§6.2 经验分布函数和频率直方图

初中数学什么是数据的频率分布如何绘制数据的频率分布直方图数据的频率分布是指将数据按照不同数值的出现频率进行分类和统计的过程。

频率分布可以帮助我们更好地了解数据的分布情况和特征，并且可以帮助我们计算频率、相对频率和百分比等统计量。

绘制数据的频率分布直方图可以采用以下步骤：1. 收集数据：首先需要收集一组数据，例如学生的考试成绩、某个地区的降雨量等。

2. 确定数据的范围：根据数据的特点和取值范围，确定统计的数据范围。

例如，考试成绩的范围可以是0-100，降雨量的范围可以是0-500毫米。

3. 划分数据的区间：根据数据的范围，将数据划分为若干个区间。

每个区间应该具有相同的宽度，以便进行比较。

例如，考试成绩可以按照10分为一个区间，降雨量可以按照50毫米为一个区间。

4. 统计频数：对于每个区间，统计数据落在该区间内的频数，即该区间内有多少个数据。

5. 计算频率和相对频率：将频数除以总样本数，得到频率。

将频数除以总样本数再乘以100，得到相对频率（百分比）。

频率和相对频率可以用来描述该区间内数据的出现频率和比例。

6. 绘制频率分布直方图：在纵轴上表示频率或相对频率，横轴上表示数据的区间。

根据统计的频率或相对频率数据，将每个区间的频率或相对频率绘制成柱状图。

柱状图的高度表示该区间的频率或相对频率大小。

7. 添加坐标轴和标签：在频率分布直方图上添加纵轴和横轴的坐标轴，并标明各个区间的范围。

8. 添加标题和图例：为频率分布直方图添加标题，用以描述图表的内容。

如果有多组数据的频率分布直方图，可以添加图例以区分不同的数据。

9. 分析频率分布直方图：通过观察频率分布直方图，可以了解数据的分布情况和特征，并且可以计算频率、相对频率和百分比等统计量。

例如，可以观察到频率分布直方图是否呈现正态分布、偏态分布或峰态分布等特征。

需要注意的是，频率分布直方图适用于离散型数据和连续型数据。

对于离散型数据，每个区间应该对应一个具体的数值；对于连续型数据，每个区间应该表示一个数值范围。

直方图与经验分布函数总体X 分布未知samplepopulation直方图（Histogram）总体X 的sample ：12,,,n X X X ":()pdf f x 具体步骤：①Sample 观测值12,,,nX X X "min{,1,X X i n =="max{1,,}X X i n =="(1){,}i (){,n i[a,b]m 个小区间（m<n ）小区间长度可以不等，设分点为②将[,]分成个小区间,小区间长度可以不等设分点为算数率n bt t t a m =<<<="10③ 计算频数j n 及频率1,,jj f j m n==" ④ 作图：],[1t t −为底边,j f 为高作长方形,面积为f (m 个长方形之和为1)j j jt Δj 用直方图对应的分布函数()jn jf x t Φ=Δ1(,]j j x t t −∈1,,j m ="⎧引进“随机变量”11(,]1,2,,0i j j j x t t i n otherwise ξ−⎪∈⎪⎪==⎨⎪⎪"⎪⎩11{(,]}{1}(1)xxj j j p P x t t P p p ξ−−=∈⇐==−由SLLN（kolmogorov）有1n SLLNjj i i n f E pn ξξ===∑→1j n =jt 11{(,]}()j j j t P x t t f x dx −−=∈=∫()n →∞{lim }1P ==n ⇒→∞{j n f p →∞f 近似代替以)(x f 为曲边的曲边梯形的面积。

