高中数学第三章数系的扩充与复数的引入311数系的扩充和复数的概念学业分层测评含解析新人教A版选修2 2

第三章 数系的扩充与复数的引入 3．1.1 数系的扩充和复数的概念双基达标 限时20分钟1．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( )．A ．3－3iB ．3＋iC ．－2＋2iD.2＋2i解析 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，故选A. 答案 A2．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为( )．A.π4B.π4或54π C ．2k π＋π4(k ∈Z )D ．k π＋π4(k ∈Z )解析 由复数相等定义得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝sin θ，sin θ＝cos θ，∴tan θ＝1，∴θ＝k π＋π4(k ∈Z )．答案 D 3．下列命题中①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝2＋i 的充要条件是x ＝2，y ＝1； ②纯虚数集相对复数集的补集是虚数集； ③若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3. 正确的命题个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ①x ，y ∈C ，x ＋y i 不一定是代数形式，故①错．②③错；对于④，a ＝0时，a i ＝0，④错，故选A. 答案 A4．已知复数z ＝m 2(1＋i)－m (m ＋i)(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为________．解析 z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ，∴m 2－m ＝0， ∴m ＝0或1. 答案 0或15．已知(1＋i)m 2＋(7－5i)m ＋10－14i ＝0，则实数m ＝________.解析 把原式整理得(m 2＋7m ＋10)＋(m 2－5m －14)i ＝0，∵m ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋7m ＋10＝0，m 2－5m －14＝0，∴m ＝－2.答案 －26．实数m 取什么值时，复数lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 分别是(1)纯虚数；(2)实数．解 (1)复数lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 为纯虚数．则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＝1，m 2＋3m ＋2≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m ≠－2且m ≠－1，∴m ＝3.即m ＝3时，lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 为纯虚数， (2)复数为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2>0， ①m 2＋3m ＋2＝0， ②解②得m ＝－2或m ＝－1， 代入①检验知满足不等式，∴m ＝－2或m ＝－1时，lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 为实数．综合提高 限时25分钟7．已知集合M ＝{1，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{1,3}，M ∩N ＝{1,3}，则实数m 的值为( )．A ．4B ．－1C ．4或－1D ．1或6解析 由题意⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3 m －1＝3，m 2－5 m －6＝0，∴m ＝－1.答案 B8．如果关于x 的方程x 2－2x －a ＝0的一个根是i ，那么复数a( )．A ．一定是实数B ．一定是纯虚数C ．可能是实数，也可能是虚数D ．一定是虚数，但不是纯虚数解析 因为i 是方程x 2－2x －a ＝0的根，故代入整理得：a ＝x 2－2x ＝i 2－2i ＝－1－2i ，故选D.答案 D9．若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为________．解析 易知⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.答案 －410．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的取值范围是________．解析 ∵log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，∴⎩⎪⎨⎪⎧log 2x 2－3x －2>1，log 2x 2＋2x ＋1＝0，∴x ＝－2.答案 －211．已知A ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1,3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值．解 按题意：(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0a 2－3a －1＝3，得a ＝－1.12．(创新拓展)若m 为实数，z 1＝m 2＋1＋(m 3＋3m 2＋2m )i ，z 2＝4m ＋2＋(m 3－5m 2＋4m )i ，那么使z 1>z 2的m 值的集合是什么？使z 1<z 2的m 值的集合又是什么？ 解 当z 1∈R 时，m 3＋3m 2＋2m ＝0，m ＝0，－1，－2，z 1＝1或2或5.当z 2∈R 时，m 3－5m 2＋4m ＝0，m ＝0,1,4，z 2＝2或6或18.上面m 的公共值为m ＝0， 此时z 1与z 2同时为实数， 此时z 1＝1，z 2＝2.所以z 1>z 2时m 值的集合为空集，z 1<z 2时m 值的集合为{0}．。

变式训练 2 实数 x 分别取什么值时，复数 z＝x2－x＋x＋3 6＋ (x2－2x－15)i 是①实数；②虚数；③纯虚数．
解：①要使 z 是实数，必须且只须xx＋2－32≠x0－，15＝0， 解得 x＝5.
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②要使 z 为虚数，必须且只须xx＋2－32≠x0－，15≠0， 解得 x≠－3，且 x≠5. ③要使 z 为纯虚数，必须且只须x2－x＋x－3 6＝0，
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解：(1)中当两个复数都是实数时，可以比较大小， 所以(1)为假命题． (2)由于 x，y 都是复数，故 x＋yi 不一定是代数形式， 因此不符合两个复数相等的充要条件，故(2)是假命题． (3)当 a＝0 时，ai＝0 为实数，故(3)为假命题． (4)由复数集的分类知，(4)正确．
x＋y＝2， x－y＝0，
解得xy＝＝11，.
∴实数 2021/12/9 x＝1，y＝1.
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规律技巧 本题的解题关键是两个复数相等的充要 条件，要注意等号两边均为代数形式，同时体现了复 数问题实数化的思想，特别地：a＋bi＝0(a，b∈R)， 则 a＝b＝0.
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【答案】 D
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题型二 利用复数的概念解题 例 2 设 m∈R，复数 z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)． (1)若 z 为实数，则 m＝__________； (2)若 z 为纯虚数，则 m＝__________.
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【解析】 (1)z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)
＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i

