第十五讲 行程问题

前一讲，我们学习了变速和变向问题．这一讲我们来研究一些较复杂的分段问题．首先来看一个复杂的相遇问题．分析 正常情况下，20分钟在某处相遇．第一种情况下，乙比甲提前2分钟出发，相遇在原来的地方，那么甲走了几分钟？乙走了几分钟？同样地，第二种情况下，甲比乙晚4分钟，那么甲走了几分钟？乙走了几分钟？怎么利用这些时间来计算甲和乙的速度呢？练习1.一位职员每天早上以40的速度驾车，恰好能准时到达公司．某一天他晚离开家7分钟，结果需要把速度提高8才能够准时到达公司，那么他家到公司的距离为多少千米？在分段问题中，有的时候需要比较前后的情况．在比较中，最重要的就是找到不同和联系，注意前后的时间和速度的关系也是解决问题的关键． 分析 最开始的时候，全部是步行，能提前5分钟．某天的时候，开始的1.2千米和原来是一样的，所用的时间也应该是一样的，如果这样一直下去就会比平时慢10分钟，那么最后到学校应该晚5分钟，但最后准时到达了，说明跑步一段路程比步行节省了5分．再来看后面一种情况，如果一直跑步就会早到15分钟，从这些条件中能找出跑步速度和步行速度之间的关系吗？后在某处相遇．如果甲每分钟多走遇时仍在此处．如果甲比乙晚处相遇．那么校，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课．后来算了一下，如果小明从家开始就跑步，小明跑步的速度是每小时多少千米？练习2.小郭准时从家里出发，以100米/分的速度从家步行去学校，恰好准时到达．某天，当他走了4千米的时候，发现手表慢了15分钟，因此立刻跑步前进，到学校的时候恰好准时．后来算了一下，如果从一开始就跑步，可以比一直步行早到30分钟．那么他家离学校多远？小郭跑步的速度是多少？分析 首先，同学们在线段图上画出题目中的几种情况，然后比较各种情况，能找到速度与路程之间的关系吗？练习3.甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发相向而行，12小时后相遇在C 点．如果甲车速度不变，乙车每小时多行4千米，则相遇地点距C 点20千米；如果乙车速度不变，甲车每小时多行4千米，则相遇地点距C 点24千米．请问：A 、B 两地间的距离是多少千米？ 汽车加速时间 汽车的加速性能，包括汽车的原地起步加速时间和超车加速时间．原地起步加速时间，指汽车从静止状态下，由第一挡起步，并以最大的加速强度(包括选择最恰当的换挡时机)逐步换至高挡后，到某一预定的距离或车速所需的时间．目前，常用0~100KM 所需的时间(秒数)来评价．超车加速时间，用最高挡或次高挡全力加速至某一高速所需要的时间．加速时间越短，汽车的加速性就越好，整车的动力性能随即提高．部分车型百公里加速时间：1.2ӡ 后相遇在距C 距C 例题3A B公司 车型 加速时间Ultima GTR 2.7秒法拉利 Enzo 3.4秒麦克拉伦 F1LM 3.2秒保时捷 卡雷拉GT 3.7秒帕加尼 Zonda 3.7秒保时捷 911 RufRTurbo 3.7秒法拉利 F 40 3.8秒兰博基尼 Murcielago 4.0秒本田 NSXType-R 4.9秒阿斯顿-马丁 D B 9 5.0秒特别注意：Ultima 公司的GTR 640更是创造了从0加速到100英里/时再减速到0只用9.9秒的世界纪录．