高中数学第二讲直线与圆的位置关系2圆内接四边形的性质与判定定理课件新人教A版选修4-1 (2)

二 圆内接四边形的性质与判定定理主动成长夯基达标1.已知四边形ABCD 是圆内接四边形,下列结论中正确的有（ ）①如果∠A ＝∠C ,则∠A ＝90°②如果∠A ＝∠B ,则四边形ABCD 是等腰梯形 ③∠A 的外角与∠C 的外角互补④∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 可以是1∶2∶3∶4 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个思路解析:由“圆内接四边形的对角互补”可知:①相等且互补的两角必为直角;②两相等邻角的对角也相等(亦可能有∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D 的特例);③互补两内角的外角也互补;④两组对角之和的份额相等(这里1＋3≠2＋4).因此得出①③正确,②④错误. 答案:B2.圆内接平行四边形一定是（ ）A.正方形B.菱形C.等腰梯形D.矩形思路解析:由于圆内接四边形对角互补,平行四边形的对角相等,所以圆内接平行四边形的各角均为直角,故为矩形. 答案:D3.如图2-2-6所示,AB 、CD 都是圆的弦,且AB ∥CD ,F 为圆上一点,延长FD 、AB 交于点E .求证:AE ·AC ＝AF ·DE .图2-2-6思路分析:连结BD ,则BD ＝AC ,即证AE ·BD ＝AF ·DE .证明:连结BD ,∵AB ∥CD , ∴BD ＝AC .∵A 、B 、D 、F 四点共圆, ∴∠EBD =∠F .∵∠E 为△EBD 和△EFA 的公共角, ∴△EBD ∽△EFA .∴AE DE =AF BD. ∴AE DE =AFAC ,即AE ·AC ＝AF ·DE . 4.如图2-2-7所示,在△ABC 中,AB =AC ,延长CA 到P ,再延长AB 到Q ,使得AP =BQ . 求证:△ABC 的外心O 与A 、P 、Q 四点共圆.图2-2-7思路分析:要证O 、A 、P 、Q 四点共圆,只需证∠CPO =∠AQO 即可.为此,只要证△CPO ≌△AQO 即可.证明:连结OA 、OC 、OP 、OQ.在△OCP 和△OAQ 中,OC =OA , 由已知CA =AB ,AP =BQ, ∴CP =AQ .又O 是△ABC 的外心, ∴∠OCP =∠OAC .由于等腰三角形的外心在顶角平分线上, ∴∠OAC =∠OAQ ,从而∠OCP =∠OAQ . ∴△OCP ≌△OAQ . ∴∠CPO =∠AQO .∴O 、A 、P 、Q 四点共圆.5.如图2-2-8,在等腰三角形ABC 中,AB =AC ,D 是AC 中点,DE 平分∠ADB ,交AB 于E ,过A 、D 、E 的圆交BD 于N.求证:BN =2AE .图2-2-8思路分析:要证BN =2AE ,由已知有AB =AC =2AD ,所以只需证AE BN =2 ADAB.而又因为AE =NE ,所以只需证NE BN =ADAB,这可由△BNE ∽△BAD 证得. 证明:连结EN ,∵四边形AEND 是圆内接四边形,∴∠BNE =∠A .又∵∠ABD =∠EBN,∴△BNE ∽△BAD .∴EN BN =ADAB. ∵AB =AC ,AC =2AD ,∴AB =2AD . ∴BN =2EN .又∵∠ADE =∠NDE ,∴AE =EN , ∴AE =EN ,∴BN =2AE .6.如图2-2-9,已知四边形ABCD 内接于⊙O ,边AB 与DC 的延长线交于点E ,边AD 与BC 的延长线相交于点F ,EG 与FG 分别是∠AEC 和∠AFC 的角平分线.求证:EG ⊥FG.图2-2-9思路分析:注意到EG 平分∠AED,因此，要证GF ⊥GE ,只要构造等腰三角形，便可利用三线合一的性质来证.证明:延长FG 交AB 于M,∵四边形ABCD 内接于⊙O , ∴∠NCF =∠A.∵∠MNE =∠NFC +∠NCF , ∴∠MNE =∠NFC +∠A . 又FG 平分∠AFB , ∴∠AFM =∠NFC . ∴∠MNE =∠A +∠AFM. 又∠NME =∠A +∠AFM ,∴∠MNE =∠NME ,即EM =EN . 又∵GE 平分∠MEN ,∴GE ⊥MN , 即EG ⊥FG .7.如图2-2-10,已知半圆的直径AB =6 cm,CD 是半圆上长为2 cm 的弦,AC 与BD 延长线交于P ,当弦CD 在半圆上滑动时,求证:∠P 为定值,并求出这个定角的正弦值.