j 若∞→n ，j t Δ较小时，可用j f x =Φx x t t jn t Δ)(，近似代替()f ,1(,]j j −∈Example 1:原始数据data=[16,25,19,20,25,33,24,23,20,24,25,17,15,21,22,26,15,23,22,24,20,14,16,11,14,28,18,13,27,31,25,24,16,19,23,26,17,14,30,21,18,16,18,19,2022192218262613211311192318242813112515171820,22,19,22,18,26,26,13,21,13,11,19,23,18,24,28,13,11,25,15,17,18,22,16,13,12,13,11,9,15,18,21,15,12,17,13,14,12,16,10,8,23,18,11,16,28,13,21,22,12,8,15,21,18,16,16,19,28,19,12,14,19,28,28,28,13,21,28,191115182418162819151322141624202818182814132819,11,15,18,24,18,16,28,19,15,13,22,14,16,24,20,28,18,18,28,14,13,28,29,24,28,14,18,18,18,8,21,16,24,32,16,28,19,15,18,18,10,12,16,26,18,19,33,8,11,18,27,23,11,22,22,13,28,14,22,18,26,18,16,32,27,25,24,17,17,283816202832192318281524282916171918]28,38,16,20,28,32,19,23,18,28,15,24,28,29,16,17,19,18]数字特征计算：mean(data) median(data) std(data) var(data) skewness(data) kurtosis(data)195650185000592723513140343125599计算结果19.5650 18.5000 5.9272 35.1314 0.3431 2.5599histfit(data,13)35150经验分布函数(Experience DistributedFunction)经验分布函数(Experience Distributed Function)总体X 的分布函数F 未知，Sample 12,,,()()n n X X X F x F x ⇒⇒"构造（)(x F n ）方法：12,,,nX X X "(1)(2)()n X X X ≤≤≤"(1)0x X ⎧≤⎪()()(1)()n k k k F x X x X +⎪⎪⎪⎪=<≤⎨⎪1,2,,1k n =−"()1n n x X ⎪⎪⎪>⎪⎩仿真试验固定,()n X F x ：表示事件{}X x <在n 次试验中出现的频率，1(){}n i F x x X =−∞落在（，）中的个数n 类似可证：{lim )()}1nP F x F x ==（ n →∞Theorem(Glivenko-Cantelli)：对任意给定的自然数n ，设12,,,n X X X " 是取自总体X 分布函数)(x F 的一个样本观测值，)(x F n 为其经验 分布函数，记)()({sup x F x F D nx n −=∞<<∞− 则{lim 0}1n n P D →∞==经验分布函数（数据如前例）程序：[h,stats]=cdfplot(data)[h,stats]cdfplot(data) 程序运行结果：Empirical CDF Empirical CDF统计量及分布统计量（St ti ti Sample X X X "，构造statistics ,poplation 统计量（Statistics）Sample 的函数不含参数的函数p 12,,,n ,p p12(,,,)n T T X X X ="Example 7、Sample,statistics：180952809.52i X X n==∑1154.28S ==∑结论：平均（X ），悬殊（S ）不大Popalatrion X 的SampleX X X "，则常用的Statistics 1X X = (Mean) p p 12,,,n ①i n∑样本均值()1② S =∑ 样本方差（Sample Variance ） ③ 2S S =样本标准差（Standard Variance ）④ 11nkk i i A X n ==∑ 样本k 阶原点矩（Moment ）1nkB =−样本⑤1()k i i X X n =∑k 阶中心矩二维两总体X Y 总体的Sample X Y X Y X Y "则有：(,)p 1122(,),(,),,(,)n n ① 121()(ni i S X X Y Y =−− 样本协方差（Covariance ）1i n =∑S ②Y x S S 12ˆ=ρ 样本相关系数（Correlation Clefficient ）Histogram nn f ii =0x X ⎧⎪≤⎪Experience (1)(1)()()n k k k F x X x X n −⎪⎪⎪⎪=<≤⎨⎪ ()1n x X ⎪⎪⎪>⎪⎪⎩Ordered statistics :Sample X X X"p 12,,,n(1)(2)(1)(2)(),,,n n X X X X X X ≤≤≤⇒"" ()()()()()()1!(1))!()!x F k n k n F x u u du −−⎧⎪⎪=−⎪()(1)0()((1)!(()1(1())k x n x k n k F x F x ⎪−−⎪⎪⎪=−−⎨⎪∫()()(())n n x F x F x ⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎩():'k X k th ordered statistic⇐(1):min X imum ordered statistici d d t ti ti⇐():max n X imum ordered statisticn ()()11!