+∞．………………………………………………………………1分 且1()2(2)f x ax a x'=-+-．………………………………………………………………………2分因为()f x 在1x =处取得极值，所以()()11220f a a '=-+-=．解得1a =-．…………………………………………………………………………………………3分 当1a =-时，1(21)(1)()23x x f x x x x--'=+-=， 当102x <<时，()0f x '>；当112x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>． 所以1x =是函数()y f x =的极小值点．故1a =-．……………………………………………………………………………………………4分（2）因为2a a <，所以01a <<．…………………………………………………………………………………………5分 由（1）知(21)(1)()x ax f x x-+'=-． 因为(0,)x ∈+∞，所以10ax +>． 当102x <<时，()0f x '>；当12x >时，()0f x '<． 所以函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．………………………………7分 ①当102a <≤时，()f x 在2[,]a a 上单调递增， 所以[]32max ()()ln 2f x f a a a a a ==-+-．………………………………………………………9分②当21,21.2a a ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩即122a <<时，()f x 在21,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以[]max 12()ln 21ln 22424a a a f x f -⎛⎫==--+=-- ⎪⎝⎭．……………………………………11分 ③当212a ≤1a ≤<时，()f x 在2[,]a a 上单调递减， 所以[]2532max ()()2ln 2f x f a a a a a ==-+-．…………………………………………………13分综上所述： 当102a <≤时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是32ln 2a a a a -+-；当122a <<时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是1ln 24a --；当12a ≤<时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是5322ln 2a a a a -+-．…………………14分。

广东省广州市2017年高考一模数学（文科）试卷答 案一、选择题 1~5．BACBA 6~10．CBCDC 11~12．DB 二、填空题 13．52-14．()2212x y +-= 15．316．1+三、解答题 17．解：（Ⅰ）∵S n =2a n ﹣2（n ∈N *），∴n=1时，a 1=2a 1﹣2，解得a 1=2．n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2a n ﹣2﹣（2a n ﹣1﹣2），化为：a n =2a n ﹣1， ∴数列{a n }是等比数列，公比为2． ∴a n =2n ．所以1222n nn a -=⨯=（n ∈N *）．（Ⅱ）S n ==2n +1﹣2．∴数列{S n }的前n 项和T n =﹣2n=2n +2﹣4﹣2n ．18．解：（Ⅰ）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x ，因为()()0.480.0120.0320.05250.50.0120.0320.0520.07650.86=++⨯<<+++⨯=，则()()0.0120.0320.05250.0762050.5,x ++⨯+⨯-= 解得390019x =． （Ⅱ）由甲，乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为153,5010P ==甲 乙流水线生产的产品为不合格品的概率为()10.0120.02855P =+⨯=乙， 于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线生产 的不合格品件数分别为：315000=1500,5000=1000105⨯⨯． （Ⅲ）22⨯列联表：…………………………10分 则()2210035060041.3505075253K ⨯-==≈⨯⨯⨯， 因为1.3 2.072,<所以没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线 的选择有关”． 19．解：（Ⅰ）证明∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面BCD BD =，又BD ⊥DC ，∴DC ⊥平面ABD ． 因为AB ⊂平面ABD ，所以DC ⊥AB 又因为折叠前后均有AD ⊥AB ，DC ∩AD D = 所以AB ⊥平面ADC ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知DC ⊥平面ABD ，所以AC 在平面ABD 内的正投影为AD ， 即∠CAD 为AC 与其在平面ABD 内的正投影所成角．依题意tan CDCAD AD∠=因为1,AD =所以CD =．设()0AB x x =>，则BD = 因为△ABD ～△BDC ，所以AB DCAD BD=，即1x =解得x =3AB BD BC ==．由于AB ⊥平面ADC ，AB ⊥AC ，E 为BC 的中点， 由平面几何知识得AE 322BC ==， 同理DE 322BC ==， 所以．因为DC ⊥平面ABD，所以13A BCD ABD V CD S -=⋅=． 设点B 到平面ADE 的距离为d ，则11326ADE B ADE A BDE A BCD d S V V V ---⋅====，所以d =，即点B 到平面ADE20．解：（Ⅰ）因为椭圆C，且过点()2,1A ， 所以22411a b +=，c a =． 因为222a b c =+， 解得28a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22182x y +=．（Ⅱ）解法一：因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴，所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称．设直线PA 的斜率为k ，则直线AQ 的斜率为k -．所以直线PA 的方程为()12y k x -=-，直线AQ 的方程为()12y k x -=--． 设点(),P P P x y ，(),Q Q Q x y ，由()2212,1,82y k x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()()222214168161640k x k k x k k +--+--=．①因为点()2,1A 在椭圆C 上，所以2x =是方程①的一个根，则2216164214P k k x k --=+，所以2288214P k k x k --=+．同理2288214Q k k x k +-=+．所以21614P Q kx x k-=-+． 又()28414P Q P Q ky y k x x k -=+-=-+．所以直线PQ 的斜率为12P Q PQ P Qy y k x x -==-． 所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12． 法2：设点()()1122,,,P x y Q x y ， 则直线PA 的斜率1112PA y k x -=-，直线QA 的斜率2212QA y k x -=-．因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴，所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称． 所以PA QA k k =-，即1112y x --22102y x -+=-，① 因为点()()1122,,,P x y Q x y 在椭圆C 上，所以2211182x y +=，②2222182x y +=．③ 由②得()()22114410x y -+-=，得()111112241y x x y -+=--+，④ 同理由③得()222212241y x x y -+=--+，⑤ 由①④⑤得()()12122204141x x y y +++=++，化简得()()12211212240x y x y x x y y ++++++=，⑥ 由①得()()12211212240x y x y x x y y +-+-++=，⑦ ⑥-⑦得()12122x x y y +=-+．②-③得22221212082x x y y --+=，得()12121212142y y x x x x y y -+=-=-+．所以直线PQ 的斜率为121212PQ y y k x x -==-为定值．法3：设直线PQ 的方程为y kx b =+，点()()1122,,,P x y Q x y ， 则1122,y kx b y kx b =+=+， 直线PA 的斜率1112PA y k x -=-，直线QA 的斜率2212QA y k x -=-．因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴，所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称． 所以PA QA k k =-，即1112y x --2212y x -=--， 化简得()()12211212240x y x y x x y y +-+-++=． 把1122,y kx b y kx b =+=+代入上式，并化简得()()1212212440kx x b k x x b +--+-+=．（*）由22,1,82y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()222418480k x kbx b +++-=，（**）则2121222848,4141kb b x x x x k k -+=-=++， 代入（*）得()()2222488124404141k b kb b k b k k -----+=++，整理得()()21210k b k -+-=，所以12k =或12b k =-． 