图2-2-10思路分析:要证∠P 为定值,考虑求出∠P 的三角函数值,因此,构造以∠P 为内角的直角三角形,注意到AB 为直径,则连结B C 、AD 均可得到直角三角形. 解:连结BC ,∵CD 为定长,圆直径为定值,∴在CD 滑动过程中,CD 的度数不变, ∴∠PBC 为定值.又AB 为直径,∴∠ACB =∠PCB =90°, ∴∠P =90°-∠PBC 为定值.∵∠PCD =∠PBA ,∴△PCD ∽△PBA .∴3162===BA CD PB PC . 在Rt△PBC 中,cos P =31=PB PC ,∴sin P =322)31(12=-. 8.如图2-2-11,已知四边形ABCD 内接于⊙O ,AB 是直径,AD =DC ,分别延长BA 、CD 交于点E ,BF ⊥EC ,交EC 的延长线于F ,若EA =AO ,BC =12.求CF 的长.图2-2-11思路分析:在Rt△CFB 中,已知BC =12,要求CF,只有寻找与它相似的三角形,根据四边形ABCD 内接于⊙O ,则∠BCF =∠BAD ,因此连结BD ,构造Rt△BAD ,下面证明△BAD ∽△BCF . 解:连结OD 、BD ,∵AD = DC ,∴AD =DC .∴∠ABC m21m m ∠AOD .∴OD ∥BC .∴BC OD =EBEO.∵EA =AO =BO ,BC =12,∴OD =8.∴AB =16,EB =24. ∵四边形ABCD 内接于⊙O,∴∠EDA =∠EBC .∴△EDA ∽△EBC . ∴BC AD =EB ED =ECEA. 设AD =CD =x ,ED =y , 则12x =24y=yx +8,解得24=x , 28=y , ∴24==DC AD .∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ADB =∠F =90°. 又∠DAB =∠FCB ,∴Rt△ADB ∽Rt△CFB . ∴CF AD =BCAB,即CF 24=1216,∴23=CF .走近高考9.如图2-2-12所示,在半径为1的⊙O 中,引两条互相垂直的直径AE 和BF ,在EF 上取点C ,弦AC 交BF 于P ,弦CB 交AE 于Q .证明四边形APQB 的面积是1.图2-2-12思路分析:由已知条件可以证明四边形ABEF 是正方形,且边长为2,则正方形面积为 2.而△ABD 的面积为正方形面积的一半,所以,只需证明S 四边形APQB =S △ABD ,即证S △BPD =S △BPQ ,即证DQ ∥PB .因为BP ⊥AE ,所以,只需证DQ ⊥AE .证明:∵AE 、BF 为互相垂直的两条直径,垂足O 为圆心,∴AE 、BF 互相平分、垂直且相等.∴四边形ABEF 是正方形. ∴∠ACB =∠AEF =45°,即∠DCQ =∠QED .∴D 、Q 、E 、C 四点共圆.连结CE 、DQ ,则∠DCE +∠DQE =180°. ∵AE 为⊙O 的直径,∴∠DCE =90°,∠DQE =90°. ∵∠FOE =90°,进而DQ ∥BF ,∴S △BPQ =S △BPD , ∴S △ABP +S △BPQ =S △ABP +S △BPD ,即S 四边形ABQP =S △ABD .∵⊙O 的半径为1,∴正方形边长为2,即AB =AF =2. ∴S 四边形ABQP =S △ABD =21AB ·AF =1. 10.如图2-2-13,△ABC 的∠A 的外角平分线交△ABC 的外接圆于点D . 求证:AB +AC ＜2BD .图2-2-13思路分析:因为比较的是两条线段的和与另一条线段的大小,所以应将两条线段的和转化为一条线段,故可延长BA 到E ,使得AE =AC ,然后比较BE 与2BD 的大小关系.证明:在BA 延长线上取点E ,使得AE =AC .连结DC 、DE 、BD .∵AE =AC ,∠1=∠2,AD =AD , ∴△ADE ≌△ADC . ∴DE =DC.在△BED 中,BE ＜BD +DE =BD +DC ,即AB +AC ＜BD +DC . ∵ABCD 是圆内接四边形,∴∠1=∠BCD . 又∵∠2 =∠DBC ,∠1=∠2, ∴∠BCD =∠DBC .∴BD =DC. 因此AB +AC ＜2BD 成立.11.如图2-2-14,已知P为正方形ABCD的对角线BD上一点,通过P作正方形的边的垂线,垂足为E、F、G、H.你能发现E、F、G、H是否在同一个圆上吗？试说明你的猜想.图2-2-14思路分析:根据正方形的对称性,可以猜想,此四个点应当在以O为圆心的圆上,于是连结线段OE、OF、OG、OH,再设法证明这四条线段相等.解:猜想:E、F、G、H四个点在以O为圆心的圆上.证明:如图,连结线段OE、OF、OG、OH.在△OBE、△OBF、△OCG、△OAH中,OB =OC=OA.∵PEBF为正方形,∴BE =BF =CG =AH,∠OBE =∠OBF =∠OCG =∠OAH.∴△OBE≌△OBF≌△OCG≌△OAH.∴OE =OF =OG =OH.由圆的定义可知:E、F、G、H在以O为圆心的圆上.。

