中考必做的36道压轴题及变式训练

中考必做的36道数学压轴题第一题夯实双基“步步高”，强化条件是“路标” 例1(2013北京，23,7分)在平面直角坐标系x O y 中，抛物线222--=mx mx y （0≠m ）与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B ．（1）求点A ，B 的坐标；（2）设直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线l 的解析式；（3）若该抛物线在12-<<-x 这一段位于直线l 的上方，并且在32<<x 这一段位于直线AB 的下方，求该抛物线的解析式．解：（1）当 x ＝ 0 时， y ＝－2 . ∴ A （0，－2）． 抛物线对称轴为 x ＝212mm--=， ∴ B （1，0）． （2）易得 A 点关于对称轴的对称点为 A （2，－2） 则直线 l 经过 A 、 B . 没直线的解析式为 y ＝kx ＋b 则22,0.k b k b +=-⎧⎨+=⎩解得2,2.k b =-⎧⎨=⎩∴直线的解析式为 y ＝－2x ＋2． （3）∵抛物线对称轴为 x ＝1抛物体在 2 <x <3 这一段与在－1<x <0 这一段关于对称轴对称，结合图象可以观察到抛物线在－2<x <1这一段位于直线 l 的上方，在 －1< x <0 这一段位于直线 l 的下方． ∴抛物线与直线 l 的交点横坐标为 －1 ； 当 x ＝－1 时， y ＝－2x (－1)＋2 ＝4 则抛物线过点（－1，4） 当 x ＝－1 时， m ＋2m －2＝4 ， m ＝2 ∴抛物线解析为 y ＝2x 2 －4x －2 .连接（2013江苏南京，26，9分）已知二次函数y ＝a （x －m ）2－a （x －m ）（a 、m 为常数，且a ≠0）.（1）求证：不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点； （2）设该函数的图象的顶点为C .与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点D . ①当△ABC 的面积等于1时，求a 的值；②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，求m 的值. 【答案】（1）证明：y ＝a （x －m ）2－a （x －m ）＝ax 2－（2am ＋a ）x ＋am 2＋am . 因为当a ≠0时，［－（2am ＋a ）］2－4a （am 2＋am ）＝a 2＞0.所以，方程ax 2－（2am ＋a ）x ＋am 2＋am ＝0有两个不相等的实数根.所以，不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点. ………3分 （2）解：①y ＝a （x －m ）2－a （x －m ）＝a （x －212+m ）2－4a， 所以，点C 的坐标为（212+m ，－4a）. 当y ＝0时，a （x －m ）2－a （x －m ）＝0.解得x 1＝m ，x 2＝m ＋1.所以AB ＝1. 当△ABC 的面积等于1时，21×1×4a -＝1.所以21×1×（－4a ）＝1，或21×1×4a＝1. 所以a ＝－8，或a ＝8.②当x ＝0时，y ＝am 2＋am .所以点D 的坐标为（0，am 2＋am ）. 当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，21×1×4a -＝21×1×am am +221×1×（－4a ）=21×1×（am 2＋am ），或21×1×4a =21×1×（am 2＋am ）. 所以m ＝－21，或m ＝221--，或m ＝221+-.………9分变式: （2012北京，23，7分）已知二次函数23(1)2(2)2y t xt x =++++在0x =和2x =时的函数值相等。