若12b k =-，可得方程（**）的一个根为2，不合题意．若12k =时，合题意． 所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12． 21．解：（Ⅰ）法1：函数()ln af x x x=+的定义域为()0,+∞． 由()ln a f x x x=+，得()221a x af x x x x -'=-=．因为0a >，则()0,x a ∈时，()0f x '<；(),x a ∈+∞时，()0f x '>． 所以函数()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增． 当x a =时，()min ln 1f x a ⎡⎤=+⎣⎦． 当ln 10a +≤，即0a <≤1e时，又()1ln10f a a =+=>，则函数()f x 有零点． 所以实数a 的取值范围为10,e ⎛⎤⎥⎝⎦．法2：函数()ln af x x x=+的定义域为()0,+∞． 由()ln 0af x x x=+=，得ln a x x =-． 令()ln g x x x =-，则()()ln 1g x x '=-+．当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<．所以函数()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减故1x e =时，函数()g x 取得最大值1111ln g e e e e ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．因而函数()ln a f x x x =+有零点，则10a e<≤． 所以实数a 的取值范围为10,e ⎛⎤⎥⎝⎦．（Ⅱ）要证明当2a e ≥时，()xf x e ->， 即证明当0,x >2a e ≥时，ln xa x e x-+>，即ln x x x a xe -+>．令()ln h x x x a =+，则()ln 1h x x '=+． 当10x e <<时，()0f x '<；当1x e>时，()0f x '>． 所以函数()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．当1x e=时，()min1h x a e ⎡⎤=-+⎣⎦．于是，当2a e≥时，()11.h x a e e ≥-+≥①令()x x xe ϕ-=，则()()1xx x x exe e x ϕ---'=-=-．当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<． 所以函数()x ϕ在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减．当1x =时，()max 1x e ϕ⎡⎤=⎣⎦． 于是，当0x >时，()1.x eϕ≤②显然，不等式①、②中的等号不能同时成立．故当2a e≥时，()xf x e ->． 22．解：（Ⅰ）由直线l 的参数方程3,1,x t y t =-⎧⎨=+⎩消去t 得40x y +-=，所以直线l 的普通方程为40x y +-=．由4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭cos cos sin sin 2cos 2sin 44ππθθθθ⎫=+=+⎪⎭，得22cos 2sin ρρθρθ=+．将222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==代入上式，得曲线C 的直角坐标方程为2222x y x y +=+，即()()22112x y -+-=．（Ⅱ）法1：设曲线C上的点为()1,1P αα，则点P 到直线l的距离为d == 当sin 14πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，max d =，所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为 法2：设与直线l 平行的直线为:0l x y b '++=，当直线l '与圆C =解得0b =或4b =-（舍去）， 所以直线l '的方程为0x y +=．所以直线l 与直线l '的距离为d ==所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为 23．解：（Ⅰ）因为()13f <，所以123a a +-<．①当0a ≤时，得()123a a -+-<，解得23a >-，所以203a -<≤； ②当102a <<时，得()123a a +-<，解得2a >-，所以102a <<；③当12a ≥时，得()123a a --<，解得43a <，所以1423a ≤<；综上所述，实数a 的取值范围是24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．（Ⅱ）因为1,a x ≥∈R ，所以()()()1212f x x a x a x a x a =+-+-≥+---31a =- 31a =-2≥．广东省广州市2017年高考一模数学（文科）试卷解 析一、选择题1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出． 【解答】解：复数==1﹣i 的虚部是﹣1．故选：B．2．【考点】集合的表示法．【分析】集合{x|x2+ax=0}={0，1}，则x2+ax=0的解为0，1，利用韦达定理，求出a的值．【解答】解：由题意，0+1=﹣a，∴a=﹣1，故选A．3．【考点】二倍角的余弦．【分析】由已知利用同角三角函数关系式可求cosθ，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算求值得解．【解答】解：∵tanθ=2，且θ∈，4．【考点】循环结构．【分析】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果；直到满足判断框中的条件，执行输出．【解答】解：经过第一次循环得到的结果为k=0，n=16，经过第二次循环得到的结果为k=1，n=49，经过第三次循环得到的结果为k=2，n=148，经过第四次循环得到的结果为k=3，n=445，满足判断框中的条件，执行“是”输出的k为3故选B5．【考点】函数的值．【分析】由解析式先求出f（3），由指数的运算法则求出（f（3））的值．【解答】解：由题意知，f（x）=，则f（3）=1﹣，所以f（f（3））==4•=，故选A．6．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的方程、渐近线的方程求出a，由双曲线的定义求出|PF2|．【解答】解：由双曲线的方程、渐近线的方程可得=，∴a=3．由双曲线的定义可得|PF2|﹣2=6，∴|PF2|=8，故选C．7．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】列举出所有情况，求出满足条件的概率即可．【解答】解：由题意得：正面不能相邻，即正反正反，反正反正，3反一正，全反，其中3反一正中有反反反正，反反正反，反正反反，正反反反，故共7中情况，故P==，故选：B．8．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，作出图形，可得结论．【解答】解：该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，如图所示，该几何体的俯视图为C．故选：C．9．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，导函数等于﹣1求得点（x0，f（x0））的横坐标，进一步求得f（x0）的值，可得结论．【解答】解：∵f（x）=x3+ax2，∴f′（x）=3x2+2ax，∵函数在点（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，∴3x02+2ax0=﹣1，∵x0+x03+ax02=0，解得x0=±1．当x0=1时，f（x0）=﹣1，当x0=﹣1时，f（x0）=1．故选：D．10．【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意，PC为球O的直径，求出PC，可得球O的半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：由题意，PC为球O的直径，PC==2，∴球O的半径为，∴球O的表面积为4π•5=20π，故选C．11．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】根据两角和的正弦函数化简解析式，由条件和诱导公式求出φ的值，由条件和周期共识求出ω的值，根据正弦函数的单调性和选项判断即可．【解答】解：由题意得，f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）= [sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）]=，∵函数f（x）（ω＞0，0＜φ＜π）是奇函数，∴，则，又0＜φ＜π，∴φ=，∴f（x）==，∵y=与f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，∴T=，则ω=4，即f（x）=，由得4x∈（0，π），则f（x）在上不是单调函数，排除A、C；由得4x∈，则f（x）在上是增函数，排除B，故选：D．12．【考点】数列的求和．【分析】函数f（x）=+cos（x﹣），可得f（x）+f（1﹣x）=0，即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=+cos（x﹣），∴f（x）+f（1﹣x）=+cos（x﹣）++=1+0=1，则=2016=1008．故选：B．二、填空题13．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：=（1﹣x，3），∵∥（﹣），∴2（1﹣x）﹣3=0，解得x=﹣．则•=﹣﹣2=﹣．故答案为：﹣．14．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点即圆心坐标，利用切线的性质计算点C到切线的距离即为半径，从而得出圆的方程．【解答】解：抛物线的标准方程为：x2=4y，∴抛物线的焦点为F（0，1）．即圆C的圆心为C（0，1）．∵圆C与直线y=x+3相切，∴圆C的半径为点C到直线y=x+3的距离d==．∴圆C的方程为x2+（y﹣1）2=2．故答案为：x2+（y﹣1）2=2．15．