二阶非线性椭圆偏微分方程Dirichlet问题的粘性解

非线性二阶偏微分方程
如果一个偏微分方程中，未知函数及其所有各阶偏导数以线性形式出现，则将这个偏微分方程称为线性偏微分方程（linear partial differential equation），反之，则称为非线性偏微分方程（nonlinear partial differential equation）。

若一个非线性偏微分方程中，未知函数的所有最高阶偏导数以线性形式出现，而其系数含有该未知函数或其较低阶的偏导数，则称这样的非线性偏微分方程为拟线性偏微分方程（quasilinear partial differential equation）。

又若一个非线性略偏微分方程中，未明函数的所有最低阶偏导数以线性形式发生，且最低的阶偏导数的系数也不不含未明函数与其较低阶的偏导数，这样的非线性略偏微分方程称作半线性略偏微分方程（semilinear partial differential equation）。

偏微分方程研究各类偏微分方程的求解与解的性质。

在18世纪初，微积分理论形成后不久，人们就开始结合物理问题研究偏微分方程，并逐渐形成一个独立的数学分支。

最早研究的几个偏微分方程是弘振动方程、热传导方程和调和方程。

随着力学、物理学的发展，连续介质力学、电磁场论、量子力学、引力理论、规范场论等方面的基本规律都被写成偏微分方程的形式。

数学领域中分析学、几何学中很多基本问题也可归结为一些偏微分方程的求解。

近年来，在各门自然科学、工程技术以致金融、经济、社会学等学科中又不断归结出一些新的偏微分方程，它们的研究对于相应学科的发展是十分重要的。

第60卷 第3期吉林大学学报(理学版)V o l .60 N o .32022年5月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )M a y2022d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2021300二阶脉冲微分方程D i r i c h le t边值问题解的存在性何 婷(西安电子科技大学数学与统计学院,西安710126)摘要:用L e r a y -S c h a u d e r 不动点定理,研究二阶脉冲微分方程D i r i c h l e t 边值问题-u ᵡ(x )+c (x )u (x )+ðp i =1c i δ(x -x i )u (x )=h (x ,u (x ))+ðqj =1h j δ(x -y j ), x ɪ(0,1),u (0)=u (1)=ìîíïïïï0解的存在性,其中:c ɪC ([0,1],ℝ),h ɪC ([0,1]ˑℝ,ℝ),c i ,h j ɪℝ,i =1,2, ,p ,j =1,2, ,q ;p ,q ɪℕ;D i r a c δ-函数为当x ʂ0时,δ(x )=0,δ(0)=+ɕ,ʏ+ɕ-ɕδ(x )d x =1;点0<x 1<x 2< <x p <1和0<y 1<y 2< <y q <1为给定的脉冲点.设存在p (㊃),q (㊃)ɪL 2[0,1],使得h (x ,u )ɤq (x )+p (x )u ,x ɪ[0,1],u ɪℝ.关键词:非线性微分方程;脉冲;L e r a y -S c h a u d e r 不动点定理;D i r i c h l e t 边值问题中图分类号:O 175.8 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2022)03-0475-06E x i s t e n c e o f S o l u t i o n s f o r S e c o n d -O r d e r I m pu l s i v eD i f f e r e n t i a l E q u a t i o n sw i t hD i r i c h l e t B o u n d a r y Va l u eP r ob l e m s H ET i n g(S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n dS t a t i s t i c s ,X i d i a nU n i v e r s i t y ,X i a n 710126,C h i n a )A b s t r a c t :B y u s i n g L e r a y -S c h a u d e r f i x e d p o i n t t h e o r e m ,t h e a u t h o r s t u d i e s e x i s t e n c eo f s o l u t i o n s f o r s e c o n d -o r d e r i m p u l s i v e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t hD i r i c h l e t b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s -u ᵡ(x )+c (x )u (x )+ðp i =1c i δ(x -x i )u (x )=h (x ,u (x ))+ðqj =1h j δ(x -y j ), x ɪ(0,1),u (0)=u (1)=0ìîíïïïï,w h e r e c ɪC ([0,1],ℝ),h ɪC ([0,1]ˑℝ,ℝ),c i ,h j ɪℝ,i =1,2, ,p ,j =1,2, ,q ;p ,q ɪℕ,t h e D i r a c d e l t a f u n c t i o n δ(x )=0w h e n x ʂ0,δ(0)=+ɕ,ʏ+ɕ-ɕδ(x )d x =1,po i n t s 0<x 1<x 2< <x p<1a n d 0<y 1<y 2< <y q <1a r e g i v e n i m p u l s e p o i n t s .T h e r ee x i s t p (㊃),q (㊃)ɪL 2[0,1]s u c ht h a t h (x ,u )ɤq (x )+p (x )u ,x ɪ[0,1],u ɪℝ.K e y w o r d s :n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ;i m p u l s e ;L e r a y -S c h a u d e rf i x e d p o i n tt h e o r e m ;D i r i c h l e t b o u n d a r y va l u e p r ob l e m 收稿日期:2021-08-08.作者简介:何 婷(1997 ),女,汉族,硕士研究生,从事常微分方程边值问题的研究,E -m a i l :h e t i n g 3522896862@163.c o m.基金项目:国家自然科学基金(批准号:12061064).1 引言与主要结果考虑二阶脉冲微分方程D i r i c h l e t 边值问题-u ᵡ(x )+c (x )u (x )+ðp i =1c i δ(x -x i )u (x )=h (x ,u (x ))+ðq j =1h j δ(x -y j ), x ɪ(0,1),u (0)=u (1)=0ìîíïïïï,(1)其中:c ɪC ([0,1],ℝ),h ɪC ([0,1]ˑℝ,ℝ),c i ,h j ɪℝ,i =1,2, ,p ,j =1,2, ,q ;p ,q ɪℕ;D i r a c δ-函数为当x ʂ0时,δ(x )=0,δ(0)=+ɕ,ʏ+ɕ-ɕδ(x )d x =1;点0<x 1<x 2< <x p<1和0<y 1<y 2< <y q <1为给定的脉冲点.