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直角三角形边角关系专题复习一. 知识体系：1. 三种三角函数与直角三角形中边与角的关系，在Rt△中在此应注意的问题是无论是求哪一个角的三角函数，一定要先把这个角放在直角三角形中 2. 特殊角的三角函数值3. 三角函数的有关计算（对于一般角的三角函数值可利用计算器）41 2 3 4.三角函数的应用（）测山的高度（）测楼的高度（）测塔的高度（）其它⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪题型一：三角形内的计算问题（计算三角函数值、面积等） 例1．在ABC Rt ∆中，∠C=90° ，且21sin =A ，AB=3，求BC ，AC 及B ∠.例2．已知，四边形ABCD 中，∠ABC = ∠ADB =090，AB = 5，AD = 3，BC = 32，求四边形ABCD 的面积。
例3．如图，在Rt ABC ∆中，90BCA ∠=︒，CD 是中线，5,4BC CD ==，求AC 的长。
B变式训练：1、ABC Rt ∆中，∠C=90°，AC=4，BC=3，B cos 的值为…………………【 】 A 、51 B 、53 C 、 34 D 、 432、在菱形ABCD 中，∠ABC=60° ， AC=4，则BD 的长是…………………【 】 A 、 38 B 、34 C 、32 D 、83、在ABC Rt ∆中，∠C=90° ，A tan =3，AC=10，则S △ABC 等于………【 】 A 、 ３ B 、３00 C 、350D 、1５0 4、在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的正弦值（ ） A.扩大2倍 B.缩小2倍 C.扩大4倍 D.没有变化5、在ABC Rt ∆中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c 三边，则下列式子一定成立的是………………………………………………………………【 】 A 、B c a sin ⋅= B 、B c a cos ⋅= C 、Bac tan =D 、A a c sin ⋅= 6、等腰三角形的腰长为10cm ，顶角为120，此三角形面积为 。
2018-2019学年九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系专题训练(一)求锐角三角函数值的方法归类同步练习（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系专题训练(一)求锐角三角函数值的方法归类同步练习（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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专题训练（一）求锐角三角函数值的方法归类►方法一运用定义求锐角三角函数值1．2017·日照在Rt△ABC中，∠C＝90°,AB＝13，AC＝5，则sin A的值为（）A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!2．如图1－ZT－1,在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4,3），那么cosα的值是（) A.错误! B。
错误! C。
错误! D.错误!图1－ZT－1►方法二巧设参数求锐角三角函数值3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝错误!,则tan B的值为( ）A.错误! B。
错误! C。
错误! D。
错误!4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan B＝错误!，那么cos A的值为( ）A.错误!B.错误!C。
错误! D.错误!5．如图1－ZT－2,在菱形ABCD中，DE⊥AB，cos A＝错误!，BE＝2，则tan∠DBE的值是( )图1－ZT－2A.错误! B．2 C。
错误! D.错误!6．已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B,∠C的对边,且a,b,c满足b2＝(c＋a)(c－a）．若5b－4c＝0，求sin A＋sin B的值．7．如图1－ZT－3，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝错误!BD,连接AC，若tan B ＝错误!,求tan∠CAD的值．图1－ZT－3►方法三在网格中构造直角三角形求锐角三角函数值8．如图1－ZT－4，在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上，则tan A的值为( ）图1－ZT－4A.错误! B。
第1章直角三角形的边角关系课题回顾与思考教具目标(一)教学知识点1．经历回顾与思考，建立本章的知识框架图．2．利用计算器，发现同角的正弦、余弦、正切之间的关系。
