2017-2018学年高中数学人教A版选修4-4第二讲参数方程三直线的参数方程课堂导学案 精品

曲线的参数方程教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。

2．分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。

3．会进行参数方程和普通方程的互化。

教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。

参数方程和普通方程的互化。

教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。

参数方程和普通方程的等价互化。

教学过程一．参数方程的概念1．探究：（1）平抛运动： 为参数）t gt y tx (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-== 练习：斜抛运动：为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα2．参数方程的概念 （见教科书第22页） 说明：（1）一般来说，参数的变化X 围是有限制的。

（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。

例1．（教科书第22页例1）已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y tx (t 为参数) （1）判断点M 1(0,1),M 2(5,4)与曲线C 的位置关系； （2）已知点M 3(6,a )在曲线C 上，求a 的值。

)0,1()21,21()21,31()7,2()(2cos sin 2D C B A y x ，、，、，、的坐标是表示的曲线上的一个点为参数、方程θθθ⎩⎨⎧==A 、一个定点B 、一个椭圆C 、一条抛物线D 、一条直线二．圆的参数方程)(sin cos 为参数t t r y t r x ⎩⎨⎧==ωω)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x说明：（1）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。

（2）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值X 围。

例2．（教科书第24页例2）思考：你能回答教科书第25页的思考吗？三．参数方程和普通方程的互化1．阅读教科书第25页，明确参数方程和普通方程的互化的方法。

[对应学生用书P27]1．直线的参数方程(1)过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)(2)由α为直线的倾斜角知α∈[0，π)时，sin α≥0. 2．直线参数方程中参数t 的几何意义参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离． (1)当M 0M ―→与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数． (2)当M 0M ―→与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0.[对应学生用书P27][例1] 已知直线l 的方程为3x －4y ＋1＝0，点P (1,1)在直线l 上，写出直线l 的参数方程，并求点P 到点M (5,4)的距离．[思路点拨] 由直线参数方程的概念，先求其斜率，进而由斜率求出倾斜角的正、余弦值，从而得到直线参数方程．[解] 由直线方程3x －4y ＋1＝0可知，直线的斜率为34，设直线的倾斜角为α，则tan α＝34，sin α＝35，cos α＝45. 又点P (1,1)在直线l 上，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝1＋35t(t 为参数)．因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M 在直线l 上． 由1＋45t ＝5，得t ＝5，即点P 到点M 的距离为5.理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t 的几何意义，即直线上动点M 到定点M 0的距离等于参数t 的绝对值是解决此类问题的关键．1．设直线l 过点A (2，－4)，倾斜角为5π6，则直线l 的参数方程为________________．解析：直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos 5π6，y ＝－4＋t sin 5π6(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t ，y ＝－4＋12t(t 为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t ，y ＝－4＋12t(t 为参数)2．一直线过P 0(3,4)，倾斜角α＝π4，求此直线与直线3x ＋2y ＝6的交点M 与P 0之间的距离．解：设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝4＋22t ，将它代入已知直线3x ＋2y －6＝0， 得3(3＋22t )＋2(4＋22t )＝6. 解得t ＝－1125， ∴|MP 0|＝|t |＝1125.[例2] 已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6， (1)写出直线l 的参数方程．(2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． [思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方程；(2)充分利用参数几何意义求解．[解] (1)∵直线l 过点P (1,1)，倾斜角为π6， ∴直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t为所求．(2)因为点A ，B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2，则点A ，B 的坐标分别为A (1＋32t 1,1＋12t 1)，B (1＋32t 2,1＋12t 2)，以直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4整理得到t 2＋(3＋1)t －2＝0，①因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2. 所以|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝|－2|＝2.求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求出交点坐标，根据直线参数方程中参数t 的几何意义即可求得结果，与常规方法相比较，较为简捷．3．直线l 通过P 0(－4,0)，倾斜角α＝π6，l 与圆x 2＋y 2＝7相交于A 、B 两点． (1)求弦长|AB |； (2)求A 、B 两点坐标．解：∵直线l 通过P 0(－4,0)，倾斜角α＝π6， ∴可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝t 2.代入圆方程，得(－4＋32t )2＋(12t )2＝7. 整理得t 2－43t ＋9＝设A 、B 对应的参数分别t 1和t 2， 由根与系数的关系得t 1＋t 2＝43，t 1t 2＝9 ∴|AB |＝|t 2－t 1|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝2 3.解得t 1＝33，t 2＝3，代入直线参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝12t ，得A 点坐标(12，332)，B 点坐标(－52，32)．