(,)[()][()()][1()](1!(1)!(1)!()!1!i j i j i n j x x f x y F x F y F x F y p i j i n j −−−−=−−−−−−⎧()()2(1)[()()]()()(,)0i n n x x n n F y F x p x p y x y f x y otherwise −⎪−−<⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎩ 11212!()()(,,)n nn n f x f x x x x f x x x ⎧⎪<<<⎪⎪=⎨⎪"""0otherwise⎪⎪⎩X ⎧⎪⎪1()2*()(1)221[]2n n n M X X ++⎪⎪=⎨⎪+⎪⎪⎪⎪⎩ *()(1)n D X X =−反例：..2(,)~i i di X N μσ⇒2111,(),ni X X X μ−∑是1i n σ=Sample二重性Statistic二重性抽样分布2χ分布..22(01)~i i dn=∑"Definition ：1()1,,(0,1)~nin i X X N Y Xχ=⇒Theorem1.1（2χ分布addition ）：k 个相互独立的r.v. 12,,,k Y Y Y "且2~()j j Y n χ，1,,j k ="Then ： 211~()nnj j j j Y Y n χ===∑∑..i i dProof ：2=k 推出：If ：112121,,,,,,(0,1)~n nnn X X X X X N ++""Then⎪⎪⎫∑∑=+=211122121,n j jn n i jX Y X Y 同分布与同分布与 ⎪⎪⎭⎬∑∑==+121112221n i n j jn j X X Y Y 相互独立与相互独立与又⇓同分布与∑∑∑+===+=++=2112112112221n n j j n i n j j n j X X X Y Y YTheorem1.22~==Theorem1.2X χ⇒① n X n EX 2var ②：的pdf X Where10()0xxe dx ααα∞−−Γ=>∫⎧122210n x n x e x n −−⎪⎪>⎪⎪⎪⎪=()2(20f x otherwise Γ⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩Proof ：① ..(0,1)~i i dnii X N X X ⇒∑与同分布1i =且22n nn∑且：111var iii i i i EX E X EXX n=======∑∑（）n EX X E X X X ni iiini i∑∑∑===−===1224212])(([var var(var ））时，X t xty y 22121122−−=−②1=n dt e t dye x P x F 022}{)(∫=∫=<=ππn x −−⎧⎪12212101()2()x e x f x ⎪>⎪⎪⎪⎪=Γ⎨ 20otherwise ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩设：22~(1),~(1),Y n Z Y Z χχ−且与相互独立Then ：同分布与Z Y Y +（2χ分布的可加性）11222221102211()()()()11n yy x x Y n f x f y f x y dy ye x y en −−+∞−−−−−∞=−=⋅−−∫∫2(2()22ΓΓ11112221x n −−−−−12()12()2n eyx y dyn −=−Γ∫1x n n 1111222221(1)112n exzz dzn −−−−−=−−ΓΓ∫()(221221n x x e −−=22(2n n ΓB函数duu uB q p 1111−−−=Beta函数q p 0)(),(∫Beta与Gamma关系)()()(),(),(q P q p P q B q p B +ΓΓΓ==t 分布与F 分布Definition设 2~(0,1)~X N Y n X 与Y 相互独立 则(,)()χ~X=()T t n2⎧211()2x X n x f x π−−−⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎪⎧⎪1221()2n n x −−+Γ=22210()2(2n Y y e y n f y ⎪⎪⎨>⎪⎪⎪⎪⎪=⎪⎨Γ⎪⎪⎪⎪⎪()(1)()2T f x n n n π⇒+Γ00x ⎪⎪⎪≤⎪⎪⎩⎪⎩Definition ：If 21~()X n χ，22~()Y n χ X 与Y 相互独立, themX 112~(,)n T F n n Y =2ndf为类似可得 ),(21n n F 的pdf 为：⎧1121212122212()20n n n n n n n x n x +⎪+⎪Γ⎪⎪⎪⋅>⎪=12212()()()()220f x n n n x n elsewhere⎨⎪ΓΓ+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩性质：①),(~1),(~1221n n F n n F F ⇒F②),1(~)(~2n F XY n t X =⇒③1,n n F =),()(12121n n F αα−分位数（quantile）.:RV X CDF F X,,给定(){}:()F x P X x CDF F x =<⇒给定的值，要确定X 取什么值？ Definition ：设X 的,(){}01CDF F X F X P X X ααααα=<=<<为满足 则称αX 为F 的α分为数（点）若X 有pdf )(x f ，则分为数αX 表示αX 以左的一块阴影面积为α。

