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九年级数学上册第1章二次函数1.2二次函数的图象(1)课件(新版)浙教版

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九年级数学上册(浙教版)课件：1.2 第1课时 二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质

九年级数学上册(浙教版)课件：1.2 第1课时 二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质

(2)存在满足条件的点 P.当 OA＝OP 时，∵OA＝ 22＋42＝2 5， ∴P1(－2 5，0)，P2(2 5，0)；当 OA＝AP 时，过 A 作 AQ⊥x 轴于 Q， ∴PQ＝OQ＝2，∴P3(4，0)；当 PA＝PO 时，设 P 点坐标为(x，0)， 则 x2＝(x－2)2＋42，解得 x＝5，∴P4(5，0)．综上可知，所求 P 点的坐 标为 P1(－2 5，0)，P2(2 5，0)，P3(4，0)，P4(5，0)
14．如图是一抛物线形的拱桥，桥顶O离水面4 m，水面宽度AB为10 m．现
有一竹排运送一只货箱欲从桥下经过 ， 已知货箱长 10 m ， 宽 6 m ， 高 2.55 m(竹排与水平面持平)．问：此货箱能否顺利通过该桥？并说明理由．
解：能顺利通过．理由：以桥顶 O 为原点建立平面直角坐标系， 则点 A 的坐标为(－5，－4)．设抛物线的表达式为 y＝ax2， 4 4 2 则－4＝25a，∴a＝－25.∴y＝－25x .∵货箱高 2.55 m， ∴货箱顶部离桥顶 4－2.55＝1.45(m)． 4 2 当 y＝－1.45 时，－25x ＝－1.45，∴16x2＝145. 145 144 12 ∴2|x|＝ 2 > 2 ＝ 2 ＝6，∴货箱能顺利通过该桥
13．二次函数y＝ax2与直线y＝2x－1的图象交于点P(1，m)． (1)求a，m的值； (2)写出二次函数的表达式； (3)指出抛物线的顶点坐标和对称轴． 解：(1)将(1，m)代入y＝2x－1得m＝2×1－1＝1.所以P点坐标为(1， 1)．将P点坐标(1，1)代入y＝ax2得1＝a×12，得a＝1.即a＝1，m＝1 (2)二次函数的表达式：y＝x2 (3)顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴
10．已知二次函数y＝－2x2与y＝2x2，关于它们的图象，下列说法正确的 B 是( ) A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．它们的最高点都是原点 D．它们没有公共点

浙教版九年级上册 1.2.2 二次函数的图象 课件(共35张PPT)

浙教版九年级上册 1.2.2 二次函数的图象 课件(共35张PPT)
（1）抛物线y=ax2的对称轴是 ，顶点是 .
y轴
原点
向上
最低点
向下
最高点
越小
那么y=ax2+k 呢？
知识点1
二次函数y = ax2 +k的图象的画法
例1 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y = 2x2 +1， y = 2x2 -1的图象。
解：先列表：
x
…
当x≤-m时，y随x增大而减小；当x≥-m时，y随x增大而增大.
向上
向下
直线x=-m
直线x=-m
（-m,k）
x=-m时，y最小值=k
x=-m时，y最大值=k
（-m,k）
图1-2-9
例3.某二次函数图象的一部分如图1-2-9所示，请求出该二次函数的表达式，并直接写出该二次函数图象在 轴右侧部分与 轴的交点坐标.
D
A. B. C. D.
B
9. 把二次函数 的图象绕原点旋转 后得到的图象的函数表达式为_________________.
[解析] 二次函数 的图象开口向上，顶点坐标为 ，图象绕原点旋转 后得到的图象的顶点坐标为 ，开口向下，所以旋转后的新图象的函数表达式为 .
10.（2021杭州一模）已知二次函数 （ 是实数）.
-m
k
思考
想一想，试着画出二次函数y=a(x+m)2+k不同情况下的大致图象.（ 按a,m,k的正负分类 ）
二次函数y=a(x+m)2+k的图象和性质
归纳
a>0
a<0
图象
m>0
m<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值

浙教版数学九年级上册 1.1 二次函数 课件(共27张PPT)

浙教版数学九年级上册 1.1 二次函数 课件(共27张PPT)

