湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 2.2.1椭圆及其标准方程练习题 新人教版选修2-1

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椭圆及其方程（时间:25分，满分55分）班级姓名得分一、选择题1．设F1,F2为定点,|F1F2|＝6，动点M满足｜MF1|＋｜MF2|＝6，则动点M的轨迹是( ) A．椭圆B．直线C．圆D．线段［答案] D2．中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点（4，0）、(0，2）的椭圆方程为（) A.错误!＋错误!＝1 B。

错误!＋错误!＝1C。

错误!＋错误!＝1 D。

错误!＋错误!＝1［答案］D[解析］解法一：验证排除:将点(4，0）代入验证可排除A、B、C,故选D.解法二：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1（m〉0,n>0），∴错误!，∴错误!，故选D。

3．椭圆ax2＋by2＋ab＝0（a〈b〈0）的焦点坐标是（)A．（±错误!，0）B．（±错误!，0)C．（0，±错误!）D．(0，±错误!)［答案］D［解析] ax2＋by2＋ab＝0可化为错误!＋错误!＝1,∵a〈b〈0,∴－a>－b>0，∴焦点在y轴上，c＝－a＋b＝错误!，∴焦点坐标为(0，±错误!)．4．“1<m〈2”是“方程错误!＋错误!＝1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案］C[解析] 方程错误!＋错误!＝1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，∴错误!，∴1<m<2，故选C。

2.2.1 椭圆及其标准方程[A 基础达标]1．平面内，若点M 到定点F 1(0，－1)，F 2(0，1)的距离之和为2，则点M 的轨迹为( ) A ．椭圆 B ．直线F 1F 2 C ．线段F 1F 2D ．直线F 1F 2的垂直平分线解析：选C ．由|MF 1|＋|MF 2|＝2＝|F 1F 2|知，点M 的轨迹不是椭圆，而是线段F 1F 2． 2．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A ．x 212＋y 29＝1 B ．x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1 C ．x 29＋y 212＝1 D ．x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1 解析：选B ．由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，所以c ＝3． 因为2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43， 所以a ＝23，所以b 2＝a 2－c 2＝9．故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1．3．“－3<m <5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B ．要使方程x 25－m ＋y2m ＋3＝1表示椭圆，应满足⎩⎪⎨⎪⎧5－m >0，m ＋3>0，5－m ≠m ＋3，解得－3<m <5且m ≠1，因此“－3<m <5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的必要不充分条件．4．(2018·郑州高二检测)椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．6D ．32解析：选B ．设椭圆的另一个焦点为F 2，因为椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，即|MF 1|＝2，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，所以|MF 2|＝8．因为N 是MF 1的中点，O 是F 1F 2的中点，所以|ON |＝12|MF 2|＝4．5．已知椭圆x 23＋y 24＝1的两个焦点F 1，F 2，M 是椭圆上一点，且|MF 1|－|MF 2|＝1，则△MF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形解析：选B ．由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝4，因为|MF 1|－|MF 2|＝1，所以|MF 1|＝52，|MF 2|＝32．又|F 1F 2|＝2c ＝2，所以|MF 1|2＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2，即∠MF 2F 1＝90°，所以△MF 1F 2为直角三角形．6．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________．解析：由已知2a ＝8，2c ＝215， 所以a ＝4，c ＝15， 所以b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1． 又椭圆的焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1．答案：y 216＋x 2＝17．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．解析：由|PF 1|＋|PF 2|＝6，且|PF 1|＝4，知|PF 2|＝2．|F 1F 2|＝27， 在△PF 1F 2中，cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝－12．所以∠F 1PF 2＝120°． 答案：2 120°8．已知椭圆的焦点F 1，F 2在x 轴上，且a ＝2c ，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆的标准方程为________．解析：根据椭圆的焦点在x 轴上，可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，根据△ABF 2的周长为16得4a ＝16，则a ＝4，因为a ＝2c ，所以c ＝22，则b 2＝a 2－c 2＝16－8＝8．故椭圆的标准方程为x 216＋y 28＝1．答案：x 216＋y 28＝19．求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为F 1(－4，0)，F 2(4，0)，并且椭圆上一点P 与两焦点的距离的和等于10；(2)焦点分别为(0，－2)，(0，2)，经过点(4，32)．解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝4，2a ＝10，所以a ＝5，b ＝a 2－c 2＝25－16＝3，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1．(2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．法一：由椭圆的定义知2a ＝（4－0）2＋（32＋2）2＋（4－0）2＋（32－2）2＝12，解得a ＝6．又c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝42．所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1．法二：因为所求椭圆过点(4，32)，所以18a 2＋16b2＝1．又c 2＝a 2－b 2＝4，可解得a 2＝36，b 2＝32． 所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1．10．设F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，当a ＝2b 时，点P 在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝2，求椭圆方程．解析：因为a ＝2b ，b 2＋c 2＝a 2，所以c 2＝3b 2．又PF 1⊥PF 2，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2＝12b 2，由椭圆定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4b ，(|PF 1|＋|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝12b 2＋4＝16b 2， 所以b 2＝1，a 2＝4．所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1．[B 能力提升]11．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15解析：选B ．由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7．12．已知F 1、F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为________．解析：如图．由x 29＋y 27＝1，知a 2＝9，b 2＝7，c 2＝2．所以a ＝3，b ＝7，c ＝2．所以|F 1F 2|＝22． 设|AF 1|＝x ，则|AF 2|＝6－x ．因为∠AF 1F 2＝45°，所以(6－x )2＝x 2＋8－42x ·22． 所以x ＝72．所以S △AF 1F 2＝12×22×72×22＝72．答案：7213．如图所示，已知椭圆的两焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|．(1)求椭圆的标准方程；(2)若点P 在第二象限，∠F 2F 1P ＝120°，求△PF 1F 2的面积．解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，则由已知得c ＝1，|F 1F 2|＝2，所以4＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以a ＝2， 所以b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3， 所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1．(2)在△PF 1F 2中，|PF 2|＝2a －|PF 1|＝4－|PF 1|．由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|·cos 120°， 即(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|， 所以|PF 1|＝65，所以S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|PF 1|·sin 120°＝12×2×65×32＝335．14．(选做题)设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，B 为椭圆上的点且坐标为(0，－1)．(1)若P 是该椭圆上的一个动点，求|PF 1|·|PF 2|的最大值； (2)若C 为椭圆上异于B 的一点，且BF →1＝λ CF →1，求λ的值； (3)设P 是该椭圆上的一个动点，求△PBF 1的周长的最大值． 解：(1)因为椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，所以a ＝2，b ＝1，c ＝3，即|F 1F 2|＝23，又因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝2时取“＝”，所以|PF 1|·|PF 2|的最大值为4． (2)设C (x 0，y 0)，B (0，－1)，F 1(－3，0)， 由BF →1＝λ CF →1， 得x 0＝3（1－λ）λ，y 0＝－1λ．又x 204＋y 20＝1，所以有λ2＋6λ－7＝0， 解得λ＝－7或λ＝1，C 异于B 点，故λ＝1舍去．所以λ＝－7． (3)因为|PF 1|＋|PB |＝4－|PF 2|＋|PB |≤4＋|BF 2|，所以△PBF1的周长≤4＋|BF2|＋|BF1|＝8，所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1的周长最大，最大值为8．。