中考必做的36道数学压轴题第一题夯实双基“步步高”，强化条件是“路标”例1(2013北京，23,7分)在平面直角坐标系x O y中，抛物线2 -y二mx - 2mx -2 ( m = 0 )与y轴交于点A,其对称轴与x轴交于点B.(1)求点A，B的坐标;(2)设直线I与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线I的解析式;(3)若该抛物线在-2：：:X：：:-1这一段位于直线I的上方，并且在2 X 3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式.解：(1)当x = 0 时，y =— 2 .VA二 A ( 0, —2).2m抛物线对称轴为x=n紀1，二 B (1 , 0).(2)易得A点关于对称轴的对称点为 A (2,—2)则直线I经过A、B .->没直线的解析式为y= kx+ b2k F八2,解得k八2, k b =0. b=2.•••直线的解析式为y=—2x + 2 .(3 )•••抛物线对称轴为x = 1抛物体在2 <x<3这一段与在—1<x <0这一段关于对称轴对〔第23题)称，结合图象可以观察到抛物线在—2<x <1这一段位于直线I的上方，在—1< x<0这一段位于直线I的下方. •抛物线与直线I的交点横坐标为—1 ;当x=— 1 时，y= —2x( —1)+ 2 = 4则抛物线过点(—1, 4)当x=— 1 时，m+ 2m —2 = 4 , m= 2•抛物线解析为y= 2x2—4x—2 .连接(2013江苏南京，26, 9分)已知二次函数y= a (x —m) 2—a (x —m) (a、m为常数，且a工0 .(1)求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；(2)设该函数的图象的顶点为 C.与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D.①当△ ABC的面积等于1时，求a的值；②当△ ABC的面积与△ ABD的面积相等时，求m的值.【答案】(1)证明：y= a (x—m) 2— a (x—m)= ax2—( 2am+ a) x+ am2+ am. 因所以，方程ax 2—( 2am + a ) x + am 2+ am = 0有两个不相等的实数根. 所以，不论a 与m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有两个公共点 ....................................... 3分 (2)解：① y = a (x — m ) 2— a (x — m )= a (x — _1 )2—里,24所以，点C 的坐标为(_1 ,——).24当 y = 0 时，a (x — m ) 2— a (x — m )= 0.解得 x i = m , X 2= m + 1.所以 AB = 1. 当厶ABC 的面积等于1时，1 xi x-= 1.1 a xi x ( ) = 1,24a 8, ^或 a 8.x = 0 时，y = am 2+ am.所以点 D 的坐标为(0, am 2+ am ).1a 1 2— x x =—x x am +am24 2-xx(— —) = 1 X1 x (am 2+ am ),或丄 x x-a = 1 X x (am 2 + am )2 4 2 2 4 21_1 _ 祁2 _1 + <2所以 m =——，或 m = —— -，或 m = —— - ... ....... 9 分2 2 2变式：(2012北京，23, 7分)已知二次函数y =(t • 1)x 2 • 2(t • 2)x 在x =0和*=2时2的函数值相等。

1：有关大气压的中考物理压轴题及解法
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20、物理压轴题中有关动向电路比率关系的解法。

中考必做的36道数学压轴题第一題夯实双基“步步高”，强化条件是“路标”例1(2013北京，23,7分庭平面直角坐标系My中，抛物线y^mx2-2mx-2(m*0)与y轴交于点.4,其对称轴与x轴交于点B.(1)求点B的坐标；(2)设直线7与直线.43关于该抛物銭的对称轴对称，求直线7的解析式；(3)若该抛物线在-2 < X < -1这一段位于直线/的上方，并且在2 < x < 3这一段位于直线•必的下方，求该抛物线的解析式.解;口)当==0时，y =-2..'.A(0, —2).—2J»抛物线对称轴为x= -斯=1，:.B (1, 0).(2)易得1点关于对称轴的对称点为4 (2, -2)则直线，经过且、B.没直銭的解析式为)=米+方则{W解得仁....直銭的解析式为y=-2r +2.⑶•..抛物线对称轴为工=1抛物体在2 <v<3这一段与在- l<x<0这一段关于对称轴对称，结合图象可以观察到抛物线在-2。

<1这一段位于直线/的上方，在-IvxO这一段位于靠却的下方.抛物线与直銭/的交点横坐标为-1 ；当x=-l时，尸一2x( —D+2 =4则抛物线过点(~b 4)当x=-l时，m+2m-2=4 , m=2「•抛物线解析为］=廿-阪-2.连接(2013江苏南京，26,9分)已知二次函数］=a (x~m) 2-a (x-w) (a、巾为常数，且奶-(1)求证：不论a与冲为何值,该圈数的图象与X轴总有两个公共点；(2)设该函数的图象的顶点为U与x轴交于4、3两点，与.v轴交于点。

①当A.4BC的面积等于1时，求。

的值；②当A.4BC的面积与的面积相等时，求m的值-【答案】(1)证明：y=a (x—m) 2—a <x-m) =ax2— (2twn+a) x+an^+am. 因为当#0 时，［—(2am+a')］2—4a {am2+ am') =a2>0.所以，方程众2-(2次+ .)工+加+効=0有两个不相等的实数根一所以，不论。

