江苏09高考数学附加题教学案(选修部分， 40分)

【高效整合篇】专题十一 选修部分一、考场传真1．【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】（选修4—1：几何证明选讲）如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点D ，AC ⊥CD ，DE ⊥AB ，C 、E 为垂足，连接,AD BD . 若4AC =，3DE =，求BD 的长.2.【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】（选修4—2：矩阵与变换）设矩阵 02 1a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征值为2，若曲线C 在矩阵M 变换下的方程为221x y +=，求曲线C 的方程.3.【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】（选修4—4：坐标系与参数方程） 在极坐标系中，已知点A 的极坐标为)4π-，圆E 的极坐标方程为4cos 4sin ρθθ=+，试判断点A 和圆E 的位置关系4.【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】(选修4—5：不等式选讲） 已知正实数,,,a b c d 满足1a b c d +++=.≤5.【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB =，4AC =，12AA =，BD DC λ= .（1）若1λ=，求直线1DB 与平面11AC D 所成角的正弦值；ABDEO第21(A )题图C·（2）若二面角111B AC D --的大小为60︒，求实数λ的值.6.【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】设集合{}1,2,3,,(3)M n n =≥ ，记M 的含有三个元素的子集个数为n S ，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为n T .（1）求33T S ，44T S ，55T S ，66T S 的值；（2）猜想nnT S 的表达式，并证明之.7. 【苏州市2016届高三年级第一次模拟考试】（本小题满分10分）一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的,,A B C 三种商品有购买意向.已知该网民购买A 种商品的概率为34，购买B 种商品的概率为23，购买C 种商品的概率为12.假设该网民是否购买这三种商品相互独立.（1）求该网民至少购买2种商品的概率；（2）用随机变量h 表示该网民购买商品的种数，求h 的概率分布和数学期望. 8.【苏州市2016届高三年级第一次模拟考试】（本小题满分10分）如图，由若干个小正方形组成的k 层三角形图阵，第一层有1个小正方形，第二层有2个小正方形，依此类推，第k 层有k 个小正方形.除去最底下的一层，每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上.现对第k 层的每个小正方形用数字进行标注，从左到右依次记为12,,,k x x x ，其中{0,1}i x ∈（1i k ≤≤），其它小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和，依此规律，记第一层的小正方形标注的数字为0x .（1）当k =4时，若要求0x 为2的倍数，则有多少种不同的标注方法？ （2）当k =11时，若要求0x 为3的倍数，则有多少种不同的标注方法？9 【扬州市2015—2016学年度第一学期期末检测试题】已知函数232)(x x x f -=，设数列{}n a 满足：411=a ，)(1n n a f a =+. （1）求证：*N n ∈∀，都有310＜＜n a ； （2）求证：44313313313121-≥-++-+-+n na a a10. 【泰州市2016届高三第一次模拟考试】已知,N*k m ∈，若存在互不相等的正整数12,,a a …,m a ，使得1223,,a a a a …11,,m m m a a a a -同时小于k ，则记()f k 为满足条件的m 的最大值．（１） 求(6)f 的值；（２） 对于给定的正整数n (1)n >，（ⅰ）当(2)(1)(2)n n k n n +<≤++时，求()f k 的解析式； （ⅱ）当(1)(2)n n k n n +<≤+时，求()f k 的解析式．二．高考研究选修4-1 几何证明选讲1．考纲要求：①了解平行线分线段成比例定理，会使用直角三角形射影定理；②会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理与性质定理；③会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理．2．命题规律：从高考的试题上看，多与圆结合考查相似三角形的应用，并结合相交弦定理、切割线定理等知识，涉及到与圆有关的比例线段的计算与证明，着重考查圆幂定理的应用及推理论证的能力．选修4-2 矩阵与变换1．考纲要求：①了解二阶矩阵，会求二阶矩阵与平面向量（列向量）的乘法、平面图形的变换；②了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵；③会求二阶方阵的特征值与特征向量．2．命题规律：从高考的试题上看，这部分主要以简单计算为主，会用二阶行列式求逆矩阵，掌握二阶矩阵第k 层第3层第2层第1层（第23题图）的乘法等即可．选修4-4 坐标系与参数方程1．考纲要求：①理解坐标系的作用，能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；②了解参数方程，了解参数的意义，能选择适当的参数写出直线、圆、椭圆的参数方程；③掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题．2．命题规律：从高考的试题上看，主要考查两个方面，其一极坐标的建立，极坐标系下的点的坐标的表示，几种简单曲线的极坐标系方程的求法和极坐标与直角坐标的互化；其二直线、圆与椭圆的参数方程及应用，并通过参数方程与普通方程的互化考查直线与圆、椭圆的位置关系．选修4-5 不等式选讲1．考纲要求：①理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：-+a-≤-；②会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：c+、bbax≤abaa+b≤c+、bcx≥c-；③了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放x+-bbc+、aax≥缩法．2．命题规律：从高考的试题上看，通常考查含一个或两个绝对值号的不等式的求解，以直接求解方式为多；而不等式的证明多与不等式的性质、基本不等式、数列等知识相结合来考查．散型随机变量的均值、方差1．考纲要求：能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．2．命题规律：离散型随机变量的均值与方差是高考的热点题型，解答题形式，属中档题，常与排列组合概率等知识综合命题．排列组合、二项式定理1.考纲要求（1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理①理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；②会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.（2）排列与组合①理解排列、组合的概念.②能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.③能解决简单的实际问题. （3）二项式定理①能用计数原理证明二项式定理.②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 2.命题规律排列、组合试题具有一定的灵活性和综合性，常与实际相结合，转化为基本的排列组合模型解决问题，需用到分类讨论思想，转化思想. 排列与组合问题一直是高考数学的热点内容之一．与二项式定理综合问题较难．一．基础知识整合1．几何证明选讲部分，需要核心关注与圆有关的比例线段、圆幂定理的应用及推理论证，于是相似三角形与圆内接四边形是主要的转换形式．2．矩阵与变换部分，着重掌握用二阶行列式求逆矩阵、二阶矩阵的乘法等基础计算．3．坐标系与参数方程部分，着重掌握极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化，当然通过极坐标方程、参数方程考查直线与圆、椭圆的位置关系是命题的热点．4．不等式选讲部分，以考查含一个或两个绝对值号的不等式的求解为主，通常不等式中带有参数，于是分类讨论去绝对值是必然的选择． 5．离散型随机变量的均值与方差（1）均值：1122n n EX x p x p x p =+++ ；（2）方差：()()()2221122n n DX x EX p x EX p x EX p =-+-++- ； （3）性质：()()E ax b aE x b +=+；()()2D ax b a D x +=．6．两点分布与二项分布的均值与方差（1）若X 服从两点分布，则(),1EX p DX p p ==-； （2）若(),X B n p ，则(),1EX np DX np p ==-． 7．直方图的三个常用结论（1）小长方形的面积=组距⨯频率组距=频率；（2）各长方形的面积和等于1；（3）小长方形的高=频率组距． 8.排列、组合数相关性质排列:11-++=m n m n m n mA A A ；组合:11-++=m n m n m n C C C (,,*)≤∈m n m n N , =k n kC 11k n nC --. 02413512n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=9. 二项式定理()()011*nn n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --+=+++++∈ ，二．高频考点突破 考点1 几何证明选讲【例1】【江苏省淮安市2015届高三第五次模拟考试】选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分） 如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，BAC ∠的平分线AD 交⊙O 于D ，过点D 作DE AC ⊥交AC 的延长线 于点E ，OE 交AD 于点F ．若35AC AB =，求AFFD 的值．【规律方法】与圆有关的线段求解，主要是通过相似三角形建立相似比来求解，从而证明三角形相似是核心，而在园内证明三角形相似主要是通过圆周角定理或圆心角定理证明角相等．