3．进一步体会直角三角形边角关系在现实生活中的广泛应用．(二)能力训练要求1．体会数形之间的联系，逐步学会利用数形结合的思想分析问题和解决问题．2．进一步体会三角函数在现实生活中的广泛应用，增强应用数学的意识．(三)情感与价值观要求1．在独立思考问题的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点．并尊重与理解他人的见解，在交流中获益．2．认识到数学是解决现实问题的重要工具，提高学习数学的自信心．教学重点1．建立本章的知识结构框架图．2．应用三角函数解决现实生活中的问题，进一步理解三角函数的意义．教学难点应用三角函数解决问题教学方法探索——发现法教具准备多媒体演示、计算器教学过程Ⅰ．回顾、思考下列问题，建立本章的知识框架图[师]直角三角形的边角关系，是现实世界中应用广泛的关系之一．通过本章的学习，我们知道了锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用．如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，—般来说，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角的关系．利用锐角三角函数解决实际问题是本章的重要内容，很多实际问题穿插于各节内容之中．[问题门举例说明，三角函数在现实生活中的应用．[生]例如：甲、乙两楼相距30 m，甲楼高40 m，自甲楼楼顶看乙楼楼顶．仰角为30°，乙楼有多高?(结果精确到1 m)解：根据题意可知：3乙楼的高度为30tn30°=40+30×3=40+103≈57(m)，即乙楼的高度约为57 m．[生]例如，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距180 m的P和Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正南方向，在Q南偏西50°的方向，求河宽(结果精确到1 m)．解：根据题意，∠TPQ＝90°，∠PQT=90°-50°＝40°，PQ＝180 m．则：PT就是所求的河宽．在Rt△TPQ中，PT=180×tan40°=180×0．839≈151 m，即河宽为151 m．[师]三角函数在现实生活中的应用很广泛，下面我们来看一个例子．多媒体演示如图．MN表示某引水工程的一段设计路线从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°的方向上有一点A，以A为圆心，500 m为半径的圆形区域为居民区，取MN上的另一点B，测得BA 的方向为南偏东75°，已知MB＝400 m，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区?[师生共析]解：根据题意可知∠CMB=30°，∠CMA＝60°，∠EBA＝75°，MB=400 m，输水路线是否会穿过居民区，关键看A 到MN 的最短距离大于400 m 还是等于400 m ，于是过A 作AD ⊥MN ．垂足为D ．∵BE//MC ．∴∠EBD ＝∠CMB ＝30°．∴∠ABN=45°．∠AMD ＝∠CMA-∠CMB ＝60°-30°=30°．在Rt △ADB 中，∠ABD ＝45°，∴tan45°＝BD AD ，BD ＝︒45tan AD ＝AD ， 在Rt △AMD 中．∠AMD=30°，tan30° =MD AD ，MD ＝︒30tan AD =3AD ， ∵MD=MD-BD ，即 3AD-AD ＝400， AD-200(3+1)m>400m ．所以输水路线不会穿过居民区．[师]我们再来看[问题2]任意给定一个角，用计算器探索这个角的正弦、余弦、正切之间的关系．例如∠α＝25°，sin α、cos α、tan α的值是多少?它们有何关系呢?[生]sin25°≈0．4226，cos25°≈0．9063，tan25°≈0．4663． 而︒︒25cos 25sin ≈0．4663． 我们可以发现ααcos sin ＝tan α． [师]这个关系是否对任意锐角都成立呢?我们不妨从三角函数的定义出发来推证一下．[师生共析]如 图，在Rt △ABC 中． ∠C ＝90°，∵sinA ＝ABBC cosA ＝AB AC tanA ＝ACBC ， ∴ACBC AC AB AB BC AB AC AB BC A A =⋅=÷=cos sin =tanA, tanA=A A cos sin . 这就是说，对于任意锐角A ，∠A 的正弦与余弦的商等于∠A 的正切．[师]下面请同学们继续用计算器探索sin α，cos α之间的关系．[生]sin 225°≈0．1787,cos 225°≈0．8213，可以发现：sin 225°+cos 225°≈0．1787+0．8213＝1．[师]我们可以猜想任意锐角都有关系：sin 2α+cos 2α＝1，你能证明吗?[师生共析]如上图．sinA= AB BC ，cosA=ABAC sin 2A+cos 2A ＝2222222AB AC BC AB AC AB BC +=+， 根据勾股定理，得BC 2+AC 2＝AB 2，∴sin 2A+cos 2A ＝1，这就是说,对于任意锐角A ，∠A 的正弦与余弦的平方和等于1．[师]我们来看一个例题，看是否可以应用上面的tanA 、sinA 、cosA 之间的关系．已知cosA=53，求sinA ．tanA ． [生]解：根据sin 2A+cos 2A ＝1．得sinA ＝.54)53(1cos 122=-=-A tanA=345354cos sin ==A A . [生]我还有另外一种解法,用三角函数的定义来解．解：∵cosA ＝.53=∠斜边的邻边A 设∠A 的邻边＝3k ．斜边＝5k ．