2.2.1椭圆的标准方程一、选择题1．命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和|PA |＋|PB |＝2a (a >0，a 是常数)；命题乙：点P 的轨迹是椭圆，甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 若点P 轨迹是椭圆，则一定有|PA |＋|PB |＝2a (a >0)，反过来，若|PA |＋|PB |＝2a (a >0)，点P 的轨迹可能是线段，或不存在．2．过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一个焦点F 2构成△ABF 1的周长是( )A ．2B ．4 C. 2 D ．2 2[答案] B[解析] 根据题意画出图形(如图所示)， ∵|AF 1|＋|AF 2|＝2，|BF 1|＋|BF 2|＝2， ∴|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝4， 即|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4.3．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( )A ．－2<a < 2B ．a <－2或a > 2C ．－2<a <2D ．－1<a <1 [答案] A[解析] 因为点A 在椭圆内部，故将点A 的坐标代入x 24＋y 22应满足a 24＋12<1，所以a 2<2，即－2<a <2，故选A.4．已知椭圆x 23＋y 24＝1的两个焦点F 1，F 2，M 是椭圆上一点，且|MF 1|－|MF 2|＝1，则△MF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形[答案] B[解析] 由|MF 1|－|MF 2|＝1，且|MF 1|＋|MF 2|＝4，得|MF 1|＝52，|MF 2|＝32.又|F 1F 2|＝2，显然△MF 1F 2为直角三角形．5．已知A ，B 两点的坐标分别为(0，－5)和(0,5)，直线AM 与MB 的斜率之积为－49，则点M 的轨迹方程是( )A.x 225＋y 21009＝1 B.x 225＋y 21009＝1(x ≠±5) C.x 22254＋y 225＝1 D.x 22254＋y 225＝1(x ≠0) [答案] D[解析] 设点M 的坐标为(x ，y )，则k MA ＝y ＋5x ，k BM ＝y －5x ，由题意，得y ＋5x ·y －5x＝－49(x ≠0)， 整理得x 22254＋y 225＝1(x ≠0)．故选D. 6．设P 是椭圆x 29＋y 24＝1上一动点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则cos ∠F 1PF 2的最小值是( )A.12B.19 C ．－59D ．－19[答案] D[解析] 由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|①又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，|F 1F 2|＝25，∴①式可化为cos ∠F 1PF 2＝PF 1|＋|PF 22－|F 1F 2|2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|＝162|PF 1||PF 2|－1.∵|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝9.当|PF 1|＝|PF 2|时，取等号，∴cos ∠F 1PF 2≥162×9－1＝－19，当|PF 1|＝|PF 2|时取等号， ∴cos ∠F 1PF 2的最小值为－19.二、填空题7．椭圆x 225＋y 29＝1的一个焦点为F 1，M 为椭圆上一点，且|MF 1|＝2，N 是线段MF 1的中点，则|ON |为(O 为坐标原点)________．[答案] 4 [解析] 如图所示∵|MF 1|＋|MF 2|＝10，|MF 1|＝2， ∴|MF2|＝8，又ON 为△F 1F 2M 的中位线， ∴|ON |＝12|MF 2|＝4.8．已知F 1、F 2是椭圆x 29＋y 25＝1的左右焦点，P 为椭圆上一个点，且|PF 1|︰|PF 2|＝1︰2，则∠F 1PF 2＝______________.[答案] arccos 14[解析] 由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝6，又|PF 1|︰|PF 2|＝1︰2，则|PF 1|＝2，|PF 2|＝4，而|F 1F 2|＝4由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝14，∴∠F 1PF 2＝arccos 14.三、解答题9．求过点P (3,0)且与圆x 2＋6x ＋y 2－91＝0相内切的动圆圆心的轨迹方程． [解析] 将点(3,0)代入x 2＋6x ＋y 2－91＝－64<0，所以点P 在圆内，圆方程配方整理得(x ＋3)2＋y 2＝102，圆心为C 1(－3,0)，半径为R ＝10.设所求动圆圆心为C (x ，y )，半径为r ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧|PC |＝r ，|CC 1|＝R －r ，消去r 得R －|PC |＝|CC 1|⇒|PC |＋|CC 1|＝R ，即|PC |＋|CC 1|＝10.又P (3,0)，C 1(－3,0)，且|PC 1|＝6<10.可见C 点是以P ，C 1为两焦点的椭圆，且c ＝3,2a＝10，所以a ＝5，从而b ＝4，故所求的动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.一、选择题1．已知两定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点P 的轨迹方程是( )A.x 216＋y 29＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 23＋y 24＝1[答案] C[解析] 由题意知|F 1F 2|＝2， 而|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项． 则2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2| 即|PF 1|＋|PF 2|＝4>2 则P 点的轨迹方程为椭圆， 则a ＝2，c ＝1. ∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.2．已知方程x 2k ＋1＋y 23－k＝1(k ∈R )表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是( )A ．k <1或k >3B ．1<k <3C ．k >1D ．k <3[答案] B[解析] 因为方程x 2k ＋1＋y 23－k＝1(k ∈R )表示焦点在x 轴上的椭圆．所以⎩⎪⎨⎪⎧3－k >0k ＋1>0k ＋1>3－k ，解得1<k <3.3．已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．2 2[答案] C[解析] 设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)，PF 2→＝(1－x 0，－y 0)， ∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)，∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值为2.故选C. 二、填空题4．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A 、B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．[答案] x 2＋32y 2＝1[解析] 如图，由题意，A 点横坐标为c ，∴c 2＋y 2b2＝1，又b 2＋c 2＝1，∴y 2＝b 4，∴|AF 2|＝b 2，又∵|AF 1|＝3|BF 1|， ∴B 点坐标为(－53c ，－13b 2)，代入椭圆方程得，⎩⎪⎨⎪⎧－53c 2＋－13b 22b 2＝1，b 2＝1－c 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝13，b 2＝23方程为x 2＋32y 2＝1.5．若方程x 2k －2＋y 25－k＝1表示椭圆，则实数k 的取值范围是________．[答案] (2，72)∪(72，5)[解析] 由方程x 2k －2＋y 25－k＝1表示椭圆，可得⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，5－k >0，k －2≠5－k ，解得2<k <5且k ≠72.即当2<k <72或72<k <5时，方程x 2k －2＋y 25－k＝1表示椭圆．6．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点(1，12)作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．[答案]x 25＋y 24＝1[解析] 本题主要考查圆的切线方程以及椭圆的标准方程，点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12在圆外过点(1，12)与圆相切的一条直线方程为x ＝1，一个切点为(1,0)，设另一条的方程为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－m x ＋m ，由1＝|m |⎝ ⎛⎭⎪⎫12－m 2＋1得m ＝54，故另一条切线的方程为y ＝－34x ＋54代入圆的方程联立解得切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，则直线AB 的方程为y ＝－2x ＋2，故椭圆的上顶点坐标为(0,2)．因此c ＝1，b ＝2，a ＝5，所求椭圆方程为x 25＋y 24＝1.7．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________；∠F 1PF 2的大小为________．[答案] 2 120°[解析] 考查椭圆定义及余弦定理．由椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 2|＝2， cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝16＋4－2816＝－12. ∴∠F 1PF 2＝120°.三、解答题8．如图所示，已知经过椭圆x 225＋y 216＝1的右焦点F 2的直线AB 垂直于x 轴，交椭圆于A ，B 两点，F 1是椭圆的左焦点．(1)求△ABF 1的周长；(2)若AB 不垂直于x 轴，则△AF 1B 的周长有变化吗？为什么？[解析] (1)由题意知A ，B 两点在椭圆x 225＋y 216＝1上，故有|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝10，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝10，|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |，∴△ABF 1的周长＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝2a ＋2a ＝10＋10＝20.∴△ABF 1的周长为20.(2)若AB 不垂直于x 轴，则△ABF 1的周长不变．理由：|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ，这与AB 是否与x 轴垂直无关．9．如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点，点A 1，A 2分别为C 2与x 轴的交点．(1)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积； (2)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．[解析] (1)设A (x 0，y 0)，则矩形ABCD 的面积S ＝4|x 0||y 0|. 由x 209＋y 20＝1得y 20＝1－x 209，从而 x 20y 20＝x 20(1－x 209)＝－19(x 20－92)2＋94.当x 20＝92，y 20＝12时，S max ＝6，从而t ＝5时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为6.(2)由A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)，A 1(－3,0)，A 2(3,0)知直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)． ①直线A 2B 的方程为 y ＝－y 0x 0－3(x －3)． ②由①②得y 2＝－y 2x 20－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．。

