广东高考数学试题及答案

广东省2022年高考·数学·考试真题与答案解析————————————————————————————————————————一、选择题1. 若集合，则（）{4},{31}M xN x x =<=≥∣M N = A. B. C. D. {}02x x ≤<123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭{}316x x ≤<1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】D【分析】求出集合后可求.,M N M N ⋂【详解】，故，1{16},{}3M xx N x x =≤<=≥∣0∣1163M N x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭故选：D2. 若，则（）i(1)1z -=z z +=A. B. C. 1 D. 22-1-【答案】D【分析】利用复数的除法可求，从而可求.z z z +【详解】由题设有，故，故，21i1i i iz -===-1+i z =()()1i 1i 2z z +=++-=故选：D3. 在中，点D 在边AB 上，．记，则（）ABC 2BD DA =CA m CD n == ，CB=A. B. C. D. 32m n - 23m n -+ 32m n + 23m n + 【答案】B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D 在边AB 上，，所以，即，2BD DA =2BD DA =()2CD CB CA CD -=- 所以．CB =3232CD CA n m -=- 23m n =-+故选：B ．4. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积1485m ．21400km ．1575m ．为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上21800km ．1485m ．升到）（）1575m ． 2.65≈A. B. C. D. 931.010m ⨯931.210m ⨯931.410m ⨯931.610m ⨯【答案】C【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．157.5148.59MN =-=V 棱台上底面积，下底面积，262140.014010S ==⨯km m 262180.018010S '==⨯km m∴((66119140101801033V h S S =+=⨯⨯⨯+⨯'．(()679933320109618 2.6510 1.43710 1.410(m )=⨯+⨯≈+⨯⨯=⨯≈⨯故选：C ．5. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A.B.C.D. 16131223【答案】D【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，27C 21=若两数不互质，不同的取法有：，共7种，()()()()()()()2,4,2,6,2,8,3,6,4,6,4,8,6,8故所求概率.2172213P -==故选：D.6. 记函数的最小正周期为T ．若，且的图象关()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭23T ππ<<()y f x =于点中心对称，则（）3,22π⎛⎫⎪⎝⎭2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A. 1B.C.D. 33252【答案】A【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T 满足，得，解得，23T ππ<<223πππω<<23ω<<又因为函数图象关于点对称，所以，且，3,22π⎛⎫⎪⎝⎭3,24k k Z ππωπ+=∈2b =所以，所以，，12,63k k Z ω=-+∈52ω=5()sin 224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以.5sin 21244f πππ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A7. 设，则（）0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，A. B. C. D. a b c <<c b a <<c a b<<a c b<<【答案】C【分析】构造函数，导数判断其单调性，由此确定的大小.()ln(1)f x x x =+-,,a b c 【详解】设，因为，()ln(1)(1)f x x x x =+->-1()111x f x x x'=-=-++当时，，当时，(1,0)x ∈-()0f x '>,()0x ∈+∞()0f x '<所以函数在单调递减，在上单调递增，()ln(1)f x x x =+-(0,)+∞(1,0)-所以，所以，故，即，1()(0)09f f <=101ln 099-<110ln ln 0.999>=-b c >所以，所以，故，所以，1()(0)010f f -<=91ln +01010<1109e 10-<11011e 109<故，a b <设，则,()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<()()21e 11()+1e 11xx x g x x x x -+'=+=--令，，2()e (1)+1x h x x =-2()e (21)x h x x x '=+-当时，，函数单调递减，01x <<-()0h x '<2()e (1)+1x h x x =-时，，函数单调递增，11x -<<()0h x '>2()e (1)+1x h x x =-又，(0)0h =所以当时，，01x <<-()0h x <所以当时，，函数单调递增，01x <<-()0g x '>()e ln(1)xg x x x =+-所以，即，所以(0.1)(0)0g g >=0.10.1e ln 0.9>-a c >故选：C.8. 已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且36π，则该正四棱锥体积的取值范围是（）3l ≤≤A. B. C. D. 8118,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦2781,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦2764,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦[18,27]【答案】C【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，h 由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】∵球的体积为，所以球的半径,36π3R =设正四棱锥的底面边长为，高为，2a h 则，,2222l a h =+22232(3)a h =+-所以，26h l =2222a l h =-所以正四棱锥的体积，42622411214()=333366936l l l V Sh a h l l ⎛⎫==⨯⨯=⨯-⨯- ⎪⎝⎭所以，5233112449696l l V l l ⎛⎫⎛⎫-'=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当，当，3l ≤≤0V '>l <≤0V '<所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，l =V 643又时，，,3l =274V =l =814V =所以正四棱锥的体积的最小值为，V 274所以该正四棱锥体积的取值范围是.276443⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：C.二、不定项选择题9. 已知正方体，则（）1111ABCD A B C D -A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为1BC 1DA 90︒1BC 1CA 90︒C. 直线与平面所成的角为 D. 直线与平面ABCD 所成的角为1BC 11BB D D 45︒1BC 45︒【答案】ABD【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与1B C 1BC 11//DA B C 1BC 1B C 1BC 所成的角，1DA 因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A 正确；11BB C C 1B C ⊥1BC 1BC 1DA 90︒连接，因为平面，平面，则，1AC 11A B ⊥11BB C C 1BC ⊂11BB C C 111A B BC ⊥因为，，所以平面，1B C ⊥1BC 1111A B B C B = 1BC ⊥11A B C 又平面，所以，故B 正确；1AC ⊂11A B C 11BC CA ⊥连接，设，连接，11A C 1111A C B D O = BO 因为平面，平面，则，1BB ⊥1111D C B A 1C O ⊂1111D C B A 11C O B B ⊥因为，，所以平面，111C O B D ⊥1111B D B B B ⋂=1C O ⊥11BB D D 所以为直线与平面所成的角，1C BO ∠1BC 11BB D D设正方体棱长为，则，，11C O =1BC =1111sin 2C O C BO BC ∠==所以，直线与平面所成的角为，故C 错误；1BC 11BB D D 30 因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，1C C ⊥ABCD 1C BC ∠1BC ABCD 145C BC ∠=故D 正确.故选：ABD10. 已知函数，则（）3()1f x x x =-+A. 有两个极值点 B. 有三个零点()f x ()f x C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线(0,1)()y f x =2y x =()y f x =【答案】AC【分析】利用极值点的定义可判断A ，结合的单调性、极值可判断B ，利用平移可判断()f x C ；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，，令得或()231f x x '=-()0f x '>x >x <令得，()0f x '<x <<所以在上单调递减，在，上单调递增，()fx ((,-∞)+∞所以是极值点，故A 正确；x =因，，，(10f =>10f =->()250f -=-<所以，函数在上有一个零点，()f x,⎛-∞ ⎝当时，，即函数在上无零点，x≥()0f x f ≥>()f x ⎫∞⎪⎪⎭+综上所述，函数有一个零点，故B 错误；()f x 令，该函数的定义域为，，3()h x x x =-R ()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-则是奇函数，是的对称中心，()h x (0,0)()h x将的图象向上移动一个单位得到的图象，()h x ()f x 所以点是曲线的对称中心，故C 正确；(0,1)()y f x =令，可得，又，()2312f x x '=-=1x =±()(1)11f f =-=当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，(1,1)21y x =-(1,1)-23y x =+故D 错误.故选：AC .11. 已知O 为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C 于(1,1)A 2:2(0)C x py p =>(0,1)B -P ，Q 两点，则（）A. C 的准线为B. 直线AB 与C 相切1y =-C. D. 2|OP OQ OA ⋅>2||||||BP BQ BA ⋅>【答案】BCD【分析】求出抛物线方程可判断A ，联立AB 与抛物线的方程求交点可判断B ，利用距离公式及弦长公式可判断C 、D.【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为A 12p =2x y =，A 错误；14y =-，所以直线的方程为，1(1)210AB k --==-AB 21y x =-联立，可得，解得，故B 正确；221y x x y=-⎧⎨=⎩2210x x -+=1x =设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，B l l y l C 所以，直线的斜率存在，设其方程为，，l 1y kx =-1122(,),(,)P x y Q x y 联立，得，21y kx x y=-⎧⎨=⎩210x kx -+=所以，所以或，，21212Δ401k x x k x x ⎧=->⎪+=⎨⎪=⎩2k >2k <-21212()1y y x x ==又，||OP ==||OQ ==所以，故C 正确；2||||||2||OP OQ k OA ⋅===>=因为，，1||||BP x =2||||BQ x =所以，而，故D 正确.2212||||(1)||15BP BQ k x x k ⋅=+=+>2||5BA =故选：BCD 12. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，()f x ()'f x R ()()g x f x '=322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)g x +均为偶函数，则（）A. B. C. D. (0)0f =102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(1)(4)f f -=(1)(2)g g -=【答案】BC【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【详解】因为，均为偶函数，322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)g x +所以即，，332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)(2)g x g x +=-所以，，则，故C 正确；()()3f x f x -=(4)()g x g x -=(1)(4)f f -=函数，的图象分别关于直线对称，()f x ()g x 3,22xx ==又，且函数可导，()()g x f x '=()f x 所以，()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以，所以，()(4)()3g x g x g x -==--()(2)(1)g x g x g x +=-+=所以，，故B 正确，D 错误；13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()112g g g -==-若函数满足题设条件，则函数（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x ()f x C +()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 的展开式中的系数为________________（用数字作答）．81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭26x y 【答案】-28【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.()81y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()()88y x y x y x +-+【详解】因为，()()()8881=y y x y x y x y x x ⎛⎫-++-+ ⎪⎝⎭所以的展开式中含的项为，()81y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭26x y 6265352688C 28y x y C x y x y x -=-的展开式中的系数为-28()81y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭26x y 故答案为：-2814. 写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．221x y +=22(3)(4)16x y -+-=【答案】或或3544y x =-+7252424y x =-1x =-【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，221x y +=()0,0O 122(3)(4)16x y -+-=1O (3,4)半径为，4，等于两圆半径之和，故两圆外切，5=如图，当切线为l 时，因为，所以，设方程为143OO k =34l k =-3(0)4y x t t =-+>O 到l 的距离，解得，所以l 的方程为，1d ==54t =3544y x =-+当切线为m 时，设直线方程为，其中，，0kx y p ++=0p>0k <，解得，14⎧=⎪⎪7242524k p ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩7252424y x =-当切线为n 时，易知切线方程为，1x =-故答案为：或或.3544y x =-+7252424y x =-1x =-15. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．()e xy x a =+【答案】()(),40,∞∞--⋃+【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于0x 的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.0x a 【详解】∵，∴，()e x y x a =+(1)e xy x a '=++设切点为,则,切线斜率,()00,x y ()000e x y x a =+()001e x k x a =++切线方程为：,()()()00000e 1e x x y x a x a x x -+=++-∵切线过原点，∴,()()()00000e 1e x x x a x a x -+=++-整理得：,2000x ax a +-=∵切线有两条，∴,解得或,240a a =+> 4a <-0a >∴的取值范围是,a ()(),40,∞∞--⋃+故答案为：()(),40,∞∞--⋃+16. 已知椭圆，C 的上顶点为A ，两个焦点为，，离心率为．过2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F 12且垂直于的直线与C 交于D ，E 两点，，则的周长是1F 2AF ||6DE =ADE ________________．【答案】13【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到222222213412043x y x y c c c+=+-=，即直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：2AF DE DE，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用x c =-22234120x y c +-=221390y c --=弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用138c =1324a c ==ADE 2F DE △椭圆的定义得到周长为.413a =【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为12c e a ==2a c =22223b a c c =-=，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵222222213412043x y x y c c c+=+-=，即1F 2F ，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直222AF a OF c a c ===，，23AF O π∠=12AF F △1F 2AF线与C 交于D ，E 两点，为线段的垂直平分线，∴直线斜率倒数为DE 2AF DE直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：DE x c =-22234120x y c +-=，221390y c --=判别式，()22224139616c c =+⨯⨯=⨯⨯∴，22264613cCD y =-==⨯⨯⨯=∴ ， 得， 138c =1324a c ==∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于DE 2AF 22AD DF AE EF ==，ADE 的周长，利用椭圆的定义得到周长为2F DE △2F DE △.222211*********DF EF DE DF EF DF EF DF DF EF EF a a a ++=+++=+++=+==故答案为：13.四、解答题本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 记为数列的前n 项和，已知是公差为的等差数列．n S {}n a 11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭13（1）求的通项公式；{}n a （2）证明：．121112na a a +++< 【答案】（1）()12n n n a +=（2）见解析【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利()121133n nS n n a +=+-=()23n n n a S +=用和与项的关系得到当时，,进而得：，利2n ≥()()112133n n n n n n a n a a S S --++=-=-111n n a n a n -+=-用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；()12n n n a +=1n ={}n a ()12n n n a +=（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.121111211n a a a n ⎛⎫+++=- ⎪+⎝⎭【小问1详解】∵，∴,∴,11a =111S a ==111S a =又∵是公差为的等差数列，n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭13∴,∴,()121133n nS n n a +=+-=()23nn n a S +=∴当时，，2n ≥()1113n n n a S --+=∴,()()112133n n n n n n a n a a S S --++=-=-整理得：,()()111n n n a n a --=+即,111n n a n a n -+=-∴31211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⨯⨯⨯⋯⨯⨯，()1341123212n n n n n n ++=⨯⨯⨯⋯⨯⨯=--显然对于也成立，1n =∴的通项公式；{}n a ()12n n n a +=【小问2详解】()12112,11n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭∴12111n a a a +++ 1111112121222311n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 18. 记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知．ABC cos sin 21sin 1cos2A BA B=++（1）若，求B ；23C π=（2）求的最小值．222a b c +【答案】（1）；π6（2）．5-【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成cos sin 21sin 1cos2A BA B=++，再结合，即可求出；()cos sin A B B +=π02B <<（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成π2C B =+π22A B =-222a b c +，然后利用基本不等式即可解出．2224cos 5cos B B+-【小问1详解】因为，即2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B BA B B B===++，()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A BC =-=+=-=而，所以；π02B <<π6B =【小问2详解】由（1）知，，所以，sin cos 0B C =->πππ,022C B <<<<而，πsin cos sin 2B C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以，即有．π2C B =+π22A B =-所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B B c C B+++-==．()2222222cos 11cos 24cos 555cos cos B BB BB-+-==+-≥-=-当且仅当的最小值为．2cos B =222a b c +5-19. 如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．111ABC A B C -1A BC（1）求A 到平面的距离；1A BC （2）设D 为的中点，，平面平面，求二面角的正弦1AC 1AA AB =1A BC ⊥11ABB A A BD C --值．【答案】（1）（2【分析】（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直的性质及判定可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量BC ⊥11ABB A 法即可得解.