【考点】简单线性规划；二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】根据题意，将不等式组表示的平面区域表示出来，分析可得必有a＞1，此时阴影部分的面积S=×2×1+×（a﹣1）×[a+1﹣（3﹣a）]=5，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，不等式组⇔或；其表示的平面区域如图阴影部分所示：=×2×1=1，不合题意，当a≤1时，其阴影部分面积S＜S△AOB必有a＞1，当a＞1时，阴影部分面积S=×2×1+×（a﹣1）×[a+1﹣（3﹣a）]=5，解可得a=3或﹣1（舍）；故答案为：3．16．【考点】三角形中的几何计算．【分析】设A，B，C所对的边a，b，c，则根据余弦定理可得a2+b2+c2=2abcosC，以及b=c+可得c的长，再利用均值不等式即可求出答案．【解答】解：设A，B，C所对的边a，b，c，则根据余弦定理可得a2+b2+c2=2abcosC，将b=c+代入上式，可得a2+c+=ac+，化简可得c=，所以△ABC的周长l=a+b+c=++a，化简可得l=3（a﹣1）++，因为a＞1，所以由均值不等式可得3（a﹣1）=时，即6（a﹣1）2=3，解得a=+1时，△ABC的周长最短，故答案为： +1．三、解答题17．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）S n=2a n﹣2（n∈N*），可得n=1时，a1=2a1﹣2，解得a1．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，再利用等比数列的通项公式即可得出．（II）利用等比数列的求和公式即可得出．18．【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）利用（0.012+0.032+0.052）×5+0.076×（x﹣205）=0.5，即可估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；（Ⅱ）求出甲，乙两条流水线生产的不合格的概率，即可得出结论；（Ⅲ）计算可得K2的近似值，结合参考数值可得结论．19．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由题意结合面面垂直的性质可得BD⊥DC，有DC⊥平面ABD，进一步得到DC⊥AB，再由线面垂直的判定可得AB⊥平面ADC；（Ⅱ）由（Ⅰ）知DC⊥平面ABD，可得AC在平面ABD内的正投影为AD，求解直角三角形得到AB的值，然后利用等积法求得点B到平面ADE的距离．20．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由椭圆C的离心率为，且过点A（2，1），列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）法一：由∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，知PA与AQ所在直线关于直线x=2对称．设直线PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），直线AQ的方程为y﹣1=﹣k（x﹣2）．由，得（1+4k2）x2﹣（16k2﹣8k）x+16k2﹣16k﹣4=0．由点A（2，1）在椭圆C上，求出．同理，由此能求出直线PQ的斜率为定值．法二：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线PA的斜率，直线QA的斜率．由∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，知，再由点P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上，能求出直线PQ的斜率为定值．法三：设直线PQ的方程为y=kx+b，点P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1=kx1+b，y2=kx2+b，直线PA的斜率，直线QA的斜率．由∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，知=，由，得（4k2+1）x2+8kbx+4b2﹣8=0，由此利用韦达定理能求出直线PQ的斜率为定值．21．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）法一：求出函数f（x）的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可；法二：求出a=﹣xlnx，令g（x）=﹣xlnx，根据函数的单调性求出a的范围即可；（Ⅱ）问题转化为xlnx+a＞xe﹣x，令h（x）=xlnx+a，令φ（x）=xe﹣x，根据函数的单调性证明即可．22．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）将直线l的参数方程消去t参数，可得直线l的普通方程，将ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，带入ρ=2cos（θ﹣）可得曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）法一：设曲线C上的点为，点到直线的距离公式建立关系，利用三角函数的有界限可得最大值．法二：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0，当直线l'与圆C相切时，得，点到直线的距离公式可得最大值．23．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）通过讨论a的范围得到关于a的不等式，解出取并集即可；（Ⅱ）基本基本不等式的性质证明即可．。

试卷类型：A2017年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）2017.3参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．()()22221211236n n n n ++++++= ()*n ∈N ． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数()()ln 1f x x =+的定义域为A ．(),1-∞-B ．(),1-∞C ．()1,-+∞D ．()1,+∞2．已知i 是虚数单位，若()2i 34i m +=-，则实数m 的值为A ．2-B ．2± C．D ．23．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2C B =，则cb为A ．2sin CB ．2cos BC ．2sin BD ．2cos C4．圆()()22121x y -+-=关于直线y x =对称的圆的方程为A ．()()22211x y -+-= B ．()()22121x y ++-= C ．()()22211x y ++-= D ．()()22121x y -++=5．已知1x >-，则函数11y x x =++的最小值为 A ．1- B ．0 C ．1 D ．26．函数()2xf x =的图象大致是7．已知非空集合M 和N ，规定M N x x M x N -=∈∉且，那么M M N --等于A ．M NB ．M NC ．MD ．N8．任取实数a ，b ∈[]1,1-，则a ，b 满足22a b -≤的概率为A ．18B ．14C ．34D ．789．设a ，b 是两个非零向量，则使 a b =a b 成立的一个必要非充分条件是A ．=a bB ．a bC ．⊥a bD ．λ=a b ()0λ> 10．在数列{}n a 中，已知11a =，()11sin2n n n a a ++π-=，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2014S =A ．1006B ．1007C ．1008D ．1009二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．执行如图1的程序框图，若输入=3k ，则输出S 的值为________． 12．一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图2所示，则这个四棱锥的体积是________．13．由空间向量()1,2,3=a ，()1,1,1=-b 构成的向量集合{},A k k ==+∈Z x x a b ，则向量x 的模x 的最小值为________．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线()sin cos a ρθθ-=与曲线2cos 4sin ρθθ=-相交于A ，B 两点，若AB=a 的值为_______．15．（几何证明选讲选做题）如图3，PC 是圆O 的切线，切点为C ，直线PA 与圆O 交于 A ，B 两点，APC ∠的平分线分别交弦CA ，CB 于D ，E两点，已知3PC =，2PB =，则PEPD的值为_______．图1侧（左）视图图2俯视图 P图3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知某种同型号的6瓶饮料中有2瓶已过保质期．（1）从6瓶饮料中任意抽取1瓶，求抽到没过保质期的饮料的概率； （2）从6瓶饮料中随机抽取2瓶，求抽到已过保质期的饮料的概率． 17．（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点π03⎛⎫- ⎪⎝⎭，．（1）求实数a 的值；（2）求函数()x f 的最小正周期与单调递增区间． 18．（本小题满分14分）如图4，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是 棱1D D 的中点，点F 在棱1B B 上，且满足12B F FB =． （1）求证：11EF AC ⊥；（2）在棱1C C 上确定一点G ，使A ，E ，G ，F 四点共面， 并求此时1C G 的长；（3）求几何体ABFED 的体积．1D ABCDEF 1A1B1C 图419．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，数列{}n b 满足62n n nb a n =-，*n ∈N ． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）记{}max ,n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． （注：{}max ,a b 表示a 与b 的最大值．） 