直线斜率与倾斜角

直线斜率与倾斜角的关系
倾斜角与斜率的关系：k=tanα。

k是斜率，α是倾斜角。

斜率等于倾斜角的正切值，比如简单的正比例函数y=x，斜率是1，倾斜角是45度，tan45°=1。

斜率与倾斜角
斜率k=tanα（α倾斜角）
所以只能说斜率的绝对值越大，所表示的直线越靠近y轴
而因为tan180度=0
所以实际上，当倾斜角接近180度时，斜率的绝对值是接近于0的
斜率的定义
斜率亦称“角系数”，表示平面直角坐标系中表示一条直线对横坐标轴的倾斜程度的量。

直线对X 轴的倾斜角α的正切值tgα称为该直线的“斜率”，并记作k，k=tgα。

规定平行于X轴的直线的斜率为零，平行于Y轴的直线的斜率不存在。

对于过两个已知点(x1，y1) 和(x2，y2)的直线，若x1≠x2，则该直线的斜率为k=(y1-y2)/(x1-x2)。

即k=tanα=(y1-y2)/(x1-x2)。

直线的倾斜角和斜率，直线方程一、直线的倾斜角和斜率1．直线的倾斜角概念的注意点：1）注意旋转方向：逆时针2）规定平行x轴（或与x轴重合）的直线倾斜角为0°3）直线倾斜角的范围是0°≤<180°2．直线的倾率：直线的倾斜角的正切值tan（倾斜角不为90°时）。

概念注意点：1）倾斜角为90°的直线无斜率2）斜率k可以是任何实数，每条直线都存在唯一的倾斜角，但不是每条直线都有斜率3）=0°时，k=0；0°<<90°时，k>0；=90°时，k不存在；90°<<180°时，k<0。

3．斜率公式：设直线l的倾斜角为(≠90°)，P1(x1，y2)，P2(x2，y2)(x1≠x2)是直线l上不同两点，直线l的斜率为k，则：k=tan=，当=90°时，或x1=x2时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在。

例1．求过A(-2，0)，B(-5，3)两点的直线的斜率和倾斜角。

解：k==-1，即tan=-1，∵0°≤<180°，∴=135°。

点评：已知直线的斜率，可以直接得出直线的倾斜角，但要注意角的范围。

例2．设直线l的斜率为k，且-1<k<1，求直线倾斜角的范围。

解法1：当-1<k<0时，∈()，则，当k=0时，=0，当0<k<1时，∈(0，)，则0<<解法2：作k=tan，∈[0，π)时的图形：由上图可知：-1<k<1时，∈[0，）（）。

点评：1、当直线的斜率在某一区间内时，要注意对倾斜角范围的讨论。

2、利用正切函数图像中正切来表示倾斜角和斜率关系也是一种很好的方法。

二、直线方程的四种形式1．两个独立的条件确定一条直线，常见的确定直线的方法有以下两种（1）由一个定点和确定的方向可确定一条直线，这在解析几何中表现为直线的点斜式方程及其特例斜截式方程。