【小问1详解】在直三棱柱中，设点A 到平面的距离为h ，111ABC A B C -1A BC则，111111111143333A A BC A A ABC A ABC A B BC C C B V S h V S A A V ---=⋅===⋅==解得，h =所以点A 到平面；1A BC 【小问2详解】取的中点E ,连接AE ,如图，因为，所以,1A B 1AA AB =1AE A B ⊥又平面平面，平面平面，1A BC ⊥11ABB A 1A BC 111ABB A A B =且平面，所以平面，AE ⊂11ABB A AE ⊥1A BC 在直三棱柱中，平面，111ABC A B C -1BB ⊥ABC由平面，平面可得，，BC ⊂1A BC BC ⊂ABC AE BC ⊥1BB BC ⊥又平面且相交，所以平面，1,AE BB ⊂11ABB A BC ⊥11ABB A 所以两两垂直，以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，1,,BC BABB 由（1）得，，AE =12AA AB ==1A B =2BC =则,所以的中点，()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0A A B C 1AC ()1,1,1D 则，,()1,1,1BD = ()()0,2,0,2,0,0BA BC ==设平面的一个法向量，则，ABD (),,m x y z = 020m BD x y z m BA y ⎧⋅=++=⎪⎨⋅==⎪⎩ 可取，()1,0,1m =-设平面的一个法向量，则，BDC (),,n a b c = 020m BD a b c m BC a ⎧⋅=++=⎪⎨⋅==⎪⎩ 可取，()0,1,1n =-r则，1cos ,2m n m n m n⋅===⋅所以二面角.A BD C --=20. 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的(|)(|)P B A P B A (|)(|)P B A P B A 一项度量指标，记该指标为R ．（ⅰ）证明：；(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R 的估计(|),(|)P A B P A B 值．附，22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）答案见解析（2）（i ）证明见解析；(ii)；6R =【分析】(1)由所给数据结合公式求出的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%2K 的把握认为患该疾病群体与未黄该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i)根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i ）结合已知数据求.R 【小问1详解】由已知，222()200(40906010)=24()()()()50150100100n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==++++⨯⨯⨯又，，2( 6.635)=0.01P K ≥24 6.635>所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.【小问2详解】(i)因为，(|)(|)()()()()=(|)(|)()()()()P B A P B A P AB P A P AB P A R P B A P B A P A P AB P A P AB =⋅⋅⋅⋅所以()()()()()()()()P AB P B P AB P B R P B P AB P B P AB =⋅⋅⋅所以，(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅(ii)由已知，，40(|)100P A B =10(|)100P A B =又，，60(|)100P A B =90(|)100P A B =所以(|)(|)=6(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅21. 已知点在双曲线上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线(2,1)A 2222:1(1)1x yC a a a -=>-,AP AQ 的斜率之和为0．（1）求l 的斜率；（2）若，求的面积．tan PAQ ∠=PAQ △【答案】（1）；1-（2．【分析】（1）由点在双曲线上可求出，易知直线l 的斜率存在，设，(2,1)A a :l y kx m =+，再根据，即可解出l 的斜率；()()1122,,,P x y Q x y 0AP BP k k +=（2）根据直线的斜率之和为0可知直线的倾斜角互补，再根据,AP AQ ,AP AQ即可求出直线的斜率，再分别联立直线与双曲线方程求出点tan PAQ ∠=,AP AQ ,AP AQ 的坐标，即可得到直线的方程以及的长，由点到直线的距离公式求出点到直线,P Q PQ PQ A PQ 的距离，即可得出的面积．PAQ △【小问1详解】因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线(2,1)A 2222:1(1)1x yC a a a -=>-224111a a -=-22a =22:12x C y -=易知直线l 的斜率存在，设，，:l y kx m =+()()1122,,,P x y Q x y 联立可得，，2212y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()222124220k x mkx m ----=所以，，．2121222422,2121mk m x x x x k k ++=-=--()()22222216422210120m k m k m k ∆=++->⇒-+>所以由可得，，0AP BP k k +=212111022y y x x --+=--即，()()()()122121210x kx m x kx m -+-+-+-=即，()()()1212212410kx x m k x x m +--+--=所以，()()2222242124102121m mk k m k m k k +⎛⎫⨯+-----= ⎪--⎝⎭化简得，，即，()2844410k k m k +-++=()()1210k k m +-+=所以或，1k =-12m k =-当时，直线过点，与题意不符，舍去，12m k =-():21l y kx m k x =+=-+()2,1A 故．1k =-【小问2详解】不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，,PA PB (),αβαβ<0AP BP k k +=παβ+=因为，所以，即，tan PAQ ∠=()tan βα-=tan 2α=-，解得，2tan 0αα-=tan α=于是，直线，直线，):21PA y x =-+):21PB y x =-+联立可得，，)222112y x x y ⎧=-+⎪⎨-=⎪⎩(23211002x x +-+-=因为方程有一个根为，所以，，2P x =P y =同理可得，Q x =Q y =所以，，5:03PQ x y +-=163PQ =点到直线的距离，A PQ d故的面积为．PAQ △11623⨯=22. 已知函数和有相同的最小值．()xf x e ax =-()lng x ax x =-（1）求a ；（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左y b =()y f x =()y g x =到右的三个交点的横坐标成等差数列．【答案】（1）1a =（2）见解析【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.（2）根据（1）可得当时，的解的个数、的解的个数均为2，构建新1b >e x x b -=ln x x b -=函数，利用导数可得该函数只有一个零点且可得的大小关系，()e ln 2xh x x x =+-()(),f x g x 根据存在直线与曲线、有三个不同的交点可得的取值，再根据两类y b =()y f x =()y g x =b 方程的根的关系可证明三根成等差数列.【小问1详解】的定义域为，而，()e x f x ax =-R ()e '=-x f x a 若，则，此时无最小值，故.0a ≤()0f x '>()f x 0a >的定义域为，而.()ln g x ax x =-()0,+∞11()ax g x a x x'-=-=当时，，故在上为减函数，ln x a <()0f x '<()f x (),ln a -∞当时，，故在上为增函数，ln x a >()0f x '>()f x ()ln ,a +∞故.()min ()ln ln f x f a a a a ==-当时，，故在上为减函数，10x a <<()0g x '<()g x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，，故在上为增函数，1x a >()0g x '>()g x 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故.min 11()1ln g x g a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭因为和有相同的最小值，()e x f x ax =-()ln g x ax x =-故，整理得到，其中，11ln ln a a a a -=-1ln 1a a a-=+0a >设，则，()1ln ,01a g a a a a -=->+()()()222211011a g a a a a a --'=-=≤++故为上的减函数，而，()g a ()0,+∞()10g =故的唯一解为，故的解为.()0g a =1a =1ln 1a a a -=+1a =综上，.1a =【小问2详解】由（1）可得和的最小值为.e ()x x f x =-()ln g x x x =-11ln11ln 11-=-=当时，考虑的解的个数、的解的个数.1b >e x x b -=ln x x b -=设，，()e x S x x b =--()e 1x S x '=-当时，，当时，，0x <()0S x '<0x >()0S x '>故在上为减函数，在上为增函数，()S x (),0-∞()0,+∞所以，()()min 010S x S b ==-<而，，()e 0b S b --=>()e 2b S b b =-设，其中，则，()e 2b u b b =-1b >()e 20b u b '=->故在上为增函数，故，()u b ()1,+∞()()1e 20u b u >=->故，故有两个不同的零点，即的解的个数为2.()0S b >()e x S x x b =--e x x b -=设，，()ln T x x x b =--()1x T x x-'=当时，，当时，，01x <<()0T x ¢<1x >()0T x '>故在上为减函数，在上为增函数，()T x ()0,1()1,+∞所以，()()min 110T x T b ==-<而，，()e e 0b b T --=>()e e 20b b T b =->有两个不同的零点即的解的个数为2.()ln T x x x b =--ln x x b -=当，由（1）讨论可得、仅有一个零点，1b =ln x x b -=e x x b -=当时，由（1）讨论可得、均无零点，1b <ln x x b -=e x x b -=故若存在直线与曲线、有三个不同的交点，y b =()y f x =()y g x =则.1b >设，其中，故，()e ln 2x h x x x =+-0x >1()e 2x h x x'=+-设，，则，()e 1x s x x =--0x >()e 10x s x '=->故在上为增函数，故即，()s x ()0,+∞()()00s x s >=e 1x x >+所以，所以在上为增函数，1()1210h x x x'>+-≥->()h x ()0,+∞而，，(1)e 20h =->31e 333122()e 3e 30e e eh =--<--<故在上有且只有一个零点，且：()h x ()0,+∞0x 0311ex <<当时，即即，00x x <<()0h x <e ln x x x x -<-()()f x g x <当时，即即，0x x >()0h x >e ln x x x x ->-()()f x g x >因此若存在直线与曲线、有三个不同的交点，y b =()y f x =()y g x =故，()()001b f x g x ==>此时有两个不同的零点，e x x b -=1010,(0)x x x x <<此时有两个不同的零点，ln x x b -=0404,(01)x x x x <<<故，，，11e x x b -=00e x x b -=44ln 0x x b --=00ln 0x x b --=所以即即，44ln x b x -=44e x b x -=()44e 0x b x b b ----=故为方程的解，同理也为方程的解4x b -e x x b -=0x b -e x x b -=又可化为即即，11e x x b -=11e x x b =+()11ln 0x x b -+=()()11ln 0x b x b b +-+-=故为方程的解，同理也为方程的解，1x b +ln x x b -=0x b +ln x x b -=所以，而，{}{}1004,,x x x b x b =--1b >故即.0410x x b x x b =-⎧⎨=-⎩1402x x x +=。