9.9秒的加减速纪录证明了UltimaGTR 不仅仅是世界上加速最快的跑车，而且同样还是减速最快的．分析 如图所示，请将整个运动过程画出来．如何利用各个小时之间走的路程的关系呢？ 练习4.刘老师从家到单位时，前13的路程骑车，后面的路程乘车；从单位回家时，前58的路程乘车，后面的路程骑车．结果去单位的时间比回家的时间少2分钟．已知刘老师骑车每小时行8千米，乘车每小时行16千米．请问：刘老师家到单位的距离是多少千米？段平坦路，他到乙地后，立即返回甲地，来回共用了路上比上坡路每小时多骑知道他在第米．其中，第˲分析 求出客车和汽车的时速是解题的关键，题目中哪些条件能帮助我们找出两车的速度呢？本题条件较多，分析清楚各个条件是解题的关键．练习5.如图所示，A 与B 、B 与C 之间的公路长度相等，且每段公路上都有限速标志（单位：）．甲货车从A 出发，乙货车从C 出发，并且两车在A 、C 之间往返行驶．结果当甲车到达C 后再返回到B 时，乙车刚好第一次到达B ．已知甲、乙两车在各段公路上均以所能达到的最快速度行驶（不会超过车子本身的最高时速，也不能超过公路上的最高限速），且甲车的最高时速是乙车的4倍，那么甲车的最高时速是每小时多少千米？等长的公路20即返回；车到达所能达到且被允许的最大速度行驶，货车在与客车相遇后自身所具有的最高时速比相遇前提高了 70 40A B C小时出发，则距中点点本讲知识点汇总一、多个条件的相遇问题：比较各个条件，通过对比计算不同的速度和路程．二、在一些较复杂的行程问题中，注意分情况讨论．作业1.甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发，6小时后在中点相遇．若甲每小时多走4千米，乙提前1小时出发，则仍在中点相遇，那么两地相距多少千米？2.小高准时从家出发，以每小时12千米的速度从家步行去学校，恰好提前10分钟到校．某天，当他走了4千米的时候，发现手表慢了12分钟，因此立即跑步前进，恰好提前5分钟到校．后来算了一下，如果小高从家开始就跑步，可以比一直步行早21分钟到校．那么他家离学校多少千米？小高跑步的速度是每小时多少千米？3.甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发相向而行，正常情况下6小时后相遇在O 点．如果乙车保持正常速度，甲车每小时少行5千米，则相遇地点距离O 点20千米；如果乙车每小时少行5千米，则相遇地点距离O 点15千米，那么A 、B 相距多少千米？4.如图所示，一只蚂蚁要从森林的A 地走到C 地去觅食，其中后一段路都是沼泽．蚂蚁在平路上的速度保持不变，在沼泽上的速度也保持不变．蚂蚁从A 地到C 地共用10个小时．已知，蚂蚁第5个小时走了3千米，第6个小时走了2.4千米，第7个小时走了2千米．请问沼泽地共有多长？5.如图所示，在一个等边三角形的环路上，三边分别限速40千米/时、60千米/时和80千米/时，一辆汽车和一辆货车同时从A 、B 两地出发相向而行，汽车的速度是货车的3倍．如果汽车逆时针行驶，那么它们将在AB 边上的E 点相遇，35BE AE =，如果汽车开始的时候是顺时针行驶，则他们相遇在BC 上的D 点，那么:BD DC 等于多少？ AC。

