[gbk] 下述信号被理想采样开关采样

8－2信号的采样和复现的数学描述一、采样过程所谓理想采样，就是把一个连续信号)(t e ，按一定的时间间隔逐点地取其瞬时值，从而得到一串脉冲序列信号)(t e *。

可见在采样瞬时，)(t e *的脉冲强度等于相应瞬时)(t e 的幅值，即)0(T e ,)1(T e ,)2(T e ,…)(nT e ，…如图8－8所示。

因此，理想采样过程可以看成是一个幅值调制过程，如图8－9所示。

采样器好比是一个幅值调制器，理想脉冲序列)(t T d 作为幅值调制器的载波信号，)(t T d 的数学表达式为奥==-n nT)-(t )(d d t T (8－1)其中=n 0,±1,±2,…)(t e 调幅后得到的信号，即采样信号)(t e *为å¥-¥=*-==n T nT t t e t t e t e )()()()()(d d (8－2)通常在控制系统中，假设当0<t 时，信号0)(=t e ，因此L+-+-+=*)2()2()()()()0()(T t T e T t T e t e t e d d d L+-+)()(nT t nT e d (8－3)或å¥=*-=0)()()(n nT t nT e t e d (8－4)式(8－4)为一无穷项和式，每一项中的)(nT t -d 表示脉冲出现的时刻；而)(nT e 代表这一时刻的脉冲强度。

式(8－2)或(8－4)表示了采样前的连续信号与采样后的离散信号之间的关系。

然而，一个值得提出的问题是：采样后的断续信号能否全面而真实地代表原来的连续信号呢?或者说它是否包含了原连续信号的全部信息呢?因为从采样(离散化)过程来看，“采样”是有可能会损失信息的。

下面我们将从频率域着手研究这个问题。

二、采样信号的频谱假设连续信号)(t e 的富氏变换式为)(w j E ，采样后信号*()e t 的富氏变换式用*()E j w 表示，下面我们来看)(w j E *的具体表达式。

页脚内容1数字信号处理习题解答 第二章 数据采集技术基础2.1 有一个理想采样系统，其采样角频率Ωs =6π，采样后经理想低通滤波器H a (j Ω)还原，其中⎪⎩⎪⎨⎧≥Ω<Ω=Ωππ30321)(，，j H a 现有两个输入，x 1(t )=cos2πt ，x 2(t )=cos5πt 。

试问输出信号y 1(t )，y 2(t )有无失真？为什么？ 分析：要想时域采样后能不失真地还原出原信号，则采样角频率Ωs 必须大于等于信号谱最高角频率Ωh 的2倍，即满足Ωs ≥2Ωh 。

解：已知采样角频率Ωs =6π，则由香农采样定理，可得 因为x 1(t )=cos2πt ，而频谱中最高角频率πππ32621=<=Ωh ，所以y 1(t )无失真； 因为x 2(t )=cos5πt ，而频谱中最高角频率πππ32652=>=Ωh ，所以y 2(t )失真。

2.2 设模拟信号x (t )=3cos2000πt +5sin6000πt +10cos12000πt ，求：（1） 该信号的最小采样频率；（2） 若采样频率f s =5000Hz ，其采样后的输出信号；分析：利用信号的采样定理及采样公式来求解。

○1采样定理 采样后信号不失真的条件为：信号的采样频率f s 不小于其最高频率f m 的两倍，即页脚内容2f s ≥2f m○2采样公式 )()()(s nT t nT x t x n x s===解：（1）在模拟信号中含有的频率成分是f 1=1000Hz ，f 2=3000Hz ，f 3=6000Hz∴信号的最高频率f m =6000Hz由采样定理f s ≥2f m ，得信号的最小采样频率f s =2f m =12kHz （2）由于采样频率f s =5kHz ，则采样后的输出信号⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛====n n n n n n n n n n n f n x nT x t x n x s s nT t s522sin 5512cos 13512cos 10522sin 5512cos 35112cos 105212sin 5512cos 3562cos 10532sin 5512cos 3)()()(πππππππππππ 说明：由上式可见，采样后的信号中只出现1kHz 和2kHz 的频率成分，即kHzf f f kHzf f f ss 25000200052150001000512211======，，页脚内容3若由理想内插函数将此采样信号恢复成模拟信号，则恢复后的模拟信号()()t t t f t f t y ππππ4000sin 52000cos 132sin 52cos 13)(21-=-=可见，恢复后的模拟信号y (t ) 不同于原模拟信号x (t )，存在失真，这是由于采样频率不满足采样定理的要求，而产生混叠的结果。