2019年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.1．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i2．（5分）已知集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∪N=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2}D．{﹣1，0，1}3．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（）A．5 B．6 C．7 D．84．（5分）若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）A．焦距相等B．实半轴长相等C．虚半轴长相等D．离心率相等5．（5分）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）A．（﹣1，1，0）B．（1，﹣1，0）C．（0，﹣1，1）D．（﹣1，0，1）6．（5分）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，107．（5分）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（）A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定8．（5分）设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“１≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（）A．60 B．90 C．120 D．130二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（9~13题）9．（5分）不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为．10．（5分）曲线y=e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为．11．（5分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则= ．13．（5分）若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20= ．（二）、选做题（14~15题，考生只能从中选作一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为．【几何证明选讲选做题】15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则= ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．17．（13分）随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25，30]30.12（30，35]50.20（35，40]80.32（40，45]n1f1（45，50]n2f2（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．18．（13分）如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．19．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2na n+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，且S3=15．（1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列{a n}的通项公式．20．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．21．（14分）设函数f（x）=，其中k＜﹣2．（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；（3）若k＜﹣6，求D上满足条件f（x）＞f（1）的x的集合（用区间表示）．2019年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.1．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i【分析】根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得z的值．【解答】解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i，故选：A．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）已知集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∪N=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2}D．{﹣1，0，1}【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，∴M∪N={﹣1，0，1，2}，故选：B．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．3．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（﹣1，﹣1），此时z=﹣2﹣1=﹣3，此时n=﹣3，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（2，﹣1），此时z=2×2﹣1=3，即m=3，则m﹣n=3﹣（﹣3）=6，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．4．（5分）若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）A．焦距相等B．实半轴长相等C．虚半轴长相等D．离心率相等【分析】根据k的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a，b，c的大小关系即可得到结论．【解答】解：当0＜k＜9，则0＜9﹣k＜9，16＜25﹣k＜25，即曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25，b2=9﹣k，c2=34﹣k，曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25﹣k，b2=9，c2=34﹣k，即两个双曲线的焦距相等，故选：A．【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质，根据不等式的范围判断a，b，c是解决本题的关键．5．（5分）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）A．（﹣1，1，0）B．（1，﹣1，0）C．（0，﹣1，1）D．（﹣1，0，1）【分析】根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到结论．【解答】解：不妨设向量为=（x，y，z），A．若=（﹣1，1，0），则cosθ＝=，不满足条件．B．若=（1，﹣1，0），则cosθ＝==，满足条件．C．若=（0，﹣1，1），则cosθ＝=，不满足条件．D．若=（﹣1，0，1），则cosθ＝=，不满足条件．故选：B．【点评】本题主要考查空间向量的数量积的计算，根据向量的坐标公式是解决本题的关键．6．（5分）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，10【分析】根据图1可得总体个数，根据抽取比例可得样本容量，计算分层抽样的抽取比例，求得样本中的高中学生数，再利用图2求得样本中抽取的高中学生近视人数．【解答】解：由图1知：总体个数为3500+2000+4500=10000，∴样本容量=10000×2%=200，分层抽样抽取的比例为，∴高中生抽取的学生数为40，∴抽取的高中生近视人数为40×50%=20．故选：A．【点评】本题借助图表考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样的特征是关键．7．（5分）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（）A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定【分析】根据在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面可得，∴l1与l4的位置关系不确定．【解答】解：∵l1⊥l2，l2⊥l3，∴l1与l3的位置关系不确定，又l4⊥l3，∴l1与l4的位置关系不确定．故A、B、C错误．故选：D．【点评】本题考查了空间直线的垂直关系的判定，考查了学生的空间想象能力，在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面．8．（5分）设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“１≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（）A．60 B．90 C．120 D．130【分析】从条件“１≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”入手，讨论x i所有取值的可能性，分为5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况进行讨论．【解答】解：由于|x i|只能取0或1，且“１≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”，因此5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况：①x i中有2个取值为0，另外3个从﹣1，1中取，共有方法数：；②x i中有3个取值为0，另外2个从﹣1，1中取，共有方法数：；③x i中有4个取值为0，另外1个从﹣1，1中取，共有方法数：．∴总共方法数是++=130．即元素个数为130．故选：D．【点评】本题看似集合题，其实考察的是用排列组合思想去解决问题．其中，分类讨论的方法是在概率统计中经常用到的方法，也是高考中一定会考查到的思想方法．二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（9~13题）9．（5分）不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．【分析】把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：由不等式|x﹣1|+|x+2|≥5，可得①，或②，或③．解①求得x≤﹣3，解②求得x∈?，解③求得x≥2．综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．10．（5分）曲线y=e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为y=﹣5x+3．．【分析】利用导数的几何意义求得切线的斜率，点斜式写出切线方程．﹣5e﹣5x，∴k=﹣5，【解答】解；y′＝∴曲线y=e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为y﹣3=﹣5x，即y=﹣5x+3．故答案为：y=﹣5x+3【点评】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线方程，属基础题．11．（5分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为．