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课堂互动(hù 探究 dònɡ)
归纳(guīnà)透析 触类旁通
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题型一 复数的概念
给出下列命题： (1)当 z∈C 时，z2≥0； (2)复数由实数、虚数、纯虚数组成； (3)两个复数不能比较大小； (4)若 a∈R，则(3a＋2)i 是纯虚数； (5)若 z＝x＋yi，则实部和虚部分别是 x，y. 其中正确的个数是________． 【思路探索】 利用复数的概念解题．
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2．下列命题正确的是( ) A．两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等 B．1－ai(a∈R)是一个虚数 C．－1 的平方根只有 i D. 2i 是一个无理数 答案：A
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3．设 i 是虚数单位，若复数 a－1＋(a－2)i(a∈R)是纯虚数，
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(3)由题意得mmm－＋12＝0，
得 m＝0 或 m＝－2.
m2＋2m－3≠0，
∴当 m＝0 或 m＝－2 时，z 是纯虚数．
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[名 师 点 拨] 解决有关复数的分类问题，主要依据复数 z＝a＋bi(a，b∈ R)是实数、虚数、纯虚数的充要条件求解，列出相应的等式或 不等式组求出参数的值或取值范围．注意：z＝a＋bi(a，b∈R) 为纯虚数的条件是 a＝0 且 b≠0，千万不要忘记 b≠0 这一条件.
目标导学
1．理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件． 2．掌握复数的表示方法及有关概念． 3．掌握复数的分类及复数相等的充要条件的应用．

3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.1 数系的扩充和复数的相关概念A 级 基础巩固一、选择题1．在2＋7，27i ，0，8＋5i ，(1－3)i ，0.618这几个数中，纯虚数的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解析：27i ，(1－3)i 是纯虚数，2＋7，0，0.618是实数，8＋5i 是虚数． 答案：C2．如果C ，R ，I 分别表示复数集，实数集和纯虚数集，其中C 为全集，则( )A ．C ＝R∪IB ．R ∪I ＝{0}C ．R ＝C∩ID ．R ∩I ＝∅解析：显然，实数集与纯虚数集的交集为空集是正确的．答案：D3．若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R)，则2x ＋y 的值为( ) A. 2B ．2C ．0D ．1 解析：由复数相等的充要条件知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x －1＝0，所以x ＝1，x ＋y ＝0，故2x ＋y ＝1. 答案：D4．以2i －5的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( )A ．2－2iB ．2＋iC ．－5＋5i D.5＋5i解析：2i －5的虚部为2，5i ＋2i 2＝－2＋5i 的实部为－2，所以新复数为2－2i.答案：A5．已知集合M ＝{1，2，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1，3}，且M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为( )A ．4B ．－1C ．－1或4D ．－1或6解析：由于M ∩N ＝{3}，故3∈M ，必有m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i ＝3，可得m ＝－1. 答案：B二、填空题6．已知复数z ＝m 2(1＋i)－m (m ＋i)(m ∈R)，若z 是实数，则m 的值为________． 解析：z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ，所以m 2－m ＝0，所以m ＝0或m ＝1.答案：0或1 7．已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i(x ∈R )，则x ＝________． 解析：因为x ∈R，所以x 2－x －6x ＋1∈R ， 由复数相等的条件得：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋1＝0，x 2－2x －3＝0，解得x ＝3.答案：38．若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R)不是纯虚数，则a 的取值范围是________． 解析：若复数为纯虚数，则有a 2－a －2＝0且|a －1|－1≠0，得a ＝－1.因为复数不是纯虚数，所以a ≠－1.答案：{a |a ≠－1}三、解答题9．已知m ∈R，复数z ＝m （m ＋2）m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时， (1)z 为实数？(2)z 为虚数？(3)z 为纯虚数？解：(1)z ∈R，则m 2＋2m －3＝0且m －1≠0解之得m ＝－3∴当m ＝－3时，z 为实数．(2)要使z 为虚数，需满足m 2＋2m －3≠0，且m －1≠0.解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 为纯虚数，需满足m （m ＋2）m －1＝0，且m 2＋2m －3≠0， 解之得m ＝0或m ＝－2.10．已知集合M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1，1，4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．解：因为M ∪P ＝P ，所以M ⊆P ，即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i.由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1； 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2. 综上可知m ＝1或m ＝2.B 级 能力提升1．已知复数z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R)的实部为2，虚部为1，复数z 2＝(x －1)＋(2x －y )i(x ，y ∈R)．当z 1＝z 2时x ，y 的值分别为( )A ．x ＝3且y ＝5B ．x ＝3且y ＝0C ．x ＝2且y ＝0D ．x ＝2且y ＝5解析：易知z 1＝2＋i由z 1＝z 2，即2＋i ＝(x －1)＋(2x －y )i(x ，y ∈R)∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2，2x －y ＝1，解得x ＝3且y ＝5. 答案：A2．复数z ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θi ，且θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，若z 为纯虚数，则θ的值为________． 解析：z ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θi ＝－sin θ＋icos θ. 当z 为纯虚数时⎩⎪⎨⎪⎧－sin θ＝0，cos θ≠0，又θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，所以θ＝0. 答案：03．如果(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，求自然数m ，n 的值． 解：因为(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1， 所以 (m ＋n )－(m 2－3m )i 是实数． 从而有⎩⎨⎧（m ＋n ）>－1，－（m 2－3m ）＝0，由m 2－3m ＝0得m ＝0或m ＝3.当m ＝0时代入 (m ＋n )>－1，得0<n <2，又m ＋n >0，所以n ＝1；当m＝3时，代入 (m＋n)>－1，得n<－1，与n是自然数矛盾，舍去．综上可知，m＝0，且n＝1.。

