方程与不等式

函数与方程不等式之间的关系
函数、方程和不等式是数学中的基本概念，它们之间存在密切的联系。

函数是描述两个变量之间关系的数学模型，通常表示为 y = f(x)，其中 x 和
y 是变量，f 是函数关系。

函数有多种类型，其中一次函数是最简单的一种，表示为 y = ax + b，其中 a 和 b 是常数，a ≠ 0。

方程是含有未知数的等式，用来表示未知数和已知数之间的关系。

一元一次方程是最简单的一类方程，形如 ax + b = 0，其中 a 和 b 是已知数，a ≠ 0。

解这个方程可以得到未知数的值。

不等式是用不等号连结的两个解析式，表示两个量之间的大小关系。

一元一次不等式是最简单的一类不等式，形如 ax + b > 0 或 ax + b < 0，其中 a 和 b 是已知数，a ≠ 0。

解这个不等式可以得到满足不等式的值的范围。

函数、方程和不等式之间存在密切的联系。

一次函数和一元一次方程、一元一次不等式之间的关系特别重要。

对于一次函数 y = ax + b，当函数的值等于 0 时，自变量 x 的值就是一元一次方程 ax + b = 0 的解。

如果一次函数的值大于 0，则自变量 x 的值满足一元一次不等式 ax + b > 0；如果一次函数的值小于 0，则自变量 x 的值满足一元一次不等式 ax + b < 0。

因此，函数、方程和不等式是相互联系的，可以通过它们之间的关系来理解和解决数学问题。

不等式方程解法一、不等式的基本概念不等式是数学中一种重要的关系，它描述了两个数之间的大小关系。

不等式中包含了大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）和小于等于号（≤）等符号。

二、一元不等式的解法1. 基本思路：将不等式变形为“x≥(≤)a”的形式，然后根据a与x的大小关系确定解集。

2. 解法步骤：（1）移项：将所有含有未知量x的项移到一边，将常数项移到另一边。

（2）合并同类项：将同类项合并。

（3）除以正数或乘以负数：如果不等式两边都是正数或都是负数，则可以直接比较大小；如果不等式两边符号相反，则需要将其乘以一个负数使其符号相同。

（4）确定解集：根据a与x的大小关系确定解集。

三、二元不等式的解法1. 基本思路：将二元不等式化为一元不等式，然后根据一元不等式的解法求解。

2. 解法步骤：（1）移项：将所有含有未知量x和y的项移到左侧，将常数项移到右侧。

（2）合并同类项：将同类项合并。

（3）分离变量：将含有x的项和含有y的项分别放在两侧。

（4）确定符号：根据不等式符号确定x和y的大小关系。

（5）求解：将不等式化为一元不等式，然后根据一元不等式的解法求解。

四、绝对值不等式的解法1. 基本思路：将绝对值不等式拆成两个部分，一个是|x|>a，另一个是|x|<a，然后根据这两个部分确定解集。

2. 解法步骤：（1）拆分绝对值：将绝对值拆成正负两部分。

（2）移项合并同类项：将所有含有未知量x的项移到左侧，常数项移到右侧，并合并同类项。

（3）确定符号：根据不等式符号确定x的大小关系。

（4）求解：根据|x|>a和|x|<a两个部分确定解集。

五、方程与不等式的转化1. 将方程转化为不等式：（1）当方程中含有“=”时，可直接将“=”改为“≥”或“≤”即可；（2）当方程中含有“≠”时，可将其改写为两个不等式。

