第28讲-对数的概念及运算-提高

对数的知识点归纳总结一、对数的基本概念1. 对数的定义对数是指数函数的逆运算。

给定正实数a（a≠1）和正实数x，如果等式a^y=x成立，那么数y就是以a为底，x的对数，记作y=log_a(x)。

其中，a被称为对数的底，x被称为真数，y被称为对数。

对数的值可以是实数，也可以是复数。

2. 基本性质（1）对数的底为正实数且不等于1。

（2）对数的真数为正实数。

（3）对数的值可以是实数，也可以是复数。

（4）对数函数为单调增函数。

二、对数的性质1. 对数的运算性质（1）对数的乘法性质：log_a(m) + log_a(n) = log_a(mn)（2）对数的除法性质：log_a(m) - log_a(n) = log_a(m/n)（3）对数的幂运算性质：log_a(m^n) = n*log_a(m)（4）对数的换底公式：log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)2. 对数的性质（1）log_a(a) = 1（2）log_a(1) = 0（3）log_a(m) = -log_a(1/m)（4）log_a(a^x)=x（5）a^log_a(x) = x3. 对数的常用对数和自然对数常用对数是以10为底的对数，记作log(x)，常用于科学计算。

自然对数是以自然数e为底的对数，记作ln(x)，在微积分和概率论中有着广泛的应用。

三、对数的应用1. 对数在科学计算中的应用对数在科学计算中有着广泛的应用，特别是在大数据处理和模型拟合中。

通过对数据取对数，可以将呈指数增长或减小的数据转化为线性增长或减小的数据，方便进行线性回归分析或模型拟合。

2. 对数在工程学中的应用对数在工程学中有着重要的应用，特别是在电路设计、信号处理和控制系统中。

对数可用于描述电压、信号和控制变量的倍增和倍减关系，方便工程师进行设计和分析。

3. 对数在经济学中的应用对数在经济学中有着广泛的应用，特别是在复利计算和经济增长模型中。

对数可用于描述资金的复利增长和经济指标的增长趋势，方便经济学家进行分析和预测。

对数计算知识点归纳总结一、基本概念1. 对数的定义对数的定义可以从指数函数的逆函数出发。

设a>0且a≠1，a的x次幂函数y=a^x是严格增函数和满射的，对数函数y=log_a x是a^y=x的逆函数。

其中，a称为底数，x称为真数，y称为对数。

如果底数未标明，则默认情况下一般为10，即log=lg。

2. 底数、真数和对数在对数的定义中，底数指的是指数函数的底数，真数指的是指数函数的结果值，对数指的是幂函数的幂指数。

例如，在对数表达式log2⁡8中，2是底数，8是真数，3是对数。

3. 对数的符号与数值对数的数值是实数，在常见对数中，对数的值是无理数。

在实际应用中，对数的值往往是无限循环小数。

4. 对数的常见类型对数按照底数的不同可以分为常用对数（底数为10）和自然对数（底数为e）等不同类型。

常用对数在实际应用中使用率较高，自然对数在微积分等领域具有特殊的作用。

二、性质1. 对数函数的图像对数函数的图像是一条渐进线（一条直线和坐标轴所组成的图像），且对数函数是严格递增的。

对数函数的图像有着特殊的凹陷形状。

2. 对数函数的定义域和值域对数函数的定义域是真数的取值范围，是所有正实数的集合。

对数函数的值域是对数的取值范围，是所有实数的集合。

3. 对数函数的性质（1）对数函数是严格递增函数；（2）对数函数的图像是一条渐进线；（3）对数函数的定义域是正实数的集合；（4）对数函数的值域是实数的集合。

4. 对数与指数的关系对数和指数是互为逆运算的关系，即a^log_a x = x，log_a(a^x)=x。

对数和指数的关系在数学推导和实际问题中有着重要的应用。

三、运算规则1. 对数的运算性质对数具有一系列的运算规则，包括等式变形、对数运算、对数化简等。

对数的运算规则可以帮助简化复杂的计算和推导过程。

2. 对数乘除法规则（1）log a mn = log a m + log a n（对数乘法规则）；（2）log a (m/n) = log a m - log a n（对数除法规则）。

对数的概念及运算法则对数是数学中的一个概念，它表示一个数相对于一些给定的底数的幂。

在日常生活中，对数经常被用来解释指数增长或减少的情况。

首先，对数的定义是：对于给定的正数a（a ≠ 1），将正数x表达为底数a的幂的等式，即x = a^m (m为任意实数)，称m为x的以a为底的对数，记作m =log[底数a](x)，即m = loga(x)。