存在p (㊃),q (㊃)ɪL 2[0,1],使得h (x ,u )ɤq (x )+p (x )u , x ɪ[0,1], u ɪℝ.(2) 问题(1)在物理㊁数学和工程等领域应用广泛[1-5].本文首先在条件(2)下证明问题(1)解的存在性;其次证明问题(1)等价于-u ᵡ(x )+c (x )u (x )=h (x ,u (x )), x ɪI k , k =1,2, ,r +1,u (0)=u (1)=0,Δu ᶄ(z k )=c k u (z k )-h k ,k =1,2, ,r ìîíïïïï.(3)关于脉冲微分方程(3)这类方程目前已有很多研究成果[6-11].其中L i u 等[6]研究了-u ᵡ(t )+g (t )u (t )=f (t ,u (t )), t ɪ[0,T ],u (0)=u (T )=0,Δu ᶄ(t j )=u ᶄ(t +j )-u ᶄ(t -j )=I j (u (t j )), j =1,2, ,ìîíïïïïm (4)在非线性项满足次线性㊁超线性和渐近线性3种情形下解的存在性,其中0=t 0<t 1<t 2< <t m <t m +1=T ,g ɪL ɕ[0,T ],f ɪC ([0,T ]ˑℝ,ℝ),I j ɪC (ℝ,ℝ),j =1,2, ,m .针对次线性情形,文献[6]用临界点理论证明了问题(4)解的存在性,得到如下结果:定理1[6] 假设:1)存在a ,b >0,γɪ[0,1),使得f (t ,u )ɤa +b u γ, (t ,u )ɪ[0,T ]ˑℝ; 2)存在a j ,b j >0,γj ɪ[0,1)(j =1,2, ,m ),使得I j (u )ɤa j +b j uγj, u ɪℝ, j =1,2, ,m ; 3)F (t ,u )=ʏu 0f (t ,s )d s 关于u 是凸函数,F (t ,u )ȡ0,t ɪ[0,T ];4)ʏsI j (t )d t 是凹函数,ʏsI j (t )d t ȡ0,s ɪℝ,j =1,2, ,m .当存在 t ɪ[0,T ]使得g ( t )>0时,问题(3)至少有一个解.本文在f (t ,u )至多线性增长的条件下讨论二阶脉冲微分方程D i r i c h l e t 边值问题(1)解的存在性.本文总假设:(H 1)c ɪC [0,1];(H 2)h ɪC ([0,1]ˑℝ,ℝ),存在p (㊃),q (㊃)ɪL 2[0,1],使得式(2)成立;(H 3)14ʏ10c -(x )d x -ðc i <0c ()i+12(m i n c +(x )+π2)-1/2p L 2(0,1)<1.本文主要结果如下:定理2 假设(H 1)~(H 3)成立,则脉冲问题(1)存在一个解u =u (x ),且满足 u C [0,1]ɤR ʒ=(m i n c +(x )+π2)-1/2 q L 2(0,1)+12ðqj =1h j 2-214ʏ10c -(x )d x -ðc i <0c ()i +12(m i n c +(x )+π2)-1/2 p L 2(0,1éëêêùûúú).674 吉林大学学报(理学版) 第60卷注1 带D i r a c 形脉冲问题的特征可参见文献[12-13],问题(1)这种形式有利于在泛函框架下定义弱解.注2 本文研究结果不仅得到了问题(1)解的存在性,还确定了解的上界.2 弱解的正则性令H ʒ=W 01,2(0,1),问题(1)的弱解u ɪH 满足下列积分等式:ʏ10u ᶄ(x )v ᶄ(x )d x +ʏ10c (x )u (x )v (x )d x +ðp i =1c iu (x i)v (x i)=ʏ10h (x ,u (x ))v (x )d x +ðq j =1h jv (y j), v ɪH .(5)定义{z 1,z 2, ,z r }ʒ={x 1,x 2, ,x p }ɣ{y 1,y 2, ,y q }, 1ɤr ɤp +q ;0=z 0<z 1<z 2< <z r <z r +1=1;I k =(z k -1,z k ), k =1,2, ,r +1; (0,1)\{z 1,z 2, ,z r }=ɣr +1k =1I k ;c k =c i 0,z k =x i 0,0,其他{;h k =h j 0,z k =h j 0,0,其他{.令D (I )(I ⊂ℝ)表示在I 上带有紧支撑的无穷次可微函数全体,k ɪ{1,2, ,r +1},选择v ɪD (I k ),且延伸v (x )=0,x ɪ(0,1)\I k ,则v ɪH .对式(5)分部积分,有ʏI ku ᶄ(x )-ʏxz k -ηc (τ)u (τ)d τ+ʏx z k -ηh (τ,u (τ))d []τv ᶄ(x )d x =0.(6)因为对任意的v ɪD (I k ),式(6)都成立,所以存在常数a ɪℝ,使得u ᶄ(x )-ʏxz k -ηc (τ)u (τ)d τ+ʏxz k -ηh (τ,u (τ))d τ=a , x ɪI k,(7)从而u ɪC 1(I k ).又由式(7)得u ᵡ(x )-c (x )u (x )+h (x ,u (x ))=0, x ɪI k ,(8)从而u ɪC 2(I k ).因此问题(1)在区间ɣr +1k =1I k 逐点成立.令0<η<m i n {z k -z k -1,z k +1-z k },选择v ɪD (z k -η,z k +η),且延伸v (x )=0,x ɪ(0,1)\(z k -η,z k +η),则v ɪH .对式(5)分部积分,有ʏz k +ηz k -ηu ᶄ(x )-ʏx z k -ηc (τ)u (τ)d τ-ʏxz k -ηc i u (τ)δ(τ-z k)d τ[+ʏxz k -ηh (τ,u (τ))d τ+ʏxz k -ηh j δ(τ-z k)d ]τv ᶄ(x )d x =0.(9)因为对于任意的v ɪD (z k -η,z k +η),式(9)都成立,所以存在常数a ɪℝ,使得u ᶄ(x )-ʏx z k -ηc (τ)u (τ)d τ-ʏxz k -ηc i u (τ)δ(τ-z k )d τ+ʏx z k -ηh (τ,u (τ))d τ+ʏxz k -ηh jδ(τ-z k)d τ=a , x ɪ(z k-η,z k+η).(10)由式(10)得Δu ᶄ(z k )ʒ=c k u (z k )-h k .(11)由于HC [0,1],所以u ɪC [0,1].而u ᶄ分段连续,点z 1,z 2, ,z r 为第一类间断点.问题(1)等价于问题774 第3期 何 婷:二阶脉冲微分方程D i r i c h l e t 边值问题解的存在性-u ᵡ(x )+c (x )u (x )=h (x ,u (x )), x ɪI k ,k =1,2, ,r +1,u (0)=u (1)=0{,(12)带脉冲条件Δu ᶄ(z k )=c k u (z k )-h k , k =1,2, ,r .(13) 满足式(12),(13)的函数u 即为脉冲问题(1)的古典解,通过上述证明可知每个弱解都是古典解.另一方面,每个古典解显然都是弱解.3 引 理对于任意连续函数r (x )ȡ0(x ɪ[0,1])及实数r i ȡ0(i =1,2, ,p ),在空间H 中定义如下内积:(u ,v )=ʏ10u ᶄ(x )v ᶄ(x )d x +ʏ1r (x )u (x )v (x )d x +ðpi =1r i u (x i )v (x i ), u ,v ɪH ,则范数 u =(u ,u )1/2.