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内容(nèiróng)总结
03 数系的扩充(kuòchōng)与复数的引入。第一课时 数系的扩充(kuòchōng)和复数的概念。方 法 导 拨
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【例 1】 (2015 年高考·湖北卷)i 为虚数单位，i607＝ ( )
A．－i
B．i
C．－1
D．1
【解析】 i607＝i4×151＋3＝i3＝－i.
【答案】 A
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导拨 2 复数问题实数化是解决复数问题最基本的也是最重要的思想方法，其转化的 依据主要就是复数相等的充要条件．
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§3.1 数系的扩充(kuòchōng)和复数的概念 第一课时 数系的扩充(kuòchōng)和复数的概念
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目标导向
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1．知识与技能 (1)了解数系扩充的必要性，理解复数的概念； (2)掌握复数的代数形式； (3)掌握复数的分类． 2．过程与方法 (1)分类讨论的思想是解决复数分类问题的重要思想． (2)在判断两个复数相等的过程中，体会等价转化的思想方法．
【解析】 由已知得
m2－3m＝0 m3－4m2＋3m＝0 m2＞4
m＝0或m＝3 ⇒m＝0或m＝1或m＝3 m＞2或m＜－2
∴m＝3
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2课时）课堂探究新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念（第2课时）课堂探究新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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念（第2课时)课堂探究新人教A版选修2—2 探究一复数与复平面内点的关系1．复平面内复数与点的对应关系的实质是：复数的实部就是该点的横坐标，虚部就是该点的纵坐标．2．已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数取值范围时，可根据复数与点的对应关系，建立复数的实部与虚部满足的条件,通过解方程(组）或不等式（组）求解．【典型例题1】（1)复数z＝sin 错误!＋icos 错误!对应的点在复平面内的( ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2）若复数z＝a2－3＋2a i对应的点在直线y＝－x上，则实数a的值为________．解析：（1）∵z＝sin 2π3＋icos 错误!＝错误!－错误!i，∴复数对应的点为错误!,此点在第四象限．(2）已知复数对应的点为(a2－3,2a），代入y＝－x，有2a＝－（a2－3),解得a＝－3或a ＝1.答案：（1)D (2）－3或1探究二复数与平面内向量的关系1．复数z＝a＋b i(a,b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量OZ一一对应的．2．一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变．【典型例题2】（1）向量OA对应的复数为1＋4i,向量OB对应的复数为－3＋6i，则向量OA OB对应的复数为（）A．－3＋2i B．－2＋10iC．4－2i D．－12i（2）复数4＋3i与－2－5i分别表示向量OA与OB，则向量AB表示的复数是________．解析：（1）向量OA对应的复数为1＋4i，向量OB对应的复数为－3＋6i，所以OA＝（1,4），OB＝(－3，6)，所以OA＋OB＝(1，4）＋（－3，6）＝(－2,10),所以向量OA＋OB对应的复数为－2＋10i.(2）因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量OA与OB，所以OA＝（4,3），OB＝(－2，－5)，又OA＝OB－OA＝(－2，－5）－（4，3）＝（－6，－8），所以向量AB表示的复数是－6－8i.答案：(1)B （2)－6－8i探究三复数的模1．计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部,然后代入公式进行计算．2．若两个复数相等，它们的模一定相等;反之，两个复数的模相等，这两个复数不一定相等．3．求解这类问题通常有以下两种方法:方法一：根据｜z|表示点Z和原点间的距离，直接判定图形形状．方法二：利用模的定义,把复数问题转化为实数问题来解决，这也是本章的一种重要思想方法．【典型例题3】（1)设z为纯虚数,且｜z－1｜＝｜－1＋i|，求复数z.（2）设z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？①|z|＝错误!；②|z|≤3.思路分析：（1)设z＝a i(a∈R,且a≠0），利用模长公式来求解．（2)通过利用模的定义，转化为实数x，y满足的条件来求解．解：(1)∵z为纯虚数，∴设z＝a i(a∈R，且a≠0),则|z－1|＝｜a i－1｜＝错误!。