2.2.2椭圆的简单几何性质一、选择题(共6个小题，每小题只有一个正确答案)1.若椭圆经过点P （2，3），且焦点为F 1(－2,0), F 2 (2,0)，则这个椭圆的离心率等于 （ ） A.22 B. 13 C. 12 D.322. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为31，长轴长为12，则椭圆方程为 （ ） A. 112814422=+y x 或114412822=+y x B. 14622=+y x C. 1323622=+y x 或1363222=+y x D. 16422=+y x 或14622=+y x 3.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 （ ）A ．(0,1)B ．1(0,]2 C． D． 4.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ．若2A P P B=，则椭圆的离心率是（ ）A．2 B．2C ．13D ．125.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月 球， 在月球附近一点P 处进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 变点第二次变轨进入仍以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22c a . 其中正确式子的序号是 （ ）A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④ 6.过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为（ ）A ．2B 3C ．12D ．13二、填空题(共4个小题)7.巳知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为2，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为 ． 8.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为 .9.已知地球运行的轨道是长半轴长81050.1⨯=a km,离心率0192.0=e 的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最大和最小距离分别为 ， . 10.在平面直角坐标系中，椭圆2222x y a b+=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过椭圆准线与x 轴的交点作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ．三、解答题(共1个小题)11.设1F 、2F 分别是椭圆22154x y +=的左、右焦点，(,)P x y 是该椭圆上的一个动点. （1）求21PF ⋅的最大值和最小值；（2）求12PF PF ⋅的最大值和最小值.。

第二章 2.2 2.2.1请同学们认真完成练案[11]A 级 基础巩固一、选择题1．设F 1、F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( D ) A ．椭圆 B ．直线 C ．圆D ．线段[解析] ∵|MF 1|＋|MF 2|＝6，|F 1F 2|＝6， ∴|MF 1|＋|MF 2|＝|F 1F 2|， ∴点M 的轨迹是线段F 1F 2.2．过点(－3,2)且与x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程是( A )A ．x 215＋y 210＝1B ．x 2225＋y 2100＝1C ．x 210＋y 215＝1D ．x 2100＋y 2225＝1[解析] 将点(－3,2)代入验证，只有A 的方程满足，故选A ．3．中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4,0)、(0,2)的椭圆方程为( D ) A ．x 24＋y 22＝1B ．y 24＋x 22＝1C ．y 216＋x 24＝1D ．x 216＋y 24＝1[解析] 解法一：验证排除：将点(4,0)代入验证可排除A 、B 、C ，故选D ． 解法二：设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧16m ＝14n ＝1，∴⎩⎨⎧m ＝116n ＝14，故选D ．4．已知椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O为坐标原点，那么线段ON 的长是( B )A ．2B ．4C ．8D ．32[解析] 设椭圆左焦点F ，右焦点F 1，∵2a ＝10，|MF |＝2，∴|MF 1|＝8，∵N 为MF 中点，O 为FF 1中点，∴|ON |＝12|MF 1|＝4.5．(2019－2020学年房山区期末检测)“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的充要条件是( A )A ．m ＞n ＞0B ．n ＞m ＞0C ．mn ＞0D ．mn ＜0[解析] 若方程表示椭圆，则m ，n ≠0，则方程等价为x 21m ＋y 21n ＝1，若方程表示焦点在y 轴上椭圆，则等价为1n ＞1m＞0，解得：m ＞n ＞0，故选A ．6．(2019－2020学年湖南省长沙市湖南师大附中高二期中)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△MF 1F 2为等腰三角形，则△MF 1F 2的面积为( D )A ．53B ．103C ．215D ． 415[解析] 设M (m ，n )，m ，n ＞0，则m ∈(0,6)，n ∈(0，25)， 椭圆C ：x 236＋y 220＝1的a ＝6，b ＝25，c ＝4.设F 1，F 2分别为椭圆C 的左右焦点，由于M 为C 上一点且在第一象限，可得|MF 1|＞|MF 2|，|F 1F 2|＝2c ＝8， 因为|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝12，所以|MF 1|＞6，|MF 2|＜6， △MF 1F 2为等腰三角形，只能|MF 2|＝2c ＝8，则|MF 2|＝4， 由勾股定理得|MF 2|2＝(4－m )2＋n 2＝16， 又m 236＋n 220＝1，联立并消去n 得 m 2－18m ＋45＝0，且m ∈(0,6)，解得m ＝3，则n ＝15. 则△MF 1F 2的面积为12×8×15＝415.故选D ．二、填空题7．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为__x 24＋y 23＝1__.[解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝3a －c ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝1.故b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1. 8．(福州市2019－2020学年高二期末)若以椭圆上一点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则该椭圆长轴长的最小值为[解析] 由题意可知，因为椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，即可知bc ＝1，因为a 2＝b 2＋c 2＝b 2＋1b2≥2，所以a ≥2，故长轴长的最小值为22，答案为2 2.三、解答题9．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)；(2)a ：c ＝13：5，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.[解析] (1)由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a ＝32＋(2＋2)2＋32＋(2－2)2＝8，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12. 又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1.(2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13，又a c ＝135，所以c ＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144， 因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1.10．已知点A (－12，0)，B 是圆F ：(x －12) 2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，求动点P 的轨迹方程．[解析] 如图所示，由题意知，|P A |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2， ∴|P A |＋|PF |＝2，且|P A |＋|PF |>|AF |， ∴动点P 的轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆， ∴a ＝1，c ＝12，b 2＝34.∴动点P 的轨迹方程为x 2＋y 234＝1，即x 2＋43y 2＝1. B 级 素养提升一、选择题1．已知椭圆x 225＋y 29＝1，F 1、F 2分别在其左、右焦点，椭圆上一点M 到F 1的距离是2，N是MF 1的中点，则|ON |的长为( D )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 由椭圆定义得|MF 2|＋|MF 1|＝2a ＝10， 因为|MF 1|＝2，所以|MF 2|＝8. 因为N 是MF 1的中点，所以|ON |＝|MF 2|2＝4.故选D ． 2．若△ABC 的两个焦点坐标为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( D )A ．x 225＋y 29＝1B ．y 225＋x 29＝1(y ≠0)C ．x 216＋y 29＝1(y ≠0)D ．x 225＋y 29＝1(y ≠0)[解析] ∵|AB |＝8，△ABC 的周长为18，∴|AC |＋|BC |＝10>|AB |，故点C 轨迹为椭圆且两焦点为A 、B ，又因为C 点的纵坐标不能为零，所以选D ．3．(多选题)若方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围可以是( AD )A ．a >3B ．a <－2C ．－2<a <3D ．－6<a <－2[解析] 由题意得a 2>a ＋6>0， 解得a >3或－6<a <－2，故选AD ．4．(多选题)直线2x ＋by ＋3＝0过椭圆10x 2＋y 2＝10的一个焦点，则b 的值可以为( AB ) A ．－1 B ．1 C ．－12D ．12[解析] 椭圆方程化为标准形式为x 2＋y 210＝1，∴焦点坐标为(0，±3)，当直线过焦点(0,3)时，b ＝－1；当直线过焦点(0，－3)时，b ＝1.故选AB ．二、填空题5．下列命题是真命题的是__③__.①已知定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝2的点P 的轨迹为椭圆；②到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆；③若点P 到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和等于点M (5,3)到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和，则点P 的轨迹为椭圆．[解析] ①2<2，故点P 的轨迹不存在；②到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离相等的点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线(y 轴)；③点M (5,3)到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和为410>8，故点P 的轨迹为椭圆．故填③.6．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为__15__.[解析] 由椭圆的方程可得a ＝5，b ＝4，c ＝3. ∴F 1(－3,0)，F 2(3,0)，如图所示，由椭圆的定义可得，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，∴|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋2a －|PF 2|＝10＋(|PM |－|PF 2|)≤10＋|MF 2|＝10＋32＋42＝15，∴|PM |＋|PF 1|的最大值为15. 三、解答题7．已知椭圆的中心在原点，且经过点P (3,0)，a ＝3b ，求椭圆的标准方程．[解析] 当焦点在x 轴上时，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知9a 2＋0b2＝1，又a＝3b，解得b2＝1，a2＝9，故椭圆的方程为x29＋y2＝1.当焦点在y轴上时，设其方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．由椭圆过点P(3,0)，知0a2＋9b2＝1，又a＝3b，联立解得a2＝81，b2＝9，故椭圆的方程为y281＋x29＝1.故椭圆的标准方程为y281＋x29＝1或x29＋y2＝1.8．如图所示，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)．Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．[解析]如图所示，连接MA，由题知点M在线段CQ上，从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|.又点M在AQ的垂直平分线上，所以|MA|＝|MQ|，故|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5.又A(1,0)，C(－1,0)，故点M的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a＝5，c＝1，故a＝52，b2＝a2－c2＝254－1＝214.故点M的轨迹方程为x2254＋y2214＝1.。