实验六 信号与系统实验1.信号的采样与恢复实验1.1实验目的(1)熟悉信号的采样与恢复的过程(2)学习和掌握采样定理(3)了解采样频率对信号恢复的影响1.2实验原理及内容(1)采样定理采样定理论述了在一定条件下，一个连续时间信号完全可以用该信号等时间间隔上瞬时值表示，这些值包含该信号全部信息，利用这些值可以恢复原信号。

采样定理是连续时间信号与离散时间信号的桥梁。

采样定理：对于一个具有有限频谱且最高频率为max w 的连续信号进行采样，当采样频率s w >=2max w 时，采样函数能够无失真地恢复出原信号。

(2)采样信号的频谱连续周期信号经过周期矩形脉冲抽样后，抽样信号的频谱为)]([)2()(s n s s nw w j F nw Sa T A jw F -=∑+∞-∞=ττ 它包含了原信号频谱以及重复周期为s w 的原信号频谱的搬移，且幅度按)2(ττs nw Sa T A 规律变化。

所以抽样信号的频谱便是原信号频谱的周期性拓延。

（3）采样信号的恢复将采样信号恢复成原信号，可以是用低通滤波器。

低通滤波器的截止频率c f 应当满足max max f f f f x c -≤≤。

实验中采用的低通滤波器的截止频率固定为Hz RCf 8021≈=π （4）单元构成本实验电路由脉冲采样电路和滤波器两部分构成，滤波器部分不再赘述，其中采样保持部分电路由一片CD4052完成。

此电路有两个输入端，其中IN1端输入被采样信号，Pu 端输入采样脉冲。

1.3实验步骤本实验在脉冲与恢复单元完成。

(1)信号的采样1)使波形发生器第一路输出幅值3V 、频率10Hz 的三角波信号；第二路输出幅值5V 、频率100Hz 、占空比50%的脉冲信号，将第一路信号接入IN1端；作为输入信号，第二路信号接入Pu 端，作为采样脉冲。

2)用示波器分别测量IN1端和OUT1端，观察采样前后波形的差异。

3)增加采样脉冲的频率为200、500、800等值。

目录一、绪论 (1)二、设计基本原理 (2)(1) 信号的采样 (2)(2) 信号的重构 (4)三、课题方案设计： (6)四、设计心得体会 (11)参考文献 (12)一、绪论现代通信系统是一个十分复杂的工程系统，通信系统设计研究也是一项十分复杂的技术。

由于技术的复杂性，在现代通信技术中，越来越重视采用计算机仿真技术来进行系统分析和设计。

随着电子信息技术的发展，已经从仿真研究和设计辅助工具，发展成为今天的软件无线电技术，这就使通信系统的仿真研究具有更重要和更实用的意义。

计算机仿真技术的基础，是建立工程问题的数学模型。

只有建立了工程问题的数学模型，才能通过计算机进行仿真，达到对系统分析和检验的目的。

但由于现代通信系统和电子系统的复杂性，在许多时候直接建立数学模型是相当复杂的，也不利于工程使用。

因此，在电子系统的分析和设计中，人们一直希望有一种既能按物理概念直接建立分析和仿真模型，又能提供直观数学模型分析和仿真的工具。

SystemView就是一种比较适合这两种建模方法的现代通信系统设计、分析和仿真试验工具。

通信技术的发展日新月异，通信系统也日趋复杂，因此，在通信系统的设计研发环节中，在进行实际硬件系统试验之前，软件仿真已成为必不可少的一部分。

目前，电子设计自动化EDA(Electronic Design Automatic)技术已经成为电子设计的潮流。

为了使繁杂的电子设计过程更加便捷、高效，出现了许多针对不同层次应用的EDA软件。

美国Elanix公司推出的基于PC机Windows平台的SystemView动态系统仿真软件，是一个已开始流行的、优秀的EDA软件。

它通过方便、直观、形象的过程构建系统，提供丰富的部件资源，强大的分析功能和可视化开放的体系结构，已逐渐被电子工程师、系统开发/设计人员所认可，并作为各种通信、控制及其它系统的分析、设计和仿真平台以及通信系统综合实验平台。