3.1.1 数系的扩充和复数的概念【学习目标】1．理解复数的有关概念以及符号表示；2．掌握复数的代数表示形式及其有关概念．【重点难点】重点：引进虚数单位i 的必要性、对i 的规定以及复数的有关概念．难点：复数概念的理解．【学习过程】一．课前预习阅读教材5052P P -的内容，了解复数概念的建立过程，并注意一下问题：1.自然数、负数、分数、无理数这些概念是分别在一些什么样的社会生产背景下建立起来的？（1）自然数：计数需要.（2）负数：表示相反意义的量、计数需要.（3）分数：整数集中不能整除.（4）无理数：开方开不尽.2.数系的扩充过程：用图形表示包含关系：自然数集N ，，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R .3. 每次数系的扩充，解决了什么问题？（1）分数的引入，解决了在自然数集中不能整除的矛盾.（2）负数的引入，解决了在正有理数集中不够减的矛盾.（3）无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾.（4）在实数集范围内，负数不能开平方，我们要引入什么数，才能解决这个矛盾呢？例如，在实数范围内，方程210x +=无解，那么在什么范围内才有解？二．课堂学习与研讨1.独立思考·解决问题1.实系数一元二次方程210x +=没有实数根．实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数．要解决这一问题，最根本的问题是要解决1-的开平方问题．即一个什么样的数，它的平方会等于1-．N Z Q R2.根据前面讨论结果，我们引入一个新数i ，i 叫做 ，并规定：（1）21i =-；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立． 这样，就可以解决前面提出的问题（－1可以开平方，而且－1的平方根是i ±）．3．复数的概念：根据虚数单位i 的第（2）条性质，i 可以与实数b 相乘，再与实数a 相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成bi a +，数的范围又扩充了，出现了形如 ),(R b a bi a ∈+的数，我们把它们叫做复数；a 叫做 ，b 叫做 ；这种形式的复数叫做复数的 ．全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C 表示，有：*N N Z Q R C ．4.实数、虚数、纯虚数：对于复数),(R b a bi a ∈+，当且仅当0b =时，它是 ；当且仅当0a b ==，它是实数0；当0b ≠时，叫做 ；当0a =，0b ≠时，叫做 .5. 复数相等的充要条件：在复数集2{|,,1}C a bi a b R i =+∈=-中任取两个复数：a bi +，c di +，,,,abcd R ∈，规定：a bi c di a c +=+⇔=且b d =.2.师生探索，合作交流例1. 当m 为何实数时，复数226(215)3m m z m m i m --=+--+是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；动动手：1.下列数中，哪些是复数，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？( 1 ) 217i + ；( 2 )2i - ；( 3 )0 ，( 4 )2i ；( 5 )sin cos 66i ππ- . 2.已知复数2(1)()z m i m i =+-+，当m 为何值时，z 是虚数？是纯虚数？例2.已知i y y i x )3()12(--=+-，其中，,x y R ∈，求x 与y ．动动手：已知2(12)320(,)x i x mi i x m R ++--=∈，求实数m 的值.3．达标检测(1)已知(21)(3)x i y y i -+=--，则,x y 分别是________________.(2)若)54(cos 53sin -+-=θθi z 是纯虚数，则θtan 的值为_________________. (3)若()()2223256i 0x x x x --+-+=，则实数x 的值是 .4．归纳与小结(1)在(,)z a bi a b R =+∈中，实部是a ，虚部是b ，易错为虚部是bi ；(2)两个复数相等的充要条件是实部、虚部分别相等；(3)在复数集中，如果两个复数中至少有一个是虚数，则这两个数不能比较大小，只有这两个数都是实数才可以比较大小.。

湖北省松滋市高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.2 复数的几何意义导学案新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（湖北省松滋市高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.2 复数的几何意义导学案新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3.1.2 复数的几何意义【学习目标】1。

理解复平面、实轴、虚轴等概念。

2.理解并掌握复数的几何意义，并能简单应用。

3。

理解并会求复数的模,了解复数的模与实数绝对值之间的区别与联系。

【重点难点】重点：理解并掌握复数的几何意义.难点：复平面内的点(,),,z a b OZ z a bi=+的关系；复数模的问题。

【使用说明与学法指导】1.课前用20分钟预习课本P104-105内容。

并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学。

2.独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究，答疑解惑。

【问题导学】1. 复平面？2.复数的几何意义？(1)（2)3。

复数的模？4。

复平面的虚轴的单位长度是1，还是i？【合作探究】问题1：复数与复平面内点的关系1.复数2z i=对应的点在复平面的（ B ）A. 第一象限内 B. 实轴上C. 虚轴上 D。