直线的倾斜角和斜率倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°.2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是 k = tan α⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l 的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在. 4、 直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x13.1.2两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k 1=k 2, 那么一定有L 1∥L 22、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即基础卷一．选择题：1．下列命题中，正确的命题是（A ）直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α （B ）直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α（C ）任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率 （D ）直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或π2．直线l 1的倾斜角为30°，直线l 2⊥l 1，则直线l 2的斜率为（A ）3 （B ）－3 （C ）33 （D ）－333．直线y =x cos α+1 (α∈R )的倾斜角的取值范围是（A ）[0, 2π] （B ）[0, π) （C ）[－4π, 6π] （D ）[0, 4π]∪[43π,π)4．若直线l 经过原点和点(－3, －3)，则直线l 的倾斜角为（A ）4π （B ）54π （C ）4π或54π （D ）－4π5．已知直线l 的倾斜角为α，若cos α=－54，则直线l 的斜率为 （A ）43 （B ）34 （C ）－43 （D ）－346．已知直线l 1: y =x sin α和直线l 2: y =2x +c ，则直线l 1与l 2 （A ）通过平移可以重合 （B ）不可能垂直（C ）可能与x 轴围成等腰直角三角形 （D ）通过绕l 1上某一点旋转可以重合 二．填空题：7．经过A (a , b )和B (3a , 3b )(a ≠0)两点的直线的斜率k = ，倾斜角α= .8．要使点A (2, cos 2θ), B (sin 2θ, －32), (－4, －4)共线，则θ的值为 .9．已知点P (3 2)，点Q 在x 轴上，若直线PQ 的倾斜角为150°，则点Q 的坐标为 . 10．若经过点A (1－t , 1+t )和点B (3, 2t )的直线的倾斜角为钝角，则实数t 的取值范围是 .提高卷一．选择题：2．过点P (2, 3)与Q (1, 5)的直线PQ 的倾斜角为（A ）arctan2 （B ）arctan(－2) （C ）2π－arctan2 （D ）π－arctan23．直线l 1: ax +2y －1=0与直线l 2: x +(a －1)y +a 2=0平行，则a 的值是 （A ）－1 （B ）2 （C ）－1或2 （D ）0或14．过点A (－2, m ), B (m , 4)的直线的倾斜角为2π+arccot2，则实数m 的值为（A ）2 （B ）10 （C ）－8 （D ）0 二．填空题：6．若直线k 的斜率满足－3<k <33，则该直线的倾斜角α的范围是 .8．已知直线l 1和l 2关于直线y =x 对称，若直线l 1的斜率为3，则直线l 2的斜率为 ；倾斜角为 .9．已知M (2, －3), N (－3,－2)，直线l 过点P (1, 1)，且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 .综合练习卷一．选择题：1．下列命题正确的是（A ）若直线的斜率存在，则必有倾斜角α与它对应 （B ）若直线的倾斜角存在，则必有斜率与它对应（C ）直线的斜率为k ，则这条直线的倾斜角为arctan k （D ）直线的倾斜角为α，则这条直线的斜率为tan α2．过点M (－2, a ), N (a , 4)的直线的斜率为－21，则a 等于（A ）－8 （B ）10 （C ）2 （D ）43．过点A (2, b )和点B (3, －2)的直线的倾斜角为43π，则b 的值是（A ）－1 （B ）1 （C ）－5 （D ）54．如图，若图中直线l 1, l 2, l 3的斜率分别为k 1, k 2, k 3，则 （A ）k 1<k 2<k 3 （B ）k 3<k 1<k 2 （C ）k 3<k 2<k 1 （D ）k 1<k 3<k 26．若直线l 的斜率为k =－ab(ab >0)，则直线l 的倾斜角为（A ）arctan a b （B ）arctan(－ab)（C ）π－arctan a b （D ）π+arctan ab二．填空题：7．已知三点A (2, －3), B (4, 3), C (5, 2m)在同一直线上，则m 的值为 .8．已知y 轴上的点B 与点A (－3, 1)连线所成直线的倾斜角为120°，则点B 的坐标为 .9．若α为直线的倾斜角，则sin(4－α)的取值范围是 .10．已知A (－2, 3), B (3, 2)，过点P (0, －2)的直线l 与线段AB 没有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是 . 三．解答题：11．求经过两点A (2, －1)和B (a , －2)的直线l 的倾斜角。

直线倾斜角及斜率的求法
直线倾斜角是指直线与水平方向（即 x 轴）之间的夹角，可以通过斜率来求出直线倾
斜角。

斜率的定义：如果直线上有两点 (x1, y1) 和 (x2, y2)，则这条直线的斜率 k 是由这两
点的坐标计算出来的，公式为 k = (y2 - y1)/(x2 - x1)。

如果斜率k 大于0，则直线向右上方倾斜；如果斜率k 小于0，则直线向左下方倾斜；如果斜率 k 等于 0，则直线水平；如果斜率 k 无限大，则直线竖直。

因此，可以通过求出直线的斜率 k，再利用下面的公式求出直线倾斜角θ：
θ = tan^(-1)k
其中，tan^(-1) 是反正切函数（arctan）的简写，用来求出角度值。