【举一反三】【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(3)】（选修４－１：几何证明选讲）如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ．若AB = 2 BC ， 求证：A C ∠=∠．DOCB A考点2 矩阵与变换AB CDE FO(第21-A 题)【例2】【江苏省淮安市2015届高三第五次模拟考试】选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵A ＝21a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值－1的一个特征向量为α1＝11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，属于特征值4 的一个特征向量为α2＝32⎡⎤⎢⎥⎣⎦．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵A －1．【规律方法】本小题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法特征向量的求法，考查运算求解能力．注意矩阵乘法不满足交换律，即11A B BA --≠，矩阵与变换所涉及的内容并不多，在平时只要注意归纳，并且计算过关此题可以轻松拿下．【举一反三】【江苏省扬州中学2015届高三4月双周测】选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2 ．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵． 考点3 坐标系与参数方程【例3】【江苏省淮安市2015届高三第五次模拟考试】选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知直线l ：cos sin x t m y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）恒经过椭圆C ：⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 5y x （ϕ为参数）的右焦点F ． （1）求m 的值；（2）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求FA FB ⨯的最大值与最小值．【规律方法】参数方程与普通方程、极坐标与直角坐标之间的互化，熟练简单曲线的极坐标是解答本类问题的关键．【举一反三】【江苏省扬州中学2015届高三4月双周测】选修4—4：极坐标与参数方程已知圆的极坐标方程为：()2πcos 604ρθ--+=．（1）将极坐标方程化为普通方程；（2）若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值．考点4 不等式选讲【例4】【江苏省淮安市2015届高三第五次模拟考试】选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）已知x ，y ，z 均为正数．求证：111yx z yz zx xy x y z≥++++． 【规律方法】含绝对值不等式的解法，属于直接运用与恒成立相结合．分段函数的图像以及含绝对值不等式的最值问题的解法，考查学生数形结合的能力、分类讨论思想以及化归与转化思想．【举一反三】【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(3)】（选修４－５：不等式选讲）已知实数a ，b ，c ，d 满足3a b c d +++=，22222365a b c d +++=，求a 的取值范围．考点5 均值与方差的实际应用【例5】【江苏省扬州中学2015届高三4月双周测】(本题满分10分)为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：[)[)[)[)[]20,25,25,30,30,35,35,40,40,45． （1）求图中x 的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[)35,40岁的人数；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动，再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人，记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．【规律方法】求解离散型随机变量均值与方差的主要步骤：(1)求出随机变量的所有可能的取值；(2)计算随机变量取各个值的概率，列出概率分布列；(3)按照公式计算均值（数学期望）与方差．【举一反三】【泰州市2015届高三第三次调研测试】袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n 次后，袋中白球的个数记为X n ． （1）求随机变量X 2的概率分布及数学期望E (X 2)； （2）求随机变量X n 的数学期望E (X n )关于n 的表达式． 考点6 排列、组合及性质【例6】【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(4)】（本小题满分10分）设整数n ≥3，集合P ={1，2，3，…，n }，A ，B 是P 的两个非空子集．记a n 为所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(A ，B )的个数． （1）求a 3； （2）求a n ．【规律方法】通过观察式子的结构，利用排列数和组合数的相关性质及二项式系数的相关性质以含有排列、组合数结构的代数式进行化简，有时需要拆分、拼凑项来进行结构重组.【举一反三】【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(2)】（本小题满分10分）设*n N ∈且4n ≥，集合{}1,2,3,,M n = 的所有3个元素的子集记为312,,,nC A A A ．（1）求集合312,,,nC A A A 中所有元素之和S ；（2）记i m 为i A 3(1,2,,)ni C = 中最小元素与最大元素之和，求32015132015C ii mC=∑的值．考点6 二项式定理与其他知识交汇【例6】【江苏省扬州中学2015届高三4月双周测】(本题满分10分)*)n N ∈的形式，则称其为“兄弟数”. 求证：（1）若x 为“兄弟数”，则2x 也为“兄弟数”；（2）若x 为“兄弟数”，k 是给定的正奇数，则k x 也为“兄弟数”.【规律方法】二项式定理内容的考查常出现二项式内容与其它知识的交汇、整合，这是命题的一个创新方向．如二项式定理与函数、数列、复数，不等式等其他知识点综合成题时，对其他模块的知识点要能熟练运用.【举一反三】【江苏省淮安市2015届高三第五次模拟考试】在自然数列1,2,3,,n 中，任取k 个元素位置保持不动，将其余n k -个元素变动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为()n P k ． ⑴ 求()31P ； ⑵ 求()440k P k =∑；⑶ 证明()()11n n nn k k kP k n P k --===∑∑，并求出()0nnk kP k =∑的值．三．错混辨析1．忽视参数的符号【例1】已知()|1|()f x ax a R =+∈，不等式()3≤x f 的解集为{}-21x x ≤≤．(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)若()k x f x f ≤⎪⎭⎫⎝⎛-22恒成立，求k 的取值范围． 【错因】(Ⅰ) 由+13ax ≤得-42ax ≤≤，即42-x a a≤≤，又()3f x ≤的解集为{}-21x x ≤≤，∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=-1224aa ，即=2a ． (Ⅱ) 记()()=-22x h x f x f ⎛⎫⎪⎝⎭，则()1,-11=-4-3,-1<<-21-1,-2x h x x x x ⎧⎪≤⎪⎪⎨⎪⎪≥⎪⎩，∴()1h x ≤，因此1k ≥．【正解】(Ⅰ)由+13ax ≤得-42ax ≤≤，又()3f x ≤的解集为{}-21x x ≤≤，∴当0a ≤时，不合题意；当>0a 时，42-x a a ≤≤，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-1224a a ，即=2a ．(Ⅱ)记()()=-22x h x f x f ⎛⎫⎪⎝⎭，则()1,-11=-4-3,-1<<-21-1,-2x h x x x x ⎧⎪≤⎪⎪⎨⎪⎪≥⎪⎩，∴()1h x ≤，因此1k ≥2．基本概念理解不清【例2】直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=【错因】由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==21cos 1,21cos 1cos 21cos 2θρθρθρθρ5=【正解】2cos 1ρθ=是过点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21且垂直于极轴的直线，2cos ρθ=是以()0,1为圆心，1为半径的圆，则弦长=321122=⎪⎭⎫⎝⎛-．1．【原创题】如图，AC ⊥AB ，BE ⊥AB ，AB ＝10，AC ＝2，用一块三角尺进行如下操作：将直角顶点P 在线段AB 上滑动，一直角边始终经过点C ，另一直角边与BE 相交于点D ，若BD ＝8，则AP 的长为________．2．【新颖题】在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为(3，π3)，(4，π4)，则△AOB (其中O 为极点)的面积为________．3．【改编题】若不等式|2x －m |≤|3x ＋6|恒成立，则实数m 的取值范围为________．4．【原创题】设函数()|3||1|f x x x =--+，x ∈R ．(1) 解不等式()1f x <-；(2) 设函数()||4g x x a =+-，()()g x f x ≤在[2,2]x ∈-上恒成立，求实数a 的取值范围．5．【改编题】在极坐标系内，已知曲线1C 的方程为22(cos 2sin )40ρρθθ--+=，以极点为原点，极轴方向为x 正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线2C 的参数方程为5145183x t y t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）． (1) 求曲线1C 的直角坐标方程以及曲线2C 的普通方程；(2) 设点P 为曲线2C 上的动点，过点P 作曲线1C 的两条切线，求这两条切线所成角余弦值的取值范围．：。