【分析】根据条件确定当中位数为6时，对应的条件即可得到结论【解答】解：从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，有C107种方法，若七个数的中位数是6，则只需从0，1，2，3，4，5，选3个，从7，8，9中选3个不同的数即可，有C63种方法，则这七个数的中位数是6的概率P==，故答案为：．【点评】本题主要考查古典概率的计算，注意中位数必须是按照从小到大的顺序进行排列的．比较基础．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则= 2 ．【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果．【解答】解：将bcosC+ccosB=2b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinB，即sin（B+C）=2sinB，∵sin（B+C）=sinA，∴sinA=2sinB，利用正弦定理化简得：a=2b，则=2．故答案为：2【点评】此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．13．（5分）若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20= 50 ．【分析】直接由等比数列的性质结合已知得到a10a11=e5，然后利用对数的运算性质化简后得答案．【解答】解：∵数列{a n}为等比数列，且a10a11+a9a12=2e5，∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5，∴a10a11=e5，∴lna1+lna2+…lna20=ln（a1a2…ａ20）=ln（a10a11）10=ln（e5）10=lne50=50．故答案为：50．【点评】本题考查了等比数列的运算性质，考查对数的运算性质，考查了计算能力，是基础题．（二）、选做题（14~15题，考生只能从中选作一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为（1，1）．【分析】首先运用x=ρcosθ，将极坐标方程化为普通方程，然后组成方，y=ρsinθ程组，解之求交点坐标．【解答】解：曲线C1：ρsin2θ=cosθ，，即为ρ2sin2θ=ρcosθ化为普通方程为：y2=x，，化为普通方程为：y=1，曲线ρsinθ=1联立，即交点的直角坐标为（1，1）．故答案为：（1，1）．【点评】本题考查极坐标方程和普通方程的互化，考查解方程的运算能力，属于基础题【几何证明选讲选做题】15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则= 9 ．【分析】利用ABCD是平行四边形，点E在AB上且EB=2AE，可得=，利用△CDF∽△AEF，可求．【解答】解：∵ABCD是平行四边形，点E在AB上且EB=2AE，∴=，∵ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△CDF∽△AEF，∴=（）2=9．故答案为：9．【点评】本题考查相似三角形的判定，考查三角形的面积比，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．【分析】（1）由函数f（x）的解析式以及f（）=，求得A的值．（2）由（1）可得f（x）=sin（x+），根据f（θ）+f（﹣θ）=，求得cosθ　的值，从而求得f（﹣θ）的值．的值，再由θ∈（0，），求得sinθ　【解答】解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．∴Asin（+）=Asin=A?=，∴A=．（2）由（1）可得f（x）=sin（x+），∴f（θ）+f（﹣θ）=sin（θ+）+sin（﹣θ+）=2sin cosθ＝cosθ＝，∴cosθ＝，再由θ∈（0，），可得sinθ＝．∴f（﹣θ）=sin（﹣θ+）=sin（π﹣θ）=sinθ＝．【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，同角三角函数的基本关系，属于中档题．17．（13分）随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25，30]30.12（30，35]50.20（35，40]80.32（40，45]n1f1（45，50]n2f2（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．【分析】（1）利用所给数据，可得样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，可得样本频率分布直方图；（3）利用对立事件可求概率．【解答】解：（1）（40，45]的频数n1=7，频率f1=0.28；（45，50]的频数n2=2，频率f2=0.08；（2）频率分布直方图：（3）设在该厂任取4人，没有一人的日加工零件数落在区间（30，35]为事件A，则至少有一人的日加工零件数落在区间（30，35]为事件，已知该厂每人日加工零件数落在区间（30，35]的概率为，∴P（A）==，∴P（）=1﹣P（A）=，∴在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率为．【点评】本题考查了频数分布表，频数分布直方图和概率的计算，属于中档题．18．（13分）如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．【分析】（1）结合已知又直线和平面垂直的判定定理可判PC⊥平面ADF，即得所求；（2）由已知数据求出必要的线段的长度，建立空间直角坐标系，由向量法计算即可．【解答】解：（1）∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，又CD⊥AD，PD∩CD=D，∴AD⊥平面PCD，∴AD⊥PC，又AF⊥PC，∴PC⊥平面ADF，即CF⊥平面ADF；（2）设AB=1，在RT△PDC中，CD=1，∠DPC=30°，∴PC=2，PD=，由（1）知CF⊥DF，∴DF=，AF==，∴CF==，又FE∥CD，∴，∴DE=，同理可得EF=CD=，如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，0，1），E（，0，0），F（，，0），P（，0，0），C（0，1，0）设向量=（x，y，z）为平面AEF的法向量，则有，，∴，令x=4可得z=，∴=（4，0，），由（1）知平面ADF的一个法向量为=（，1，0），设二面角D﹣AF﹣E的平面角为θ，可知θ为锐角，cosθ＝|cos＜，＞|===∴二面角D﹣AF﹣E的余弦值为：【点评】本题考查用空间向量法求二面角的余弦值，建立空间直角坐标系并准确求出相关点的坐标是解决问题的关键，属中档题．19．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2na n+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，且S3=15．（1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列{a n}的通项公式．【分析】（1）在数列递推式中取n=2得一关系式，再把S3变为S2+a3得另一关系式，联立可求a3，然后把递推式中n取1，再结合S3=15联立方程组求得a1，a2；（2）由（1）中求得的a1，a2，a3的值猜测出数列的一个通项公式，然后利用数学归纳法证明．【解答】解：（1）由S n=2na n+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，得：S2=4a3﹣20 ①又S3=S2+a3=15 ②联立①②解得：a3=7．再在S n=2na n+1﹣3n2﹣4n中取n=1，得：a1=2a2﹣7 ③又S3=a1+a2+7=15 ④联立③④得：a2=5，a1=3．∴a1，a2，a3的值分别为3，5，7；（2）∵a1=3=2×1+1，a2=5=2×2+1，a3=7=2×3+1．由此猜测a n=2n+1．下面由数学归纳法证明：1、当n=1时，a1=3=2×1+1成立．2、假设n=k时结论成立，即a k=2k+1．那么，当n=k+1时，由S n=2na n+1﹣3n2﹣4n，得，，两式作差得：．∴==2（k+1）+1．综上，当n=k+1时结论成立．∴a n=2n+1．【点评】本题考查数列递推式，训练了利用数学归纳法证明与自然数有关的命题，考查了学生的灵活应变能力和计算能力，是中档题．20．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求得a和b，则椭圆的方可得．（2）设出切线的方程，带入椭圆方程，整理后利用△=0，整理出关于k的一元二次方程，利用韦达定理表示出k1?k2，进而取得x0和y0的关系式，即P点的轨迹方程．【解答】解：（1）依题意知，求得a=3，b=2，∴椭圆的方程为+=1．（2）①当两条切线中有一条斜率不存在时，即A、B两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点，P的坐标为（±3，±2），符合题意，②当两条切线斜率均存在时，设过点P（x0，y0）的切线为y=k（x﹣x0）+y0，+=+=1，整理得（9k2+4）x2+18k（y0﹣kx0）x+9[（y0﹣kx0）2﹣4]=0，∴△=[18k（y0﹣kx0）]2﹣4（9k2+4）×9[（y0﹣kx0）2﹣4]=0，整理得（x02﹣9）k2﹣2x0×y0×k+（y02﹣4）=0，∴﹣1=k1?k2==﹣1，∴x02+y02=13．把点（±3，±2）代入亦成立，∴点P的轨迹方程为：x2+y2=13．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，轨迹方程的相关问题．对于求轨迹方程，最重要的是建立模型求得x和y关系．21．（14分）设函数f（x）=，其中k＜﹣2．（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；（3）若k＜﹣6，求D上满足条件f（x）＞f（1）的x的集合（用区间表示）．【分析】（1）利用换元法，结合函数成立的条件，即可求出函数的定义域．（2）根据复合函数的定义域之间的关系即可得到结论．（3）根据函数的单调性，即可得到不等式的解集．【解答】解：（1）设t=x2+2x+k，则f（x）等价为y=g（t）=，要使函数有意义，则t2+2t﹣3＞0，解得t＞1或t＜﹣3，即x2+2x+k＞1或x2+2x+k＜﹣3，则（x+1）2＞2﹣k，①或（x+1）2＜﹣2﹣k，②，∵k＜﹣2，∴2﹣k＞﹣2﹣k，由①解得x+1＞或x+1，即x＞﹣1或x，由②解得﹣＜x+1＜，即﹣1﹣＜x＜﹣1+，综上函数的定义域为（﹣1，+∞）∪（﹣∞，﹣1﹣）∪（﹣1﹣，﹣1+）．（2）f′（x）===﹣，由f'（x）＞0，即2（x2+2x+k+1）（x+1）＜0，则（x+1+）（x+1﹣）（x+1）＜0解得x＜﹣1﹣或﹣1＜x＜﹣1+，结合定义域知，x＜﹣1﹣或﹣1＜x ＜﹣1+，即函数的单调递增区间为：（﹣∞，﹣1﹣），（﹣1，﹣1+），同理解得单调递减区间为：（﹣1﹣，﹣1），（﹣1+，+∞）．（3）由f（x）=f（1）得（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）﹣3=（3+k）2+2（3+k）﹣3，则[（x2+2x+k）2﹣（3+k）2]+2[（x2+2x+k）﹣（3+k）]=0，∴（x2+2x+2k+5）（x2+2x﹣3）=0即（x+1+）（x+1﹣）（x+3）（x﹣1）=0，∴x=﹣1﹣或x=﹣1+或x=﹣3或x=1，∵k＜﹣6，∴1∈（﹣1，﹣1+），﹣3∈（﹣1﹣，﹣1），∵f（﹣3）=f（1）=f（﹣1﹣）=f（﹣1+），且满足﹣1﹣∈（﹣∞，﹣1﹣），﹣1+∈（﹣1+，+∞），由（2）可知函数f（x）在上述四个区间内均单调递增或递减，结合图象，要使f（x）＞f（1）的集合为：（）∪（﹣1﹣，﹣3）∪（1，﹣1+）∪（﹣1+，﹣1+）．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，以及复合函数单调性之间的关系，利用换元法是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．。

