正倒向随机微分方程组的数值解法_赵卫东

第十章 偏微分方程数值解法偏微分方程问题，其求解十分困难。

除少数特殊情况外，绝大多数情况均难以求出精确解。

因此，近似解法就显得更为重要。

本章仅介绍求解各类典型偏微分方程定解问题的差分方法。

§1 差分方法的基本概念1.1 几类偏微分方程的定解问题椭圆型方程：其最典型、最简单的形式是泊松（Poisson ）方程),(2222y x f yu x u u =∂∂+∂∂=∆ 特别地，当0),(≡y x f 时，即为拉普拉斯（Laplace ）方程，又称为调和方程2222=∂∂+∂∂=∆yux u u Poisson 方程的第一边值问题为⎪⎩⎪⎨⎧Ω∂=Γ=Ω∈=∂∂+∂∂Γ∈),(),(),(),(),(2222y x y x u y x y x f y ux u y x ϕ 其中Ω为以Γ为边界的有界区域，Γ为分段光滑曲线，ΓΩ称为定解区域，),(y x f ，),(y x ϕ分别为Ω，Γ上的已知连续函数。

第二类和第三类边界条件可统一表示为),(),(y x u u y x ϕα=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂Γ∈n 其中n 为边界Γ的外法线方向。

当0=α时为第二类边界条件， 0≠α时为第三类边界条件。

抛物型方程：其最简单的形式为一维热传导方程220(0)u ua a t x∂∂-=>∂∂ 方程可以有两种不同类型的定解问题：初值问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=+∞<<-∞>=∂∂-∂∂x x x u x t x u a tu )()0,(,0022ϕ初边值问题221200,0(,0)()0(0,)(),(,)()0u ua t T x l t x u x x x lu t g t u l t g t t Tϕ⎧∂∂-=<<<<⎪∂∂⎪⎪=≤≤⎨⎪==≤≤⎪⎪⎩其中)(x ϕ，)(1t g ，)(2t g 为已知函数，且满足连接条件)0()(),0()0(21g l g ==ϕϕ边界条件)(),(),(),0(21t g t l u t g t u ==称为第一类边界条件。

Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2023, 12(4), 1698-1703 Published Online April 2023 in Hans. https:///journal/aam https:///10.12677/aam.2023.124176波浪能发电装置输出功率的微分方程模型马家耀1，吴彬睿1，吕 平2*1杭州师范大学经亨颐教育学院，浙江 杭州 2杭州师范大学数学学院，浙江 杭州收稿日期：2023年3月24日；录用日期：2023年4月18日；发布日期：2023年4月27日摘要波浪能是当今社会一种十分具有前景的清洁可再生能源，提高波浪能发电装置的转化效率尤为重要。

针对波浪能发电装置只做垂荡运动的情况，本文建立基于微分方程的垂荡模型。

以垂荡模型为基础，本文进一步计算波浪能发电装置的平均输出功率，并建立以波浪能发电装置平均输出功率最大为目标的最优阻尼系数模型。

最后，本文通过多重搜索算法，遍历求解得到最大输出功率及对应的最优阻尼系数。

关键词微分方程，多重搜索法，波浪能发电装置，阻尼系数The Differential Equation Model for the Output Power of Wave Energy ConverterJiayao Ma 1, Binrui Wu 1, Ping Lv 2*1Jing Hengyi School of Education, Hangzhou Normal University, Hangzhou Zhejiang 2School of Mathematics, Hangzhou Normal University, Hangzhou ZhejiangReceived: Mar. 24th, 2023; accepted: Apr. 18th, 2023; published: Apr. 27th, 2023AbstractNowadays wave energy as the clean and renewable energy resource has a promising future, so it is particularly significant to enhance the conversion efficiency of wave energy converter. Aiming at the situation that the wave energy converter only does vertical motion, this paper establishes a vertical oscillation model based on differential equation. In terms of this model, the paper further calculates the average output power of wave energy converter, and establishes an optimal damp-ing coefficient model with the goal of the maximum average output power. Finally, the maximum output power and the corresponding optimal damping factor are obtained by traversing the solu-tion through multiple search algorithms.*通讯作者。

