高中数学第三章数系的扩充与复数的引入学业质量标准检测新人教A版选修1 2

第三章 数系的扩充与复数的引入 3．1.1 数系的扩充和复数的概念双基达标 限时20分钟1．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( )．A ．3－3iB ．3＋iC ．－2＋2iD.2＋2i解析 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，故选A. 答案 A2．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为( )．A.π4B.π4或54π C ．2k π＋π4(k ∈Z )D ．k π＋π4(k ∈Z )解析 由复数相等定义得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝sin θ，sin θ＝cos θ，∴tan θ＝1，∴θ＝k π＋π4(k ∈Z )．答案 D 3．下列命题中①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝2＋i 的充要条件是x ＝2，y ＝1； ②纯虚数集相对复数集的补集是虚数集； ③若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3. 正确的命题个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ①x ，y ∈C ，x ＋y i 不一定是代数形式，故①错．②③错；对于④，a ＝0时，a i ＝0，④错，故选A. 答案 A4．已知复数z ＝m 2(1＋i)－m (m ＋i)(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为________．解析 z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ，∴m 2－m ＝0， ∴m ＝0或1. 答案 0或15．已知(1＋i)m 2＋(7－5i)m ＋10－14i ＝0，则实数m ＝________.解析 把原式整理得(m 2＋7m ＋10)＋(m 2－5m －14)i ＝0，∵m ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋7m ＋10＝0，m 2－5m －14＝0，∴m ＝－2.答案 －26．实数m 取什么值时，复数lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 分别是(1)纯虚数；(2)实数．解 (1)复数lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 为纯虚数．则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＝1，m 2＋3m ＋2≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m ≠－2且m ≠－1，∴m ＝3.即m ＝3时，lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 为纯虚数， (2)复数为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2>0， ①m 2＋3m ＋2＝0， ②解②得m ＝－2或m ＝－1， 代入①检验知满足不等式，∴m ＝－2或m ＝－1时，lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 为实数．综合提高 限时25分钟7．已知集合M ＝{1，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{1,3}，M ∩N ＝{1,3}，则实数m 的值为( )．A ．4B ．－1C ．4或－1D ．1或6解析 由题意⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3 m －1＝3，m 2－5 m －6＝0，∴m ＝－1.答案 B8．如果关于x 的方程x 2－2x －a ＝0的一个根是i ，那么复数a( )．A ．一定是实数B ．一定是纯虚数C ．可能是实数，也可能是虚数D ．一定是虚数，但不是纯虚数解析 因为i 是方程x 2－2x －a ＝0的根，故代入整理得：a ＝x 2－2x ＝i 2－2i ＝－1－2i ，故选D.答案 D9．若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为________．解析 易知⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.答案 －410．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的取值范围是________．解析 ∵log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，∴⎩⎪⎨⎪⎧log 2x 2－3x －2>1，log 2x 2＋2x ＋1＝0，∴x ＝－2.答案 －211．已知A ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1,3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值．解 按题意：(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0a 2－3a －1＝3，得a ＝－1.12．(创新拓展)若m 为实数，z 1＝m 2＋1＋(m 3＋3m 2＋2m )i ，z 2＝4m ＋2＋(m 3－5m 2＋4m )i ，那么使z 1>z 2的m 值的集合是什么？使z 1<z 2的m 值的集合又是什么？ 解 当z 1∈R 时，m 3＋3m 2＋2m ＝0，m ＝0，－1，－2，z 1＝1或2或5.当z 2∈R 时，m 3－5m 2＋4m ＝0，m ＝0,1,4，z 2＝2或6或18.上面m 的公共值为m ＝0， 此时z 1与z 2同时为实数， 此时z 1＝1，z 2＝2.所以z 1>z 2时m 值的集合为空集，z 1<z 2时m 值的集合为{0}．。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．复数－2i的实部与虚部分别是()A．0,2 B．0,0C．0，－2 D．－2,0【解析】－2i的实部为0，虚部为－2.【答案】 C2．(2016·鹤岗高二检测)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为()A．1 B．2C．－1或－2 D．1或2【解析】由{a2－3a＋2＝0，a－1≠0，得a＝2.【答案】 B3．若a，b∈R，i是虚数单位，且b＋(a－2)i＝1＋i，则a＋b的值为() A．1 B．2C．3 D．4【解析】由b＋(a－2)i＝1＋i，得b＝1，a＝3，所以a＋b＝4.【答案】 D4．在下列命题中，正确命题的个数是()①两个复数不能比较大小；②若z1和z2都是虚数，且它们的虚部相等，则z1＝z2；③若a，b是两个相等的实数，则(a－b)＋(a＋b)i必为纯虚数．A．0 B．1C．2 D．3【解析】两个复数，当它们都是实数时，是可以比较大小的，故①错误；设z1＝a＋b i(a，b∈R，b≠0)，z2＝c＋d i(c，d∈R，且d≠0)，因为b＝d，所以z2＝c＋b i.当a＝c时，z1＝z2，当a≠c时，z1≠z2，故②错误；③当a＝b≠0时，(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数，当a＝b＝0时，(a－b)＋(a＋b)i ＝0是实数，故③错误，因此选A.【答案】 A5．下列命题中，正确命题的个数是()①若x，y∈C，则x＋y i＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.A．0 B．1C．2D．3【解析】对于①，由于x，y∈C，所以x，y不一定是x＋y i的实部和虚部，故①是假命题；对于②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；对于③，如12＋i2＝0，但1≠0，i≠0，故③是假命题．【答案】 A5．已知复数z＝(a2－4)＋(a－3)i(a，b∈R)，则“a＝2”是“z为纯虚数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解析】因为复数z＝(a2－4)＋(a－3)i(a，b∈R)为纯虚数⇔{a2－4＝0，a－3≠0⇔a＝±2, 所以“a＝2”是“z为纯虚数”的充分不必要条件．【答案】 A二、填空题6．以3i－2的虚部为实部，以3i2＋2i的实部为虚部的复数是________．【解析】3i－2的虚部为3,3i2＋2i＝－3＋2i，实部为－3，故应填3－3i.【答案】3－3i7．若x是实数，y是纯虚数，且(2x－1)＋2i＝y，则x，y的值为________.【导学号：19220037】【解析】由(2x－1)＋2i＝y，得{2x－1＝0，＝y，∴x＝12，y＝2i.【答案】x＝12，y＝2i8．给出下列说法：①复数由实数、虚数、纯虚数构成；②满足x2＝－1的数x只有i；③形如b i(b∈R)的数不一定是纯虚数；④复数m＋n i的实部一定是m.其中正确说法的个数为________．【解析】③中，b＝0时，b i＝0不是纯虚数．故③正确；①中，复数分为实数与虚数两大类；②中，平方为－1的数是±i；④中，m，n不一定为实数，故①②④错误．【答案】 1三、解答题9．已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i，当实数m取什么值时：(1)复数z是零；(2)复数z是纯虚数．【解】(1)∵z是零，∴{m(m－1)＝0，m2＋2m－3＝0，解得m＝1.(2)∵z是纯虚数，∴{m(m－1)＝0，m2＋2m－3≠0，解得m＝0.综上，当m＝1时，z是零；当m＝0时，z是纯虚数．10．已知集合M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．【解】因为M∪P＝P，所以M⊆P，即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，得{m2－2m＝－1，m2＋m－2＝0，解得m＝1；由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，得{m2－2m＝0，m2＋m－2＝4，解得m＝2.综上可知，m＝1或m＝2.[能力提升]1．已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是()A．－1或3 B．{a|a>3或a<－1}C．{a|a>－3或a<1} D．{a|a>3或a＝－1}【解析】由已知可以得到a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，解得a>3或a<－1，因此，实数a的取值范围是{a|a>3或a<－1}．【答案】 B2．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为()A.π4 B.π4或54πC．2kπ＋π4(k∈Z) D．kπ＋π4(k∈Z)【解析】由复数相等定义得{cos θ＝sin θ，θ＝cos θ，∴tan θ＝1，∴θ＝kπ＋π4(k∈Z)．【答案】 D3．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值是________．【解析】∵log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，∴{log2(x2－3x－2)>1，2(x2＋2x＋1)＝0，∴{x2－3x－2>2，x2＋2x＋1＝1，∴{x>4或x<－1，x＝0或x＝－2.∴x＝－2.【答案】－24．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋k i＝0有实根x0，求x0以及实数k的值.【导学号：19220038】【解】x＝x0是方程的实根，代入方程并整理，得(x20＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.由复数相等的充要条件，得{x20＋kx0＋2＝0，x0＋k＝0，解得{x0＝2，k＝－22或{x0＝－2，k＝2 2.∴方程的实根为x0＝2或x0＝－2，相应的k值为k＝－22或k＝2 2.。