2023年广东省春季高考数学试卷及答案一、选择题（共20题，每题4分，共80分）1.以下哪个函数是一个一次函数？A. y = x^2 + 3x + 1B. y = sin(x)C. y = 2x - 3D. y = log(x)答案：C2.若两个圆的半径分别为3cm和5cm，则它们的半径之比是多少？A. 2:1B. 1:2C. 3:5D. 5:3答案：D3.若x的平方与y的平方之和等于9，则以下哪个点满足这个条件？A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (3, -2)D. (-3, 2)答案：A…二、填空题（共10题，每题6分，共60分）1.在平面直角坐标系中，直线y = 2x - 1与y轴的交点坐标为（__，__）。

答案：(0, -1)2.已知正方体体积为64cm³，则其边长为__cm。

答案：43.设函数f(x) = ex + 2，则f(-2)的值为__。

答案：1…三、解答题（共4题，每题20分，共80分）1.已知以下等差数列的前n项和为Sn = 3n² + 5n，求该数列的通项公式。

答案：设该等差数列的首项为a，公差为d。

根据等差数列前n项和的公式，有Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)。

根据题意，Sn= 3n² + 5n，代入得3n² + 5n = (n/2)(2a + (n-1)d)。

整理得3n + (5/2)n = an + (n² - n)d。

由于等差数列的前n项和与n有关，而通项公式的系数与n无关，所以可以得到两个方程：3 = a + d 和 (5/2) = ad。

解这个方程组，得到a = 2，d = 1。

因此，该等差数列的通项公式为an = 2 + (n - 1)。

2.设函数f(x) = x³ - 3x² + 2x + 5，求f’(x)和f’’(x)。

答案：f’(x) = 3x² - 6x + 2，f’’(x) = 6x - 6。

广东省2019年高考数学试卷(理科)以及答案解析绝密★启用前广东省2019年高考理科数学试卷注意事项：1.考生答卷前，必须在答题卡上填写姓名和准考证号。

2.回答选择题时，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M={x|-4<x<2}，N={x|x^2-x-6<0}，则M∩N=（）A。

{x|-4<x<3}B。

{x|-4<x<-2}C。

{x|-2<x<2}D。

{x|2<x<3}2.设复数z满足|z-i|=1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A。

(x+1)^2+y^2=1B。

(x-1)^2+y^2=1C。

x^2+(y-1)^2=1D。

x^2+(y+1)^2=13.已知a=log20.2，b=20.2，c=0.20.3，则（）A。

a<b<cB。

a<c<bC。

c<a<bD。

b<c<a4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比约为0.618，称为黄金分割比例。

某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A。

165cmB。

175cmC。

185cmD。

190cm5.函数f(x)=在[-π,π]的图像大致为（）A。

B。

C。

D。

6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。

每一重卦由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“ ”，如图为一重卦。

在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A。

B。

C。

D。

7.已知非零向量，满足||=2||，且（-）⊥，则与的夹角为（）A。

2023广东高考数学试题及答案一、选择题1. 在直角三角形ABC中，角A和角B的大小满足 sinA = cosB。

若AB = AC - 1，求角C的大小。

解：设角C的大小为x，则角A和角B的大小分别为90°-x和x。

根据三角函数的关系：sin(90°-x) = cosx 根据三角函数的定义得：sin(90°-x) = cosx = cosB = sin90°-B = sinA 所以sin(90°-x) = sinA由于sin(90°-x) = sinA，那么 90°-x = A，所以 x = 90°-A又已知AB = AC - 1，根据勾股定理得：(AC - 1)^2 = AB^2 + BC2 代入已知条件：AC2 - 2AC + 1 = AB^2 + BC2 根据三角形的性质得：AB2 = BC^2 + AC2 代入已知条件：AC2 - 2AC + 1 = 2BC^2 + AC2 整理得：BC2 = AC^2 - 2AC + 1再根据三角形的特点，BC是直角三角形ABC的斜边，所以BC > AB, 于是得到以下不等式： AC^2 - 2AC + 1 > AC^2 + 1 -2AC > 0 AC < 0由于AC是直角三角形ABC的一条边长，所以AC > 0。

综合以上信息可得：AC < 0，与实际情况矛盾。

所以没有符合条件的解，即无法求得角C的大小。

2. 设集合A = {x | 2x - 1 > 0}，集合B = {x | (3x + 1)/(x - 2) ≠ 0}，求A ∩ B的取值范围。

解：首先求解集合A： 2x - 1 > 0 2x > 1 x > 1/2 所以集合A 的取值范围为x > 1/2。

再求解集合B： (3x + 1)/(x - 2) ≠ 0 => 3x + 1 ≠ 0 所以集合B的取值范围为除了x = -1/3外的所有实数。

年全国高考广东省数学理试卷及答案精校版It was last revised on January 2, 20212019年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N = A. {0,1} B. {1,0,2}- C. {1,0,1,2}- D. {1,0,1}- 2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z= A. 34i -+ B. 34i -- C. 34i + D . 34i -3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值4．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A. 焦距相等 B. 实半轴长相等 C. 虚半轴长相等 D. 离心率相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1） 6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，7123,,,l l l l 4/l C.1,l l 8)45,{i x x ∈-“53≤ B.90二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。

10．曲线25+=-x e y 在点)3,0(处的切线方程为 。

11．从0,1,2,3,4,5,6,7,8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 。

小学 初中 高中 年级12．在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+，则=ba。

13．若等比数列{}n a 的各项均为正数，（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 和2C 交点的直角坐标为_________.15．（几何证明选讲选做题）如图3,在平行四边形ABCD 中， 点E 在AB 上且AE EB 2=，AC 与DE 交于点F ，则三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ，（1）求A 的值；（2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f 。

广东高考试题及答案### 广东高考试题及答案#### 一、语文试题题目一：阅读下列古文，回答问题。

古文材料：（略）问题：1. 解释文中划线词语的含义。

2. 概括作者的主要观点。

答案：1. 划线词语“XX”在文中指的是...（具体解释）。

2. 作者主要观点是...（概括作者观点）。

题目二：根据所给材料，写一篇议论文。

材料：（略）要求：- 观点明确，论据充分。

- 字数不少于800字。

答案：#### 二、数学试题题目一：解决下列方程。

方程：\[ ax^2 + bx + c = 0 \]答案：根据一元二次方程的求根公式，解得：\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] 题目二：证明下列几何定理。