数学年刊A辑2021,42(1):75-88DOI:10.16205/ki.cama.2021.0007条件平均场随机微分方程的最优控制问题吴霜1提要作者研究了一个条件平均场随机微分方程的最优控制问题.这种方程和某些部分信息下的随机最优控制问题有关，并且可以看做是平均场随机微分方程的推广.作者以庞特里雅金最大值原理的形式给出最优控制满足的必要和充分条件.此外，文中给出一个线性二次最优控制问题来说明理论结果的应用.关键词条件平均场随机微分方程，随机最大值原理，倒向随机微分方程，线性二次最优控制，黎卡堤方程MR(2000)主题分类93E20,60H10中图法分类0225,0231.3文献标志码A文章编号1000-8314(2021)01-0075-141引言本节先给出在以后章节中出现的符号.令(C,兀｛兀｝0€圧丁，町是一个完备的概率空间，这里的T>0是一个常数,兀=<7(叭s);0W s5尸=斤，而｛VT(t)｝舜o表示一个标准的d维布朗运动.令QtQTt是一个给定的子-代数，它表示控制者在时刻t所能获得的信息.通篇我们以K"表示n维欧式空间，以R nxd表示nxd矩阵空间，以上标r表示向量或矩阵的转置.对给定的欧式空间，我们以〈•,•〉(〔•|)表示内积(范数)，以U 表示一个非空凸子集.此外若一个卯-值,兀-适应的(或弘适应的)随机过程如)满足妙(t)Fdt<+oo,我们记为讽・)e仍(0,T;肿)(或仍(0,T;腐));若一个肿-值,兀-适应的连续随机过程炉(・)满足E[sup⑷⑴鬥<+oo,我们记为炉(・)e S|(0,T;R").研究的初衷始于如下部分信息下的随机控制问题，其中的状态方程是一个受控的随机微分方程(SDE)'dX(t)=雎,X(t),叫X(t)|$],"(t),叫u(t)覘)dt<+a{t,X(t),叫X(t)|$],呃),叫u(t)覘)dW(t),X(0)=x,指标泛函为』(“(•))=町/T lit,X(t),IE[X(t)|$],u(t),IE["(t)|$])dt+/z(X(T))],而w(-)e U ad是容许控制•这里的容许控制集为U ad={"(•)e L^(O,T;R fe)|u(t)G uyt e[0,T]}.(1-1) (1-2) (1.3)本文2019年5月11日收到，2020年11月15日收到修改稿.1■中国石油大学(华东)应用数学系，山东青岛266580.E-mail:namozhuntipusa©76数学年刊A辑42卷然后我们考虑如下的控制问题.CMF问题对于(1.1)和(1.2),寻找iT(J e%山使得丿("*(•))=inf丿("(•))・(1.4)U(-)eWad方程(1.1)是更为一般的平均场型随机微分方程.因其含有条件期望,我们称之为条件平均场随机微分方程(CMF-SDE).显然,CMF-SDE可以看做是对近年来广受学者关注的平均场随机微分方程(MF-SDEs)的推广.MF-SDEs通常用于描述大量个体的群体行为，比如交互作用的粒子系统，其研究工作可以追溯到文[1]并由此引出了所谓的McKean-Vlasov 随机微分方程•从那时起，陆续有很多关于MF-SDEs的研究文献,领域涉及方程理论、最优控制、微分对策以及金融工程等•参见文[2-8],本文组织如下•第二节会给出有关CMF-SDEs的基本结果.第三节规范CMF-SDEs 的最优控制问题并建立最优性条件(最大值原理).第四节讨论了一个条件平均场型的线性二次最优控制问题(LQ问题)来展示所获结果的应用.最后，在第五节对本文做了最后的总结.2基本结果这一节给出CMF-SDEs解的存在唯一性，尽管一个CMF-SDE含有条件期望项，但仍然可以运用不动点理论来证明这一点.现在从下面的CMF-SDE开始.<'dX(t)=b(t,X(t),E[X(t)|$])dt+c(t,X(t),E[X(t)£])dW(t),〔X(0)=z€1R",i•这里&:x[0,T]x R n x R"->R",o-:Q x[0,T]x R"x R n R nXd是给定的可测映射并满足(H2.1)b(-,x,x)和是兀-适应的；存在C>0,使得\b(t,x,x)-b(t,y,y)\+ \cr(t,x,x}-<7(i,y,y)|W C(\x—示|+\y-y\),t e\0,T],x,x,y,y e R n,B卩b和是一致Lipschitz的；(H2.2)&(-,0,0)e^(0,7;®"),ct(-,O,O)e L^(0,T;R nXd).以下定理确保了方程⑵1)解的存在唯一性.定理2.1假设(H2.1)和(H2.2)成立，则CMF-SDE(2.1)有唯一的兀-适应解X(・)e L^(0,T;R n).证为简化论述，对于认)e仍(o,T；R"),使用符号x(t)=叫叹)|羽并引入如下SDE:dX(t)=&(t,a:(t),方(t))dt+(i,a:(i), ))d TV(f),(2-2)、X(0)=x.1期吴霜CMF-SDE的最优控制问题77由于(2.2)有唯一的解X(.)e0纟(0,丁;氏")，我们可以定义一个映射I:0纟(O,T;R")T 仍(0,T;肿)，使得X(・)=弘(.)].现需要证明I是压缩映射.为此，引入Banach空间0纟(0,丁;氏")的等价范数~T丄归(•川0=何/。