则∠A 的对边＝.4)3()5(22k k k =-∴sinA=.5454==∠k k A 斜边的邻边 tanA=.3434==∠∠k k A A 的邻边的对边 [师]问题3：你能应用三角函数解决哪些问题?[生]锐角三角函数反映了直角三角形的边角关系．凡是属于直角三角形的问题或可以转化为直角三角形的问题，都可以用三角函数来解决．[师]我们知道在直角三角形中，除直角外，有两个锐角．两条直角边以及斜边共5个元素，它们之间的关系很丰富．如图：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ．(1)边的关系：a 2+b 2=c 2(勾股定理)：(2)角的关系：∠A+∠B ＝90； (3)sinA=c a ，cosA=c b ，tanA=b a ；sinB=c b ，cosB=c a ，tanB=ab ． 利用三角形的全等和直角三角形全等，以及作图，我们知道：当一直角边和斜边确定时，直角三角形唯一确定，即直角三角形的一直角边和斜边已知，则直角三角形中其他元素都可以求出．同学们不妨试一试．[生]例如Rt △ABC 中，∠C ＝90°．a ＝4，c=8求b ，∠A 及∠B解：∵a ＝4，c ＝8，根据勾股定理可得 b=3422=-a c .∵sinA=c a =2184=， ∴∠A ＝30°．又∵∠A+∠B ＝90°，∴∠B ＝60°．[师]很好，是不是只要知道直角三角形除直角外的两个元素，其余元素就都可以求出呢?[生甲]可以．[生乙]不可以．例如Rt △ABC 中，∠c ＝90°，∠A ＝25°．∠B=65°．这样的直角三角形有无数多个，是不唯一确定的，所以其余的元素无法确定．[生丙]我认为已知直角三角形中除直角外的两个元素．其中至少有一个边，就可以求出其余元素．[师]很好，我们来做一个练习．多媒体演示：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A ，∠B 、∠C 的对边．(1)已知a ＝3，b ＝3，求C ，∠A ，∠B ．(2)已知b ＝5，c ＝10，求a ，∠A ，∠B ．(3)已知∠A=45°，c ＝8，求a ，b ，∠B ．[生]解：(1)根据勾股定理c ．=23332222=+=+b a .又∵tanA ∴∠A=b a =33=1, ∴∠A=45°． 又∵∠A+∠B ＝90，∴∠B ＝45°．(2)根据勾股定理，得a=355102222=-=-b c ,又∵sinB ＝21105==c b ∴∠B=30°． 又∵∠A+∠B=90°∴∠A=60°.(3)∵sinA=ca ∴=csinA=8×sin45°=42, 又∵cosA ＝c b ∴b=c ·cosA ＝8×cos45°=42， 又∵∠A+∠B ＝90°，∴∠B=45°．[师]实践证明，在直角三角形中，已知除直角外的两个元素(至少有一个是边)，利用直角三角形中特殊的边的关系、角的关系、边角关系，就可求出其余所有元素．因此，在现实生活中，如测量、建筑、工程技术和物理学中，常遇到的距离、高度、角度都可以转化到直角三角形中，这些实际问题的数量关系往往就归结为直角三角形中边和角的关系问题．接下来，我们看问题4：如何测量一座楼的高度?你能想出几种办法?[生]有四种方法：第一种：用太阳光下的影子来测量．因为在同一时刻，物体的高度与它的影子的比值是一个定值．测量出物体的高度和它的影子的长度，再测出高楼在同一时刻的影子的长度．利用物体的高度：物体影子的长度＝高楼的高度，高楼影子的长度．便可求出高楼的高．第二种：在地面上放一面镜子，利用三角形相似，也可以测量出楼的高度．第三种：用标杆的方法．第四种：利用直角三角形的边角关系求楼的高度．[师]下面就请同学们对本章的内容小结，建立本章内容框架图．[师生共析]本章内容框架如下：Ⅱ．随堂练习1．计算(1)︒-︒︒-︒45cos 60sin 45sin 30cos (2)sin 230°+2sin60°+tan45°-tan60°+cos 230°；(3)原式＝.60tan 60tan 60tan 212︒-︒+︒-解：（1）原式=22232223--=1； （2）原式=（21）2+2×23+1-3+（23）2； =4331341+-++ =1+1=2（3）原式=︒-︒-60tan )60tan 1(2＝｜1-tan60°｜-tan60°＝tan60°-1-tan60°＝-1．2．如图，大楼高30 m ，远处有一塔BC ，某人在楼底A 处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D 测得塔顶的仰角为30°，求塔高BC 及楼与塔之间的距离AC(结果19确到0．0l m)．解：没AC=x ，BC ＝y ，在Rt △ABC 中，tan60°=xy ，① 在Rt △BDE 中．tan30°=x y 30-，② 由①得y ＝3x ，代入②得33=xx 303 . x=153≈25．98(m)．将x ＝153代入y=3x=3×153 ＝45(m)．所以塔高BC 为45 m ，大楼与塔之间的距离为25．98 m ．Ⅲ．课时小结本节课针对回顾与思考中的四个问题作了研讨，并以此为基础，建立本章的知识框植架结构图．进一步体验三角函数在现实生活中的广泛应用．Ⅳ．课后作业复习题A 组1，2，5，6，8B 组2．3，4，5，6Ⅴ．活动与探究如图．AC 表示一幢楼，它的各楼层都可到达；BD 表示一个建筑物，但不能到达．已知AC 与BD 地平高度相同，AC 周围没有开阔地带，仅有的测量工具为皮尺(可测量长度)和测角器(可测量仰角、俯角和两视线间的夹角)．(1)请你设计一个测量建筑物BD 高度的方案，要求写出测量步骤和必要的测量数据(用字母表示)，并画出测量示意图：(2)写出计算BD 高度的表达式．[过程]利用测量工具和直角三角形的边角关系来解决．这里的答案不唯一，下面只写出一种方法供参考．[结果]测量步骤(如图)：①用测角器在A 处测得D 的俯角α；②用测角器在A 处测得B 的仰角β ③用皮尺测得AC=am ．(2)CD=αtan a ,BE=αtan a ·tan β, BD=a+αβtan tan a . 板书设计回顾与思考本章内容结构框架图:。
