中考数学专项突破——含百分率的实际应用题(word版+详细解答)

初中数学下册百分数计算练习25题(含解
析)
本文档提供了初中数学下册百分数计算的练题，共计25题，并附有解析。

此练目的在于帮助学生巩固和加深对百分数计算的理解。

题目1
题目说明：某商品原价100元，打8折后的价格是多少？
解析：打折是指在原价基础上按照一定比例减少价格。

打8折表示价格减少20%。

计算方法为：原价100元 × (1 - 0.8) = 100元 ×0.2 = 20元。

因此，打8折后的价格为80元。

题目2
题目说明：小明在一次考试中获得了80分，这个成绩在满分为100分的情况下，用百分数表示是多少？
解析：百分数表示的是数值相对于100的比例关系。

计算方法为：小明的分数80 ÷ 100 = 0.8，再将0.8转换为百分数，即0.8 ×100% = 80%。

因此，小明的成绩可以用80%表示。

...
（继续提供剩下的练题和对应的解析，共计25题）
...
通过完成这些练题，学生可以加深对百分数计算的理解，并提升解决实际问题时的能力。

这些题目涵盖了打折、百分比转换、比例计算等基础内容，适用于初中数学下册课程。

建议学生认真完成每一题，并在阅读解析时思考解题思路和方法。

希望本文档对学生的学习和提高有所帮助。

重难点强化小专题(十) 用百分数解决实际问题一、我会填。

1．老师做了99个教具，经检验全部合格，则合格率为(100)%。

2．从学校到文化宫，甲要20分钟，乙要16分钟，乙的时间比甲少(20)%；乙的速度比甲快(25)%。

3．商店四月销售额是65万元，五月销售额是70万元。

四月服装销售额占四月销售额的16%。

五月服装销售额占五月销售额的15%。

(1)五月的服装销售额是(10.5)万元。

(2)五月服装销售额比四月增加(0.1)万元。

二、我会选。

1．一项工程，原计划10个月完成，实际8个月完成，工作时间缩短了(B)。

A．25% B．20% C．12.5% D．10%2．小月做练习题，完成了20题后，还剩20%，她要完成(D)题。

A．40 B．10 C．5 D．253．水果批发市场有橘子45吨，苹果的质量比橘子少20%，苹果的质量比梨多12.5%，水果市场有梨(A)吨。

A．32 B．36 C．40三、看图列式计算。

1.230×(1－30%)＝161(棵)2.350×(1＋10%)＝385(只)四、解决问题。

1．李奶奶家七月份的水费为255元，比计划节省了15%，节省了多少钱？255÷(1－15%)＝300(元)300－255＝45(元)答：节省了45元。

2．一款智能扫地机器人，商家先提价15%出售，到了店庆为了回馈新老顾客，又降价10%促销，收入比原价增加了百分之几？(1＋15%)×(1－10%)＝115%×90%＝103.5%103．5%－1＝3.5%答：收入比原价增加了3.5%。

五、甲仓库货物比乙仓库货物少150吨，甲仓库货物是乙仓库货物的60%，甲、乙仓库各有多少吨货物？150÷(1－60%)＝375(吨)375×60%＝225(吨)答：甲仓库有225吨货物，乙仓库有375吨货物。

答案详解一、1.100 2.2025 3.(1)10.5(2)0.1二、1.B 2.D 3.A三、1.230×(1－30%)＝161(棵) 2.350×(1＋10%)＝385(只)四、1.解析：根据七月份比计划省了15%的水费，可知，实际的水费是计划水费的85%。

学会用百分数解决实际问题在现代社会中，数学是一门非常重要的学科，而百分数是数学中一个非常实用的概念。

掌握和运用百分数可以帮助我们更好地解决实际问题。

本文将介绍如何学会用百分数来解决实际问题，并提供一些相关的例子。

一、百分数的定义和表示方法百分数是指以100为基数的分数，用符号“%”表示。

百分之一用小数表示为0.01，即1%等于0.01。

百分数可以用分数或小数进行换算，并可以用于表示比例、增长率、减少率等。

以增长率为例，若一个数值从A增长到B，增长的幅度为B-A，增长率等于增长的幅度除以原数值A，再乘以100%。

同样地，减少率也可以用百分数来表示。

二、应用实例1. 购物优惠假设某商场举办了一次打折促销活动，商场内百分之六十的商品都打八折出售。

现在小明购物了一件原价为200元的商品，问小明享受了多大的优惠？解答：首先，计算打折后的实际价格。

八折即商品的价格打九折，即200元 * 0.9 = 180元。

然后，计算优惠的金额，即原价200元减去实际价格180元，有200 - 180 = 20元。

最后，计算优惠的百分比，即优惠金额20元除以原价200元，再乘以100%，即20/200 * 100% = 10%。

所以，小明享受了10%的优惠。

2. 股票投资某投资者在股市中投资了一只股票，该股票在某段时间内的价格从每股10元涨到了每股12元，问涨幅是多少？解答：首先，计算涨幅，即新价格减去旧价格，有12元 - 10元 = 2元。