理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4 本章小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 结 论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 攻读硕士学位期间所发表的论文. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 哈尔滨工业大学硕士学位论文原创性声明. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
摘要
本文主要研究了倒向随机微分方程解的连续相依性理论，系统给出了各 种连续相依性的定义，建立了一系列倒向随机微分方程解的连续依赖性定 理，并给予定理以详细证明。

刘 国华 ， 朱 经 浩
（ １ ＿ 同济大学 数学 系， 上海 ２ ０ ０ ０ ９ ２ ；２ ． 上海 理工大学 理学院 ， 上海 ２ ０ ０ ０ ９ ３ ）
摘要 ： 利用 Ｋｒ ｏ ｔ ｏ ｖ方法把一 类奇 异最优 控 制问题 转化 为一 其 中 ｆ （ ｕ ， Ｕ ｚ ， …， ） 是次数低于 ２ ｚ 的实 值 多项 式 族 球约束 的全局优化 问题 ， 然后 引入一族初值连续依赖 于时
Ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｔ ｏ Ｓ ｉ ｎ ｇ ｕ ｌ ａ ｒ Ｏｐ ｔ ｉ ｍａ ｌ Ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌ ｂ ｙ
Ｃ ａ ｎ ｏ ｎ ｉ ｃ ａ ｌ Ｂ ａ ｃ ｋ ｗａ ｒ ｄ Ｄｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ Ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ
的演示 ．
（ １ ．Ｄ ｅ ｐ ａ ｒ ｔ ｍｅ ｎ ｔ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ， Ｔｏ ｎ ｇ ｊ ｉ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ，Ｓ ｈ ａ ｎ ｇ ｈ ａ ｉ
２ ０ ０ ０ ９ ２， Ｃｈ ｉ ｎ ａ； ２ ．Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ， Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｓｈ ａ ｎ ｇ ｈ ａ ｉ ｆ ｏ ｒ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ａ ｎ ｄ Ｔｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ，Ｓ ｈ ａ ｎ ｇ ｈ ａ ｉ ２ ０ ０ ０ ９ ３，Ｃｈ ｉ ｎ ａ ）
ｐ ｏ ｉ ｎ ｔ ｃ ｏ ｎ ｉ ｔ ｎ ｕ ｏ ｕ ｓ ｌ ｙ ． Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ．ｓ ｉ ｎ ｕｌ ｇ ａ ｒ ｏ ｐ ｔ ｉ ｍａ ｌ ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌ ；ｇ ｌ ｏ ａｌ ｂ ｏ ｐ ｔ ｉ ｍｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ；