2.2 圆内接四边形的性质与判定定理课堂探究探究一证明四点共圆判断四点共圆时，要根据题目特点，灵活选用判定四点共圆的方法．[典型例题1]如下图，在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于点F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于点G.求证：(1)D，E，F，G四点共圆；(2)G，B，C，F四点共圆．思路分析：(1)连接GF，那么易证△GDF与△GEF均为直角三角形，由直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等可得出结论．(2)连接DE，由条件易证DE∥BC，从而∠ADE＝∠B，由(1)知∠ADE＝∠GFE，从而∠GFE ＝∠B，从而得到结论．证明：(1)连接GF.由DF⊥AB，EG⊥AC，知∠GDF＝∠GEF＝90°，∴GF的中点到D，E，F，G四点的距离相等，∴D，E，F，G四点共圆．(2)连接DE.由AD＝DB，AE＝EC，知DE∥BC，∴∠ADE＝∠B.又由(1)中D，E，F，G四点共圆，∴∠ADE＝∠GFE，∴∠GFE＝∠B，∴G，B，C，F四点共圆．规律小结判定四点共圆的方法：①如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆；②如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；③如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆(如此题)；④与线段两个端点连线的夹角相等(或互补)的点连同该线段两个端点在内共圆．探究二圆内接四边形的性质的应用当条件中出现圆内接四边形时，常用圆内接四边形的性质来获得角相等或互补，从而为证明三角形相似或两条直线平行等问题创造条件．[典型例题2]两圆相交于A，B，过A作两直线分别交两圆于C，D和E，F.假设∠EAB＝∠DAB，求证：CD＝EF.思路分析：连接CB，BF，要证CD＝EF，只需证明△CBD≌△EBF即可．从题图可以看出，∠BCA＝∠BEA，∠D＝∠F，因此，尚需找一条对应边相等即可．比如，能否推出BC＝BE呢？要证BC＝BE，只需∠CEB＝∠ECB，有无可能呢？可以发现，∠ECB＝∠1，又∠1＝∠2，所以只需证∠2＝∠CEB即可．这时我们发现，四边形ABEC是圆内接四边形，根据性质定理，它的外角∠2与它的内对角∠CEB当然相等．至此，结论得证．证明：连接CB，BF.因为四边形ABEC为圆内接四边形，所以∠2＝∠CEB.又因为∠1＝∠ECB，且∠1＝∠2，而∠2＝∠CEB，所以∠CEB＝∠ECB.所以BC＝BE.在△CBD与△EBF中，∠BCA＝∠BEA，∠D＝∠F，BC＝BE，所以△CBD≌△EBF.所以CD＝EF.探究三易错辨析易错点：忽视分类讨论致误[典型例题3]⊙O的直径AB＝4，弦AC＝23，AD＝22，那么∠DAC＝__________.错解：如图，∵AB＝4，AD＝22，∴∠BAD＝45°.又∵AC＝23，∴∠CAB＝30°，∴∠CAD＝45°－30°＝15°.错因分析：作图时，未能考虑全面，没有对相对位置关系进行分类讨论，致使题目答案漏解．正解：根据题意，分两种情况讨论：图①(1)当弦AD，AC在直径AB的同侧时，如图①，由错解得，∠DAC＝15°.(2)当弦AD，AC在直径AB异侧时，如图②.图②那么∠DAC＝75°，综上，∠DAC＝15°或75°.。

第二节圆内接四边形的性质与判定定理
课前导引
情景导入
任意三角形都有外接圆,但四边形却不尽然,只有符合某个条件的四边形才有外接圆,而该四边形又具有其独特的性质，那就是对角互补或者外角等于它的内角的对角.
