带电粒子在磁场中的运动(磁聚焦)

【答案】（1）；方向垂直于纸面向外（2）见解析 （3）与x同相交的区域范围是x>0. y
y
【解析】 略 【关键】 图示
v A
P v R R Q
θ O/ O
R
C
O/ O 图 (a)
x 图 (b)
x y
装带 置点 微 粒 发 射
P
v R
C
r
O/
Q
O 图 (c)
x
例、如图，在xOy平面内，有以O′(R，0)为圆心，R为半径的圆
2( ) 得：t = v0
MN d = R sin( ) sin
R′=mv/qB = d/cosθ。
以上3式联立求解得 CM=d cotα
例、如图，在直角坐标系 xOy 中，点M(0，1)处不断向 +y 方向
发射出大量质量为 m、带电量为 –q 的粒子，粒子的初速度 大小广泛分布于零到 v0之间。已知这些粒子此后所经磁场的 磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面向里，所有粒子都沿 +x 方向经过 b 区域，都沿 －y的方向通过点 N(3，0)。 （1）通过计算，求出符合要求的磁场范围的最小面积； （2）若其中速度为 k1v0 和 k2v0 的两个粒子同时到达 N 点 (1>k1>k2>0)，求二者发射的时间差。
On
x2 + (r－y)2=r2。
即所有出射点均在以坐标(0，r)为圆心的圆弧abO上，显然， 磁场分布的最小面积应是实线1和圆弧abO所围的面积，由几何 关系得 mv 1 1 Smin 2( r 2 r 2 ) ( 1)( 0 ) 2
4 2 2 eB
解2: 磁场上边界如图线1所示。 设P(x，y)为磁场下边界上的一 点，经过该点的电子初速度与x轴 夹角为 ，则由图可知： x = rsin， y = r－rcos ， 得: x2 + (y－r)2 = r2。
y (mv0/qB) 2 v0 1 M N O 1 2 3 x(mv0/qB) a b c
例、（1975 IPHO试题）质量均为m的一簇粒子在P点以同一
速度v向不同方向散开（如图），垂直纸面的匀强磁场B 将这些粒子聚焦于R点，距离PR=2a，离子的轨迹应是轴 y 对称的。试确定磁场区域的边界。
解答：在磁场B中，粒子受洛仑兹力作用
2 mvn B qd
n=1，2，3，…
磁透镜
O
M
z
例、如图所示，在 xOy平面上－H < y< H的范围内有一片
稀疏的电子，从 x 轴的负半轴的远外以相同的速率 v0 沿 x 轴正向平行地向 y 轴射来，试设计一个磁场区域，使
得：(1)所有电子都能在磁场力作用下通过原点 O； (2)
这一片电子最后扩展到 －2H<y<2H 范围内，继续沿 x 轴正向平行地以相同的速率 v0向远处射出。已知电子的 电量为 e，质量为 m，不考虑电子间的相互作用。质量为m电荷量ຫໍສະໝຸດ e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂
直于BC边射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀
强磁场，电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射 出磁场。不计重力，求： （1）此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向； （2）此匀强磁场区域的最小面积。
y
D
C
v0 O x
A
B
解：（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为B。令圆弧AEC是自C点垂直于 BC入射的电子在磁场中的运行轨道。依题意，圆心在A、C连线的中垂线上， 故B点即为圆心，圆半径为a，按照牛顿定律有 ev0B= mv02/a，得B= mv0/ea。 （2）自BC边上其他点入射的电子运动轨道只能在BAEC区域中。因而，圆弧 AEC是所求的最小磁场区域的一个边界。 （3）设某射中A点的电子速度方向与BA的延长线夹 D 角为θ的情形。该电子的运动轨迹qpA如图所示。图中 圆弧Ap的圆心为O，pq垂直于BC边 ，圆弧Ap的半径 仍为a，在D为原点、DC为x轴、DA为y轴的坐标系中， A p点的坐标为(x，y)，则 x=asinθ，y=-acosθ。 θ 由④⑤式可得：x2+y2=a2，这意味着在范围0≤θ≤π/2内， p点处在以D为圆心、a为半径的四分之一圆周AFC上， 它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求 磁场区域的另一边界。 C E pq F B
磁
场
作半径为r的圆周运动： A(x,y) r 2 mv v = qvB = m r r qB v b 设半径为r的圆轨道上运动的粒子， a a R x O P 在点A (x，y)离开磁场，沿切线飞向R 点。由相似三角形得到： y－b a－x y x 同时，A作为轨迹圆上的点，应满足方程： x2+(y－b)=r2 消去(y-b)，得到满足条件的A点的集合，因此，表示磁场边界 x (a－x) 的函数方程为： y= r2－x2
