稳中求变变中求新2020北京中考数学试题解析

2019北京中考数学试卷总分从120分降为100分
据北京市教委专家介绍，今年中考数学试题延续了2015年至2017年试题“稳中求变，变中求新”的特点，体现了“保持稳定、减法优先、优化结构”的原则。

同时，在试卷结构和题目类型方面有所变化，数学试卷总分从120分降为100分，考试时间保持2个小时不变，题量由原来的29道变为28道。

单选题和填空题每道题的分值由3分降为2分，减少了2道单选题和1道简单解答题，增加了2道填空题。

上述专家表示，试题强化了育人导向，坚持了水平立意、注重基础、宽广融通。

注重学科思想方法，注重对基础知识、基本技能、基本思想方法和基本活动经验的考查，突出数学核心概念和核心素养的考查。

试卷内容对重点知识点做到基本覆盖。

“试题来源于教材，站位又高于教材，难度设置适中。

”市考试院专家介绍，今年数学试卷扩大试题选材范围，增强与学生生活实际的联系，试题贴近生活，注重知识的使用和实践，考查了学生的做事水平。

比如第14题以公交车运行情况为背景，考查学生对于概率意义的理解，体现在解决现实问题采取策略时概率所起的重要作用；第15题以租船费用为背景，通过探求解决实际问题的方案，考查学生使用所学知识分析解决实际问题的水平。

此外，中考数学卷也考查了“中国天眼”的相关内容，此前“天眼”已经出现在北京高考试卷中。

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2020年北京市中考数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）（2020•北京）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．圆椎C．三棱柱D．长方体2．（2分）（2020•北京）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为（）A．0.36×105B．3.6×105C．3.6×104D．36×1033．（2分）（2020•北京）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（）A．∠1＝∠2B．∠2＝∠3C．∠1＞∠4+∠5D．∠2＜∠5 4．（2分）（2020•北京）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．（2分）（2020•北京）正五边形的外角和为（）A．180°B．360°C．540°D．720°6．（2分）（2020•北京）实数a 在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b 满足﹣a ＜b ＜a ，则b 的值可以是（ ）A ．2B ．﹣1C ．﹣2D ．﹣37．（2分）（2020•北京）不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．238．（2分）（2020•北京）有一个装有水的容器，如图所示，容器内的水面高度是10cm ，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm 的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（ ）A ．正比例函数关系B ．一次函数关系C ．二次函数关系D ．反比例函数关系二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．（2分）（2020•北京）若代数式1x−7有意义，则实数x 的取值范围是 ．10．（2分）（2020•北京）已知关于x 的方程x 2+2x +k ＝0有两个相等的实数根，则k 的值是 ．11．（2分）（2020•北京）写出一个比√2大且比√15小的整数 ． 12．（2分）（2020•北京）方程组{x −y =13x +y =7的解为 ．13．（2分）（2020•北京）在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x 与双曲线y =mx交于A ，B 两点．若点A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2，则y 1+y 2的值为 ．14．（2分）（2020•北京）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在BC 上（不与点B ，C 重合）．只需添加一个条件即可证明△ABD ≌△ACD ，这个条件可以是 （写出一个即可）．15．（2分）（2020•北京）如图所示的网格是正方形网格，A ，B ，C ，D 是网格线交点，则△ABC 的面积与△ABD 的面积的大小关系为：S △ABC S △ABD （填“＞”，“＝”或“＜”）．16．（2分）（2020•北京）如图是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小，如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一个购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序 ．三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）（2020•北京）计算：（13）﹣1+√18+|﹣2|﹣6sin45°．18．（5分）（2020•北京）解不等式组：{5x −3＞2x ，2x−13＜x 2．19．（5分）（2020•北京）已知5x 2﹣x ﹣1＝0，求代数式（3x +2）（3x ﹣2）+x （x ﹣2）的值． 20．（5分）（2020•北京）已知：如图，△ABC 为锐角三角形，AB ＝AC ，CD ∥AB ． 求作：线段BP ，使得点P 在直线CD 上，且∠ABP =12∠BAC ．作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作的线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵CD∥AB，∴∠ABP＝．∵AB＝AC，∴点B在⊙A上．又∵点C，P都在⊙A上，∴∠BPC=12∠BAC（）（填推理的依据）．∴∠ABP=12∠BAC．21．（6分）（2020•北京）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．22．（5分）（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（1，2）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b 的值，直接写出m的取值范围．23．（6分）（2020•北京）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．（1）求证：∠ADC＝∠AOF；（2）若sin C=13，BD＝8，求EF的长．24．（6分）（2020•北京）小云在学习过程中遇到一个函数y=16|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：（1）当﹣2≤x＜0时，对于函数y1＝|x|，即y1＝﹣x，当﹣2≤x＜0时，y1随x的增大而，且y1＞0；对于函数y2＝x2﹣x+1，当﹣2≤x＜0时，y2随x的增大而，且y2＞0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当﹣2≤x＜0时，y随x的增大而．（2）当x≥0时，对于函数y，当x≥0时，y与x的几组对应值如下表：x0121322523…y0116167161954872…结合上表，进一步探究发现，当x≥0时，y随x的增大而增大．在平面直角坐标系xOy 中，画出当x≥0时的函数y的图象．（3）过点（0，m）（m＞0）作平行于x轴的直线l，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l与函数y=16|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）的图象有两个交点，则m的最大值是．25．（5分）（2020•北京）小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下：a．小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图：b．小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：时段1日至10日11日至20日21日至30日平均数100170250（1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为（结果取整数）；（2）已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的倍（结果保留小数点后一位）；（3）记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为s12，5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为s22，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为s32．直接写出s12，s22，s32的大小关系．26．（6分）（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y ＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2．（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．27．（7分）（2020•北京）在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线AC上一动点，连接DE．过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设AE＝a，BF＝b，求EF的长（用含a，b的式子表示）；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF 之间的数量关系，并证明．28．（7分）（2020•北京）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，A ，B 为⊙O 外两点，AB ＝1．给出如下定义：平移线段AB ，得到⊙O 的弦A 'B '（A '，B ′分别为点A ，B 的对应点），线段AA '长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB 得到⊙O 的长度为1的弦P 1P 2和P 3P 4，则这两条弦的位置关系是 ；在点P 1，P 2，P 3，P 4中，连接点A 与点 的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”；（2）若点A ，B 都在直线y =√3x +2√3上，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d 1，求d 1的最小值；（3）若点A 的坐标为（2，32），记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d 2，直接写出d 2的取值范围．2020年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）（2020•北京）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．圆椎C．三棱柱D．长方体【解答】解：该几何体是长方体，故选：D．2．（2分）（2020•北京）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为（）A．0.36×105B．3.6×105C．3.6×104D．36×103【解答】解：36000＝3.6×104，故选：C．3．（2分）（2020•北京）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（）A．∠1＝∠2B．∠2＝∠3C．∠1＞∠4+∠5D．∠2＜∠5【解答】解：A．∵∠1和∠2是对顶角，∴∠1＝∠2，故A正确；B．∵∠2＝∠A+∠3，∴∠2＞∠3，故B错误；C．∵∠1＝∠4+∠5，故③错误；D．∵∠2＝∠4+∠5，∴∠2＞∠5；故D错误；故选：A．4．（2分）（2020•北京）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；D、既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意．故选：D．5．（2分）（2020•北京）正五边形的外角和为（）A．180°B．360°C．540°D．720°【解答】解：任意多边形的外角和都是360°，故正五边形的外角和的度数为360°．故选：B．6．（2分）（2020•北京）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足﹣a＜b＜a，则b的值可以是（）A．2B．﹣1C．﹣2D．﹣3【解答】解：因为1＜a ＜2， 所以﹣2＜﹣a ＜﹣1， 因为﹣a ＜b ＜a ， 所以b 只能是﹣1． 故选：B ．7．（2分）（2020•北京）不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．23【解答】解：列表如下：1 2 1 2 3 234由表可知，共有4种等可能结果，其中两次记录的数字之和为3的有2种结果， 所以两次记录的数字之和为3的概率为24=12，故选：C ．8．（2分）（2020•北京）有一个装有水的容器，如图所示，容器内的水面高度是10cm ，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm 的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（ ）A ．正比例函数关系B ．一次函数关系C ．二次函数关系D ．反比例函数关系【解答】解：设容器内的水面高度为h ，注水时间为t ，根据题意得： h ＝0.2t +10，∴容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系． 故选：B ．二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．（2分）（2020•北京）若代数式1x−7有意义，则实数x 的取值范围是 x ≠7 ．【解答】解：若代数式1x−7有意义，则x ﹣7≠0， 解得：x ≠7． 故答案为：x ≠7．10．（2分）（2020•北京）已知关于x 的方程x 2+2x +k ＝0有两个相等的实数根，则k 的值是 1 ．【解答】解：∵关于x 的方程x 2+2x +k ＝0有两个相等的实数根， ∴△＝22﹣4×1×k ＝0， 解得：k ＝1． 故答案为：1．11．（2分）（2020•北京）写出一个比√2大且比√15小的整数 2或3（答案不唯一） ． 【解答】解：∵1＜√2＜2，3＜√15＜4，∴比√2大且比√15小的整数2或3（答案不唯一）． 故答案为：2或3（答案不唯一）．12．（2分）（2020•北京）方程组{x −y =13x +y =7的解为 {x =2y =1 ．【解答】解：{x −y =1①3x +y =7②，①+②得：4x ＝8， 解得：x ＝2，把x ＝2代入①得：y ＝1， 则方程组的解为{x =2y =1．故答案为：{x =2y =1．13．（2分）（2020•北京）在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x 与双曲线y =mx 交于A ，B 两点．若点A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2，则y 1+y 2的值为 0 ．【解答】解：∵直线y ＝x 与双曲线y =mx交于A ，B 两点， ∴联立方程组得：{y =xy =m x，解得：{x 1=√m y 1=√m ，{x2=−√my2=−√m ，∴y 1+y 2＝0， 故答案为：0．14．（2分）（2020•北京）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在BC 上（不与点B ，C 重合）．只需添加一个条件即可证明△ABD ≌△ACD ，这个条件可以是 BD ＝CD （写出一个即可）．【解答】解：∵AB ＝AC ， ∴∠ABD ＝∠ACD ， 添加BD ＝CD ， ∴在△ABD 与△ACD 中 {AB =AC∠ABD =∠ACD BD =CD， ∴△ABD ≌△ACD （SAS ）， 故答案为：BD ＝CD ．15．（2分）（2020•北京）如图所示的网格是正方形网格，A ，B ，C ，D 是网格线交点，则△ABC 的面积与△ABD 的面积的大小关系为：S △ABC ＝ S △ABD （填“＞”，“＝”或“＜”）．【解答】解：∵S △ABC =12×2×4＝4，S △ABD ＝2×5−12×5×1−12×1×3−12×2×2＝4， ∴S △ABC ＝S △ABD ， 故答案为：＝．16．（2分）（2020•北京）如图是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小，如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一个购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序 丙、丁、甲、乙 ．【解答】解：根据题意，丙第一个购票，只能购买3，1，2，4号票， 此时，3号左边有6个座位，4号右边有5个座位，即甲、乙购买的票只要在丙的同侧，四个人购买的票全在第一排， ①第二个丁可以购买3号左边的5个座位，另一侧的座位甲和乙购买， 即丙（3，1，2，4）、丁（5，7，9，11，13）、甲（6，8）、乙（10，12，14）， 或丙（3，1，2，4）、丁（5，7，9，11，13）、乙（6，8，10）、甲（12，14）； ②第二个由甲或乙购买，此时，只能购买5，7号票，第三个购买的只能是丁，且只能购买6，8，10，12，14号票， 此时，四个人购买的票全在第一排，即丙（3，1，2，4）、甲（5，7）、丁（6，8，10，12，14）、乙（9，11，13）， 或丙（3，1，2，4）、乙（5，7，9）、丁（6，8，10，12，14）、甲（11，13）， 因此，第一个是丙购买票，丁只要不是最后一个购买票的人，都能使四个人购买的票全在第一排，故答案为：丙、丁、甲、乙．三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）（2020•北京）计算：（13）﹣1+√18+|﹣2|﹣6sin45°．【解答】解：原式＝3+3√2+2﹣6×√22 ＝3+3√2+2﹣3√2＝5．18．（5分）（2020•北京）解不等式组：{5x −3＞2x ，2x−13＜x 2．【解答】解：解不等式5x ﹣3＞2x ，得：x ＞1， 解不等式2x−13＜x2，得：x ＜2，则不等式组的解集为1＜x ＜2．19．（5分）（2020•北京）已知5x 2﹣x ﹣1＝0，求代数式（3x +2）（3x ﹣2）+x （x ﹣2）的值． 【解答】解：（3x +2）（3x ﹣2）+x （x ﹣2） ＝9x 2﹣4+x 2﹣2x ＝10x 2﹣2x ﹣4， ∵5x 2﹣x ﹣1＝0， ∴5x 2﹣x ＝1，∴原式＝2（5x 2﹣x ）﹣4＝﹣2．20．（5分）（2020•北京）已知：如图，△ABC 为锐角三角形，AB ＝AC ，CD ∥AB ． 求作：线段BP ，使得点P 在直线CD 上，且∠ABP =12∠BAC ． 作法：①以点A 为圆心，AC 长为半径画圆，交直线CD 于C ，P 两点； ②连接BP ．线段BP 就是所求作的线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵CD ∥AB ， ∴∠ABP ＝ ∠BPC ． ∵AB ＝AC ， ∴点B 在⊙A 上． 又∵点C ，P 都在⊙A 上，∴∠BPC =12∠BAC （ 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半 ）（填推理的依据）． ∴∠ABP =12∠BAC ．【解答】解：（1）如图，即为补全的图形；（2）证明：∵CD∥AB，∴∠ABP＝∠BPC．∵AB＝AC，∴点B在⊙A上．又∵点C，P都在⊙A上，∴∠BPC=12∠BAC（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半），∴∠ABP=12∠BAC．故答案为：∠BPC，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．21．（6分）（2020•北京）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∠DAO＝∠BAO，∵E是AD的中点，∴AE＝OE=12AD，∴∠EAO＝∠AOE，∴∠AOE＝∠BAO，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形，∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴四边形OEFG是矩形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，∴∠AOD＝90°，∵E是AD的中点，∴OE＝AE=12AD＝5；由（1）知，四边形OEFG是矩形，∴FG＝OE＝5，∵AE＝5，EF＝4，∴AF=√AE2−EF2=3，∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．22．（5分）（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（1，2）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b 的值，直接写出m的取值范围．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由直线y＝x平移得到，∴k＝1，将点（1，2）代入y＝x+b，得1+b＝2，解得b＝1，∴一次函数的解析式为y＝x+1；（2）把点（1，2）代入y＝mx求得m＝2，∵当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝x+1的值，∴m≥2．23．（6分）（2020•北京）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．（1）求证：∠ADC＝∠AOF；（2）若sin C=13，BD＝8，求EF的长．【解答】解：（1）连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，∵OF⊥AD，∴OF∥BD，∴∠AOF＝∠B，∵CD 是⊙O 的切线，D 为切点， ∴∠CDO ＝90°，∴∠CDA +∠ADO ＝∠ADO +∠BDO ＝90°， ∴∠CDA ＝∠BDO ， ∵OD ＝OB ， ∴∠ODB ＝∠B ， ∴∠AOF ＝∠ADC ； （2）∵OF ∥BD ，AO ＝OB ， ∴AE ＝DE ， ∴OE =12BD =12×8＝4， ∵sin C =OD OC =13， ∴设OD ＝x ，OC ＝3x ， ∴OB ＝x ， ∴CB ＝4x ， ∵OF ∥BD ， ∴△COF ∽△CBD ， ∴OC BC =OF BD ，∴3x 4x=OF 8，∴OF ＝6，∴EF ＝OF ﹣OE ＝6﹣4＝2．24．（6分）（2020•北京）小云在学习过程中遇到一个函数y =16|x |（x 2﹣x +1）（x ≥﹣2）． 下面是小云对其探究的过程，请补充完整：（1）当﹣2≤x ＜0时，对于函数y 1＝|x |，即y 1＝﹣x ，当﹣2≤x ＜0时，y 1随x 的增大而 减小 ，且y 1＞0；对于函数y 2＝x 2﹣x +1，当﹣2≤x ＜0时，y 2随x 的增大而 减小 ，且y 2＞0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y ，当﹣2≤x ＜0时，y 随x 的增大而 减小 ．（2）当x ≥0时，对于函数y ，当x ≥0时，y 与x 的几组对应值如下表： x 0 12 1322523… y116167161954872…结合上表，进一步探究发现，当x ≥0时，y 随x 的增大而增大．在平面直角坐标系xOy 中，画出当x ≥0时的函数y 的图象．（3）过点（0，m ）（m ＞0）作平行于x 轴的直线l ，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l 与函数y =16|x |（x 2﹣x +1）（x ≥﹣2）的图象有两个交点，则m 的最大值是73．【解答】解：（1）当﹣2≤x ＜0时，对于函数y 1＝|x |，即y 1＝﹣x ，当﹣2≤x ＜0时，y 1随x 的增大而减小，且y 1＞0；对于函数y 2＝x 2﹣x +1，当﹣2≤x ＜0时，y 2随x 的增大而减小，且y 2＞0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y ，当﹣2≤x ＜0时，y 随x 的增大而减小．故答案为：减小，减小，减小．（2）函数图象如图所示：（3）∵直线l 与函数y =16|x |（x 2﹣x +1）（x ≥﹣2）的图象有两个交点， 观察图象可知，x ＝﹣2时，m 的值最大，最大值m =16×2×（4+2+1）=73， 故答案为7325．（5分）（2020•北京）小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下：a ．小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图：b ．小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：时段 1日至10日11日至20日21日至30日平均数100170250（1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为 173 （结果取整数）； （2）已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的 2.9 倍（结果保留小数点后一位）；（3）记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为s 12，5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为s 22，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为s 32．直接写出s 12，s 22，s 32的大小关系．【解答】解：（1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为100×10+170×10+250×1030≈173（千克），故答案为：173；（2）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的17360≈2.9（倍），故答案为：2.9；（3）由小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图知，第1个10天的分出量最分散、第3个10天分出量最为集中， ∴s 12＞s 22＞s 32．26．（6分）（2020•北京）在平面直角坐标系xOy 中，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2．（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．【解答】解：（1）由题意y1＝y2＝c，∴x1＝0，∵对称轴x＝1，∴M，N关于x＝1对称，∴x2＝2，∴x1＝0，x2＝2时，y1＝y2＝c．（2）∵抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，当x1+x2＝3，且y1＝y2时，对称轴x=3 2，观察图象可知满足条件的值为：t≤3 2．27．（7分）（2020•北京）在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线AC上一动点，连接DE．过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设AE＝a，BF＝b，求EF的长（用含a，b的式子表示）；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF 之间的数量关系，并证明．【解答】解：（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点，∴DE∥BC，DE=12BC，∵∠ACB＝90°，∴∠DEC＝90°，∵DF⊥DE，∴∠EDF ＝90°，∴四边形CEDF 是矩形，∴DE ＝CF =12BC ，∴CF ＝BF ＝b ，∵CE ＝AE ＝a ，∴EF =√CF 2+CE 2=√a 2+b 2；（2）AE 2+BF 2＝EF 2．证明：过点B 作BM ∥AC ，与ED 的延长线交于点M ，连接MF ，则∠AED ＝∠BMD ，∠CBM ＝∠ACB ＝90°，∵D 点是AB 的中点，∴AD ＝BD ，在△ADE 和△BDM 中，{∠AED =∠BMD∠ADE =∠BDM AD =BD，∴△ADE ≌△BDM （AAS ），∴AE ＝BM ，DE ＝DM ，∵DF ⊥DE ，∴EF ＝MF ，∵BM 2+BF 2＝MF 2，∴AE 2+BF 2＝EF 2．28．（7分）（2020•北京）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，A ，B 为⊙O 外两点，AB ＝1．给出如下定义：平移线段AB ，得到⊙O 的弦A 'B '（A '，B ′分别为点A ，B 的对应点），线段AA '长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB 得到⊙O 的长度为1的弦P 1P 2和P 3P 4，则这两条弦的位置关系是 P 1P 2∥P 3P 4 ；在点P 1，P 2，P 3，P 4中，连接点A 与点 P 3 的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”；（2）若点A ，B 都在直线y =√3x +2√3上，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d 1，求d 1的最小值；（3）若点A 的坐标为（2，32），记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d 2，直接写出d 2的取值范围．【解答】解：（1）如图，平移线段AB 得到⊙O 的长度为1的弦P 1P 2和P 3P 4，则这两条弦的位置关系是P 1P 2∥P 3P 4；在点P 1，P 2，P 3，P 4中，连接点A 与点P 3的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”．故答案为：P 1P 2∥P 3P 4，P 3．（2）如图1中，作等边△OEF ，点E 在x 轴上，OE ＝EF ＝OF ＝1，设直线y =√3x +2√3交x 轴于M ，交y 轴于N ．则M （﹣2，0），N （0，2√3），过点E 作EH ⊥MN 于H ，∵OM ＝2，ON ＝2√3，∴tan ∠NMO =√3，∴∠NMO ＝60°，∴EH ＝EM •sin60°=√32，观察图象可知，线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d 1的最小值为√32．（3）如图2中，以A 为圆心1为半径作⊙A ，作直线OA 交⊙O 于M ，交⊙A 于N ，以OA ，AB 为邻边构造平行四边形ABDO ，以OD 为边构造等边△ODB ′，等边△OB ′A ′，则AB ∥A ′B ′，AA ′的长即为线段AB 到⊙O 的“平移距离”，当点A ′与M 重合时，AA ′的值最小，最小值＝OA ﹣OM =52−1=32， 当点B 与N 重合时，AA ′的长最大，如图3中，过点A ′作A ′H ⊥OA 于H ．由题意A ′H =√32，AH =12+52=3，∴AA ′的最大值=(32)2+32=√392， ∴32≤d 2≤√392．。