设f (x )(x ɪ[0,1])和f i (i =1,2, ,p )为连续函数,定义算子F :H ңH 为(F (u ),v )=ʏ1f (x )u (x )v (x )d x +ðpi =1f i u (x i )v (x i ), u ,v ɪH .(14)定义算子S :H ңH 为(S (u ),v )=ʏ1h (x ,u (x ))v (x )d x +ðqj =1h j v (y j ), u ,v ɪH .(15)由于HC [0,1],因此F 为线性紧算子,S 为非线性紧算子.引理1 若u ɪH ,则u C [0,1]ɤ12u , u L 2(0,1)ɤ(m i n r (x )+π2)-1/2u . 证明:对任意u ɪH ,由文献[14]有 u C [0,1]ɤ12 u ᶄ L 2(0,1), u L 2(0,1)ɤ1πu ᶄ L 2(0,1),则 u2C [0,1]ɤ14ʏ10(u ᶄ(x ))2d x ɤ14ʏ10(u ᶄ(x ))2d x +ʏ10r (x )(u (x ))2d x +ðpi =1r i (u (x i))()2ɤ14u 2, u 2L 2(0,1)=m i n r (x )+π2m i n r (x )+π2ʏ10(u (x ))2d x ɤ1m i n r (x )+π2ʏ10(u ᶄ(x ))2d x +ʏ10r (x )(u (x ))2d x +ðpi =1r i (u (x i))()2ɤ1m i n r (x )+π2 u 2.证毕.引理2 对于由式(14)定义的算子F :H ңH ,有F (u ) ɤ14ʏ10f (x )d x +ðpi =1f ()i u .证明:由于u ɪH ,F :H ңH ,所以F (u )ɪH ,F (u ) =s u p v ɤ1(F (u ),v )=s u pv ɤ1ʏ10f (x )u (x )v (x )d x +ðp i =1f iu (x i)v (x i)ɤs u p v ɤ1u C [0,1] v C [0,1]ʏ10f (x )d x +ðpi =1f ()iɤ14ʏ10f (x )d x +ðp i =1f ()iu .874 吉林大学学报(理学版) 第60卷证毕.引理3 对于由式(15)定义的算子S :H ңH ,有S (u ) ɤ12(m i n r (x )+π2)-1/2 p L 2(0,1) u +(m i n r (x )+π2)-1/2q L 2(0,1)+12ðqj =1h j . 证明:由于u ɪH ,S :H ңH ,所以S (u )ɪH ,再结合条件(H 2),利用H öl d e r 不等式和M i n k o w s k i 不等式,有S (u ) =s u p v ɤ1(S (u ),v )=s u pv ɤ1ʏ10h (x ,u (x ))v (x )d x +ðqj =1h j v (y j)ɤs u p v ɤ1ʏ10(h (x ,u (x )))2d ()x 1/2ʏ10(v (x ))2d ()x 1/2+ v C [0,1]ðqj =1h jɤs u p v ɤ1v L 2(0,1)ʏ10(q (x )+p (x )u (x ))2d ()x 1/2+ v C [0,1]ðqj =1hj ɤ(m i n r (x )+π2)-1/2ʏ10(q (x ))2d ()x 1/2+ʏ10(p (x )u (x ))2d ()x 1/2+12ðqj =1h j ɤ(m i n r (x )+π2)-1/2 q L 2(0,1)+12 p L 2(0,1) u æèçöø÷ +12ðqj =1h j.证毕.引理4(L e r a y-S c a u d e r 不动点定理)[15] 设E 是B a n a c h 空间,算子T :E ңE 全连续,若集合{ x x ɪE ,x =θT x ,0<θ<1}有界,则T 在闭球A ⊂E 中必存在不动点,其中A ={x x ɪE , x ɤR }, R =s u p{ x x =θT x ,0<θ<1}.4 主要结果的证明下面证明定理2.令c +和c -分别表示c (x )的正部和负部,对应c ʃ=m a x {ʃc (x ),0},即c (x )=c +(x )-c -(x ).则问题(1)可以改写为-u ᵡ(x )+c +(x )u (x )+ðc i >0c i δ(x -x i )u (x )=c -(x )u (x )-ðc i<0c i δ(x -x i )u (x )+h (x ,u (x ))+ðq j =1h j δ(x -y j ), x ɪ(0,1),u (0)=u (1)=0ìîíïïïïïï.(16)取r (x )=c +(x ),r i =c i ,c i >0,0,c i <0{;f (x )=c -(x ),fi =0,c i >0,-c i ,c i <0{.则根据式(14),(15)算子的定义,问题(16)的弱解等价于算子方程u =F c -(u )+S (u )(17)的不动点,其中F c -,S :H ңH 为全连续算子.引入u =θ(F c -(u )+S (u )), θɪ(0,1).(18)设u 为式(18)的解,则根据引理2和引理3,有 u = θ(F c -(u )+S (u )) ɤ F c -(u ) + S (u ) <14ʏ10c -(x )d x -ðc i <0c ()iu +(m i n c +(x )+π2)-1/2ˑq L 2(0,1)+12 p L 2(0,1) u æèçöø÷ +12ðqj =1h j,从而974 第3期 何 婷:二阶脉冲微分方程D i r i c h l e t 边值问题解的存在性u C [0,1]<(m i n c +(x )+π2)-1/2q L 2(0,1)+12ðqj =1h j 2-12ʏ10c -(x )d x -ðc i <0c ()i+(m i n c +(x )+π2)-1/2p L2(0,1éëêùûú).令R ʒ=(m i n c +(x )+π2)-1/2 q L 2(0,1)+12ðqj =1h j 2-12ʏ10c -(x )d x -ðc i <0c ()i+(m i n c +(x )+π2)-1/2p L 2(0,1éëêùûú),则 u C [0,1]<R .根据引理4,当θ=1时,存在一个u ɪC [0,1]满足式(17),即脉冲问题(1)存在一个解u ɪC [0,1]满足 u C [0,1]ɤR .定理2证毕.参考文献[1] R A C H ㊃UN K O V ÁI ,T V R D Y 'M.E x i s t e n c eR e s u l t s f o r I m p u l s i v e S e c o n d -O r d e r P e r i o d i cP r o b l e m s [J ].N o n l i n e a r A n a l :T h e o r y ,M e t h o d sA p pl ,2004,59(1/2):133-146.[2] S U N Y ,Z HU D M.E x i s t e n c eT h e o r e m s f o r a S e c o n dO r d e rT h r e e -P o i n t B o u n d a r y V a l u eP r o b l e m w i t h I m p u l s e s [J ].A p p lM a t hJC h i n e s eU 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s ,2008:22-23.)(责任编辑:赵立芹)084 吉林大学学报(理学版) 第60卷。