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入综合检测 新人教A 版选修1-2(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数－i ＋1i＝( )A ．－2i B.12iC ．0D ．2i【解析】 －i ＋1i ＝－i ＋(－i)＝－2i ，故选A.【答案】 A2．复数z 满足(z －i)i ＝2＋i ，则z ＝( ) A ．－1－i B ．1－i C ．－1＋3iD ．1－2i【解析】 z －i ＝2＋ii ＝2＋i －ii·－i＝1－2i ，z ＝i ＋1－2i ＝1－i.【答案】 B3．复数i 2＋i 3＋i41－i ＝( )A ．－12－12iB ．－12＋12iC.12－12i D ．12＋12i 【解析】 依题意得i 2＋i 3＋i41－i ＝－＋－＋11－i＝－i1－i＝－＋－＋＝1－i 2＝12－12i ，选C. 【答案】 C4．(2013·福建高考)已知复数z 的共轭复数z ＝1＋2i(i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 ∵z ＝1＋2i ，∴z ＝1－2i ，∴z 在复平面内对应的点位于第四象限．【答案】 D5．a 为正实数，i 为虚数单位，|a ＋ii|＝2，则a ＝( )A ．2B ． 3 C. 2 D ．1【解析】 |a ＋ii|＝|－1＋a i|＝2，即a 2＋1＝2.a 2＋1＝4，∴a 2＝3.又a 为正实数， ∴a ＝ 3. 【答案】 B6．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( ) A.34 B ．43 C ．－43D ．－34【解析】 z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i ，依题意4t －3＝0，∴t ＝34.【答案】 A7．设z ∈C ，若z 2为纯虚数，则z 在复平面上的对应点落在( ) A ．实轴上B ．虚轴上C ．直线y ＝±x (x ≠0)上D ．以上都不对【解析】 设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )， ∵z 2＝a 2－b 2＋2ab i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ≠0.∴a ＝±b ，即z 在直线y ＝±x (x ≠0)上．【答案】 C8．(2013·安徽高考)设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i【解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z ·z i ＋2＝2z ，得(a ＋b i)(a －b i)i ＋2＝2(a＋b i)，即(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ，由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝2b ，2＝2a ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，∴z ＝1＋i. 【答案】 A9．若i 为虚数单位，图1中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是 ( )图1A ．EB ．FC ．GD ．H【解析】 由题图知z ＝3＋i ，所以z 1＋i ＝3＋i1＋i＝＋－＋－＝4－2i 2＝2－i ，故对应点为H .【答案】 D10．(2013·深圳高二检测)已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C .若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 3－4i ＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)＝μ－λ＋(2λ－μ)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧μ－λ＝3，2λ－μ＝－4，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2，∴λ＋μ＝1.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．复数z ＝1i 的共轭复数是________．【解析】 z ＝1i ＝ii2＝－i ，∴z ＝i.【答案】 i 12.||＋－＋＝________.【解析】||＋－＋＝||－＋－＝|－3－i|＝10. 【答案】1013．(2013·泰安高二检测)设x ，y 为实数且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i，则x ＋y ＝________.【解析】 x1－i ＋y 1－2i ＝51－3i⇒x＋－＋＋y＋＋－＝＋－＋⇒12x (1＋i)＋15y (1＋2i)＝12(1＋3i) ⇒⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋15y ＝12，12x ＋2y 5＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝5，所以x ＋y ＝4. 【答案】 414．(2013·太原高二检测)若复数z ＝2－i 1＋2i ，则复数z 的虚部为________．【解析】 由z ＝2－i 1＋2i ＝－2i 2－i 1＋2i ＝－＋1＋2i ＝－i 知，复数z ＝2－i1＋2i的虚部是－1.【答案】 －1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)m 为何实数时，复数z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i)是 (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？【解】 z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i) ＝2m 2＋m 2i －3m i －3m －2＋2i ＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i. (1)由m 2－3m ＋2＝0得m ＝1或m ＝2， 即m ＝1或2时，z 为实数．(2)由m 2－3m ＋2≠0得m ≠1且m ≠2， 即m ≠1且m ≠2时，z 为虚数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－3m －2＝0，m 2－3m ＋2≠0，得m ＝－12，即m ＝－12时，z 为纯虚数．16．(本小题满分12分)在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数是2＋i. (1)如果点A 关于实轴的对称点为B ，求向量OB →对应的复数； (2)如果(1)中点B 关于虚轴的对称点为C ，求点C 对应的复数．【解】 (1)设所求向量OB →对应的复数为z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则点B 的坐标为(a ，b )． 已知A (2,1)，由对称性可知a ＝2，b ＝－1. 所以OB →对应的复数为z 1＝2－i.(2)设所求点C 对应的复数为 z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )， 则C (c ，d )．由(1)，得B (2，－1)． 由对称性可知，c ＝－2，d ＝－1. 故点C 对应的复数为z 2＝－2－i.17．(本小题满分12分)已知z 是复数，z ＋2i 、z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．【解】 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， 则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ， 由题意得y ＝－2， ∴z ＝x －2i.z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ， 由题意得x ＝4， ∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ， 根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2＞0，a －＞0，解得2＜a ＜6.∴实数a 的取值范围是(2,6)．18．(本小题满分14分)(2013·湛江高二检测)已知关于x 的方程x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0(a ∈R )有实根b .(1)求实数a ，b 的值；(2)若复数z 满足|z －a －b i|－2|z |＝0，则z 为何值时，|z |有最小值，并求出|z |的最小值．【解】 (1)因为b 是方程的根， 所以(b 2－6b ＋9)＋(a －b )i ＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧b 2－6b ＋9＝0a ＝b，解得a ＝b ＝3.(2)设z ＝x ＋y i(x ，y 是实数)， 由|z －3－3i|＝2|z |，得：(x －3)2＋(y ＋3)2＝4(x 2＋y 2)， 即(x ＋1)2＋(y －1)2＝8.∴z 的对应点Z 的轨迹是以(－1,1)为圆心，22为半径的圆． 所以z ＝1－i 时，|z |最小值为 2.。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(6－3i)－(3i ＋1)＋(2－2i)的结果为( )A ．5－3iB ．3＋5iC ．7－8iD ．7－2i【解析】 (6－3i)－(3i ＋1)＋(2－2i)＝(6－1＋2)＋(－3－3－2)i＝7－8i.【答案】 C2．在复平面内，复数1＋i 和1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|＝( ) A. 2B ．2 C.10 D ．4【解析】 由复数减法运算的几何意义知，AB →对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i ，∴|AB →|＝2.【答案】 B3．复数z 1＝a ＋4i ，z 2＝－3＋b i ，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a ，b 的值为( )A ．a ＝－3，b ＝－4B ．a ＝－3，b ＝4C ．a ＝3，b ＝－4D ．a ＝3，b ＝4【解析】 由题意可知z 1＋z 2＝(a －3)＋(b ＋4)i 是实数，z 1－z 2＝(a ＋3)＋(4－b )i 是纯虚数，故{ b ＋4＝0，a ＋3＝0，－b ≠0，解得a ＝－3，b ＝－4.【答案】 A4．(2016·石家庄高二检测)A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则△AOB 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【解析】 根据复数加(减)法的几何意义，知以OA →，OB →为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△AOB 为直角三角形．【答案】 B5．设z ＝3－4i ，则复数z －|z |＋(1－i)在复平面内的对应点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 ∵z ＝3－4i ，∴z －|z |＋(1－i)＝3－4i －32＋(－4)2＋1－i＝(3－5＋1)＋(－4－1)i ＝－1－5i.【答案】 C二、填空题6．计算：(2＋7i)－|－3＋4i|＋|5－12i|i ＋3－4i ＝_______________________.【导学号：19220046】【解析】 原式＝2＋7i －5＋13i ＋3－4i ＝(2－5＋3)＋(7＋13－4)i ＝16i.【答案】 16i7．z 为纯虚数且|z －1－i|＝1，则z ＝________.【解析】 设z ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，|z －1－i|＝|－1＋(b －1)i|＝1＋(b －1)2＝1，解得b ＝1，∴z ＝i.【答案】 i8．已知z 1＝2(1－i)，且|z |＝1，则|z －z 1|的最大值为________．【解析】 |z |＝1，即|OZ |＝1，∴满足|z |＝1的点Z 的集合是以(0,0)为圆心，以1为半径的圆，又复数z 1＝2(1－i)在坐标系内对应的点为(2，－2)．故|z －z 1|的最大值为点Z 1(2，－2)到圆上的点的最大距离，即|z －z 1|的最大值为22＋1.【答案】 22＋1三、解答题9．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i ，(a ，b ∈R )，且z 1－z 2＝43，求复数z ＝a ＋b i.【解】 z 1－z 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32a ＋(a ＋1)i －[－33b ＋(b ＋2)i]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ＋33b ＋(a －b －1)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0， 解得{ a ＝2，b ＝1， ∴z ＝2＋i.10．如图3-2-3，已知复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形ABCD 的三个顶点A ，B ，C ，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．图3-2-3【解】 法一：设正方形的第四个点D 对应的复数为 x ＋y i(x ，y ∈R )， ∴AD →＝OD →－OA →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋2i)＝(x －1)＋(y －2)i ，BC →＝OC →－OB →对应的复数为(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.∵AD →＝BC →，∴(x －1)＋(y －2)i ＝1－3i ，即{x－1＝1，y－2＝－3，解得{x＝2，y＝－1.故点D对应的复数为2－i.法二：∵点A与点C关于原点对称，∴原点O为正方形的中心，于是(－2＋i)＋(x＋y i)＝0，∴x＝2，y＝－1，故点D对应的复数为2－i.[能力提升]1．(2016·昆明高二检测)实数x，y满足z1＝y＋x i，z2＝y i－x，且z1－z2＝2，则xy的值是()A．1 B．2C．－2 D．－1【解析】z1－z2＝(y＋x i)－(－x＋y i)＝(y＋x)＋(x－y)i＝2，∴{x＋y＝2，x－y＝0，∴x＝y＝1，∴xy＝1.【答案】 A2．△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z满足|z－z1|＝|z －z2|＝|z－z3|，则z对应的点为△ABC的()【导学号：19220047】A．内心B．垂心C．重心D．外心【解析】由已知z对应的点到z1，z2，z3对应的点A，B，C的距离相等．所以z对应的点为△ABC的外心．【答案】 D3．已知|z|＝2，则|z＋3－4i|的最大值是________．【解析】由|z|＝2知复数z对应的点在圆x2＋y2＝4上，圆心为O(0,0)，半径r＝2.而|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|表示复数z对应的点与M(－3,4)之间的距离，由于|OM|＝5，所以|z＋3－4i|的最大值为|OM|＋r＝5＋2＝7.【答案】74．在复平面内，A，B，C三点分别对应复数1,2＋i，－1＋2i.(1)求AB →，AC →，BC →对应的复数；(2)判断△ABC 的形状．【解】 (1)∵A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.∴OA →，OB →，OC →对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i(O 为坐标原点)， ∴OA →＝(1,0)，OB →＝(2,1)，OC →＝(－1,2)．∴AB →＝OB →－OA →＝(1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－2,2)，BC →＝OC →－OB →＝(－3,1)．即AB →对应的复数为1＋i ，AC →对应的复数为－2＋2i ，BC →对应的复数为－3＋i.(2)∵|AB →|＝1＋1＝2，|AC →|＝(－2)2＋22＝8，|BC →|＝(－3)2＋1＝10，∴|AB →|2＋|AC →|2＝10＝|BC →|2.又∵|AB →|≠|AC →|，∴△ABC 是以角A 为直角的直角三角形.。