2020年北京市中考数学试题一．选择题（第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）1.如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A. 圆柱B. 圆锥C. 三棱锥D. 长方体2.2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为（ ） A.B.C.D.3.如图，AB 和CD 相交于点O ，则下列结论正确是（ ）A. ∠1=∠2B. ∠2=∠3C. ∠1＞∠4+∠5D. ∠2＜∠54.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）A. B.C. D.5.正五边形外角和为（ ） A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°6.实数在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数满足，则的值可以是（ ）的的50.3610⨯53.610⨯43.610⨯43610⨯a b a b a -<<bA. 2B. -1C. -2D. -37.不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（ ）A.B.C.D.8.有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是10cm ，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm 的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（ ）A. 正比例函数关系B. 一次函数关系C. 二次函数关系D. 反比例函数关系二、填空题9.若代数式有意义，则实数的取值范围是_____． 10.已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______． 11.______． 12.方程组的解为________．13.在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A ，B 两点．若点A ，B 的纵坐标分别为，则的值为_______．14.在ABC 中，AB=AC ，点D 在BC 上（不与点B ，C 重合）．只需添加一个条件即可证明ABD≌ACD ，这个条件可以是________（写出一个即可）1413122317x -x x 220x x k ++=k 137x y x y -=⎧⎨+=⎩xOy y x =my x=12,y y 12y y +15.如图所示的网格是正方形网格，A ，B ，C ，D 是网格交点，则ABC 的面积与ABD 的面积的大小关系为：______（填“＞”，“＝”或“＜”）16.如图是某剧场第一排座位分布图：甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序______．三、解答题（解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）17.计算：18.解不等式组：19.已知，求代数式的值． 20.已知：如图，ABC 为锐角三角形，AB=BC ，CD∥AB． 求作：线段BP ，使得点P 在直线CD上，且∠ABP=． 作法：①以点A 为圆心，AC 长为半径画圆，交直线CD 于C ，P 两点；②连接BP ．线段BP 就是所求作线段．ABC S ABD S 11(|2|6sin 453-+--︒5322132x x x x ->⎧⎪-⎨<⎪⎩2510x x --=(32)(32)(2)x x x x +-+- 12BAC ∠（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵CD∥AB， ∴∠ABP= ． ∵AB=AC， ∴点B 在⊙A 上． 又∵∠BPC=∠BAC（ ）（填推理依据）∴∠ABP=∠BAC21.如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AD 的中点，点F ，G 在AB 上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG 是矩形； （2）若AD=10，EF=4，求OE 和BG 的长．22.在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点(1，2)． （1）求这个一次函数的解析式；（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．23.如图，AB 为⊙O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 是⊙O 的切线，D 为切点，OF⊥AD 于点E ，交CD 于点F ． （1）求证：∠ADC=∠AOF；1212xOy (0)y kx b k =+≠y x =1x >x (0)y mx m =≠y kx b =+m（2）若sinC=，BD=8，求EF 的长．24.小云在学习过程中遇到一个函数．下面是小云对其探究过程，请补充完整：（1）当时，对于函数，即，当时，随的增大而 ，且；对于函数，当时，随的增大而 ，且；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数，当时，随的增大而 ．（2）当时，对于函数，当时，与的几组对应值如下表：1231综合上表，进一步探究发现，当时，随的增大而增大．在平面直角坐标系中，画出当时的函数的图象．的1321||(1)(2)6y x x x x =-+≥-20x -≤<1||y x =1y x =-20x -≤<1y x 10y >221y x x =-+20x -≤<2y x 20y >y 20x -≤<y x 0x ≥y 0x ≥y x x 123252 y 116167169548720x ≥y x xOy 0x ≥y（3）过点(0，m)（）作平行于轴的直线，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线与函数的图象有两个交点，则的最大值是 ． 25.小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下：．小云所住小区5月1日至30日厨余垃圾分出量统计图：．小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：时段 1日至10日 11日至20日 21日至30日平均数 100170250（1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为 （结果取整数）的0m >x l l 21||(1)(2)6y x x x x =-+≥-m a b（2）已知该小区4月厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的 倍（结果保留小数点后一位）；（3）记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为．直接写出的大小关系．26.在平面直角坐标系中，为抛物线上任意两点，其中．（1）若抛物线的对称轴为，当为何值时，（2）设抛物线的对称轴为．若对于，都有，求的取值范围． 27.在中，∠C=90°，AC ＞BC ，D 是AB 的中点．E 为直线上一动点，连接DE ，过点D 作DF⊥DE，交直线BC 于点F ，连接EF ．（1）如图1，当E 是线段AC 的中点时，设，求EF 的长（用含的式子表示）；（2）当点E 在线段CA 的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE ，EF ，BF 之间的数量关系，并证明．28.在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，A ，B 为⊙O 外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB ，得到⊙O 的弦（分别为点A ，B 的对应点），线段长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”．的21,s 22s 23s 222123,,s s s xOy 1122(,),(,)M x y N x y 2(0)y ax bx c a =++>12x x <1x =12,x x 12;y y c ==x t =123x x +>12y y <t ABC ,AE a BF b ==,a b xOy A B '',A B ''AA '（1）如图，平移线段AB 到⊙O 的长度为1的弦和，则这两条弦的位置关系是 ；在点中，连接点A 与点 的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”；（2）若点A ，B 都在直线上，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为，求的最小值；（3）若点A 的坐标为，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为，直接写出的取值范围数学参考答案与解析一．选择题（第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）1.如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A. 圆柱B. 圆锥C. 三棱锥D. 长方体【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图都是长方形即可判断该几何体为长方体． 【详解】解：长方体的三视图都是长方形， 故选D ．【点睛】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是熟知基本几何体的三视图，正确判断几12PP 34P P 1234,,,P P PP y =+1d 1d 32,2⎛⎫⎪⎝⎭2d 2d何体．2.2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为（ ） A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．当原数绝对值大于1时，n 是正数；当原数绝对值小于1时，n 是负数． 【详解】解： 36000=， 故选：C ．【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，熟练掌握科学记数法的表示形式是解题的关键．3.如图，AB 和CD 相交于点O ，则下列结论正确的是（ ）A. ∠1=∠2B. ∠2=∠3C. ∠1＞∠4+∠5D. ∠2＜∠5【答案】A 【解析】 【分析】根据对顶角性质、三角形外角性质分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：由两直线相交，对顶角相等可知A 正确； 由三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和可知 B 选项为∠2＞∠3， C 选项为∠1=∠4+∠5， D 选项为∠2＞∠5．50.3610⨯53.610⨯43.610⨯43610⨯43.610⨯故选：A ．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，对顶角性质，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质进行判断．4.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的定义即可作出判断．【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误； B 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项错误； C 、不轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误； D 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项正确． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形定义，正确理解定义是关键． 5.正五边形的外角和为（ ） A. 180° B. 360° C. 540° D. 720°【答案】B 【解析】 【分析】根据多边形的外角和定理即可得．【详解】任意多边形的外角和都为，与边数无关 故选：B ．【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，熟记多边形的外角和定理是解题关键． 6.实数在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数满足，则的值可以是是的360︒a b a b a -<<b（ ）A. 2B. -1C. -2D. -3【答案】B【解析】【分析】先根据数轴的定义得出a 的取值范围，从而可得出b 的取值范围，由此即可得．【详解】由数轴的定义得：又到原点的距离一定小于2观察四个选项，只有选项B 符合故选：B ．【点睛】本题考查了数轴的定义，熟记并灵活运用数轴的定义是解题关键．7.不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据题意画出树状图，再利用概率公式计算即可．【详解】解：画树状图如下：12a <<21a ∴-<-<-2a ∴<a b a -<< b ∴14131223所以共4种情况：其中满足题意的有两种，所以两次记录的数字之和为3的概率是 故选C ．【点睛】本题考查的是画树状图求解概率，掌握画树状图求概率是解题的关键．8.有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是10cm ，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm 的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（ ）A. 正比例函数关系B. 一次函数关系C. 二次函数关系D. 反比例函数关系【答案】B【解析】【分析】 设水面高度为 注水时间为分钟，根据题意写出与的函数关系式，从而可得答案．【详解】解：设水面高度为 注水时间为分钟，则由题意得：所以容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系，故选B ．【点睛】本题考查的是列函数关系式，判断两个变量之间的函数关系，掌握以上知识是解题的关键．21.42=,hcm t h t ,hcm t 0.210,h t =+二、填空题9.若代数式有意义，则实数的取值范围是_____． 【答案】【解析】【分析】根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．【详解】∵代数式有意义，分母不能为0，可得，即， 故答案为：．【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式分母不为0是解题的关键．10.已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______．【答案】1【解析】【分析】由一元二次方程根的判别式列方程可得答案．【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根，可得判别式，∴，解得：．故答案为：【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的含义是解题的关键．11.______．【答案】2（或3）【解析】【分析】＜2，34，2或3．17x -x 7x ≠17x -70x -≠7x ≠7x ≠x 220x x k ++=k 0= 440k -=1k =1.故答案为：2（或3）【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，也考查了无理数的估算的知识，分别求出与12.方程组的解为________． 【答案】 【解析】【分析】用加减消元法解二元一次方程组即可．【详解】解：两个方程相加可得，∴，将代入，可得， 故答案为：． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组的步骤是解题的关键．13.在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A ，B 两点．若点A ，B 的纵坐标分别为，则的值为_______． 【答案】0【解析】【分析】根据“正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称”即可求解.【详解】解：∵正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O 对称，∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称，∴，137x y x y -=⎧⎨+=⎩21x y =⎧⎨=⎩48x =2x =2x =1x y -=1y =21x y =⎧⎨=⎩xOy y x =m y x=12,y y 12y y +120y y +=故答案为：0.【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数的图像性质，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称这个特点即可解题.14.在ABC 中，AB=AC ，点D 在BC 上（不与点B ，C 重合）．只需添加一个条件即可证明ABD≌ACD ，这个条件可以是________（写出一个即可）【答案】∠BAD=∠CAD（或BD=CD ）【解析】【分析】证明ABD≌ACD ，已经具备 根据选择的判定三角形全等的判定方法可得答案．