完全非线性退化椭圆方程粘性解的唯一性王春柳;马飞遥【摘要】在偏微分方程理论的研究中,完全非线性椭圆方程的研究是一个重要的分支,粘性解是研究完全非线性方程的一种主要的方法.该文研究的主要内容是一类一般的完全非线性退化椭圆方程F(x,u,Du,D2u)=f(x,u,Du)粘性解的性质,给出了其粘性解的唯一性结果.【期刊名称】《华中师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(053)002【总页数】4页(P189-192)【关键词】完全非线性;齐次退化椭圆方程;唯一性【作者】王春柳;马飞遥【作者单位】宁波大学理学院,浙江宁波315211;宁波大学理学院,浙江宁波315211【正文语种】中文【中图分类】O175.25齐次完全非线性退化椭圆方程的唯一性已有一些研究(见文献[1-2])．文献[3]基于以下方程考虑了完全非线性二阶退化椭圆方程的唯一性理论，F(x，u，Du，D2u)=0，其中，F是一个完全非线性椭圆算子. 得到了关于x的独立性假设是不必要的，并推广了文献[4]的唯一性理论．文献[5]改善了文献[6]Jensen’s 方法，推广了唯一性理论，给出完全非线性退化椭圆方程算子依赖x，为本文研究完全非线性退化椭圆方程提供了很好的思路．对于以下完全非线性椭圆方程 Dirichlet 边值问题：F(x，tp，μX)=μF(x，p，X)， F是完全非线性奇异算子，α>-1，文献[7]得到该Dirichlet 边值问题的唯一性结果．本文研究一类一般齐次完全非线性退化椭圆方程 Dirichlet 边值问题粘性解的唯一性，(1)其中，F是完全非线性退化椭圆算子，F0 是一致椭圆算子，α>-1， f是R上关于u单调非减的连续函数．1 预备知识先介绍粘性解的概念以用于定理的证明，USC(Ω)是上半连续函数的集合，LSC(Ω)是下半连续函数的集合．在分别解决粘性下解和粘性上解问题的过程中，引入⊂RN，和⊂RN.易知，u*≤u≤u*，u*是最小的上半连续函数(USC)， u*是最大的下半连续函数(LSC)．定义1 令⊂RN，函数u∈USC(Ω)称为方程(1)的粘性下解，若对任意的x0∈Ω，i) ∀φ∈C2(Ω)使得u*-φ在x0处取得局部极大值且Dφ(x0)≠0，不等式成立：F(x0，u*(x0)，Dφ(x0)，D2φ(x0))≥f(x0，u*(x0)，Dφ(x0)).ii) 或存在一个开球B(x0，δ)∈Ω，δ>0，u≡k为常量，对任意的x∈B(x0，δ)，不等式0≥f(x0，k，0)成立．如果v∈LSC(Ω)称为方程(1)在Ω上的粘性上解，对任意的x0∈Ω，i) ∀φ∈C2(Ω)使得v*-φ在x0处取得局部极大值且Dφ(x0)≠0，不等式成立：F(x0，v*(x0)，Dφ(x0)，D2φ(x0))≤f(x0，v*(x0)，Dφ(x0)).ii) 或存在一个开球B(x0，δ)∈Ω，δ>0，v≡k为常量，对任意的x∈B(x0，δ)，不等式0≤f(x0，k，0)成立．v称为(1)在Ω上的粘性解，如果v既为(1)在Ω上的粘性上解，又为粘性下解．假设⊂RN，N>1，F是定义于上的连续函数满足以下条件：i) ∀∃Y≥0∈S使得F(x，t，p，X+Y)≥F(x，t，p，X).(2)ii)∀x∈Ω，r≥s，p∈RN，∃γ>0，使得γ(r-s)≤F(x，s，p，X)-F(x，r，p，X).(3)iii) ∀x，y∈Ω，p∈RN，∃X∈S，ω是连续函数，使得|F(x，s，p，X)-F(y，s，p，X)|≤ω(|x-y|(1+p)).(4)在证明唯一性之前要用解u和v的正则性，设ε∈(0，1]，∀∀当y在x的邻域内时，可取得上确界，当z在x的邻域内时，可取得下确界，其中可得uε和vε在上有界且Lipschitz连续．接下来的目的是得到唯一性结果，更准确的说，需要比较(1)的USC有界粘性下解u和LSC有界粘性上解v. 记事实上一般利用以下结论：(5)其中，得到u(x)-v(x)≤M，x∈Ω.(6)不难由(6)得到本文的主要结论，如下：定理1 若任意的(v1，v2)满足推断(6)，且具有以上性质的分别称为(1)的粘性下解和粘性上解，若在x∈∂Ω上v1=v2≡φ. 则(1)存在唯一的粘性解在∂Ω上u≡φ.2 定理的证明证明定理1之前，需要得到以下引理.引理1 设F满足(3)，则uε是Fε(x，uε，Duε，D2uε)=fε(x，uε，Duε)在Ωε上的粘性下解，其中Fε(x，t，p，X)=Ωε={x∈Ω，dist(x，∂Ω)}.类似地，vε是Fε(x，vε，Dvε，D2vε)=fε(x，vε，Dvε)在Ωε上的粘性上解，其中Fε(x，t，p，X)=Ωε={x∈Ω，dist(x，∂Ω)}.证明假设满足等式(uε-φ)(x0)=max(uε-φ).由上ε包络的定义得出y0∈B(x0，ε)⊂Ω，和(7)对任意的x0∈Ωε，y∈B(x，ε).令x=y-y0+x0代入(7)得到函数u(y)-φ(y-y0+x0)在点y=y0取得极大值．因此，由粘性解的定义Fε(x0，uε(x0)，Dφ(x0)，D2φ(x0))≥F(y0，u(y0)，Dφ(x0)，D2φ(x0))≥f(y0，u(y0)，Dφ(x0))≥f(y0，uε(x0)，Dφ(x0))≥fε(x0，uε(x0)，Dφ(x0))，完成了定理的证明．进一步证明(6)，需要以下引理．引理2[3] 令U是Rm上的有界开子集， w是在上的Lipschitz 连续函数. 设则w在U是半凸的. 对任意的ε，存在点p∈Rm，z∈U满足|p|≤ε使得在U上的函数w(x)+〈p，x〉在z处取得极大值且具有二阶可微性．引理 3[3] 对任意的C>0，Sn的子集K=X⊂Sn:{-CI≤X≤CI}是紧的．引理4 令φ∈C2(Ω×Ω)，任意的x，y∈Ωε.设w(x，y)=uε(x)-vε(y)，w-φ在取得极大值. 