知识预览
1.定义:如果多边形的所有顶点都在一个圆上,那么这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆.
2.性质:
(1)圆的内接四边形的对角互补.
(2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.
3.判定(四点共圆)
(1)如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆.
(2)如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那个这个四边形的四个顶点共圆.
4.证明思想方法:
分类思想、反证法、穷举法.。

二圆内接四边形的性质与判定定理预习导航课程目标学习脉络1．了解圆内接四边形的概念，掌握圆内接四边形的性质定理及其应用．2．理解圆内接四边形的判定定理及其推论，并能解决有关问题．3．了解反证法在证明问题中的应用.1．性质定理1文字语言互补圆的内接四边形的对角符号语言若四边形ABCD内接于圆O，则有∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°图形语言作用证明两个角互补2．性质定理 2文字语言圆内接四边形的外角等于它的内角的对角符号语言四边形ABCD内接于⊙O，E为AB延长线上一点，则有∠CBE＝∠ADC 图形语言作用证明两个角相等总结(1)利用这两个性质定理，可以借助圆变换角的位置，得到角的相等关系或互补关系，再进行其他的计算或证明．(2)利用这两个定理可以得出一些重要结论，如内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形等．3．圆内接四边形判定定理文字语言如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆符号语言在四边形ABCD中，如果∠B＋∠D＝180°(或∠A＋∠C＝180°)，那么A，B，C，D四点共圆图形语言作用证明四点共圆4．推论文字语言如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆符号语言在四边形ABCD中，延长AB到E，若∠CBE＝∠ADC，则A，B，C，D四点共圆图形语言作用证明四点共圆归纳总结性质定理1和判定定理互为逆定理，性质定理2和判定定理的推论互为逆定理．思考1 圆内接四边形判定定理的证明思路是什么？提示：要证明四边形ABCD内接于圆，就是要证明A，B，C，D四点在同一个圆上．根据我们的经验，若能证明这四个点到一个定点的距离相等即可．但是这个定点一时还找不出来．不过，对于不在同一条直线上的三点来说，总可以确定一个圆．因此我们可以先经过A，B，C，D中的任意三个点，譬如A，B，C三点作一个圆，再证明第四个点D也在这个圆上就可以了．但是直接证明点D在圆上很困难，所以我们采用反证法证明，也就是假设点D不在圆上，经过推理论证，得出错误的结论，这就说明点D不在圆上是错误的，因此点D只能在圆上．由于点D不在圆上时，可能出现点D在圆外和点D在圆内两种情况，所以应分别加以证明，下面先讨论点D在圆内的情况．假设点D在圆内，若作出对角线BD，设BD和圆交于点D′.连接AD′，CD′，则ABCD′为圆内接四边形(如图)，则∠ABC＋∠AD′C＝180°．另一方面，因为∠ADB，∠BDC分别是△AD′D和△CD′D的外角，所以有∠AD′B<∠ADB，∠BD′C<∠BDC，于是有∠AD′C<∠ADC.因为已知∠ABC＋∠ADC＝180°，所以∠ABC＋∠AD′C<180°，这与圆内接四边形的性质定理矛盾．因此可证点D不能在圆内．用类似的方法也可以证明点D不能在圆外．因此点D在圆上，即四边形ABCD内接于圆．思考 2 判定四点共圆的方法有哪些？提示：(1)如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆．(2)如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．(4)如果两个直角三角形有公共的斜边，那么这两个三角形的四个顶点共圆(因为四个顶点与斜边中点距离相等)．温馨提示反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后从这个假设出发，经过正确的推理，导出矛盾，从而否定假设，达到肯定原命题正确的一种方法．