详解】解：要使则可以添加：∠BAD=∠CAD，此时利用边角边判定：或可以添加：此时利用边边边判定：故答案为：∠BAD=∠CAD 或（）【点睛】本题考查的是三角形全等的判定，属开放性题，掌握三角形全等的判定是解题的关键．15.如图所示的网格是正方形网格，A ，B ，C ，D 是网格交点，则ABC 的面积与ABD 的面积的大小关系为：______（填“＞”，“＝”或“＜”）【 ,,AB AC AD AD ==,,AB AC AD AD == ∴,ABD ACD ≌,ABD ACD ≌,BD CD =,ABD ACD ≌.BD CD = ABC S ABD S【答案】=【解析】【分析】在网格中分别计算出三角形的面积，然后再比较大小即可．【详解】解：如下图所示，设小正方形网格的边长为1个单位，由网格图可得个平方单位， ， 故有=．故答案为：“＝”【点睛】本题考查了三角形的面积公式，在网格中当三角形的底和高不太好求时可以采用割补的方式进行求解，用大的矩形面积减去三个小三角形的面积即得到△ABD 的面积．16.如图是某剧场第一排座位分布图：甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序______．14242ABC S =⨯⨯= 123111=52101513224222⨯---=-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯= ABD S S S S ABC S ABD S【答案】丙，丁，甲，乙【解析】【分析】根据甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数量分别为2，3，4，5可得若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，那么丙选座要尽可能得小，因此丙先选择：1，2，3，4．丁所购票数最多，因此应让丁第二购票，据此判断即可．【详解】解：丙先选择：1，2，3，4．丁选：5，7，9，11，13．甲选：6，8．乙选：10，12，14．∴顺序为丙，丁，甲，乙．（答案不唯一）【点睛】本题考查有理数的加法，认真审题，理解题意是解题的关键．三、解答题（解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）17.计算：【答案】5【解析】【分析】分别计算负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，再合并即可得到答案．【详解】解：原式=【点睛】本题考查的是负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，以及合并同类二次根式，掌握以上的知识是解题的关键．11(|2|6sin 453-+--︒326++-32=++-5.=18.解不等式组： 【答案】【解析】【分析】分别解每一个不等式，然后即可得出解集．【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，∴此不等式组的解集为．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，掌握不等式的解法是解题关键．19.已知，求代数式的值．【答案】，-2【解析】【分析】先按照整式的混合运算化简代数式，注意利用平方差公式进行简便运算，再把变形后，整体代入求值即可．【详解】解：原式=∵，∴，∴，∴原式=．【点睛】本题考查的是整式化简求值，掌握利用平方差公式进行简便运算，整体代入求值是解题的关键．5322132x x x x ->⎧⎪-⎨<⎪⎩12x <<5322132x x x x ->⎧⎪⎨-<⎪⎩①②1x >2x <12x <<2510x x --=(32)(32)(2)x x x x +-+-21024x x --2510x x --=22942x x x -+-2102 4.x x =--2510x x --=251x x -=21022x x -=242-=-20.已知：如图，ABC 为锐角三角形，AB=BC ，CD∥AB．求作：线段BP ，使得点P 在直线CD上，且∠ABP=． 作法：①以点A 为圆心，AC 长为半径画圆，交直线CD 于C ，P 两点；②连接BP ．线段BP 就是所求作线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵CD∥AB，∴∠ABP= ．∵AB=AC，∴点B 在⊙A 上．又∵∠BPC=∠BAC（ ）（填推理依据） ∴∠ABP=∠BAC【答案】（1）见解析；（2）∠BPC，在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【解析】【分析】（1）按照作法的提示，逐步作图即可；（2）利用平行线的性质证明： 再利用圆的性质得到：∠BPC=∠BAC，从而可得答案．【详解】解：（1）依据作图提示作图如下：（2）证明：∵CD∥AB，∴∠ABP= ．12BAC ∠1212,ABP BPC ∠=∠12BPC ∠∵AB=AC，∴点B 在⊙A 上．又∵∠BPC=∠BAC（在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半． ）（填推理依据）∴∠ABP=∠BAC 故答案为：∠BPC；在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．【点睛】本题考查的是作图中复杂作图，同时考查了平行线的性质，圆的基本性质：在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．掌握以上知识是解题的关键．21.如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AD 的中点，点F ，G 在AB 上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG 是矩形；（2）若AD=10，EF=4，求OE 和BG 的长．【答案】(1)见解析；(2)OE=5，BG=2.【解析】【分析】(1)先证明EO 是△DAB 的中位线，再结合已知条件OG ∥EF ，得到四边形OEFG 是平行四边形，再由条件EF ⊥AB ，得到四边形OEFG 是矩形；(2)先求出AE=5，由勾股定理进而得到AF=3，再由中位线定理得到OE=AB=AD=5，得到FG=5，最后BG=AB-AF-FG=2．【详解】解：(1)证明:∵四边形ABCD 为菱形，∴点O 为BD 的中点，∵点E 为AD 中点，∴OE 为△ABD 的中位线，∴OE ∥FG ，12121212∵OG ∥EF ，∴四边形OEFG 为平行四边形∵EF ⊥AB ，∴平行四边形OEFG 为矩形．(2)∵点E 为AD 的中点，AD=10，∴AE= ∵∠EFA=90°，EF=4，∴在Rt△AEF 中，．∵四边形ABCD 为菱形，∴AB=AD=10，∴OE=AB=5， ∵四边形OEFG 为矩形，∴FG=OE=5，∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2．故答案为：OE=5，BG=2．【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质、勾股定理等知识点，特殊四边形的性质和判定属于中考常考题型，需要重点掌握．22.在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点(1，2)．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据一次函数由平移得到可得出k 值，然后将点（1，2）代入可得b 值即可求出解析式；（2）由题意可得临界值为当时，两条直线都过点（1，2），即可得出当时，都大于，根据，可得可取值2，可得出m 的取值范围．152AD =3===AF 12xOy (0)y kx b k =+≠y x =1x >x (0)y mx m =≠y kx b =+m 1y x =+2m ≥(0)y kx b k =+≠y x =y x b =+1x =12x m >>，(0)y mx m =≠1y x =+1x >m【详解】（1）∵一次函数由平移得到，∴，将点（1，2）代入可得，∴一次函数的解析式为；（2）当时，函数的函数值都大于，即图象在上方，由下图可知：临界值为当时，两条直线都过点（1，2），∴当时，都大于，又∵，∴可取值2，即，∴的取值范围为．【点睛】本题考查了求一次函数解析式，函数图像的平移，一次函数的图像，找出临界点是解题关键．23.如图，AB 为⊙O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 是⊙O 的切线，D 为切点，OF⊥AD 于点E ，交CD 于点F ．（1）求证：∠ADC=∠AOF；（2）若sinC=，BD=8，求EF 的长．【答案】（1）见解析；（2）2．【解析】【分析】(0)y kx b k =+≠y x =1k =y x b =+1b =1y x =+1x >(0)y mx m =≠1y x =+1y x =+1x =12x m >>，(0)y mx m =≠1y x =+1x >m 2m =m 2m ≥13（1）连接OD ，根据CD 是⊙O 的切线，可推出∠ADC+∠ODA=90°，根据OF⊥AD ，∠AOF+∠DAO=90°，根据OD=OA ，可得∠ODA=∠DAO，即可证明；（2）设半径为r ，根据在Rt△OCD 中，，可得，AC=2r ，由AB 为⊙O 的直径，得出∠ADB=90°，再根据推出OF⊥AD，OF∥BD，然后由平行线分线段成比例定理可得，求出OE ，，求出OF ，即可求出EF ． 【详解】（1）证明：连接OD ，∵CD 是⊙O 的切线，∴OD⊥CD，∴∠ADC+∠ODA=90°，∵OF⊥AD，∴∠AOF+∠DAO=90°，∵OD=OA，∴∠ODA=∠DAO，∴∠ADC=∠AOF；（2）设半径r ，在Rt△OCD 中，，∴，∴，∵OA=r，为sin 13C =3OD r OC r ==，12OE OA BD AB ==34OF OC BD BC ==1sin 3C =13ODOC =3OD r OC r ==，∴AC=OC-OA=2r，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，又∵OF⊥AD，∴OF∥BD， ∴， ∴OE=4， ∵， ∴，∴．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，锐角三角函数，切线的性质，直径所对的圆周角是90°，灵活运用知识点是解题关键．24.小云在学习过程中遇到一个函数．下面是小云对其探究的过程，请补充完整： （1）当时，对于函数，即，当时，随的增大而 ，且；对于函数，当时，随的增大而 ，且；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数，当时，随的增大而 ．（2）当时，对于函数，当时，与的几组对应值如下表：0 1 2 30 1综合上表，进一步探究发现，当时，随的增大而增大．在平面直角坐标系中，画出当时的函数的图象．12OE OA BD AB ==34OF OC BD BC ==6OF =2EF OF OE =-=21||(1)(2)6y x x x x =-+≥-20x -≤<1||y x =1y x =-20x -≤<1y x 10y >221y x x =-+20x -≤<2y x 20y >y 20x -≤<y x 0x ≥y 0x ≥y x x 123252 y 116167169548720x ≥y x xOy 0x ≥y（3）过点(0，m)（）作平行于轴的直线，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线与函数的图象有两个交点，则的最大值是 ． 【答案】（1）减小，减小，减小；（2）见解析；（3） 【解析】【分析】（1）根据一次函数的性质，二次函数的性质分别进行判断，即可得到答案；（2）根据表格的数据，进行描点，连线，即可画出函数的图像；（3）根据函数图像和性质，当时，函数有最大值，代入计算即可得到答案．【详解】解：（1）根据题意，在函数中，∵,∴函数在中，随的增大而减小； ∵， ∴对称轴为：，∴在中，随的增大而减小； 综合上述，在中，随的增大而减小； 故答案为：减小，减小，减小；（2）根据表格描点，连成平滑的曲线，如图：0m >x l l 21||(1)(2)6y x x x x =-+≥-m 732x =-1y x =-10k =-<1y x =-20x -≤<1y x 222131()24y x x x =-+=-+1x =221y x x =-+20x -≤<2y x 21||(1)6y x x x =-+20x -≤<y x（3）由（2）可知，当时，随的增大而增大，无最大值；由（1）可知在中，随的增大而减小； ∴中，有 当时，， ∴m的最大值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，以及函数的最值问题，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出函数图像，并求函数的最大值．25.小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下：．小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图：．小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：时段1日至10日 11日至20日 21日至30日 平均数100 170 250在0x ≥y x 21||(1)6y x x x =-+20x -≤<y x 20x -≤<2x =-73y =7373a b（1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为 （结果取整数）（2）已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的 倍（结果保留小数点后一位）；（3）记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为．直接写出的大小关系．【答案】（1）173；（2）2.9倍；（3）【解析】【分析】（1）利用加权平均数的计算公式进行计算，即可得到答案；（2）利用5月份的平均数除以4月份的平均数，即可得到答案；（3）直接利用点状图和方差的意义进行分析，即可得到答案．【详解】解：（1）平均数：（千克）； 故答案为：173；（2）倍；故答案为：2.9；（3）方差反应数据的稳定程度，即从点状图中表现数据的离散程度，所以从图中可知：；【点睛】本题考查了方差的意义，平均数，以及数据的分析处理，解题的关键是熟练掌握题意，正确的分析数据的联系．26.在平面直角坐标系中，为抛物线上任意两点，其中．（1）若抛物线的对称轴为，当为何值时，（2）设抛物线的对称轴为．若对于，都有，求的取值范围．【答案】（1）；（2） 21,s 22s 23s 222123,,s s s 222123s s s >>1[(10010)(17010)(25010)]17330⨯⨯+⨯+⨯=17360 2.9÷=222123s s s >>xOy 1122(,),(,)M x y N x y 2(0)y ax bx c a =++>12x x <1x =12,x x 12;y y c ==x t =123x x +>12y y <t 120,2x x ==32t ≤【解析】【分析】（1）根据抛物线解析式得抛物线必过（0，c ），因为，抛物线的对称轴为，可得点M ，N 关于对称，从而得到的值；（2）根据题意知，抛物线开口向上，对称轴为，分3种情况讨论，情况1：当都位于对称轴右侧时，情况2：当都位于对称轴左侧时，情况3：当位于对称轴两侧时，分别求出对应的t 值，再进行总结即可．【详解】解：（1）当x=0时，y=c ，即抛物线必过（0，c ），∵，抛物线的对称轴为，∴点M ，N 关于对称，又∵，∴，；（2）由题意知，a ＞0，∴抛物线开口向上∵抛物线的对称轴为，∴情况1：当都位于对称轴右侧时，即当时，恒成立情况2：当都位于对称轴左侧时，即＜时，恒不成立情况3：当位于对称轴两侧时，即当时，要使，必有，即解得，∴3≥2t，∴ 综上所述，． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质．解题的关键是学会分类讨论的思想及数形结合思12y y c ==1x =1x =12,x x x t =12,x x 12,x x 12,x x 12y y c ==1x =1x =12x x <10x =22x =x t =12x x <12,x x 1x t ≥12y y <12,x x 1x 2,t x t ≤12y y <12,x x 1x <2,t x t >12y y <12x t x t -<-()()2212x t x t -<-122x x t +>32t ≤32t ≤想．27.在中，∠C=90°，AC ＞BC ，D 是AB 的中点．E 为直线上一动点，连接DE ，过点D 作DF⊥DE，交直线BC 于点F ，连接EF ．（1）如图1，当E 是线段AC 的中点时，设，求EF 的长（用含的式子表示）；（2）当点E 在线段CA 的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE ，EF ，BF 之间的数量关系，并证明．【答案】（1；（2）图见解析，，证明见解析．【解析】【分析】（1）先根据中位线定理和线段中点定义可得，，，再根据平行四边形的性质、矩形的判定与性质可得，从而可得，然后利用勾股定理即可得；（2）如图（见解析），先根据平行线的性质可得，，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，，然后根据垂直平分线的判定与性质可得，最后在中，利用勾股定理、等量代换即可得证．【详解】（1）∵D 是AB 的中点，E 是线段AC 的中点∴DE 为的中位线，且∴， ∵∴ABC ,AE a BF b ==,a b 222EF AE BF =+//DE BC 12DE BC =CE AE a ==DE CF =CF BF b ==EAD GBD ∠=∠DEA DGB ∠=∠ED GD =AE BG =EF FG =Rt BGF ABC CE AE a ==//DE BC 12DE BC =90C ∠=︒18090DEC C ∠=︒-∠=︒。