y(xi )
O(h3)][yi
hf
(xi ,
yi )]
h2 2
y(xi ) O(h3 )
O(h2 )
欧拉法具有 1 阶精度。4
2. 隐式 Euler法
用向后差商公式代替导数项
y(xi1 ) h
y(xi )
y' (xi1 )
h 2
y' ' ( i
)
y(xi1 ) h
y(xi )
f (xi1, y(xi1 ))
i1 y(xi1 ) yi1 O(h3f)x ( x, y) f y ( x, y) f ( x, y) Step 1: 将 K2 在 ( xi , yi ) 点作 Taylor 展开
K2 f (xi ph, yi phK1)
f (xi , yi ) phfx (xi , yi ) phK1 f y (xi , yi ) O(h2 ) y(xi ) phy(xi ) O(h 2 )
f
(
xi
1
,
y(
xi
1
))]
h3 12
f
''( )
所以，有格式为：
yi1
yi
h[ f 2
(xi , yi )
f
(xi1, yi1 )]
上式称为梯形格式。
类似，可以算出梯形格式的误差估计式：
i1 O(h3 )
2阶的方法
梯形法是二阶、隐式单步的方法，要用迭代法求解。怎么求？
8
改进欧拉格式 /* modified Euler’s Formula */
xi1, yi h f ( xi , yi )
(i 0, ..., n 1)

第五章结论与展望…．……………．………．………．．．…………一……．．．．３ｌ ５．１总结……．…．．……．．．．．……．．…．……．．．……………………．．．．．．３１ ５．２展望……………………………………．．．……………．．……．．…．３２
参考文献…………………．…………………．……．．……．………．．……．３３
一13宁夏大学硕士学位论文第三章bemstcin多项式数值求解线性volterra积分微分方程第三章bernstein多项式数值求解线性voiterra积分微分方程31bernstein多项式数值求解线一i生volterra积分微分方程在本节里通过b锄stein多项式及其导数逼近未知函数及其导数进而把积分微分方程转化为线性方程组给出线性v01tem积分微分方程的数值解该方法计算简单并且可以得到很好的近似解
Ｉｎ ｃｈａｐｔｅｒ ｏｎｅ，ｔｈｅ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅ ａｎｄ ｐｒｅｓｅｎｔ ｓｉｔｕａｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ａｒｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ， ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ａｎｄ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ｏｆ Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ，ｔｈｅ ｔｈｉｒｄ ｔｙｐｅ ｏｆ Ｖｏｌｔｅｒｒａ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｓ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｓｉｍｐｌｙ．
Ｔｈｅ ｌａｓｔ ｐａｒｔ ｏｆ ｔｈｅ ｐａｐｅｒ ｓｕｍｍａｒｉｚｅ ｔｈｅ ｍａｉｎ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｉｎ ｔｈｅ ｔｈｅｓｉｓ ａｎｄ ｍａｋｅｓ ａ ｐｒｏｐｏｓａｌ ｆｏｒ ｆｕｒｔｈｅｒ ｒｅｓｅａｒｃｈ
Ｋｅｙ Ｗｏｒｄｓ：Ｂｅｒｓｔｅｉｎ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ，Ｖｏｌｔｅｒｒａ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｍｅｔｈｏｄ，Ｉｎｔｅｇｒｏ—

2hyxn
2h3 3!
y
yxn1
yxn1 2hyxn
h3 3
y ②
将①、②两式相减：
y
xn1
h3 yn1 3
y
——两步法局部截断误差
18
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2024年8月7日
（2）梯形公式
yn1
yn
h 2
f
xn , yn
f
xn1 , yn1
yxn
hf
2
xn ,
yn1 yxn1 2hyxn ①
2024年8月7日
17
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2024年8月7日
将函数用泰勒级数展开：（ h 较小， 相差不大）
yxn1
yxn
h 1!
yxn
h2 2!
yxn
h3 3!
y
yxn1
yxn
h
1!
yxn
h2
2!
yxn
h3
3!
y
yxn1
yxn1
yxn
f
xn1 , yxn1
yn1
yxn
h 2
y
xn
yxn1 ①
将函数用泰勒级数展开：
yxn1
yxn
h 1!
yxn
h2 2!
yxn
h3 3!
y ②
yxn1
yxn
h 1!
yxn
h2 2!
y ③
（ h 较小， 相差不大）
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①、②两式相减，并代入③式：
（图示表示梯形法计算结果）