2. 将不等式转化为方程：（1）当不等式中含有“≥”或“≤”时，可将其改写为“=”；（2）当不等式中含有“>”或“<”时，可将其改写为两个不等式。

数学中的代数方程与不等式在数学领域中，代数方程和不等式是研究数与数之间关系的重要工具。

它们在解决实际问题、推导数学定理以及促进数学发展方面发挥着重要作用。

本文将对代数方程和不等式的概念、性质和解法进行介绍和探讨。

一、代数方程代数方程是指未知数与常数之间通过运算和等号相连的数学表达式。

一般形式为：\(f(x) = 0\)，其中\(f(x)\)是一个多项式函数，而\(x\)是未知数。

代数方程的解即为能使等式成立的未知数的取值。

1. 一元代数方程一元代数方程是指只含有一个未知数的代数方程。

最简单的一元代数方程是线性方程，形如：\(ax + b = 0\)，其中\(a\)和\(b\)是已知常数，\(x\)是未知数。

解线性方程只需将未知数的系数代入公式进行运算即可得到解。

2. 多元代数方程多元代数方程是指含有多个未知数的代数方程。

与一元代数方程相比，多元代数方程的求解相对复杂。

常见的多元代数方程包括二元、三元甚至更多变量的方程。

解多元代数方程的方法通常是利用方程之间的关系，通过代入、消元、代换等运算来确定未知数的取值。

二、不等式不等式是代数运算中比较数字大小关系的表示。

不等式通过符号（<、>、≤、≥）来描述数之间的大小关系。

与代数方程相比，不等式不要求等号成立，因此可以表示范围、区间等数学关系。

1. 一元不等式一元不等式是指只含有一个未知数的不等式。

与一元代数方程类似，一元不等式也包括线性和非线性不等式。

解一元不等式的方法通常是根据不等式的性质和符号进行推导和计算。

2. 多元不等式多元不等式是指含有多个未知数的不等式。

多元不等式的求解相对复杂，需要考虑不同未知数之间的关系。

通过引入辅助变量、化简、代入等方法，可以将多元不等式转化成一元不等式，从而求解出未知数的取值范围。

三、解代数方程与不等式的常用方法解代数方程和不等式的方法有很多，常用的包括以下几种：1. 图示法通过在坐标平面上绘制图形，来表示代数方程和不等式的解集。

数学解方程与不等式的方法总结数学是一门既有趣又充满挑战的学科，其中解方程和不等式是数学学习的重要内容。

通过解方程和不等式，我们可以找到问题的解答，并且在数学建模和实际应用中起到重要的作用。

本文将总结数学解方程和不等式的方法，帮助读者更好地掌握这一知识点。

一、一元一次方程的解法在解一元一次方程时，我们可以通过移项和化简的方式将方程转化为基本形式：ax + b = 0。

然后，根据方程的系数a和b的值的不同情况，采用以下几种解法：1. 直接求解：当系数a为非零实数时，方程的解即为x = -b/a。

2. 分类讨论：当系数a为0时，方程变为bx + c = 0，此时根据常数b和c的值的不同进行分类讨论，并求解方程。

3. 变量迁移法：当方程出现分式、开方等复杂形式时，我们可以通过变量的迁移，将方程化简为一元一次方程，从而求解。

二、一元二次方程的解法一元二次方程解法相对复杂一些，可以通过以下几种方法求解：1. 因式分解法：当方程可以因式分解时，我们可以通过对方程进行因式分解，找到方程的根。

2. 公式法：一元二次方程有求根公式，即x = (-b ± √(b² - 4ac))/(2a)。

通过代入系数a、b、c的值，计算根的近似值。

3. 完全平方法：当方程能够表示为完全平方时，我们可以通过完全平方公式进行求解。

4. 图像法：借助二次函数的图像，我们可以通过观察方程和函数图像的交点来求解方程。

三、不等式的解法不等式是比较两个数大小关系的数学表达式。

对于不等式的解法，有以下几种方法：1. 图像法：将不等式表示为函数图像，通过观察图像的区域来得到解的范围。

2. 分类讨论法：将不等式中的变量与常数进行分类讨论，根据不同情况确定解的范围。

3. 同向消元法：对不等式两边同时加上或减去相同的数，保持不等式的方向不变，从而逐步消去变量。

4. 化简法：对不等式进行化简，将不等式转化为一般形式，并通过变量的取值范围判断解的范围。

方程和不等式一、重点、难点提示：1.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，a≠0)。

在解一元二次方程，应按方程特点选择方法，各方法依次为：（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法。

一元二次方程的求根公式是：x= (b2-4ac≥0)。

（注意符号问题）2.解分式方程的基本思想是：将分式方程转化为整式方程，转化的方法有两种：（1）去分母法；（2）换元法。

3.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。

当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根x1= ,x2= ；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=- ；当Δ<0时，方程没有实数根。

4.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1,x2,则x1+x2=- , x1x2= 。

（注意两根的和是的相反数）。

以x1,x2为根的一元二次方程是x2-(x1+x2)x+x1x2=0。

5. 不等式的解法：解一元一次不等式和解一元一次方程类似。

不同的是：一元一次不等式两边同乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变。

6.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况见下表：二、例题分析： 例1.解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来。

说明：不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的公共部分，通常借助数轴来确定其解集，这样既直观又不易错。

注意除以负数时，改变不等号的方向。

解：解不等式3(x-2)+8>2x ，得x>-2解不等式 ≥x- ,得 x ≤-1。

所以不等式组的解集是 -2<x ≤-1。

它在数轴上表示如右图所示。

例2.解不等式组 ，并写出不等式组的整数解。

说明：求一元一次不等式组的整数解时，先求出不等式组的解集，再按要求取特殊解。

解：解不等式3(x+1)>4x+2, 得x<1。

解不等式≥，得x≥-2。

所以不等式组的解集是：-2≤x<1。

第五章 方程 不等式一、基本定义：1、元：方程中未知数的个数 次：方程中未知数的最高次方数2、一元一次方程 Ax=b 得b x a=3、一元二次方程2ax +bx+c=0(a ≠0) ⇔一元二次方程2ax +bx+c=0，因为一元二次方程就意味着a ≠0。