2020年北京中考数学试题专家评析2020年是北京中考“五选三”考试模式下的最后一年，也是向初中学业水平考试过渡的一年。

今年北京市中考数学试卷在总结近五年命题指导思想基础上，立足于基础的考查，合理把握试题难度，实现由中考向初中学业水平考试的平稳过渡。

一、关注疫情对考生的影响，科学设计试卷，合理把控难度。

疫情打乱了考生的复习节奏，改变了考生的学习方式，影响了考生的复习效果。

命题中充分考虑疫情给考生带来的影响，充分评估考生的知识水平和能力水平。

整体设计试卷，合理把控全卷难度和各知识板块难度。

试题设问方式易于学考生入手，层次分明，适度综合，让不同水平的考生都有充分发挥的空间，增强获得感。

二、立足于“四基”，考查主干知识，体现数学思维，回归知识本质。

试卷重点考查基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。

在此基础之上，重点考查支撑学科体系的主干知识。

以考查数学思维为核心，注重知识整体性与知识之间内在联系的考查，突出对数学知识形成与发展过程及灵活运用的考查，体现思维深度。

试题立意以核心概念为抓手，以培养数学能力为目标，考查考生对知识本质的理解，从数学的角度思考问题和运用数学知识解决实际问题，引导学习回归知识本质。

1关注“四基”要求体现数学基础试题的命制注重对数与代数、图形与几何、统计与概率等基础知识的考查，在考查的过程中，突出对基本技能、基本思想和基本活动经验的考查。

在基本技能的学习中，考生不仅要掌握技能操作的程序和步骤，还要理解其中蕴含的数学原理。

如尺规作图，不仅要求考生能依据作法准确作出图形，还要求其利用已掌握的数学原理解释尺规作图的原理，这一过程中体现考生的不同思维水平。

如第20题，以“求作线段B，使得点P在直线CD上，且∠ABP=1/2∠BAC”的尺规作图过程为背景，考查尺规作图中依据作法作图、推理论证的完整过程。

2关注过程体现本质。

2020年北京市中考数学试卷班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.如图是某几何体的三视图，该几何体是()A. 圆柱B. 圆椎C. 三棱柱D. 长方体2.2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为()A. 0.36×105B. 3.6×105C. 3.6×104D. 36×1033.如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是()A. ∠1=∠2B. ∠2=∠3C. ∠1>∠4+∠5D. ∠2<∠54.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是()A. B.C. D.5.正五边形的外角和为()A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°6.实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足−a<b<a，则b的值可以是()A. 2B. −1C. −2D. −37.不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是()A. 14B. 13C. 12D. 238.有一个装有水的容器，如图所示，容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是()A. 正比例函数关系B. 一次函数关系C. 二次函数关系D. 反比例函数关系二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9. 若代数式1x−7有意义，则实数x 的取值范围是______．10. 已知关于x 的方程x 2+2x +k =0有两个相等的实数根，则k 的值是______． 11. 写出一个比√2大且比√15小的整数______．12. 方程组{x −y =13x +y =7的解为______．13. 在平面直角坐标系xOy 中，直线y =x 与双曲线y =mx 交于A ，B 两点．若点A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2，则y 1+y 2的值为______．14. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在BC 上(不与点B ，C 重合).只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD ，这个条件可以是______(写出一个即可)．15. 如图所示的网格是正方形网格，A ，B ，C ，D 是网格线交点，则△ABC 的面积与△ABD 的面积的大小关系为：S △ABC ______S △ABD (填“>”，“=”或“<”)．16. 如图是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为2，3，4，5.每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小，如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一个购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序______．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分） 17. 计算：(13)−1+√18+|−2|−6sin45°．18.解不等式组：{5x−3>2x, 2x−13<x2．19.已知5x2−x−1=0，求代数式(3x+2)(3x−2)+x(x−2)的值．20.已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB=AC，CD//AB．求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP=12∠BAC．作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作的线段．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明．证明：∵CD//AB，∴∠ABP=______．∵AB=AC，∴点B在⊙A上．又∵点C，P都在⊙A上，∴∠BPC=12∠BAC(______)(填推理的依据)．∴∠ABP=12∠BAC．21.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG//EF．(1)求证：四边形OEFG是矩形；(2)若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．22.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象平移得到，且经过点(1,2)．(1)求这个一次函数的解析式；(2)当x>1时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．23.如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．(1)求证：∠ADC=∠AOF；(2)若sinC=13，BD=8，求EF的长．24.小云在学习过程中遇到一个函数y=16|x|(x2−x+1)(x≥−2)．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：(1)当−2≤x<0时，对于函数y1=|x|，即y1=−x，当−2≤x<0时，y1随x的增大而______，且y1>0；对于函数y2=x2−x+1，当−2≤x<0时，y2随x的增大而______，且y2>0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当−2≤x<0时，y随x的增大而______．x0121322523…y0116167161954872…结合上表，进一步探究发现，当x≥0时，随的增大而增大．在平面直角坐标系xOy中，画出当x≥0时的函数y的图象．(3)过点(0,m)(m>0)作平行于x轴的直线l，结合(1)(2)的分析，解决问题：若直线l与函数y=16|x|(x2−x+1)(x≥−2)的图象有两个交点，则m的最大值是______．25.小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量(单位：千克)，相关信息如下：a.小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图：时段1日至10日11日至20日21日至30日平均数100170250)；(2)已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的______倍(结果保留小数点后一位)；(3)记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为s12，5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为s22，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为s32.直接写出s12，s22，s32的大小关系．26.在平面直角坐标系xOy中，M(x1,y1)，N(x2,y2)为抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上任意两点，其中x1<x2．(1)若抛物线的对称轴为x=1，当x1，x2为何值时，y1=y2=c；(2)设抛物线的对称轴为x=t，若对于x1+x2>3，都有y1<y2，求t的取值范围．27.在△ABC中，∠C=90°，AC>BC，D是AB的中点．E为直线AC上一动点，连接DE.过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．(1)如图1，当E是线段AC的中点时，设AE=a，BF=b，求EF的长(用含a，b的式子表示)；(2)当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．28.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A′B′(A′,B′分别为点A，B的对应点)，线段AA′长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．(1)如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是______；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点______的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；(2)若点A，B都在直线y=√3x+2√3上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；)，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的(3)若点A的坐标为(2,32取值范围．答案和解析1.D解：该几何体是长方体，2.C解：36000=3.6×104，3.A解：A.∵∠1和∠2是对顶角，∴∠1=∠2，故A正确；B.∵∠2=∠A+∠3，∴∠2>∠3，故B错误；C.∵∠1=∠4+∠5，故③错误；D.∵∠2=∠4+∠5，∴∠2>∠5；故D错误；4.D解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；D、既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意．5.B解：任意多边形的外角和都是360°，故正五边形的外角和的度数为360°．6.B解：因为1<a<2，所以−2<−a<−1，因为−a<b<a，所以b只能是−1．7.C解：列表如下：由表可知，共有种等可能结果，其中两次记录的数字之和为3的有2种结果， 所以两次记录的数字之和为3的概率为24=12，8. B解：设容器内的水面高度为h ，注水时间为t ，根据题意得： ℎ=0.2t +10，∴容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系．9. x ≠7解：若代数式1x−7有意义，则x −7≠0， 解得：x ≠7． 10. 1解：∵关于x 的方程x 2+2x +k =0有两个相等的实数根， ∴△=22−4×1×k =0， 解得：k =1．11. 2或3(答案不唯一)解：∵1<√2<2，3<√15<4，∴比√2大且比√15小的整数2或3(答案不唯一)．12. {x =2y =1解：{x −y =1 ①3x +y =7 ②，①+②得：4x =8， 解得：x =2，把x =2代入①得：y =1， 则方程组的解为{x =2y =1．13. 0解：∵直线y =x 与双曲线y =mx 交于A ，B 两点， ∴联立方程组得：{y =xy =m x，解得：{x 1=√m y 1=√m ，{x 2=−√my 2=−√m，∴y 1+y 2=0，14. BD =CD解：∵AB =AC ， ∴∠ABD =∠ACD ， 添加BD =CD ，∴在△ABD 与△ACD 中 {AB =AC∠ABD =∠ACD BD =CD， ∴△ABD≌△ACD(SAS)， 15. =解：∵S △ABC =12×2×4=4，S △ABD =2×5−12×5×1−12×1×3−12×2×2=4， ∴S △ABC =S △ABD ，16. 丙、丁、甲、乙解：根据题意，丙第一个购票，只能购买3，1，2，4号票， 此时，3号左边有6个座位，4号右边有5个座位，即甲、乙购买的票只要在丙的同侧，四个人购买的票全在第一排，①第二个丁可以购买3号左边的5个座位，另一侧的座位甲和乙购买， 即丙(3,1，2，4)、丁(5,7，9，11，13)、甲(6,8)、乙(10,12) 或丙(3,1，2，4)、丁(5,7，9，11，13)、乙(6,8)、甲(10,12)；②第二个由甲或乙购买，此时，只能购买5，7号票，第三个购买的只能是丁，且只能购买6，8，10，12，14号票，此时，四个人购买的票全在第一排，即丙(3,1，2，4)、甲(5,7)、丁(6,8，10，12，14)、乙(9,11) 或丙(3,1，2，4)、乙(5,7)、丁(6,8，10，12，14)、甲(9,11)，因此，第一个是丙购买票，丁只要不是最后一个购买票的人，都能使四个人购买的票全在第一排，17. 解：原式=3+3√2+2−6×√22=3+3√2+2−3√2 =5．18. 解：解不等式5x −3>2x ，得：x >1，解不等式2x−13<x2，得：x<2，则不等式组的解集为1<x<2．19.解：(3x+2)(3x−2)+x(x−2)=9x2−4+x2−2x=10x2−2x−4，∵5x2−x−1=0，∴5x2−x=1，∴原式=2(5x2−x)−4=−2．20.∠BPC同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解：(1)如图，即为补全的图形；(2)证明：∵CD//AB，∴∠ABP=∠BPC．∵AB=AC，∴点B在⊙A上．又∵点C，P都在⊙A上，∴∠BPC=12∠BAC(同弧所对的圆周角等于圆心角的一半)，∴∠ABP=12∠BAC．21.解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∠DAO=∠BAO，∵E是AD的中点，∴AE=OE=12AD，∴∠EAO=∠AOE，∴∠AOE=∠BAO，∴OE//FG，∵OG//EF，∴四边形OEFG 是平行四边形，∵EF⊥AB，∴∠EFG=90°，∴四边形OEFG 是矩形；(2)∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB=AD=10，∴∠AOD=90°，∵E是AD的中点，∴OE=AE=12AD=5；由(1)知，四边形OEFG是矩形，∴FG=OE=5，∵AE=5，EF=4，∴AF=√AE2−EF2=3，∴BG=AB−AF−FG=10−3−5=2．22.解：(1)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由直线y=x平移得到，∴k=1，将点(1,2)代入y=x+b，得1+b=2，解得b=1，∴一次函数的解析式为y=x+1；(2)把点(1,2)代入y=mx求得m=2，∵当x>1时，对于x的每一个值，函数y= mx(m≠0)的值大于一次函数y=x+1的值，∴m≥2．23.解：(1)连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，∵OF⊥AD，∴OF//BD，∴∠AOF=∠B，∵CD是⊙O的切线，D为切点，∴∠CDO=90°，∴∠CDA+∠ADO=∠ADO+∠BDO=90°，∴∠CDA=∠BDO，∵OD=OB，∴∠ODB=∠B，∴∠AOF=∠ADC；(2)∵OF//BD，AO=OB，∴AE=DE，∴OE=12BD=12×8=4，∵sinC=ODOC =13，∴设OD=x，OC=3x，∴OB=x，∴CB=4x，∵OF//BD，∴△COF∽△CBD，∴OCBC =OFBD，∴3x4x =OF8，∴OF=6，∴EF=OF−OE=6−4=2．24.减小减小减小73解：(1)当−2≤x<0时，对于函数y1=|x|，即y1=−x，当−2≤x<0时，y1随x的增大而减小，且y1>0；对于函数y2=x2−x+1，当−2≤x<0时，y2随x的增大而减小，且y2>0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当−2≤x<0时，y 随x的增大而减小．故答案为：减小，减小，减小．(2)函数图象如图所示：(3)∵直线l与函数y=16|x|(x2−x+1)(x≥−2)的图象有两个交点，观察图象可知，x=−2时，m的值最大，最大值m=16×2×(4+2+1)=73，故答案为7325.173 2.9解：(1)该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为100×10+170×10+250×1030≈173(千克)，故答案为：173；(2)该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的17360≈2.9(倍)，故答案为：2.9；(3)由小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图知，第1个10天的分出量最分散、第3个10天分出量最为集中，∴s12>s22>s32．26.解：(1)由题意y1=y2=c，∴x1=0，∵对称轴x=1，∴M，N关于x=1对称，∴x2−2，∴x1=0，x2=2时，y1=y2=c．(2)∵抛物线的对称轴为x=t，若对于x1+x2>3，都有y1<y2，∴t≤32．27.解：(1)∵D是AB的中点，E是线段AC的中点，∴DE//BC，DE=12BC，∵∠ACB=90°，∴∠DEC=90°，∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°，∴四边形CEDF是矩形，∴DE=CF=12BC，∴CF=BF=b，∵CE=AE=a，∴EF=√CF2+CE2=√a2+b2；(2)AE2+BF2=EF2．证明：过点B作BM//AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，则∠AED=∠BMD，∠CBM=∠ACB=90°，∵D点是AB的中点，∴AD=BD，在△ADE和△BDM中，{∠AED=∠BMD ∠ADE=∠BDM AD=BD，∴△ADE≌△BDM(AAS)，∴AE=BM，DE=DM，∵DF⊥DE，∴EF=MF，∵BM2+BF2=MF2，∴AE2+BF2=EF2．28.P1P2//P3P4P3解：(1)如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是P1P2//P3P4；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点P3的线段的长度等于线段AB到⊙O 的“平移距离”．故答案为：P 1P 2//P 3P 4，P 3．(2)如图1中，作等边△OEF ，点E 在x 轴上，OE =EF =OF =1，设直线y =√3x +2√3交x 轴于M ，交y 轴于N.则M(−2,0)，N(0,2√3)， 过点E 作EH ⊥MN 于H ，∵OM =2，ON =2√3，∴tan∠NMO =√3，∴∠NMO =60°，∴EH =EM ⋅sin60°=√32， 观察图象可知，线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d 1的最小值为√32． (3)如图2中，作直线OA 交⊙O 于M ，N 过点O 作PQ ⊥OA 交，交⊙O 于P ，Q ．以OA ，AB 为邻边构造平行四边形ABDO ，以OD 为边构造等边△ODB′，等边△OB′A′，则AB//A′B′，AA′的长即为线段AB 到⊙O 的“平移距离”，当点A′与M 重合时，AA′的值最小，最小值=OA −OM =52−1=32，当点A′与P 或Q 重合时，AA′的值最大最大值=√12+(52)2=√292， ∴32≤d 2≤√292．。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（北京卷，解析版）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。