例如，设直线的斜率 k 为 2，则直线倾斜角θ = tan^(-1)2 = 63.43°。

直线的倾斜角与斜率【学习目标】1.了解直线倾斜角的概念，掌握直线倾斜角的范围；2.理解直线斜率的概念，理解各倾斜角是90时的直线没有斜率；3.已知直线的倾斜角(或斜率)，会求直线的斜率(或倾斜角)；4.掌握经过两点111(,)P x y 和222(,)P x y 的直线的斜率公式：2121y y k x x -=-(12x x ≠)； 5.熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件.【要点梳理】要点一、直线的倾斜角平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，则α叫做直线的倾斜角.规定：当直线和x 轴平行或重合时，直线倾斜角为0，所以，倾斜角的范围是0180α≤<． 要点诠释：1.要清楚定义中含有的三个条件①直线向上方向；②x 轴正向；③小于180的角.2.从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由x 轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.3.倾斜角α的范围是0180α≤<.当0α=时，直线与x 轴平行或与x 轴重合.4.直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应.5.已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置.要点二、直线的斜率1．定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示，即tan k α=． 要点诠释：(1)当直线l 与x 轴平行或重合时，α=0°，k=tan0°=0；(2)直线l 与x 轴垂直时，α=90°，k 不存在.由此可知，一条直线l 的倾斜角α一定存在，但是斜率k 不一定存在.2．直线的倾斜角α与斜率k 之间的关系由斜率的定义可知，当α在(090)，范围内时，直线的斜率大于零；当α在(90180)，范围内时，直线的斜率小于零；当0α=︒时，直线的斜率为零；当90α=︒时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角(90除外)为一一对应关系，且在)090⎡⎣，和(90180)，范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在)090⎡⎣，或(90180)，范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然．要点三、斜率公式已知点111(,)P x y 、222(,)P x y ，且12P P 与x 轴不垂直，过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率公式2121y y k x x -=-. 要点诠释：1.对于上面的斜率公式要注意下面五点：(1) 当x 1=x 2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α=90°，直线与x 轴垂直；(2)k 与P 1、P 2的顺序无关，即y 1，y 2和x 1，x 2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；(3)斜率k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；(4)当y 1=y 2时，斜率k=0，直线的倾斜角α=0°，直线与x 轴平行或重合；(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．2.斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：(1)由1P 、2P 点的坐标求k 的值；(2)已知k 及1122,,,x y x y 中的三个量可求第四个量；(3)已知k 及1P 、2P 的横坐标(或纵坐标)可求12||PP ；(4)证明三点共线.要点四、两直线平行的条件设两条不重合的直线21,l l 的斜率分别为21,k k .若21//l l ，则1l 与2l 的倾斜角1α与2α相等.由21αα=，可得21tan tan αα=，即21k k =.因此，若21//l l ，则21k k =.反之，若21k k =，则21//l l .要点诠释：1.公式2121//k k l l =⇔成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为21k k ，；②21l l 与不重合；2.当两条直线的斜率都不存在且不重合时，21l l 与的倾斜角都是90︒，则21//l l .要点五、两直线垂直的条件设两条直线21,l l 的斜率分别为21,k k .若21l l ⊥，则121-=⋅k k .要点诠释：1.公式12121-=⋅⇔⊥k k l l 成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直.【典型例题】类型一：直线的倾斜角与斜率例1．设直线l 与x 轴的交点为P ，且倾斜角为α，若将其绕点P 按逆时针方向旋转45°，得到直线l 的倾斜角为α+45°，则（ ）A ．0°≤α＜90°B ．0°≤α＜135°C ．0°＜α≤135°D ．0°＜α＜135°【答案】D【解析】 ∵α，α+45°均为倾斜角，∴0180045180αα︒≤<︒⎧⎨≤+︒<︒⎩，∴0°≤α＜135°．又∵直线l 与x 轴相交，∴α≠0°．故选D ．【总结升华】 （1）倾斜角的概念中含有三个条件：①直线向上的方向；②x 轴的正方向；③小于平角的正角．（2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对于x 轴正方向的倾斜程度．（3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．