2021年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入章末检测 新人教A 版选修1-2一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a ，b ，c ∈R ，则复数(a ＋b i)(c ＋d i)为实数的充要条件是(D ) A ．ad －bc ＝0 B ．ac －bd ＝0 C ．ac ＋bd ＝0 D ．ad ＋bc ＝02．(xx·东莞二模)复数(1＋2i)i(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于(B )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．复数z ＝i(1＋i)(i 为虚数单位)的模等于(B )A ．1 B. 2 C ．0 D ．24．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i 则(C ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－15．i 是虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4等于(C )A ．iB ．－iC ．1D ．－1解析：∵1＋i 1－i ＝（1＋i ）2（1－i ）（1＋i ）＝2i2＝i ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝i 4＝1. 6．复数z ＝a （a ＋2）a －1＋(a 2＋2a －3)i(a ∈R )为纯虚数，则a 的值为(C )A ．a ＝0B ．a ＝0，且a ≠－1C ．a ＝0，或a ＝－2D ．a ≠1，或a ≠－3解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a （a ＋2）a －1＝0，a 2＋2a －3≠0，解得a ＝0，或a ＝－2. 7．复数（1＋2i ）23－4i 的值是(A )A ．－1B ．1C ．－iD ．i 解析：（1＋2i ）23－4i ＝－3＋4i 3－4i＝－1.8．复数z ＝i1＋i 在复平面上对应的点位于(A )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：z ＝i 1＋i ＝i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝12(i ＋1)＝12＋12i. ∴复数z 的对应点在第一象限． 9．复数3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i＝(D ) A ．0 B ．2 C ．－2i D ．2i 解析：3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝i （2－3i ）2－3i ＋i （2＋3i ）2＋3i＝i ＋i ＝2i. 10．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是方程z 2＝－3＋4i 的一个根，则z 等于(C ) A ．1±2i B ．－1±2iC ．1＋2i ，或－1－2iD ．2＋i ，或－2－i解析：若按复数相等的充要条件去解方程组，计算量很大，本题可以采用验证的方法．∵(1＋2i)2＝1＋4i ＋(2i)2＝－3＋4i ，∴z ＝1＋2i 或－1－2i.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 11．计算：3－i1＋i＝________(i 为虚数单位)． 解析：3－i 1＋i ＝（3－i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2－4i2＝1－2i. 答案：1－2i12．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则z 的实部是1．13．设a ，b ∈R .a ＋b i ＝11－7i1－2i(i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________． 解析：由a ＋b i ＝11－7i 1－2i 得a ＋b i ＝11－7i 1－2i ＝（11－7i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝11＋15i ＋141＋4＝5＋3i ，所以a ＝5，b ＝3，a ＋b ＝8.答案：814．给出下列命题：①若z ∈C ，则z 2≥0；②若a ，b 是实数，且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③a ∈C ，则(a ＋1)i 是纯虚数；④z ＝1i ，则z 2＋1对应的点在第一象限．其中正确的有_______________个．答案：0三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)如果(x ＋2y )＋(y －1)i ＝(2x ＋3y )＋(2y ＋1)i ，求实数x ，y 的值． 解析：由复数相等的充要条件，有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2x ＋3y ，y －1＝2y ＋1 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.∴x ＝2，y ＝－2. 16．(12分)已知z ＝2－i （3－4i ）（1＋i ）2＋(1－i)2，求|z |.解析：∵z ＝2－i （3－4i ）（1＋i ）2＋(1－i)2＝2－i （3－4i ）（2i ）－2i ＝2－i 8＋6i－2i ＝（2－i ）（8－6i ）（8＋6i ）（8－6i ）－2i ＝（2－i ）（8－6i ）100－2i ＝10－20i 100－2i ＝110－115i ，∴|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪110－115i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1152＝48510. 17．(14分)已知m ∈R ，复数z ＝m （m －2）m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时：(1)z ∈R? (2)z 是纯虚数？ (3)z <0?分析：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当且仅当b ＝0时，z ∈R ；当且仅当a ＝0且b ≠0时，z 为纯虚数；当且仅当b ＝0且a <0时，z <0.解析：(1)由m 2＋2m －3＝0且m －1≠0，得m ＝－3，所以当m ＝－3时，z ∈R .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m （m －2）m －1＝0，m 2＋2m －3≠0解得m ＝0或m ＝2，所以当m ＝0或m ＝2时，z 为纯虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3＝0，m （m －2）m －1<0 时z <0；即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1或m ＝－3，m <0或1<m <2，即m ＝－3时z <0. 点评：要完整理解复数为纯虚数的等价条件．分母不为0不可忽视．18．(14分)已知集合M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，N ＝{－1，1，4i}，若M ∪N ＝N ，求实数m 的值．解析：∵M ∪N ＝N ，∴M ⊆N . 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0.解得m ＝1. 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4.解得，m ＝2. 综上知m 的值为1或2.19．(14分)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，z 1·z 2是实数，求z 2.解析：(z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i.∵z 1·z 2∈R ，∴z 2＝4＋2i.20．(14分)求虚数z ，使之同时满足以下两个条件： (1)|z －－3|＝|z －－3i|； (2)z －1＋5z －1是实数． 解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，y ≠0)， 由|z －－3|＝|z －－3i|，得|x －y i －3|＝|x －y i －3i|⇒y ＝－x .① 由z －1＋5z －1是实数，得x －1＋y i ＋5（x －1）＋y i∈R ，y ≠0⇒(x －1)2＋y 2＝5.② 联立①和②，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.∴z ＝2－2i 或z ＝－1＋i.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(xx·茂名一模)计算：i(1＋i)2＝(A ) A ．－2 B ．2 C ．2i D ．－2i2．复数z 1＝－3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面内的对应点位于(B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．(xx·深圳二模)i 为虚数单位，则i ＋1i 等于(A )A ．0B ．2iC ．1＋iD ．－1＋i 4．对于复数z ＝a ＋b i 有(B )A ．|z 2|>|z |2B ．|z 2|＝|z |2C ．|z 2|<|z |2D ．|z 2|＝z 25.1－3i （3＋i ）2＝(B)A.14＋34i B ．－14－34i C.12＋32i D ．－12－32i 6．复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是(A ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－i D ．1＋i分析：本题考查复数代数形式的四则运算及复数的基本概念，考查基本运算能力．先把z 化成标准的a ＋b i(a ，b ∈R )形式，然后由共轭复数定义得出z －＝－1－i.解析：由z ＝i(i ＋1)＝－1＋i ，及共轭复数定义得z －＝－1－i.7．若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z －是z 的共轭复数，则z 2＋z －2的虚部为(A ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．－2解析：因为z ＝1＋i ，所以z －＝1－i ，所以z 2＋z － 2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i －2i ＝0，选A.8．若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则(D ) A ．b ＝2，c ＝3 B ．b ＝2，c ＝－1 C ．b ＝－2，c ＝－1 D ．b ＝－2，c ＝3 解析：根据实系数方程的根的特点知1－2i 也是该方程的另一个根，所以1＋2i ＋1－2i ＝2＝－b ，即b ＝－2，(1－2i)(1＋2i)＝3＝c ，故选D.9．若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为(A )A ．3＋5iB ．3－5iC ．－3＋5iD ．－3－5i 解析：因为z (2－i)＝11＋7i ，所以z ＝11＋7i2－i，分子分母同时乘以2＋i ，得z ＝（11＋7i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝22＋11i ＋14i ＋7i 24－i 2＝22－7＋25i 4－i 2＝22－7＋25i 4＋1＝15＋25i5＝3＋5i. 10．复数方程|||z ＋i|－|z －i|＝2对应的复平面内的曲线是(D ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．直线 D ．两条射线(包括端点)11．复数z 在复平面内对应的点为A ，将点A 绕坐标原点，按逆时针方向旋转π2，再向左平移一个单位，向下平移一个单位，得到B 点，此时点B 与点A 恰好关于坐标原点对称，则复数z 为(B )A ．－1B ．1C ．iD ．－i解析：设z ＝a ＋b i ，B 点对应的复数为z 1，则z 1＝(a ＋b i)i －1－i ＝(－b －1)＋(a －1)i ，∵点B 与点A 恰好关于坐标原点对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧－b －1＝－a ，a －1＝－b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，∴z ＝1.12．如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋1＋i|的最小值是(A ) A ．