第Ⅰ卷（选择题 共140分）【名师简评】2020年北京市的高考数学试题从整体看，体现“总体稳定，深化能力”的特点，在保持2020年特点的同时，又力争创新与变化；试题不仅注意对基础知识的考查，更注重了对能力的考查。

从考生角度来说，试卷总体难度“没有想象的那么难”。

试题有较好的梯度，注重认知能力和数学运用能力的考查，稳中求新。

1. 忠实地遵循了《普通高中新课程标准教学要求》和2020年《考试说明》。

2. 题型稳定，突出对基本知识但考查，全卷没有一道偏题、怪题。

全卷结构、题型包括难度基本稳定。

填空题比较基础，平和。

不需要太繁的计算，考生感觉顺手。

许多试题源于课本，略高于课本。

3. 把关题与往年相似，多题把关，有和好的区分度。

如填空题第14题，第19题的第二问，和第20题，更能有效区分不同能力层次的考生群体。

4. 深化能力立意。

知识与能力并重。

全卷在考查知识的同时，注重考查学生的数学基本能力。

许多试题实际上并不难，知识点熟悉，但需要考生自主综合知识，才能解决问题。

5. 关注联系，有效考查数学思想方法。

（1） 集合2{03},{9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤，则P M I = (A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){1,2,3} (D){0,1,2,3}（2）在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m= （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12（3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为 （A ）8289A A （B ）8289A C （C ） 8287A A （D ）8287A C（5）极坐标方程（p-1）（θπ-）=（p ≥0）表示的图形是（A ）两个圆 （B ）两条直线（C ）一个圆和一条射线 （D ）一条直线和一条射线⊥”是“函数f（x）=（xa+b）g（xb-a）为一次函数”的（6）a、b为非零向量。

稳重求变变中求新——江西省2013年中考数学试卷分析金太阳教科所邓菊生2013年江西省中考数学试卷，继续保持了往年的优点，与新课改联系更紧密。

注重知识立意与能力立意，侧重于从日常生活中取材，构建数学模型，突出对学生基本素养的考查，同时考查学生在具体情景中运用所学知识分析和解决问题的能力。

重视数学应用的考查，稳中求变，变中求新，导向明确．充分体现了义务教育的普及性、基础性和发展性．试卷继续加强了对学生计算能力的考查，在考查学生的数学素养、创新能力、实践能力等方面都做了有益的探索。

12、16、小题，计有18分。

统计与概率考查了简单的概率计算和数据的统计分析。

如试卷中的18、21小题，共计15分。

总之基础题在本试卷中共计51分，占总分的43%。

2、从学生的生活实际出发，突出数学在生活中的应用。

如第3、5、18、20、21小题，均以学生较为熟悉的生活实际原型进行命题，关注载体公平，题目陈述准确，保证了试题的信度。

3、注重考查学生运用知识探索、解决问题的综合能力。

如第6小题需要学生考虑a大于零和小于零两种情况，对于D答案都能成立；第14 小题要考虑点C在特殊位置与不是特殊位置的情况，得出符合题意的答案即4、3.因点C不能和A、B重合，故2 不是符合题意的答案；第24 题是关于抛物线的有关知识，共有三问，且第三问中又有两小问，每一问层层递进并由具体简单的抛物线的顶点坐标推出第n条符合条件抛物线的坐标，符合学生的认知规律。

(三)、试题存在的问题与不足今年的中考试卷存在试题难度偏大，学生答题思维不流畅，考生总体平均分较低，是近几年中考考题比较难的一年。

学生对于作图题的第（2）问,第20 题的（2）、（3）问，第21、22、23、24 题得分都很低，使得吉安市今年的平均分除去选择题只有41.4分（这是我原工作的学校提供的数据），就算选择题的平均分为满分（这是不可能的，选择题的平均分最多只有10 分左右）全卷的平均分也达不到60 分，这是近几年中考数学平均分最低的一年。

2020年北京市高级中等学校招生考试数 学一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．右图是某几何体的三视图，该几何体是（A ）圆柱 （B ）圆锥 （C ）三棱锥 （D ）长方体2．2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30 成功定点于距离地球36 000公里的地球同步轨道．将36 000用科学记数法表示应为（A ）50.3610⨯ （B ）53.610⨯ （C ）43.610⨯ （D ）33610⨯ 3．如图，AB 与CD 相交于点，则下列结论正确的是（A ）12∠=∠ （B ）23∠=∠ （C ）145∠>∠+∠ （D ）25∠<∠ 4．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（A ） （B ） （C ） （D ） 5.正五边形外角和为（A ）180︒ （B ）360︒ （C ）540︒ （D ）720︒6.实数a 在数轴上的对应点的位置如图所示.若实数b 满足a b a -<<，则b 的值可以是（A ）2 （B ）1- （C ）2- （D ）3-7.不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”“2”，除数字外两个小球无其他差别.从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是 （A ）14 （B ）13 （C ）12 （D ）238.有一个装水的容器，如图所示.容器内的水面高度是10cm ，现向容器内注水，并同时开始计时.在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm 的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（A ）正比例函数关系 （B ）一次函数关系 （C ）二次函数关系 （D ）反比例函数关系 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9.若代数式17x -有意义，则函数x 的取值范围是 . 10.已知关于x 的方程220x x k ++=有两个相等的实数根，则k 的值是 . 11.写出一个比2大且比15小的整数是 .12.方程组137x y x y -=⎧⎨+=⎩的解为 .13.在直角坐标系xOy 中，直线y x =与双曲线my x=交于A ，B 两点.若点A ，B 的纵坐标分别为1y ，2y ，则12y y +的值为 .14.如图，在ABC ∆中，AB AC =，点D 在BC 上(不与点B C ，重合).只需添加一个条件即可证明ABD ACD ∆≅∆，这个条件可以是 (写出一个即可).15.如图所示的网格是正方形网格，A B C D ，，，是网格线交点，则ABC ∆的面积与ABD ∆的面积的大小关系为：ABCSABDS(填“>”，“=”或“<”) .16.下图是某剧场第一排座位分布图.甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为2，3，4，5.每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小.如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票.若丙第一个购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序 .三、解答题(本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.计算：()-1o13+18+26sin 45--18.解不等式组：5322132x xx x->⎧⎪-⎨<⎪⎩19.已知2510x x --=，求代数式()()()32322x x x x +-+-的值.20.已知：如图，ABC ∆为锐角三角形，AB AC =，CD AB ∥. 求做：线段BP ，使得点P 在直线CD 上，且1=2ABP BAC ∠∠ 作法：①以点A 为圆心，AC 长为半径画圆，交直线CD 于,C P 两点； ②连接BP .线段BP 就是所求线段（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明 证明：∵CD AB ∥ ∴ABP ∠=.∵AB AC = ∴点B 在⊙A 上. 又∵点,C P 都在⊙A 上 ∴12BPC BAC ∠=∠（ ）（填推理依据）.∴1=2ABP BAC ∠∠. 21.如图，菱形ABCD 对角线AC BD ，相交于点O ，E 是AD 的中点，点,F G 在AB 上，EF AB OG EF ⊥，∥. （1）求证：四边形OEFG 是矩形；（2）若10,4AD EF ==，求OE 和BG 的长22.在平面直角坐标系xOy 中，一次函数(0)y kx b k =+≠的图象由函数y x =的图象平移得到，且经过点(1,2). （1）求这个一次函数的解析式；（2）当1x >时，对于x 的每一个值，函数(0)y mx m =≠的值大于一次函数y kx b =+的值，直接写出m 的取值范围.23.如图，AB 为O ⊙的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 是O ⊙的切线，D 为切点，OF AD ⊥于点E ，交CD 于点F .（1）求证：ADC AOF ∠=∠； （2）若1sin ,83C BD ==，求EF 的长.24.小云在学习过程中遇到一个函数21(1)(2)6y x x x x =-+≥-. 下面是小云对其探究的过程，请补充完整： （1）当20x -≤<时，对于函数1y x =，即1y x =-，当20x -≤<时，1y 随x 的增大而，且10y >；对于函数221y x x =-+，当20x -≤<时，2y 随x 的增大而，且20y >；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y ，当20x -≤<时，y 随x 的增大而.（2）当0x ≥时，对于函数y ，当0x ≥时，y 与x 的几组对应值如下表：x0 12 132 2 52 3 ··· y11616 7161954872···结合上表，进一步探究发现，当0x ≥时，y 随x 的增大而增大，在平面直角坐标系xOy 中，画出当0x ≥时的函数y 的图象.（3）过点()()0,0m m >作平行于x 轴的直线l ，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l 与函数()()21126y x x x x =-+≥-的图象有两个交点，则m 的最大值是 .25．小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下： a ．小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图：b ．小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：时 段 1日至10日11日至20日21日至30日平均数100170250（1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为________（结果取整数）；（2）已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月________倍（结果保留小数点后一位）；（3）记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为21s ，5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为22s ，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为23s ．直接写出21s ，22s ，23s 的大小关系．26．在平面直角坐标系xOy 中，()11,M x y ，()22,N x y 为抛物线()20y ax bx c a =++>上任意两点，其中12x x <．（1）若抛物线的对称轴为=1x ，当1x ，2x 为何值时，12y y c ==；（2）设抛物线的对称轴为=x t ．若对于123x x +>．都有12y y <，求t 的取值范围．27.在ABC ∆中，90C AC BC ∠=︒>，，D 是AB 的中点，E 为直线AC 上一动点，连接DE ，过点D 作DF DE ⊥，交直线BC 于点F ，连接EF .(1)如图1，当E 是线段AC 的中点时，设,AE a BF b ==，求EF 的长（用含,a b 的式子表示)；(2)当点E 在线段CA 的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段,,AE EF BF 之间的数量关系，并证明.28．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，A ，B 为O 外两点，1AB =．给出如下定义：平移线段AB ，得到O 的弦''A B （'A ，'B 分别为点A ，B 的对应点），线段'AA 长度的最小值称为线段AB 到O 的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB 得到O 的长度为1的弦12P P 和34P P ，则这两条弦的位置关系是________；在点1P ，2P ，3P ，4P 中，连接点A 与点________的线段的长度等于线段AB 到O 的“平移距离”；（2）若A ，B 都在直线323y x =+上，记线段AB 到O 的“平移距离”为1d ，求1d 的最小值；（3）若点A 的坐标为32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，记线段AB 到O 的“平移距离”为2d ，直接写出2d 的取值范围．28题（2）因为点A，B都在直线l上，且AB=1，由线段AB与⊙O的平行距离的定义可知：弦A’B’//l，且A’B’=1，从而弦A’B’的位置如图所示：--------------3分显然当AA’与直线l垂直时，AA’最小.-----------------------------------4分过点B’作B’H⊥l于点H，得：AA’=B’H=.--------------------------5分(3) ≤d2≤.-----------------------------------------------------------------------------7分d2最小d2最大。