你认为今天这节课最需要掌握 的是 ________________ 。
｛a - b + c = 10 a+b+c = 4
4a + 2b + c = 7
待定系数法
解得a = 2, b = -3, c = 5 所以所求的二次函数是y = 2x2 - 3x + 5
做一做
已知二次函数y=ax²+bx+3, 当x=2时, 函数值为3, 当x= - 2时, 函数值为2, 求这个 二次函数的解析式.
• 3、王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一 年后银行将本息自动转存为又一个一年定期.两年后 王先生共得本息y元与年存款利率x之间的函数关系式 是 y=2(1+x)2 =2x2+4x+2
• 观察下列函数,说出其特点.
• (1) y= x2
• (2) y=-x2+30x • (3) y=2x2+4x+2
解：(1) y = x(20 - 2x)
= -2x2 + 20x (0<x<10)
（2）当x=3时
y = -2 32 + 20 3 = 4（ 2 m2）
x
例２:已知关于x的二次函数,当x=-1时,函数值为10；当x=1时,函数 值为4；当x=2时,函数值为7.求这个二次函数的解析式.
解：设所求的二次函数 为y = ax2 + bx + c,由题意得：
解：（1）a 0
（2）a = 0,b 0 （3）a = 0,b 0, c = 0
当m取何值时，函数y= (m+2)xm2-2 分别是一次函数？ 反比例函数？
二次函数？
试一试:

新浙教版九年级上册初中数学 1-1 二次函数 教学课件

新浙教版九年级上册初中数学 1-1 二次函数 教学课件
(1)等号左边是函数y，右边是关于自变量x的整式 (2) a,b,c为常数，且 a≠0. (3)等式右边的最高次数为2 ，可以没有一次项和常数项，
但不能没有二次项 . (4) 自变量x的取值范围是 任意实数
新课讲解
知识点2 二次函数的应用
典例分析
例
不一定是，缺少 a≠0的条件
不是，等号右 边是分式
不是，x的最 高次数是3
不是，化简后 为一次函数
新课讲解
新课讲解
练一练
y m 3 xm2 7 2.
（1）m取什么值时，此函数是一次函数？
（2） m取什么值时，此函数是二次函数？
解：（1）由一次函数的定义可知，
m2 7 1，
m
3
0，
（2）由二次函数的定义可知，
m2 7 2,
解得m=3.
新课导入
情境导入
你观察过公园的拱桥吗？篮球入框，公园里的喷泉，雨后的彩 虹都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系式表示？
新课讲解
知识点1 二次函数的定义
合作探究
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多 种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离 和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵 树,平均每棵树就会少结5个橙子.
m 3 0,
课堂小结
定义
二次函数
一般形式
右边是整式； 自变量的指数是2； 二次项系数a ≠0.
特殊形式
当堂小练
1.用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，场地面积 S（m²）与矩形一边长 a（m）之间的关系是什么？ 是函数关系吗？是哪一种函数？
解：S=a（60 -a）=a（30-a）=30a-a²=-a²+30a .

浙教版九年级数学(上)第一章二次函数1.1二次函数 课件(共19张ppt)

浙教版九年级数学(上)第一章二次函数1.1二次函数 课件(共19张ppt)

练一练: 2、写出下列二次函数的二次项系数、 一次项系数和常数项： 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项
y x 2x 1
2
1 1
2
1
y x
2
0 0
0
2
y 2 3 x2
1 y ( x 5)2 4 3
3
1 3
10 3
13 3
二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
2 2
当x 0.5时，y 2 0.52 4 0.5 4＝2.5 （cm2 )
列表如下：
x(cm) 2 y (cm )
0.25 3.125
0.5 2.5
1 2
1.5 2.5
1.75 3.125
1、图形的面积计算可以采取面积差、面 积和、直接计算的方法
2、在实际问题中自变量的取值范围需要 符合实际
1、有一根长12米的绳子，用它围成 一个矩形，怎么样围能使这个矩形的 面积达到最大？
独立思考：
请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的 两个变量 y 与 X 之间的关系： (1)圆的面积 y ( cm )与圆的半径 x ( cm ) （2）王师傅存入银行 2 万元，先存一个一年定 期，一年后将本息转存为又一个一年定期, 设年 利率均为x，两年后王师傅共得本息y元.
例题讲解：
直接法
例1 如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4 个全等 的直角三角形 (图中阴影部分 )。设AE＝BF＝ CG＝DH＝x(cm)，四边形 EFGH的面积为y(cm2) 表示正方形各边余下的长度 求 （1）y关于 x的函数解析式和自变量x的取值范围 ; （2）当 x分别为0.25，0.5， 1，1.5，1.75时 ，对应的四 边形 EFGH的面积，并列表 表示.