4.如图所示，已知直线l 过点P (2,0)，斜率为43，直线l 和抛物线y 2＝2x 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求：(1)P ，M 间的距离|PM |； (2)点M 的坐标．解：(1)由题意，知直线l 过点P (2,0)，斜率为43， 设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝43， cos α＝35，sin α＝45，∴直线l 的参数方程的标准形式为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35t ，y ＝45t(t 为参数)． *∵直线l 和抛物线相交，∴将直线l 的参数方程代入抛物线方程y 2＝2x 中， 整理得8t 2－15t －50＝0，Δ＝152＋4×8×50＞0. 设这个二次方程的两个根为t 1，t 2， 由根与系数的关系得t 1＋t 2＝158，t 1t 2＝－254. 由M 为线段AB 的中点， 根据t 的几何意义，得|PM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝1516. (2)因为中点M 所对应的参数为t M ＝1516， 将此值代入直线l 的参数方程的标准形式(*)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35×1516＝4116，y ＝45×1516＝34，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4116，34.[对应学生用书P28]一、选择题1．直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t2，y ＝2－32t ，M 0(－1,2)和M (x ，y )是该直线上的定点和动点，则t 的几何意义是( )A ．有向线段M 0M 的数量B ．有向线段MM 0的数量C ．|M 0M |D ．以上都不是解析：参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋(－12)(－t )，y ＝2＋32(－t ).答案：B2．曲线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(t 是参数)，则曲线是( ) A ．线段 B ．双曲线的一支 C ．圆D ．射线解析：由y ＝t 2－1得y ＋1＝t 2，代入x ＝3t 2＋2， 得x －3y －5＝0(x ≥2)．故选D. 答案：D3．直线⎩⎨⎧x ＝2＋3t ，y ＝－1＋t (t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )A ．1 B.10 C ．10D ．2 2解析：因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t 不具有几何意义，故不能直接由1－0＝1来得距离，应将t ＝0，t ＝1分别代入方程得到两点坐标(2，－1)和(5,0)，由两点间距离公式来求出距离，即(2－5)2＋(－1－0)2＝10.答案：B4．若直线⎩⎨⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，那么直线倾斜角α为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π6或5π6解析：直线化为yx ＝tan α，即y ＝tan α·x ， 圆方程化为(x －4)2＋y 2＝4， ∴由|4tan α|tan 2α＋1＝2⇒tan 2α＝13，∴tan α＝±33，又α∈[0，π)，∴α＝π6或5π6. 答案：D 二、填空题5．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝－3－22t(t 为参数)上到点M (2，－3)的距离为2且在点M下方的点的坐标是________．解析：把参数方程化成标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22(－t )，y ＝－3＋22(－t )，把－t 看作参数，所求的点在M (2，－3)的下方，所以取－t ＝－2，即t ＝2，所以所求点的坐标为(3，－4)．答案：(3，－4)6．若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－35t ，y ＝45t(t 为参数)，则直线l 的斜率为______．解析：由参数方程可知，cos θ＝－35，sin θ＝45.(θ为倾斜角)． ∴tan θ＝－43，即为直线斜率． 答案：－437．已知直线l 1：⎩⎨⎧ x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)，l 2：⎩⎨⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)，若l 1∥l 2，则k ＝____________；若l 1⊥l 2，则k ＝________.解析：将l 1，l 2的方程化为普通方程，得 l 1：kx ＋2y －4－k ＝0，l 2：2x ＋y －1＝0， l 1∥l 2⇒k 2＝21≠4＋k1⇒k ＝4. l 1⊥l 2⇒(－2)·(－k2)＝－1⇒k ＝－1.答案：4 －1 三、解答题8．设直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝5＋3t ，y ＝10－4t (t 为参数)．(1)求直线的普通方程；(2)将参数方程的一般形式化为参数方程的标准形式． 解：(1)把t ＝x －53代入y 的表达式 得y ＝10－4(x －5)3， 化简得4x ＋3y －50＝0，所以直线的普通方程为4x ＋3y －50＝0. (2)把参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35(－5t )，y ＝10＋45(－5t )，令t ′＝－5t ，即有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35t ′，y ＝10＋45t ′(t ′为参数)为参数方程的标准形式．9．已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长度．解：因为直线l 的斜率为1，所以直线l 的倾斜角为π4.椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点为(3，0)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，代入椭圆方程x 24＋y 2＝1，得⎝⎛⎭⎪⎫3＋22t 24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝1，1整理，得5t 2＋26t －2＝0. 设方程的两实根分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－265，t 1·t 2＝－25， |t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝⎝⎛⎭⎪⎫－2652＋85＝85，所以弦AB 的长为85.10．已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3,5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值． 解：(1)曲线C ：(x －1)2＋(y －2)2＝16， 直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0， 设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3，所以|P A ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3.。