对数有以下几个重要特点：1.底数必须是一个正数，并且不能等于12.对数函数中x的取值范围为正实数，因为负数和0的对数不存在。

3.对数的结果m可以是任意实数，包括正数、负数和零。

对数具有一些重要的性质和运算法则，下面介绍其中的一些：1.换底公式：对于任意给定的x和任意的正数a、b（a、b≠1），有以下等式成立：loga(x) = logb(x) / logb(a)换底公式可以将一个对数用另一个底数的对数表示，这样在计算和比较对数时更加方便。

2.加减法法则：对于任意给定的正数a、b和任意的正数x、y，有以下等式成立：loga(x * y) = loga(x) + loga(y)loga(x / y) = loga(x) - loga(y)加减法法则可以将对数的乘法和除法分解为对数的加法和减法，简化对数运算。

3.乘方法则：对于任意给定的正数a和任意的正数x和正整数n，有以下等式成立：loga(x^n) = n * loga(x)乘方法则可以将对数中的指数化简为对数本身的乘法。

4.对数的乘法和除法法则：对于任意给定的正数a、b和任意的正数x，有以下等式成立：loga(x^b) = b * loga(x)loga(b^x) = x * loga(b)乘法和除法法则可以将指数中的对数化简为对数本身的乘法或除法。

5.对数的幂次法则：对于任意给定的正数a、b和任意的正数x，有以下等式成立：a^(loga(x)) = x如果a ≠ 1，则loga(a^x) = x幂次法则可以将对数中的幂次化简为原指数。

对数的基本性质和运算公式对数是数学中非常重要和常用的概念，它在许多领域都有广泛的应用。

对数的基本性质和运算公式包括对数的定义、对数的性质、对数的运算规则以及一些常用的对数公式等。

本文将详细介绍这些基本性质和运算公式。

一、对数的定义：对数是指数运算的逆运算。

设a为一个正实数，b为一个正实数且不等于1，若满足b^x = a，其中x为实数，则称x为以b为底a的对数，记作x = log_b a。

其中，a称为真数，b称为底数，x称为对数。

在对数的定义中，底数和真数的位置可以互换，即x = log_b a等价于 a = b^x。

二、对数的性质：1.对数的定义保证了对数的唯一性，即对于给定的底数和真数，对数是唯一的。

2.对于不同的底数，同一个真数的对数是不同的。

3.当底数为1时，对数不存在，因为1的任何次幂都等于14. 当真数为1时，对数等于0，即log_b 1 = 0。

5.当底数为0时，对数不存在，因为0无法作为一个数的底数。

6.当0<b<1时，对数是负数；当b>1时，对数是正数；当b=1时，对数等于0。

三、对数的运算规则：1.对数的乘法法则：log_b (a * c) = log_b a + log_b c2.对数的除法法则：log_b (a / c) = log_b a - log_b c3.对数的幂法法则：log_b (a^p) = p * log_b a，其中p是任意实数。

这些运算规则可以用来简化对数运算或者将对数转化成乘法和除法的形式。

四、常用的对数公式：1.自然对数和常用对数之间的换底公式：log_b a = log_c a / log_c b，其中b和c是底数。

2.e为底的自然对数：自然对数是以e (自然常数)为底的对数，记作ln(x)。

3.常用对数：常用对数是以10为底的对数，记作log(x)。

4.对数性质的推广：log_b a^n = n * log_b alog_b √(a) = 1/2 * log_b a这些对数公式在计算和解决问题时都有常用的作用。

对数的概念与性质对数是数学中的一个重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。

本文将介绍对数的概念及其性质，帮助读者更好地理解并应用对数。

一、对数的概念对数是指数运算的逆运算。

在数学中，对于任意正实数a和正实数b，如果a^x = b，则称x为以a为底b的对数，记作x=logₐ b。

这里的a 称为对数的底数，b称为真数。

对数运算可以理解为将指数运算的结果转化为一个数值。

二、对数的性质1. 对数的底数不能为0或1：因为0的任何正数次幂都等于0，而1的任何实数次幂都等于1，这样就无法满足对数的逆运算的要求。

2. 对数的底数不能为负数：因为负数的幂在实数范围内没有定义，无法满足对数的逆运算的要求。

3. 对数的底数必须大于0且不等于1：只有在底数大于0且不等于1的情况下，才能保证对数的逆运算存在，这样才有意义。

4. 对数的特殊形式：a) logₐ a = 1：任何数以自身为底的对数都等于1。

b) logₐ 1 = 0：任何底数的对数等于1的幂都等于1，因此对数的真数为1时，对数等于0。

c) logₐ (a×b) = logₐ a + logₐ b：对数运算的运算律之一，在求两个数的乘积的对数时，可以拆分为两个对数的和。

d) logₐ (a/b) = logₐ a - logₐ b：对数运算的运算律之二，在求两个数的商的对数时，可以拆分为两个对数的差。

e) logₐ (a^k) = k × logₐ a：对数运算的运算律之三，在求一个数的幂的对数时，可以将指数提到对数的前面。

三、对数的应用对数在数学和其它领域中有广泛的应用，下面列举几个常见的应用：1. 指数运算转化：对数的一个重要应用是将指数运算转化为简单的加减运算，方便计算和处理复杂的指数关系。