若(3)成立，则存在矩阵X，Y∈S使得证明选取设w-φ在取得极大值，由文献 [3] 的命题4.3得，存在的一个开邻域U，常量使得函数在Ω上是凸函数.由引理2可知，存在序列{(xk，yk)}⊂U，{pk}，{qk}⊂Rn，有以下特性：当k→∞ 时， pk，qk→0.ii) 当k∈N时， w在(xk，yk)处具有二阶可微性．iii) 函数w(x，y)-φ(x，y)-〈pk，x〉+〈qk，y〉在(xk，yk)取得极大值，其中k∈N.则D(w-φ)(xk，yk)=(pk，-qk)，D2(w-φ)(xk，yk)≤0，Fε(xk，uε(xk)，Duε(xk)，D2uε(xk))≥fε(xk，uε(xk)，Duε(xk))，Fε(xk，vε(xk)，Dvε(xk)，D2vε(xk))≤fε(xk，vε(xk)，Dvε(xk))，当k∈N时，设Xk=D2uε(xk)，Yk=-D2vε(yk)，可得Fε(xk，uε(xk)，Dxφ(xk，yk)+pk，Xk)≥fε(xk，uε(xk)，Dxφ(xk，yk)+pk)，Fε(xk，vε(xk)，-Dyφ(xk，yk)+qk，-Yk)≤fε(xk，vε(xk)，-Dyφ(xk，yk)+qk)，对于C>0，k∈N，有-CI≤Xk，Yk≤CI. 由引理3得出，存在递增的序列{kj}⊂N 和矩阵X，Y∈S，当j→∞时使得在S上的Xkj→X，Ykj→Y. 由于w在U上的半凸性暗示着w的连续性. 因此令k=kj→∞得出引理5 设F满足(3)和(4)，则推断(6)成立．证明若选取并利用X+Y≤0，可从椭圆条件(2)中推导出：于是由(3)和(4)，存在γ>0使得以下不等式成立，当时，假设存在点列(xn，yn)收敛到极大值点当(x0，y0)∈Ω×Ω时使得取得极大值. 边界的情况由(5)可知：γ(u(x0)-v(y0))+≤ω{|x0-y0|(β|x0-y0|+1)}，当σ→0时，则ω(σ)→0，接下来让ε→0，当β→∞时，β→0，结合边界情况，引理得证．定理1的证明由于u∈USC是(1)全部下解的上确界，在∂Ω上u=φ，在上v1≤u≤v2. Perron’s构造的主要思想是u*是(1)的一个粘性下解，利用粘性下解的稳定性得到u*是(1)的一个粘性下解. 由引理5得出，在Ω上u*≤u*. 则是(1)的唯一的粘性解．参考文献：【相关文献】[1] TYAGI J， VERMA R B. A survey on the existence， uniqueness and regularity questions to fully nonlinear elliptic partial differential equations[J]. Differ Equ Appl， 2016，8(2): 135-205．[2] CRANDALL M G， ISHII H，LIONS P L. User’s guide to viscosity solutions of second order partial differential equations[J]. Bulletin of the American Mathematical Society，1992， 27(1): 1-67．[3] ISHII H. On uniqueness and existence of viscosity solutions of fully nonlinear second-order elliptic PDE’s[J]. Communications on Pure and Applied Mathematics， 1989，42(1): 15-45．[4] LIONS P L. Optimal control of diffusion processes and Hamilton-Jacobi-Bellman equations part 2: viscosity solutions and uniqueness[J]. Communications in Partial Differential Equations， 1983， 8(11): 1229-1276．[5] ISHII H， LIONS P L. Viscosity solutions of fully nonlinear second-order elliptic partial differential equations[J]. Journal of Differential Equations， 1990， 83(1): 26-78．[6] JENSEN R. The maximum principle for viscosity solutions of fully nonlinear second order partial differential equations[J]. Archive for Rational Mechanics and Analysis， 1988，101(1): 1-27．[7] BIRINDELLI I， DEMENGEL F. Maximum principle and regularity for fully nonlinear homogeneous operators[J].Arxiv Preprint Math， 2006，0609612．[8] JENSEN R， LIONS P L， SOUGANIDIS P E. A uniqueness result for viscosity solutionsof second order fully nonlinear partial differential equations[J]. Proceedings of the American Mathematical Society， 1988， 102(4): 975-978．。