1 B. 2 C ．2 D. 5解析：|z ＋i|＋|z －i|＝2，则点Z 在以(0，1)和(0，－1)为端点的线段上，|z ＋1＋i|表示点Z 到点(－1，－1)的距离．由图知最小值为1.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分；将正确答案填在题中的横线上) 13．若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，则复数(z 1－z 2)i 的实部为________． 解析：(z 1－z 2)i ＝[(4＋29i)－(6＋9i)]i ＝(－2＋20i)i ＝－20－2i ，实部为－20. 答案：－2014．若复数z 满足z ＝i(2－z )，则z ＝________．解析：由z ＝i(2－z )，得(1＋i)z ＝2i ，即z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）2＝1＋i.答案：1＋i15．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|＝________．解析：AB →＝OB →－OA →＝(－1＋3i)－(1＋i)＝－2＋2i ，∴|AB →|＝2 2. 答案：2 216．已知复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝－1＋a i(a ，b ∈R )，若|z 1|＜|z 2|，则b 的取值范围是________．解析：由题知a 2＋b 2<（－1）2＋a 2，∴b 2<1，∴－1<b <1. 答案：(－1，1)三、解答题(本大题共6小题，共70分；解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17．(10分)计算：(1)(1－i)(1＋i)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫25－15i ＋1＋2i 1－2i－4i ； (2)（－1＋3i ）3（1＋i ）6－（2＋i ）24－3i. 解析：(1)(1－i)(1＋i)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫25－15i ＋1＋2i 1－2i－4i ＝2i ＋2－25＋15i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45i －4i ＝1－i.(2)（－1＋3i ）3（1＋i ）6－（2＋i ）24－3i ＝（－1＋3i ）3（2i ）3－3＋4i 4－3i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 3(－i)3－（4－3i ）i4－3i＝－i －i ＝－2i.18．(12分)设复数z ＝(a 2＋a －2)＋(a 2－7a ＋6)i ，其中a ∈R ，当a 取何值时： (1)z ∈R? (2)z 是纯虚数？ (3)z 是零？解析：(1)当a 2－7a ＋6＝0，即a ＝1或a ＝6时，z ∈R .(2)当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2＝0，a 2－7a ＋6≠0，即a ＝－2时，z 是纯虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2＝0，a 2－7a ＋6＝0，即a ＝1时，z 是零．19．(12分)已知1＋i 是实系数方程x 2＋ax ＋b ＝0的一个根． (1)求a ，b 的值；(2)试判断1－i 是否是方程的根．解析：(1)∵1＋i 是方程x 2＋ax ＋b ＝0的根，∴(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝0，即(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2.∴a ，b 的值分别为a ＝－2，b ＝2.(2)方程为x 2－2x ＋2＝0，把1－i 代入方程左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝－2i －2＋2i ＋2＝0显然成立．∴1－i 也是方程的一个根． 20．(12分)设ω＝－12＋32i ，(1)求证：1＋ω＋ω2＝0；(2)计算：(1＋ω－ω2)(1－ω＋ω2)． 解析：(1)证明：∵ω＝－12＋32i ，∴ω2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2＝14＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⎝ ⎛⎭⎪⎫32i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32i 2 ＝14－32i －34＝－12－32i. ∴1＋ω＋ω2＝1－12＋32i －12－32i ＝0.(2)由1＋ω＋ω2＝0知，(ω－1)(1＋ω＋ω2)＝0，∴ω3－1＝0.∴ω3＝1. ∴(1＋ω－ω2)(1－ω＋ω2)＝(－2ω2)(－2ω)＝4ω3＝4. 21．(12分)求虚数z ，使之同时满足以下两个条件： (1)|z －－3|＝|z －－3i|； (2)z －1＋5z －1是实数． 解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，y ≠0)， 由|z －－3|＝|z －－3i|，得|x －y i －3|＝|x －y i －3i|⇒y ＝－x .① 由z －1＋5z －1是实数，得x －1＋y i ＋5（x －1）＋y i∈R ，y ≠0⇒(x －1)2＋y 2＝5.② 联立①和②，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.∴z ＝2－2i 或z ＝－1＋i.22．(12分)已知：复数z 1＝m ＋n i ，z 2＝2－2i 和z ＝x ＋y i ，若z ＝z －1i －z 2，其中m ，n ，x ，y 都是实数．(1)若复数z 1所对应点M (m ，n )在曲线y ＝12(x ＋3)2＋1上运动，求复数z 所对应点P (x ，y )的轨迹C 方程；(2)过原点的直线与轨迹C 有两个不同的交点，求直线的斜率k 的取值范围． 解析：(1)z ＝z －1i －z 2＝(m －n i)i －(2－2i)＝(n －2)＋(2＋m )i ＝x ＋y i ，复数相等，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝n －2，y ＝2＋m ⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ＝x ＋2，m ＝y －2. ∵点M (m ，n )在曲线y ＝12(x ＋3)2＋1上运动，∴n ＝12(m ＋3)2＋1⇒x ＋2＝12(y －2＋3)2＋1⇒x ＝12(y ＋1)2－1，即为所求．(2)设过原点的直线的方程是y ＝kx ，代入曲线C 的方程，得ky 2＋(2k －2)y －k ＝0，Δ＝(2k －2)2＋4k 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫k －122＋2＞0恒成立，∴k ∈R .36849 8FF1 迱c SQe|26580 67D4 柔Q23177 5A89 媉~B25409 6341 捁20860 517C兼?。

"【全程复习方略】2014-2015学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入单元质量评估新人教A版选修1-2 "(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2014·吉林高二检测)i是虚数单位,计算i+i2+i3=( )A.-1B.1C.-iD.i【解析】选A.i+i2+i3=i-1-i=-1.2.(2014·银川高二检测)在如图的知识结构图中:“求函数的导数”的“上位”要素有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.由流程图知“求函数的导数”的“上位”要素有:基本导数公式,函数四则运算求导法则,复合函数求导法则.3.(2014·天津高二检测)已知i为虚数单位,则复数z=的虚部为( )A.1B.-1C.iD.1-i【解析】选B.z===-i,因此虚部为-1.4.如图所示的知识结构图为结构.( )A.树形B.环形C.对称形D.左右形【解析】选A.由框图知,此类框图是树形结构.5.(2014·温州高二检测)复数的共轭复数为( )A.-+iB.+iC.-iD.--i【解析】选D.z====-+i,则其共轭复数为--i.6.下列命题中:①若a∈R,则(a+1)i是纯虚数;②若a,b∈R且a>b,则a+i3>b+i2;③若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x=±1;④两个虚数不能比较大小.其中,正确命题的序号是( )A.①B.②C.③D.④【解析】选D.复数a+bi(a,b∈R).当a=0且b≠0时为纯虚数.在①中,若a=-1,则(a+1)i不是纯虚数,故①错误.在③中,若x=-1,也不是纯虚数,故③错误.a+i3=a-i,b+i2=b-1,复数a-i与实数b-1不能比较大小,故②错误.④正确.故应选D.7.(2014·西安高二检测)若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则( )A.a=-1B.a≠-1且a≠2C.a≠-1D.a≠2【解析】选C.若一个复数不是纯虚数,则该复数是一个虚数或是一个实数.当a2-a-2≠0时,已知的复数一定不是纯虚数,解得a≠-1且a≠2;当a2-a-2=0且|a-1|-1=0时,已知的复数也不是一个纯虚数,解得a=2. 综上所述,当a≠-1时,已知的复数不是一个纯虚数.8.下列判断不正确的是( )A.画工序流程图类似于算法的程序框图,首先把每一个工序逐步细化,按自上向下或从左向右的顺序画B.在工序流程图中可以出现循环回路,这一点不同于算法的程序框图C.工序流程图中的流程线表示相邻两工序之间的衔接关系,且是有方向的指向线D.结构图用来刻画静态的系统结构,流程图用来描述一个动态过程【解析】选B.概念判断题,对于A,算法的程序框图本身就是一种流程图;对于B,显然错误,因循环结构是算法结构中最常见的一类结构,选B;对于C,主要是考查流程线的知识.流程线是具有方向性的指向线.对于D,主要明确结构图与流程图的概念.9.(2014·武汉高二检测)若a,b∈R,则复数(a2-6a+10)+(-b2+4b-5)i对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.a2-6a+10=(a-3)2+1>0,-b2+4b-5=-(b-2)2-1<0.所以复数对应的点在第四象限,故应选D. 【变式训练】已知z=(1+i)m2-(8+i)m+15-6i(m∈R),若复数z对应的点位于复平面上的第二象限,则m的取值范围是.【解析】将复数z变形为z=(m2-8m+15)+(m2-m-6)i,因为复数z对应的点位于复平面上的第二象限,所以解得3<m<5.答案:3<m<510.(2014·陕西高考)根据如图所示的框图，对大于2的整数Ｎ，输出的数列的通项公式是( )A.a n=2nB.a n=2(n－1)C.a n=2nD.a n=2n－1【解题指南】搞清程序的算法功能是解题的关键，解题时按照程序框图的顺序执行求解,特别注意根据判断框中的条件来执行循环体或结束循环.【解析】选C.当S=1,i=1时,执行循环体,a1=2,S=2,i=2,若不满足条件i>N,执行循环体,a2=4,S=4，i=3,若不满足条件i>N,执行循环体,a3=8,S=8，i=4,若不满足条件i>N,执行循环体,a4=16,S=16，i=5,若输入条件N=4，此时满足条件i>N，即输出a4=16，所以a n=2n.11.已知复数z=(x-1)+(2x-1)i的模小于,则实数x的取值范围是( )A.-<x<2B.x<2C.x>-D.x=-或x=2【解析】选A.由题意知(x-1)2+(2x-1)2<10,解得-<x<2.故应选A.12.(2014·南昌高二检测)已知复数z=-3+2i(i为虚数单位)是关于x的方程2x2+px+q=0(p,q为实数)的一个根,则p+q的值为( )A.22B.36C.38D.42【解析】选C.因为z=-3+2i是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根,所以有2(-3+2i)2+p(-3+2i)+q=0,即2(9-4-12i)-3p+2pi+q=0得10-24i-3p+2pi+q=0得10+q-3p+(2p-24)i=0.由复数相等得⇒所以p+q=38.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2014·嘉兴高二检测)某工程由A,B,C,D四道工序组成,完成它们需用时间依次为2,5,x,4天,四道工序的先后顺序及相互关系是:A,B可以同时开工;A完成后,C可以开工;B,C完成后,D可以开工.若该工程总时数为9天,则完成工序C需要的天数x最多是.【解析】画出流程图如图:又因为该工程总时数为9天,则由图知完成工序C需要的天数x最多是3.答案:314.若复数z=的实部为3,则z的虚部为.【解析】z===,由条件知,=3,所以a=-1,所以z=3+i,所以z的虚部为1.答案:115.(2014·丽江高二检测)下面是中国移动关于发票的表述:我们在充分考虑您的个性化需求基础上提供了以下几种话费发票方式:后付费话费发票、预付费话费发票、充值发票、全球通发票(包括简单发票和单一发票).你可以根据你的实际情况选择其中的话费发票方式.试写出关于发票的结构图. 【解析】答案:16.已知复数z1=m+(4+m)i(m∈R),z2=2cosθ+(λ+3cosθ)i(λ∈R),若z1=z2,则λ的取值范围是.【解析】因为z1=z2,所以所以λ=4-cosθ.又因为-1≤cosθ≤1,所以3≤4-cosθ≤5,所以λ∈[3,5].答案:[3,5]三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)试画出“推理与证明”这一部分内容的知识结构图.【解析】知识结构图如图:18.(12分)(2014·牡丹江高二检测)计算:(1)(1-i)(1+i).(2)+.【解析】(1)(1-i)(1+i)=(1-i)(1+i)=2×=-1+i.(2)+=+=i(1+i)+=-1+i+(-i)1005=-1+i-i=-1.