小学数学中的行程问题公式及解析一、基本行程问题行程问题的三个基本量是距离、速度和时间，按所行方向的不同可分为三种:(1)相遇问题:(2)相离问题;(3)追及问题。

行程问题的主要数量关系是:距离=速度x时间。

它大致分为以下三种情况:(1)相向而行:相遇时间=距离÷速度和(2)相背而行:相背距离=速度和*时间。

(3)同向而行:速度慢的在前，快的在后。

追及时间=追及距离÷速度差在环形跑道上，速度快的在前，慢的在后。

追及距离=速度差x时间。

解决行程问题时，要注意充分利用图示把题中的情节形象地表示出来，有助于分析数量关有助于迅速地找到解题思路。

（一）相遇问题行程问题是研究相向运动中的速度、时间和路程三者之间关系的问题，(涉及两个或两个物体运动的问题)指两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇，这类应用题相遇问题。

数量关系:路程÷速度和=相遇时间路程÷相遇时间=速度和速度和x相遇时间=路程温馨提示:（1）在处理相遇问题时，一定要注意公式的使用时二者发生关系那一时刻所处的状态;(2)在行程问题里所用的时间都是时间段，而不是时间点(非常重要);(3)无论是在哪类行程问题里，只要是相遇，就与速度和有关。

（2）解题秘诀:（3）(1)必须弄清物体运动的具体情况，运动方向(相向)，出发地点(两地)，出发时间(同时、先后)，运动路径(封闭、不封闭)，运动结果(相遇)等。

（4）(2)要充分运用图示、列表等方法，正确反映出数量之间的关系，帮助我们理解题意，迅速的找到解题思路。

（二）追及问题追及问题也是行程问题中的一种情况。

这类应用题的特点是:①两个物体同时同一方向运动;②出发的地点不同(或从同一地点不同时出发，向同一方向运动);迫及路程=路程差=两个物体之间相距的路程迫及速度=速度差=快的速度-慢的速度慢的物体追上快的物体的所用的时间为追及时间③慢者在前，快者在后，因而快者离慢者越来越近，最后终于可以追上。

行程问题的知识点归纳行程问题是一种经典的数学问题，它涉及到物体或人在某个空间中移动的路径、速度、时间等概念。

行程问题在现实生活中有着广泛的应用，如交通规划、物流运输、行程安排等。

下面将对行程问题的知识点进行归纳和总结。

一、基本概念1. 距离：距离是指物体或人在空间中移动的直线距离。

2. 速度：速度是指物体或人在单位时间内移动的距离。

3. 时间：时间是指物体或人移动所需的时间。

4. 速度、时间和距离之间的关系：距离= 速度×时间。

二、行程问题的分类1. 直线行程问题：物体或人在一条直线上移动，涉及到相遇、追及、环形跑道等问题。

2. 曲线行程问题：物体或人在一条曲线上移动，涉及到最短路径、时间最少等问题。

3. 综合行程问题：结合了直线和曲线行程问题，涉及到行程安排、交通规划等问题。

三、解题思路和方法1. 画图分析：通过画图的方式将问题可视化，帮助理解问题的本质和规律。

2. 方程求解：根据速度、时间和距离之间的关系，建立方程求解。

3. 逻辑推理：根据题目中的条件和规律，进行逻辑推理，得出结论。

四、知识点归纳1. 相遇问题：两个物体或人在同一直线上相对运动，求相遇时的距离和时间。

2. 追及问题：两个物体或人在同一直线上相对运动，一个追赶另一个，求追及时的距离和时间。

3. 环形跑道问题：两个或多个物体或人在同一直线上同向运动，求再次相遇所需的时间和距离。

4. 最短路径问题：在平面或曲面上，求两个点之间的最短路径和时间。

5. 时间最少问题：在给定路径和速度的情况下，求最少所需的时间。

6. 行程安排问题：在给定多个任务和时间限制的情况下，如何合理安排行程，使得完成任务的总时间最短。

7. 交通规划问题：在给定道路网络和交通流量的情况下，如何规划路线，使得运输效率最高，交通拥堵最小。

8. 流水行船问题：在河流中，船只顺流而下或逆流而上，求船行的速度、时间和距离之间的关系。

9. 火车过桥问题：火车过桥时，求火车和桥的长度、速度之间的关系，以及火车过桥所需的时间。

第十五讲 行程问题板块一、相遇问题===⨯⎧⎪÷⎨⎪÷⎩总路程速度和相遇时间相遇问题速度和总路程相遇时间相遇时间总路程速度和 例1、甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲每小时行56千米，乙每小时行48千米，两车在离两地中点32千米处相遇。

问：东西两地间的距离是多少千米？跟踪训练1：1、一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相对开出，汽车每小时行40千米，摩托车每小时行65千米，当摩托车行到两地中点处时，与汽车还相距75千米。