完全非线性一致椭圆和抛物方程黏性解的研究完全非线性一致椭圆和抛物方程黏性解的研究椭圆方程和抛物方程在数学领域中具有重要的地位，并且在实际应用中也有广泛的用途。

研究完全非线性一致椭圆和抛物方程的黏性解是一个具有挑战性的问题。

在本文中，将对完全非线性一致椭圆和抛物方程的黏性解进行详细的研究和探讨。

首先，让我们来了解一下什么是椭圆方程和抛物方程。

椭圆方程是一类二阶偏微分方程，形式如下：$$a_{ij}(x)\frac{\partial^2 u}{\partialx_i\partial x_j} + b_i(x)\frac{\partial u}{\partialx_i} + c(x)u = f$$其中，$a_{ij}(x)$、$b_i(x)$和$c(x)$是给定的函数，$f$是已知的函数。

椭圆方程在物理学和工程学中有广泛的应用，如流体力学、电磁学等等。

抛物方程是一类二阶偏微分方程，形式如下：$$\frac{\partial u}{\partial t} =a_{ij}(x,t)\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\partialx_j} + b_i(x,t)\frac{\partial u}{\partial x_i} +c(x,t)u + f(x,t)$$其中，$a_{ij}(x,t)$、$b_i(x,t)$、$c(x,t)$和$f(x,t)$是给定的函数。

抛物方程在热传导、扩散等问题中起着重要的作用。

在本文中，我们将研究完全非线性一致椭圆和抛物方程的黏性解。

黏性解是指满足一定边界条件的方程解。

完全非线性的特性使得这类方程的求解变得更加困难。

黏性解的研究对于我们理解方程的性质和应用具有重要的意义。

首先，我们需要建立数学模型来描述完全非线性一致椭圆和抛物方程。

我们可以利用变分原理和泛函分析的方法导出方程的数学表达式，并进一步研究方程的性质和解的存在性。

其次，我们需要研究方程的解的性质和特点。

二维laplace方程dirichlet问题的数值解法本文从理论上研究二维Laplace方程Dirichlet问题的数值解法，目的是开发一种可以快速求解问题的数值方法。

首先回顾了二维Laplace方程的基本概念，它是描述物理系统的变量随空间变化的基础，其标准型为：$$frac{partial^{2} phi}{partial x^{2}} + frac{partial^{2} phi}{partial y^{2}} = 0$$其中Φ是函数空间中的变量，其在X、Y方向上的二阶导数表明空间变量的变化趋势，而Dirichlet问题相当于给出了此方程在边界处的边界条件，可以求出满足此边界条件的解，如下式所示：$$phi(x,y)= Psi(x,y) + int_{Omega}G(x,y,xi,eta)Phi(xi,eta)dxi deta$$其中，Ψ(x，y)是被称为Dirichlet函数的边界函数，G(x，y，ξ，η)是称为格拉德积分核的偏微分方程的同一分量解，σ是有界的较小的空间域Ω。

求解二维Laplace方程的Dirichlet问题的一般方法有两种：一是准极限法(PML)，二是有限元法(FEM)。

PML是一种四阶精确的数值求解方法，二维空间Laplace方程Dirichlet问题的多项式系数矩阵是方阵，可以使用Gauss-Seidel迭代求解解析解。

此外，有限元法也可以用于解决二维Laplace方程的Dirichlet问题，它是一种广泛应用于有限元和曲面建模的技术，将实际场景抽象为有限个元素，用有限元函数描述空间中的变量特性，经过迭代求解可以获得问题的数值解。

本文将介绍一种称为“自适应积分网格法”的新型数值求解方法，它使用自适应网格可以更好地求解准确度要求较高的Laplace方程Dirichlet问题。

首先，根据二维Laplace方程的基本原理，构建网格系统，将问题划分为一系列的小型网格，网格的形状可以是正方形、三角形或混合形，划分的小型网格由带有不同边界条件的方程构成。

非线性偏微分方程及其几种解法综述目录1、绪论 (3)1.1背景 (3)1.2 现状 (7)2、非线性偏微分方程的几种解法 (10)2.1逆算符法 (10)2.2 齐次平衡法 (11)2.3 Jacobi椭圆函数方法 (12)2.4 辅助方程方法 (14)2.5 F-展开法 (15)2.6 双曲正切函数展开法 (17)1、绪论以应用为目的，或以物理、力学等其他学科问题为背景的微分方程的研究，不仅是传统应用数学中一个最主要的内容，也是当代数学的一个重要组成部分.它是数学理论与实际应用之间的一座重要桥梁，研究工作一直十分活跃，研究领域日益扩大。