中考数学必做36道压轴题
第1题夯实双基“步步高”，强化条件是“路标”
第2题“弓形问题”再相逢，“殊途同归”快突破
第3题“模式识别”记心头，看似“并列”实“递进”
第4题“准线”“焦点”频现身，“居高临下”明“结构”
第5题莫为“浮云”遮望眼，“洞幽察微”探指向
第6题分类讨论“程序化”，“分离抗扰”探本质
第7题“两种对称”正方形，“以美启真”助破题
第8题对称图形为载体，特殊位置要留意
第9题平行线内“正方形”，构造全等“弦方图”
第10题“并列”问题“递进”解，经典问题再追问
第11题“伴随图形”来研究，“分类讨论”显功底
第12题中心对称“带上路”，以美启真构菱形。

中考必做的36道数学压轴题第一题夯实双基“步步高”，强化条件是“路标” 例1(2013北京，23,7分)在平面直角坐标系x O y 中，抛物线222--=mx mx y （0≠m ）与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B ．（1）求点A ，B 的坐标；（2）设直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线l 的解析式；（3）若该抛物线在12-<<-x 这一段位于直线l 的上方，并且在32<<x 这一段位于直线AB 的下方，求该抛物线的解析式．（1）当 x ＝ 0 时， y ＝－2 . ∴ A （0，－2）． 抛物线对称轴为 x ＝212mm--=， ∴ B （1，0）． （2）易得 A 点关于对称轴的对称点为 A （2，－2） 则直线 l 经过 A 、 B . 没直线的解析式为 y ＝kx ＋b 则22,0.k b k b +=-⎧⎨+=⎩解得2,2.k b =-⎧⎨=⎩∴直线的解析式为 y ＝－2x ＋2． （3）∵抛物线对称轴为 x ＝1抛物体在 2 <x <3 这一段与在－1<x <0 这一段关于对称轴对称，结合图象可以观察到抛物线在－2<x <1这一段位于直线 l 的上方，在 －1< x <0 这一段位于直线 l 的下方． ∴抛物线与直线 l 的交点横坐标为 －1 ； 当 x ＝－1 时， y ＝－2x (－1)＋2 ＝4 则抛物线过点（－1，4） 当 x ＝－1 时， m ＋2m －2＝4 ， m ＝2 ∴抛物线解析为 y ＝2x 2 －4x －2 .连接（2013江苏南京，26，9分）已知二次函数y ＝a （x －m ）2－a （x －m ）（a 、m 为常数，且a ≠0）.（1）求证：不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点； （2）设该函数的图象的顶点为C .与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点D . ①当△ABC 的面积等于1时，求a 的值；②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，求m 的值.【答案】（1）证明：y ＝a （x －m ）2－a （x －m ）＝ax 2－（2am ＋a ）x ＋am 2＋am .因为当a ≠0时，［－（2am ＋a ）］2－4a （am 2＋am ）＝a 2＞0.所以，方程ax 2－（2am ＋a ）x ＋am 2＋am ＝0有两个不相等的实数根.所以，不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点. ………3分 （2）解：①y ＝a （x －m ）2－a （x －m ）＝a （x －212+m ）2－4a， 所以，点C 的坐标为（212+m ，－4a）. 当y ＝0时，a （x －m ）2－a （x －m ）＝0.解得x 1＝m ，x 2＝m ＋1.所以AB ＝1. 当△ABC 的面积等于1时，21×1×4a -＝1.所以21×1×（－4a ）＝1，或21×1×4a＝1. 所以a ＝－8，或a ＝8.②当x ＝0时，y ＝am 2＋am .所以点D 的坐标为（0，am 2＋am ）. 当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，21×1×4a -＝21×1×am am +221×1×（－4a ）=21×1×（am 2＋am ），或21×1×4a =21×1×（am 2＋am ）. 所以m ＝－21，或m ＝221--，或m ＝221+-.………9分变式: （2012北京，23，7分）已知二次函数23(1)2(2)2y t xt x =++++在0x =和2x =时的函数值相等。