甲、乙两地相距多少千米？2、张、李两人同时从甲地出发去乙地，李骑自行车每分钟行200米，张步行每分钟走80米，李到达乙地后立即按原路返回，当他与张相遇时，张离乙地还有多远？例2、小李和小张同时从甲乙两地相对走来，已知小张骑摩托车的速度是小李骑自行车速度的3倍，当两人相遇时，小张比小李多行了12千米，甲、乙两地的距离是多少千米？跟踪训练2：李、王两人同时从相距900米的A、B两地相对出发，已知李骑摩托的行驶速度是王步行速度的8倍，那么两人相遇时，各行了多少千米？2、轿车和货车同时从甲乙两城的中点处，向相反的方向行驶，4小时后轿车到达甲城，此时货车离乙城还有140千米，已知轿车的速度是货车的2倍，两城相距多少千米？例3、甲、乙两车早上8时分别从A、B两地同时相向出发，到10时两车相距112.5千米。

两车继续行驶到下午1时，两车相距还是112.5千米。

A、B两地间的距离是多少千米？跟踪训练3：1、甲、乙两车同时从A、B两地相向出发，3小时后，两车还相距120千米。

又行3小时，两车又相距120千米。

A、B两地相距多少千米？2、甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行，匀速前进。

如果各人按原定速度前进，4小时相遇；如果两人各自比原计划少走1千米，则5小时相遇。

A 、B 两地相距多少千米？板块二、追及问题===⨯⎧⎪÷⎨⎪÷⎩路程差速度差追及时间追及问题速度差路程差追及时间追及时间路程差速度差例1 中巴车每小时行60千米，小轿车每小时行84千米。

初一上册数学行程问题讲解行程问题是初中数学中常见的问题，主要涉及到距离、速度和时间的关系。

下面我将对初一上册数学中的行程问题进行讲解。

基础概念1. 距离（d）：物体运动所经过的路程，用长度单位表示。

2. 速度（v）：物体运动的路程与时间的比值，表示物体运动的快慢，用单位时间内物体移动的距离来表示。

公式：$v = \frac{d}{t}$，其中$d$是距离，$t$是时间。

3. 时间（t）：物体运动所经过的时间，用时间单位表示。

速度的特性1. 相对性：对于不同的参照物，物体的速度可能不同。

例如，一辆车相对于地面是静止的，但相对于另一辆运动的车是运动的。

2. 方向性：速度有方向，表示物体是沿哪个方向运动的。

3. 标量与矢量：速度是一个矢量，既有大小又有方向。

相遇与追及问题1. 相遇问题：两个物体从两个不同的地方出发，最终在某一点相遇。

这类问题主要考察距离、速度和时间的关系。

2. 追及问题：一个物体在后面追赶另一个物体，直到追上。

这类问题需要考虑追赶者和被追赶者的速度和时间关系。

解题方法1. 画图分析：通过画图可以更直观地理解物体的运动过程，帮助找出解决问题的关键点。

2. 公式计算：根据速度、时间和距离的关系，使用公式进行计算。

3. 逻辑推理：根据题目的条件和物体的运动特性，进行逻辑推理，找出答案。

常见题型1. 直接计算题：给出速度、时间和距离中的两个量，求第三个量。

2. 比较大小题：比较两物体在不同条件下的速度或时间的大小。

3. 比例关系题：考察速度、时间和距离之间的比例关系。

4. 行程方案优选问题：比较不同方案下的行程时间和成本，选择最优方案。

注意事项1. 单位要统一：在进行计算时，确保所有的单位都是统一的（例如，都用千米/小时或米/秒等）。

2. 方向问题：考虑速度的方向对运动的影响。

3. 参照物选择：选择合适的参照物来简化问题。

4. 考虑实际情况：例如，物体的加速度、风速等实际因素可能会影响结果。

小学数学行程问题课件小学数学行程问题课件行程应用题是小学数学中的典型应用题之一,它形式多样,内容丰富，提供了小学数学《行程问题》的课件，一起来看看吧！教学目标知识与能力1. 初步认识速度、时间和路程的含义，理解、掌握这两组数量关系。