目前微分方程研究的主体是非线性微分方程，特别是非线性偏微分方程(NLPDE).很多意义重大的自然科学和工程技术问题都可归结为非线性偏微分方程的研究.现实生活的许多领域内数学模型都可以用NLPDE来描述，很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是NLPDE，另外，随着研究的深入，有些原先可用线性微分方程近似处理的问题，也必须考虑非线性的影响，所以对NLPDE的研究，特别是NLPDE求解精确解的研究工作就显示出了很重要的理论和应用价值，但是数学研究的结果，在目前还未能提供一种普遍有效的求精确解的方法.20世纪50年代以来，人们对非线性现象的研究中提出了“孤子”的概念，进而使得对NLPDE求解的研究成为非线性科学中的热点。

下面介绍一下孤立子理论的研究背景、研究现状。

1.1背景孤立子理论己经成为应用数学和数学物理的一个重要组成部分，在流体力学，等离子物理，经典场论，量子论等领域有着广泛的应用。

随着近代物理学和数学的发展，早在1834年由英国科学家Russell发现的孤立波现象近二十多年来引起了人们的极大关注，对这一现象的兴趣与日俱增.这是因为一方面孤立子具有粒子和波的许多性能，在自然界中有一定的普遍性，利用孤立子理论也成功地解释了许多物理上长期用经典理论未能解答的现象;另一方面，随着孤立子物理问题的深入研究，孤立子的数学理论也应运而生，并已初步形成比较完善的理论体系。

二阶非线性奇异φ-Laplace算子方程的无穷多次调和解的开题报告一、研究背景和意义二阶非线性奇异φ-Laplace算子方程是一类重要的偏微分方程，其解的存在性和唯一性一直是研究的热点问题。

其中特别值得注意的是其调和解的研究。

调和解是指对于二阶偏微分方程而言，其满足拉普拉斯算子的行为，即在空间中的每一点处，其二阶导数之和等于零。

在实际问题中，调和解具有广泛的应用，如电子学、地球物理学、流体力学等领域。

在此基础上，研究二阶非线性奇异φ-Laplace算子方程的无穷多次调和解具有重要意义。

无穷多次调和解的存在性不仅是刻画方程解的性质的基础，也为研究特殊解、边值问题的解而提供了重要工具。

二、研究现状随着学者们对偏微分方程理论的不断深入研究，对于二阶非线性奇异φ-Laplace算子方程的调和解的研究逐渐成为了热点问题。

目前已经有很多研究者对此做出了探究。

在国内，李兴洙教授等人通过引入互补能量方法，证明该方程具有无穷多次调和解。

并且，他们还构造了具有周期性的解类型。

除此之外，还有一些学者通过Brouwer度理论等方法，证明了该方程在某些条件下具有调和解的存在性和唯一性。

这些研究为二阶非线性奇异φ-Laplace算子方程的调和解研究提供了重要的思路和方法。

三、研究内容和展望本课题拟对二阶非线性奇异φ-Laplace算子方程的无穷多次调和解进行进一步深入的研究。

具体的研究内容包括：1. 建立适当的数学模型，探究二阶非线性奇异φ-Laplace算子方程的条件和性质。

2. 进行分析，证明该方程具有无穷多次调和解的存在性。

3. 构造该方程的某些有特殊条件的解，并进行求解。

例如构造具有周期性的解类型。

4. 探讨调和解的性质，如解的整体性、唯一性等等。

通过本次研究，我们将对二阶非线性奇异φ-Laplace算子方程调和解存在性和特殊解类型的研究取得新的进展和成果，进一步推动偏微分方程的理论发展。

【最新整理，下载后即可编辑】《微分方程数值解法》期中作业实验报告二阶椭圆偏微分方程第一边值问题姓名：学号：班级：2013年11月19日二阶椭圆偏微分方程第一边值问题摘要对于解二阶椭圆偏微分方程第一边值问题，课本上已经给出了相应的差分方程。

而留给我的难题就是把差分方程组表示成系数矩阵的形式，以及对系数进行赋值。

解决完这个问题之后，我在利用matlab 解线性方程组时，又出现“out of memory ”的问题。

因为99*99阶的矩阵太大，超出了分配给matlab 的使用内存。

退而求其次，当n=10，h=1/10或n=70，h=1/70时，我都得出了很好的计算结果。

然而在解线性方程组时，无论是LU 分解法或高斯消去法，还是gauseidel 迭代法，都能达到很高的精度。

关键字：二阶椭圆偏微分方程 差分方程 out of memory LU 分解 高斯消去法 gauseidel 迭代法一、题目重述解微分方程：()()2222((,))((,))()(,)()(,)(,)1y x x x y y x y y x xy xy e u x y e u x y x y u x y x y u x y u x y y e x e e y x e --+++-+=-++++已知边界:(0,)1,(1,),(,0)1,(,1)y x u y u y e u x u x e求数值解, 把区域[0,1][0,1]G 分成121/100,1/100h h ，n =100 注：老师你给的题F 好像写错了，应该把22x y y e x e +改成22y x y e x e +。

二、问题分析与模型建立2.1微分方程上的符号说明A (A ,A )=A A A (A ,A )=A A A (A ,A )=A +A A (A ,A )=A −AA (A ,A )=1 A (A ,A )=()()22221y x xy xy y e x e e y x e -++++2.2课本上差分方程的缺陷课本上的差分方程为：A AA A AA−(A A−1,A A A−1,A+A A,A−1A A,A−1+A A+1,A A A+1,A+A A,A+1A A,A+1)=A AA{A A−1,A=A−2(A A−1/2,A+AA AA2)A A,A−1=A−2(A A,A−1/2+AA AA2)A A+1,A=A−2(A A+1/2,A−AA AA2)A A,A+1=A−2(A A,A+1/2−AA AA2)A AA=A−2(A A+1/2,A+A A−1/2,A+A A,A−1/2+A A,A+1/2)+A AA 举一个例子：当i=2,j=3时，A AA=A23；当i=3,j=3时，AA−1，A=A23。