B ．附加题部分三、附加题部分（本大题共6小题，其中第21～24题为选做题，请考生在第21～24题中任选2个小题作答，如果多做，则按所选做的前两题记分。

第25和第26题为必做题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）21．（本小题为选做题，满分10分） 如图，AB 是O 的直径，M 为圆上一点，ME AB ⊥，垂足为E ，点C 为O 上任一点，,AC EM 交于点D ，BC 交DE 于点F ． 求证：（1）AE ED FE EB =::；（2）2EM ED EF =⋅．22．（本小题为选做题，满分10分）已知点(,)P x y 是圆222x y y +=上的动点． （1）求2x y +的取值范围；（2）若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围．23．（本小题为选做题，满分10分）求使等式 2 4 2 0 1 03 50 10 -1M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦成立的矩阵M ．24．（本小题为选做题，满分10分）已知(0,)2x π∈，求函数2sin y x =+的最小值以及取最小值时所对应的x 值．25．（本小题为必做题，满分10分） 如图，直三棱柱111A B C ABC -中，12C C CB CA ===，AC CB ⊥. D E 、分别为棱111C C B C 、的中点.（1）求点E 到平面ADB 的距离； （2）求二面角1E A D B --的平面角的余弦值；（3）在线段AC 上是否存在一点F ，使得EF ⊥平面1A DB ？若存在，确定其位置；若不存在，说明理由.26．（本小题为必做题，满分10分）1,2,3,,9这9个自然数中，任取3个不同的在数．（1）求这3个数中至少有1个是偶数的概率； （2）求这3个数和为18的概率；（3）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ．B ．附加题部分 三、附加题部分：21．（选做题）（本小题满分10分） 证明：（1）∵MN AB ⊥，∴90B BFE D ∠=-∠=∠， ∴AED ∆∽FEB ∆，∴EB FE ED AE ：：=；（5分）（2）延长ME 与⊙O 交于点N ，由相交弦定理，得EM EN EA EB ⋅=⋅，且EM EN =， ∴2EM EA EB =⋅，由（1） ∴2EM ED EF =⋅。

2009年江苏卷解析几何题解题分析与教学反思近年来，高考数学中的解析几何题一直备受关注。

2009年江苏卷数学试题同样涉及了解析几何，本文将对该试题进行解析，并结合教学实践进行反思。

题目一：已知平面直角坐标系中，点A的坐标为(4, 5)，直线l1经过点A且斜率是2，直线l2的斜率为-1。

求直线l1和l2的方程，并求l1与l2的交点坐标。

解析与解题思路：首先，我们根据已知信息确定直线l1的方程，通过点斜式可得：y - 5 = 2(x - 4)，整理可得直线l1的方程为：y = 2x - 3。

接下来，根据已知信息确定直线l2的方程，由于直线l2的斜率为-1且过点A，可以使用点斜式得出直线l2的方程：y - 5 = -1(x - 4)，整理可得直线l2的方程为：y = -x + 9。

然后，我们求解l1与l2的交点坐标，即求解方程组：{y = 2x - 3y = -x + 9}将y的表达式代入第二个方程可得：2x - 3 = -x + 9，整理可得：3x= 12，解得x = 4。

将x的值代入任一方程可得：y = 5。

综上，直线l1和l2的方程分别为：y = 2x - 3 和 y = -x + 9，交点坐标为(4, 5)。

教学反思：这道题要求学生灵活应用点斜式和解方程的方法，考查了解析几何的基本概念和解题思路。

在教学过程中，可以通过实例讲解点斜式和解方程的步骤，引导学生掌握相应的解题方法。

题目二：已知等腰三角形ABC，AB = AC，且AD⊥BC于点D。

若AB = 8，BC = 12，求AD的长度。

解析与解题思路：根据等腰三角形的性质，我们知道AD是BC的垂线，因此AD将BC平分。

即BD = CD = 12 / 2 = 6。

接下来，我们可以使用勾股定理求解AD的长度。

根据题目信息可得：AD^2 + BD^2 = AB^2AD^2 + 6^2 = 8^2AD^2 + 36 = 64AD^2 = 28AD = √28 = 2√7因此，AD的长度为2√7。

江苏08高考数学附加题教学案(选修部分， 40分)一、圆锥曲线与方程1、θ取一切实数时，连接A(4sin θ，6cos θ)和B(－4cos θ， 6sin θ)两点的线段的中点为M ，求点M 的轨迹．简答：轨迹为焦点在y 轴上的椭圆22x y 1818+=。

2、已知平面上一个定点C （－1，0）和一条定直线L ：x =－4，P 为该平面上一动点，作 PQ ⊥L ，垂足为Q ，(2)(2)0.PQ PC PQ PC +⋅-= （1）求点P 的轨迹方程；（2）求P Q P C ⋅的取值范围．解：（Ⅰ）由(2)(2)0PQ PC PQ PC +⋅-= ，22||4||PQ PC = 2分设P （x ，y ），得222|4|4[(1)]x x y +=++，223412x y +=，∴ 点P 的轨迹方程为22143x y +=． 3分 （Ⅱ）设P （x ，y ），(4,0)P Q x =-- ，(1,)PC x y =---2259(4,0)(1,)54()24PQ PC x x y x x x ⋅=--⋅---=++=+- 2分由[2,2]x ∈-，故有[2,18]PQ PC ⋅∈-3分二、空间向量与立体几何1．（本小题满分12分） 如图，已知直二面角PQ αβ--，A PQ ∈， B α∈，C β∈，CA CB =，45BAP ∠= ，直线CA 和平面α所成的角为30 ．（I ）证明BC PQ ⊥；（II ）求二面角B AC P --的所成角的余弦值．（Ⅲ）在线段AC 上是否存在一点M 使得直线BM 与平面β所成角为6π。