（4）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．例2．下列说法正确的是________．①若两直线的倾斜角相等，则两直线平行或重合；②若一直线的倾斜角为150°，则此直线关于y 轴的对称直线的倾斜角为30°；③若α，2α，3α分别为三条直线的倾斜角，则α不大于60°；④若倾斜角α=90°，则此直线与坐标轴垂直．【答案】 ①②【解析】 若倾斜角相等，则两直线平行或重合，故①正确；若两直线关于y 轴对称，则其倾斜角互补，故②正确；当α=60°时，3α=180°，故③错误；若α=90°，则直线与x 轴垂直．故④错误．【总结升华】本题考查直线的倾斜角定义中的条件及倾斜角的取值范围．理解倾斜角的定义是解决此题的关键．举一反三：【变式1】 下图中各标注的直线的倾斜角是否正确？为什么？【答案】（1）不正确（2）不正确（3）不正确（4）不正确【解析】题图（1）中的角α的一边取的是x 轴的负方向，因此标注不正确；题图（2）中的角α的一边取的是直线向下的方向，因此标注不正确；题图（3）中的角α的两边分别取的是x 轴的负方向和直线向下的方向，因此标注不正确，但是它的大小等于直线的倾斜角．题图（4）中的角α是x 轴正方向与直线向上方向所成的角，因此标注不正确．【高清课堂：直线的倾斜角与斜率381490例2】例3．如图所示，直线1l 的倾斜角130α=︒，直线1l 与2l 垂直，求1l ，2l 的斜率．【答案】1k = k 2=【解析】由图形可知，2190αα=+︒，则k 1，k 2可求．直线1l的斜率11tan tan 30k α==︒=． ∵直线2l 的倾斜角2α=90°+30°=120°，∴直线2l 的斜率k 2=tan120°=tan(180°―60°)=―tan60°=【总结升华】（1）本例中，利用图形的形象直观挖掘出直线1l 与2l 的倾斜角之间的关系是解题的关键．（2）公式tan(180°－α)=－tan α是一个重要公式，它是求倾斜角为钝角时的直线斜率的关键，即把钝角的正切转化为锐角的正切．熟记30°，45°，60°角的正切值可快速求解．举一反三：【变式1】（2016 山西曲沃县模拟）过两点A （3―m ―m 2，―2m ），B （m 2+2，3―m 2）的直线的倾斜角为135°，求m 的值．【答案】m =―2【解析】依题意可得：直线的斜率为―1又直线过两点A （3―m ―m 2，―2m ），B （m 2+2，3―m 2） 即：22223132m m m m m --+=----- 整理的2223121m m m m --=+-可求得m =―2或m =―1 经检验m =―1不合题意，故m =―2．类型二：过两点的直线斜率公式的应用例3．经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．（1）（1，―1），（―3，2）；（2）（1，―2），（5，―2）；（3）（3，4），（―2，―5）；（4）（3，0），（3，．【答案】（1）34-（2）0（3）95（4）不存在 【解析】 当倾斜角α=90°时，斜率不存在；当α≠90°时，2121y y k x x -=-． （1）2(1)3314k --==---；（2）2(2)051k ---==-；（3）549235k --==--；（4）∵倾斜角α=90°，∴k 不存在．【总结升华】 应用斜率公式求斜率时，首先应注意这两点的横坐标是否相等，若相等，则这两点的连线必与x 轴垂直，即直线的倾斜角为90°，故其斜率不存在，也就不能运用斜率公式求斜率．事实上，此时若将两点坐标代入斜率公式，则其分母为零无意义，即斜率不存在；其次，在运用斜率公式时，分子的被减数与分母的被减数必须对应着同一点的纵坐标和横坐标．举一反三：【变式1】 直线l 过点A （1，2），B （m ，3），求l 的斜率． 【答案】不存在或11m - 【解析】若m=1，此时l 的倾斜角为2π，显然直线斜率不存在，； 若m ≠1，则直线斜率存在，设此时斜率为k ，倾斜角为α，321tan 11k m m α-===--． 例4．已知A （a ，2），B （5，1），C （―4，2a ）三点在同一条直线上，求a 的值．【答案】2 或 72【解析】 ∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB =k BC ，∴2121545a a --=---，解得a=2或72a =． 故所求的a 的值为2或72． 【总结升华】 由于直线上任意两点的斜率都相等，因此A ，B ，C 三点共线⇔A ，B ，C 中任意两点的斜率相等（如k AB =k AC ）．斜率是反映直线相对于x 轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因．举一反三：【变式1】已知A （―3，―5），B （1，3），C （5，11）三点，试判断这三点是否在同一直线上．【答案】在同一直线上【解析】由题意可知直线AB 的斜率35213AB k +==+，直线BC 的斜率113251BC k -==-．因为k AB =k BC ，即两条直线的斜率相同，并且它们过同一点B ，所以A ，B ，C 三点在同一直线上．例5．（2015春 三明月考）已知两点A （―3，4），B （3，2），过点C （2，―1）的直线l 与线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围．【思路点拨】根据题意，画出图形，结合图形，求出满足条件的直线l 斜率k 的取值范围．【答案】k ≤－1或k ≥3．【解析】如图所示，∵A （―3，4），B （3，2），C （2，―1）， ∴14123AC k --==-+， 12323BC k --==-； 要使过点C 的直线L 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1或k ≥3．【总结升华】本题考查了已知两点的坐标求直线斜率的应用问题，也考查了数形结合的应用问题．举一反三：【变式1】 已知直线l 过点(2,1)A -且与线段BC 相交，设(1,0),(1,0)B C -，则直线l 的斜率k 的取值范围是 ． 