教育最新K12九年级数学下册第27章圆27.1圆的认识27.1.2.2垂径定理同步练习

27.1.2 圆的对称性
第2课时 垂径定理
知|识|目|标
1．通过折叠、作图等方法，探索出圆是轴对称图形．
2．通过圆的对称性探索出垂径定理及其推论，会用垂径定理解决有关的证明和计算问题．
3．会利用垂径定理解决实际生活中的问题．
目标一 理解圆的轴对称性
例1 教材补充例题 下列说法正确的是( )
A ．每一条直径都是圆的对称轴
B ．圆的对称轴是唯一的
C ．圆的对称轴一定经过圆心
D ．圆的对称轴是经过圆内任意一点的直线
【归纳总结】圆的对称轴的“两点注意”：
(1)圆有无数条对称轴，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．
(2)对称轴是直线而不是线段，所以说“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成“圆的对称轴是经过圆心的每一条直线”．
目标二 能应用垂径定理及其推论进行证明或计算
例2 教材补充例题 如图27－1－9，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不成立的是( )
图27－1－9
A ．CM ＝DM B.C
B ︵＝DB ︵
C ．∠AC
D ＝∠ADC D ．OM ＝MB
【归纳总结】垂径定理的“三点注意”：
(1)垂径定理中的直径可以是直径、半径或过圆心的直线(线段)，其本质是“过圆心”．
(2)当垂径定理中的弦为直径时，结论仍然成立．
(3)平分两条弧是指平分这条弦所对的优弧和劣弧，不要漏掉优弧．
例3 教材补充例题 如图27－1－10，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，AB ⊥CD ，垂足为H ，连结BC ，BD .
(1)求证：BC ＝BD ；
(2)已知CD ＝6，OH ＝2，求⊙O 的半径．
图27－1－10
【归纳总结】垂径定理中常作的两种辅助线：
(1)若已知圆心，则过圆心作垂直于弦的直径(或半径或线段)．
(2)若已知弧、弦的中点，则作弧、弦中点的连线或连结圆心和弦的端点等．
目标三 会用垂径定理解决实际生活中的问题
例4 高频考题“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”题目用现在的数学语言表达如下：如图27－1－11所示，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝10寸，求直径CD 的长．请你解决这个问题．
图27－1－11
【归纳总结】垂径定理基本图形中的“四变量、两关系”：
1．四变量：设弦长为a ，圆心到弦的距离为d ，半径为r ，弧的中点到弦的距离(弓形高)为h ，这四个变量知道其中任意两个即可求出其他两个．
2．两关系：(1)(a 2
)2＋d 2＝r 2
； (2)h ＋d ＝r .
图27－1－12
知识点一 圆的轴对称性
圆是____________，它的任意一条直径所在的直线都是它的________，圆有________条对称轴．
知识点二 垂径定理及其推论
垂直于弦的直径__________，并且____________．
推论： 平分弦(不是直径)的直径____________，并且______________________；平分弧的直
径垂直平分这条弧所对的弦．
已知CD 是⊙O 的一条弦，作直径AB ，使AB ⊥CD ，垂足为E ，若AB ＝10，CD ＝8，求BE 的长． 解：如图27－1－13，连结OC ，则OC ＝5.
∵AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD ，
∴CE ＝12CD ＝4.
在Rt △OCE 中，
OE ＝OC 2－CE 2＝3，
∴BE ＝OB ＋OE ＝5＋3＝8.
图27－1－13 以上解答过程完整吗？若不完整，请进行补充．
教师详解详析
【目标突破】
例1 [解析] C 因为对称轴是直线，不是线段，而圆的直径是线段，故A 不正确；因为圆的对称轴有无数条，故B 不正确；因为圆的对称轴是直径所在的直线，所以一定经过圆心，故D 不正确，C 正确．故选C .
例2 [解析] D ∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，∴M 为CD 的中点，即CM ＝DM ，
故选项A 成立；由垂径定理可得CB ︵＝DB ︵，故选项B 成立；在△ACM 和△ADM 中，∵AM ＝AM ，∠
AMC ＝∠AMD ＝90°，CM ＝DM ，∴△ACM ≌△ADM ，∴∠ACD ＝∠ADC ，故选项C 成立；而OM 与MB 不一定相等，故选项D 不成立．故选D .
例3 解：(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，AB ⊥CD ，∴BC ︵＝BD ︵，∴BC ＝BD.
(2)如图，连结OC.
∵AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，AB ⊥CD ，CD ＝6，∴CH ＝3，
∴OC ＝OH 2＋CH 2＝22＋32
＝13，
故⊙O 的半径为13.
例4 [解析] 连结OA ，构造Rt △AOE ，利用勾股定理及垂径定理解答． 解：连结OA.
∵CD ⊥AB 于点E ，CD 为⊙O 的直径，
∴AE ＝12AB ＝12
×10＝5(寸)． 在Rt △AEO 中，设AO ＝x 寸，
则OE ＝(x －1)寸．
由勾股定理，得x 2＝52＋(x －1)2，
解得x ＝13.
∴AO ＝13寸，∴CD ＝2AO ＝26寸．
答：直径CD 的长为26寸．
【总结反思】
[小结] 知识点一 轴对称图形 对称轴 无数
知识点二 平分这条弦 平分这条弦所对的两条弧 垂直于这条弦 平分这条弦所对的两条弧
[反思]
不完整．补充如下：
如图，当垂足E 在线段OB 上时，
此时，BE ＝OB －OE ＝5－3＝2.
∴BE 的长为8或2.。