【拓展延伸】复数的运算可以看作多项式的化简,加减看作多项式加减,合并同类项,乘法和除法可看作多项式的乘法和除法.19.(12分)明天小强要参加班里组织的郊游活动,为了做好参加这次郊游的准备工作,他测算了如下数据:整理床铺、收拾携带物品8分钟,洗脸、刷牙7分钟,煮牛奶15分钟,吃早饭10分钟,查公交线路图9分钟,给出差在外的父亲发手机短信6分钟,走到公共汽车站10分钟,等公共汽车10分钟.小强粗略地算了一下,总共需要75分钟,为了赶上7:50的公共汽车,小强决定6:30起床,不幸的是他一下子睡到6:50,请你帮小强安排一下时间,画出一份郊游出行前时间安排流程图,使他还能来得及参加此次郊游.【解析】出行前时间安排流程图如图所示.这样需要60分钟,故可以赶上7:50的公共汽车,并来得及参加此次郊游.20.(12分)(2014·长沙高二检测)(1)求复数z=1+cosα+isinα(π<α<2π)的模.(2)如果lo(m+n)-(m2-3m)i>-1,试求自然数m,n.【解析】(1)|z|===-2cos.(2)因为lo(m+n)-(m2-3m)i>-1,所以式子lo(m+n)-(m2-3m)i是实数,从而有由①得m=0或m=3,当m=0时代入②得n<2.又因为m+n>0,所以n=1;当m=3时代入②得n<-1与n是自然数矛盾,综上可得m=0,n=1.21.(12分)已知等腰梯形OABC的顶点A,B在复平面上对应的复数分别为1+2i,-2+6i,OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.【解析】设z=x+yi,x,y∈R,因为OA∥BC,|OC|=|BA|,所以k OA=k BC,|z C|=|z B-z A|,即解得或因为|OA|≠|BC|,所以x2=-3,y2=4(舍去),故z=-5.【拓展延伸】数形结合既是一种重要的数学思想,又是一种常用的数学方法.复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现.它们得以相互转化.涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等.22.(12分)(2014·青岛高二检测)已知复数z1=i(1-i)3.(1)求|z1|.(2)若|z|=1,求|z-z1|的最大值.【解析】(1)|z1|=|i(1-i)3|=|i|·|1-i|3=2.(2)如图所示,由|z|=1可知,z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1,圆心为O(0,0)的圆,而z1对应着坐标系中的点Z1(2,-2).所以|z-z1|的最大值可以看成是点Z1(2,-2)到圆上的点的距离的最大值.由图知|z-z1|max=|z1|+r(r为圆半径)=2+1.【变式训练】已知z是复数,z+2i,均为实数,且(z+ai)2的对应点在第一象限,求实数a的取值范围. 【解析】设z=x+yi(x,y∈R),则z+2i=x+(y+2)i为实数,所以y=-2.又因为==(x-2i)(2+i)=(2x+2)+(x-4)i为实数,所以x=4.所以z=4-2i,又因为(z+ai)2=(4-2i+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i在第一象限.所以解得2<a<6.所以实数a的取值范围是(2,6).【拓展延伸】复数问题实数化在求复数时,常设复数z=x+yi(x,y∈R),把复数z满足的条件转化为实数x,y满足的条件,即复数问题实数化的基本思想.。

阶段质量检测（三） 数系的扩充与复数的引入(时间： 120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．i 是虚数单位，复数7－i3＋i ＝( )A ．2＋iB ．2－iC ．－2＋iD ．－2－i解析：选B7－i 3＋i ＝(7－i)(3－i)10＝20－10i10＝2－i. 2．(全国卷Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选B ∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ， ∴4a ＋(a 2－4)i ＝－4i.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4.解得a ＝0.故选B.3．若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 是虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i解析：选A z ＝(1－i)i ＝－i 2＋i ＝1＋i ，z ＝1－i ，故选A. 4．设i 是虚数单位，则复数2i1－i在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选B2i 1－i ＝2i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2(i －1)2＝－1＋i ，由复数的几何意义知－1＋i 在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.5．已知(1－i)2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选D 由(1－i)2z ＝1＋i ，得z ＝(1－i)21＋i ＝－2i 1＋i ＝－2i(1－i)(1＋i)(1－i)＝－1－i ，故选D.6．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数是z ，则2－zz等于( )A ．－1－2iB ．－2＋iC ．－1＋2iD ．1＋2i解析：选C 由题意可得2－z z ＝2－(－1＋i)－1－i＝(3－i)(－1＋i)(－1－i)(－1＋i)＝－1＋2i ，故选C.7．已知复数z ＝－12＋32i ，则z ＋|z |＝( )A ．－12－32iB ．－12＋32iC.12＋32i D.12－32i 解析：选D 因为z ＝－12＋32i ，所以z ＋|z |＝－12－32i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋322＝12－32i.8．已知复数z 满足(1－i)z ＝i 2 016(其中i 为虚数单位)，则z 的虚部为( )A.12 B ．－12C.12i D ．－12i解析：选B ∵2 016＝4×504，∴i 2 016＝i 4＝1.∴z ＝11－i ＝12＋12i ，∴z ＝12－12i ，∴z的虚部为－12.故选B.9．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则三角形AOB 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选B 根据复数加(减)法的几何意义，知以OA ――→，OB ――→为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB 为直角三角形．10．设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R，则以下结论正确的是( ) A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数 C.z 对应的点在实轴的下方 D ．z 一定为实数解析：选C ∵t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1＞0，∴z 对应的点在实轴的上方．又∵z 与z 对应的点关于实轴对称．∴C 项正确．11．设z 的共轭复数为z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则zz等于( )A ．1B ．－iC ．±1D ．±i解析：选 D 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i ，由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，a 2＋b 2＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝±2.因此⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2＋2i ，z ＝2－2i ，或⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2－2i ，z ＝2＋2i.所以zz＝2－2i 2＋2i ＝1－i1＋i＝(1－i)2(1＋i)(1－i)＝－2i 2＝－i ，或z z ＝2＋2i 2－2i ＝1＋i 1－i ＝(1＋i)2(1－i)(1＋i)＝2i2＝i ，所以z z＝±i.12．已知复数z ＝(x －2)＋y i(x ，y ∈R)在复平面内对应的向量的模为3，则y x的最大值是( )A.32B.33C.12D. 3解析：选 D 因为|(x-2)+yi|=3，所以(x-2)2+y2=3，所以点(x ，y)在以C(2,0)为圆心，以 为半径的圆上，如图，由平面几何知识-3≤yx≤ 3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________． 解析：复数z ＝(5＋2i)2＝21＋20i ，其实部是21. 答案：2114．i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________． 解析：由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数可得a ＋2＝0,1－2a ≠0，解得a ＝－2.答案：－215．设复数a ＋b i(a ，b ∈R)的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________. 解析：∵|a ＋b i|＝a 2＋b 2＝3， ∴(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3. 答案：316．若关于x 的方程x 2＋(2－i)x ＋(2m －4)i ＝0有实数根，则纯虚数m ＝________. 解析：设m ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则x 2＋(2－i)x ＋(2b i －4)i ＝0，化简得(x 2＋2x －2b )＋(－x －4)i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －2b ＝0，－x －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，b ＝4，∴m ＝4i.答案：4i三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i(m ∈R)，试求m 取何值时？(1)z 是实数. (2)z 是纯虚数．(3)z 对应的点位于复平面的第一象限．解：(1)由m 2＋3m ＋2＝0且m 2－2m －2＞0，解得m ＝－1或m ＝－2，复数表示实数． (2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数． 由lg(m 2－2m －2)＝0，且m 2＋3m ＋2≠0， 求得m ＝3，故当m ＝3时，复数z 为纯虚数．(3)由lg(m 2－2m －2)＞0，且m 2＋3m ＋2＞0，解得m ＜－2或m ＞3，故当m ＜－2或m ＞3时，复数z 对应的点位于复平面的第一象限．18．(本小题满分12分)已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z 及z z.解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i. ∴(1＋2i)(a －b i)＝4＋3i ， ∴(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i.由复数相等，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴z ＝2＋i.∴zz ＝z ·zz ·z ＝z 2|z |2＝4－1＋4i 5＝35＋45i. 19．(本小题满分12分)已知z ＝1＋i ，a ，b 为实数． (1)若ω＝z 2＋3z －4，求|ω|；(2)若z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i ，求a ，b 的值．解：(1)ω＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i ， 所以|ω|＝ 2.(2)由条件，得(a ＋b )＋(a ＋2)ii ＝1－i ，所以(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝1＋i ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.20．(本小题满分12分)虚数z 满足|z |＝1，z 2＋2z ＋1z＜0，求z .解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R，y ≠0)，∴x 2＋y 2＝1. 则z 2＋2z ＋1z ＝(x ＋y i)2＋2(x ＋y i)＋1x ＋y i＝(x 2－y 2＋3x )＋y (2x ＋1)i. ∵y ≠0，z 2＋2z ＋1z＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0， ①x 2－y 2＋3x ＜0， ②又x 2＋y 2＝1. ③ 由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i.21．(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2. (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ，所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC＝1.当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ， 所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)， 所以S △ABC ＝1.22．(本小题满分12分)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解：∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，∴z 1－2＝1－i 1＋i ＝(1－i)2(1＋i)(1－i)＝－2i2＝－i ，∴z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i(a ∈R)，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. 又∵z 1·z 2∈R，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i.。