第四象限内2。

在复平面内，复数sin2cos2z i=+对应的点位于( D ）A。

第一象限 B. 第二象限C。

第三象限 D。

代数形式 _____与_____. 实部 虚部
【微思考】 1.两个复数一定能比较大小吗? 提示:不能. 2.复数a+bi的实部是a,虚部是b吗? 提示:只有a,b都是实数时才是.
主题2 复数的相等和分类 1.复数z=a+bi(a,b∈R)中实部与虚部分别为零时表示 什么数? 提示:虚部b=0时,z=a是一个实数; 虚部b≠0时,z=a+bi是一个虚数; 虚部b≠0,实部a=0时,z=bi是纯虚数.
【解析】选B.若复数a-bi为纯虚数,则a=0且b≠0,故 ab=0.而由ab=0不一定能得到复数a-bi是纯虚数,故 “ab=0”是“复数a-bi为纯虚数”的必要不充分条件.
类型二 复数的分类
【典例2】设
z log1 m 1 ilog2 5 m(mR).
(1)若z是虚数,求m的2 取值范围.
【解析】要使z为实数,故其虚部log2(5-m)=0,m应满足
的条件是 5 m 1, m 1 0,
解得m=4.
【方法总结】 1.解决复数分类问题的方法与步骤 (1)化标准式:解题时一定要先看复数是否为 a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.
(2)定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与 虚部应该满足的条件问题,列出实部和虚部满足的方程 (不等式)组即可. (3)下结论:设所给复数为z=a+bi(a,b∈R),①z为实数 ⇔b=0;②z为虚数⇔b≠0;③z为纯虚数⇔a=0且b≠0.
m应满足的条件是
m 1 5 m
0解, 得1<m<5,且m≠4. 0,
5 m 1,
(2)因为z是纯虚数,故其实部 lo(gm1 -1)=0,虚部
log2(5-m)≠0,
2

高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念（第2课时）课堂探究 新人教A 版选修1-2探究一 复数的几何意义复数集与复平面内所有的点所成的集合之间存在着一一对应关系，每一个复数都对应着复平面内的一个点，复数的实部对应着该点的横坐标，而虚部则对应该点的纵坐标，这样在复平面内就可根据点的位置确定复数实部、虚部应满足的条件．【典型例题1】当实数m 分别为何值时，复数(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内对应的点：(1)位于第四象限？(2)位于x 轴的负半轴上？(3)位于y 轴的正半轴上？思路分析：复数a ＋b i(a ，b ∈R )在复平面内对应的点位于第四象限应满足a ＞0且b ＜0；位于x 轴的负半轴上应满足a ＜0且b ＝0；位于y 轴的正半轴上，应满足a ＝0且b ＞0.解：(1)当复数(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内对应的点位于第四象限时， 有⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－8m ＋15＞0，m 2＋3m －28＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜3或m ＞5，－7＜m ＜4，∴－7＜m ＜3.故当－7＜m ＜3时，该复数在复平面内对应的点位于第四象限．(2)当复数(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内对应的点位于x 轴的负半轴上时，有⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－8m ＋15＜0，m 2＋3m －28＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ 3＜m ＜5，m ＝－7或m ＝4，∴m ＝4.故当m ＝4时，该复数在复平面内对应的点位于x 轴的负半轴上．(3)当复数(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内对应的点位于y 轴的正半轴上时，有⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－8m ＋15＝0，m 2＋3m －28＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3或m ＝5，m ＞4或m ＜－7，∴m ＝5.故当m ＝5时，该复数在复平面内对应的点位于y 轴的正半轴上．温馨提示 判断复数z 在复平面内对应的点的位置时，首先要明确复数z 的实部和虚部． 探究二 复数的模计算复数的模，要先找出复数的实部和虚部，然后利用复数模的计算公式求解．复数z＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模就是向量OZ →＝(a ，b )的模，所以|z |＝|OZ →|＝a 2＋b 2.【典型例题2】求复数z 1＝3＋4i 及z 2＝－12－2i 的模，并比较它们的模的大小． 思路分析：先确定复数的实、虚部，再代入公式即可．解：|z 1|＝32＋42＝5，|z 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋－22＝32. ∵5＞32，即|z 1|＞|z 2|. 温馨提示 复数一般不能比较大小，但复数的模可以比较大小．探究三 复数几何意义的应用(1)复数的两种几何意义：一是复数与复平面内的点一一对应；二是复数与平面向量一一对应．(2)复数与复平面内向量的对应：复数的实部、虚部是对应向量的坐标，利用这一点，可把复数问题转化为向量问题．【典型例题3】在复平面上，复数i,1,4＋2i 对应的点分别是A ，B ，C .求平行四边形ABCD 的顶点D 所对应的复数．思路分析：方法一：复数→点的坐标→中点坐标公式→点D 的坐标→点D 对应的复数．方法二：复数→向量→向量运算→OD →→点D 对应的复数解法一：由已知，得点A ，B ，C 的坐标分别为A (0,1)，B (1,0)，C (4,2)，则AC 的中点为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32. 由平行四边形的性质，知E 也是BD 的中点．设点D 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋12＝2，y ＋02＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝3.即点D 的坐标为(3,3)．故D 点对应的复数为3＋3i.解法二：由已知，得OA →＝(0,1)，OB →＝(1,0)，OC →＝(4,2)，∴BA →＝(－1,1)，BC →＝(3,2)．∴BD →＝BA →＋BC →＝(2,3)．∴OD →＝OB →＋BD →＝(3,3)．∴点D 对应的复数为3＋3i.探究四 易错辨析易错点 混淆绝对值与模的概念致错【典型例题4】已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应的点Z 的轨迹是( )A ．2个点B ．1个圆C．2个圆 D．1条线段错解：A错因分析：由|z|2－2|z|－3＝0，得(|z|＋1)(|z|－3)＝0，因为|z|＋1＞0，所以|z|＝3，即z＝±3，表示两个点．错误原因在于将绝对值与模的概念混为一谈．正解：由|z|＝3，知表示复数z的点到原点的距离为3，即其轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆．选B.。