20．（本小题满分14分）已知函数()32693f x x x x =-+-．（1）求函数()f x 的极值；（2）定义：若函数()h x 在区间[],s t ()s t <上的取值范围为[],s t ，则称区间[],s t 为函数()h x 的“域同区间”．试问函数()f x 在()3,+∞上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知双曲线E ：()222104x y a a -=>的中心为原点O ，左，右焦点分别为1F ，2F ，离心率为5，点P 是直线23a x =上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且满足220PF QF = ．（1）求实数a 的值；（2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值；（3）若点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同两点M ，N ，在线段MN 上取异于点M ，N 的点H ，满足PM MHPN HN=，证明点H 恒在一条定直线上．2017年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准16．（本小题满分）（本小题主要考查古典概型等基础知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及数据处理能力与应用意识）（1）解：记“从6瓶饮料中任意抽取1瓶，抽到没过保质期的饮料”为事件A ，从6瓶饮料中中任意抽取1瓶，共有6种不同的抽法．因为6瓶饮料中有2瓶已过保质期，所以事件A 包含4种情形．则()4263P A ==．所以从6瓶饮料中任意抽取1瓶，抽到没过保质期的饮料的概率为23．（2）解法1：记“从6瓶饮料中随机抽取2瓶，抽到已过保质期的饮料”为事件B ，随机抽取2瓶饮料，抽到的饮料分别记为x ，y ，则),(y x 表示第一瓶抽到的是x ，第二瓶抽到的是y ，则),(y x 是一个基本事件． 由于是随机抽取，所以抽取到的任何基本事件的概率相等．不妨设没过保质期的饮料为1，2，3，4， 已过保质期的饮料为a ，b ， 则从6瓶饮料中依次随机抽取2瓶的基本事件有：()1,2，()1,3，()1,4，()1,a ，()1,b ，()2,1，()2,3，()2,4，()2,a ，()2,b ，()3,1，()3,2，()3,4，()3,a ，()3,b ，()4,1，()4,2，()4,3，()4,a ，()4,b ， (),1a ，(),2a ，(),3a ，(),4a ，(),a b ，(),1b ，(),2b ，(),3b ，(),4b ，(),b a ．共30种基本事件．由于2瓶饮料中有1瓶已过保质期就表示抽到已过保质期的饮料，所以事件B 包含的基本事件有：()1,a ，()1,b ，()2,a ，()2,b ，()3,a ，()3,b ，()4,a ，()4,b ，(),1a ，(),2a ，(),3a ，(),4a ，(),a b ，(),1b ，(),2b ，(),3b ，(),4b ，(),b a ．共18种基本事件．则183()305P B ==． 所以从6瓶饮料中随机抽取2瓶，抽到已过保质期的饮料的概率为35．解法2：记“从6瓶饮料中随机抽取2瓶，抽到已过保质期的饮料”为事件B ，随机抽取2瓶饮料，抽到的饮料分别记为x ，y ，则),(y x 是一个基本事件． 由于是随机抽取，所以抽取到的任何基本事件的概率相等．不妨设没过保质期的饮料为1，2，3，4， 已过保质期的饮料为a ，b ， 则从6瓶饮料中随机抽取2瓶的基本事件有：()1,2，()1,3，()1,4，()1,a ，()1,b ，()2,3，()2,4，()2,a ，()2,b ，()3,4，()3,a ，()3,b ，()4,a ，()4,b ，(),a b ．共15种基本事件．由于2瓶饮料中有1瓶已过保质期就表示抽到已过保质期的饮料，所以事件B 包含的基本事件有：()1,a ，()1,b ，()2,a ，()2,b ，()3,a ，()3,b ，()4,a ，()4,b ，(),a b ．共9种基本事件．则93()155P B ==．所以从6瓶饮料中随机抽取2瓶，抽到已过保质期的饮料的概率为35．17．（本小题满分）（本小题主要考查三角函数图象的周期性与单调性、同角三角函数的基本关系、三角函数的化简等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）解：（1）因为函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点π03⎛⎫- ⎪⎝⎭，，所以03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．即ππsin cos 033a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．即022a -+=．解得a =（2）由（1）得，()sin f x x x =12sin 2x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin cos cos sin 33x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2sin 3x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．所以函数()x f 的最小正周期为2π．因为函数sin y x =的单调递增区间为2,222k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ，所以当πππ2π2π232k x k -≤+≤+()k ∈Z 时，函数()x f 单调递增，即5ππ2π2π66k x k -≤≤+()k ∈Z 时，函数()x f 单调递增． 所以函数()x f 的单调递增区间为5ππ2π,2π66k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ．18．（本小题满分）（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） （1）证明：连结11B D ，BD ，因为四边形1111A B C D 是正方形，所以1111AC B D ⊥．在正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面1111A B C D ，11AC ⊂平面1111A B C D ，所以111AC DD ⊥．因为1111B D DD D = ，11B D ，1DD ⊂平面11BB D D ，所以11AC ⊥平面11BB D D ． 因为EF ⊂平面11BB D D ，所以11EF AC ⊥． （2）解：取1C C 的中点H ，连结BH ，则BH AE ．在平面11BB C C 中，过点F 作FG BH ，则FG AE ． 连结EG ，则A ，E ，G ，F 四点共面． 因为11122CH C C a ==，11133HG BF C C a ===，所以1C G 116C C CH HG a =--=． 故当1C G 16a =时，A ，E ，G ，F 四点共面．（3）解：因为四边形EFBD 是直角梯形，所以几何体ABFED 为四棱锥A EFBD -．因为()2113222EFBD a a BF DE BD S a ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭===， 点A 到平面EFBD的距离为12h AC ==，所以231153312236A EFBD EFBD V S h a a -==⨯⨯=．故几何体ABFED 的体积为3536a ．19．（本小题满分）（本小题主要考查等差数列、分组求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识） 解：（1）因为等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，所以()1012n a n =+-⨯，即28n a n =+．所以62n n nb a n =-22n n =-． （2）由（1）知()()2228n n b a n n n -=--+()(24822n n n n ⎡⎤⎡⎤=--=+-+⎣⎦⎣⎦，1D A CD E F1A1B 1C1DACD EF1A1B1CG H所以{}max ,n n n c a b =228,5,2, 5.n n n n n +≤⎧=⎨->⎩当5n ≤时，123n n S c c c c =++++ 123n a a a a =++++()10121428n =+++++()10282n n ++=⨯29n n =+． 当5n >时，123n n S c c c c =++++()()12567n a a a b b b =+++++++()()()()()222225956267278282n n ⎡⎤=+⨯+-⨯+-⨯+-⨯++-⨯⎣⎦ ()()2222706782678n n ⎡⎤=+++++-++++⎣⎦()()()()22222222265701231234522n n n +-⎡⎤=+++++-++++-⎢⎥⎣⎦()()()()1217055656n n n n n ++⎡⎤=+--+-⎢⎥⎣⎦3211545326n n n =--+．综上可知，n S 2329,5,11545, 5.326n n n n n n n ⎧+≤⎪=⎨--+>⎪⎩20．（本小题满分）（本小题主要考查函数的极值、函数的导数、函数的零点与单调性等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识） 解：（1）因为()32693f x x x x =-+-，所以()23129f x x x '=-+()()313x x =--． 令'()0f x =，可得1x =或3x =．则'(),()f x f x 在R 上的变化情况为：所以当1x =时，函数f x 有极大值为1，当3x =时，函数f x 有极小值为3-． （2）假设函数()f x 在()3,+∞上存在“域同区间”[],s t ()3s t <<，由（1）知函数()f x 在()3,+∞上单调递增．所以()(),.f s s f t t =⎧⎪⎨=⎪⎩即3232693,693.s s s s t t t t ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩ 也就是方程32693x x x x -+-=有两个大于3的相异实根． 