2.2.2椭圆及其简单几何性质(1)导学案学习目标1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图．学习过程一、学情调查、情境导入复习1：椭圆2211612x y+=上一点P到左焦点的距离是2，那么它到右焦点的距离是．复习2：方程2215x ym+=表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是．二、问题展示、合作探究学习探究问题1：椭圆的标准方程22221x ya b+=(0)a b>>，它有哪些几何性质呢？图形：范围：x：y：对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；离心率：刻画椭圆程度．椭圆的焦距与长轴长的比ca称为离心率，记cea=，且01e<<．试试：椭圆221169y x+=的几何性质呢？范围：x：y：对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；离心率：cea== ．反思：b a 或c b的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？ 典型例题例1 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．变式：若椭圆是22981x y +=呢？小结：①先化为标准方程，找出,a b ，求出c ；②注意焦点所在坐标轴．例2 点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和它到直线25:4l x =的距离的比是常数45，求点M 的轨迹．小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（小于1）的点的轨迹是椭圆 ． 动手试试练．求适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴焦点在x 轴上，6a =，13e =； ⑵焦点在y 轴上，3c =，35e =； ⑶经过点(3,0)P -，(0,2)Q -；⑷长轴长等到于20，离心率等于35．三、达标训练、巩固提升（时量：5分钟 满分：10分）计分：1．若椭圆2215x y m+=的离心率e =，则m 的值是（ ）．A ．3B ．3或253C D 2．若椭圆经过原点，且焦点分别为1(1,0)F ，2(3,0)F ，则其离心率为（ ）．A ．34B ．23C ．12D ．14323e =的椭圆两焦点为12,F F ，过1F 作直线交椭圆于,A B 两点，则2ABF ∆的周长为（ ）． A ．3 B ．6 C ．12 D ．244．已知点P 是椭圆22154x y +=上的一点，且以点P 及焦点12,F F 为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标是 ．5．某椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是 ．四、知识梳理、归纳总结课后作业1．比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？⑴22936x y +=与2211612x y += ； ⑵22936x y +=与221610x y += ． 2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴经过点(P -，Q ；⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点(3,0)P ；⑶焦距是8，离心率等于0.8．。

椭圆及其方程一、选择题1．已知方程x 2|m |－1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( ) A ．m <2B ．1<m <2C ．m <－1或1<m <2D ．m <－1或1<m <32 [答案] D [解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ |m |－1>0，2－m >0，2－m >|m |－1.即⎩⎪⎨⎪⎧ m >1或m <－1，m <2，m <32.∴1<m <32或m <－1，故选D. 2．若△ABC 的两个焦点坐标为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( )A.x 225＋y 29＝1 B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.x 225＋y 29＝1(y ≠0) [答案] D[解析] ∵|AB |＝8，△ABC 的周长为18，∴|AC |＋|BC |＝10>|AB |，故点C 轨迹为椭圆且两焦点为A 、B ，又因为C 点的纵坐标不能为零，所以选D.3．已知椭圆的两个焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．射线D ．直线[答案] A4．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (0，－2)和C (0,2)，顶点B 在椭圆y 212＋x 28＝1上，则sin A ＋sin C sin B的值是( )A. 3 B ．2 C ．2 3 D ．4[答案] A [解析] 由椭圆定义得|BA |＋|BC |＝43， 又∵sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|BA ||AC |＝434＝3，故选A. 二、填空题5．已知方程①x －y ＝0；②x －y ＝0；③x 2－y 2＝0；④x y＝1，其中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线C 的方程的序号是________．6．方程|x －1|＋|y －1|＝1所表示的图形是________．解析：当x ≥1，y ≥1时，原方程为x ＋y ＝3；当x ≥1，y ＜1时，原方程为x －y ＝1；当x ＜1，y ≥1时，原方程为－x ＋y ＝1；当x ＜1，y ＜1时，原方程为x ＋y ＝1.画出方程对应的图形，如图所示为正方形．答案：正方形7．下列命题正确的是________(填序号)．①方程xy －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距是2的直线；②到x 轴距离为5的点的轨迹方程是y ＝5；③曲线2x 2－3y 2－2x ＋m ＝0通过原点的充要条件是m ＝0.解析：①中y 不等于2，②中y=-5也可成立答案：③三、解答题8．已知F 1、F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上任一点，若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积．。

数学·选修2－1(人教A版)2．2椭圆2．2.1椭圆及其标准方程(一)课时训练一、选择题1．椭圆x225＋y2169＝1的焦点坐标是( )A．(±5,0)B．(0，±5) C．(0，±12) D．(±12,0)答案：C2．设F1，F2是椭圆x225＋y29＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为( )A．16 B．18 C．20 D．不确定答案：B3．焦点在坐标轴上，且a2＝13，c2＝12的椭圆的标准方程为( )A.x213＋y212＝1圆锥曲线与方程B.x213＋y225＝1或x225＋y213＝1C.x213＋y2＝1D.x213＋y2＝1或x2＋y213＝1解析：因为a2＝13, c2＝12，所以b2＝a2－c2＝1，焦点可能在x 轴上，也可能在y轴上．故选D.答案：D4．“1＜m＜3”是“方程x2m－1＋y23－m＝1表示椭圆”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若方程x2m－1＋y23－m＝1表示椭圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧m－1＞0，3－m＞0，且m－1≠3－m，即1＜m＜3且m≠2.所以“1＜m＜3”是“方程x2m－1＋y23－m＝1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B.答案：B5．已知椭圆的方程为x 28＋y 2m 2＝1，焦点在x 轴上，则其焦距为( )A ．28－m 2B ．222－|m |C ．2m 2－8D ．2|m |－2 2答案：A二、填空题6．a ＝6，c ＝1，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是________________．答案：y 236＋x 235＝17．椭圆x 2100＋y 236＝1上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是________．答案：148．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在 x 轴上的椭圆，则α∈_________________.解析：依题意有sin α＞cos α＞0，因为 α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以π4＜α＜π2. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2三、解答题9．已知一个储油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4 m ，外轮廓线上点到两个焦点距离的和为 3 m ，求这个椭圆的标准方程．解析：根据题意， c ＝1.2, a ＝1.5，所以b ＝a 2－c 2＝2.25－1.44＝0.9，所以椭圆的标准方程为x 22.25＋y 20.81＝1或 x 20.81＋y 22.25＝1 .10．已知方程k 2x 2＋(k 2－2k ＋2)y 2＝k .(1)k 为何值时，方程表示直线？(2) k 为何值时，方程表示圆？(3)k 为何值时，方程表示椭圆？解析：因为k 2－2k ＋2＝(k －1)2＋1≥1，(1)当 k 2＝0，即k ＝0时，方程表示直线，该直线为 y ＝0.(2)若表示圆，则k2－2k＋2＝k2，且k＞0，解得k＝1.(3)若表示椭圆，则k2＞0，k＞0且k2－2k＋2≠k2，解得k＞0，且k≠1.综上知(1)k＝0时，方程表示直线；(2)k＝1时，方程表示圆；(3) k＞0，且k≠1时，方程表示椭圆．。