选修1－2 第三章 数系的扩充与复数的引入 测试卷(时间：90分钟 满分：150分)一、选择题(共12小题，满分60分，每小题5分)1．i 是虚数单位，复数7－i 3＋i＝( ) A ．2＋i B ．2－iC ．－2＋iD ．－2－i解析：7－i 3＋i＝(7－i )(3－i )10＝20－10i 10＝2－i.故选B. 答案：B2．已知复数z ＝－i 3(－1＋2i )2(i 为虚数单位)，则z 在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为z ＝i －3－4i ＝i (－3＋4i )(－3－4i )(－3＋4i )＝－4－3i 25＝－425－325i ，所以z 在复平面内所对应的点在第三象限，故选C.答案：C3．若复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z －为( )A ．2＋iB ．2－iC ．5＋iD ．5－i解析：因为(z －3)(2－i)＝5，所以z －3＝52－i ＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2＋i ， 所以z ＝5＋i ，所以z －＝5－i.故选D.答案：D4．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数是z －，则2－z －z等于( ) A ．－1－2i B ．－2＋iC ．－1＋2iD ．1＋2i解析：由题意可得2－z －z ＝2－(－1＋i )－1－i＝(3－i )(－1＋i )(－1－i )(－1＋i )＝－1＋2i ，故选C. 答案：C5．|(3＋2i)－(4－i)|等于( ) A.58 B.10C ．2D ．－1＋3i解析：3＋2i －(4－i)＝－1＋3i ，|－1＋3i|＝10.答案：B6．已知复数z 1＝2＋a i(a ∈R )，z 2＝1－2i ，若z 1z 2为纯虚数，则|z 1|＝( ) A. 2 B. 3C ．2 D. 5解析：由于z 1z 2＝2＋a i 1－2i ＝(2＋a i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝2－2a ＋(4＋a )i 5为纯虚数，则a ＝1， 则|z 1|＝5，故选D.答案：D7．已知i 为虚数单位，复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝2－i ，且|z 1|＝|z 2|，则实数a 的值为( )A ．1B ．－1C ．1或－1D ．±1或0解析：因为复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝2－i ，且|z 1|＝|z 2|，所以a 2＋4＝4＋1，解得a ＝±1，故选C.答案：C8．已知复数z ＝－12＋32i ，则z －＋|z |＝( ) A ．－12－32i B ．－12＋32i C.12＋32i D.12－32i 解析：因为z ＝－12＋32i ， 所以z －＋|z |＝－12－32i ＋⎝⎛⎭⎫－122＋322＝12－32i.故选D. 答案：D9．设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论正确的是( )A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C.z －对应的点在实轴的下方D ．z 一定为实数解析：∵t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1＞0，∴z 对应的点在实轴的上方．又∵z 与z －对应的点关于实轴对称． ∴C 项正确．故选C.答案：C10．复数2＋i 与复数13＋i 在复平面上的对应点分别是A ，B ，若O 为坐标原点，则∠AOB 等于( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：∵13＋i ＝3－i (3＋i )(3－i )＝310－i 10， ∴它在复平面上的对应点为B ⎝⎛⎭⎫310，－110， 而复数2＋i 在复平面上的对应点是A (2,1)，显然AO ＝5，BO ＝1010，AB ＝41010. 由余弦定理得 cos ∠AOB ＝AO 2＋BO 2－AB 22AO ·BO ＝22， ∴∠AOB ＝π4.故选B.答案：B11．已知z －是复数z 的共轭复数，z ＋z －＋z ·z －＝0，则复数z 在复平面内对应的点的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z －＝x －y i ，代入z ＋z －＋z ·z －＝0，得x ＋y i ＋x －y i ＋x 2＋y 2＝0，即x 2＋y 2＋2x ＝0，整理得(x ＋1)2＋y 2＝1.∴复数z 在复平面内对应的点的轨迹是圆．故选A.答案：A12．已知复数z ＝(x －2)＋y i(x ，y ∈R )在复平面内对应的向量的模为3，则y x 的最大值是( )A.32B.33C.12D. 3解析：因为|(x －2)＋y i|＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3，所以点(x ，y )在以C (2,0)为圆心，以3为半径的圆上，如图，由平面几何知识－3≤y x≤ 3.故选D. 答案：D二、填空题(共4小题，满分20分，每小题5分)13．若a 是复数z 1＝1＋i 2－i的实部，b 是复数z 2＝(1－i)3的虚部，则ab ＝________. 解析：∵z 1＝1＋i 2－i＝(1＋i )(2＋i )5＝15＋35i ，∴a ＝15，∵z 2＝(1－i)3＝－2－2i ，∴b ＝－2，∴ab ＝－25. 答案：－2514．i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________．解析：由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数可得a ＋2＝0,1－2a ≠0，解得a ＝－2. 答案：－215．设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________.解析：∵|a ＋b i|＝a 2＋b 2＝3，∴(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3.答案：316．若复数z ＝(m 2－4m )＋(m 2－6m ＋9)i(m ∈R )在复平面内对应的点位于第二象限，其中i 为虚数单位，则实数m 的取值范围为________．解析：由题可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(m 2－4m ，m 2－6m ＋9)，因为点(m 2－3m ，m 2－6m ＋9)位于第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m <0m 2－6m ＋9>0，解得0<m <3或3<m <4，故实数m 的取值范围为(0,3)∪(3,4)．答案：(0,3)∪(3,4)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i (2＋i )2， 求：(1)z 1z 2；(2)z 1z 2. 解析：因为z 2＝15－5i (2＋i )2＝15－5i 3＋4i ＝(15－5i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝25－75i 25＝1－3i ， 所以(1)z 1z 2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.(2)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝(2－3i )(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )＝11＋3i 10＝1110＋310i. 18．(12分)设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，b ≠0，若ω＝z ＋1z是实数，且－1<ω<2. (1)求z 的实部的取值范围；(2)设u ＝1－z 1＋z，求证：u 为纯虚数． 解析：(1)因为z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，b ≠0，所以ω＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝⎝⎛⎭⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫b －b a 2＋b 2i. 因为ω是实数，所以b －b a 2＋b 2＝0，即a 2＋b 2＝1. 又－1<ω<2，所以－1<a ＋a a 2＋b 2<2，即－1<2a <2，解得－12<a <1， 所以z 的实部的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，1. (2)由题意及(1)可得u ＝1－z 1＋z ＝1－a －b i 1＋a ＋b i ＝(1－a －b i )(1＋a －b i )(1＋a ＋b i )(1＋a －b i )＝1－a 2－b 2－2b i (1＋a )2＋b 2＝－b a ＋1i ，因为a ∈⎝⎛⎭⎫－12，1，a ，b ∈R ，b ≠0，所以u 为纯虚数． 19．(12分)已知复数z 满足(1＋2i)z －＝4＋3i.(1)求复数z ；(2)若复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解析：(1)∵(1＋2i)z －＝4＋3i ，∴z －＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝10－5i 5＝2－i ， ∴z ＝2＋i.(2)由(1)知z ＝2＋i ，则(z ＋a i)2＝(2＋i ＋a i)2＝[2＋(a ＋1)i]2＝4－(a ＋1)2＋4(a ＋1)i ， ∵复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－(a ＋1)2>0，4(a ＋1)>0，解得－1<a <1， 即实数a 的取值范围为(－1,1)．20．(12分)已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z －2|<|z 1|，求a 的取值范围．解析：因为z 1＝－1＋5i 1＋i＝2＋3i ，z 2＝a －2－i ，z －2＝a －2＋i ， 所以|z 1－z －2|＝|(2＋3i)－(a －2＋i)|＝|4－a ＋2i|＝(4－a )2＋4， 又因为|z 1|＝13，|z 1－z －2|<|z 1|，所以(4－a )2＋4<13，所以a 2－8a ＋7<0，解得1<a <7.所以a 的取值范围是(1,7)．21．(12分)设z －为复数z 的共轭复数，满足|z －z －|＝2 3.(1)若z 为纯虚数，求z .(2)若z －z －2为实数，求|z |.解析：(1)设z ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则z －＝－b i ，因为|z －z －|＝23，则|2b i|＝23，即|b |＝3，所以b ＝±3，所以z ＝±3i.(2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，因为|z －z －|＝23，则|2b i|＝23，即|b |＝3，因为z －z －2＝a ＋b i －(a －b i)2＝a －a 2＋b 2＋(b ＋2ab )i.z －z －2为实数，所以b ＋2ab ＝0.因为|b |＝3，所以a ＝－12， 所以|z |＝⎝⎛⎭⎫－122＋(±3)2＝132. 22．(12分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2.(1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积． 解析：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ，所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC ＝1.当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ，所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)，所以S △ABC ＝1.。

第三章测评
(时间120分钟,满分150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.计算:i(1+i)2=()
A.-2
B.2
C.2i
D.-2i
解析:i(1+i)2=i·2i=-2.
答案:A
2.在复平面内,复数(i是虚数单位)的共轭复数对应的点位于()
A.第四象限
B.第三象限
C.第二象限
D.第一象限
解析:,其共轭复数为,对应的点位于第一象限,故选 D.
答案:D
3.若z=4+3i(i是虚数单位),则=()
A.1
B.-1
C.i
D.i
解析:,故选D.
答案:D
4.若i是虚数单位,则等于()
A.i
B.-i
C.1
D.-1
解析:因为=i,所以=i4=1.
答案:C
5.复数z=+(a2+2a-3)i(a∈R)为纯虚数,则a的值为()
A.a=0
B.a=0且a≠-1
C.a=0或a=-2
D.a≠1或a≠-3
解析:依题意得解得a=0或a=-2.