2. 通过归纳揭示数量关系，提高观察、比较、抽象、概括等能力。

过程与方法经历探索速度、时间和路程之间的关系的过程，构建数学模型：“速度x时间=路程”，并渗透事物之间的相互联系的观点。

情感、态度与价值观通过解决实际问题，感受“数学就在我们身边，数学能解决很多实际问题”，从而对数学产生浓厚的兴趣。

重点：理解速度、时间、路程之间的数量关系，并应用这些数量关系解决实际问题。

难点：理解速度、时间、路程间的数量关系，并能运用常见的数量联系的术语分析，解答有关的问题。

教学准备：课件学生准备：直尺、本子教学过程一、复习旧知学生列式1．一辆汽车每小时行50千米，3小时行多少千米？2．一辆汽车行了150千米，每小时行50千米，行了多少小时？3．一辆汽车3小时行了150千米，平均每小时行多少千米？学生在练习本上列算式，然后回答、校队。

二、教学新课1. 引入新课我们已经学习过许多应用题，知道在工农业生产和日常生活里，有各种数量关系，并且接触了许多数量关系。

在物流运输中也有许多问题值得我们研究。

出示信息窗的情境，从图中你看到哪些数学信息，能提出哪些问题？预设1：摩托车每分钟行驶900米，大货车平均每小时行驶65千米，小货车平均每小时行驶75千米；摩托车从车站出发，经过8分钟到达物流中心；两辆货车分别从东城和西城同时出发，相向而行，经过4小时在物流中心相遇。

预设2：从车站到物流中心有多少千米？西域到物流中心有多少千米？东城到物流中心有多少千米？西域到东城有多少千米？从西域经过物流中心到车站有多少千米？师：像这样在行走中发生的数学问题，一般称为行程问题。

行程问题里有哪些数量呢？这些数量之间有怎样的关系呢？今天我们就来一起研究行程问题中的数量关系。

行程问题解题技巧行程问题在行车、走路等类似运动时，已知其中的两种量，按照速度、路程和时间三者之间的相互关系，求第三种量的问题，叫做“行程问题”。

此类问题一般分为四类：一、相遇问题；二、追及问题；三、相离问题；四、过桥问题等。

行程问题中的相遇问题和追及问题主要的变化是在人(或事物)的数量和运动方向上。

相遇(相离)问题和追及问题当中参与者必须是两个人(或事物)以上；如果它们的运动方向相反，则为相遇(相离)问题，如果他们的运动方向相同，则为追及问题。

相遇问题两个运动物体作相向运动，或在环形道口作背向运动，随着时间的延续、发展，必然面对面地相遇。

这类问题即为相遇问题。

相遇问题的模型为：甲从 A 地到 B 地，乙从 B 地到 A 地，然后甲，乙在途中相遇，实质上是两人共同走了 A 、B 之间这段路程，如果两人同时出发，那么：A， B 两地的路程＝(甲的速度＋乙的速度)×相遇时间＝速度和×相遇时间基本公式有：两地距离=速度和×相遇时间相遇时间=两地距离÷速度和速度和=两地距离÷相遇时间二次相遇问题的模型为：甲从 A 地出发，乙从 B 地出发相向而行，两人在 C 地相遇，相遇后甲继续走到 B 地后返回，乙继续走到 A 地后返回，第二次在 D 地相遇。

则有：第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。

相遇问题的核心是“速度和”问题。

利用速度和与速度差可以迅速找到问题的突破口，从而保证了迅速解题。

相离问题两个运动着的动体，从同一地点相背而行。

若干时间后，间隔一定的距离，求这段距离的问题，叫做相离问题。

它与相遇问题类似，只是运动的方向有所改变。

解答相离问题的关键是求出两个运动物体共同趋势的距离(速度和) 。

基本公式有：两地距离=速度和×相离时间相离时间=两地距离÷速度和速度和=两地距离÷相离时间相遇(相离)问题的基本数量关系：速度和×相遇(相离)时间＝相遇(相离)路程在相遇(相离)问题和追及问题中，必须很好的理解各数量的含义及其在数学运算中是如何给出的，这样才能够提高解题速度和能力。