数学物理方法课程论文二阶偏微分方程的建立和定解问题课程名称：数学物理方法学生姓名：专业：学生学号：完成时间：摘要 :质点力学研究质点的位移怎样随着时间而变化，电路问题研究电流或电压怎样随着时间而变化。

总之，是研究某个物理量(位移、电流或电压)怎样随着时间而变化.这往往导致以时间为自变数的常微分方程(质点的运动方程、电路微分方程)。

但是，在科学技术和生产实际中还常常要求研究空间连续分布的各种物理场的状态和物理过程，例如研究静电场的电场强度或电势在空间中的分布，研究电磁波的电场强度和磁感应强度在空间和时间中的变化情况，研究声场中的声压在空间和时间的变化情况，研究半导体扩散工艺中杂质浓度(单位体积里的杂质的量)在硅片中怎样分布并怎样随着时间而变化，等等.总之，是研究某个物理量(电场强度、电势、磁感应强度、声压、杂质浓度)在空间的某个区域中的分布情况，以及它怎样随着时间而变化。

这些问题中的自变数就不仅仅是时间，而且还有空间坐标。

关键词：物理，普遍性与特殊性，边界条件，初始条件，在一定的条件下，数学物理方程，数学物理定解问题的广义方程，解决问题。

目录摘要 (1)关键词 (1)引言 (3)第一章方程的导出与简化 (5)1.1波动方程的导出及其定解问题 (5)1.1.1 弦的振动方程及其定解问题 (5)参考文献 (8)引言为解决当时面临的问题，当然首先必须掌握所研究的物理量在空间中的分布规律和时间中的变化规律，这就是物理课程中所研究并加以论述的物理规律，它是解决问题的依据.物理规律反映同一类物理现象的共同规律，即普遍性，亦即共性。

可是，同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性，即个性。

物理规律并不反映这种个性.这样，为了解算具体问题，还必须考虑到所研究的区域的边界处在怎样的状况下，或者，换个说法，必须考虑到研究对象处在怎样的特定“环境”中.我们知道，“超距作用”是不存在的，物理的联系总是要通过中介的(这在物理学中引起各种场的概念)，周围“环境”的影响总是通过边界才传给研究对象，所以周围“环境”的影响体现于边界所处的物理状况，即边界条件.还有，研究问题不能割断历史。

宁波大学硕士学位论文非线性偏微分方程几种解法的研究摘要非线性偏微分方程作为非线性科学的主要内容之一，是被用于描述客观世界随空间、时间变化而产生复杂的物理现象的数学模型。

几十年来，通过相关研究者的努力，对于非线性偏微分方程的求解已经创造了如达布变换法、对称约化法、同伦摄动法等众多方法，本文将针对于其中几种求解方法进行拓展与延伸，使之通过该方法获得更多类型的新解。

其具体包括如下几方面：第一章：对非线性偏微分方程研究背景与相应知识进行介绍。

同时，对本文取得的研究成果进行简略说明。

第二章：对函数展开法进行扩展，首先将解由原来的向正次幂展开对称延拓到负幂次项，然后将展开式中所有的自变量进行完全形式的分离，从而丰富了非线性偏微分方程的精确解。

最后以(G′/G2)-展开法和(F/G)-展开法为例分别求解了(2+1)-维Broer-Kaup-Kupershmidt方程与(2+1)-维分数阶Nizhnik-Novikov-Veselov方程，并给出了它们的特殊孤子的结构激发解。

第三章：使用Hirota双线性导数法先将广义(3+1)-维浅水波方程的Lump型孤子解与呼吸波解进行组合叠加，从而显示出Lump型孤子被扭结孤立波吞噬过程。

然后再将(2+1)-维Sawada-Kotera方程的单孤子解和Lump型孤子解进行组合叠加，从而探究这两种类型解在相互作用过程中表现出来的碰撞、反弹、吸收、分裂等粒子性特征。

此外，Lump型孤子在双条纹孤子的影响下，只在一瞬间出现，然后立即消失，于是Lump型孤子就变成了共振怪波。

通过理论计算和数形结合的方法求得这种新型怪波的运动轨迹、存在时间、面积、体积等等特征量，以便对这种类型怪波有深入的了解。

第四章：通过重正规化方法分别求解了分数阶Klein-Gordon方程在强弱非线性条件下的一级解析近似解。

然后当无需特殊考虑非线性项参数大小的情况下，直接采用线化和校正方法求出方程的一级近似解，并对两种方法所得结果进行比较。

二阶非线性椭圆型复方程于CoбoЛeB空间内的Dirichlet问
题
杨广武;许克明
【期刊名称】《内蒙古师范大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1990(000)001
【摘要】本文的主要目的是讨论二阶非线性椭圆型复方程于Sobolev空间内的Dirichlet问题的可解性。

为此，本文给出Dirichlet边值问题的解的积分表示式和某些积分算子的若干不等式，进而利用Banach不动定点定证明在一定条件下这个边值问题有一个解。

【总页数】6页(P11-16)
【作者】杨广武;许克明
【作者单位】河北化工学院;河北化工学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175.25
【相关文献】
1.一类两个变量的二阶拟线性椭圆型方程Dirichlet问题解的存在性 [J], 汪锋;陈磊
2.奇异二阶拟线性椭圆型方程Dirichlet问题（Ⅲ） [J], 张志军
3.一类二阶拟线性椭圆型方程的Dirichlet问题（Ⅱ） [J], 张志军
4.二阶半线性奇异椭圆型方程Dirichlet问题（Ⅱ） [J], 张志军
5.求解二阶椭圆型方程Dirichlet问题的几种算法 [J], 闵涛;高青青
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