答案:C
6.设复数z=,其中a为实数,若z的实部为2,则z的虚部为()
A.-
B.-i
C.-
D.-i
解析:z==a-i,因为z的实部为2,所以a=2,所以z的虚部为-=-.答案:C。

第三章一、选择题(每小题分，共分)．＝是复数＋(，∈)为纯虚数的( )．充分条件．必要条件．充要条件．既不充分也不必要条件解析：＝时，＋不一定为纯虚数，因为＝，＝时，＋＝，但当＋为纯虚数时，＝. 答案：．适合－＝(－)的实数，的值为( )．＝且＝．＝且＝－．＝且＝．＝且＝解析：由复数相等的条件可知(\\(＝，,－＝－，))解得(\\(＝，＝.))答案：．下列各数中，纯虚数的个数是( )＋，＋，(－)，．．．．解析：根据纯虚数的定义知，，(－)是纯虚数．答案：．下列命题中，正确命题的个数是( )①若，∈，则＋＝＋的充要条件是＝＝；②若，∈且＞，则＋＞＋；③若＋＝，则＝＝.．．．．解析：①由于，∈，所以＋不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①是假命题．②由于两个虚数不能比较大小，∴②是假命题．③当＝，＝时，＋＝成立，∴③是假命题．答案：二、填空题(每小题分，共分)．若复数＝(－＋)＋(－)是实数，则实数＝.解析：复数为实数，其虚部为，则－＝，解得＝.答案：．若－＝＋(，∈)，则＋＝.解析：根据复数相等的充要条件，得(\\(＝，＝－，))∴＋＝－＋.答案：－＋三、解答题(每小题分，共分)．设∈，复数＝－－＋(－＋).试求为何值时，分别为：()实数；()虚数；()纯虚数．解析：()当为实数时，则有－＋＝，解得＝或.即为或时，为实数．()当为虚数时，则有－＋≠，解得≠且≠.即≠且≠时，为虚数．()当为纯虚数时，则有(\\(－－＝，－＋≠，))解得＝－，即＝－时，是纯虚数．．()已知(－)＋＝－(－)，其中，∈，求与.()已知－＋＝，求实数，的值．解析：()根据复数相等的充要条件得(\\(－＝，＝－(－(，))解得＝，＝. ()∵－＋＝，∴(\\(－＝，＝，))解得(\\(＝，＝))或(\\(＝－，＝－.)).(分)已知关于的方程＋(＋)＋＋＝有实根，求这个实根以及实数的值．解析：设＝是方程的实根，代入方程并整理得(＋＋)＋(＋)＝.由复数相等的条件得(\\(\()＋＋＝，＋＝，))解得(\\(＝()，＝－()))或(\\(＝－()，＝().))∴方程的实根为＝或＝－，相应的的值为＝－或＝.。

第三章检测(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知a,b∈R,则“a=b”是“(a-b)+(a+b)i为纯虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件a-b)+(a+b)i为纯虚数的充要条件是实数a,b满a=b,且a≠-b,也就是a=b≠0.故选B.2.如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是()A.AB.BC.CD.Dz=a+b i(a,b∈R),则其共轭复数所以表示zx轴对称.故选B.3.设i是虚数单位,若复数a∈R)是纯虚数,则a的值为()A.-3B.-1C.1D.3,得aa,∴a-3=0,即a=3.4.设z=1+i(i是虚数单位),A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+iz=1+i,=(1-i)+(1+2i-1)=1+i,故选D.5.设a,b为实数,若复A.aC.a+2i=(a-b)+(a+b)i.由两复数相等可以得A.6.设i是虚数单位,复数i3A.-iB.iC.-1D.1=-i7.已知复数z=(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则有()A.a≠0B.a≠2C.a≠0,且a≠2D.a≠-1z为纯虚数,a=-1.而已知z不是纯虚数,所以a≠-1.故选D.8.已知i为虚数单位,a为实数,复数z=(1-2i)(a+i)在复平面内对应的点为M,则“aA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i,所以复数z在复平面内对应的点M的坐标为(a+2,1-2a),所以点M在第四象限的充要条件是a+2>0,且1-2a<0,解得a C.。

第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a 、b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1C由(a ＋i)i ＝b ＋i ，得a i －1＝b ＋i ，所以a ＝1，b ＝－1. 2．(2012·课标全国文，2)复数z ＝－3＋i2＋i 的共轭复数是( )A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋iD ．－1－iD本题考查了复数的除法运算以及共轭复数的概念．z ＝－3＋i 2＋i ＝(－3＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－5＋5i 5＝－1＋i ，故z 的共轭复数为－1－i.3．(2012～2013学年度山东沂水县高二期中测试)若a 、b ∈R ，i 是虚数单位，且(1＋a i)i ＝1－b i ，则在复平面内，复数a ＋b i 所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限C∵(2＋a i)i ＝1－b i ， ∴－a ＋2i ＝1－b i ，∴⎩⎨⎧－a ＝1－b ＝2，∴⎩⎨⎧a ＝－1b ＝－2，∴复数a ＋b i ＝－1－2i 所对应的点在第三象限． 4．设复数z ＝2＋i(1＋i )2，则复数z 的虚部是( )A.12 B ．－1 C ．－i D ．1Bz ＝2＋i 2i ＝－2i ＋12＝12－i ，∴复数z 的虚部是－1.5．复数i 2＋i 3＋i 41－i ＝( )A ．－12－12iB ．－12＋12iC.12－12iD.12＋12i C∵i 2＋i 3＋i 4＝－1＋(－i)＋1＝－i ， ∴原式＝－i 1－i ＝－i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝1－i 2＝12－12i.6．已知复数z 满足2－iz ＝1＋2i ，则z ＝( )A ．4＋3iB ．4－3iC ．－iD ．iD由2－i z ＝1＋2i ，得z ＝2－i 1＋2i ＝(2－i )(1－2i )5＝2－4i －i －25＝－i ，∴z ＝i.7．复数⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 10的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．－32 D ．32A本题主要考查复数的基本运算，1－i1＋i ＝－i ，(－i)10＝－1，故选A.8．复数z ＝2－i2＋i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限D∵z ＝2－i 2＋i ＝(2－i )25＝4－4i －15＝35－45i.∴z 在复平面内对应的点为 (35，－45)，故选D.9．若复数z ＝a ＋3i1－2i(a ∈R )，且z 是纯虚数，则|a ＋2i|等于( )A. 5 B ．210 C ．2 5 D ．40Bz ＝a ＋3i 1－2i＝(a ＋3i )(1＋2i )5＝a ＋2a i ＋3i －65＝a －6＋(2a ＋3)i 5，当z 为纯虚数时，⎩⎨⎧a －6＝02a ＋3≠0，得a ＝6，∴a ＋2i ＝6＋2i ， ∴|a ＋2i|＝210.10．若z ＝cos θ＋isin θ(i 为虚数单位)，则使z 2＝－1的θ值可能是( )A.π6B.π4C.π3D.π2D∵z 2＝cos2θ＋isin2θ＝－1，∴⎩⎨⎧cos2θ＝－1sin2θ＝0，∴2θ＝2k π＋π (k ∈Z )， ∴θ＝k π＋π2.令k ＝0知，D 正确．11．若x 是纯虚数，y 是实数，且2x －1＋i ＝y －(3－y )i ，则x ＋y 等于( )A ．1＋52iB ．－1＋52iC ．1－52iD ．－1－52iD设x ＝i t (t ∈R 且t ≠0)， 于是2t i －1＋i ＝y －(3－y )i ， ∴－1＋(2t ＋1)i ＝y －(3－y )i ， ∴⎩⎨⎧y ＝－12t ＋1＝－(3－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝－52y ＝－1.∴x ＋y ＝－1－52i.12．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为( )A ．3－iB ．1＋3iC ．3＋iD ．1－3iA由定义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝z i ＋z ，得z i ＋z ＝4＋2i ，即z ＝4＋2i 1＋i ＝3－i.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)13．若复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)，则z ·z ＋z ＝________. 6－2i本题考查了复数的基本运算．∵z ＝1－2i ，∴z －＝1＋2i ， ∴z ·z －＋z ＝(1－2i)(1＋2i)＋1－2i ＝5＋1－2i ＝6－2i.14．已知a 、b ∈R ，且a －1＋2a i ＝4＋b i ，则b ＝________. 10由已知得⎩⎨⎧a －1＝42a ＝b，得⎩⎨⎧a ＝5b ＝10.15．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________．83z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝(a ＋2i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i ) ＝3a ＋4a i ＋6i －825＝3a －825＋4a ＋625i ，∵z1z 2为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －825＝04a ＋625≠0，∴a ＝83.16．已知复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )且a 1－i ＋b1－2i ＝53＋i ，则复数z在复平面对应的点位于第________象限．四∵a 、b ∈R 且a 1－i ＋b1－2i ＝53＋i ，即a (1＋i )2＋b (1＋2i )5＝3－i 2，∴5a ＋5a i ＋2b ＋4b i ＝15－5i ，∴⎩⎨⎧5a ＋2b ＝155a ＋4b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝7b ＝－10.∴复数z ＝a ＋b i ＝7－10i 在复平面内对应的点位于第四象限． 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)m 为何实数时，复数z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i)是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？ z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i) ＝2m 2＋m 2i －3m i －3m －2＋2i ＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i. (1)由m 2－3m ＋2＝0得m ＝1或m ＝2， 即m ＝1或2时，z 为实数．(2)由m 2－3m ＋2≠0得m ≠1且m ≠2， 即m ≠1且m ≠2时，z 为虚数．(3)由⎩⎨⎧2m 2－3m －2＝0m 2－3m ＋2≠0，得m ＝－12，即m ＝－12时，z 为纯虚数．18．(本题满分12分)已知复数z 满足z z －i(3z )＝1＋3i ，求z . 将方程两边化成a ＋b i 的形式，根据复数相等的充要条件来解． 设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，则z ·z －＝x 2＋y 2， 3z ＝3x ＋3y i 3z ＝3x －3y i∴x 2＋y 2－3y －3x i ＝1＋3i ，由复数相等得⎩⎨⎧ x 2＋y 2－3y ＝1－3x ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝－1y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝－1y ＝3.∴z ＝－1或z ＝－1＋3i.19．(本题满分12分)已知复数x 2＋x －2＋(x 2－3x ＋2)i(x ∈R )是复数4－20i 的共轭复数，求实数x 的值．因为复数4－20i 的共轭复数为4＋20i ，由题意得 x 2＋x －2＋(x 2－3x ＋2)i ＝4＋20i ， 根据复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧x 2＋x －2＝4， ①x 2－3x ＋2＝20.②方程①的解为x ＝－3或x ＝2.方程②的解为x ＝－3或x ＝6. 所以实数x 的值为－3.20．(本题满分12分)设a 、b 为共轭复数，且(a ＋b )2－3ab i ＝4－6i ，求a 和b .∵a 、b 为共轭复数，∴设a ＝x ＋y i(x 、y ∈R ) 则b ＝x －y i ，由(a ＋b )2－3ab i ＝4－6i ，得 (2x )2－3(x 2＋y 2)i ＝4－6i ，即⎩⎨⎧4x 2＝4－3(x 2＋y 2)＝－6，∴⎩⎨⎧x 2＝1y 2＝1，∴⎩⎨⎧x ＝±1y ＝±1.∴a ＝1＋i ，b ＝1－i ；a ＝－1＋i ，b ＝－1－i ； a ＝1－i ，b ＝1＋i ；a ＝－1－i ，b ＝－1＋i. 21．(本题满分12分)已知z ＝1＋i ， (1)求w ＝z 2＋3z －4；(2)如果z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i ，求实数a 、b 的值．(1)w ＝(1＋i)2＋3(1－i)－4 ＝2i ＋3－3i －4＝－1－i.(2)z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝(1＋i )2＋a ＋a i ＋b (1＋i )2－1－i ＋1 ＝(a ＋b )＋(a ＋2)i i＝(a ＋2)－(a ＋b )i ， ∴(a ＋2)－(a ＋b )i ＝1－i ， ∴a ＝－1，b ＝2.22．(本题满分14分)设z ＝log 2(1＋m )＋ilog 12(3－m )(m ∈R )．(1)若z 在复平面内对应的点在第三象限，求m 的取值范围； (2)若z 在复平面内对应的点在直线x －y －1＝0上，求m 的值． (1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1＋m )<0， ①log 12(3－m )<0，②解①得－1<m <0. 解②得m <2.故不等式组的解集为{x |－1<m <0}， 因此m 的取值范围是{x |－1<m <0}．(2)由已知得，点(log 2(1＋m )，log 12(3－m ))在直线x －y －1＝0上，即log 2(1＋m )－log 12(3－m )－1＝0，整理得log 2(1＋m )(3－m )＝1. 从而(1＋m )(3－m )＝2， 即m 2－2m －1＝0，解得m ＝1±2，且当m ＝1±2时都能使1＋m >0，且3－m >0. 