设32()683g x x x x =-+-()3x >，则2()3128g x x x '=-+．令()g x '0=，解得123x =<，223x =+>． 当23x x <<时，()g x '0<，当2x x >时，()g x '0>，所以函数()g x 在区间()23,x 上单调递减，在区间()2,x +∞上单调递增． 因为()3 60g =-<，()()230g x g <<，()5120g =>， 所以函数()g x 在区间()3,+∞上只有一个零点．这与方程32693x x x x -+-=有两个大于3的相异实根相矛盾，所以假设不成立． 所以函数()f x 在()3,+∞上不存在“域同区间”． 21．（本小题满分）（本小题主要考查直线的斜率、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解：设双曲线E 的半焦距为c ，由题意可得22 4.c a c a ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得a =．（2）证明：由（1）可知，直线2533a x ==，点()23,0F ．设点5,3P t ⎛⎫⎪⎝⎭,()00,Q x y ， 因为220PF QF = ，所以()0053,3,03t x y ⎛⎫----= ⎪⎝⎭．所以()00433ty x =-．因为点()00,Q x y 在双曲线E 上，所以2200154x y -=，即()2200455y x =-． 所以20000200005533PQ OQ y t y y ty k k x x x x --⋅=⋅=-- ()()2002004453453553x x x x ---==-．所以直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值45．（3）证法1：设点(),H x y ，且过点5,13P ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与双曲线E 的右支交于不同两点()11,M x y ，()22,N x y ，由（2）知()2211455y x =-，()2222455y x =-．设PM MH PN HN λ==，则,.PM PN MH HN λλ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ．即()()1122112255,1,1,33,,.x y x y x x y y x x y y λλ⎧⎛⎫⎛⎫--=--⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪--=--⎩ 整理，得()()()1212121251,31,1,1.x x y y x x x y y y λλλλλλλλ⎧-=-⎪⎪⎪-=-⎨⎪+=+⎪+=+⎪⎩①②③④ 由①×③，②×④得()()22221222221251,31.x x x y y y λλλλ⎧-=-⎪⎨⎪-=-⎩⑤⑥将()2211455y x =-，()2222455y x =-代入⑥，得2221224451x x y λλ-=⨯--． ⑦ 将⑤代入⑦，得443y x =-．所以点H 恒在定直线43120x y --=上．证法2：依题意，直线l 的斜率k 存在．设直线l 的方程为513y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，由2251,31.54y k x x y ⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪-=⎪⎩ 消去y 得()()()22229453053255690k x k k x k k -+---+=．因为直线l 与双曲线E 的右支交于不同两点()11,M x y ，()22,N x y ，则有()()()()()()()22222122212290053900455690,3053,95425569.954k k k k k k k x x k k k x x k ⎧⎪∆=-+--+>⎪⎪-⎪+=⎨-⎪⎪-+⎪=⎪-⎩ 设点(),H x y ， 由PM MH PN HN =，得112125353x x x x x x --=--． 整理得()()1212635100x x x x x x -+++=． 将②③代入上式得()()()()()2222150569303553100954954k k x k k x k k -++--+=--． 整理得()354150x k x --+=． ④因为点H 在直线l 上，所以513y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． ⑤ 联立④⑤消去k 得43120x y --=．所以点H 恒在定直线43120x y --=上．（本题（3）只要求证明点H 恒在定直线43120x y --=上，无需求出x 或y 的范围．）① ② ③。

2017年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）1．解：复数==1﹣i的虚部是﹣1．故选：B．2．解：由题意，0+1=﹣a，∴a=﹣1，故选A．3．解：∵tanθ=2，且θ∈，∴cosθ===，∴cos2θ=2cos2θ﹣1=2×（）2﹣1=﹣．故选：C．4．解：经过第一次循环得到的结果为k=0，n=16，经过第二次循环得到的结果为k=1，n=49，经过第三次循环得到的结果为k=2，n=148，经过第四次循环得到的结果为k=3，n=445，满足判断框中的条件，执行“是”输出的k为35．解：由题意知，f（x）=，则f（3）=1﹣，所以f（f（3））==4•=，故选A．6．解：由双曲线的方程、渐近线的方程可得=，∴a=3．由双曲线的定义可得|PF2|﹣2=6，∴|PF2|=8，故选C．7．解：由题意得：正面不能相邻，即正反正反，反正反正，3反一正，全反，其中3反一正中有反反反正，反反正反，反正反反，正反反反，故共7中情况，故P==，故选：B．8．解：该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，如图所示，该几何体的俯视图为C．故选：C．9．解：∵f（x）=x3+ax2，∴f′（x）=3x2+2ax，∵函数在点（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，∴3x02+2ax0=﹣1，∵x0+x03+ax02=0，解得x0=±1．当x0=1时，f（x0）=﹣1，当x0=﹣1时，f（x0）=1．10．解：由题意，PC为球O的直径，PC==2，∴球O的半径为，∴球O的表面积为4π•5=20π，故选C．11．解：由题意得，f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=[sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）]=，∵函数f（x）（ω＞0，0＜φ＜π）是奇函数，∴，则，又0＜φ＜π，∴φ=，∴f（x）==，∵y=与f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，∴T=，则ω=4，即f（x）=，由得4x∈（0，π），则f（x）在上不是单调函数，排除A、C；由得4x∈，则f（x）在上是增函数，排除B，12．解：∵函数f（x）=+cos（x﹣），∴f（x）+f（1﹣x）=+cos（x﹣）++=1+0=1，则=2016=1008．故选：B．13．解：=（1﹣x，3），∵∥（﹣），∴2（1﹣x）﹣3=0，解得x=﹣．则•=﹣﹣2=﹣．故答案为：﹣．14．解：抛物线的标准方程为：x2=4y，∴抛物线的焦点为F（0，1）．即圆C的圆心为C（0，1）．∵圆C与直线y=x+3相切，∴圆C的半径为点C到直线y=x+3的距离d==．∴圆C的方程为x2+（y﹣1）2=2．故答案为：x2+（y﹣1）2=2．15．解：根据题意，不等式组⇔或；其表示的平面区域如图阴影部分所示：当a≤1时，其阴影部分面积S＜S△AOB=×2×1=1，不合题意，必有a＞1，当a＞1时，阴影部分面积S=×2×1+×（a﹣1）×[a+1﹣（3﹣a）]=5，解可得a=3或﹣1（舍）；故答案为：3．16．解：设A，B，C所对的边a，b，c，则根据余弦定理可得a2+b2+c2=2abcosC，将b=c+代入上式，可得a2+c+=ac+，化简可得c=，所以△ABC的周长l=a+b+c=++a，化简可得l=3（a﹣1）++，因为a＞1，所以由均值不等式可得3（a﹣1）=时，即6（a﹣1）2=3，解得a=+1时，△ABC的周长最短，故答案为：+1．。

2017年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 复数的虚部是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】，故虚部为．选B.2. 已知集合，则实数的值为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意，有，所以，．选A.3. 已知，且，则（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】．选C.4. 阅读如图的程序框图，若输入，则输出的值为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】第步：，；第步：，；第步：，；退出循环，．选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.5. 已知函数则（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】，，选．点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.6. 已知双曲线的一条渐近线方程为，，分别是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，且，则等于（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意，有：，所以，，因为．所以，点在双曲线的左支，故有，解得：,选C.7. 四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】四个人抛硬币的可能结果有种，有不相邻人站起来的可能为：正反正反，反正反正，只有人站起来的可能有种，没有人站起来的可能有种，所以所求概率为：．选B.8. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥，如下图所示，该几何体的俯视图为．