定理：（略）答案：证明过程如下：1. 根据已知条件...2. 利用几何性质...3. 最终得出结论...#### 三、英语试题题目一：阅读理解。

材料：（略）1. 根据文章内容，判断以下陈述是否正确。

2. 从文章中找出支持问题1的证据。

答案：1. 陈述一：正确/错误。

2. 证据：根据文章第几段，提到了...题目二：写作。

题目：描述你最喜欢的季节，并说明原因。

答案：My favorite season is... (具体描述季节和原因)。

#### 四、综合科目试题题目一：物理部分。

问题：解释牛顿第二定律。

答案：牛顿第二定律指出，物体的加速度与作用在其上的净外力成正比，与物体的质量成反比。

公式表示为 \( F = ma \)。

题目二：化学部分。

问题：描述水的化学性质。

答案：水是一种无色、无味、无臭的液体。

化学式为 \( H_2O \)，由两个氢原子和一个氧原子组成。

水具有较高的比热容、表面张力等特性。

#### 五、历史试题题目一：简述辛亥革命的意义。

答案：辛亥革命是中国历史上的一次重大变革，它结束了长达两千多年的封建君主制，建立了亚洲第一个民主共和国，为中国的现代化进程奠定了基础。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x<}，则A ．{|0}AB x x =< B ．A B =RC ．{|1}AB x x =>D ．AB =∅2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．π8C ．12D ．π43．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．85．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]6．621(1)(1)x x ++展开式中2x 的系数为A ．15B ．20C ．30D ．357．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．168．右面程序框图是为了求出满足3n −2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入A ．A >1 000和n =n+1B ．A >1 000和n =n +2C ．A ≤1 000和n =n +1D ．A ≤1 000和n =n +29．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 210．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．1011．设xyz 为正数，且235x y z==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440B ．330C ．220D ．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年广东省高考数学真题及参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{}42＜＜x x A -=，{}5432，，，=B ，则B A ⋂=（）A.{}2 B.{}3,2 C.{}4,3 D.{}4,3,22.已知i z -=2，则()=+i z z （）A.i26- B.i24- C.i26+ D.i24+3.已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2B.22 C.4D.244.下列区间中，函数()⎪⎭⎫⎝⎛-=6sin 7πx x f 单调递增的区间是（）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛20π， B.⎪⎭⎫⎝⎛ππ，2 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛23ππ， D.⎪⎭⎫⎝⎛ππ223，5.已知1F ，2F 是椭圆149:22=+y x C 的两个焦点，点M 在C 上，则21MF MF ⋅的最大值为（）A.13B.12C.9D.66.若2tan -=θ，则()=++θθθθcos sin 2sin 1sin （）A.56-B.52-C.52 D.567.若过点()b a ,可以左曲线xe y =的两条切线，则（）A.ae b＜ B.be a＜ C.bea ＜＜0 D.aeb ＜＜08.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部答对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.有一组样本数据n x x x 21，，由这组数据得到新样本数据n y y y 21，，其中()n i c x y i i ,2,1=+=，c 为非零常数，则（）A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同10.已知O 为坐标原点，点()ααsin ,cos 1P ，()ββsin ,cos 2-P ，()()()βαβα++sin ,cos 3P ，()0,1A ，则（）==C.213OP OP OP OA ⋅=⋅ D.321OP OP OP OA ⋅=⋅11.已知点P 在圆()()165522=-+-y x 上，点()04，A ，()20，B ，则（）A.点P 到直线AB 的距离小于10B.点P 到直线AB 的距离大于2C.当PBA ∠最小时，23=PB D.当PBA ∠最大时，23=PB 12.在正三棱柱111C B A ABC -中，11==AA AB ，点P 满足1BB BC PB μλ+=，其中[]1,0∈λ，[]1,0∈μ，则（）A.当1=λ时，P AB 1∆的周长为定值B.当1=μ时，三棱锥BC A P 1-的体积为定值C.当21=λ时，有且仅有一个点P ，使得BP P A ⊥1D.当21=μ时，有且仅有一个点P ，使得B A 1⊥平面PAB 1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023年广东高考数学真题及参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21012，，，，--=M ，{}062>--=x x x N ，则M ∩=N （）A .{}1012，，，--B .{}2,1,0C .{}2-D .{}22.已知iiz 221+-=，则=-z z （）A .i -B .iC .0D .13.已知向量()1,1=a，()1,1-=b .若()()b a b a μλ+⊥+，则（）A .1=+μλB .1-=+μλC .1=λμD .1-=λμ4.设函数()()a x x x f -=2在区间()1,0单调递减，则a 的取值范围是（）A .(]2-∞-，B .[)0,2-C .(]2,0D .[)∞+，25.设椭圆12221=+y a x C ：()1>a ，14222=+y x C ：的离心率分别21,e e .若123e e =，则=a （）A .332B .2C .3D .66.过点()20-，与圆01422=--+x y x 相切的两条直线的夹角为α，则=αsin （）A .1B .415C .410D .467.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：⎭⎫⎩⎨⎧n S n 为等差数列，则（）A .甲是乙的充分条件但不是必要条件B .甲是乙的必要条件但不是充分条件C .甲是乙的充要条件D .甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.已知()31sin =-βα，61sin cos =βα，则()=+βα22cos （）A .97B .91C .91-D .97-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有一组样本数据621,,x x x ，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（）A .5432,,,x x x x 的平均数等于621,,x x x 的平均数B .5432,,,x x x x 的中位数等于621,,x x x 的中位数C .5432,,,x x x x 的标准差不小于621,,x x x 的标准差D .5432,,,x x x x 的极差不大于621,,x x x 的极差10.噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级lg20p pL p ⨯=，其中常数()000>p p 是听觉下线的阈值，p 是实际声压.下表为不同声源的声压级：已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为321,,p p p ，则（）A .21p p >B .3210p p >C .03100p p =D .21100p p <11.已知函数()x f 的定义域为R ，()()()y f x x f y xy f 22+=，则（）A .()00=fB .()01=f C .()x f 是偶函数D .0=x 为()x f 的极小值点12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A .直径为m 99.0的球体B .所有棱长均为m 4.1的四面体C .底面直径为m 01.0，高为m 8.1的圆柱体D .底面直径为m 2.1，高为m 01.0的圆柱体声源与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040三、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分.13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选修方案共有种（用数字作答）.14.在正四棱台1111D C B A ABCD -中，2=AB ，111=B A ，21=AA ，则该棱台的体积为.15.已知函数()()01cos >-=ωωx x f 在区间[]π2,0有且仅有3个零点，则ω的取值范围是.16.已知双曲线()0012222>>=-b a by a x C ，：的左、右焦点分别为21F F ，，点A 在C 上.点B 在y 轴上，B F A F 11⊥，B F A F 2232-=，则C 的离心率为.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知在ABC ∆中，C B A 3=+，()B C A sin sin 2=-.（1）求A sin ；（2）设5=AB ，求AB 边上的高.18.如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，2=AB ，41=AA .点2222,,,D C B A 分别在棱1111,,,DD CC BB AA 上，12=AA ，222==DD BB ，32=CC .（1）证明：2222D A C B ∥；（2）点P 在棱1BB 上，当二面角222D C A P --为150°时，求P B 2.19.已知函数()()x a e a x f x-+=.（1）讨论()x f 的单调性；（2）证明：当0>a 时，()23ln 2+>a x f .20.设等差数列{}n a 的公差为d ，且1>d ，令nn a nn b +=2，记n n T S ,分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项和.（1）若31223a a a +=，2133=+T S ，求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 为等差数列，且999999=-T S ，求d .21.甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为6.0，乙每次投篮的命中率均为8.0，由抽签决定第一次投篮的任选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为5.0.（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()i i i q X P X P ==-==011，n i ,,2,1 =，则()∑∑===ni i ni i q X E11，记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()Y E .22.在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点⎪⎭⎫ ⎝⎛210，的距离，记动点P 的轨迹为W .（1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD 的周长大于33.参考答案一、选择题12345678CADDABCB1.解：(][)∞+⋃-∞-∈，，32N ，∴{}2=⋂N M 2.解：i i i z 21221-=+-=，∴i z z -=-3.解：()()b a b aμλ+⊥+∵，∴()()()01222=+=+⋅++λμλμμλb b a a ，∴1-=λμ4.解：由复合函数的单调性可知()a x x y -=在区间()1,0单调递减，∴12≥a，∴a 的取值范围是[)∞+，2.5.解：由题意得：a a e 121-=，232=e ，得2112=-a a ，解得332=a .6.