s第04章晶格振动2019

第四章总结成员及分工1：一维晶格以及三维晶格的振动2：晶格热容的量子理论3：简谐近似和简谐坐标4：晶格的状态方程和热膨胀5：离子晶体的长波近似4－1 一维晶格以及三维晶格的振动一、知识脉络二、重点1.格波的概念和“格波”解的物理意义(1)定义：晶格原子在平衡位置附近作振动时，将以前进波的形式在晶体中传播，这种波称为格波。

(2)物理意义：一个格波解表示所有原子同时做频率为ω的振动，不同原子之间有位相差。

相邻原子之间的位相差为aq 。

(3) q 的取值范围：－(π/a)<q ≤(π／a)这个范围以外的值，不能提供其它不同的波。

q 的取值及范围常称为布里渊区（Brillouin zones ）。

(4) Born-Von Karman 边界条件: 1)(=-Naq i e h Naq ⨯=π22.一维单原子链的色散关系22241[1cos ]sin ()2aq aq m m ββω=-=把 ω 与q 之间的关系称为色散关系(disperse relation)，也称为振动频谱或振动谱。

3.一维单原子链的运动方程相邻原子之间的相互作用βδδ-≈-=d dvF ad v d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22δβ 第n 个原子的运动方程11()(2)n n n n i t naq nq m Ae ωμβμμμμ∙∙+--=+-=4.一维双原子链中两种原子的运动方程及其解（1）运动方程( equation))2(2221212n n n n M μμμβμ---=+++∙∙ )2(2221212n n n n M μμμβμ---=+++∙∙（2）方程的解(solution)])2([2q na t i n Ae -=ωμ ])12([12aq n t i n Be +-+=ωμ5.声学波与光学波的概念与物理意义（1）声学波与光学波的定义}]sin )(41[1{2/1222aq M m mM mM M m +-++=+βω }]sin )(41[1{2/1222aq M m mMmM M m +--+=-βω ω＋对应的格波称为光学波（optic wave ）或光学支（optic branch) ；ω－对应的格波称为声学波(acoustic wave)或声学支（acoustic branch ）（2）两种格波的振幅比aq m A B cos 222ββω--=⎪⎭⎫⎝⎛++aq m A B cos 222ββω--=⎪⎭⎫⎝⎛--（3）ω＋ 与ω－ 都是q 的周期函数)()(q aq --=+ωπω)()(q aq ++=+ωπω其中aq a22ππ≤〈-6.对色散关系的讨论（1）一维单原子链与一维双原子链的格波解的差异一维单原子链只有一支格波（一个波矢对应一个格波）— 声学波；而一维双原子链则有两支格波（一个波矢对应两个格波）— 声学波和光学波，两支格波的频率各有一定的范围：0)0()(min ==--ωω Maβπωω2)2()(max ==-- m aβπωω2)2()(min ==++ mMM m )(2)0()(max +==++βωω 在ω-max 与ω+min 之间有一频率间隙，说明这种频率的格波不能被激发。

2
对三维晶格，第l个原胞中第k个原子运动方程
—— 原子在三个方向上的位移分量
03_04_三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
第k个原子运动方程
将 方 程 解 代 回 3n 个 运 动 方 程
—— 原子在三个方向上的位移分量 —— 一个原胞中有3n个类似的方程 一维原子链位移方程的解 三维原子位移方程的解
03_04 三维晶格的振动 4.1 三维复式格子 —— 一个原胞中有n个原子
原子的质量
晶体的原胞数目 --沿基矢方向的原胞数 第l个原胞的位置 原胞中各原子的位置
原胞中有n个原子
03_04_三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
原胞中各原子的位置 各原子偏离格点的位移 对一维原子链，有
d n m 2 ( n1 n 1 2n ), (n 1, 2, 3, N ) dt
简写成：
03_04_三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
4.5 二维布里渊区 —— 正方格子的布里渊区 正方格子的基矢
倒格子原胞基矢
03_04_三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
第一布里渊区 倒格子空间离原点最近的四个倒格点 垂直平分线方程
—— 第一布里渊区 大小
03_04_三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
2.声子是一种准粒子
粒子数不守恒，例如温度升高后声子数增加。
声子与声子，声子与其它粒子、准粒子互作用，满足能量 守恒。 不具有通常意义下的动量，常把q称为声子的准动量。
03_04_三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
3.准动量选择定则
准动量的确定只能准确到可以附加任何 一个倒格矢Gh
ω(q)= ω(q+ Gh) Ex: 二声子作用 q1＋q2＝q3＋Gh q1＋q2＝q3＋Gh

左 0 受拉力 左 0受推力
向左 F左 0
向右 F左 0
F 左 左
同理 F右 右
(3)n原子受合力
F合 F左 F右
F
左



左
F合 右 左
F右 右
右 un1 un
左 un un1
2
2
4.方程的解
令 un
dt
Ae
i t kxn
k
2

un un 1 un 1
(5) 原子间相对位移
右 xn1 u n1 xn un a u n1 u n 左 xn u n xn1 un1 a u n u n1
(6) 速度、加速度
dx v dt
d x a 2 dt
第二十六章
第一节
晶格振动
晶体的热学性质
晶格振动？粒子热振动(绕平衡位置)
第二节
一. 物理模型
1. 一维晶格
一维晶格振动
2. 一维无限长弹性振子链 最近邻作用
弹性作用
微振动
二 .原子振动的运动学描述
1. 类比谐振动
取坐标轴x (原点) 质点位置（位移） 受力分析
F kx
2
d x m 2 kx 0 dt x t A cos t
简谐振子模型
2. 原子振动的描述
(1) 一维坐标系 原点 (2)选第n个原子
平衡位置（坐标）
n:
n 1: n 1:
xn1 n 1a
xn na
xn1 n 1a
(3) 原子偏离平衡位置位移
(4) 瞬时位置 xn

方程成立要求： eiNaq 1
所以
结论：满足波恩-卡曼边界条
件，要求q在第一布里渊区取分立
值，当h取N个不同整数时，对应
有N个不同的波矢q，所以晶格振
动包含N个不同的波矢状态。
图4.5
一维无限长原子链
五、色散关系
在晶格振动理论中，把ω与q的关系称为色散关系。
将第n-1、n和n+1原子的振动μn-1、μn、μn+1代 入运动方程中：
fn

m
d 2n
dt 2
(2n
n1 n1)
整理后得到：
m 2 (2 eiqa eiqa ) （4.1.10）
利用
cos 1 (ei ei )
2
整理后得到：
2

2
m
[1
cos(qa)]
4
m
sin
2
(
qa 2
)（4.1.11）
vp


q
波速和相速之间的关系可表示为：
sin qa
vp v0
2 qa
2
3.长波近似和短波近似
长波近似：当q→0，即波长λ>>a（λ→∞）时， 色散关系如图4.7中蓝线所示。在长波极限下一维单 原子晶格格波的色散关系和连续介质中弹性波的色 散关系一致，因此在长波极限下，对于一维单原子 晶格格波可以看作是弹性波，晶格可以看成是连续 介质。
§4.1 一维单原子链的振动
一、晶格振动——格波
模型建立：一维单原子链含N个原子，每个原子都具 有相同的质量m，平衡时原子间距——晶格常数a。 研究思路：把原子的振动看作是简谐振动，先计算 原子之间的相互作用力，再根据牛顿第二定律列出 原子的微分运动方程，最后求解方程。