中考必做的36道数学压轴题第一题夯实双基“步步高”，强化条件是“路标” 例1(2013北京，23,7分)在平面直角坐标系x O y 中，抛物线222--=mx mx y （0≠m ）与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B ．（1）求点A ，B 的坐标；（2）设直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线l 的解析式；（3）若该抛物线在12-<<-x 这一段位于直线l 的上方，并且在32<<x 这一段位于直线AB 的下方，求该抛物线的解析式．（1）当 x ＝ 0 时， y ＝－2 . ∴ A （0，－2）． 抛物线对称轴为 x ＝212mm--=， ∴ B （1，0）． （2）易得 A 点关于对称轴的对称点为 A （2，－2） 则直线 l 经过 A 、 B . 没直线的解析式为 y ＝kx ＋b 则22,0.k b k b +=-⎧⎨+=⎩解得2,2.k b =-⎧⎨=⎩∴直线的解析式为 y ＝－2x ＋2． （3）∵抛物线对称轴为 x ＝1抛物体在 2 <x <3 这一段与在－1<x <0 这一段关于对称轴对称，结合图象可以观察到抛物线在－2<x <1这一段位于直线 l 的上方，在 －1< x <0 这一段位于直线 l 的下方． ∴抛物线与直线 l 的交点横坐标为 －1 ； 当 x ＝－1 时， y ＝－2x (－1)＋2 ＝4 则抛物线过点（－1，4） 当 x ＝－1 时， m ＋2m －2＝4 ， m ＝2 ∴抛物线解析为 y ＝2x 2 －4x －2 .连接（2013江苏南京，26，9分）已知二次函数y ＝a （x －m ）2－a （x －m ）（a 、m 为常数，且a ≠0）.（1）求证：不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点； （2）设该函数的图象的顶点为C .与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点D . ①当△ABC 的面积等于1时，求a 的值；②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，求m 的值. 【答案】（1）证明：y ＝a （x －m ）2－a （x －m ）＝ax 2－（2am ＋a ）x ＋am 2＋am . 因为当a ≠0时，［－（2am ＋a ）］2－4a （am 2＋am ）＝a 2＞0.所以，方程ax 2－（2am ＋a ）x ＋am 2＋am ＝0有两个不相等的实数根.所以，不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点. ………3分 （2）解：①y ＝a （x －m ）2－a （x －m ）＝a （x －212+m ）2－4a， 所以，点C 的坐标为（212+m ，－4a）. 当y ＝0时，a （x －m ）2－a （x －m ）＝0.解得x 1＝m ，x 2＝m ＋1.所以AB ＝1. 当△ABC 的面积等于1时，21×1×4a -＝1.所以21×1×（－4a ）＝1，或21×1×4a＝1. 所以a ＝－8，或a ＝8.②当x ＝0时，y ＝am 2＋am .所以点D 的坐标为（0，am 2＋am ）. 当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，21×1×4a -＝21×1×am am +221×1×（－4a ）=21×1×（am 2＋am ），或21×1×4a =21×1×（am 2＋am ）. 所以m ＝－21，或m ＝221--，或m ＝221+-.………9分变式: （2012北京，23，7分）已知二次函数23(1)2(2)2y t xt x =++++在0x =和2x =时的函数值相等。

中考必做的36道数学压轴题第一题夯实双基“步步高”，强化条件是“路标” 例1(2013北京，23,7分)在平面直角坐标系x O y 中，抛物线222--=mx mx y （0≠m ）与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B ．（1）求点A ，B 的坐标；（2）设直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线l 的解析式；（3）若该抛物线在12-<<-x 这一段位于直线l 的上方，并且在32<<x 这一段位于直线AB 的下方，求该抛物线的解析式．（1）当 x ＝ 0 时， y ＝－2 . ∴ A （0，－2）． 抛物线对称轴为 x ＝212mm--=， ∴ B （1，0）． （2）易得 A 点关于对称轴的对称点为 A （2，－2） 则直线 l 经过 A 、 B . 没直线的解析式为 y ＝kx ＋b 则22,0.k b k b +=-⎧⎨+=⎩解得2,2.k b =-⎧⎨=⎩∴直线的解析式为 y ＝－2x ＋2． （3）∵抛物线对称轴为 x ＝1抛物体在 2 <x <3 这一段与在－1<x <0 这一段关于对称轴对称，结合图象可以观察到抛物线在－2<x <1这一段位于直线 l 的上方，在 －1< x <0 这一段位于直线 l 的下方． ∴抛物线与直线 l 的交点横坐标为 －1 ； 当 x ＝－1 时， y ＝－2x (－1)＋2 ＝4 则抛物线过点（－1，4） 当 x ＝－1 时， m ＋2m －2＝4 ， m ＝2 ∴抛物线解析为 y ＝2x 2 －4x －2 .连接（2013江苏南京，26，9分）已知二次函数y ＝a （x －m ）2－a （x －m ）（a 、m 为常数，且a ≠0）.（1）求证：不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点； （2）设该函数的图象的顶点为C .与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点D . ①当△ABC 的面积等于1时，求a 的值；②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，求m 的值. 【答案】（1）证明：y ＝a （x －m ）2－a （x －m ）＝ax 2－（2am ＋a ）x ＋am 2＋am . 因为当a ≠0时，［－（2am ＋a ）］2－4a （am 2＋am ）＝a 2＞0.所以，方程ax 2－（2am ＋a ）x ＋am 2＋am ＝0有两个不相等的实数根.所以，不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点. ………3分 （2）解：①y ＝a （x －m ）2－a （x －m ）＝a （x －212+m ）2－4a， 所以，点C 的坐标为（212+m ，－4a）. 当y ＝0时，a （x －m ）2－a （x －m ）＝0.解得x 1＝m ，x 2＝m ＋1.所以AB ＝1. 当△ABC 的面积等于1时，21×1×4a -＝1.所以21×1×（－4a ）＝1，或21×1×4a＝1. 所以a ＝－8，或a ＝8.②当x ＝0时，y ＝am 2＋am .所以点D 的坐标为（0，am 2＋am ）. 当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，21×1×4a -＝21×1×am am +221×1×（－4a ）=21×1×（am 2＋am ），或21×1×4a =21×1×（am 2＋am ）. 所以m ＝－21，或m ＝221--，或m ＝221+-.………9分变式: （2012北京，23，7分）已知二次函数23(1)2(2)2y t xt x =++++在0x =和2x =时的函数值相等。