证明：（1）因为αβ⊥，CO PQ ⊥，PQ αβ= ，所以CO α⊥， 又因为CA CB =，所以OA OB =．而45BAO ∠=，所以45ABO ∠=，90AOB ∠=OC OA ⊥，OC OB ⊥，OA OB ⊥……………………………4分（2）O 为原点，分别以直线OB OA OC ，，为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）．因为CO a ⊥，所以CAO ∠是CA 和平面α所成的角，则30CAO ∠=．不妨设2AC =，则AO1CO =． 在Rt OAB △中，45ABO BAO ∠=∠=， 所以BO AO ==则相关各点的坐标分别是(000)O ，，，0)B ，，(0A ，(001)C ，，，OA=（0，3，0） 所以AB = ，(0AC =．=（3-，0,1）………6分 设1n {}x y z =，，是平面ABC 的一个法向量，由1100n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得00z =+=⎪⎩， 取1x =，得1n =．………8分ABCQαβ P Q易知2(100)n =，，是平面β的一个法向量． ………10分设二面角B AC P --的平面角为θ，由图可知，12n n θ=<>，．所以1212cos 5||||n n n n θ=== ．故二面角B-AC-P 所成角的余弦值为552．如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA 1=2，M 、N分别是A 1B 1，A 1A 的中点，（1）求;的长BN （2）求;,cos 11的值><CB BA（3）.:11M C B A ⊥求证（14分）解：（1）以射线oz oy ox CC ,,,,1分别为建立坐标系， ……1分 则B （0，1，0）(1,0,1),N||BN ∴……4分1111(2)(1,0,2)(0,1,2),(0,0,0)(1,1,2),(0,1,2),A B C BA CB ∴=-=111111cos ,||||BA CB BA CB BA CB ⋅∴<>=⋅==……7分11111111111(3)(0,0,2),(,,2)(,,0),(1,1,2)222211(1)10(2)022C M C M A B C M A B A B C M∴==--⋅=⨯-+⨯+⨯-=∴⊥ ……10分3、右图是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知11111A B B C ==，11190A B C ∠=，14AA=，12BB =，13CC =． （1）设点O 是AB 的中点，证明：OC ∥平面111A B C ； （2）求二面角1B AC A --的大小；11（3）求此几何体的体积． 解法一：（1）证明：作1OD AA ∥交11A B 于D ，连1C D ． 则11OD BB CC ∥∥． 因为O 是AB 的中点，所以1111()32OD AA BB CC =+==．则1ODC C 是平行四边形，因此有1OC C D ∥． 1C D ⊂平面111C B A 且OC ⊄平面111C B A ，则OC ∥面111A B C ．（2）如图，过B 作截面22BA C ∥面111A B C ，分别交1AA ，1CC 于2A ，2C ． 作22BH A C ⊥于H ，连CH ．因为1CC ⊥面22BA C ，所以1CC BH ⊥，则BH ⊥平面1AC ．又因为AB =BC =222AC AB BC AC ⇒=+．所以BC AC ⊥，根据三垂线定理知CH AC ⊥，所以BCH ∠就是所求二面角的平面角．因为BH =，所以1sin 2BH BCH BC ==∠，故30BCH = ∠， 即：所求二面角的大小为30．（3）因为2BH =，所以22221111(12)33222B AAC C AA C C V S BH -==+= ．1112211111212A B C A BC A B C V S BB -=== △．所求几何体体积为221112232B AAC C A B C A BC V V V --=+=． 解法二：（1）如图，以1B 为原点建立空间直角坐标系，则(014)A ，，，(002)B ，，，(103)C ，，，因为O 是AB 的中点，所以1032O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，1102OC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，．易知，(001)n =，，是平面111A B C 的一个法向量．因为0OC n =，OC ⊄平面111A B C ，所以OC ∥平面111A B C ． （2）(012)AB =-- ，，，(101)BC = ，，， 设()m x y z =，，是平面ABC 的一个法向量，则11A 21x则0AB m = ，0BC m = 得：200y z x z --=⎧⎨+=⎩取1x z =-=，(121)m =-，，．显然，(110)l =，，为平面11AAC C 的一个法向量．则cos 2m l m l m l===，，结合图形可知所求二面角为锐角． 所以二面角1B AC A --的大小是30．4（10分）、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD，AB =1BC =，2PA =， 为PD 的中点.（Ⅰ）求直线AC 与PB 所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ，并求出点N 到AB 和AP 的距离.解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则,,,,,A B C D P E 的坐标为(0,0,0)A 、B、,0)C 、(0,1,0)D 、(0,0,2)P 、1(0,,1)2E ，从而).2,0,3(),0,1,3(-== 设与的夹角为θ，则,1473723||||cos ==⋅=PB AC θ∴AC 与PB 所成角的余弦值为1473. （Ⅱ）由于N 点在侧面PAB 内，故可设N 点坐标为(,0,)x z ，则)1,21,(z x --=，由NE ⊥面PAC 可得，⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅--=⋅--⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0213,01.0)0,1,3()1,21,(,0)2,0,0()1,21,(.0,0x z z x z x AC NE AP NE 化简得即 ∴⎪⎩⎪⎨⎧==163z x 即N 点的坐标为)1,0,63(，从而N 点到AB 和AP的距离分别为. 三、导数与应用1．（本小题满分8分）求曲线249y x x =-+及直线3y x =+所围封闭区域的面积．解方程组2493y x x y x ⎧=-+⎨=+⎩，得25x y =⎧⎨=⎩或36x y =⎧⎨=⎩，∴面积3323222151(349)(6)326S x xx d x xx x =+-+-=-+-=⎰22、已知[](]⎩⎨⎧∈+-∈+=4,2,12,2,12)(2x x x x x f ，求k 的值，使340)(3=⎰dx x f k2、如图，过点A (6，4)作曲线()f x =l ．（1）求切线l 的方程； （2）求切线l ，x 轴及曲线所围成的封闭图形的面积S ．2、解：（1）∵()f x '=，∴1(6)2f '=，∴切线l 的方程为：14(6)2y x -=-，即材112y x =+．（2）令()f x ，则x =2．令112y x =+=0，则x = -2。