1课时）自我小测新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念（第1课时）自我小测新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念（第1课时）自我小测新人教A版选修2-2的全部内容。

念（第1课时）自我小测新人教A版选修2-2 1．若复数z＝(m＋2）＋(m2－9）i（m∈R)是正实数,则实数m的值为（）A．－2 B．3 C．－3 D．±32．以2i－错误!的虚部为实部，以错误!i＋2i2的实部为虚部的新复数是（）A．2－2i B．2＋iC．－5＋错误!i D．错误!＋错误!i3．设全集I＝{复数},R＝｛实数},M＝｛纯虚数}，则( ）A．M∪R＝I B．(∁I M）∪R＝IC．（∁I M)∩R＝R D．M∩（∁I R）＝4．已知集合M＝｛1，2，(m2－3m－1）＋(m2－5m－6)i｝,N＝｛－1，3｝，且M∩N＝{3}，则实数m的值为( ）A．4 B．－1C．－1或4 D．－1或65．若复数(x2＋y2－4）＋(x－y）i是纯虚数，则点（x，y）的轨迹是（）A．以原点为圆心，以2为半径的圆B．两个点，其坐标为(2,2)，（－2，－2）C．以原点为圆心，以2为半径的圆和过原点的一条直线D．以原点为圆心，以2为半径的圆,并且除去两点(错误!,错误!），（－错误!，－错误!) 6．给出下列复数：①－2i，②3＋错误!,③8i2，④isin π，⑤4＋i；其中表示实数的有(填上序号)________．7．满足x2＋2x＋3i＝m＋x i（x，m∈R）的m的值为________．8．复数cos 2θ＋2isin2θ的实部与虚部的和等于________．9．设复数z＝lg（m2－2m－3)＋(m2＋3m＋2)i,（1）当实数m为何值时，z是纯虚数？(2)当实数m为何值时，z是实数？10．定义运算错误!＝ad－bc,如果（x＋y）＋(x＋3)i＝错误!,求实数x，y的值．参考答案1．解析：依题意应有错误!解得m ＝3.答案：B2．解析：2i －错误!的虚部为2，错误!i ＋2i 2的实部为－2，故所求的复数为2－2i.答案：A3．解析：根据复数、纯虚数的定义以及它们之间的关系进行判断．依题意，I ，R ,M 三个集合之间的关系如下图所示．所以应有：M ∪R I ,(∁I M ）∪R ＝∁I M ，M ∩（∁I R ）≠∅，故A,B ，D 三项均错，只有C 项正确．答案：C4．解析:由于M ∩N ＝{3}，故3∈M ，必有m 2－3m －1＋(m 2－5m －6）i ＝3，所以错误!即错误!得m ＝－1.答案:B5．解析：因为复数（x 2＋y 2－4）＋（x －y ）i 是纯虚数,则错误!即x 2＋y 2＝4且x ≠y 。