高二数学限训【题目】2.2.1椭圆及其标准方程一、选择题1．椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( ) A ．4B ．8C ．4或8D ．122．已知椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k 的值为( )A ．－1B ．1C.5D ．－ 53．已知椭圆x 2a 2＋y 22＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( ) A.x 24＋y 22＝1 B.x 23＋y 22＝1 C ．x 2＋y 22＝1 D.x 26＋y 22＝1 4．“1<m <3”是“方程x 2m －1＋y 23－m＝1表示椭圆”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知椭圆x 2m ＋y 216＝1上一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3，到另一个焦点的距离为7，则m 等于( ) A ．10B ．5C ．15D ．256．过椭圆9x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长是( )A.43B ．4C ．8D ．2 2 7．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( ) A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形8．已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有( )A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个【编辑】 阮士尧 【审核】 史文玲 孟德厚 【使用时间】 2019/8/20二、填空题9．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.10．若椭圆x 2100＋y 264＝1的焦点分别为F 1，F 2，椭圆上一点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是________．11．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．三、解答题12．求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)；(2)c ∶a ＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.13．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程14．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________．15.如图所示，△ABC 的底边BC ＝12，其他两边AB 和AC 上中线的和为30，求此三角形重心G 的轨迹方程，并求顶点A 的轨迹方程．。

数 列一．基础题组1.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且510S =，1030S =，则15S = （ ） A ．60 B ．70 C ．90 D ．402.已知数列{n a ｝是公差为3的等差数列，且124,,a a a 成等比数列，则10a 等于 （ ） A. 30 B. 27 C.24 D.333.在等比数列{}n a 中, 若362459,27a a a a a ==, 则2a 的值为 （ ） A . 2 B. 3 C. 4 D. 94.已知{}n a 为等差数列，若π8951=++a a a ，则)cos(73a a +的值为 （ ）A ．32B ．32-C ．12D ．12-5.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a = （ ）A.21 B. 22 C. 2 D.2 6.等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=为（ ）A 、12B 、10C 、8D 、32log 5+7.设数列错误！未找到引用源。

的前n 项和为错误！未找到引用源。

，若错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

（ ）A 、错误！未找到引用源。

B 、错误！未找到引用源。

C 、错误！未找到引用源。

D 、错误！未找到引用源。

8.已知数列{}n a ，22n a n n λ=-+，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是 （ ） A. (),6-∞ B. (],4-∞ C. (),5-∞D. (],3-∞9.正项等比数列{}n a 满足142=a a ,133=S ,n n a b 3log =,则数列{}n b 的前10项和是 （ ） A ．65 B ．－65 C ．25 D. －2510.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若65911a a =，则119SS ＝ （ ） A.1 B.－1 C. 2D.12二．能力题组1.n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，26S S =，41a =，正项等比数列{}n b 中，245b a a =-，25124b b b =， 则210log b = （ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．112.若数列{}n a 满足212n na p a +=（p 为正常数，n *∈N ），则称{}n a 为“等方比数列”． 甲：数列{}n a 是等方比数列； 乙：数列{}n a 是等比数列，则 （ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 3.已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若4321228a a a a +--=，则872a a +的最小值为______. 4.数列{}n a 的通项公式cos2n n a n π=，其前n 项和为n S ，则2013S = ． 5.已知数列{n a ｝的前n 项和为n S ，且12n n S a +=，则使不等式22211252n n a a a ++++<⨯成立的n 的最大值为 ． 6.n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若24121n n a n a n -=-，则2n n S S = ．7.已知等比数列错误！未找到引用源。

3.1函数与方程一、填空题1．已知方程2x＝10－x 的根x ∈(k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________.解析 设f (x )＝2x＋x －10，则由f (2)＝－4＜0，f (3)＝1＞0，所以f (x )的零点在(2,3)内． 答案 22．已知a 是函数f (x )＝2x－log 12x 的零点，若0＜x 0＜a ，则f (x 0)的值满足________(与零的关系)．解析 因为f (x )是(0，＋∞)上的增函数，且f (a )＝0，于是由0＜x 0＜a ，得f (x 0)＜f (a )＝0，即f (x 0)＜0. 答案 f (x 0)＜03．若函数f (x )＝ax ＋b 的零点为2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________． 解析 由f (x )＝ax ＋b 有零点2，得2a ＋b ＝0(a ≠0)，代入g (x )，得g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)，它有零点x ＝0和x ＝－12.答案 0，－124．设函数y (x )＝13x －ln x (x ＞0)，则函数f (x )在区间(0,1)，(1，＋∞)内的零点个数分别为________．解析 设y ＝13x 与y ＝ln x ，作图象可知f (x )在区间(0,1)内无零点，在(1，＋∞)内仅有两个零点．答案 0,25．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )＞0的解集是________． 解析 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2,3. ∴－2,3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3＝－a ，－2×3＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－6，∴f (x )＝x 2－x －6.∵不等式af (－2x )＞0， 即－(4x 2＋2x －6)＞0⇔2x 2＋x －3＜0，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －32＜x ＜1.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32＜x ＜16.已知函数()421xxf x m =+⋅+有且只有一个零点,则实数m 的值为 .解析 由题知:方程4210x xm +⋅+=只有一个零点.令2(0)xt t =>,∴方程210t m t +⋅+=只有一个正根.∴由图象(图略)可知20240m m ⎧->,⎪⎨⎪∆=-=.⎩∴m=-2.答案 -27．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0.若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析 画出图象，令g (x )＝f (x )－m ＝0，即f (x )与y ＝m 的图象的交点有3个， ∴0＜m ＜1.答案 (0,1)8．偶函数f (x )在区间为[0，a ](a ＞0)上是单调，函数，且f (0)·f (a )＜0，则方程f (x )＝0在区间[－a ，a ]内根的个数是________．解析 由f (0)·f (a )＜0，且f (x )在[0，a ](a ＞0)上单调，知f (x )＝0在[0，a ]上有一根，又函数f (x )为偶函数，f (x )＝0在[－a,0]上也有一根． 所以f (x )＝0在区间[－a ，a ]内有两个根． 答案 29．设函数f (x )＝x 2－ax ＋a ＋3，g (x )＝ax －2a .若存在x 0∈R ，使得f (x 0)＜0与g (x 0)＜0同时成立，则实数a 的取值范围是________． 解析 g (x )＝ax －2a ＝a (x －2)，当a ＜0时，x ＞2，由f (2)＜0，得4－2a ＋a ＋3＜0，a ＞7，舍去； 当a ＞0时，x ＜2，由f (2)＜0，得4－2a ＋a ＋3＜0，a ＞7.综上，a ∈(7，＋∞)． 答案 (7，＋∞)10.若二次函数2y ax bx c =++中ac<0,则函数的零点个数是______个． 解析 令20ax bx c ++=,因0a ≠,判别式240b ac ∆=->,故函数必有两个零点. 答案 211．已知函数f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…＋x 2 0112 011，g (x )＝1－x ＋x 22－x 33＋x 44－…－x 2 0112 011，设F (x )＝f (x ＋3)·g (x －3)，且函数F (x )的零点均在区间[a ，b ] (a ＜b ，a ，b ∈Z )内，则b －a 的最小值为________． 解析 由f ′(x )＝1－x ＋x 2－x 3＋…＋x2 010＝1＋x2 0111＋x，则f ′(x )＞0，f (x )为增函数，又f (0)＝1＞0，f (－1)＜0，从而f (x )的零点在(－1,0)上；同理g (x )为减函数，零点在(1,2)上，∴F (x )的零点在(－4，－3)和(4,5)上，要区间[a ，b ]包含上述区间(b －a )min ＝9. 答案 912．若直角坐标平面内两点P 、Q 满足条件： ①P 、Q 都在函数f (x )的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对(P ，Q )是函数f (x )的一个“友好点对”(点对(P ，Q )与(Q ，P )看作同一个“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋4x ＋1，x ＜0，2ex ，x ≥0，则f (x )的“友好点对”有________个．解析 根据题意：“友好点对”，可知，只须作出 函数y ＝2x 2＋4x ＋1(x ＜0)的图象关于原点对称的图象， 看它与函数y ＝2e x (x ≥0)交点个数即可．如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2. 即f (x )的“友好点对”有：2个． 答案 213．已知函数f (x )＝x 2＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则实数k 的取值范围是________．解析 因为Δ＝(1－k )2＋4k ＝(1＋k )2≥0对一切k ∈R 恒成立，又k ＝－1时，f (x )的零点x ＝－1∉(2,3)，故要使函数f (x )＝x 2＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则必有f (2)·f (3)＜0，即2＜k ＜3. 答案 (2,3) 二、解答题14．若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围．解析 (1)当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点．(2)当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根．∴Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14.综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点．15．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m 的取值范围．解析 令f (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14， 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，f4＜0或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，f4＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，26m ＋38＜0或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，26m ＋38＞0.解得－1913＜m ＜0，即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1913，0. 16已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点． 思路分析 由题意可知，方程4x ＋m ·2x＋1＝0仅有一个实根，再利用换元法求解． 解析 ∵f (x )＝4x ＋m ·2x＋1有且仅有一个零点， 即方程(2x )2＋m ·2x＋1＝0仅有一个实根． 设2x ＝t (t ＞0)，则t 2＋mt ＋1＝0. 当Δ＝0时，即m 2－4＝0，∴m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1(不合题意，舍去)， ∴2x＝1，x ＝0符合题意．当Δ＞0时，即m ＞2或m ＜－2时，t 2＋mt ＋1＝0有两正或两负根，即f (x )有两个零点或没有零点． ∴这种情况不符合题意．综上可知：m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0.【点评】 方程的思想是与函数思想密切相关的，函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题来解决，本题就是函数的零点的问题转化为方程根的问题． 17．已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a ，如果函数y ＝f (x )在区间 [－1,1]上有零点，求a 的取值范围．解析 当a ＝0时，函数f (x )＝2x －3的零点x ＝32∉[－1,1]．当a ≠0时，函数f (x )在[－1,1]上的零点可能有一个与两个这两种情况． ①函数在区间[－1,1]上只有一个零点，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－8a －3－a ＞0，f －1f1＝a －5a －1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－8a －3－a ＝0，－1≤－12a ≤1，解得1≤a ≤5或a ＝－3－72.②函数在区间[－1,1]上有两个零点，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0Δ＝4－8a －3－a ＞0，－1＜－12a ＜1，f 1≥0，f －1≥0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝4－8a －3－a ＞0，－1＜－12a＜1，f 1≤0，f －1≤0，解得a ＜－3－72或a ≥5.综上，得a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－3－72∪[5，＋∞)．18．(1)m 为何值时，f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4. ①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；(2)若函数f (x )＝|4x －x 2|＋a 有4个零点，求实数a 的取值范围．解析 (1)①f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4有且仅有一个零点⇔方程f (x )＝0有两个相等实根⇔Δ＝0，即4m 2－4(3m ＋4)＝0，即m 2－3m －4＝0，∴m ＝4或m ＝－1. ②法一 设f (x )的两个零点分别为x 1，x 2， 则x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝3m ＋4.由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4m 2－43m ＋4＞0，x 1＋1x 2＋1＞0，x 1＋1＋x 2＋1＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －4＞0，3m ＋4－2m ＋1＞0，－2m ＋2＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＞4或m ＜－1，m ＞－5，m ＜1，∴－5＜m ＜－1.故m 的取值范围为(－5，－1)．法二 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，－m ＞－1，f －1＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －4＞0，m ＜1，1－2m ＋3m ＋4＞0.∴－5＜m ＜－1.∴m 的取值范围为(－5，－1)．(2)令f (x )＝0，得|4x －x 2|＋a ＝0， 则|4x －x 2|＝－a . 令g (x )＝|4x －x 2|，h (x )＝－a .作出g (x )，h (x )的图象． 由图象可知，当0＜－a ＜4，即－4＜a ＜0时，g (x )与h (x )的图象有4个交点，。