和 advect.m 程序运行结果 § 程 方程 形方 物形 抛物 2抛 .2 6. §6 1．线上法（Method of Lines, MOL） 所谓线上法，就是对偏微分方程中的部分变量进行差分 离散化， 而保留一个变量的微分， 这样， 采用 MOL 以后的 PDEs 变成了 ODEs。 例如：扩散方程：∂u / ∂t = a∂ u / ∂x 在对空间 x 离散化
∂u ∂u +a =0 ∂t ∂x
这里， a 为不为零的常数.下面给出对流方程数值求解的差分格式。 1. 迎风格式（up-wind scheme）
n n n ukn +1 − uk a ⎧ ⎪(uk − uk −1 ), a > 0 + =0 ⎨ n n Δt Δx ⎪ − < ( ), 0 u u a ⎩ k +1 k
for iStep=1:nStep %% MAIN LOOP %% if( method == 1 ) % FTCS method a(1:N) = a(1:N) + coeff*(a(ip)-a(im)); elseif( method == 2 ) % Lax method a(1:N)=.5*(a(ip)+a(im))+coeff*(a(ip)-a(im)); else % Lax-Wendroff method a(1:N) = a(1:N) + coeff*(a(ip)-a(im)) + ... coefflw*(a(ip)+a(im)-2*a(1:N)); end %* Periodically record a(t) for plotting. if( rem(iStep,plotStep) < 1 ) iplot = iplot+1; aplot(:,iplot) = a(:); tplot(iplot) = tau*iStep; hold off;plot(x,a); axis([-0.5 0.5 -0.5 0.8]);pause(0.2); end end % Plot the initial and final states. figure(1); clf; plot(x,aplot(:,1),'-',x,a,'--'); legend('Initial ','Final'); xlabel('x'); ylabel('a(x,t)'); pause(1); %Plot the wave amplitude versus position and time figure(2); clf; mesh(tplot,x,aplot); ylabel('Position'); xlabel('Time'); zlabel('Amplitude'); view([-70 50]);

微分方程求解-解微分方程微分方程求解求解微分方程：简单地说，就是去微分，将方程化成自变量与因变量关系的方程。

近来做毕业设计遇到微分方程问题，搞懂后，特发此文，来帮广大同学，网友。

1.最简单的例子：——————》求微分方程的通解。

dx解方程是可分离变量的，分离变量后得两端积分：得：从而：又因为。

仍是任意常数，可以记作C 。

非齐次线性方程2y 求方程的通解解：非齐次线性方程。

先求对应的齐次方程的通解。

5，，用常数变易法：把C换成u(x)，即令则有，dx12，代入原方程式中得两端积分，得。

33再代入式即得所求方程通解。

3法二：假设待求的微分方程是:我们可以直接应用下式得到方程的通解，其中，2，代入积分同样可得方程通解5，3232.微分方程的相关概念：(看完后你会懂得各类微分方程)一阶微分方程：或可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为的形式，解法：得：称为隐式通解。

，即写成的函数，解法：dxxydydududxduy设，则，，分离变量，积分后将代替u，齐次方程：一阶微分方程可以写成即得齐次方程通解。

一阶线性微分方程：当时,为齐次方程，当时，为非齐次方程，，全微分方程：如果中左端是某函数的全微分方程，即：应该是该全微分方程的通解。

二阶微分方程：时为齐次时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中的系数；2、求出式的两个根r1,r23、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：，p,q为常数型，为常数；型3.工程中的解法：四阶定步长Runge-Kutta算法其中h 为计算步长，在实际应用中该步长是一个常数，这样由四阶Runge-Kutta算法可以由当前状态变量Xt 的值求解出下状态变量Xt +1 的值亲们，你们满意吗？一阶微分方程的解一阶微分方程的常数变易法的应用探析The exploration of linear ordinary differential equation of first order with method of leadingvariables作者：刘*专业：数学与应用数学指导老师：杜* *完成时间：2016年9月1号摘要常数变易法是作为求解一阶线性方程的解法给出的。

euler方法python数值求解微分方程Euler方法：Python数值求解微分方程微分方程是数学中重要的一部分，广泛应用于自然科学、工程技术和经济管理等领域。