二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象 浙教版九年级数学上册课件(共14张PPT)

二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象 浙教版九年级数学上册课件(共14张PPT)

y 1 ( x 2)2 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5
2
y 1 ( x 2)2 2
4.5 2 0.5 0 0.5 2
描点和连线
三个函数图象之间： 顶点坐标有什么关系？ 对称轴有什么关系？ 图象之间的位置有什么关系？
y 1 x 22 向左平移
2
2个单位
y 1 x2 2
3.完成下列表格:
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5
y=－3(x－1)2－2 y = 4(x－3)2＋7 y=－5(2－x)2－6
向上 向下 向上 向下
直线x=－3 (－3, 5 ) 直线x=1 ( 1, －2 ) 直线x=3 ( 3 , 7) 直线x=2 ( 2 , －6 )
怎样移动抛物线 y 12就x2可以得到抛物线
y ？12 (x 1)2 1
平移方法1
y 1 x2 2
1
个 单 位
向 下 平 移
y 1 (x 1)2 1 2
向左平移 1个单位
y 1 x2 1 2
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 O1 2 3 4 5 x
-2
-3
y 1 x2
例题讲解
例 对于二次函数请回答下列问题： （1）把函数y 1 x2的图象作怎样的平移
3
变换，就能得到函数y 1 ( x 4)2 的图象？
3
（2）说出函数 y 1 ( x 4)2的图象的顶点坐标
3
和对称轴.
解 (1) 函数y=－1 x1（x－4）2的图象;
-10
2
一般地，函数y=a（x－m）2+k(a≠0)的图象，可以由函数 y=ax2的图象先向右（当m>0）或向左（当m<0）平移|m|个单位， 再向上（当k>0）或向下（当k<0）平移|k|个单位得到，顶点是 （m，k），对称轴是直线x=m.

二次函数图象 浙教版九年级数学上册课件(共16张PPT)

第1章 二次函数
1.2 第1课时 二次函数y=ax²的图象
(1)一次函数的图象是什么？ 一条直线
(2)画函数图象的基本方法与步骤是什么？ 列表——描点——连线
(3)研究函数时，主要用什么来了解函数的性质呢？ 主要工具是函数的图象
铅球推出以后沿着怎样的一 条曲线运动?你能用二次函数的 表达式来描述这条曲线吗?
二次函数 y = x2的图象是一条关于y 轴对称，过坐标原点并向上伸展的 曲线，像这样的曲线叫做抛物线.
抛物线与它的对称轴的交点叫 做抛物线的顶点。例如，抛物 线y = x2的顶点是坐标原点
y 10
9
8 7
y=
6
x2
5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x
对于二次函数y=ax2(a ≠0)，是否都有类似的图象呢？ 下面我们在同一直角坐标系中画二次函数y=2x2与y=-2x2 的图象.
（2）对称轴是 y轴 ，开口 向上 .
（3）顶点坐标是 (0,0) ，顶点是抛物线上的 最低点 . 抛物线在x轴的 上 方（除顶点外）.
思维拓展 已知 y =(m+1)xm2+m 是二次函数,且其图象开口向上, 求m的值和函数解析式
m+1>0 ①
解: 依题意有:
m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1
由①得:m>－1 ∴ m=1
此时,二次函数为: y=2x2.
画法
描点法
以对称轴为中 心对称取点
二次函数 y=ax2的图象
图象
抛物线
轴 对 称 图 形 对称轴为y轴
a>0,开口向上
开口方向

浙教版九年级上册 1.1 二次函数 课件(共20张PPT)


情境
2.y = 2(1+x)2 =2x2+4x+2
知识
精讲
3.y= (56-x)(x-2)=-x2+58x-112
例题 上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征?
解析
小结
经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式.
梳理
(a,b,c是常数, 且a≠0 )
当堂 检测
概念讲解
二次函数的一般式
创设 情境
创设
情境 已知 AB＝6cm，CD＝3cm，AD＝4cm. (1)求四边形纸板 CGEF 的面积 S(cm2)关于 x 的函数表达式和 x 的取值范围；
知识 (2)当 S＝8 时，求 AE 的长度．
精讲
例题 解析
小结 梳理
当堂 检测
挖掘教材
1：函数 y m 3 xm27
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
解析
4.函数 y＝(x－1)2＋(2x－1)2 中二次项系数为________，一次项系数为________，
小结
梳理
常数项为
．
当堂 检测
例题解析
例 1 如图，一张正方形纸板的边长为 2cm，将它剪去 4 个全等的直角三角形（图中阴影部 创设 分） ,设 AE＝BF＝CG＝DH＝X（cm），四边形 EFGH 的面积为 y（cm2） .
1.1 二次函数
知识回顾
创设 什么叫函数?
情境
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在某个范围内取
知识
精讲 一个确定的之间的关系我们把它叫做函数关系。
例题
解析
对于上述变量x、y，我们把y叫x的函数，x叫自变量。
小结