频率分布直方图总结知识点一、频率分布直方图的概念频率分布直方图是用矩形条表示不同数值范围内的频率大小，通常横轴表示变量取值范围，纵轴表示频率大小，每一个矩形条代表一个数值范围内的频数或频率。

通过频率分布直方图可以很直观地了解数据的情况，包括集中趋势、离散程度、分布形态等。

频率分布直方图通常用于展示定量数据的分布情况，对于分布形态的观察和分析有很大帮助。

二、频率分布直方图的绘制方法绘制频率分布直方图，首先需要确定数据的分组方式，然后计算每个组别的频数或频率，最后将这些频数或频率用矩形条表示出来。

具体步骤如下：1、确定数据的分组方式。

根据数据的范围和集中趋势等情况，确定每个组别的宽度和数量，通常选择等宽分组或等频分组。

2、计算每个组别的频数或频率。

根据所选的分组方式，对数据进行分组，然后统计每个组别的数据个数或频率大小。

3、绘制直方图。

将每个组别的频数或频率用矩形条表示出来，横坐标为变量的取值范围，纵坐标为频数或频率的大小，通过矩形条的高度来表示频数或频率的大小。

4、添加标签和标题。

在直方图上添加变量名称、频数或频率大小的标签，以及整个图形的标题，使得图形更加清晰和完整。

通过以上步骤，就可以绘制出频率分布直方图，从而观察和分析数据的分布情况。

三、频率分布直方图的解析内容频率分布直方图提供了丰富的信息，可以从多个方面对数据的情况进行解析，主要包括以下几个方面：1、集中趋势。

通过直方图的形状和位置来判断数据的集中趋势，例如对称分布、偏态分布、峰态分布等，从而了解数据的平均值和中位数等位置指标。

2、离散程度。

通过直方图的分布形态和宽窄程度来判断数据的离散程度，例如集中分布、散布分布等，从而了解数据的标准差和离散系数等离散程度指标。

3、分布形态。

通过直方图的形态和峰度来判断数据的分布形态，例如正态分布、偏态分布等，从而了解数据的分布形状和规律性。

4、异常值检测。

通过直方图来观察是否存在异常值或者极端值，从而对数据的异常情况进行检测和判断。

高三频率分布直方图知识点频率分布直方图是统计学中常用的图表，用于展示数据分布的情况。

在高三数学学科中，频率分布直方图是一个重要的知识点。

本文将介绍频率分布直方图的概念、构建方法和解读技巧。

概念频率分布直方图是一种图表，用于展示数据的频率分布情况。

它通过将数据分为若干个等距的区间，并计算每个区间内数据的频数或频率，将这些统计量用矩形条表示在数轴上。

频率分布直方图的横轴表示数据的取值范围，纵轴表示频数或频率。

构建方法构建频率分布直方图的步骤如下：1. 收集数据：首先要收集一组数据，可以是一组观测结果或调查数据。

2. 分组：将数据按照一定的间隔划分为若干个区间，区间的宽度要合适，不要过大或过小。

3. 统计频数或频率：计算每个区间内数据的频数（出现的次数）或频率（占总数的比例）。

4. 根据频数或频率绘制直方图：在数轴上画出与各个区间对应的矩形条，矩形条的高度表示频数或频率。

解读技巧解读频率分布直方图可以帮助我们了解数据的分布情况和规律。