解：易得()5222=+-y x ，故圆心()0,2B ，5=R 记()20-，A ，设切点为N M ,，则22=AB ，5=BM ，可得3=AM 223sin 2sin==∠=AB AM MBA α，2252cos =α∴4152cos 2sin 2sin ααα=7.解：甲：∵{}n a 为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，则()d n n na S n 211++=，∴222111d a n d d n a n S n -+=-+=，211d n S n S n n =-++，故⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，⎭⎫⎩⎨⎧n S n 为等差数列，即()()()1111111+-=++-=-++++n n S na n n S n nS n S n S n n n n n n 为常数，设为t ，即()t n n S na nn =+-+11，故()11+⋅-=+n n t na S n n ，故()()111-⋅--=-n n t a n S n n ，2≥n ，两式相减有：()tn n a na a n n n 211---=+，即t a a n n 21=-+，对1=n 也成立，故{}n a 为等差数列，∴甲是乙的必要条件综上，甲是乙的充要条件.8.解：∵()31sin cos cos sin sin =-=-βαβαβα，61sin cos =βα，则21cos sin =βα，故()326131sin cos cos sin sin =+=+=+βαβαβα.()()913221sin 2122cos 22=⎪⎭⎫⎝⎛⨯-=+-=+βαβα.二、选择题9101112BDACDABCABD10.解：∵0lg 20lg 20lg2021020121≥⨯=⨯-⨯=-p p p p p p L L ，∴121≥p p，即21p p >∴A 正确；10lg 203232>⨯=-p p L L ，即21lg 32>p p ，∴213210>p p ，∴B 错误；∵40lg20033=⨯=p p L ，∴10010203==p p，∴C 正确；405090lg202121=-≤⨯=-p p L L ，∴2lg 21≤p p ，∴10021≤p p，∴D 正确.11.解：选项A ，令0==y x ，则()()()000000=⨯+⨯=f f f ，故A 正确；选项B ，令1==y x ，则()()()11111f f f ⨯+⨯=，则()01=f 故B 正确；选项C，令1-==y x ，则()()()()()1111122-⨯-+-⨯-=f f f ，则()01=f ，再令1-=y ，则()()()()1122-+⨯-=-f x x f x f ，即()()x f x f =-，故C 正确；选项D，对式子两边同时除以22yx ()022≠y x，得到：()()()2222xx f y y f y x xy f +=，故可设()()0ln 2≠=x x x x f ，故可以得到()⎩⎨⎧=≠=0,00,ln 2x x x x x f ，故D 错误.12.解：选项A，球直径为199.0<，故球体可以放入正方体容器内，故A 正确；选项B，连接正方体的面对角线，可以得到一个正四面体，其棱长为4.12>，故B 正确；选项C，底面直径m 01.0，可以忽略不计，但高为38.1>，3为正方体的体对角线的长，故C 不正确；选项D，底面直径为32.1<，高为m 01.0的圆柱体，其高度可以忽略不计，故D 正确.三、填空题13.64；14.667；15.32<≤ω；16.55313.解：当从这8门课中选修2门课时，共有161414=C C ；当从这8门课中选修3门课时，共有4814242414=+C C C C ；综上共有64种.14.解：如图，将正四棱台1111D C B A ABCD -补成正四棱锥，则2=AO ，22=SA ，261=OO ，故()()667261212313122222121=⋅⋅++=++=h S S S S V .15.解：令()01cos =-=x x f ω得1cos =x ω，又[]π2,0∈x ，则[]ωπω2,0∈x ，∴ππωπ624<≤，即32<≤ω.16.解：由B F A F 2232-=32=，设x A F 22-=，x B F 32=.由对称性可得x 3=，由定义可得，a x 22+=x 5=，设θ=∠21AF F ，则5353sin ==x x θ，∴xax 52254cos +==θ，解得a x =，∴a x AF 221+=，a AF 22=，在21F AF ∆中，由余弦定理可得54164416cos 2222=-+=a c a a θ，即2295a c =可得553=e .四、解答题17.解：（1）由题意得C B A 3=+，∴，π==++C C B A 4，∴4π=C ∴A C A B -=--=43ππ，∵()B C A sin sin 2=-，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-A A ππ43sin 4sin 2，即A A A A sin 22cos 22cos 22sin 222+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-，整理得：A A cos 3sin =又∵1cos sin 22=+A A ，()π，0∈A ∴0sin >A ，∴0cos >A 解得10103sin =A ，1010cos =A （2）∵()552sin cos cos sin sin sin =+=+=C A C A C A B 由正弦定理可知C c B b sin sin =，即22510103=b ，解得102=b 设AB 边上的高为h ，∵ch A bc S 21sin 21==，∴6sin ==A b h 18.解：以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴建立空间直角坐标系则()2,2,02B ，()3,0,02C ，()1,222，A ，()2,0,22D （1）∵()1,2022-=，C B ，()12022，，-=D A ∴=22C B 22D A ，∴2222D A C B ∥（2）设()t P ,2,0，其中42≤≤t ∴()t P A -=1022，，，()t PC --=3,202，，()1,0,222-=C D ，()12,022-=，A D .设平面22C P A 的一个法向量为()z y x m ,,= ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅022PC m P A m 即()()⎩⎨⎧=-+-=-+032012z t y z t x ，令2=z ，则()2,3,1t t m --=.设平面222C A D 的一个法向量为()z y x n '''=,, ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅02222C D n A D n即⎩⎨⎧=-'=+'-0202z y z x ，令2=z ，则()2,1,1=n .∵二面角222D C A P --为150°，∴2314826150cos 2=+-=︒⇒=t t ，解得：1=t （舍去）或3=t .∴12=P B 19.解：（1）由题可得()1-='xae x f ①当0≤a 时，()0<'x f ，()x f 在()∞+∞-，单调递减；②当0>a 时，令()0='x f 得ax ln -=∴当()a x ln ,-∞-∈时，()0<'x f ，()x f 在()a ln ,-∞-单调递减；当()∞+-∈，a x ln 时，()0>'x f ，()x f 在()∞+-，a ln 单调递增.（2）由（1）得当0>a 时，()()a a a f x f ln 1ln 2min ++=-=.设()21ln 23ln 2ln 122--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=a a a a a a g ，则()a a a g 12-='，令()0='a g 可得22=a ∴当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈22,0a 时，()0<'a g ，()a g 在⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,0上单调递减；当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+∈，22a 时，()0>'a g ，()a g 在⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞+，22上单调递增.∴()02ln 22min >=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=g a g ，故()0>a g ，∴当0>a 时，()23ln 2+>a x f .20.解：（1）∵31223a a a +=，∴d a a d 2313+==，即d a =1，nd a n =故nd a n =，∴d n a n n b n n 12+=+=，()21d n n S n +=，()dn n T n 23+=，又2133=+T S ，即21263243=⨯+⨯dd ，即03722=+-d d ，解得3=d 或21=d （舍），故{}n a 的通项公式为：n a n 3=.（2）若{}n b 为等差数列，则3122b b b +=，即da a d a 24321322111+⨯+⨯=+⨯⋅，即0232121=+-d d a a ，∴d a =1或d a 21=，当d a =1时，nd a n =，故()21d n n S n +=，()dn n T n 23+=.又999999=-T S ，即99210299210099=⨯-⨯dd ，即051502=--d d ，∴5051=d 或1=d （舍）.当d a 21=时，()d n a n 1+=，d n b n =，故()23d n n S n +=，()dn n T n 21+=.又999999=-T S ，即99210099210299=⨯-⨯dd ，即050512=--d d ，∴5051-=d （舍）或1=d （舍）.综上所述：5051=d .21.解：（1）第二次是乙的概率为6.08.05.04.05.0=⨯+⨯.（2）第i 次投篮的人是甲的概率为i p ，则第i 次投篮的人是甲的概率为i p -1，则()2.04.012.06.01+=-+=+i i i i p p p p ，构造等比数列()λλ+=++i i p p 521，解得31-=λ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+3152311i i p p ，又211=p ，∴61311=-p ∴1526131-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-i i p ，则3152611+⎪⎭⎫⎝⎛⋅=-i i p .（3）当*∈N n 时，()352118535215216121n n p p p Y E n nn +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=+++= .11当0=n 时，()0=Y E ，符合上式，故()3521185n Y E n+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-=.22.解：（1）设()y x P ,，∵点P 到x 轴的距离等于点P 到点⎪⎭⎫ ⎝⎛210，的距离，∴2221⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y x y ，化简得412+=x y .故W 的方程为412+=x y .（2）不妨设D B A ,,三点在W 上，且有DA BA ⊥.设⎪⎭⎫ ⎝⎛+41,2a a A ，设DA BA ，的斜率分别为kk 1-，，由对称性不妨设1≤k ，则直线BA 的方程为：()412++-=a a x k y 联立()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+=414122a a x k y x y ，整理可得：022=-+-a ka kx x ，则kx x B A =+∴()()ak k y y x x AB B A B A 21222-+=-+-=同理可得：a kk AD 21112++=∴CD AB +a k k 212-+=a kk 21112+++()232221112121k k k k k a k a k k +=⎪⎭⎫ ⎝⎛++≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+≥设()()313123+++=+=m m m mm m f ，则()()()222112132m m m m m m f +-=-+='，可知()m f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛210，上单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛021，上单调递增，∴()m f 在()10，上最小值为42721=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，∴()3232≥=+kf CD AB ，由于两处相等的条件不一致，∴矩形ABCD 的周长为()332>+CD AB .。