三 直线的参数方程讲堂导学三点分析一、直线的参数方程和一般方程的互化【例 1】 写出直线 2x-y+1=0 的参数方程 , 并求直线上的点 M(1,3) 到点 A(3,7) 、B(8,6) 的距 离.解：依据直线的一般方程可知斜率是α ,则 tan α =2,sin α =25,cos α =5(t 为参数 ).55经考证易知点 A(3,7) 恰幸亏直线上 , 因此有 1+5即 t= 25 , 即点 M 到点 A 的距离t=3,5是2 5.而点B(8,6)不在直线上 , 因此不可以使用参数t 的几何意义, 能够依据两点之间的距离公式求出距离为(1 8)2(36) 258 .温馨提示此题主要考察直线参数方程的转变和参数的几何意义. 常有错误 : ①转变参数方程时不5注意后边的题目内容 , 随意取一个定点 ; ②把点B(8,6) 当作直线上的点很简单由 1+t=8,5得 t= 7 5 . 各个击破 类题操练 1x42t ,设直线的参数方程为2 (t 为参数 ), 点 P 在直线上 , 且与点 M 0(-4,0)的距离为2 ty2x 4 t ,P 对应的 t2 , 假如该直线的参数方程改写成(t 为参数 ), 则在这个方程中点y t值为 ( )A.±1B.0C.±1D.±322分析 : 由 |PM 0|= 2 ,知 PM 0= 2 或 PM 0= 2 , 即 t= ± 2 , 代入第一个参数方程 , 得点 P 的坐标分别为 (-3,1) 或 (-5,-1);再把点 P 的坐标代入第二个参数方程可得t=1 或 t=-1., 因此直线的参数方程是2, 设直线的倾斜角为答案:A 变式提高 1x 5 3t,设直线的参数方程为10 求直线的直角坐标方程 .y 4t解: 把 t=x 5代入 y 的表达式 , 得 y=10-4( x 5) . 化简得 4x+3y-50=0.33这即是直线的直角坐标方程 . 温馨提示注意变量代换的方法 .二、直线的参数方程与倾斜角【例 2】 设直线 l 1 过点 A(2,-4),倾斜角为 5.6(1) 求 l 1 的参数方程 ; (2) 设直线 l 2:x-y+1=0,l2与 l 1 的交点为B, 求 |AB|.5x 2 t cos,解： (1) 由题意得6y4 t sin56x2 3t ,即2(t为参数 ).y4 1 t2(2)B 在 l 1 上 , 只需求出 B 点对应的参数值 t, 则 |t| 就是 B 到 A 的距离 . 把 l 1 的参数方程代入 l 2 中, 得 (2-3t)-(-4+1t)+1=0,2 231t=7,214 7(3 1) ,t=31t 为正当 , 知 |AB|=7( 3 -1).类题操练 2x4 6t,求直线 l :1314 ty313(t 为参数 ) 与直线 l 2:x+y-2=0 的交点到定点 (4,3) 的距离 .解 : ∵l 1 的 参 数 方 程 不 是 标 准 方 程 , 则 利 用 换 参 数 的 方 法 把 l 1 的 参 数 方 程 改 写 成x4 3 2t 43 t ,1313(t ′为参数 ).22y3 2t 3t13 13把 l 1 的参数方程的标准形式代入 x+y-2=0 中 ,得 4+ 3 t ′+3+2 t ′ -2=0.1313解得 t ′=13 , ∴|t ′|= 13 .由|t ′| 的几何意义为交点到点 (4,3) 的距离 ,∴所求的距离为 |t ′|= 13 .变式提高 2x 22求经过点 (1,1), 倾斜角为 135°的直线截椭圆所得的弦长 .+y =14x12 t ,2 解: 由条件可知直线的参数方程是(t 为参数 ),2 ty12(1 2 t) 22代入椭圆方程可得2 +(1+ 2=1,4 t)2即 5t 2+ 6 2 t+2=0.t 1 t 2 6 25 ,设方程的两实根分别为t 1、t 2, 则由二次方程的根与系数的关系可得则直t 1t 2 2 ,5线截椭圆的弦长是 |t 1-t 2|=(t 1 t 2 ) 2 4t 1t 2=(62)24243.555三、直线的参数方程与两点间距离【例 3】 直线过点 A(1,3) 且与向量 (2,-4) 共线 .(1) 写出该直线的参数方程 ;(2) 求点 P(-2,-1) 到此直线的距离 .解： (1) 由题意得参数方程为x 1 2t,y 3 4t(2) 在直线上任取一点 M(x,y), 则 | PM | 2=(x+2) 2+(y+1) 2=20t 2-20t+25=20［ (t- 1) 2+1］ ,2当 t= 1时 ,| PM |2取最小值 , 此时 | PM | 等于点 P 与直线的距离 , 则 | PM |=20 25.21代入 , 得 P 0(2,1),由 P 向直线作垂线 , 垂足记为 P 0 , 将参数 t=明显有 |PP 0|= 25 .2温馨提示直线的参数方程和一般方程能够进行互化 ,特别是要求直线上某必定点到直线与曲线交点距离时往常要使用参数的几何意义 , 宜用参数方程的标准形式. 而关于某些比较简单的直线问题 , 比方求直线和坐标轴或许与某条直线交点时, 宜用直线的一般方程 .类题操练 3已知直线 l 过点 P(3,2), 且与 x 轴和 y 轴的正半轴分别交于 A 、B 两点 , 求|PA| ·|PB| 的值为最小时的直线 l 的方程 .解: 设直线的倾斜角为 α , 则它的方程为x 3 t cos , 为参数 ), 由 A 、 B 是坐标轴上的y 2(tt sin点, 知 y a =0,x b =0,∴0=2+tsin α , 即 |PA|=|t|=2 ,0=3+tcos α , 即 |PB|=|t|=3.sincos23)= 12.故|PA| ·|PB|=(sin 2sin cos∵90°<α <180°, ∴当 2α =270°, 即 α=135°时 ,|PA| ·|PB| 有最小值 .x3 2t,∴直线方程为2(t 为参数 ), 化为一般方程即 x+y-5=0.2 ty22变式提高 3设直线 l 过点 P(-3,3),且倾斜角为 5.6(1) 写出直线 l 的参数方程 ;x 2 cos , (2) 设此直线与曲线 C:( θ 为参数 ) 交于 A 、B 两点 , 求|PA| ·|PB|;y 4 sin(3) 设 A 、 B 中点为 M,求 |PM|.x35 3t cos3t,解:(1) 直线 l 的参数方程是62y 3t sin5 3 1t.62(2) 把曲线 C 的参数方程中参数 θ 消去 , 得 4x 2+y 2-16=0. 把直线 l 的参数方程代入曲线 C 的一般方程中 , 得 4(-3-3t) 2+(3+1t) 2-16=0,22即 13t 2+4(3+ 12 3 )t+116=0.由 t 的几何意义 , 知|PA| ·|PB|=|t 1·t 2|,∴|PA| ·|PB|=|t1·t 2|=116.13(3) 由 t 的几何意义知中点 M 的参数为 t 1 t 2,2∴|PM|= 1|t 1+t 2 |= 2(312 3) . 213。