中考必做的36道压轴题1：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为ts．（1）当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；（2）已知⊙O为△ABC的外接圆．若⊙P与⊙O相切，求t的值．解题反思：此题主要考查了相似三角形的性质与判定以及直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系，正确判定直线与圆的位置关系是重点知识同学们应重点复习。

中考必做的36道压轴题2：如图，线段AD=5，⊙A的半径为1，C为⊙A上一动点，CD的垂直平分线分别交CD于点E，B，连接BC，AC，构成△ABC,设AB=x. （1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形，则x=;（3）设△ABC的面积的平方为W，求W的最大值。

解题反思：此题考查了三角形三边关系，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质以及二次函数的最值问题等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与分类讨论思想的应用．中考必做的36道压轴题3：如图，在平面直角坐标系xOy中，一抛物线的顶点坐标是（0，1），且过点（﹣2，2），平行四边形OABC的顶点A、B在此抛物线上，AB与y轴相交于点M．已知点C的坐标是（﹣4，0），点Q（x，y）是抛物线上任意一点．（1）求此抛物线的解析式及点M的坐标；（2）在x轴上有一点P（t，0），若PQ∥CM，试用x的代数式表示t；（3）在抛物线上是否存在点Q，使得△BAQ的面积是△BMC的面积的2倍？若存在，求此时点Q的坐标．解题反思：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质以及三角形面积问题．此题综合性很强，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．中考必做的36道压轴题4：已知抛物线y=ax﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求A、B的坐标；（2）过点D作DH丄y轴于点H，若DH=HC，求a的值和直线CD 的解析式；（3）在第（2）小题的条件下，直线CD与x轴交于点E，过线段OB 的中点N作NF丄x轴，并交直线CD于点F，则直线NF上是否存在点M，使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解题反思：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有一元二次方程的解法．在求有关存在不存在问题时要注意先假设存在，再讨论结果．中考必做的36道压轴题5：如图，已知抛物线y=-4x/9+bx+c与x轴相交于A、B两点，其对称轴为直线x=2，且与x轴交于点D，AO=1．（1）填空：b=．c=，点B的坐标为（，）：（2）若线段BC的垂直平分线EF交BC于点E，交x轴于点F．求FC 的长；（3）探究：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使⊙P与x轴、直线BC都相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解题反思：本题主要考查对解二元一次方程组，二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理，线段的垂直平分线定理等知识点的理解和掌握，熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．中考必做的36道压轴题6：如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(－2，O)、B(2，0)、C(0，-1)三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C、D(0，-2)作平行于x轴的直线l、l．(1)求抛物线对应二次函数的解析式；(2)求证以ON为直径的圆与直线l相切；(3)求线段MN的长(用k表示)，并证明M、N两点到直线l的距离之和等于线段MN的长．解题反思：（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法即可求出抛物线对应二次函数的解析式。