当∆=2b -4ac>0时，方程有两个不等实根，为1,2X=2b a-±。

当∆=2b -4ac=0时，方程有两个相等的实根。

当∆=2b -4ac<0时，方程无实根。

一元n 次方程根的情况：一元二次方程中带根号的根是成对出现的，一元三次方程至少有一个有理根，或者说奇数次方程至少有一个有理根二、重要公式及定理1、一元二次方程2ax +bx+c=0的解法（1） 因式分解：十字相乘（∆为完全平方数） （2） 求根公式1,2X2、抛物线y=2ax +bx+c 图像的特点及性质y=2ax +bx+c(抛物线)，则①开口方向由a 决定：a>0时，开口向上，a<0时，开口向下②c 决定与y 轴的交点③对称轴 x=2b a -，对称轴左右两侧单调性相反④两根决定了与x 轴交点⑤|12x x -|=a代表抛物线在x 轴上截取的长度⑥顶点坐标24(,)24b ac b aa --⑦当∆>0时，有两个不等实根，∆=0，有两个相等实根，∆<0时，无实根⑧恒正：a>0,∆<0；恒负：a<0, ∆<0三、根与系数关系（韦达定理）如果12x x 、是20ax bx c ++=的两个根，则1212,b cx x x x a a +=-=，注意：韦达定理不仅对实根是适用的，对虚根也适用韦达定理的扩展应用： （1）12121211x x b x x x x c++==- 与a 无关 （2）22121222221212()2112()x x x x b ac x x x x c+--+== （3）12||||x x a -==（4）222121212()2x x x x x x +=+-（5）3322121211222121212()()()[()3]x x x x x x x x x x x x x x +=+-+=++-考试题型1、题型一 20ax bx c ++=的根的分布情况（1）有两个正根 12120,0b cx x x x a a +=->=>，0∆≥ （2）有两个负根 12120,00b cx x x x a a +=-<=>∆≥，（3）一正一负根 120cx x a=< 即a 和c 异号即可；如果再要求|正根|>|负根|，则再加上条件a ，b 异号； 如果再要求|正根|<|负根|，则再加上a ，b 同号 （4）一根比k 大，一个根比k 小 af(k)<0 2、对数方程，不等式的应用 方程：()()log log ()()0f x g x aa f x g x =⇔=>不等式：a>1时 ()()log log ()()0f x g x aa f x g x >⇔>> 0<a<1时 ()()log log ()()0f x g x aa f x g x <⇔>>指数相关知识：na a a a =⋅⋅⋅⋅(n 个a 相乘) 1nn aa-=nm a = 对于1na ，若n 为正偶数，则a ≥0；若n 为正奇数，则a 无限制；若n 为负偶数，则a>0；若n 为负奇数，则a ≠0。

行测数学运算：方程与不等式、基本方程思想方程与方程组，是解答文字应用题的重要工具。

尽管数学运算的绝大部分问题不需要也不应该使用方程的方法来解答，因为那样可能会耗去大家大量的精力，但仍然有相当一部分的问题（例如盈亏问题、鸡兔同笼问题、牛吃草问题等）采用方程法才是最简单的，并且还有很多问题（例如比例问题、年龄问题、行程问题、等差数列问题、经济利润相关问题等）中的相当一部分也是需要利用方程来求解的。

因此，作为重要的数学基础，“列方程”与“解方程”都是我们备考的时候不能忽视与懈怠的！基本方程原则一、设未知数原则1.以便于理解为准，所设的未知数要便于列方程。

2.在上一条的基础上，尽量设题目所求的量为未知量。

3.有时候为了方便理解，可以设有意义的汉字为未知数。

二、消未知数原则1.方程组消未知数时，应注意保留题目所求未知量，消去其他未知量。

2.未知数系数倍数关系较明显时，优先考虑通过“加减消元法”解题。

3.未知数系数代入关系较明显时，优先考虑通过“代入消元法”解题。

【例1】（北京应届2008-17）某鞋业公司的旅游鞋加工车间要完成一出口订单，如果每天加工50双，要比原计划晚3天完成；如果每天加工60双，要比原计划提前2天完成。