稳中求变变中求新2020北京中考数学试题解析2018年中考数学试题延续了2015-2017年试题“稳中求变，变中求新”的特点，在全面考查基础知识，突出对支撑学科体系的重点知识的考查，注重知识的整体性和知识之间的内在联系的基础上，扩大试题的选材范围，以考查数学思维为核心，加强对数学知识形成与发展过程及灵活运用的考查。

试卷体现了立德树人，引导教学，服务学生发展的理念。

题目素材的选取体现社会主义核心价值观和中华优秀传统文化，增强民族自豪感。

设问的方式引导教学以核心概念为抓手、以培养数学能力为目标、以教材中的问题为生长点，帮助学生理解数学本质，学会从数学的角度思考问题、运用数学知识解决数学问题或者实际问题，让学生在数学的学习中有获得感。

试题的命制易于学生入手，层次分明，适度综合，体现应用，让不同水平的学生都有充分发挥的空间。

关注育人功能体现积极导向2018年的数学试卷选取合适的素材，将社会主义核心价值观和中华优秀传统文化融入到试题中，发挥试题的育人功能。

如第4题以被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST为背景，考查了科学记数法和学生估算的能力，让学生在解决问题的同时了解我国科技发展的现状。

如第16题以全球创新综合排名、创新产出排名、创新效率排名为背景，考查学生在图象中读取数据获取信息的能力，让学生感受到我国创新发展水平。

再如第8题以老北京城一些地点的分布图为背景，考查学生对于在不同坐标系下点的相对位置的不变性的理解，同时让学生感悟到中华民族的伟大智慧。

关注四基要求体现数学基础《义务教育数学课程标准(2011版)》指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。

”试题的命制注重对数与代数、图形与几何、统计与概率等基础知识的考查，在考查的过程中，突出对基本技能、基本思想和基本活动经验的考查。

在基本技能的教学中，不仅要让学生掌握技能操作的程序和步骤，还要理解其中蕴含的数学原理，如尺规作图的教学不仅要让学生能依据作法准确作出图形，还要求学生利用已掌握的数学原理进行尺规作图的设计，在设计的过程中既体现了不同学生的思维水平，又培养了学生推理论证的能力，如2018年试卷中第17题在以往直接写作图依据的基础上，回归到尺规作图的一点，即以某学生设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程为背景，考查了尺规作图中依据作法作图、推理论证的完整过程。

2020年北京市高级中学学校招生考试一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1、右图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A 、圆柱 B 、圆锥 C 、三棱柱 D 、长方体 2、2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离36000公里的地球同步轨道，将36000用科学计数法表示应为（ ） A 、5100.36⨯ B 、5103.6⨯ C 、4103.6⨯ D 、31036⨯ 3、如图，AB 和CD 相交于点O ，则下列结论正确的是（ ） A 、21∠=∠ B 、32∠=∠ C 、1∠>54∠+∠ D 、∠2<5∠4、下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）A B C D 5、正五边形的外角和为（ ）A 、180°B 、360°C 、540°D 、720°6、实数a 在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b 满足-a ＜b ＜a ，则b 的值可以是（ ）A 、2B 、-1C 、-2D 、-3 7、不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（ ） A 、41B 、31 C 、21 D 、328、在一个装有水的容器，如图所示，容器内的水面高度是10cm ，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm 的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（ ） A 、正比例函数关系 B 、一次函数关系 B 、二次函数关系 D 、反比例函数关系二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9、若代数式7-x 1有意义，则实数x 的取值范围是10、已知关于x 的方程0k 2x x 2=++有两个相等的实数根，则k 的值是11、写出一个比2大且比15小的整数12、方程组⎩⎨⎧=+=7y 3x 1y -x 的解为13、在平面直角坐标系xoy 中，直线y=x 与双曲线xmy =交于A ，B 两点。

2020年北京市高级中等学校招生考试数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.下图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A .圆柱B .圆锥C .三棱柱D .长方体2.2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道，将36000用科学记数法表示应为（ ） A .50.3610⨯B .53.610⨯C .43.610⨯D .33610⨯3.如图，AB 和CD 相交于点O ，则下列结论正确的是（ ）A .12∠=∠B .23∠=∠C .145∠>∠+∠D .25∠<∠4.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）A .B .C .D .5.正五边形的外角和为（ ） A .180︒B .360︒C .540︒D .720︒6.实数a 在数轴上的对应点的位置如图所示.若实数b 满足a b a -<<，则b 的值可以是（ ）A .2B .1-C .2-D .3-7.不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别.从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（ ）A .14B .13C .12D .238.有一个装有水的容器，如图所示.容器内的水面高度是10cm ，现向容器内注水，并同时开始计时.在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm 的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（ ）A .正比例函数关系B .一次函数关系C .二次函数关系D .反比例函数关系二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.若代数式17x -有意义，则实数x 的取值范围是__________. 10.已知关于x 的方程220x x k ++=有两个相等的实数根，则k 的值是___________.11.___________. 12.方程组137x y x y -=⎧⎨+=⎩的解为_________.13.在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =与双曲线my x=交于,A B 两点.若点,A B 的纵坐标分别为1y ，2y ，则12y y +的值为__________.14.如图，在ABC ∆中，AB AC =，点D 在BC 上（不与点,B C 重合）.只需添加一个条件即可证明ABD ACD ∆∆≌，这个条件可以是________（写出一个即可）.15.如图所示的网格是正方形网格，,,,A B C D 是网格线交点，则ABC ∆的面积与ABD ∆的面积的大小关系为：ABC S ∆___________ABD S ∆（填“>”，“=”或“<”）.16.下图是某剧场第一排座位分布图.甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为2，3，4，5.每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小.如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票.若丙第一个购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序___________.三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.计算：11|2|6sin 453-︒⎛⎫+-- ⎪⎝⎭.18.解不等式组：5322132x x x x ->⎧⎪-⎨<⎪⎩19.已知2510x x --=，求代数式()()()32322x x x x +-+-的值. 20.已知：如图，ABC ∆为锐角三角形，AB AC =，CDAB .求作：线段BP ，使得点P 在直线CD 上，且12ABP BAC ∠=∠. 作法：①以点A 为圆心，AC 长为半径画圆，交直线CD 于,C P 两点； ②连接BP.线段BP 就是所求作的线段.（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明. 证明：∵CDAB ，∴ABP ∠=___________. ∵AB AC =，∴点B 在A 上.又∵点,C P 都在A 上，∴12BPC BAC ∠=∠（____________）（填推理的依据）. ∴12ABP BAC ∠=∠.21.如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AD 的中点，点,F G 在AB 上，EF AB ⊥，OG EF .（1）求证：四边形OEFG 是矩形；（2）若10AD =，4EF =，求OE 和BG 的长.22.在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()0y kx b k =+≠的图象由函数y x =的图象平移得到，且经过点()1,2.（1）求这个一次函数的解析式；（2）当1x >时，对于x 的每一个值，函数()0y mx m =≠的值大于一次函数y kx b =+的值，直接写出m 的取值范围. 23.如图，AB 为O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 是O 的切线，D 为切点，OF AD ⊥于点E ，交CD 于点F .（1）求证：ADC AOF ∠=∠；（2）若1sin 3C =，8BD =，求EF 的长. 24.小云在学习过程中遇到一个函数()21||1(2)6y x x x x =-+-.下面是小云对其探究的过程，请补充完整： （1）当20x -≤<时，对于函数1||y x =，即1y x =-，当20x -≤<时，1y 随x 的增大而_______，且10y >；对于函数221y x x =-+，当20x -≤<时，2y 随x 的增大而__________，且20y >；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y ，当20x -≤<时，y 随x 的增大而__________. （2）当0x ≥时，对于函数y ，当0x ≥时，y 与x 的几组对应值如下表：结合上表，进一步探究发现，当0x ≥时，y 随x 的增大而增大.在平面直角坐标系xOy 中，画出当0x ≥时的函数y 的图象.（3）过点()()0,0m m >作平行于x 轴的直线l ，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l 与函数()21||1(2)6y x x x x =-+-的图象有两个交点，则m 的最大值是____________. 25.小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下：a .小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图：b .小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：（1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为___________（结果取整数）；（2）已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的__________倍（结果保留小数点后一位）；（3）记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为21s ，5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为22s ，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为23s .直接写出21s ，22s ，23s 的大小关系.26.在平面直角坐标系xOy 中，()11,M x y ，()22,N x y 为抛物线()20y ax bx c a =++>上任意两点，其中12x x <.（1）若抛物线的对称轴为1x =，当1x ，2x 为何值时，12y y c ==；（2）设抛物线的对称轴为x t =.若对于123x x +>，都有12y y <，求t 的取值范围.27.在ABC ∆中，90C ∠=︒，AC BC >，D 是AB 的中点.E 为直线AC 上一动点，连接DE ，过点D 作DF DE ⊥，交直线BC 于点F ，连接EF .（1）如图1，当E 是线段AC 的中点时，设AE a =，BF b =，求EF 的长（用含,a b 的式子表示）； （2）当点E 在线段CA 的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE ，EF ，BF 之间的数量关系，并证明.28.在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，,A B 为O 外两点，1AB =.给出如下定义：平移线段AB ，得到O 的弦A B ''（A '，B '分别为点,A B 的对应点），线段AA '长度的最小值称为线段AB 到O 的“平移距离”.（1）如图，平移线段AB 得到O 的长度为1的弦12P P 和34P P ，则这两条弦的位置关系是__________；在点1P ，2P ，3P ，4P 中，连接点A 与点________的线段的长度等于线段AB 到O 的“平移距离”；（2）若点,A B 都在直线y =+上，记线段AB 到O 的“平移距离”为1d ，求1d 的最小值；（3）若点A 的坐标为32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，记线段AB 到O 的“平移距离”为2d ，直接写出2d 的取值范围. 参考答案一、选择题1.【解析】：长方体的三视图都是长方形.故选：D2.【解析】：将36000用科学记数法表示为43.610⨯.故选：C3.【解析】：由两直线相交，对顶角相等可知A 正确；由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可知B 选项的23∠>∠，C 选项145∠=∠+∠，D 选项的25∠>∠.故选：A4.【解析】：正方形既是中心对称图形又是轴对称图形.故选：D5.【解析】：任意多边形的外角和都为360︒，与边数无关.故选：B6.【解析】：由于||2a <，且b 在a -与a 区间范围内，所以b 到原点的距离一定小于2.故选：B7.【解析】：由题意，共4种情况：11+；12+；21+；22+，其中满足题意的有两种.故选：C8.【解析】：因为水面高度“匀速”增加，且初始水面高度不为0.故选：B二、填空题9.7x ≠ 10.1 11.3 12.21x y =⎧⎨=⎩ 13.014.D 为BC 中点 15.= 16.丙，丁，甲，乙 9.【解析】：分母不能为0.10.【解析】：由题意：440k ∆=-=.所以1k =. 11.【解析】：答案不唯一，2或3都对12.【解析】：略.21x y =⎧⎨=⎩13.【解析】：根据一次函数y x =与反比例函数交点关于原点对称，所以120y y +=. 14.【解析】：答案不唯一：因为D 为BC 中点，所以BD CD =，AB AC =，AD AD =. 所以()ADB ACD SSS ∆∆≌.15.【解析】：由网格可求4ABD S ∆=，4ABC S ∆=.所以面积相等.16.【解析】：答案不唯一；丙先选择：1，2，3，4.丁选：5，7，9，11，13.甲选：6，8.乙选：10，12，14.所以顺序为丙，丁，甲，乙.三、解答题17.【解析】：解：原式325=+-= 18.【解析】：解：解①式得：1x >，解②式得：2x < ∴此不等式组的解集为12x <<19.【解析】：解：原式2229421024x x x x x =-+-=-- ∵2510x x --=∴251x x -=∴21022x x -= ∴原式242=-=- 20.【解析】： （1）如图所示（2）BPC ∠；在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半. 21【解析】：（1）∵四边形ABCD 为菱形∴点O 为BD 中点 ∵点E 为AD 中点∴OE 为ABD ∆的中位线 ∴OEFG ∵OG EF∴四边形OEFG 为平行四边形 ∵EF AB ⊥∴平行四边形OEFG 为矩形 （2）∵点E 为AD 中点，10AD = ∴152AE AD ==∵90EFA ∠=︒，4EF =∴在Rt AEF ∆中，3AF ==∵四边形ABCD 为菱形 ∴10AB AD ==∴152OE AB == ∵四边形OEFG 为矩形∴5FG OE == ∴10352BG AB AF FG =--=--=22.【解析】（1）∵一次函数()0y kx b k =+≠且由y x =平移得到 ∴1k =将点()1,2代入y x b =+可得1b = ∴一次函数的解析式为1y x =+（2）当1x >时，函数()0y mx m =≠的函数值都大于1y x =+， 即图像在1y x =+上方，由下图可知：临界值为当1x =时，两条直线都过点()1,2， ∴当1x >，2m >时，()0y mx m =≠的函数值都大于1y x =+.又因为1x >，所以m 可取值2，即2m =， 所以m 的取值范围为2m ≥. 23.【解析】：（1）连接OD∵CD 是O 的切线∴OD CD ⊥∴90ADC ODA ︒∠+∠=∵OF AD ⊥∴90AOF DAO ∠+∠=︒ ∵ODA DAO ∠=∠故ADC AOF ∠=∠ （2）设半径为r ，在Rt OCD ∆中，1sin 3C = ∴13OD OC =∴OD r =，3OC r = ∵OA r =∴2AC OC OA r =-= ∵AB 为O 的直径∴90ADB ∠=︒∴OFBD ∴12OE OA BD AB ==∴4OE = ∵34OF OC BD BC ==∴6OF = ∴2EF OF OE =-=24.【解析】：（1）减小，减小，减小 （2）根据表格描点，连成平滑的曲线即可（3）73 当2x =-时，73y = 25.【解析】：（1）平均数为：()()()10010170102501030173⎡⎤⎣⎦⨯+⨯+⨯÷≈（千克） （2）13360 2.9÷≈倍（3）方差反应数据的稳定程度，即从点状图中表现数据的离散程度，所以从图中可知：122223S S S >>26.【解析】：（1）抛物线必过()0,c ，因为12y y c ==， 所以点,M N 关于1x =对称，又∵12x x < ∴10x =，22x =（2）情况1：当1x t ≥，12y y <恒成立 情况2：当1x t <，2x t ≤，12y y <恒不成立 情况3：当1x t <，2x t ≤，要12y y <，必有122x x t +=>，∴23t ≤，∴32t ≤ 27.【解析】：（1）∵D 是AB 的中点，E 是线段AC 的中点 ∴DE 为ABC ∆的中位线∴DE BC ∵90C ∠=︒∴90DEC ∠=︒∵DF DE ⊥∴90EDF ∠=︒∴四边形DECF 为矩形. ∴12DE CF BC ==，∴BF CF =，∴12DF CE AC ==∴EF =（2）过点B 作AC 的平行线交ED 延长线于点G ，连接FG ∵BG AC ∴EAD GBD ∠=∠，DEA DGB ∠=∠ ∵D 是AB 的中点∴AD BD =∴EAD GBD ∆∆≌ ∴ED GD =，AE BG =∵DF DE ⊥∴DF 是线段EG 的垂直平分线∴EF FG =∵90C ∠=︒，BG AC ∴90GBF ∠=︒，在Rt BGF ∆中，222FG BG BF =+∴222EF AE BF =+28.【解析】：（1）平行；3P（2）如图，线段AB 在直线y =+上，平移之后与圆相交，得到的弦为CD ，CD AB ，过点O 作OE AB ⊥于点E ，交弦CD 于点F ，OF CD ⊥ 令0y =，直线与x 轴交点为()2,0-，直线与x 轴夹角为60︒，∴2sin 60OE ︒==由垂径定理得：2OF ==∴12d OE OF =-= （3）如图，线段AB 的位置变换，可以看作是以点32,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，半径为1的圆，只需在O 找到与之平行，且长度为1的弦即可：点A 到O 的距离为52AO == 如图，平移距离2d 的最小值即点A 到O 的最小值：53122-=平移距离2d 的最大值即点A 到O 的最大值：57122+=所以2d 的取值范围为：23722d ≤≤祝福语祝你考试成功!。