用反证法证明一个命题的步骤为：(1)反设，(2)归谬，(3)结论．反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表达形式是有必要的，例如是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n－1)个；至多有一个/至少有两个等．归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，推理必须严谨，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水．导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾，与已知的公理、定义、定理、公式矛盾，与反设矛盾，自相矛盾等．。

2.2 圆内接四边形的性质与判定定理课堂探究探究一证明四点共圆判断四点共圆时，要根据题目特点，灵活选用判定四点共圆的方法．【典型例题1】如图所示，在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于点F，AE＝EC，EG⊥AC 交AB于点G.求证：(1)D，E，F，G四点共圆；(2)G，B，C，F四点共圆．思路分析：(1)连接GF，则易证△GDF与△GEF均为直角三角形，由直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等可得出结论．(2)连接DE，由条件易证DE∥BC，从而∠ADE＝∠B，由(1)知∠ADE＝∠GFE，从而∠GFE ＝∠B，从而得到结论．证明：(1)连接GF.由DF⊥AB，EG⊥AC，知∠GDF＝∠GEF＝90°，∴GF的中点到D，E，F，G四点的距离相等，∴D，E，F，G四点共圆．(2)连接DE.由AD＝DB，AE＝EC，知DE∥BC，∴∠ADE＝∠B.又由(1)中D，E，F，G四点共圆，∴∠ADE＝∠GFE，∴∠GFE＝∠B，∴G，B，C，F四点共圆．规律小结判定四点共圆的方法：①如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆；②如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；③如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆(如本题)；④与线段两个端点连线的夹角相等(或互补)的点连同该线段两个端点在内共圆．探究二圆内接四边形的性质的应用当已知条件中出现圆内接四边形时，常用圆内接四边形的性质来获得角相等或互补，从而为证明三角形相似或两条直线平行等问题创造条件．【典型例题2】两圆相交于A，B，过A作两直线分别交两圆于C，D和E，F.若∠EAB＝∠DAB，求证：CD＝EF.思路分析：连接CB，BF，要证CD＝EF，只需证明△CBD≌△EBF即可．从题图可以看出，∠BCA＝∠BEA，∠D＝∠F，因此，尚需找一条对应边相等即可．比如，能否推出BC＝BE呢？要证BC＝BE，只需∠CEB＝∠ECB，有无可能呢？可以发现，∠ECB＝∠1，又已知∠1＝∠2，所以只需证∠2＝∠CEB即可．这时我们发现，四边形ABEC是圆内接四边形，根据性质定理，它的外角∠2与它的内对角∠CEB当然相等．至此，结论得证．证明：连接CB，BF.因为四边形ABEC为圆内接四边形，所以∠2＝∠CEB.又因为∠1＝∠ECB，且∠1＝∠2，而∠2＝∠CEB，所以∠CEB＝∠ECB.所以BC＝BE.在△CBD与△EBF中，∠BCA＝∠BEA，∠D＝∠F，BC＝BE，所以△CBD≌△EBF.所以CD＝EF.探究三易错辨析易错点：忽视分类讨论致误【典型例题3】已知⊙O的直径AB＝4，弦AC＝23，AD＝22，则∠DAC＝__________.错解：如图，∵AB＝4，AD＝22，∴∠BAD＝45°.又∵AC＝23，∴∠CAB＝30°，∴∠CAD＝45°－30°＝15°.错因分析：作图时，未能考虑全面，没有对相对位置关系进行分类讨论，致使题目答案漏解．正解：根据题意，分两种情况讨论：图①(1)当弦AD，AC在直径AB的同侧时，如图①，由错解得，∠DAC＝15°.(2)当弦AD，AC在直径AB异侧时，如图②.图②则∠DAC＝75°，综上，∠DAC＝15°或75°.。