点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．9. 设函数，若曲线在点处的切线方程为，则点的坐标为（）．A. B. C. D. 或【答案】D【解析】，依题意，有：，解得：或．选D.10. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】该几何体可以看成是长方体中截出来的三棱锥，如下图所示，其外接球的直径为对角线，，所以，，球的表面积为：．选C.点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．11. 已知函数是奇函数，直线与函数的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（）．A. 在上单调递减B. 在上单调递减C. 在上单调递增D. 在上单调递增【答案】D【解析】，因为函数为奇函数且，所以，，即，所以，，又，所以，，，其一个单调增区间为．选D.【点睛】函数的性质(1).(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间; 由求减区间12. 已知函数，则的值为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】函数化为：，，有：，所以，．选B.点睛：(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系, 对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13. 已知向量，，若，则__________．【答案】【解析】，因为，所以，，解得：，所以，．14. 若一个圆的圆心是抛物线的焦点，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程是__________．【答案】【解析】抛物线的焦点为，故圆心为，圆的半径为，故圆的方程为：．15. 满足不等式组的点组成的图形的面积是，则实数的值为__________．【答案】【解析】不等式组化为：或，画出平面区域如下图所示，平面区域为三角形、，，，，面积为：，解得：．点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.或根据可行域图像确定求面积的公式及方法.16. 在中，，，，当的周长最短时，的长是__________．【答案】【解析】设边、、所对边分别为、、，依题意，有：，由余弦定理，得：，即，化简，得：，的周长：．令，则三角形周长为：，当，即，时的周长最短．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知数列的前项和为，且．（Ⅰ）求数列的通项公式．（Ⅱ）求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由和项与通项关系将条件转化为项之间递推关系：，再根据等比数列定义及通项公式求数列的通项公式．（2）先求，再根据分组求和法求数列的前项和．试题解析：（Ⅰ）当时，，即，解得．当时，，即，所以数列是首项为，公比为的等比数列．所以．（Ⅱ）因为，所以．点睛：给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.18. 某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品．表是甲流水线样本的频数分布表，图是乙流水线样本的频率分布直方图．表：甲流水线样本的频数分布表图：乙流水线样本频率分布直方图（Ⅰ）根据图，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数．（Ⅱ）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件．。

2017年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。

（1）复数21i+的虚部是 （A ）2- （B ） 1- （C ）1 （D ）2 （2）已知集合}{}{2001x x ax ,+==，则实数a 的值为（A ） 1- （B ）0 （C ）1 （D ）2 （3）已知tan 2θ=，且θ∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，则cos2θ= (Ａ)45 (Ｂ) 35 (Ｃ) 35- (（4）阅读如图的程序框图. 若输入5n =, 则输出k 的值为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5（5）已知函数()122,0,1log ,0,+⎧≤=⎨->⎩x x f x x x 则()()3=f f(Ａ)43 (Ｂ) 23 (Ｃ) 43- (（6）已知双曲线C 222:14x y a -=的一条渐近线方程为230+=x y ,1F , 是双曲线C 的左, 右焦点, 点P 在双曲线C 上, 且12=PF , 则（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）10（7）四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的()1,1-（10）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四 个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥-P ABC 为鳖臑, PA ⊥平面ABC ,2PA AB ==，4AC =,三棱锥-P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上, 则球O 的表面 积为（A ）8π （B ）12π （C ）20π （D ）24π（11）已知函数()()()()sin cos 0,0=+++><<ωϕωϕωϕπf x x x 是奇函数，直线y =()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π，则 （A ）()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 （B ）()f x 在3,88ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 （C ）()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 （D ）()f x 在3,88ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 （12）已知函数()1cos 212x f x x x π+⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭, 则201612017k k f =⎛⎫⎪⎝⎭∑的值为（A ）2016 （B ）1008 （C ）504 （D ）0第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2017年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数21i +的虚部是（ ）．A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】B 【解析】21i 1i=-+，故虚部为1-．2．已知集合{}{}2|00,1x x ax +==，则实数a 的值为（ ）．A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】依题意，有{}{}0,0,1a -=，所以，1a =-．3．已知tan 2θ=，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos2θ=（ ）．A ．45B ．35C ．35-D ．45-【答案】C 【解析】222222cos sin cos2cos sin cos sin θθθθθθθ-=-=+ 221tan 1tan θθ-=+ 35=-．4．阅读如图的程序框图，若输入5n =，则输出k 的值为（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】第1步：16n =，2k =； 第2步：49n =，3k =； 第3步：148n =，4k =； 退出循环，4k =．5．已知函数122,0,()1log ,0,x x f x x x +⎧⎪=⎨->⎪⎩≤则((3))f f =（ ）．A ．43B ．23C ．43-D ．3-【答案】A 【解析】2(3)1log 3f =-，2222log 3log 324((3))223f f -===，选A ．6．已知双曲线222:14x y C a -=的一条渐近线方程为230x y +=，1F ，2F 分别是双曲线C 的左，右焦点，点P 在双曲线C 上，且1||2PF =，则2||PF 等于（ ）．A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C【解析】依题意，有：223a =，所以，3a =，因为1||2PF =． 所以，点P 在双曲线的左支，故有21||||2PF PF a -=，解得：2||8PF =．7．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（ ）．A ．14B ．716C ．12D ．916【答案】B 【解析】四个人抛硬币的可能结果有16种，有不相邻2人站起来的可能为：正反正反，反正反正， 只有1人站起来的可能有4种， 没有人站起来的可能有1种， 所以所求概率为：24171616P ++==．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是（ ）．A． B． C． D．【答案】C【解析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P ABCD -，如下图所示， 该几何体的俯视图为C ．C BAD P9．设函数32()f x x ax =+，若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线方程为0x y +=，则点P 的坐标为（ ）．A ．