以下是几个解读技巧：1. 中心趋势：观察直方图的峰值所在的区间，可以确定数据的中心趋势。

峰值所在的区间对应的频数或频率最大，表示该区间内的数据最为集中。

2. 离散程度：观察直方图的宽度和高度，可以初步判断数据的离散程度。

如果直方图较窄且高度较高，表示数据较为集中；反之，如果直方图较宽且高度较低，表示数据相对离散。

3. 异常值：观察直方图中是否存在明显偏离其他区间的柱形，这可能是异常值的存在。

异常值可能对数据的整体分布产生较大影响，在进行统计分析时需要予以重视。

4. 相关性：若有多组数据的频率分布直方图，可以进行对比观察，判断不同组数据之间的相关性。

相似的直方图形状表明两组数据具有相似的分布特征，而不同的直方图形状则表明两组数据的分布情况存在差异。

总结频率分布直方图是一种用于展示数据分布情况的图表。

通过构建和解读频率分布直方图，我们可以更直观地了解数据的中心趋势、离散程度、异常值和相关性等信息。

频率分布直方图知识点1. 介绍频率分布直方图是一种用于可视化定量数据分布的图表。

它将数据分割成若干等宽的区间，并显示每个区间的频率或频数。

通过直方图，我们可以直观地了解数据的分布情况，识别异常值和趋势，并得出有关数据集的一些基本统计特征。

2. 绘制频率分布直方图的步骤绘制频率分布直方图的步骤如下：步骤1：确定区间首先，我们需要确定数据的区间个数。

可以根据数据的范围和数据量来选择适当的区间个数。

一般情况下，建议选择5-20个区间。

步骤2：计算区间宽度根据数据的范围和区间个数，计算每个区间的宽度。

宽度可以通过公式(数据范围 / 区间个数)来计算得出。

步骤3：确定每个区间的频数或频率遍历数据集，将每个数据分到对应的区间中。

可以使用逻辑判断或数学公式来确定数据所属的区间。

步骤4：绘制直方图使用柱状图（bar chart）来绘制直方图，其中横轴表示区间，纵轴表示频数或频率。

每个区间对应一个柱状条，柱状条的高度表示该区间的频数或频率。

步骤5：添加标题和标签为直方图添加标题和标签，使得图表更加清晰和易懂。

标题通常描述了数据集的主要特征，标签可以包括横轴和纵轴的名称。

3. 直方图的解读与应用频率分布直方图提供了一种方法来理解数据的分布情况。

通过观察直方图，可以得出以下信息：•数据的中心趋势：观察直方图的峰值，可以推断数据的中心趋势。

峰值较高且集中的直方图表示数据分布较为集中，而峰值较低或分散的直方图表示数据分布较为分散。

•数据的偏斜程度：直方图的偏斜程度可以通过观察分布的形状来判断。

如果数据分布向左偏斜，则直方图的左侧较高；如果数据分布向右偏斜，则直方图的右侧较高；如果数据分布接近对称，则直方图会呈现类似钟型曲线的形状。

•异常值的识别：直方图可以帮助我们识别数据集中的异常值。

异常值通常是与整体数据分布差异较大的值，在直方图中可能会显示为独立的柱状条或与其他柱状条不同高度的柱状条。

直方图的应用广泛，例如在市场调查中，可以通过绘制直方图来分析产品价格的分布；在财务分析中，可以使用直方图来观察公司营收的分布情况；在学术研究中，可以通过绘制直方图来分析样本数据的分布情况。