例、 (第二十届全国预赛试题)从 z轴上的O点发射一束电量为
q、质量为m的带正电粒子，它们速度方向分布在以O点 为顶点、z轴为对称轴的一个顶角很小的锥体内（如图所 示），速度的大小都等于v。试设计一种匀强磁场，能使 这束带电粒子会聚于z轴上的另一点M，M点离开O点的 距离为d。要求给出该磁场的方向、磁感应强度的大小和 最小值。不计粒子间的相互作用和重力的作用。
y 1
P (x,y)
v0
O
θ r
r
x
O
所以磁场区域的下边界也是半径为r，圆心为(0，r)的 圆弧应是磁场区域的下边界。 两边界之间图形的面积即为所求。图中的阴影区域面 积，即为磁场区域面积：
2 m2v0 1 2 r2 S 2( r ) ( 1) 2 2 4 2 2 eB
例、（2009· 海南· T16）如图，ABCD是边长为a的正方形。
O
因此，所求的最小匀强磁场区域，是分别以B和D为圆心、a为半径的两个四 分之一圆周AEC和AFC所围成的区域，其面积为S=2(πa2/4-a2/2) =(π-2)a2/2
磁聚焦概括：
迁移与逆向、对称的物理思想！
一点发散成平行
R
平行会聚于一点
r
R r
区域半径 R 与运动半径 r 相等
例、（2009年浙江卷）如图，在xOy平面内与y轴平行的匀强
电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场。 在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发 射出一束具有相同质量m、电荷量q(q＞0)和初速度v的带 电微粒。发射时，这束带电微粒分布在0＜y＜2R的区间内。 已知重力加速度大小为g。 （1）从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区 域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感 应强度的大小与方向。 y （2）请指出这束带电微粒与x轴相 带 点 微 交的区域，并说明理由。 粒 R 发 v O/ （3）在这束带电磁微粒初速度变为 射 C 装 2v，那么它们与x轴相交的区域又在 置 O 哪里？并说明理由。 x
形磁场区域，磁感应强度大小为 B，方向垂直xOy平面向外， 在 y=R上方有范围足够大的匀强电场，方向水平向右，电场 强度大小为E。在坐标原点O处有一放射源，可以在xOy平面 内向 y 轴右侧（x >0）发射出速率相同的电子，已知电子在 y 该磁场中的偏转半径也为 R， E 电子电量为 e，质量为 m。 不计重力及阻力的作用。 R （1）求电子射入磁场时的速度大小； （2）速度方向沿x轴正方向射入磁场 的电子，求它到达y轴所需要的时间； O O′ x （3）求电子能够射到y轴上的范围。
解1: 电子由O点射入第Ⅰ象限做匀速
圆周运动
2 v0 mv0 ev0 B m r= r eB v0 所有电子的轨迹圆半径相等，且均过 O O点。这些轨迹圆的圆心都在以O为圆 心，半径为r的且位于第Ⅳ象限的四分 之一圆周上，如图所示。
y
O1 O2 O3 O5 O4
x
由图可知，a、b、c、d 等点就是各电 子离开磁场的出射点，均应满足方程
y 2H v0
v0
H O -H x
对称思想
v0
-2H
v0
例、(2008· 重庆高考)如图为一种质谱仪工作原理示意图。在
以O为圆心，OH为对称轴，夹角为2α的扇形区域内分布 着方向垂直于纸面的匀强磁场。对称于OH轴的C和D分 别是离子发射点和收集点。CM垂直磁场左边界于M，且 OM=d。现有一正离子束以小发散角（纸面内）从C射出， 这些离子在CM方向上的分速度均为v0。若该离子束中比 荷为q/m的离子都能会聚到D，试求： （1）磁感应强度的大小和方向（提示：可考虑沿CM方向运 动的离子为研究对象）； （2）离子沿与CM成 θ 角的直线 CN进入磁场，其轨道半径和在 磁场中的运动时间； （3）线段CM的长度。
第三章 磁场
§6、带电粒子在磁场中的运动
（磁聚焦）
带电粒子在直边界磁场中的运动
当带电粒子从同一边界入射出 ——对称性 射时速度与边界夹角相同
磁聚焦原理图解
数学公式推理
• • • • • • • • • • • 设速度夹角为a，粒子运动半径为r，磁场半径 也为r，则粒子圆心的横纵坐标为 X=rsina Y=rcosa 显然，所有圆心的轨迹方程依然是圆 X2+y2=r2 圆心在坐标原点，半径为r 下面求粒子的出点坐标（x1，y1） 磁场圆的参数方程： X2+（y-r）2=r2 粒子的轨迹参数方程： （X-rsina）2+（y-rcosa）2=r2 将出点坐标代入两个方程解：x1=rsina，y1=r+rcosa 说明出点的和圆心在同一竖直线上，即出点水平。
例、在xoy平面内有很多质量为m，电量为e的电子，从坐
标原点O不断以相同速率沿不同方向射入第一象限，如
图所示．现加一垂直于xOy平面向里、磁感强度为B的匀 强磁场，要求这些入射电子穿过磁场都能平行于x轴且 沿x轴正向运动，试问符合该条件的磁场的最小面积为 多大？（不考虑电子间的相互作用）