2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 一、填空题：本大题共14小题.每小题5分.共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．.1.若复数 12429i,69i z z =+=+其中i 是虚数单位.则复数12()i z z -的实部为 .【测量目标】复数的运算.【考查方式】给出两个复数.根据复数的减法.乘法运算求目标复数的实部. 【难易程度】容易 【参考答案】20-【试题解析】12220i z z -=-+.12()i z z -= (220i)i=2i 20-+--.所以实部为20-.2.已知向量a 和向量b 的夹角为°30,||2,||==a b .则向量a 和向量b 的数量积=a b .【测量目标】向量的运算.【考查方式】直接给出两个向量的模长和两向量的夹角.求向量的数量积. 【难易程度】容易 【参考答案】3 【试题解析】3233==a b . 3.函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 . 【测量目标】利用导数判断函数的单调性.【考查方式】直接给出函数解析式.利用导数求其单调区间. 【难易程度】容易 【参考答案】(1,11)- 【试题解析】2()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+.由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-.4.函数sin()(,,y A x A ωϕωϕ=+为常数.0,0)A ω>>在闭区间[π,0]-上的图象如图所示.则ω= .第4题图【测量目标】函数sin()y A x ωϕ=+的图象的性质. 【考查方式】观察函数图象.得到周期. 【难易程度】容易 【参考答案】33π2T =.2π3T =.所以3ω= . 5.现有5根竹竿.它们的长度（单位：m ）分别为2.5.2.6.2.7.2.8.2.9.若从中一次随机抽取2根竹竿.则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 .【测量目标】随机事件的概率.【考查方式】给出等可能事件.直接求概率. 【难易程度】中等 【参考答案】0.2【试题解析】从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10.它们的长度恰好相差0.3m 的事件数为2.分别是：2.5和2.8.2.6和2.9.所求概率为0.2.6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1.2.3.4.5的学生进行投篮练习.每人投10次.投中的次数如下表：则以上两组数据的方差中较小的一个为 .【测量目标】平均数.方差.【考查方式】将统计的案例放入实际生活中.根据表格中的数据计算平均数和方差. 【难易程度】中等 【参考答案】25【试题解析】甲班的方差较小.数据的平均值为7.故方差222222(67)00(87)0255s -+++-+==7.右图是一个算法的流程图.最后输出的W = .第7题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】看懂程序框图.进行运算得到答案. 【难易程度】中等 【参考答案】22【试题解析】第一次循环:S =1, T =3第二次循环：S=8.T =5.第三次可以输出W=17+5=22 8.在平面上.若两个正三角形的边长的比为1：2.则它们的面积比为1：4.类似地.在空间内.若两个正四面体的棱长的比为1：2.则它们的体积比为 .【测量目标】归纳推理中的类比推理.【考查方式】给出一个例子.通过类比.求体积比. 【难易程度】中等 【参考答案】1:8【试题解析】平面上面积比和边长比成平方.空间中面积比和棱长比成立方.所以体积比为1:8.9.在平面直角坐标系xoy 中.点P 在曲线3:103C y x x =-+上.且在第二象限内.已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2.则点P 的坐标为 .【测量目标】导数的几何意义.【考查方式】给出解析式.利用导数的几何意义.根据该点的切线的斜率.求点坐标. 【难易程度】中等 【参考答案】(2,15)-【试题解析】231022y x x '=-=⇒=±.又点P 在第二象限内.2x ∴=-点P 的坐标为(2,15)-.10.已知12a =.函数()xf x a =.若实数,m n 满足()()f m f n >.则,m n 的大小关系为 .【测量目标】指数函数的单调性.【考查方式】已知指数函数的底数.根据指数函数的单调性.判断自变量的大小.【难易程度】中等 【参考答案】m<n【试题解析】考查指数函数的单调性.1(0,1)2a =∈.函数()x f x a =在R 上递减.由()()f m f n >得：m<n 11.已知集合{}2|log 2=A x x ….(,)=-∞B a 若A B ⊂则实数a 的取值范围是(,)+∞c .其中c = .【测量目标】集合间的关系.对数不等式.【考查方式】描述法表示集合.求出对数不等式.根据集合间的关系.求参数的范围. 【难易程度】中等 【参考答案】4【试题解析】由2log 2x …得04<x ….(0,4]=A ；由A B ⊂知4>a .所以=c 4. 12.设α和β为不重合的两个平面.给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线.则α平行于β；②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行.则l 和α平行；③设α和β相交于直线l .若α内有一条直线垂直于l .则α和β垂直；④直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直.上面命题中.真命题．．．的序号 （写出所有真命题的序号）. 【测量目标】命题的基本关系.立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理. 【考查方式】通过两个不重合的平面.确定命题的真假. 【参考答案】①② 【难易程度】较难【试题解析】对于①.根据面面的平行定理.平面内两条相交直线.互相平行于另一平面的两条直线.则两条直线平行;对于②.根据线面平行的判断依据.显然成立.对于③.当一条直线垂直两平面的相交直线.显然不一定使得.两平面垂直.所以为假命题；. 对于④.只满足充分条件.不满足必要条件.为假命题. 故真命题为①②.13．如图.在平面直角坐标系xoy 中.1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)+=>>x y a b a b的四个顶点.F 为其右焦点.直线12A B 与直线1B F 相交于点T .线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点.则该椭圆的离心率为 .第13题图【测量目标】直线与椭圆的位置关系.椭圆的基本性质.直线方程.【考查方式】根据直线和椭圆的位置关系.利用椭圆的基本性质.求椭圆的离心率值. 【难易程度】中等【参考答案】5【试题解析】直线12A B 的方程为：1+=-x ya b； 直线1B F 的方程为：1+=-x y c b.（步骤1） 二者联立解得：2()(,)+=--ac b a c T a c a c.（步骤2）则()(,)2()+=--ac b a c M a c a c 在椭圆22221(0)+=>>x y a b a b上. 2222222()1,1030,1030,()4()c a c c ac a e e a c a c ++=+-=+-=-- （步骤3）解得： 5=e （步骤4）14．设{}n a 是公比为q 的等比数列.||1>q .令1(1,2,)=+=n n b a n .若数列{}n b 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中.则6=q .【测量目标】等比数列的通项【考查方式】给出构造的新数列.根据列举表示出的集合.利用通项求公比进而求值. 【难易程度】中等 【参考答案】9-【试题解析】{}n a 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--.四项24,36,54,81--成等比数列.公比为3,69.2=-=-q q 二、解答题：本大题共6小题.共计90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．（本小题满分14分）设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-（1）若a 与2b c -垂直.求tan()αβ+的值； （2）求||b c +的最大值;（3）若tan tan 16αβ=.求证：a ∥b .【测量目标】向量的运算.同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式.【考查方式】给出以三角函数表示的坐标向量.根据向量的线性运算求正切值；求两向量和的模长最大值；在通过已经得到的关系和条件证明向量的平行. 【难易程度】中等【试题解析】（1）由a 与2b c -垂直.(2)20-=-=a b c a b a c .（步骤1） 即4sin()8cos()0αβαβ+-+=.tan()2αβ+=；（步骤2） （2）(sin cos ,4cos 4sin )ββββ+=+-b c （步骤3）222||sin 2sin cos cos ββββ+=+++b c 2216cos 32cos sin 16sin ββββ-+1730sin cos ββ=-1715sin 2β=-.最大值为32.（步骤4）所以||+b c 的最大值为（步骤5）（3）由tan tan 16αβ=得sin sin 16cos cos αβαβ=.（步骤6） 即4cos 4cos sin sin 0αβαβ-=（步骤7） 所以a ∥b .（步骤8） 16．（本小题满分14分）如图.在直三棱柱111A B C A B C -中.E,F 分别是11A B,A C 的中点.点D 在11B C 上.11A D B C ⊥ 求证：（1）EF ∥ABC 平面 （2）111A FD BB C C ⊥平面平面第16题图【测量目标】线面平行的判定.线面垂直.面面垂直的判定.【考查方式】直三棱柱中点.线位置关系.利用线线.线面.面面之间的位置关系和定理进行证明.【难易程度】容易【试题解析】（1）因为E,F 分别是11A B,A C 的中点.所以EF BC .（步骤1）又EF ABC ⊄面.BC ABC ⊂面. 所以EFABC 平面；（步骤2）（2）因为直三棱柱111ABC A B C -.所以1111BB A B C ⊥面.11BB A D ⊥.（步骤3） 又11A D B C ⊥.所以111A D BB C C ⊥面.（步骤4）又11A D A FD ⊂面.所以111A FD BB C C ⊥平面平面（步骤5） 17．（本小题满分14分）设{}n a 是公差不为零的等差数列.n S 为其前n 项和.满足2222234577a a a a ,S +=+=（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）试求所有的正整数m .使得12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项.【测量目标】等差数列的性质.通项.前n 项和.【考查方式】给出数列项数之间的关系.求出通项及前n 项和；求满足条件的等差数列的项. 【难易程度】中等【试题解析】(1)以430a a +=.即1250a d +=.（步骤1） 又由77S =得176772a d ⨯+=.（步骤2） 解得15a =-.2d =（步骤3）所以{}n a 的通项公式为27n a n =-.前n 项和26n S n n =-.（步骤4）（2）12272523m m m a a (m )(m )a (m )++--=-.令23m t -=. 1242m m m a a (t )(t )a t ++--=86t t=+-.