二、设计基本原理抽样是把时间上连续的模拟信号变成一系列时间上离散的抽样值的过程。

(1) 信号的采样信号的采样原理图如下图所示，其数学模型表示为：=其中的f(t)为原始信号，为理想的开关信号（冲激采样信号）δTs(t) =，fs(t)为采样后得到的信号称为采样信号。

由此可见，采样信号在时域的表示为无穷多冲激函数的线性组合，其权值为原始信号在对应采样时刻的定义值。

令原始信号f(t)的傅立叶变换为F(jw)=FT(f(t))，则采样信号fs(t) 的傅立叶变换Fs(jw)=FT(fs(t))=。

由此可见，采样信号fs(t)的频谱就是将原始信号f(t)的频谱在频率轴上以采样角频率ws为周期进行周期延拓后的结果（幅度为原频谱的1/Ts）。

如果原始信号为有限带宽的信号，即当|w|>|wm|时，有F(jw)=0，则有：如果取样频率ws≥2wm时，频谱不发生混叠；否则会出现频谱混叠。

(2) 信号的重构设信号f(t)被采样后形成的采样信号为fs(t)，信号的重构是指由fs(t)经过内插处理后，恢复出原来的信号f(t)的过程。

因此又称为信号恢复。

由前面的介绍可知，在采样频率w s≥2w m的条件下，采样信号的频谱Fs(jw)是以w s为周期的谱线。

选择一个理想低通滤波器，使其频率特性H(j w)满足：H(j w)=式中的wc称为滤波器的截止频率，满足wm≤wc≤ws/2。

将采样信号通过该理想低通滤波器，输出信号的频谱将与原信号的频谱相同。

因此，经过理想滤波器还原得到的信号即为原信号本身。

信号重构的原理图见下图。

通过以上分析，得到如下的时域采样定理：一个带宽为w m的带限信号f(t)，可唯一地由它的均匀取样信号fs(nTs)确定，其中，取样间隔Ts<π/w m, 该取样间隔又称为奈奎斯特（Nyquist）间隔。

根据时域卷积定理，求出信号重构的数学表达式为：式中的抽样函数Sa(wct)起着内插函数的作用，信号的恢复可以视为将抽样函数进行不同时刻移位后加权求和的结果，其加权的权值为采样信号在相应时刻的定义值。

z变换的基本知识z 变换基本知识1 z 变换定义连续系统⼀般使⽤微分⽅程、拉普拉斯变换的传递函数和频率特性等概念进⾏研究。

⼀个连续信号()f t 的拉普拉斯变换()F s 是复变量s 的有理分式函数；⽽微分⽅程通过拉普拉斯变换后也可以转换为s 的代数⽅程，从⽽可以⼤⼤简化微分⽅程的求解；从传递函数可以很容易地得到系统的频率特征。

因此，拉普拉斯变换作为基本⼯具将连续系统研究中的各种⽅法联系在⼀起。

计算机控制系统中的采样信号也可以进⾏拉普拉斯变换，从中找到了简化运算的⽅法，引⼊了z 变换。

连续信号()f t 通过采样周期为T 的理想采样开关采样后，采样信号*()f t 的表达式为0*()()()(0)()()()(2)(2)k f t f kT t kT f t f T t T f T t T δδδδ∞==-=+-+-+∑(3)(3)f T t T δ-+L （1）对式（1）作拉普拉斯变换23*()[*()](0)()(2)(3)sT sT sT F s L f t f f T e f T e f T e ---==++++L()e ksT k f kT ∞-==∑（2）从式（2）可以看出，*()F s 是s 的超越函数，含有较为复杂的⾮线性关系，因此仅⽤拉普拉斯变换这⼀数学⼯具，⽆法使问题简化。

为此，引⼊了另⼀个复变量“z ”，令e sT z =（3）代⼊式（2）并令1ln *()()s z TF x F z ==，得12()(0)()(2)()k k F z F f T z f T z f kT z ∞---==+++=∑L（4）式（4）定义为采样信号*()f t 的z 变换，它是变量z 的幂级数形式，从⽽有利于问题的简化求解。

通常以()[*()]F z L f t =表⽰。

由以上推导可知，z 变换实际上是拉普拉斯变换的特殊形式，它是对采样信号作e sT z =的变量置换。

*()f t 的z 变换的符号写法有多种，如[*()],[()],[()],[*()],()Z f t Z f t Z f k Z F s F z 等，不管括号内写的是连续信号、离散信号还是拉普拉斯变换式，其概念都应该理解为对采样脉冲序列进⾏z 变换。