数学试卷 第1页（共24页） 数学试卷 第2页（共24页）绝密★启用前2020年北京市高级中等学校招生考试数 学考生须知：1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题。

满分100分。

考试时间120分钟.2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1~8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1.如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A .圆柱B .圆锥C .三棱柱D .长方体2.2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36 000公里的地球同步轨道．将36 000用科学记数法表示应为（ ）A .50.3610⨯B .53.610⨯C .43.610⨯D .33610⨯ 3.如图，AB 和CD 相交于点O ，则下列结论正确的是（ ）A .1=2∠∠B .2=3∠∠C .14+5∠∠∠＞D .25∠∠＜4.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）AB C D 5.正五边形的外角和为（ ）A .180°B .360°C .540°D .720°6.实数a 在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数b 满足-＜＜a b a ，则b 的值可以是（ ）A .2B .1-C .2-D .3-7.不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别.从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（ ）A .14B .13C .12D .238.有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是10cm ，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm 的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（ ）A .正比例函数关系B .一次函数关系C .二次函数关系D .反比例函数关系二、填空题（本题16分，每小题2分）9.若代数式17-x 有意义，则实数x 的取值范围是________．毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________-------------在------------------此------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-------------------效----------------数学试卷 第3页（共24页） 数学试卷 第4页（共24页）10.已知关于x 的方程220++=x x k 有两个相等的实数根，则k 的值是________． 11.________．12.方程组137-=⎧⎨+=⎩，x y x y 的解为________．13.在平面直角坐标系xOy 中，直线=y x 与双曲线=my x交于，A B 两点．若点，A B 的纵坐标分别为12，y y ，则12+y y 的值为________．14.如图在△ABC 中，=AB AC ，点D 在BC 上（不与点，B C 重合）．只需添加一个条件即可证明≅△△ABD ACD ，这个条件可以是________（写出一个即可）.15.如图所示的网格是正方形网格，，，，A B C D 是网格线交点，则△ABC 的面积与△ABD 的面积的大小关系为：△ABC S ________△ABD S （填“＞”，“＝”或“＜”）.16.下图是某剧场第一排座位分布图：甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一个购票，要使其他三人都能购买 到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序________．三、解答题（本题共68分，第17~20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23~24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27~28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.计算：1°126sin 453-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭.18.解不等式组：53221.32-⎧⎪-⎨⎪⎩＞，＜x x x x19.已知2510--=x x ，求代数式()()()32322+-+-x x x x 的值． 20.已知：如图，△ABC 为锐角三角形，=AB AC ，CDAB ．求作：线段BP ，使得点P 在直线CD 上，且12∠=∠ABP BAC .作法：①以点A 为圆心，AC 长为半径画圆，交直线CD 于C ，P 两点；②连接BP ．线段BP 就是所求作的线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵CDAB ，∠∴ABP =________.=∵AB BC ，∴点B 在A 上，又∵点，C P 都在A 上，12∠=∠∴BPC BAC （________）（填推理的依据）.12∠=∠∴ABP BAC .数学试卷 第5页（共24页） 数学试卷 第6页（共24页）-------------在------------------此----------------卷------------------上-------------------答-------------------题-----------------无-------------------效-----------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________21.如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AD 的中点，点，F G 在AB 上，⊥EF AB ，OGEF ．（1）求证：四边形OEFG 是矩形；（2）若10=AD ，4=EF ，求OE 和BG 的长．22.在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()0=+≠y kx b k 的图象由函数=y x 的图象平移得到，且经过点()12，． （1）求这个一次函数的解析式；（2）当1＞x 时，对于x 的每一个值，函数()0=≠y mx m 的值大于一次函数=+y kx b 的值，直接写出m 的取值范围．23.如图，AB 为O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 是O 的切线，D 为切点，⊥OF AD 于点E ，交CD 于点F ．（1）求证：∠=∠ADC AOF ；（2）若1sin 3=C ，8=BD ，求EF 的长．24.小云在学习过程中遇到一个函数()()21126=-+-≥y x x x x ．下面是小云对其探究的过程，请补充完整： （1）当20-≤＜x 时，对于函数1||=y x ，即1=-y x ，当20-≤＜x 时，1y 随x 的增大而________，且10＞y ；对于函数221=-+y x x ，当20-≤＜x 时，2y 随x 的增大而________，且20＞y ；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y ，当20-≤＜x 时，y 随x 的增大而________．（2）当0≥x 时，y y x综合上表，进一步探究发现，当0≥x 时，y 随x 的增大而增大．在平面直角坐标系xOy 中，画出当0≥x 时的函数y 的图象．（3）过点()0，m ()0＞m 作平行于x 轴的直线l ，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l 与函数()()21126=-+-≥y x x x x 的图象有两个交点，则m 的最大值是________．25.小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下：a .小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图：数学试卷 第7页（共24页） 数学试卷 第8页（共24页）b .（1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为________（结果取整数）； （2）已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的________倍（结果保留小数点后一位）；（3）记该小区5月1日至10日厨余垃圾分出量的方差为21s ，5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为22s ，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为23s ．直接写出222123，，s s s 的大小关系．26.在平面直角坐标系xOy 中，()()1122，，，M x y N x y 为抛物线()20=++＞y ax bx c a 上任意两点，其中12＜x x ．（1）若抛物线的对称轴为1=x ，当12，x x 为何值时，12==y y c ；（2）设抛物线的对称轴为=x t ．若对于123+＞x x ，都有12＜y y ，求t 的取值范围．27.在△ABC 中，°90∠=C ，＞AC BC ，D 是AB 的中点．E 为直线AC 上一动点，连接DE ，过点D 作⊥DF DE ，交直线BC 于点F ，连接EF ．（1）如图1，当E 是线段AC 的中点时，设=AE a ，=BF b ，求EF 的长（用含，a b的式子表示）；（2）当点E 在线段CA 的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE ，EF ，BF 之间的数量关系，并证明．28.在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，，A B 为O 外两点，1=AB ． 给出如下定义：平移线段AB ，得到O 的弦''A B （''，A B 分别为点，A B 的对应点），线段'AA 长度的最小值称为线段AB 到O 的“平移距离”.（1）如图，平移线段AB 得到O 的长度为1的弦12P P 和34P P ，则这两条弦的位置关系是________；在点1234，，，P P P P 中，连接点A 与点________的线段的长度等于线段AB 到O 的“平移距离”；（2）若点，A B 都在直线=+y 记线段AB 到O 的“平移距离”为1d ，求1d 的最小值；（3）若点A 的坐标为322⎛⎫⎪⎝⎭，，记线段AB 到O 的“平移距离”为2d ，直接写出2d 的取值范围.的数学试卷 第9页（共24页） 数学试卷 第10页（共24页）2020年北京市高级中等学校招生考试数学答案解析一、 1.【答案】D【解析】长方体的三视图都是长方形，故选D. 【考点】几何体的三视图 2.【答案】C【解析】科学记数法的表示形式为n a 10⨯的形式，其中1a 10≤＜，n 为整数．当原数绝对值大于1时，n 是正数；当原数绝对值小于1时，n 是负数．解：436000 3.610=⨯，故选：C ．【考点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 3.【答案】A【解析】根据对顶角性质、三角形外角性质分别进行判断，即可得到答案． 解：由两直线相交，对顶角相等可知A 正确； 由三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和可知 B 选项为23∠∠＞， C 选项为145∠=∠+∠， D 选项为25∠∠＞． 故选：A ．【考点】三角形的外角性质，对顶角性质 4.【答案】D【解析】根据中心对称图形以及轴对称图形的定义即可作出判断． 解：A .是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误； B .不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项错误； C .不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误； D .既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项正确． 故选：D ．【考点】中心对称图形的定义，轴对称图形的定义 5.【答案】B【解析】任意多边形的外角和都为360°，与边数无关，故选：B ． 【考点】多边形的外角和定理 6.【答案】B【解析】先根据数轴的定义得出a 的取值范围，从而可得出b 的取值范围，由此即可得．由数轴的定义得：12＜＜a 21---∴＜＜a 2∴＜a又-∵＜＜a b a∴b 到原点的距离一定小于2观察四个选项，只有选项B 符合 故选：B ．【考点】数轴的定义 7.【答案】C【解析】先根据题意画出树状图，再利用概率公式计算即可． 解：画树状图如下：所以共4种情况：其中满足题意的有两种，所以两次记录的数字之和为3的概率是2142=故选C ．【考点】画树状图求解概率 8.【答案】B数学试卷 第11页（共24页） 数学试卷 第12页（共24页）【解析】设水面高度为h cm ，注水时间为t 分钟，根据题意写出h 与t 的函数关系式，从而可得答案．【详解】解：设水面高度为h cm ，注水时间为t 分钟， 则由题意得：0.210=+h t ，所以容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系， 故选B ．【考点】列函数关系式，判断两个变量之间的函数关系 二、9.【答案】7≠x【解析】根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．解：∵代数式17-x 有意义，分母不能为0，可得70-≠x ，即7≠x ，故答案为：7≠x .【考点】分式有意义的条件 10.【答案】1【解析】由一元二次方程根的判别式列方程可得答案． 解：一元二次方程有两个相等的实数根， 可得判别式0∆=，440-=∴k ，解得：1=k ． 故答案为：1【考点】一元二次方程根的判别式 11.【答案】2（或3）在哪两个相邻的整数之间，依此即可得到答案．解：12，34，∴2或3．故答案为：2（或3）【考点】实数的大小比较，无理数的估算的知识12.