（步骤6） 因为t 是奇数.所以t 可取的值为1±. 当1t =.2m =时.863t t+-=.2573⨯-=.是数列{}n a 中的项；（步骤7） 1t =-.1m =时.8615t t+-=-.数列{}n a 中的最小项是5-.不符合. （步骤8）所以满足条件的正整数2m =.（步骤9）18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xoy 中.已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=（1）若直线l 过点(4,0)A .且被圆1C截得的弦长为求直线l 的方程； （2）设P 为平面上的点.满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线12l l 和.它们分别与圆1C 和圆2C 相交.且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等.试求所有满足条件的点P 的坐标.第18题图【测量目标】直线与圆的方程、点到直线的距离公式.直线与圆的位置关系.【考查方式】根据直线和圆的位置关系.以及圆的方程.求直线方程给出两垂直直线与两圆 的位置关系.求满足条件的点坐标. 【难易程度】较难【试题解析】(1)设直线l 的方程为： (4)y k x =-.即40kx y k --=.（步骤1） 由垂径定理.得：圆心1C 到直线l的距离1d ==.（步骤2） 结合点到直线距离公式.1=（步骤3） 化简得：272470,0,24k k k k +===-或（步骤4） 求直线l 的方程为：0y =或7(4)24y x =--.（步骤5） (2) 设点P 坐标为(,)m n .直线1l 、2l 的方程分别为：1(),()y n k x m y n x m k-=--=--即110,+0kx y n km x y n m k k-+-=--+=（步骤6）因为直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等.两圆半径相等.由垂径定理.得：圆心1C 到直线1l 与2C 直线2l 的距离相等.故有：=.（步骤7）化简得：(2)3,m n k m n --=--(8)5m n k m n -+=+-或（步骤8） 关于k 的方程有无穷多解.有：2080,3050m n m n m n m n ⎧--=-+=⎧⎨⎨--=+-=⎩⎩或 （步骤9） 解之得：点P 坐标为313(,)22-或51(,)22-.（步骤10） 19.(本小题满分16分)按照某学者的理论.假设一个人生产某产品单件成本为a 元.如果他卖出该产品的单价为m 元.则他的满意度为m m a +；如果他买进该产品的单价为n 元.则他的满意度为nn a+.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h .则他对这两种交易的综合满现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元.乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元.设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元.甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲.乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙 (1)求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当35A B m m =时.求证：h 甲=h 乙； (2)设35A B m m =.当A m 、B m 分别为多少时.甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记（2）中最大的综合满意度为0h .试问能否适当选取A m 、B m 的值.使得0h h 甲…和0h h 乙…同时成立.但等号不同时成立？试说明理由.【测量目标】基本不等式的实际应用.【考查方式】给出实际例子.列出不等式.根据不等式性质.进行证明；利用基本不等式求恰当值.根据所有条件证明同时取到问题. 【难易程度】较难 【试题解析】(1),=,125320B A Bm m h h m m m +++甲乙([3,12],[5,20])A B m m ∈∈（步骤1）当35A B m m =时. 512Bh m =+甲203B h m =+乙（步骤2）显然=h h 乙甲（步骤3）(2)当35A Bm m =时. h ==甲（步骤4）由111[5,20][,]205B B m m ∈∈得.（步骤5）故当1120B m =即20,12B A m m ==时. （步骤6） （3）（方法一）由（2）知： 0h =由01255B h h m =+甲…得：12552AB A Bm m m m ++….（步骤7） 令35,,A B x y m m ==则1,[,1]4x y ∈.即：5(14)(1)2x y ++….（步骤8） 同理.由h h 乙甲…得：5(1)(14)2x y ++…（步骤9） 另一方面.1,[,1]4x y ∈.51414[2,5],11[,2]2x y x y ++∈++∈、、（步骤10） 55(14)(1),(1)(14),22x y x y ++++厖（步骤11）当且仅当14x y ==.即A B m m =时.取等号. （步骤12）所以不能否适当选取,A B m m 的值.使得h h 甲0…和h h 乙0…同时成立.但等号不同时成立. （步骤13）方法二：由（2）知023h =.因为125+320h h y x y =++甲乙4,100915y y=++（步骤7）所以.当23h 甲…,23h 乙…时,有2==3h h 甲乙（步骤8） 因此.不能取到,A B m m 的值.使得h h 甲0…和h h 乙0…同时成立.但等号不同时成立. （步骤9） 20．(本小题满分16分)设a 为实数.函数2()2()||f x x x a x a =+--. (1) 若(0)1f ….求a 的取值范围； (2) 求()f x 的最小值；(3)设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞.直接写出．．．．(不需给出演算步骤)不等式()1h x …的解集. 【测量目标】分段函数.解不等式.函数的值域.函数的最值.【考查方式】直接给出含参数的函数解析式.根据函数值的大小.求参数的取值范围;根据分段函数.分段讨论.得到函数的最值；定义新函数.解不等式. 【难易程度】较难 【试题解析】（1）若(0)1f ….则||1a a -…（步骤1）2011a a a <⎧⇒⇒-⎨⎩……（步骤2）（2）当x a …时.22()32,f x x ax a =-+22min(),02,0()2(),0,033f a a a a f x a a f a a ⎧⎧⎪⎪==⎨⎨<<⎪⎪⎩⎩厖（步骤3）当x a …时.22()2,f x x ax a =+-2min2(),02,0()(),02,0f a a a a f x f a a a a ⎧--⎧⎪==⎨⎨<<⎪⎩⎩厖（步骤4）综上22min2,0()2,03a a f x a a ⎧-⎪=⎨<⎪⎩…（步骤5）(3) (,)x a ∈+∞时.()1h x …得223210x ax a -+-….（步骤6）222412(1)128a a a ∆=--=-（步骤7）当a a 剠.0,(,)x a ∆∈+∞…；（步骤8）当a <<.0,∆>得(033a a x x x a⎧+⎪--⎨⎪>⎩…（步骤9） 1）22a ∈时.(,)x a ∈+∞ 2）[a ∈时.)x ∈+∞ 3）(22a ∈--时.3(,][)33a a x a -+-∈+∞（步骤10）数学Ⅱ（附加题）参考公式:2222(1)(21)1+2+3++.6n n n n ++=…21.[选做题]在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．.每小题10分.共计20分.请在答题卡指．．．．定区域．．．内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1：几何证明选讲如图.在四边形ABCD 中.ABC BAD △≌△. 求证：ABCD .第21题【测量目标】四边形、全等三角形.【考查方式】观察平面图形.根据全等三角形的性质进行证明. 【难易程度】容易 【试题解析】证明：由A B C B A D △≌△得ACB BDA ∠=∠.故A B C D 、、、四点共圆.从而C B A C D B ∠=∠.再由ABC BAD △≌△得CAB DBA ∠=∠.因此DBA CDB ∠=∠.所以ABCD .B. 选修4-2：矩阵与变换 求矩阵3221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的逆矩阵. 【测量目标】矩阵初步. 【难易程度】容易【考查方式】给出二乘二矩阵.根据矩阵的的基础知识求逆矩阵. 【试题解析】设矩阵A 的逆矩阵为x y z w ⎡⎤⎢⎥⎣⎦则3210,2101x y z w ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（步骤1） 即3232102201x z y w x z y w ++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦故321320,2021x z y w x z y w +=+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩（步骤2） 解得：1,2,2,x z w =-==-.（步骤3）从而A 的逆矩阵为11223--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A .（步骤4）C. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C的参数方程为13()x y t t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数.0t >）.求曲线C 的普通方程.【测量目标】坐标系和参数方程.【考查方式】给出曲线的参数方程.求出参数值.得到一般方程. 【难易程度】容易【试题解析】因为212x t t=+-所以212,3yx t t +=+=（步骤1） 故曲线C 的普通方程为：2360x y -+=.（步骤2） D. 选修4 - 5：不等式选讲0a b >…,求证:23223232a b a b ab ++….【测量目标】不等式比较大小.【考查方式】给出不等式.利用不等式比较大小直接进行证明. 【难易程度】中等 【试题解析】证明：2322222232(32)3()2()(32)()a b a b ab a a b b b a a b a b +-+=-+-=--.（步骤1）因为0a b >…,所以220,320a b a b -->…（步骤2）.从而22(32)()0a b a b --….（步骤3） 即23223232a b a b ab ++….[必做题]第22题、第23题.每题10分.共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.（本题满分10分）在平面直角坐标系xoy 中.抛物线C 的顶点在原点.经过点A （2.2）.其焦点F 在x 轴上.第22题图（1）求抛物线C 的标准方程；（2）求过点F .且与直线OA 垂直的直线的方程；（3）设过点(,0)(0)M m m >的直线交抛物线C 于D 、E 两点.ME =2DM .记D 和E 两点间的距离为()f m .求()f m 关于m 的表达式.【测量目标】两点距离公式.抛物线方程.直线方程.直线和抛物线的位置关系.【考查方式】已知一点过抛物线.求抛物线的标准方程;进而求出过抛物线焦点的直线方程；根据直线与抛物线的位置关系.利用两点间的距离公式.求表达式. 【难易程度】较难【试题解析】（1）由题意知.可设抛物线C 的标准方程22y px =。