浙教版九年级上册 1.2.3 二次函数的图象 课件(共14张PPT)


个单位
可化为
y 2(x
5)2 2
31 2
由y=-2x2先向左平移 个单位
5 2
个单位，再向上平移 3 1
2
可化为 y 2(x
3 )2 3
2
2
由y=-2x2先向右平移
3 2
个单位，再向上平移
3 2
请先按暂停键！
个单位 思考完成后
再按回播放键！
深化拓展，体悟新知
例:已知抛物线如图所示，试求出该抛物线的解析式.
对称轴:
直线x= -1
( 2 , -4)
2
直线x= 2
2
请先按暂停键！ 思考完成后
再按回播放键！
例题演练，掌握新知
例：已知二次函数 y 1 x2 4x 3 ,请回答下列问题：
2
1、函数 y 1 x2 4x 3的图象能否由函数 y 1 x2的图象通过
2
2
平移变换得到？若能，请说出平移的过程，并画出示意图；
2
2
请先按暂停键！ 思考完成后
再按回播放键！
∴ 抛物线的对称轴是直线x=3，顶点坐标是(3,2).
例题演练，掌握新知
练习：说出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴.
(1) y 5 x2 5 x 3 4 24
(2) y 2x2 2 2x 3
开口方向: 向下
向上
顶点坐标： (-1,2)
(直线x= m)
(m，0)
(m，k)
可通过顶点的平移，判断图象平移
例题演练，掌握新知
练习：说出下列函数的图象可由怎样的抛物线y=ax²（a≠0）
经过怎样的平移后得到？
(1) y 4(x 1)2
由y=4x2向左平移1个单位

浙教版九年级上册1.2二次函数的图象(共19张PPT)