2. 代数方程求解：对数可以用于求解各种类型的代数方程，特别是指数方程和对数方程。

3. 数据缩放：在数据处理和统计学中，对数可以用于将大范围的数值转化为比较小的范围，方便分析和比较。

对数的运算法则及公式一、对数的基本概念在数学中，对数是数学运算中的一个重要概念。

对数是指一个数在某个给定的底数下的指数。

换句话说，对数是指数运算的逆运算。

对数通常表示为log，其中log表示对数，底数表示为a，指数表示为x，因此，用数学符号表示为loga x。

对数的底数必须大于0且不等于1，而对数的结果是指数的值。

对数的运算法则和公式是在数学中使用对数进行计算时的基本规则。

二、对数的运算法则1.对数的乘法法则在对数的乘法法则中，当两个对数具有相同的底数时，它们的乘积等于它们的指数之和。

具体地说，如果loga x和loga y是以相同底数a为对数的两个数，那么它们的乘积可以表示为loga (xy)，即loga x + loga y。

例如，如果log₂4和log₂8是以底数2为对数的两个数，那么它们的乘积可以表示为log₂ (4 × 8)，即log₂ 32。

根据对数的乘法法则，log₂ 32可以被写为log₂ 4 + log₂ 8，即2 + 3，结果为5。

2.对数的除法法则在对数的除法法则中，当两个对数具有相同的底数时，它们的商等于它们的指数之差。

具体地说，如果loga x和loga y是以相同底数a为对数的两个数，那么它们的商可以表示为loga (x/y)，即loga x - loga y。

例如，如果log₅25和log₅5是以底数5为对数的两个数，那么它们的商可以表示为log₅ (25/5)，即log₅ 5。

根据对数的除法法则，log₅ 5可以被写为log₅ 25 - log₅ 5，即2 - 1，结果为1。

3.对数的幂法则在对数的幂法则中，一个对数的幂等于它的指数乘以另一个数的对数。

具体地说，如果loga x是以底数a为对数的数，并且b是任意正数，则它们的幂可以表示为loga x^b，即bloga x。

例如，如果log₃2是以底数3为对数的数，并且4是任意正数，那么它们的幂可以表示为log₃2^4，即4log₃2。

对数及对数运算［学习目标］1•理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化；2.了解常用对数与自然对数的意义；3.能够熟练地运用对数的运算性质进行计算；4.了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明.5.能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用.【要点械理】要点一、对数概念1•对数的概念如果沖=N(a>O,且GHl),那么数b叫做以a为底N的对数，记作ιlog a N=b.M中a叫做对数的底数，N叫做真数.要点诠释：对数式IOg a N=b中各字母的取值范围是：a>0且aHl, N>0, b∈R.2.对数IOg“N(d>0,且aHl)具有下列性质：(1)O和负数没有对数，即N>0；(2)1的对数为0,即Iog W 1 = 0；(3)底的对数等于1,即IOg a t7 = 1.3.两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，1Og H)N简i己作IgN.以e(e是一个无理数，e = 2.7182∙∙∙) 为底的对数叫做自然对数，log t, N简记作InN.4.对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化•它们的关系可由下图表示.指数式对数式指数对数幕真数I Ia b=N IOg a N=b底数由此可见a, b, N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化. 要点二、对数的运算法则己知IOg“ MΛog a NW > O且d ≠1, M、N > 0)(1)正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；Iog“(MN) = IOg rt M + IOg“ N推广：IOg"("M∙∙∙N Jt) = IOEM+loEN2+∙∙∙+log"M(N∣∖ N2、・・・、N k >0)(2)两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数：MIOg “亓= IogaM - IogaN(3)正数的幕的对数等于幕的底数的对数乘以幕指数；IOg a M a =QlogaM要点诠释：(1、)利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成⅛.⅛: log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)与log2(-5)是不存在的.(2)不能将和、差、积、商、幕的对数与对数的和、差、积、商、幕混淆起来，即下面的等式是错误的：IOg a(M±N)=log a M+log a N,Iog a(M-N)=Iog a M-IOg a N,I M IOg rt MN Iog n N要点三、对数公式1.对数恒等式：CI b = N Jn小=NIOg “ N = b2.换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0, a≠l, M>0的前提下有：(1)IOg“M =log““ M n (HeR)令IOg a M=b,则有a b=M, (a b)n=M n,即(a")b =M n i即b = IOg It M n ,即:1Og“ M = IOg ” M n.