这一订单共需加工（）双旅游鞋。

A. 1200B. 1300C. 1400D. 1500［答案］D［解析］设这一订单共需加工旅游鞋x双，则：x50-x60=5 x=1500。

【例2】（浙江2009-42）已知a－b＝46，a÷b÷c＝2，a÷b－c＝12，问a＋b 的值是（）。

A. 50B. 60C. 70D. 80［答案］A［解析］题目欲求a+b，因此先把c消掉：a-b=46a÷b÷c=2a÷b-c=12 a÷b=24 a=48b=2 a+b=50【例3】（国家2009-114）某公司，甲、乙两个营业部共有50人，其中，32人为男性，甲营业部男女比例为5∶3，乙为2∶1，问甲营业部有多少名女职员？（）A. 18B. 16C. 12D. 9［答案］C［解析］甲营业部男女比例为5∶3，设甲营业部男职员5x人，女职员3x人；乙营业部男女比例为2∶1，设乙营业部男职员2y人，女职员y人；8x+3y=505x+2y=32 x=4,y=6，代入即得：甲营业部女职员12人。

一元二次函数、方程和不等式一、定义1、等式的定义等式是数学中表示两个量或两个表达式之间相等关系的式子。

它由等号（=）连接，等号两边的数值或表达式在特定条件下是相等的。

换句话说，如果两个量或两个表达式用等号连接，那么这两个量或表达式就构成了等式。

2、不等式的定义不等式是数学中表示两个量或两个表达式之间大小关系的式子。

它不使用等号（=）连接，而是使用大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）或不等号（≠）这样的关系符号来连接两边的数值或表达式。

二、性质1、等式的性质：性质1：如果a=b ，那么b=a性质2：如果a=b ，b=c ，那么a=c性质3：如果a=b ，那么a±c=b±c性质4：如果a=b ，那么ac=bc 。

性质5：如果a=b ，c ≠0，那么c b c a =2、不等式的性质：性质1：如果a ＞b ，那么b ＜a;如果b ＜a ，那么a ＞b ．即：a ＞b ⇔b ＜a 。

性质2：如果a ＞b ，b ＞c ，那么a ＞c 。

即：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ．性质3：如果a ＞b ，那么cb c a ++＞性质4：如果a ＞b ，c>0，那么ac ＞bc ；如果a>b ，c<0，那么ac<bc性质5：如果d c b a ＞，＞，那么db c a ++＞性质6：如果0d c 0b a ＞＞，＞＞，那么bdac >性质7：如果a ＞b ＞0，那么），（＞2n n b a nn ≥∈N三、基本不等式对于∀a ＞0，b ＞0，ab 2b a ≥+变形为2b a ab +≤①当且仅当a=b 时，等号成立．通常我们称不等式①为基本不等式。

其中2b a +叫做正数a ，b 的算术平方根，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数四、用分析法证明基本不等式分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使他成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理）为止要证明2b a ab +≤，只要证明b a ab 2+≤，要证明b a ab 2+≤，只要证明0b a ab 2≤--，要证明0b a ab 2≤--，只要证明0b a 2≤--）（，要证明0b a 2≤--）（，只要证明0b a 2≥-）（，很显然，平方恒大于等于0，0b a 2≥-）（成立，当且仅当a=b 时，0b a 2≥-）（中的等号成立。

方程与不等式的关系与转化一、方程与不等式的定义知识点1：方程的定义方程是一个含有未知数的等式，其中等号两边的表达式相等。

方程的目的是找到使等式成立的未知数的值。

知识点2：不等式的定义不等式是一个含有未知数的数学表达式，其中等号被大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）、小于等于号（≤）或不等号（≠）代替。

不等式的目的是找到使表达式成立的未知数的范围。

二、方程与不等式的关系知识点3：方程与不等式的联系方程和不等式都是用来描述变量之间关系的数学工具。

方程是通过等号连接两个表达式，表示它们在某个条件下相等；而不等式是通过不等号连接两个表达式，表示它们在某个条件下不相等或不具有大小关系。

知识点4：方程与不等式的区别方程是通过等号表示两个表达式的相等关系，而不等式是通过不等号表示两个表达式的不相等关系或不具有大小关系。

方程的解是唯一的，而不等式的解集是一个范围。

三、方程与不等式的转化知识点5：方程转化为不等式将方程中的等号改为不等号，可以得到相应的不等式。

例如，将2x + 3 = 7转化为2x + 3 ≥ 7，得到的解是x ≥ 2。

知识点6：不等式转化为方程将不等式中的不等号改为等号，可以得到相应的一般方程。

例如，将3x - 5 < 8转化为3x - 5 = 8，解这个方程得到的解是x = 5/3。

知识点7：线性方程与一元一次不等式的转化线性方程和不等式可以通过解集的性质进行转化。

例如，解线性方程2x - 5 = 3，得到的解是x = 4/2。

相应的不等式是2x - 5 ≥ 3，解集是x ≥ 4/2。

四、方程与不等式的解法知识点8：线性方程的解法线性方程可以通过代数方法（如移项、合并同类项、系数化）求解。

例如，解方程3x + 4 = 19，可以得到x = 5。

知识点9：一元一次不等式的解法一元一次不等式可以通过同解原理和数轴法进行解法。

例如，解不等式2x - 5 > 3，可以得到x > 4。