三 直线的参数方程1．掌握直线的参数方程及参数的几何意义．(重点、难点)2．能用直线的参数方程解决简单问题．(重点、易错点)[基础·初探]教材整理 直线的参数方程阅读教材P 35～P 39，完成下列问题．经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋tcos αy ＝y 0＋tsin α(t 为参数)，其中参数t 的几何意义是：|t|是直线l 上任一点M(x ，y)到定点M 0(x 0，y 0)的距离，即|t|＝|M 0M →|.曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋5ty ＝1－2t (t 为参数)与坐标轴的交点是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，25、⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，15、⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，0 C ．(0，－4)、(8,0)D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，59、(8,0) 【解析】 当x ＝0时，t ＝25，而y ＝1－2t ，即y ＝15，得与y 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，15；当y ＝0时，t ＝12，而x ＝－2＋5t ，即x ＝12，得与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，0. 【答案】 B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]已知直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋2t ，y ＝2＋t(t 为参数)，则该直线被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长是多少？【思路探究】 考虑参数方程标准形式中参数t 的几何意义，所以首先要把原参数方程转化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋25t ′，y ＝2＋15 t ′，再把此式代入圆的方程，整理得到一个关于t 的一元二次方程，弦长即为方程两根之差的绝对值．【自主解答】 将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋2t ，y ＝2＋t(t 为参数)转化为直线参数方程的标准形式为 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋25 t ′，y ＝2＋15 t ′(t ′为参数)，代入圆方程x 2＋y 2＝9，。