求解微分方程是解析方法和数值方法两种常用的途径。

其中，Euler方法是最简单且易于理解的一种数值方法，可以用于近似求解一阶常微分方程。

一、Euler方法简介Euler方法是一种基于差分的数值求解方法，其基本思想是将微分方程离散化，通过迭代计算来逼近解析解。

它是基于泰勒展开式，将微分方程中的导数近似为一个很小的步长h下的差商。

通过递推公式进行迭代计算，可以得到微分方程的数值解。

二、Euler方法的基本步骤1. 定义微分方程为了使用Euler方法求解微分方程，首先需要将微分方程转化为标准形式。

例如，考虑一阶常微分方程：dy/dx = f(x, y)2. 确定初始条件为了求解微分方程，需要提供初始条件，即给定x0和y0的值。

3. 确定步长和迭代次数在Euler方法中，步长h是一个很小的正数，用于离散化微分方程。

迭代次数n是根据所需的精度来确定的。

4. 使用递推公式计算根据Euler方法的递推公式，可以对当前的x和y进行迭代计算来求解微分方程：yn+1 = yn + h*f(xn, yn)5. 重复迭代计算使用递推公式，通过重复迭代计算，直到达到所需的精度或迭代次数。

三、Python实现Euler方法求解微分方程在Python中，使用函数和循环结构可以很方便地实现Euler方法求解微分方程。

以下是一个简单的示例代码，演示了如何使用Python实现Euler方法：```python# 定义微分方程def f(x, y):return x + y# Euler方法求解微分方程def euler_method(x0, y0, h, n):x = x0y = y0for i in range(n):y = y + h * f(x, y)x = x + hreturn x, y# 设置初始条件、步长和迭代次数x0 = 0y0 = 1h = 0.1n = 10# 调用euler_method函数求解微分方程result = euler_method(x0, y0, h, n)# 输出结果print("x =", result[0])print("y =", result[1])```在上述示例代码中，定义了微分方程dy/dx = x + y，并使用Euler方法求解了此微分方程。

完全耦合的正倒向随机微分方程及相应的偏微分方程系统作者：吴臻， 于志勇作者单位：山东大学数学与系统科学学院,济南,250100刊名：数学年刊A辑英文刊名：CHINESE ANNALS OF MATHEMATICS,SERIES A年，卷(期)：2004,25(4)被引用次数：1次1.Pardoux E;Tang, S Forward-backward stochastic differential equations and quasilinear parabolic PDEs[外文期刊] 1999(02)2.Peng S;Chen, S;Li, X;Yong,J.,Zhou,X. Y. eds Open Problems on Backward Stochastic Differential Equations 19993.Crandall M;Ishii Ⅱ;Lions P L User's guide to viscosity solution of Second order partial differential equations 1992(01)4.Yong J Finding adapted solution of forward-backward stochastic differential equations-method of continuation[外文期刊] 1997(4)5.Peng S;Wu, Z Fully coupled forward-backward stochastic differential equations and applications to optimal control[外文期刊] 1999(03)6.Hu Y;Peng, S Solution of forward-backward stochastic differential equations[外文期刊] 1995(02)7.Ma J;Protter P;Yong.J Solving forward-backward stochastic differential equations explicitly - a four step scheme[外文期刊] 1994(02)8.Wu Z Adapted solution of generalized forward-backward stochastic differential equations and its dependence on parameters 1998(01)9.Karoui El;Kapoudjian C;Pardoux E;Peng S Reflected solutions of backward SDE's, and related obstacle problems for PDE's[外文期刊] 1997(02)10.Wu Z The comparison theorem of FBSDE 1999(01)11.Cvitanic J;Ma J Hedging options for a large investor and forward-backward stochastic differential equations 1996(02)12.Bismut J M An introductory approach to duality in optimal stochastic control[外文期刊] 1978(01) 1.黄宗媛.张峰一类高维抛物型偏微分方程的粘性解[期刊论文]-山东大学学报(理学版) 2008(12)本文链接：/Periodical_sxnk200404007.aspx。