2.2.1 椭圆及其标准方程[A 基础达标]1.若椭圆x 225＋y 24＝1上一点P 到焦点F 1的距离为3,则点P 到另一焦点F 2的距离为 ( )A.6B.7C.8D.9解析：选B.根据椭圆的定义知,|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×5＝10,因为|PF 1|＝3,所以|PF 2|＝7.2.若椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2,则m 的值为( )A.5B.3C.5或3D.8解析：选C.由题意得c ＝1,a 2＝b 2＋c 2.当m >4时,m ＝4＋1＝5；当m <4时,4＝m ＋1,所以m ＝3.3.如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数a 的取值范围是( )A.a >3B.a <－2C.a >3或a <－2D.a >3或－6<a <－2解析：选D.由a 2>a ＋6>0得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －6>0，a ＋6>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <－2或a >3，a >－6，所以a >3或－6<a <－2. 4.已知P 为椭圆C 上一点,F 1,F 2为椭圆的焦点,且|F 1F 2|＝23,若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|,则椭圆C 的标准方程为( )A.x 212＋y 29＝1B.x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1 C.x 29＋y 212＝1 D.x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1 解析：选B.由已知2c ＝|F 1F 2|＝23,所以c ＝ 3. 因为2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43, 所以a ＝23,所以b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.5.椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2,N 是MF 1的中点,则|ON |等于( )A.2B.4C.6D.32解析：选B.设椭圆的另一个焦点为F 2,因为椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2,即|MF 1|＝2,又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10,所以|MF 2|＝8. 因为N 是MF 1的中点,O 是F 1F 2的中点, 所以|ON |＝12|MF 2|＝4.6.已知椭圆的焦点在y 轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为215,则此椭圆的标准方程为__________.解析：由已知2a ＝8,2c ＝215, 所以a ＝4,c ＝15, 所以b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1. 又椭圆的焦点在y 轴上,所以椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1.答案：y 216＋x 2＝17.已知椭圆C 经过点A (2,3),且点F (2,0)为其右焦点,则椭圆C 的标准方程为____________.解析：法一：依题意,可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0),且可知左焦点为F ′(－2,0).从而有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2,所以b 2＝12, 故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.法二：依题意,可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0),则⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4，解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去), 从而a 2＝16.所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.答案：x 216＋y 212＝18.椭圆的两焦点为F 1(－4,0),F 2(4,0),点P 在椭圆上,若△PF 1F 2的面积最大为12,则椭圆的标准方程为____________.解析：如图,当P 在y 轴上时△PF 1F 2的面积最大,所以12×8b ＝12,所以b ＝3.又因为c ＝4,所以a 2＝b 2＋c 2＝25.所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.答案：x 225＋y 29＝19.求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为F 1(－4,0),F 2(4,0),并且椭圆上一点P 与两焦点的距离的和等于10；(2)焦点分别为(0,－2),(0,2),经过点(4,32).解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上,且c ＝4,2a ＝10,所以a ＝5,b ＝a 2－c 2＝25－16＝3,所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)因为椭圆的焦点在y 轴上,所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0).法一：由椭圆的定义知2a ＝（4－0）2＋（32＋2）2＋（4－0）2＋（32－2）2＝12,解得a ＝6.又c ＝2,所以b ＝a 2－c 2＝4 2.所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1.法二：因为所求椭圆过点(4,32),所以18a 2＋16b2＝1.又c 2＝a 2－b 2＝4,可解得a 2＝36,b 2＝32, 所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1.10.已知B ,C 是两个定点,|BC |＝8,且△ABC 的周长等于18,求这个三角形的顶点A 的轨迹方程.解：以过B ,C 两点的直线为x 轴,线段BC 的垂直平分线为y 轴,建立直角坐标系xOy ,如图所示.由|BC |＝8,可知点B (－4,0),C (4,0). 由|AB |＋|AC |＋|BC |＝18,|BC |＝8, 得|AB |＋|AC |＝10.因此,点A 的轨迹是以B ,C 为焦点的椭圆,这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10,c ＝4,但点A 不在x 轴上.由a ＝5,c ＝4,得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9. 所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0).[B 能力提升]11.已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点,M ,N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点,则|PM |＋|PN |的最小值为( )A.5B.7C.13D.15解析：选B.由题意知椭圆的两个焦点F 1,F 2分别是两圆的圆心,且|PF 1|＋|PF 2|＝10,从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.12.(2019·汕头高二检测)设F 1,F 2为椭圆x 29＋y 2＝1的两个焦点,点P 在椭圆上,若线段PF 1的中点在y 轴上,则|PF 2||PF 1|的值为( )A.113B.115C.117D.119解析：选C.因为线段PF 1的中点在y 轴上,所以PF 2⊥x 轴,|PF 2|＝b 2a ＝13,|PF 1|＝2a －|PF 2|＝6－13＝173,所以|PF 2||PF 1|＝117.13.如图所示,已知椭圆的两焦点为F 1(－1,0),F 2(1,0),P 为椭圆上一点,且2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|.(1)求椭圆的标准方程；(2)若点P 在第二象限,∠F 2F 1P ＝120°,求△PF 1F 2的面积.解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0),焦距为2c ,则由已知得c ＝1,|F 1F 2|＝2,所以4＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a ,所以a ＝2, 所以b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3, 所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)在△PF 1F 2中,|PF 2|＝2a －|PF 1|＝4－|PF 1|.由余弦定理,得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|·cos 120°, 即(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|, 所以|PF 1|＝65,所以S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|PF 1|·sin 120°＝12×2×65×32＝335.14.(选做题)设F 1,F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点,B 为椭圆上的点且坐标为(0,－1).(1)若P 是该椭圆上的一个动点,求|PF 1|·|PF 2|的最大值； (2)若C 为椭圆上异于B 的一点,且BF →1＝λ CF →1,求λ的值； (3)设P 是该椭圆上的一个动点,求△PBF 1的周长的最大值.解：(1)因为椭圆的方程为x 24＋y 2＝1,所以a ＝2,b ＝1,c ＝3,即|F 1F 2|＝23,又因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4,所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4,当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝2时取“＝”,所以|PF 1|·|PF 2|的最大值为4. (2)设C (x 0,y 0),B (0,－1),F 1(－3,0), 由BF →1＝λ CF →1, 得x 0＝3（1－λ）λ,y 0＝－1λ.又x 204＋y 20＝1,所以有λ2＋6λ－7＝0,解得λ＝－7或λ＝1,C 异于B 点,故λ＝1舍去,所以λ＝－7.(3)因为|PF 1|＋|PB |＝4－|PF 2|＋|PB |≤4＋|BF 2|,所以△PBF 1的周长≤4＋|BF 2|＋|BF 1|＝8,所以当P 点位于直线BF 2与椭圆的交点处时,△PBF 1的周长最大,最大值为8.。