3．1.1 数系的扩充和复数的概念预习课本P50～51，思考并完成下列问题(1)实数系经过扩充后得到的新数集是什么？复数集如何分类？(2)复数能否比较大小？复数相等的充要条件是什么？纯虚数、虚数、实数、复数关系如何？[新知初探]1．复数的有关概念a＋b i|a，b∈R中的数，即形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中我们把集合C＝{}i叫做虚数单位．全体复数所成的集合C叫做复数集．复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．对于复数z＝a＋b i，以后不作特殊说明都有a，b∈R，其中的a与b分别叫做复数z 的实部与虚部．[点睛] 复数概念的三点说明(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋b i(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.(2)复数的虚部是实数b而非b i.(3)复数z＝a＋b i只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．2．复数相等a＋b i|a，b∈R中任取两个数a＋b i，c＋d i(a，b，c，d∈R)，我们规在复数集C＝{}定：a＋b i与c＋d i相等的充要条件是a＝c且b＝d.3．复数的分类对于复数a＋b i，当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b ≠0时，叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z ＝a ＋b i 可以分类如下：复数z ⎩⎪⎨⎪⎧实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)(当a ＝0时为纯虚数).[点睛] 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( ) (2)若a 为实数，则z ＝a 一定不是虚数．( )(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．(1＋3)i 的实部与虚部分别是( ) A ．1， 3 B ．1＋3，0 C ．0,1＋ 3 D ．0，(1＋3)i答案：C3．复数z ＝(m 2－1)＋(m －1)i(m ∈R)是纯虚数，则有( ) A ．m ＝±1 B ．m ＝－1 C ．m ＝1 D ．m ≠1答案：B[典例] 实数x 分别取什么值时，复数z ＝x ＋3＋(x 2－2x －15)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[解] (1)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15＝0，x ＋3≠0，即x ＝5时，z 是实数．(2)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ≠－3且x ≠5时，z 是虚数．(3)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋3＝0，x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ＝－2或x ＝3时，z 是纯虚数．复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )时应先转化形式．(2)注意分清复数分类中的条件设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则①z 为实数⇔b ＝0，②z 为虚数⇔b ≠0，③z 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0.④z ＝0⇔a ＝0，且b ＝0.[活学活用]当m 为何值时，复数z ＝m 2(1＋i)－m (3＋i)－6i ，m ∈R，是实数？是虚数？是纯虚数？ 解：∵z ＝(m 2－3m )＋(m 2－m －6)i ，∴(1)当m 满足m 2－m －6＝0，即m ＝－2或m ＝3时，z 为实数． (2)当m 满足m 2－m －6≠0，即m≠－2且m ≠3时，z 为虚数．(3)当m 满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0，m 2－m －6≠0，即m ＝0时，z 为纯虚数.复数相等[典例] m 的值为________，方程的实根x 为________．[解析] 设a 是原方程的实根， 则a 2＋(1－2i)a ＋(3m －i)＝0， 即(a 2＋a ＋3m )－(2a ＋1)i ＝0＋0i ， 所以a 2＋a ＋3m ＝0且2a ＋1＝0， 所以a ＝－12且⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－12＋3m ＝0，所以m ＝112.[答案]112 －12[一题多变]1．[变条件]若将本例中的方程改为：x 2＋mx ＋2x i ＝－1－m i 如何求解？解：设实根为x 0，代入方程，由复数相等定义，得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋mx 0＝－1，2x 0＝－m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，m ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，m ＝2，因此，当m ＝－2时，原方程的实根为x ＝1，当m ＝2时，原方程的实根为x ＝－1. 2．[变条件]若将本例中的方程改为：3x 2－m2x －1＝(10－x －2x 2)i ，如何求解？解：设方程实根为x 0，则原方程可变为3x 20－m2x 0－1＝(10－x 0－2x 20)i ，由复数相等定义，得：⎩⎪⎨⎪⎧3x 20－m 2x 0－1＝0，10－x 0－2x 20＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，m ＝11或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－52，m ＝－715，因此，当m ＝11时，原方程的实根为x ＝2； 当m ＝－715时，原方程的实根为x ＝－52.复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．层级一 学业水平达标1．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3iB ．3＋iC ．－2＋2iD.2＋2i解析：选A 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，故选A. 2．4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．1或－4 C ．－4D ．0或－4解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.3．下列命题中：①若x ，y ∈C，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1；②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；③若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3；④若实数a 与a i 对应，则实数集与复数集一一对应．正确的命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选A ①取x ＝i ，y ＝－i ，则x ＋y i ＝1＋i ，但不满足x ＝y ＝1，故①错； ②③错；对于④，a ＝0时，a i ＝0，④错，故选A.4．复数z ＝a 2－b 2＋(a ＋|a |)i(a ，b ∈R)为实数的充要条件是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ＜0且a ＝－b C ．a ＞0且a ≠bD ．a ≤0解析：选D 复数z 为实数的充要条件是a ＋|a |＝0，故a ≤0.5．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为( ) A.π4B.π4或54π C ．2k π＋π4(k ∈Z)D ．k π＋π4(k ∈Z)解析：选D 由复数相等定义得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝sin θ，sin θ＝cos θ，∴tan θ＝1，∴θ＝k π＋π4(k ∈Z)，故选D. 6．下列命题中：①若a ∈R，则a i 为纯虚数；②若a ，b ∈R，且a ＞b ，则a ＋i ＞b ＋i ；③两个虚数不能比较大小；④x ＋y i 的实部、虚部分别为x ，y .其中正确命题的序号是________．解析：①当a ＝0时，0i ＝0，故①不正确；②虚数不能比较大小，故②不正确；③正确；④x ＋y i 中未标注x ，y ∈R，故若x ，y 为复数，则x ＋y i 的实部、虚部未必是x ，y .答案：③7．如果(m 2－1)＋(m 2－2m )i ＞1则实数m 的值为______．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2－1＞1，解得m ＝2.答案：28．已知z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝________，n ＝________.解析：由复数相等的充要条件有⎩⎪⎨⎪⎧n 2－3m －1＝－3，n 2－m －6＝－4⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝±2.答案：2 ±29．设复数z ＝log 2(m 2－3m －3)＋log 2(3－m )i ，m ∈R，如果z 是纯虚数，求m 的值．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －3＞0，3－m ＞0，log 2(m 2－3m －3)＝0，log 2(3－m )≠0，解得m ＝－1.10．求适合等式(2x －1)＋i ＝y ＋(y －3)i 的x ，y 的值．其中x ∈R，y 是纯虚数． 解：设y ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，代入等式得(2x －1)＋i ＝b i ＋(b i －3)i ， 即(2x －1)＋i ＝－b ＋(b －3)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝－b ，1＝b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，b ＝4.即x ＝－32，y ＝4i.层级二 应试能力达标1．若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R)不是纯虚数，则( ) A ．a ＝－1 B ．a ≠－1且a ≠2 C ．a ≠－1D ．a ≠2解析：选C 若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i 不是纯虚数，则有a 2－a －2≠0或|a －1|－1＝0，解得a ≠－1.故应选C.2．已知集合M ＝{1，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{1,3}，M ∩N ＝{1,3}，则实数m 的值为( )A ．4B ．－1C ．4或－1D ．1或6解析：选B 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0，∴m ＝－1.3．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R)有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于( )A ．3＋iB ．3－iC ．－3－iD ．－3＋i解析：选B 由题意知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋mn ＋2＝0，2n ＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝－1.∴z ＝3－i ，故应选B.4．若复数z 1＝sin 2θ＋icos θ，z 2＝cos θ＋i 3sin θ(θ∈R)，z 1＝z 2，则θ等于( )A ．k π(k ∈Z)B ．2k π＋π3(k ∈Z)C ．2k π±π6(k ∈Z)D ．2k π＋π6(k ∈Z)解析：选D 由复数相等的定义可知，⎩⎨⎧sin 2θ＝cos θ，cos θ＝3sin θ.∴cos θ＝32，sin θ＝12.∴θ＝π6＋2k π，k ∈Z，故选D. 5．已知z 1＝(－4a ＋1)＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R.若z 1＞z 2，则a 的取值集合为________．解析：∵z 1＞z 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1＞2a ，∴a ＝0，故所求a 的取值集合为{0}． 答案：{0}6．若a －2i ＝b i ＋1(a ，b ∈R)，则b ＋a i ＝________. 解析：根据复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，∴b ＋a i ＝－2＋i. 答案：－2＋i7．定义运算＝ad －bc ，如果(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝，求实数x ，y 的值．解：由定义运算＝ad －bc ，得＝3x ＋2y ＋y i ，故有(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝3x ＋2y ＋y i.因为x ，y 为实数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x ＋2y ，x ＋3＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x ＋3＝y ，得x ＝－1，y ＝2.8．已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i,8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}满足M ∩N ⊆M ，求实数a ，b 的值．解：依题意，得(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ，① 或8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i.② 由①，得a ＝－3，b ＝±2， 由②，得a ＝±3，b ＝－2.综上，a ＝－3，b ＝2，或a ＝－3，b ＝－2或a ＝3，b ＝－2.。