§6.2直方图和箱线图在数理统计中，我们常常用图形来直观地显示观察到的数据，以便对总体X的分布有一个直观、粗略的了解。

四川大学徐小湛本节讲以下图形：直方图箱线图（自学）经验分布函数及其图形直方图（频率直方图）Histogram百度传课我们通过一个例子来说明直方图的作法。

25 19 39 72 49 58 65 75 68 66 61 78 51 60 45 74 73 77 29 16 90 12 64 61 40 57 40 46 81 51 52 58 73 70 87 33 49 61 83 41 52 46 38 77 63 75 61 45 51 62 51 59 66 68 97 53 54 70 54 54 38 50 83 50最低分和最高分分别是 12 和 97例1 设有64个学生的考试成绩如下：四川大学 徐小湛25 19 39 72 49 58 65 75 68 66 61 78 51 60 45百74度73传7课7显得杂乱无章29 16 90 12 64 61 40 57 40 46 81 51 52 58 73 70 87 33 49 61 83 41 52 46 38 77 63 75 61 45 51 62 51 59 66 68 97 53 54 70 54 54 38 50 83 50 四川大学 徐小湛 用Excel 作出数据的条形图(柱形图)(Bar Chart)四川大学用Excel将成绩排序：121619252933383839404041454546 464949505051515151525253545454 575858596061616161626364656666 68687070727373747575777778818383 87 90 97百度传课12161925 29 33 38 38 39 40 40 41 45454646 49 49 50 50 51 51 51 51 52525354 54 54 57 58 58 59 60 61 61616162 63 64 65 66 66 68 68 70 70727373 74 75 75 77 77 78 81 83 83 87 90 97下面来分析各分数段得分的人数和频率将分数分成9段将区间(9.5, 99.5) 等分成9个子区间每个区间长(99.5-9.5)/9=1083 87 90 97百度传课分 组 频数 f i9.5~19.5 3 19.5~29.5 2 29.5~39.5 4 39.5~49.5 9 49.5~59.5 16 59.5~69.5 13 69.5~79.5 11 79.5~89.5 4 89.5~99.5212 16 19 25 29 33 38 38 39 40 40 41 45 45 46 46 49 49 50 50 51 51 51 51 52 52 53 54 54 54 57 58 58 59 60 61 61 61 61 62 63 64 65 66 66 68 68 70 70 72 73 73 74 75 75 77 77 78 81 83 将区间(9.5, 99.5) 等分成 9 个子区间每个区间长 1032 4911频数直方图161342百度传课四川大学徐小湛9.5 19.5 29.5 39.5 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5 99.5百度传课分组频数fi 频率fi/649.5~19.530.0469 19.5~29.520.0313 29.5~39.540.0625 39.5~49.590.1406 49.5~59.5160.2500 59.5~69.5130.2031 69.5~79.5110.1719 79.5~89.540.0625 89.5~99.520.0313四川大学徐小湛9.5 19.5 29.5 39.5 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5 99.50.04690.03130.06250.14060.25000.20310.1719频率直方图0.0313矩形面积之和64 ( f i 9∑ i =1 64 i i =19⨯10) = 10 ∑ f 64 = 10 ⨯ 64 = 10 0.0625不满足规范性百度传课四川大学徐小湛分组频数fi 频率fi/64矩形高f i /64/109.5~19.530.04690.0047 19.5~29.520.03130.0031 29.5~39.540.06250.0063 39.5~49.590.14060.0141 49.5~59.5160.25000.0250 59.5~69.5130.20310.0203 69.5~79.5110.17190.0172 79.5~89.540.06250.0063 89.5~99.520.03130.00310.00470.0031 0.00630.01410.02500.02030.01720.00630.0031矩形面积之和9 fii=164⨯10∑ 964 if( ⨯10) = 1 ∑i =1164=⨯64 =1百度传课满足规范性频率直方图Frequencyhistogram四川大学徐小湛9.5 19.5 29.5 39.5 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5 99.59.5 19.5 29.5 39.5 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5 99.5 这几个直方图的形状是一样的，区别只是纵坐标的刻度不一样。