2009年江苏省高考数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）（2009•江苏）若复数z1=4+29i，z2=6+9i，其中i是虚数单位，则复数（z1﹣z2）i的实部为_________．2．（5分）（2009•江苏）已知向量和向量的夹角为300，，则向量和向量的数量积= _________．3．（5分）（2009•江苏）函数f（x）=x3﹣15x2﹣33x+6的单调减区间为_________．4．（5分）（2009•江苏）函数y=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0）在闭区间[﹣π，0]的图象如图所示，则ω=_________．5．（5分）（2009•江苏）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为_________．6．（5分）（2009•江苏）某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，则以上两组数据的方差中较小的一个为S=_________．7．（5分）（2009•江苏）如图是一个算法的流程图，最后输出的W=_________．8．（5分）（2009•江苏）为了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级学生进行跳绳测试，将所得数据整理后，画出如图所示的频数分布直方图，已知图中从左到右前三个小组的频率分别是0.1，0.3，0.4，第一小组的频数为5．则第四小组的频率是_________，参加这次测试的学生是_________人．9．（5分）（2009•江苏）在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y=x3﹣10x+3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为_________．10．（5分）（2009•江苏）已知，函数f（x）=log a x，若正实数m，n满足f（m）＞f（n），则m，n的大小关系为_________．11．（5分）（2009•江苏）已知集合A={x|log2x≤2}，B=（﹣∞，a），若A⊆B则实数a的取值范围是（c，+∞），其中c=_________．12．（5分）（2009•江苏）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；（4）直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题，真命题的序号是_________（写出所有真命题的序号）13．（5分）（2009•江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为_________．14．（5分）（2009•江苏）设{a n}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令b n=a n+1（n=1，2，…），若数列{b n}有连续四项在集合{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则6q=_________．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）（2009•江苏）设向量（1）若与垂直，求tan（α+β）的值；（2）求的最大值；（3）若tanαtanβ=16，求证：∥．16．（14分）（2009•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面A1FD⊥平面BB1C1C．17．（14分）（2009•江苏）设a n是公差不为零的等差数列，S n为其前n项和，满足a22+a32=a42+a52，s7=7（1）求数列a n的通项公式及前n项和S n；（2）试求所有的正整数m，使得为数列a n中的项．18．（16分）（2009•江苏）在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y﹣1）2=4和圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4（I）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为，求直线l的方程；（II）设P（a，b）为平面上的点，满足：存在过点P的两条互相垂直的直线l1与l2，l1的斜率为2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求满足条件的a，b的关系式．19．（16分）（2009•江苏）调查某农村30户居民月人均收入情况，制成如下的频数分布直方图，收入在1200～1240元的频数是_________．20．（16分）（2009•江苏）设a为实数，函数f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|．（1）若f（0）≥1，求a的取值范围；（2）求f（x）的最小值；（3）设函数h（x）=f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥1的解集．数学Ⅱ（附加题）参考公式：2222(1)(21)123.6n n n n ++++++=21.[选做题]在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分。