(2)IOg a M =M(c > O,c ≠ 1),令IOgaM=b,则有a b=M,则有log<. a h = log t. M(C > O,CHI)log.即 ^ iOg C a = log t. M ,即b = "°臥M ,即IOg a M = SgC M(c > 0,c≠ 1) log t. Qlog t. a当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论：IOg a b = ——(α > O, α ≠ 1,Z? > O, ∕? ≠ 1).IOgb G【典型例题】类型一、指数式与对数式互化及其应用例1.将下列指数式与对数式互化：(I)IOg216 = 4： (2)IOg l 27 = -3 ； (3)Iog石牙=3； (4)53 =125 : (5)2^1 =-i；(6)f∣J =9.【解析】运用对数的定义进行互化.(1)24 = 16； (2)f-j =27；(3)(VJ) =x； (4)log5125 = 3; (5)Iog2- = -1: (6)log1 9 = -2 .【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.举_反三:【变式1】求下列各式中X的值：(I)IOg l6 X =(2) IOg K8 = 6 (3)IgIOOO=X (4)-2 Iiie2 =X【答案】(1) - ；(2) √2 ； (3) 3； (4) -4.4【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幕的运算性质求出X._1 -1 2(-L) 1(I)X= (16) 2 = (4^) 2 = 4 2 = 4-1 =—；41 £ £ 1 _(2)X6 =8,所以X = (x6)i = (8/ = (23r = 2≡ = √2 ；【高清课堂：对数及对数运算369068例1]【变式2】计算：Iog 2 4;Iog 2 8;Iog 2 32并比较.【答案】2 3 5【解析】Iog 2 4 = Iog 2 22= 2; Iog 2 8 = Iog 2 23 = 3;Iog 2 32 = Iog 2 24 5 = 5 .类型二、利用对数恒等式化简求值例 2.求值：71+iog75 【答案】35 【解析】71+log75 = 7∙7loε75 = 7x5 = 35.【总结升华】对数恒等式αlo ε^=7V 中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其 值为真数.= 21og 5 52 +31og 22δ-8×0 = 4 + 18-0 = 22.⑵原式4 Iog “ =IOg rt (x 2y)-Iog “ √Σ = 2IOg a x+-log α y--Iog “ Z •VZ 2 3【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们 必须准确地把握它们.在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幕的对数 运算对应着对数的和、差、积得运算.举一反三：【变式1】求值(1) 2log5 25 + 3log 2 64 - 81Og K)I (2)⅛2∙lg50+(lg5)2 (3)l g 25+lg2∙lg50+(l g 2)2【答案】(1) 22； (2) 1： (3) 2.【解析】(1) 2Iog 5 25 + 31og 2 64-81Og Io1类型三、积、商、慕的对数【高清课堂：对数及对数运算369068例3】举一反三：【变式1】求αloε^logferlog ^的值(a, b, c∈R +,且不等于1, N>0)【答案】N 【解析】将幕指数中的乘积关系转化为幕的幕，再进行运算.例3.用IOg “ X,log fl y,log α Z 表示下列各式【解析］(1) IOg rt 空=Iog “ x+log α y - IOg aZ ；⑵ IOga(Xy) = IOg fl √ + IOg a y 5 = 3 log flx+51Og y ；=lg2(l+lg5)+(lg5)Fg2+lg21g5+(lg5)jg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=l⑶原式=21g5+lg2(l+lg5)+(lg2)2 =21g5+lg2+lg21g5-Klg2)2=l+lg5+lg2(lg5+lg2)=l+lg5+lg2=2.【变式2】(1)已知2ΛΓ=5V=10,则匕上= ______________ .(2)己知log, 3 = a,3b = 7,求Iog12 56 .-A. / 、Z X 3 + ab【答案】(1) 1：(2) -----2+ a【解析】⑴I 2v = 5v=10,.∙. X = Iog210 , y = Iog510 ,.∙∙±2 = 1 + l = l g5+l g2 = lglθ = l.Xy y X故答案为：1.(2) VIOg23 = α, .∙.2"=3,又3：=7,故7 = (2a)b=2ab故56 = 2'讪，又12 = 3×4 = 2α×4 = 2fl+2,从而56 = (2^)^=12177,4 “ I "甞3 + ab故IOg n 56 = IOg P 12 -+a = --- .^ ^ 2 + a类型四、换底公式的运用例4.己知Iog189 = α,18' = 5 ,求Iog36 45 .2-a【解析】解½-：•/Iog18 9 = tz,18fe = 5 , .∙. Iog18 5 = Z?,于是log 伕k‰45. k‰(9x5) _1。