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复数的确立有了实数概念,人们就解决了过去仅有有理数概念时所不能解决的不可公度和开方开不尽等矛盾．但后来随着生产实践的深入发展,又产生了新的矛盾，如负数开平方是什么？众所周知,在实数范围内，任何一个正数或负数的平方都得正数,或者说,没有一个数的平方会等于负已超出实数范围．与实数相比较，当时人们把这样的数称之为“虚数”，以示“不存在”、“虚无”的意思．后来，人们经过长期实践逐步认识到，“虚数”并不虚无,还把虚数与实数的复合形式a+a b，为实数）称为复数．于是，在数的概念中，又引进了复数的概念，数的系统得到了再一次的扩充．“虚数”概念的确立，是一个漫长而曲折的过程,大体可分为以下几个阶段：第一，问题提出阶段．早在公元前,在解决生产实际问题时,人们就遇到了负数开平方问题，例如，解方程210x+=时，又遇到了负数开平方．例如，公元七世纪，我国唐代的《辑古算经》中，就有三次方程问题及其解法．但一直到十六世纪以前，无论是我国还是外国，虽然研究并解决了许多三次方程问题，但对负数开平方问题仍采取回避的态度．就是说，问题是提出来了，但没有解决．第二、理论探讨阶段．到了十六世纪，人们已获得了三次方程的一般求解公式:30x px q++=（p q，为实数）有x①后来，人们发现，某些三次方程有实根,但用公式①求不出实根，于是出现了矛盾．例如，31540--=，显然有实根4x xx=．但应用公式①，则得x=+=+=如何解决这一矛盾？当时,人们从理论上进行了探讨,充分发挥了辩证思维的能动作用．例如，1572年,意大利数学家邦别利（Ｒ．Ｂombelli ，1526—1572），从21=-出发，证得332(22(2⎧+=+⎪⎨-⎪⎩ ③将③代入②，得x 224=． 这样,就解决了用公式①求不出实根的矛盾．不仅如此，还逐渐建立了关于虚数的一些运算法则．虚数开始得到人们的承认．第三，实践检验阶段．有了虚数概念之后，人们在理论上把数的概念由实数扩展到了复数．但是,在相当长的时期里，一些人对虚数和复数的存在是有怀疑的．十六世纪的意大利数学家卡当（Ｇ．Ｃardane,1501-1576）仍称复数为“似实而虚的”数．十七、十八世纪,人们努力寻找复数的几何表示和物理意义．到了十九世纪，人们最终作出了复数的各种几何解释，它被理解为平面上的点或矢量，并与物理学上的各种矢量联系起来了．这样,复数在物理学的实际研究中首先得到了一些应用,并受到了初步检验．这种应用，反过来又推动了复数理论的进一步发展，逐渐形成了一门重要的数学分支-——复变函数论．复变函数论在解决与弹性力学、电工学、空气动力学、流体力学等有关的生产实际问题中显示出，它是一种很有效的数学工具．既然复变函数论在实践中得到了检验，证明它是科学的数学理论，那么,作为这种理论的基本概念的复数及虚数，也就一同在实践中得到了检验，证明它是科学的数学概念． 复数确立之后,数的概念得到了又一次扩展．。