第六章常微分方程的数值解法第六章常微分方程的数值解法在自然科学研究和工程技术领域中，常常会遇到常微分方程的求解问题。

传统的数学分析方法仅能给出一些简单的、常系数的、经典的线性方程的解析表达式，不能处理复杂的、变系数的、非线性方程，对于这些方面的问题，只能求诸于近似解法和数值解法。

而且在许多实际问题中，确确实实并不总是需要精确的解析解，往往只需获得近似的解或者解在若干个点上的数值即可。

在高等数学课程中介绍过的级数解法和逐步逼近法，能够给出解的近似表达式，这一类方法称为近似解法。

还有一类方法是通过计算机来求解微分方程的数值解，给出解在一些离散点上的近似值，这一类方法称作为数值方法。

本章主要介绍常微分方程初值问题的数值解法，包括Euler 方法、Runge-Kutta 方法、线性多步法以及微分方程组与高阶微分方程的数值解法。

同时，对于求解常微分方程的边值问题中比较常用的打靶法与有限差分法作了一个简单的介绍。

§1 基本概念1.1 常微分方程初值问题的一般提法常微分方程初值问题的一般提法是求解满足如下条件的函数，，b x a x y ≤≤)(=<<=α)(),(a y bx a y x f dxdy， (1.1) 其中),(y x f 是已知函数，α是给定的数值。

通常假定上面所给出的函数),(y x f 在给定的区域},),{(+∞<≤≤=yb x a y x D 上面满足如下条件：(1) 函数),(y x f 在区域D 上面连续；(2) 函数),(y x f 在区域D 上关于变量y 满足Lipschitz(李普希茨)条件：212121,),(),(y y b x a y y L y x f y x f ?≤≤?≤?，， (1.2)其中常数L 称为Lipschitz(李普希茨)常数。

由常微分方程的基本理论可以知道，假如(1.1)中的),(y x f 满足上面两个条件，则常微分方程初值问题(1.1)对于任意给定的初始值α都存在着唯一的解，，b x a x y ≤≤)(并且该唯一解在区间[a,b]上是连续可微的。

第一章绪论1.1 引言常微分方程是现代数学的一个重要分支，是人们解决各种实际问题的有效工具。

微分方程的理论和方法从17世纪末开始发展起来，很快成了研究自然现象的强有力工具，在17到18世纪，在力学、天文、科学技术、物理中，就已借助微分方程取得了巨大的成就。

1864年Leverrer根据这个方程预见了海王星的存在，并确定出海王星在天空中的位置。

现在，常微分方程在许多方面获得了日新月异的应用。

这些应用也为常微分方程的进一步发展提供了新的问题，促使人们对微分方程进行更深入的研究，以便适应科学技术飞速发展的需要。

研究常微分方程常用数值解是数学工作者的一项基本的且重要的工作。

在国内外众多数学家的不懈努力，使此学科基本上形成了一套完美的体系。

微分方程的首要问题是如何求一个给定方程的通解或特解。

到目前为止，人们已经对许多微分方程得出了求解的一般方法。

由于在生产实际和科学研究中所遇到的微分方程问题比较复杂，使这些问题的解即使能求出解析表达式，也往往因计算量太大而难于求出，而对于一些典型的微分方程则可以运用基本方法求出其解析解，并可以根据初值问题的条件把其中的任意常数确定下来。

由于求通解存在许多困难，人们就开始研究带某种定解条件的特解。

首先是Cauchy对微分方程初始解的存在惟一性进行了研究。

目前解的存在惟一性、延拓性、大范围的存在性以及解对初始解和参数的延续性和可微性等理论问题都已发展成熟。

与此同时，人们开始采取各种近似方法来求微分方程的特解，例如求微分方程数值解的Euler折线法、Runge-Kutta法等，可以求得若干个点上微分方程的近似解。

最后，由于当代高科技的发展为数学的广泛应用和深入研究提供了更好的手段。

用计算机结合Matlab软件求方程的精确解、近似解，对解的性态进行图示和定性、稳定性研究都十分方便有效。

本章先介绍常微分的一般概念、导出微分方程的一些典型例子及求解微分方程的思路分析。

从而得到常微分方程的常用数值解法。