故m ＝1±2.1．若复数a ＋3i1－2i (a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．－2B ．4C ．－6D ．6Da ＋3i 1－2i ＝(a ＋3i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝a －6＋(3＋2a )i 5＝a －65＋3＋2a 5i.由纯虚数的定义，得a －65＝0，且3＋2a5≠0，解得a ＝6，故选D.2．若z 1＝(x －2)＋y i 与z 2＝3x ＋i(x 、y ∈R )互为共轭复数，则z 1对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限C由已知得⎩⎨⎧x －2＝3xy ＝－1，∴⎩⎨⎧x ＝－1y ＝－1.∴z 1＝－3－i ，故选C.3．复数(3i －1)i 的共轭复数是( ) A ．3－i B ．3＋i C ．－3－i D ．－3＋iD∵z ＝(3i －1)i ＝－3－i ， ∴z －＝－3＋i ，故选D.4．设复数z ＝1＋2i ，则z 2－2z 等于( ) A ．－3 B ．3 C ．－3i D ．3iAz 2－2z ＝(1＋2i)2－2(1＋2i)＝1＋22i －2－2－22i ＝－3. 5．当z ＝1－i 2时，z 100＋z 50＋1的值等于( )A ．1B ．－1C ．iD ．－iDz 2＝12(1－2i －1)＝－i ，z 50＝(－i)25＝－i ，z 100＝(－i)2＝－1，故原式＝－i.6．复数z ＝m －2i1＋2i (m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限Az ＝m －2i 1＋2i ＝(m －2i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝15[m －4]－2(m ＋1)i ，其实部为m－4，虚部为－2(m ＋1)由⎩⎨⎧m －4>0－2(m ＋1)>0，得⎩⎪⎨⎪⎧m >4m <－1，此时无解．故复数在复平面上对应的点不可能位于第一象限．7．规定运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪ z i －i 2＝1－2i ，设i 为虚数单位，则复数z ＝________.1－i由已知可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪z i －i 2＝2z ＋i 2＝2z －1＝1－2i ，∴z ＝1－i.。

第三章 数系的扩充与复数的引入时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数i(3－2i)＝导学号 18674454( C ) A ．2－3i B ．3＋2i C ．2＋3iD ．3－2i[解析] i(3－2i)＝3i －2i 2＝3i ＋2，故选C ． 2．(2016·北京文，2)复数1＋2i2－i＝导学号 18674455( A ) A ．i B ．1＋i C ．－i D ．1－i[解析]1＋2i 2－i＝＋＋－＋＝5i5＝i. 3．(2016·云南芒市一中高二检测)已知i 为虚数单位，则i1＋3i ＝导学号 18674456( B )A ．34－14iB ．34＋14iC ．32＋12i D ．32－12i [解析]i1＋3i＝－3＋3－3＝i ＋34＝34＋14i. 4．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面内对应的点位于导学号 18674457( D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析]z ＝(3＋i)(1－i)＝4－2i ，所以复数z 对应的点Z (4，－2)在第四象限． 5．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z＋z 2等于导学号 18674458( C )A ．－1＋iB ．－1－iC ．1＋iD ．1－i[解析]2z ＋z 2＝21＋i＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i.6．若x 是纯虚数，y 是实数，且2x －1＋i ＝y －(3－y )i ，则x ＋y 等于导学号 18674459( D )A ．1＋52iB ．－1＋52iC ．1－52iD ．－1－52i[解析] 设x ＝i t (t ∈R 且t ≠0)， 于是2t i －1＋i ＝y －(3－y )i ， ∴－1＋(2t ＋1)i ＝y －(3－y )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12t ＋1＝－－y，∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝－52y ＝－1.∴x ＋y ＝－1－52i.7．设x ∈R ，则“x ＝1”是“复数z ＝(x 2－1)＋(x ＋1)i 为纯虚数”的导学号 18674460( A )A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]z 是纯虚数⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0x ＋1≠0⇔x ＝1，故选A ．8．已知复数z 满足2－iz＝1＋2i ，则z ＝导学号 18674461( D )A ．4＋3iB ．4－3iC ．－iD ．i [解析] 由2－i z ＝1＋2i ，得z ＝2－i 1＋2i ＝－－5＝2－4i －i －25＝－i ，∴z＝i.9．若z ＝cos θ－isin θ，则使z 2＝－1的θ值可能是导学号 18674462( B ) A ．0 B ．π2C ．πD ．2π[解析]z 2＝cos 2θ－2isin θcos θ－sin 2θ＝cos 2θ－i sin 2θ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos 2θ＝－1－sin 2θ＝0，∴θ＝π2.。

数系的扩充与复数的引入一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．(某某高考)已知集合M {1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝( )A ．－2iB ．2iC ．－4iD ．4i解析：选C 由M ∩N ＝{4}，知4∈M ，故z i ＝4，故z ＝4i ＝4ii 2＝－4i.2．复数1－2＋i ＋11－2i 的虚部是( )A.15iB.15 C ．－15iD ．－15解析：选 B 因为1－2＋i ＋11－2i ＝－2－i 4＋1＋1＋2i 1＋4＝－2－i 5＋1＋2i 5＝－1＋i5，所以1－2＋i ＋11－2i 的虚部是15. 3．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选B ∵ab ＝0，∴a ＝0或b ＝0.由复数a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，得a ＝0且b ≠0.∴“ab ＝0”是“复数a ＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．4．若复数z ＝(1＋i)(x ＋i)(x ∈R)为纯虚数，则|z |等于( ) A ．2 B. 5 C. 2D ．1解析：选A ∵z ＝x －1＋(x ＋1)i 为纯虚数且x ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＋1≠0，得x ＝1，z ＝2i ，|z |＝2.5．复数z ＝－3＋i 2＋i 的共轭复数是( )A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选D z ＝－3＋i2＋i ＝－3＋i 2－i 2＋i 2－i ＝－5＋5i5＝－1＋i ，所以其共轭复数为z －＝－1－i.6．复平面上平行四边形ABCD 的四个顶点中，A ，B ，C 所对应的复数分别为2＋3i,3＋2i ，－2－3i ，则D 点对应的复数是( )A ．－2＋3iB ．－3－2iC ．2－3iD ．3－2i解析：选B 设D (x ，y )，由平行四边形对角线互相平分得 ⎩⎪⎨⎪⎧2＋－22＝3＋x2，3＋－32＝2＋y2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2.∴D (－3，－2)．∴对应复数为－3－2i.7．若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z －是z 的共轭复数，则z 2＋z －2的虚部为( ) A ．0 B ．－1 C ．1D ．－2解析：选A 因为z ＝1＋i ，所以z －＝1－i ，所以z 2＋z －2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i －2i ＝0.故z 2＋z －2的虚部为0.8．在复平面内，若z ＝m 2(1＋i)－m (4＋i)－6i 所对应的点位于第二象限，则实数m 的取值X 围是( )A ．(0,3)B ．(－∞，－2)C ．(－2,0)D ．(3,4)解析：选 D 整理得z ＝(m 2－4m )＋(m 2－m －6)i ，对应的点位于第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m ＜0，m 2－m －6＞0，解得3＜m ＜4.9．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1zz i ＝4＋2i 的复数z 为( )A ．3－iB ．1＋3iC ．3＋iD ．1－3i解析：选A 由定义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1zz i ＝z i ＋z ，得z i ＋z ＝4＋2i ，即z ＝4＋2i 1＋i ＝3－i.10．若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则( ) A ．b ＝2，c ＝3B ．b ＝－2，c ＝3C ．b ＝－2，c ＝－1D ．b ＝2，c ＝－1解析：选B 因为1＋2i 是实系数方程的一个复数根，所以1－2i 也是方程的根， 则1＋2i ＋1－2i ＝2＝－b ，(1＋2i)(1－2i)＝3＝c ，解得b ＝－2，c ＝3. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．在复平面内，若复数(－6＋k 2)－(k 2－4)i 所对应的点位于第三象限，则实数k 的取值X 围是________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧－6＋k 2<0，k 2－4>0，∴4<k 2<6，∴k ∈(－6，－2)∪(2，6)． 答案：(－6，－2)∪(2，6)12．设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．解析：a ＋b i ＝11－7i 1－2i ＝11－7i1＋2i 1－2i1＋2i ＝25＋15i5＝5＋3i ，依据复数相等的充要条件可得a ＝5，b ＝3. 从而a ＋b ＝8. 答案：813．a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝________. 解析：a ＋ii＝a ＋i ·－ii·－i＝1－a i ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|1－a i|＝ a 2＋1＝2，所以a 2＝3.又a 为正实数，所以a ＝ 3. 答案： 314．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i，则复数z 在复平面对应的点位于第________象限．解析：∵a ，b ∈R 且a1－i ＋b 1－2i ＝53＋i， 即a 1＋i2＋b 1＋2i5＝3－i2， ∴5a ＋5a i ＋2b ＋4b i ＝15－5i ，即⎩⎪⎨⎪⎧5a ＋2b ＝15，5a ＋4b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，b ＝－10，∴z ＝7－10i.∴z 对应的点位于第四象限． 答案：四三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤) 15．(本小题满分12分)(本小题满分12分)实数k 为何值时，复数z ＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i 是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.解：(1)当k 2－5k －6＝0，即k ＝6或k ＝－1时，z 是实数． (2)当k 2－5k －6≠0，即k ≠6且k ≠－1时，z 是虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0，即k ＝4时，z 是纯虚数．(4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0，即k ＝－1时，z 是0.16．(本小题满分12分)(本小题满分12分)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i2＋i2.求： (1)z 1z 2；(2)z 1z 2. 解：因为z 2＝15－5i 2＋i 2＝15－5i 3＋4i ＝15－5i3－4i 3＋4i3－4i ＝25－75i25＝1－3i ，所以(1)z 1z 2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.(2)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝2－3i1＋3i 1－3i 1＋3i ＝11＋3i 10＝1110＋310i.17．(本小题满分12分)(本小题满分12分)已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z 2|＜|z 1|，求a 的取值X 围．解：∵z 1＝－1＋5i1＋i ＝2＋3i ，z 2＝a －2－i ，z 2＝a －2＋i ，∴|z 1－z 2|＝|(2＋3i)－(a －2＋i)|＝|4－a ＋2i| ＝4－a2＋4，又∵|z 1|＝13，|z 1－z 2|＜|z 1|， ∴4－a2＋4＜13，∴a 2－8a ＋7＜0，解得1＜a ＜7. ∴a 的取值X 围是(1,7)．18．(本小题满分14分)已知z 是复数，z ＋2i ，eq \f(z,2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点位于第一象限，某某数a 的取值X 围．,解：设z＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，,由z ＋2i 为实数，得y ＝－2.,∵z 2－i ＝x －2i2－i＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ， 由z2－i为实数，得x ＝4. ∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8a －2>0.解得2<a <6.∴实数a 的取值X 围是(2,6)．。