2.2.1 椭圆及其标准方程(一)一、选择题1．已知椭圆x 29＋y 25＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则P 到另一个焦点的距离为( ) A ．1B ．4C ．3D ．25－22．已知椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k 的值为( )A ．－1B ．1 C. 5 D ．－ 53．已知椭圆x 2a 2＋y 22＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( ) A.x 24＋y 22＝1 B.x 23＋y 22＝1 C ．x 2＋y 22＝1 D.x 26＋y 22＝1 4．“1<m <3”是“方程x 2m －1＋y 23－m＝1表示椭圆”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．设α∈(0，π2)，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围为( ) A ．(0，π4] B ．(π4，π2) C ．(0，π4) D ．[π4，π2) 6．过椭圆9x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的三角形ABF 2的周长是( )A.43B ．4C ．8D ．2 2 二、填空题7．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左，右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．8．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.9．已知椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O 为坐标原点，那么线段ON 的长是________．10．若椭圆x 2100＋y 264＝1的焦点分别为F 1，F 2，椭圆上一点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是________．三、解答题11．一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．12．已知点P 是椭圆x 24＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点． (1)当∠F 1PF 2＝60°时，求△F 1PF 2的面积；(2)当∠F 1PF 2为钝角时，求点P 横坐标的取值范围．13．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．参考答案1．B [由椭圆的定义知P 到两焦点的距离之和等于2a ＝6， 故所求距离为6－2＝4，故选B.]2．B [原方程可化简为x 2＋y 25k＝1，因c 2＝5k －1＝4，得k ＝1.]3．D [由题意知a 2－2＝4，∴a 2＝6.∴所求椭圆的方程为x 26＋y 22＝1.]4．B [当方程x 2m －1＋y 23－m ＝1表示椭圆时，必有⎩⎪⎨⎪⎧ m －1>0，3－m >0，m －1≠3－m ，所以1<m <3且m ≠2；当m ＝2时，方程变为x 2＋y 2＝1，它表示一个圆．]5．C [由题意知，cos α>sin α>0，∴tan α<1，∵α∈(0，π2)，∴0<α<π4.故选C.]6．B [方程可化为x 219＋y 2＝1，∴焦点在y 轴上，且a 2＝1，∴a ＝1.∴△ABF 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＋|BF 1|＝2a ＋2a ＝4a ＝4.故选B.]7．15解析 由椭圆定义知|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋2×5－|PF 2|，而|PM |－|PF 2|≤|MF 2|＝5，所以|PM |＋|PF 1|≤2×5＋5＝15.8．8解析 由椭圆的定义得|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝10，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝10，∴|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝20.又∵|F 2A |＋|F 2B |＝12，∴|AB |＝|AF 1|＋|BF 1|＝8.9．4解析 设椭圆的另一个焦点为E ，则|MF |＋|ME |＝10，∴|ME |＝8，又ON 为△MEF 的中位线，∴|ON |＝12|ME |＝4. 10.6433解析 由已知得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝20，|F 1F 2|＝2c ＝12.由余弦定理，知(2c )2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 60°， 即144＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1|·|PF 2|，∴|PF 1|·|PF 2|＝2563， ∴S 12F PF ＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝6433. 11．解 两定圆的圆心与半径分别为O 1(－3,0)，r 1＝1；O 2(3,0)，r 2＝9.设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R .则由题设条件可得|MO 1|＝1＋R ，|MO 2|＝9－R .∴|MO 1|＋|MO 2|＝10>|O 1O 2|＝6.由椭圆的定义知M 在以O 1，O 2为焦点的椭圆上，且a ＝5，c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16.故动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1. 12．解 (1)由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4，① 且F 1(－3，0)，F 2(3，0)．在△F 1PF 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°.②由①②得|PF 1|·|PF 2|＝43. 所以12PF F S ＝12|PF 1|· |PF 2|sin ∠F 1PF 2＝33. (2)设点P (x ，y )，由已知∠F 1PF 2为钝角，得·<0， 即(x ＋3，y )·(x －3，y )<0，又y 2＝1－x 24，所以34x 2<2， 解得－263<x <263， 所以点P 横坐标的取值范围是－263<x <263. 13．解 设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)． 设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)．∵F 1A ⊥F 2A, ∴·＝0，而＝(－4＋c,3)，＝(－4－c,3)，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0，∴c 2＝25，即c＝5.∴F1(－5,0)，F2(5,0)．∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝(－4＋5)2＋32＋(－4－5)2＋32＝10＋90＝410.∴a＝210，∴b2＝a2－c2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x240＋y215＝1.。

2.2.1椭圆及其标准方程1．椭圆63222=+y x 的焦距是 （ ）A ．2B ．)23(2-C ．52D ．)23(2+2．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是（ ） A ．椭圆B ．直线C ．线段D ．圆3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是（ ）A ．14822=+x y B ．161022=+x y C ．18422=+x y D ．161022=+y x4．方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 （ ） A ．),0(+∞B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）5. 过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是（ ）A. 22B. 2C. 2D. 16. 已知k ＜4，则曲线14922=+y x 和14922=-+-k y k x 有（ ） A. 相同的准线 B. 相同的焦点 C. 相同的离心率 D. 相同的长轴7．已知P 是椭圆13610022=+y x 上的一点，若P 到椭圆右焦点的距离是534，则点P 到左焦点的距离是（ ）A ．516B ．566 C ．875 D ．8778．若点P 在椭圆1222=+y x 上，1F 、2F 分别是椭圆的两焦点，且ο9021=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是（ ）A. 2B. 1C.23 D. 21 9．椭圆1449422=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（ ）A ．01223=-+y xB ．01232=-+y xC ．014494=-+y xD ． 014449=-+y x10．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）A ．3B ．11C ．22D ．10一、 填空题：11．椭圆2214x y m +=的离心率为12，则m = 。