2．二次函数y＝a(x＋m)2＋k(a≠0)的图象及其特征 平移：一般地，函数y＝a(x＋m)2＋k(a≠0)的图象，可以由函 数y＝ax2的图象_向__右_(_当__m_<_0_)或__向__左__(当__m_>_0_)_平_移_____
______|_m_|个__单__位__，_再__向__上_(_当__k_>0_)_或__向_下__(_当_k_<_0_)_平_移__|k_|_个_单__位_____得到． 顶点：抛物线的顶点坐标为__(－__m_，__k_)_____．
1.2二次函数的图象（2)
新知导入
复习回顾
思考：二次函数y=ax²的图象及其特点？
二次函数y＝a(x-m)2的图象与二次函数y＝ax2的图象开口方 向、对称轴和顶点坐标是否相同? 那么 y＝a(x-m)2+k的图象呢？
合作学习 试一试：在同一坐标系中作出下列二次函数：
y 1 x2 2
y 1 x 22
解：(1)顶点(－1，－4)，开口向上，对称轴为直 线x＝－1； (2)y＝(x－1)2； (3)y＝(x＋1)2－ 4向右平移1个单位，再向上平移4个单位．
课堂总结
1．二次函数y＝a(x＋m)2(a≠0)型的图象及其特征 平移：(1)一般地，函数y＝a(x＋m)2(a≠0)的图象与函数 y＝ax2的图象只是位置不同，它可由y＝ax2的图象
对称轴：直线____x_＝__－_m____． 开口方向：抛物线y＝a(x＋m)2＋k(a≠0)的开口与抛物线y＝ ax2的开口___相__同___，当a>0，开口向上，当a<0，开口向下．
最大(小)值：当a>0时抛物线有最低点，当x＝－m时函数有最 小值k；当a<0时，抛物线有最高点，当x＝－m时函数有最大值k.
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y=x2 ... 4 2.25 1 0.25 0 0.25 1 2.25 4
...
y= - x2 ... -4 -2.25 -1 -0.25 0 -0.25 -1 -2.25 -4 ...
函数图象画法
描点法
列表
注意：列表时自变量 取值要y均 匀 2和对称。
x
y x2
y1 x
描点
连线
y x2
C 对任一个实数y，有两个x和它对应。
y
D 对任意实数x，都有y＞0
o
x
4、根据二次函数 y ax2的图像的性质， 回答下列问题： （1）如果点P (m, n)在抛物线 y ax2 上，那么 点Q(m, n)也在这条抛物线上吗？为什么？
（2）当 a 0 时，设自变量 x1 ， x2 的对应值 分别为 y1 ，y2 ， 当 x1 x2 0 时，必有 y1 y2 吗？为什么？
不在此抛物线上。
（3）由-6=-2x2 ,得x2=3, x 3
所以纵坐标为-6的点有两个，
它们分别是 ( 3,6)与( 3,6)
3
3
y=-2x2
( 3,6)
( 3,6)
练习二、若抛物线y=ax2 （a ≠ 0），过点（-1，3）。
（1）则a的值是；Βιβλιοθήκη （2）对称轴是，开口
。
（3）顶点坐标是
y x2
y 1 x2 2
y x2
y 2x2
y 2 x2 3
二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时 所经过的路线，我们把它叫做抛物线。
这条抛物线关于y轴 对称，y轴就是它的 对称轴。 对称轴与抛物线的交点 叫做抛物线的顶点。
1、观察右图， 并完成填空。
二次函数y=ax2的性质 １、顶点坐标与对称轴 ２、位置与开口方向 ３、增减性与极值
y x2
y x2
抛物线
y=x2
y=-x2
顶点坐标
在（同0，一0坐）标系内，抛物线y=（x20与，抛0）物线
对称轴 y=y-=x2-的x2的位位置y轴置有有什什么么关关系系？？如如果果在在同同一y一坐轴坐标标系系内内
位置
画画在函函x数数轴yy的==aa上xx22方与与（yy==除--顶aaxx2点2的的外图图）象象，在，x怎怎轴样样的画下画方才才（简简除便便顶？？点外）
侧，y随x的增大而
，在对称轴的右侧，
y随x的增大而
；
2、函数y= -3x2的图象的开口
，对称轴
是
，顶点是
；在对称轴的左
侧，y随x的增大而
，在对称轴的右侧，
y随x的增大而
；
3、观察函数y=x2的图象，则下列判断中正确的是
（A ）
A 若a,b互为相反数，则x=a与x=b的函数值相等。
B 对于同一个自变量x，有两个函数值与它对应。
开口方向答：抛物线抛物线y=x2与抛物线 y= -x2 既关于x轴对称，
又关于原点对向称上。只要画出y=ax2与y= -ax2中向的下一条抛物线，
增减性 另一当条x可<0利时，用y关随着于xx的轴增对大称而减或小关；于原点当对x<称0时来，画y随。着x的增大而增大； 当x>0时， y随着x的增大而增大。 当x>0时， y随着x的增大而减小。
y=2x2 ... 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ...
x
... -3 -2 -1.5 -1 0 1 1.5 2
3 ...
yy=2x22x2 ... -6 8 1.5 2 0 2
3
3
3
3
1.5
8 3
-6
...
y 1 x2 2
y 2x2
列表参考
y 2 x2 3
练习一、已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。 （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。 （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。
解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2,解出a= -2, 所求函数解析式为 y= -2x2.
（2）因为 4 2(1)2 ，所以点B（-1 ，-4）
用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结
画出下列函数的图象。
(1)y 1 x2 2
(2)y 2x2 (3)y 2 x2
3
x ... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
4 ...
yy=12x2x2 ... 8 4.5 2 0.5 0
0.5 2 4.5
8
...
x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ...
2.已知函数y=2x2,对于一切x的值， 总有函数值y_______.
3.已知函数y=－2x2,对于一切x的值， 总有函数值y_______.
回顾知识:
一、正比例函数y=kx（k ≠ 0）其图象是什么。
正比例函数y=kx（k ≠ 0）其图象是一条经过原点 的直线。 二、一次函数y=kx+b（k ≠ 0）其图象又是什么。
一次函数y=kx+b（k ≠ 0）其图象也是一条直线。 三、反比例函数 y k（k ≠ 0）其图象又是什么。
x
反比例函数 y k（k ≠ 0）其图象是双曲线。
x
二次函数y=ax²+ bx+c（a ≠ 0） 其图象又是什么呢？。
二次函数y=ax2的图像
x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ...
1.2 二次函数的图像(1)
回顾二次函数的定义：
函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 叫做x的二次函数
思考：你认为判断二次函数的关键是什么？
判断一个函数是否是二次函数的关键是： 看二次项的系数是否为0．
练习：
1.若函数y=(m2+3m-4)x2+(m+2)x+3m是x的 二次函数，则m______
极值
当x=0时，最小值为0。 当x=0时，最大值为0。
例1、已知二次函数y=ax2(a≠0)的图像 经过点(-2,-3).
(1)求a的值，并写出这个二次函数的解析式.
(2)说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、 开口方向和图像的位置.
试一试：
1、函数y=2x2的图象的开口
，对称轴
是
，顶点是
；在对称轴的左
，顶点是抛物线上的
。
抛物线在x轴的
方（除顶点外）。