(0,0)B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)-或(1,1)-【答案】D【解析】2()32f x x ax '=+，依题意，有：20000320003210x ax x y y x ax ⎧+=-⎪+=⎨⎪=+⎩，解得：0011x y =⎧⎨=-⎩或0011x y =-⎧⎨=⎩．10．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2PA PB ==，4AC =，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）．A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π【答案】C【解析】该几何体可以看成是长方体中截出来的三棱锥P ABC -，如下图所示，其外接球的直径为对角线PC，PCR 20π．P ABC11．已知函数()sin()cos()(0,0π)f x x x ωϕωϕωϕ=+++><<是奇函数，直线y ()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，则（ ）．A ．()f x 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在π3π,88⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C ．()f x 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在π3π,88⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】D【解析】π()4f x x ωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为函数为奇函数且0πϕ<<，所以，ππ4ϕ+=，即3π4ϕ=，所以，())f x x ω=，又2ππ2ω=，所以，4ω=，()f x x =，其一个单调增区间为π3π,88⎛⎫ ⎪⎝⎭．12．已知函数π1()cos 212x f x x x +⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭，则201612017k k f =⎛⎫⎪⎝⎭∑的值为（ ）． A ．2016 B ．1008 C ．504 D ．0【答案】B【解析】函数化为：1()sin 212x f x x x ⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭， 11(1)sin 122x f x x x -⎛⎫-=+- ⎪-⎝⎭，有：()(1)1f x f x +-=， 所以，201612016100820172k k f =⎛⎫== ⎪⎝⎭∑．第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知向量(1,2)a = ，(,1)b x =- ，若()a a b -∥，则a b ⋅= __________．【答案】52-【解析】(1,3)a b x -=- ，因为()a a b -∥， 所以，32(1)0x +-=，解得：52x =， 所以，55222a b ⋅=-=- ．14．若一个圆的圆心是抛物线24x y =的焦点，且该圆与直线3y x =+相切，则该圆的标准方程是__________．【答案】22(1)2x y +-=【解析】抛物线的焦点为(0,1)，故圆心为(0,1)，圆的半径为R，故圆的方程为：22(1)2x y+-=．15．满足不等式组(1)(3)0,x y x yx a-++-⎧⎨⎩≥≤≤的点(,)x y组成的图形的面积是5，则实数a的值为__________．【答案】3【解析】不等式组化为：(1)0(3)0x yx yx a-+⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≥≤≤或(1)0(3)0x yx yx a-+⎧⎪+-⎨⎪⎩≤≤≤≤，画出平面区域如下图所示，平面区域为三角形ABC、ADE，(1,2)A，(,1)B a a+，(3)C a-，面积为：11(22)(1)21522S a a=--+⨯⨯=，解得：3a=．16．在ABC△中，60ACB∠=︒，1BC>，12AC AB=+，当ABC△的周长最短时，BC的长是__________．【答案】1+【解析】设边AB、BC、AC所对边分别为c、a、b，依题意，有：12160b caC⎧=+⎪⎪>⎨⎪=︒⎪⎩，由余弦定理，得：2222cosc a b ab C=+-，即2221122c a c a c⎛⎫⎛⎫=++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简，得：211241a aca-+=-，ABC△的周长：122a b c a c++=++2121212a aaa-+=++-2632(1)a aa-=-．令1t a =-，则三角形周长为：26(1)3(1)39932222t t t t t +-+=++≥，当332t t=，即t =，1a =时ABC △的周长最短．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*22()n n S a n =-∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式． （Ⅱ）求数列{}n S 的前n 项和n T ． 【答案】见解析．【解析】（Ⅰ）当1n =时，1122S a =-，即1122a a =-，解得12a =． 当2n ≥时，111(22)(22)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-， 即12n n a a -=，所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列． 所以1*222()n n n a n -=⨯=∈N ． （Ⅱ）因为12222n n n S a +=-=-， 所以12n n T S S S =+++ 2312222n n +=+++-4(12)212n n ⨯-=--2242n n +=--．18．（本小题满分12分）某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在(195,210]内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本的频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图．表1：甲流水线样本的频数分布表图1：乙流水线样本频率分布直方图频率质量指标（Ⅰ）根据图1，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数．（Ⅱ）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件．（Ⅲ）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++样本容量）【解析】（Ⅰ）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x ，因为0.48(0.0120.0320.052)50.5(0.0120.0320.0520.076)50.86=++⨯<<+++⨯=，则(0.0120.0320.052)50.076(205)0.5x ++⨯+⨯-=，解得390019x =． （Ⅱ）由甲，乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为1535010P ==甲，【注意有文字】 乙流水线生产的产品为不合格品的概率为1(0.0120.028)55P =+⨯=乙，【注意有文字】 于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲乙两条流水线生产的不合格品件数分别为35000150010⨯=，1500010005⨯=． （Ⅲ）22⨯列联表：则22100(350600)41.3505075253K ⨯-==≈⨯⨯⨯，因为1.3 2.072<，所以没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”． 19．（本小题满分12分） 如图1，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB BC ⊥，BD DC ⊥，点E 是BC 边的中点，将ABD △沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ，AC ，DE ，得到如图2所示的几何体．图1图2E CBAD（Ⅰ）求证：AB ⊥平面ADC ．（Ⅱ）若1AD =，AC 与其在平面ABD 求点B 到平面ADE 的距离． 【答案】见解析．【解析】（Ⅰ）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面BCD BD =， 又BD DC ⊥，所以DC ⊥平面ABD ． 因为AB ⊂平面ABD ，所以DC AB ⊥， 又因为折叠前后均有AD AB ⊥，DC AD D = ，所以AB ⊥平面ADC ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知DC ⊥平面ABD ，所以AC 在平面ABD 内的正投影AD ， 即CAD ∠为AC 与其在平面ABD 内的正投影所成角． 依题意tan CDCADAD∠=， 因为1AD =，所以CD 设(0)AB x x =>，则BD 因为ABD BDC △∽△，所以ABDCAD BD=，即1x =解得x ，故AB =BD 3BC =．DABCE由于AB ⊥平面ADC ，AB AC ⊥，E 为BC 的中点， 由平面几何知识得322BC AE ==， 同理322BC DE ==，所以112ADES =⨯△． 因为DC ⊥平面ABD，所以13A BCD ABD V CD S -=⋅=△．设点B 到平面ADE 的距离为d ，则1132ADE B ADE A BDE A BCD d S V V V ---⋅===，所以d =B 到平面ADE20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>(2,1)A ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程．（Ⅱ）若P ，Q 是椭圆C 上两个不同的动点，且使PAQ ∠的角平分线垂直于x 轴，试判断直线PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由． 【答案】见解析．