2.2.1 椭圆及其标准方程(建议用时：40分钟)一、选择题1．椭圆x 225＋y 2169＝1的焦点坐标为( )A ．(5,0)，(－5,0)B ．(0,5)，(0，－5)C ．(0,12)，(0，－12)D ．(12,0)，(－12,0)【答案】C [c 2＝169－25＝144.c ＝12，故选C.]2．已知椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－4和点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，3，则此椭圆的标准方程是( ) A ．x 2＋y 225＝1B.x 225＋y 2＝1或x 2＋y 225＝1 C.x 225＋y 2＝1 D ．以上都不对【答案】A [设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )， 则⎩⎪⎨⎪⎧925m ＋16n ＝1，1625m ＋9n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝125.∴椭圆的方程为x 2＋y 225＝1.]3．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于( )A ．5B ．4C ．3D ．1【答案】B [由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，由22＋42＝(25)2，可知△F 1PF 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×4×2＝4，故选B.]4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．线段D ．直线【答案】B [|PF 1|＋|PO |＝12|MF 1|＋12|MF 2|＝12(|MF 1|＋|MF 2|)＝a >|F 1O |，因此点P 的轨迹是椭圆．]5．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(3，＋∞)∪(－∞，－2)D ．(3，＋∞)∪(－6，－2)【答案】D [由于椭圆的焦点在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞a ＋6，a ＋6＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋2)(a －3)＞0，a ＞－6.解得a ＞3或－6＜a ＜－2，故选D.] 二、填空题6．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为____________.【答案】x 24＋y 23＝1 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝3a －c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3，故椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.]7．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.【答案】3 [依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|·|PF 2|＝18，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，故有b ＝3.]8．已知P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的一动点，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹方程是________．【答案】(x ＋1)2＋y 2＝16 [如图，依题意，|PF 1|＋|PF 2|＝2a (a 是常数且a ＞0)．又|PQ |＝|PF 2|， ∴|PF 1|＋|PQ |＝2a ， 即|QF 1|＝2a .由题意知，a ＝2，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝4－3＝1. ∴|QF 1|＝4，F 1(－1,0)，∴动点Q 的轨迹是以F 1为圆心，4为半径的圆， ∴动点Q 的轨迹方程是(x ＋1)2＋y 2＝16.] 三、解答题9．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点．设椭圆C 上一点⎝⎛⎭⎪⎫3，32到两焦点F 1，F 2的距离和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标．【答案】∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4， ∴2a ＝4，a 2＝4， ∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32是椭圆上的一点， ∴(3)24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，∴b 2＝3，∴c 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．10．已知点A (0，3)和圆O 1：x 2＋(y ＋3)2＝16，点M 在圆O 1上运动，点P 在半径O 1M 上，且|PM |＝|PA |，求动点P 的轨迹方程.【答案】因为|PM |＝|PA |，|PM |＋|PO 1|＝4， 所以|PO 1|＋|PA |＝4， 又因为|O 1A |＝23<4，所以点P 的轨迹是以A ，O 1为焦点的椭圆，所以c ＝3，a ＝2，b ＝1.所以动点P 的轨迹方程为x 2＋y 24＝1.1．已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x轴的距离为( )A.233 B ．.263C.33D. 3【答案】C [设M (x 0，y 0)，由F 1(－3，0)，F 2(3，0)得MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)，由MF 1→·MF 2→＝0得x 20＋y 20＝3， 又x 204＋y 20＝1，解得y 0＝±33. 即点M 到x 轴的距离为33，故选C.] 2.如图2­2­3，∠OFB ＝π6，△ABF 的面积为2－3，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为一个焦点的椭圆方程为__________．图2­2­3【答案】x 28＋y 22＝1 [设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意可知，|OF |＝c ，|OB |＝b ，∴|BF |＝a .∵∠OFB ＝π6，∴b c ＝33，a ＝2b .∴S △ABF ＝12·|AF |·|BO |＝12(a －c )·b ＝12(2b －3b )b ＝2－3，解得b 2＝2，则a ＝2b ＝2 2. ∴所求椭圆的方程为x 28＋y 22＝1.]3．若椭圆2kx 2＋ky 2＝1的一个焦点为(0，－4)，则k 的值为________.【答案】k ＝132 [易知k >0，方程2kx 2＋ky 2＝1变形为y 21k ＋x 212k ＝1，所以1k －12k＝16，解得k ＝132.]4．如图2­2­4所示，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2＝________.图2­2­4【答案】2 3 [设正三角形POF 2的边长为c ，则34c 2＝3， 解得c ＝2，从而|OF 2|＝|PF 2|＝2，连接PF 1(略)，由|OF 1|＝|OF 2|＝|OP |知，PF 1⊥PF 2 则|PF 1|＝|F 1F 2|2－|PF 2|2＝42－22＝2 3 所以2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝23＋2，即a ＝3＋1 所以b 2＝a 2－c 2＝(3＋1)2－4＝2 3.]5．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点(如图2­2­5所示)，∠F 1F 2B ＝2π3，△F 1F 2A 的面积是△F 1F 2B 面积的2倍．若|AB |＝152，求椭圆C 的方程． 图2­2­5【答案】由题意可得S △F 1F 2A ＝2S △F 1F 2B ，∴|F 2A |＝2|F 2B |， 由椭圆的定义得 |F 1B |＋|F 2B | ＝|F 1A |＋|F 2A |＝2a ， 设|F 2A |＝2|F 2B |＝2m ， 在△F 1F 2B 中，由余弦定理得(2a －m )2＝4c 2＋m 2－2·2c ·m ·cos 2π3⇒m ＝2(a 2－c 2)2a ＋c.在△F 1F 2A 中，同理可得m ＝a 2－c 22a －c，所以2(a 2－c 2)2a ＋c ＝a 2－c 22a －c ，解得2a ＝3c ，可得m ＝5c 8，|AB |＝3m ＝15c 8＝152，c ＝4.由c a ＝23，得a ＝6，b 2＝20， 所以椭圆C 的方程为x 236＋y 220＝1.。

新人教A版必修5一、选择题1．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数是( ) A．92 B．47 C．46 D．452．设等差数列{a n}中，已知a1＝13，a2＋a5＝4，a n＝33，则n是( )A．48 B．49 C．50 D．513．等差数列{a n}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{a n}的通项公式是( )A．a n＝2n－2 (n∈N*)B．a n＝2n＋4 (n∈N*)C．a n＝－2n＋12 (n∈N*)D．a n＝－2n＋10 (n∈N*)4．已知a＝13＋2，b＝13－2，则a，b的等差中项为( )A. 3B. 2C.13D.125．若a≠b，两个等差数列a，x1，x2，b与a，y1，y2，y3，b的公差分别为d1，d2，则d1d2等于( )A.32B.23C.43D.346．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |＝( )A ．1 B.34 C.12 D.38二、填空题7．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________.8．一个直角三角形三边长a 、b 、c 成等差数列，面积为12，则它的周长为__________．三、解答题17．已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217，试判断153是不是这个数列 的项，如果是，是第几项？19 数列｛｝满足 （n ≥2） 设（1）证明数列｛｝是等差数列;（2）求数｛｝列的通项公式2-2-1 同步检测1 C2 C3 D4 A5 C6 C7 138 1229[证明] ∵1a ，1b ，1c成等差数列， ∴2b ＝1a ＋1c化简得：2ac ＝b (a ＋c )， 又∵b ＋c a ＋a ＋b c ＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ac ＝b (a ＋c )＋a 2＋c 2ac ＝2ac ＋a 2＋c 2ac ＝(a ＋c )2ac ＝(a ＋c )2b (a ＋c )2＝2·a ＋c b， ∴b ＋c a ，c ＋a b ，a ＋b c也成等差数列． 10（1）由可证得。