【答案】113k -≤≤- 【解析】画出图形，数形结合类型三：两条直线平行的条件例6．已知1l 经过A （―3，3），B （―8，6），2l 经过21,62M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，9,32N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求证：12//l l ． 【解析】 直线1l 的斜率为16338(3)5k -==----， 直线2l 的斜率为26(3)3219522k --==---， ∵k 1=k 2，∴12//l l ．【总结升华】判定两条不重合的直线是否平行的依据是：当这两条直线均不与x 轴垂直时，只需看它们的斜率是否相等即可，反过来，两条直线平行，则隐含着这两条直线的斜率相等（当这两条直线均不与x 轴垂直时）．判定两条直线是否平行，只要研究两条直线的斜率是否相等即可，但是要注意斜率都不存在的情况，以及两条直线是否重合．举一反三：【变式1】 判断下列各小题中的直线1l 与2l 是否平行．（1）1l 经过点A （―1，―2），B （2，1），2l 经过点M （3，4），N （―1，―1）；（2）1l 的斜率为1，2l 经过点A （1，1），B （2，2）；（3）1l 经过点A （0，1），B （1，0），2l 经过点M （―1，3），N （2，0）（4）1l 经过点A （―3，2），B （―3，10），2l 经过点M （5，―2），N （5，5）．【解析】 （1）11(2)12(1)k --==--，2145134k --==--，∵k 1≠k 2，∴1l 与2l 不平行． （2）k 1=1，221121k -==-， ∵k 1=k 2，∴1l ∥2l 或1l 与2l 重合．（3）101110k -==--，20312(1)k -==---， ∵k 1=k 2，∴1l ∥2l ．（4）∵1l 与2l 都与x 轴垂直，∴1l ∥2l ．【总结升华】 k 1=k 2⇔1l ∥2l 是针对斜率都存在的直线，对于斜率不存在或可能不存在的直线要注意利用图形求解．例7．已知ABCD 的三个顶点的坐标分别是A （0，1），B （1，0），C （4，3），求顶点D 的坐标．【答案】 （3，4）【解析】 解法1：设D （m ，n ），线段AC 的中点为E （2，2），所以线段BD 的中点为E （2，2），则122022m n +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得m=3，n=4，所以D （3，4）． 解法2：设D （m ，n ），由题意得AB ∥DC ，AD ∥BC ，则有k AB =k DC ，k AD =k BC ， 所以013104130041n m n m --⎧=⎪⎪--⎨--⎪=⎪--⎩，解得m=3，n=4，所以D （3，4）．【总结升华】 解决此类问题的关键是充分利用几何图形的几何性质，并用解析几何中的相关知识解决．解决本题的关键是如何利用平行四边形的几何性质，其出发点是已知平行四边形的三个顶点如何作出第四个顶点，这两种作法对应着两种解法．类型四：两条直线垂直的条件例8．判断下列各题中1l 与2l 是否垂直．（1）1l 经过点A （―1，―2），B （1，2），2l 经过点M （―2，―1），N （2，1）；（2）1l 的斜率为―10，2l 经过点A （10，2），B （20，3）；（3）1l 经过点A （3，4），B （3，10），2l 经过点M （－10，40），N （10，40）．【解析】 求出斜率，利用1l ⊥2l ⇔k 1k 2=－1进行判断，注意数形结合及斜率不存在的特殊情况．（1）12(2)21(1)k --==--，21(1)12(2)2k --==--，k 1k 2=1， ∴1l 与2l 不垂直；（2）k 1=－10，2321201010k -==-，k 1k 2=－1，∴1l ⊥2l ； （3）1l 的倾斜角为90°，则1l ⊥x 轴；24040010(10)k -==--，则2l ∥x 轴，∴1l ⊥2l ． 【总结升华】 判断两条直线是否垂直的依据是：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于―1即可，但应注意有一条直线与x 轴垂直，另一条直线与x 轴平行时，两条直线也垂直．例9．已知定点A （―1，3），B （4，2），以A ，B 为直径的端点，作圆与x 轴交于点C ，求交点C 的坐标．【答案】（1，0）或（2，0）【解析】 本题中有三个点A ，B ，C ，由于AB 为直径，C 为圆上的点，所以∠ACB=90°，因此，必有k AC ·k BC =―1．列出方程，求解即可．以线段AB 为直径的圆与x 轴的交点为C ，则AC ⊥CB ．设C （x ，0），MJ 31AC k x -=+，24BC k x -=-．∴32114x x --⋅=-+-，去分母解得x=1或2． ∴C （1，0）或C （2，0）．【总结升华】利用直线平行与垂直的条件解题，主要利用其斜率的关系，当然，在解题时要特别注意斜率不存在的情况，以及分类讨论的思想．本例中，利用∠ACB=90°，及两条直线垂直时斜率之间的关系，从而构造关于x 的方程，解之便求出其交点坐标，因此利用直线垂直与平行关系可构造相关方程，解之即可求出相关参数．本例中，当AC 或BC 的斜率不存在时，不满足AC ⊥BC ，这是很明显的事情（如图）．故不需要对AC 或BC 斜率不存在的情形作讨论．举一反三：【变式1】（2015春 海淀区期末）已知点A （a ，a ）（a ≠0），B （1，0），O 为坐标原点．若点C 在直线OA 上，且BC 与OA 垂直，则点C 的坐标是（ ）A ．11(,)22-B ．(,)22a a -C ．(,)22a aD ．11(,)22【思路点拨】设C （x ，y ），利用点C 在直线OA 上，且BC 与OA 垂直得到关于x ，y 的方程组解之．【答案】D【解析】设C （x ，y ），因为点C 在直线OA 上，且BC 与OA 垂直， 所以11x y y x =⎧⎪⎨=-⎪-⎩，解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩； 故选：D。