【答案】21=⎧⎨=⎩x y【解析】用加减消元法解二元一次方程组即可． 解：两个方程相加可得48=x ，2=∴x ，将2=x 代入1-=x y ， 可得1=y ，故答案为：21=⎧⎨=⎩x y ．【考点】二元一次方程组 13.【答案】0【解析】根据“正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称”即可求解. 解：∵正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O 对称，∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称，120+=∴y y ，故答案为：0.【考点】正比例函数和反比例函数的图像性质 14.【答案】∠=∠BAD CAD （或=BD CD ）【解析】证明≅△△ABD ACD ，已经具备==，AB AC AD AD ，根据选择的判定三角形全等的判定方法可得答案． 解：==∵，AB AC AD AD ，∴要使≅△△ABD ACD ，则可以添加：∠=∠BAD CAD ，此时利用边角边判定：≅△△ABD ACD ， 或可以添加：=BD CD ，此时利用边边边判定：≅△△ABD ACD ， 故答案为：∠=∠BAD CAD （或=BD CD ）. 【考点】三角形全等的判定数学试卷 第13页（共24页） 数学试卷 第14页（共24页）15.【答案】=【解析】在网格中分别计算出三角形的面积，然后再比较大小即可． 解：如下图所示，设小正方形网格的边长为1个单位，由网格图可得14242=⨯⨯=△ABC S 个平方单位， 123111=52101513224222⨯---=-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=△ABD S S S S ，故有=△△ABC ABD S S . 故答案为：“=” 【考点】三角形的面积公式 16.【答案】丙，丁，甲，乙【解析】根据甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数量分别为2，3，4，5可得若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，那么丙选座要尽可能得小，因此丙先选择：1，2，3，4．丁所购票数最多，因此应让丁第二购票，据此判断即可． 解：丙先选择：1，2，3，4． 丁选：5，7，9，11，13． 甲选：6，8． 乙选：10，12，14．∴顺序为丙，丁，甲，乙．（答案不唯一） 【考点】有理数的加法 三、17.【答案】解：原式=3262+-⨯32=+-5=.【解析】分别计算负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，再合并即可得到答案．具体解题过程参照答案.【考点】负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，合并同类二次根式18.【答案】解：5322132-⎧⎪⎨-⎪⎩＞①＜②x x x x解不等式①得：1＞x ， 解不等式②得：2＜x ，∴此不等式组的解集为12＜＜x ．【解析】分别解每一个不等式，然后即可得出解集．解题过程参照答案. 【考点】一元一次不等式组【考查能力】推理，空间观念与几何直观 19.【答案】解：原式=22942-+-x x x2102 4.=--x x 2510--=∵x x ，251-=∴x x ， 21022-=∴x x ，∴原式=242-=-.【解析】先按照整式的混合运算化简代数式，注意利用平方差公式进行简便运算，再把2510--=x x 变形后，整体代入求值即可．具体解题过程参照答案.【考点】整式化简求值20.【答案】（1）解：依据作图提示作图如下：数学试卷 第15页（共24页） 数学试卷 第16页（共24页）（2）∠BPC ，在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半. 证明：∵CDAB ，∠∴ABP =________∠BPC ________．=∵AB AC ，∴点B 在A 上，又12∠=∠∴BPC BAC （在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．）（填推理依据）12∠=∠∴ABP BAC .故答案为：∠BPC ；在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半． 【解析】（1）按照作法的提示，逐步作图即可；具体解题过程参照答案.（2）利用平行线的性质证明：∠=∠ABP BPC ，再利用圆的性质得到：12∠=∠BPC BAC ，从而可得答案．具体解题过程参照答案. 【考点】作图，平行线的性质，圆的基本性质 21.【答案】（1）∵四边形ABCD 为菱形，∴点O 为BD 中点， ∵点E 为AD 中点， ∴OE 为△ABD 的中位线，∴OE FG ∵OGEF∴四边形OEFG 为平行四边形 ⊥∵EF AB∴平行四边形OEFG 为矩形（2）∵点E 为AD 中点，10=AD152==∴AE AD°90∠=∵EFA ，4=EF∴在△Rt AEF中，3===AF∵四边形ABCD 为菱形10==∴AB AD152==∴OE AB∵四边形OEFG 为矩形5==∴FG OE10352=--=--=∴BG AB AF FG ．【解析】（1）根据菱形的性质得到⊥BD AC ，∠=∠DAO BAO ，得到12=AE OEAD ，推出OEFG ，求得四边形OEFG 是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论.具体解题过程参照答案.（2）根据菱形的性质得到⊥BD AC ，10==AB AD ，得到152===OE AE AD ；由（1）知，四边形OEFG 是矩形，求得5==FG OE ，根据勾股定理得到3==A F ，于是得到结论.具体证明过程参照答案.【考点】矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质 22.【答案】（1）∵一次函数()0=+≠y kx b k 由=y x 平移得到，1=∴k ，将点()12，代入=+y x b 可得1=b ， ∴一次函数的解析式为1=+y x ；（2）当1＞x 时，函数()0=≠y mx m 的函数值都大于1=+y x ，即图象在1=+y x 上方，由下图可知：临界值为当1=x 时，两条直线都过点()12，， ∴当12＞，＞x m 时，()0=≠y mx m 都大于1=+y x ， 又1∵＞x ， ∴m 可取值2，即2=m，数学试卷 第17页（共24页） 数学试卷 第18页（共24页）∴m 的取值范围为2≥m .【解析】（1）根据一次函数()0=+≠y kx b k 由=y x 平移得到可得出k 值，然后将点()12，代入=+y x b 可得b 值即可求出解析式.具体解题过程参照答案.（2）由题意可得临界值为当1=x 时，两条直线都过点()12，，即可得出当12＞，＞x m 时，()0=≠y mx m 都大于1=+y x ，根据1＞x ，可得m 可取值2，可得出m 的取值范围．具体解题过程参照答案.【考点】求一次函数解析式，函数图像的平移，一次函数的图像 23.【答案】（1）解：连接OD ，∵AB 为O 的直径，°90∠=∴ADB ，⊥∴AD BD ，⊥∵OF AD ， ∴OFBD ，∠=∠∴AOF B ，∵CD 是O 的切线，D 为切点，°90∠=∴CDO ，°90∠+∠=∠+∠=∴CDA ADO ADO BDO , ∠=∠∴CDA BDO ，=∵OD OB ， ∠=∠∴ODB B ， ∠=∠∴AOF ADC ；（2）∵OFBD ，=AO OB ，=∴AE DE ，118422==⨯=∴OE BD ，1sin 3==∵OD C OC ， ∴设3==，OD x OC x ，=∴OB x ， 4=∴CB x ， ∵OFBD ，∴△△COF CBD ∽，=∴OC OF BC BD ， 348=∴x OF x ， 6=∴OF ，642=-=-=∴EF OF OE ．【解析】（1）连接OD ，根据圆周角定理得到°90∠=ADB ，根据平行线的性质得到∠=∠AOF B ，根据切线的性质得到°90∠=CDO ，等量代换即可得到结论.具体解题过程参照答案.（2）根据三角形中位线定理得到118422==⨯=OE BD ,设3==，OD x OC x ，根据相似三角形的性质即可得到结论．具体解题过程参照答案.【考点】切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，平行线的判定和性质24.【答案】（1）减小 减小 减小根据题意，在函数1=-y x 中，10=-∵＜k ，∴函数1=-y x 在20-≤＜x 中，1y 随x 的增大而减小；22213124⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭∵y x x x ，∴对称轴为：1=x ，221=-+∴y x x 在20-≤＜x 中，2y 随x 的增大而减小；数学试卷 第19页（共24页） 数学试卷 第20页（共24页）综合上述，()2116=--y x x x 在20-≤＜x 中，y 随x 的增大而减小； 故答案为：减小，减小，减小；（2）根据表格描点，连成平滑的曲线，如图：（3）73由（2）可知，当0≥x 时，y 随x 的增大而增大，无最大值；由（1）可知()2116=-+y x x x 在20-≤＜x 中，y 随x 的增大而减小；∴在20-≤＜x 中，有当2=-x 时，73=y ，∴m 的最大值为73；故答案为：73．【解析】（1）根据一次函数的性质，二次函数的性质分别进行判断，即可得到答案.具体解题过程参照答案.（2）根据表格的数据，进行描点，连线，即可画出函数的图像.具体解题过程参照答案. （3）根据函数图像和性质，当2=-x 时，函数有最大值，代入计算即可得到答案．具体解题过程参照答案.【考查能力】二次函数的性质，一次函数的性质，函数的最值问题 25.【答案】（1）173平均数：()()()1100100+17010+25010=17330⨯⎡⨯⨯⨯⎤⎣⎦（千克）； 故答案为：173； （2）2.9倍17360 2.9÷=倍；故答案为：2.9；（3）方差反应数据的稳定程度，即从点状图中表现数据的离散程度， 所以从图中可知：222123＞＞s s s ；【解析】（1）利用加权平均数的计算公式进行计算，即可得到答案.具体解题过程参照答案.（2）利用5月份的平均数除以4月份的平均数，即可得到答案.具体证明过程参照答案. （3）直接利用点状图和方差的意义进行分析，即可得到答案.具体解题过程参照答案.【考点】方差的意义，平均数，数据的分析处理 26.【答案】（1）解：（1）当0=x 时，=y c ， 即抛物线必过()0，c ，12==∵y y c ，抛物线的对称轴为1=x ，∴点，M N 关于1=x 对称，又12∵＜x x ，1202==∴，x x ；（2）由题意知，0＞a ，∴抛物线开口向上∵抛物线的对称轴为=x t ，12＜x x∴情况1：当12，x x 都位于对称轴右侧时，即当1≥x t 时，12＜y y 恒成立情况2：当12，x x 都位于对称轴左侧时，即12＜，≤x t x t 时，12＜y y 恒不成立情况3：当12，x x 位于对称轴两侧时，即当12＜，＞x t x t 时，要使12＜y y ，必有12--＜x t x t ，即()()2212--＜x t x t解得122+＞x x t ，32∴≥t ，32∴≤t .综上所述，32≤t ．【解析】（1）根据抛物线解析式得抛物线必过()0，c ，因为12==y y c ，抛物线的对称数学试卷 第21页（共24页） 数学试卷 第22页（共24页）轴为1=x ，可得点，M N 关于1=x 对称，从而得到12，x x 的值.具体解题过程参照答案.（2）根据题意知，抛物线开口向上，对称轴为=x t ，分3种情况讨论，情况1：当12，x x 都位于对称轴右侧时，情况2：当12，x x 都位于对称轴左侧时，情况3：当12，x x 位于对称轴两侧时，分别求出对应的t 值，再进行总结即可． 【考点】二次函数图象的性质27.【答案】（1）D ∵是AB 的中点，E 是线段AC 的中点，∴DE 为△ABC 的中位线∴DEBC°90∠=∵C°90∠=∴DEC⊥∵DF DE°90∠=∴EDF∴四边形DECF 为矩形．12==∴DE CF BC ，=∴BF CF ，12==∴DF CE AC ，==∴EF故答案为：=EF ．（2）过点B 作AC 的平行线交ED 延长线于点G ，连接FG ，如下图所示：∵BGAC ，∠=∠∴EAD GBD ，∠=∠DEA DGB ，∵D 是AB 的中点， =∴AD BD ，()≅∴△△EAD GBD AAS ，=∴ED GD ，=AE BG ，⊥∵DF DE ，∴DF 是线段EG 的垂直平分线，=∴EF FG ，°90∠=∵ACB ，BG AC ，°90∠=∴GBF ，在△Rt BGF 中，222=+FG BG BF ，222=+∴EF AE BF ．故答案为：222=+EF AE BF ．【解析】（1）由三角形中位线定理得到12=DE BC ，12=DF AC ，再在△Rt DEF 中由勾股定理即可求解. 具体解题过程参照答案.（2）先证明≅△△EAD GBD ，由此得到DF 是GF 的垂直平分线，进而=EF FG ，最后在△Rt BFG 中由勾股定理即可求得222=+EF AE BF ．具体解题过程参照答案. 【考点】三角形中位线定理，勾股定理，三角形全等的性质和判定数学试卷 第23页（共24页） 数学试卷 第24页（共24页）28.【答案】（1）平行3P（2）如图，线段AB在直线=+y CD ，CDAB ，过点O 作⊥OE AB 于点E ，交弦CD 于点F ，⊥OF CD ，令0=y ，直线与x 轴交点为()20-，，直线与x 轴夹角为60，2sin 60︒==∴OE由垂径定理得：=OF ，1=-=∴d OE OF（3）线段AB 的位置变换，可以看作是以点322⎛⎫⎪⎝⎭，A 为圆心，半径为1的圆，只需在O内找到与之平行，且长度为1的弦即可；点A 到O的距离为52=AO ．如图，平移距离2d 的最小值即点A 到O 的最小值：53122-=；平移距离2d 的最大值线段是下图AB 的情况，即当12，A A 关于OA 对称，且1212⊥A B A A 且121=A B 时.°22160∠=B A A ，则°2130∠=OA A ，22112===∵，∴，OA OM A M23===∴，MA AA ,2∴d的取值范围为：232≤d【解析】（1）根据圆的性质及“平移距离”的定义填空即可；（2）过点O 作⊥OE AB 于点E ，交弦CD 于点F ，分别求出、OE OF 的长，由1=-d OE OF 得到1d 的最小值；具体解题过程参照答案.（3）线段AB 的位置变换，可以看作是以点322⎛⎫⎪⎝⎭，A 为圆心，半径为1的圆，只需在O内找到与之平行，且长度为1的弦即可．平移距离2d 的最大值即点，A B 点的位置，由此得出2d 的取值范围．具体解题过程参照答案. 【考点】圆的基本性质，一次函数的综合运用。