人教版江苏高考数学理科附加题考前指导复习(含答案)及参考答案(附参考答案)一、附加题的两点共识1．数学附加题的40分与I卷的160分对理科同学同等重要．2．数学附加题得很高的分数不容易，但要得到基本分还是不困难的．原因：（1）考试说明要求附加题部分易、中、难题的占分比例控制在5:4:1左右，即中低档题占总分的90％左右．（2）考试时间仅有30分钟，因此运算量与思维量都会控制．（3）准确定位，合理取舍．二、各模块归类分析及应对策略（一）矩阵与变换考点一：二阶矩阵与平面列向量的乘法、二阶矩阵的乘法．例1（2010年江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，0)，B(－2，0)，C(－2，1)．设k为非零实数，矩阵M＝，N＝，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值．（2011年江苏高考）已知矩阵A＝，向量＝，求向量，使得A2＝．βααβ考点二：二阶矩阵与平面变换例2如果曲线x2＋4xy＋3y2＝1在矩阵的作用下变换得到曲线x2－y2＝1，求a＋b 的值．考点三：逆矩阵例3（2009年江苏高考）求矩阵A＝的逆矩阵．说明：方法一，根据A A－1＝E，利用待定系数法求解；方法二：直接利用公式计算．应对策略：待定系数法，运算量比较大，直接利用公式计算简便，但公式不能出错，另外为了防止缺少解题过程之嫌，最好将公式书写一遍．已知矩阵A＝，B＝，求满足AX＝B的二阶矩阵X.考点四：特征值与特征向量例4已知矩阵A＝，向量＝．α（1）求A的特征值1、2和特征向量1、2；（2）计算A5的值．λλααα以下内容最好能记忆：1．旋转变换矩阵．记忆三部分特征：第一列平方和是1，且类似单位圆的参数方程；主对角线上两数相等，副对角线上两数互为相反数．2．二阶矩阵M＝的逆矩阵为M－1＝,))＝．其中是矩阵M主对角线上两数交换，副对角线上两数变为相反数得到．3．矩阵特征多项式f()＝．λ（二）坐标系与参数方程考点1：极坐标化为与直角坐标例1（2010年高考题）在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ＋4ρsin θ＋a＝0相切，求实数a的值．应对策略：1．熟练掌握极坐标方程化为与直角坐标方程的公式不能出现类似于ρcosθ＝y的错误，应注意一些不能套用公式转化的特殊情形．2．应了解点的极坐标的形式和意义．例2：在极坐标系中，O为极点，已知两点M、N的极坐标分别为(4，π)，(，π)．求△OMN的面积．3．极坐标转化为直角坐标后，往往就是研究直线与圆以及圆与圆的问题，我们应熟悉相关的位置关系的判别，以及一些距离或长度的计算．例3：(2012·江苏高考)在极坐标中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．考点2：参数方程转化普通方程例4（2009年高考题）已知曲线C的参数方程为－)，,y＝3(t＋)))(t为参数，t ＞0)．求曲线C的普通方程．应对策略：掌握一些消元的常见方法，一般有以下几种①代入消元法；②加减消元法；③利用代数恒等式或三角恒等式．消元后要注意字母的取值范围是否发生变化．考点3：参数方程的应用例5（2008年江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆＋y2＝1上的一个动点，求S＝x＋y的最大值．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系xOy的O 点为极点，Ox为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos.(1)求直线l的倾斜角；(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求AB.（三）概率基本题型：附加题概率考查两个方面问题：（1）随机事件的概率的计算，考查互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率；（2）离散型随机变量分布列及其数学期望、方差计算．基本策略:1．解好概率问题的关键是理解题意，审题务必仔细．把复杂事件说明确是解题第一步；例1（2010年江苏高考）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各种产品相互独立．（1）记X(单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．2．复杂问题简单化的方法有两种：一是将复杂事件分拆为几个简单的互斥事件，二是转化为其对立事件．分拆事件时一定要做到“不重不漏”．特别应注意“至多”、“至少”、“恰有”等词语．例2将甲、乙两所大学共6名大学生志愿者随机平均分配到某地从事A，B，C三个岗位服务，且A岗位至少有一名甲大学志愿者的概率是．（1）求6名志愿者中来自甲大学的是几人；（2）求A岗位恰好甲、乙两所大学各一人的概率；（3）设随机变量ζ为在B岗位服务的甲大学志愿者的人数，求ζ分布列及期望．3．概率中常犯的错误不仅表现为复杂事件分拆过程中“重”或“漏”（表现为基本事件的不互斥或不对立），独立事件与独立重复事件混同（表现为漏乘相应的组合数），也表现为对古典概型模型本质理解不透彻．例3盒子中装着有标数字1，2，3，4，5的上卡片各2张，从盒子中任取3张卡片，按3张卡片上最大数字的8倍计分，每张卡片被取出的可能性都相等，用表示取出的3张卡片上的最大数字，求：ξ（1）取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；（2）随机变量的概率分布和数学期望；ξ（3）计分不小于20分的概率．说明：解答（1）时的一种典型错误是认为“取得两张1和一张2”及“取得一张1一张2一张3”是等可能的基本事件．解答（2）中P （＝2）时的一种典型错误是认为事件“取出的3张卡片中最大数字为2”仅含两个基本事件：“取得两张1和一张2”和“取得两张2和一张1”．ξ 4．特别要注意的：（1）答题的基本规范：①交待一些基本事件；②写出基本事件发生的概率；③求其它事件发生的概率、写出概率分布列等；④答．（2）养成利用))Pi ＝1检验计算是否正确的习惯． （四）空间向量与立体几何考点1：空间向量的坐标运算例1（2008年江苏高考）如图，设动点P 在棱长为1的正方体ABCD －A1B1C1D1的对角线BD1上，记＝λ，当∠APC 为钝角时，求λ的取值范围．考点2：空间向量的应用1．判别线面位置关系；2．计算异面直线所成角，直线与平面所成角，二面角．例2（2011年江苏高考）如图，在正四棱柱ABCD －A1B1C1D1中，AA1＝2，AB ＝1，点N 是BC 的中点，点M 在CC1上，设二面角A1－DN －M 的大小为．θ （1）当＝90°时，求AM 的长；θ （2）当cos ＝,6)时，求CM 的长．θ例3在棱长为2的正方体ABCD —A1B1C1D1中，E 为棱AB 的中点，点P 在平面A1B1C1D1中，D1P ⊥平面PCE. (1)试求：线段D1P 的长；(2)直线DE 与平面PCE 所成角的正弦值．2．要掌握以下关系：异面直线所成角的余弦等于两条异面直线方向向量夹角余弦的绝对值；线面所成角的正弦等于平面的法向量与直线方向向量夹角余弦的绝对值；二面角平面角余弦与二面角两平面法向量夹角的余弦绝对值相等,其正负可以通过观察二面角是锐角还是钝角进行确定． （五）圆锥曲线与方程 考点1：曲线方程．考点2：直线与抛物线．例1（2009年江苏高考）在平面直接坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A(2，2)，其焦点F 在x 轴上． （1）求抛物线C 的标准方程；（2）求过点F ，且与直线OA 垂直的直线方程；（3）设过点M(m ，0)(m ＞0)的直线交抛物线C 于D ，E 两点，ME ＝2DM ，记D 和E 两点间的距离为f (m)，求f (m)关于m 的表达式．例2：在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点为F 的抛物线x2＝4y 上有两个动点A ，B ，且满足＝λ， 过A ，B 两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M.AF FB (1)求：·的值；OA OB(2)证明：·为定值．FM ABA B CD A 1 B 1C1D 1P（六）数学归纳法例1：已知△ABC 的三边长为有理数． (1)求证：cos A 是有理数；(2)求证：对任意正整数n ，cos nA 是有理数． 例2．如图，，，…，（）是曲线：（）上的个点，点（）在轴的正半轴上，且是正三角形（是坐标原点）．111()P x y ，222()P x y ，()n n n P x y ，120n y y y <<<<…C 23y x =0y ≥n (0)i i A a ，123i n =，，，…，x 1i i i A A P -∆0A （1）写出，，；1a 2a 3a（2）求出点（）的横坐标关于的表达式．(0)n n A a ，n *∈N n a n例3：已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a 0111,(4),.2n n n a a a a n N +==⋅-∈（1） 求； （2）试用数学归纳法证明．12,a a 12,n n a a n N +<<∈说明数学归纳法主要是用来解决与自然数有关的命题。