高中数学直线的倾斜角与斜率高中数学的世界就像一场充满惊喜的冒险，今天我们要聊的就是直线的倾斜角和斜率。

说到倾斜角，大家一定会想起那种斜着的线条，好像在给你眨眼睛。

哎呀，没错，直线可不是平平无奇的，它们的“态度”可是很重要的呢！想象一下，你在爬山，山坡的倾斜程度决定了你是轻松走上去，还是气喘吁吁。

这就跟直线的倾斜角有关系啦。

直线的倾斜角，简单来说，就是直线和水平线之间的夹角。

这个角度越大，线条就越陡，越难爬；反之，角度小，坡就平，走起来就轻松多了。

说到斜率，那可真是个小宝贝。

斜率就是直线在纵向和横向上的“努力程度”。

如果用数学语言来说，斜率等于纵坐标的变化量除以横坐标的变化量。

听起来复杂？别担心，想象你在骑自行车。

上坡的时候，你需要使劲儿，坡度越大，你的“努力”也就越大，斜率自然也就越大。

要是你平地骑，那可轻松多了，斜率就小得多。

这样一来，倾斜角和斜率就像一对好搭档，一起决定了直线的“性格”。

再来说说斜率的具体计算。

我们一般用公式表示，y = mx + b，里面的m就是斜率。

比如说，你有两点，A(1, 2)和B(3, 4)。

你可以这样算斜率：先找出纵坐标的变化，即4 2，等于2。

然后找出横坐标的变化，3 1，等于2。

用2除以2，斜率就是1。

这就是说，从A点到B点，直线的倾斜程度是1，既不陡也不平，刚刚好。

所以说，直线的倾斜角和斜率，简直就是我们日常生活的缩影。

比如说，做一件事情的时候，如果你全力以赴，斜率就大；要是你慢吞吞，斜率就小。

这种关系，真是让人忍不住想笑。

每当看到那些笔直的线条，就会想起自己生活中的努力。

人生的路途就像一条条直线，起伏跌宕，时而陡峭，时而平坦，每一步都在展示着自己的倾斜角。

生活中也有“斜率为零”的时候，那就是平坦的日子。

你坐在沙发上，悠闲地喝着饮料，看着电视，感觉一切都是那么美好，真是享受啊！这时候的直线横穿在x轴上，表示你一点也不在乎，轻松无压力。

可是，当工作压力来袭，生活的坡度陡然增加，心情顿时就像是被拉扯着，努力向上爬，这可真是个挑战。