【解析】（Ⅰ）因为椭圆C(2,1)A ， 所以22411a b+=，c a = 因为222a b c =+， 解得28a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22182x y +=．（Ⅱ）法1：因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴，所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称．设直线PA 的斜率为k ，则直线AQ 的斜率为k -．所以直线PA 的方程为1(2)y k x -=-，直线AQ 的方程为1(2)y k x -=-． 设点(,)p P P x y ，(,)Q Q Q x y ，由221(2),1,82y k x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得2222(14)(168)161640k x k k x k k +--+--=．①因为点(2,1)A 在椭圆C 上，所以2x =是方程①的一个根，则2216164214P k k x k --=+，所以2288214P k k x k --=+．同理2288214Q k k x k+-=+．所以21614P Q kx x k -=-+．又28(4)14P Q P Q ky y k x x k-=+-=-+． 所以直线PQ 的斜率为12P Q PQP Q y y k x x -==-． 所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12． 法2：设点11(,)P x y ，22(,)Q x y ， 则直线PA 的斜率1112PA y k x -=-，直线QA 的斜率2212QA y k x -=-． 因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴，所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称． 所以PA QA k k =-，即121211022y y x x --+=--，① 因为点11(,)P x y ，22(,)Q x y 在椭圆C 上，所以2211182x y +=，②2222182x y +=．③ 由②得2211(4)4(1)0x y -+-=，得11111224(1)y x x y -+=--+，④ 同理由③得22221224(1)y x x y -+=--+，⑤ 由①④⑤得12122204(1)4(1)x x y y +++=++，化简得12211212()2()40x y x y x x y y ++++++=，⑥ 由①得12211212()2()40x y x y x x y y ++++++=，⑦ ⑥-⑦得12122()x x y y +=-+．②-③得22221212082x x y y --+=，得1212121214()2y y x x x x y y -+=-=-+．所以直线PQ 的斜率为121212PQ y y k x x -==-为定值． 法3：设直线PQ 的方程为y kx b =+，点11(,)P x y ，22(,)Q x y ， 则11y kx b =+，22y kx b =+， 直线PA 的斜率1112PA y k x -=-，直线QA 的斜率2212QA y k x -=-． 因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴，所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称． 所以PA QA k k =-，即12121122y y x x --=---， 化简得12211212()2()40x y x y x x y y +-+-++=． 把11y kx b =+，22y kx b =+代入上式，并化简得 12122(12)()440kx x b k x x b +--+-+=．（*）由22,1,82y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得222(41)8480k x kbx b +++-=，（**） 则122841kb x x k +=-+，21224841b x x k -=+， 代入（*）得2222(48)8(12)4404141k b kb b k b k k -----+=++， 整理得(21)(21)0k b k -+-=， 所以12k =或12b k =-． 若12b k =-，可得方程（**）的一个根为2，不合题意． 若12k =时，合题意． 所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12．21．（本小题满分12分） 已知函数()ln (0)a f x x a x=+>． （Ⅰ）若函数()f x 有零点，其实数a 的取值范围． （Ⅱ）证明：当2ea ≥时，()e x f x ->． 【答案】见解析．【解析】（Ⅰ）法1：函数()ln a f x x x =+的定义域为(0,)+∞． 由()ln a f x x x =+，得221()a x a f x x x x-'=-=． 因为0a >，则(0,)x a ∈时，()0f x '<；(,)x a ∈+∞时，()0f x '>． 所以函数()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增．当x a =时，[]min ()ln 1f x a =+．当ln 10a +≤，即10ea <≤时，又(1)ln10f a a =+=>，则函数()f x 有零点． 所以实数a 的取值范围为10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦． 法2：函数()ln a f x x x =+的定义域为(0,)+∞． 由()ln 0a f x x x=+=，得ln a x x =-． 令()ln g x x x =-，则()(ln 1)g x x '=-+． 当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<． 所以函数()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．故1e x =时，函数()g x 取得最大值1111ln e e e e g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭． 因而函数()ln a f x x x =+有零点，则10ea <≤． 所以实数a 的取值范围为10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦． （Ⅱ）要证明当2ea ≥时，()e x f x -=， 即证明当0x >，2e a ≥时，ln e x a x x-+>，即ln e x x x a x -+>． 令()ln h x x x a =+，则()ln 1h x x '=+． 当10e x <<时，()0f x '<时；当1ex >时，()0f x '>． 所以函数()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 当1e x =时，[]min 1()eh x a =-+． 于是，当2e a ≥时，11()e e h x a -+≥≥．① 令()e x x x ϕ-=，则()e e e (1)x x x x x x ϕ--'=-=-．当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．所以函数()x ϕ在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递减．当1x =时，[]min 1()ex ϕ=． 于是，当0x >时，1()e x ϕ≤．② 显然，不等式①、②中的等号不能同时成立． 故当2ea ≥时，()e x f x ->．请考生在第22~23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4-4；坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3,1x t y t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线π:4C ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程．（Ⅱ）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．【答案】见解析．【解析】（Ⅰ）由3,1x t y t =-⎧⎨=+⎩，消去t 得40x y +-=， 所以直线l 的普通方程为40x y +-=．由π4ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππcos cos sin sin 44θθ⎫=+⎪⎭ 2cos 2sin θθ=+，得22cos 2sin ρρθρθ=+．将222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式， 得曲线C 的直角坐标方程为2222x y x y +=+，即22(1)(1)2x y -+-=． （Ⅱ）设曲线C上的点为(1,1)P αα， 则点P 到直线l的距离为d =当πsin 14α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，min d = 所以曲线C 上的点到直线l的距离的最大值为23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|1||2|f x x a x a =+-+-．（Ⅰ）若(1)3f <，求实数a 的取值范围．（Ⅱ）若1a ≥，x ∈R ，求证：()2f x ≥．【答案】见解析．【解析】（Ⅰ）因为(1)3f <，所以|||12|3a a +-<．①当0a ≤时，得(12)3a a -+-<，解得23a >-，所以203a -<≤． ②当102a <<时，得(12)3a a +-<，解得2a >-，所以102a <<． ③当12a ≥时，得(12)3a a --<，解得43a <，所以1423a <≤． 综上所述，实数a 的取值范围是24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭． （Ⅱ）因为1a ≥，x ∈R ．所以()|1||2||(1)(2)|f x x a x a x a x a =+-+-+---≥ |31|a =-312a =-≥．。