北师大版九年级数学下册：第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》主要介绍了直角三角形的性质，包括锐角三角函数的概念、直角三角形的边角关系等。
本章内容是初中数学的重要知识点，为后续学习三角形相似、解直角三角形等知识打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了三角形的基本概念和性质，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但学生在学习过程中，可能对锐角三角函数的理解和应用存在困难，因此需要通过本章内容的学习，帮助学生巩固直角三角形的性质，提高解题能力。
三. 教学目标1.理解直角三角形的性质，掌握锐角三角函数的概念。
2.学会运用直角三角形的性质解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.重点：直角三角形的性质，锐角三角函数的概念。
2.难点：锐角三角函数的应用，解直角三角形。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、合作学习法等，引导学生主动探究、积极思考，提高学生的学习兴趣和参与度。
六. 教学准备1.教学课件：制作直角三角形性质、锐角三角函数的课件。
2.教学素材：提供相关案例，如实际问题、例题等。
3.学习工具：准备好直角三角形、锐角三角函数的相关资料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如测量身高、测距等，引出直角三角形的性质和锐角三角函数的概念。
激发学生的学习兴趣，引导学生思考直角三角形在实际生活中的应用。
2.呈现（15分钟）呈现直角三角形的性质和锐角三角函数的定义，通过动画、图片等形式展示，帮助学生直观地理解。
同时，给出相关案例，让学生体会直角三角形性质和锐角三角函数在实际问题中的作用。
3.操练（15分钟）针对直角三角形的性质和锐角三角函数，设计一系列练习题。
让学生独立完成，巩固所学知识。
教师及时批改、讲解，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）通过小组合作学习，让学生运用直角三角形的性质和锐角三角函数解决实际问题。
九年级下册第一章 直角三角形的边角关系【知识要点】一、锐角三角函数：正切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即b A atan =; 正弦．．：．在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即ca sin =A ; 余弦：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cA bcos =; 余切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cA b cot =; 注：（1）sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). （2）sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A,习惯省去“∠”号； （3）sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位. （4）sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A 的大小有关,而与直角三角形的边长无关. （5）角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等. 1、三角函数和角的关系tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。
sinA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，sinA 的值越大。
cosA 的值越小，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，cosA 的值越大。
2、三角函数之间的关系 （1）互为余角的函数之间的关系0º 30 º 45 º 60 º 90 º若∠A 为锐角，则①)90cos(sin A A ∠-︒=；)90sin(cos A A ∠-︒=②)90cot(tan A A ∠-︒=；)90tan(cot A A ∠-︒=（2）同角的三角函数的关系 1)平方关系：sinA 2＋cosA 2＝1 2)倒数关系：tanA ·cotA ＝13)商的关系：tanA ＝A o A s c sin ，cotA ＝A Asin cos二、解直角三角形：※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。