然后，计算涨幅百分比，即涨幅2元除以旧价格10元，再乘以100%，即2/10 * 100% = 20%。

所以，该股票的涨幅为20%。

三、注意事项在运用百分数解决实际问题时，需要注意以下几个方面：1. 百分数的换算：百分数可以与分数、小数进行等值换算。

例如，60%可以换算为3/5或0.6。

2. 题目的理解：在解决实际问题时，要仔细阅读题目，理解题目要求，找出关键信息，并根据问题需求来运用百分数进行计算。

百分数方程应用题专项练习精选好题(应
用题+计算50道)
百分数方程应用题专项练精选好题
题目一
某商品原价为100元，现降价20%，问现在的价格是多少？
解题步骤：
1. 计算降价后的价格：100元 × (1 - 20%) = 100元 × 0.8 = 80元
题目二
小明拥有1000元，他计划将其中的40%用于购买书籍，剩下的60%用于购买玩具，请计算他分别用于购买书籍和玩具的金额。

解题步骤：
1. 计算购买书籍的金额：1000元 × 40% = 1000元 × 0.4 = 400元
2. 计算购买玩具的金额：1000元 × 60% = 1000元 × 0.6 = 600元
题目三
某城市的人口为800万人，近年来年均增长率为2%，请问经过5年后，该城市的人口将达到多少人？
解题步骤：
1. 计算增长率：1 + 2% = 1 + 0.02 = 1.02
2. 计算5年后的人口：800万人 × (1.02)^5 = 800万人× 1. ≈ 88
3.26万人
...
题目五十
某公司的销售额在过去一年内增长了25%，销售额的增长率被保持不变，如果现在的销售额为400万元，请计算过去一年的销售额是多少。

解题步骤：
1. 计算销售额的增长系数：1 + 25% = 1 + 0.25 = 1.25
2. 计算过去一年的销售额：400万元÷ 1.25 ≈ 320万元
以上是百分数方程应用题专项练习精选好题，希望对您有所帮助！。

初一数学下册综合算式专项练习题含有百分数的实际问题一、百分数的基本概念和运算百分数是数学中一个重要的概念，它在实际生活中有着广泛的应用。

下面我们将通过综合算式专项练习题来深入理解百分数的应用。

1. 小明总共有80颗糖果，他把其中的20颗糖果送给了朋友们，请问他还剩下多少糖果？如果用百分数的形式表示小明送出的糖果数量占总数的比例，应该是多少？解：小明送出的糖果数量为20颗，剩下的糖果数量可以用80减去20，即60颗。

送出的糖果数量占总数的比例可以用百分数表示，即20÷80×100%=25%。

2. 某市有6000名学生，其中男生占总人数的40%，女生占总人数的60%。

问男生和女生的人数分别是多少？解：男生人数可以用总人数乘以男生占比，即6000×40%=2400人；女生人数可以用总人数乘以女生占比，即6000×60%=3600人。

二、百分数在实际问题中的应用除了基本的运算，百分数还常常在实际问题中被使用，下面我们来解决一些实际问题。

1. 一辆汽车在2小时内行驶了120千米，求它的每小时平均行驶里程。

解：平均行驶里程可以用总行驶里程除以总时间，即120千米÷2小时=60千米/小时。

2. 某项商品原价为100元，现在打8折出售，请问现在的价格是多少？解：打8折相当于原价的80%，现在的价格可以用原价乘以打折后的比例，即100元×80%=80元。

3. 某公司的年收入为500万元，其中利润占总收入的15%，请问利润是多少？解：利润可以用总收入乘以利润占比，即500万元×15%=75万元。

三、百分数在实际问题中的比较与运算除了单独应用百分数进行运算，我们还可以比较和运算不同百分数之间的大小，来解决实际问题。

1. 小明的数学成绩提高了20%，而小红的数学成绩提高了15%，请问谁的数学成绩提高幅度更大？解：我们可以比较两个百分数的大小，20%和15%，很明显20%大于15%，所以小明的数学成绩提高幅度更大。

初中六年级数学百分比的意义和应用一、选择题1.已知甲重60千克，乙重54千克，下列表述正确的是（ B ） A.甲比乙重10% B.乙比甲轻10% C.甲比乙重11% D.乙比甲轻10%2.某厂去年比前年增产20%，今年比去年增产10%，下列计算正确的是（ D ） A.今年比前年增产20%+10% B.今年比前年增产20%×10% C.今年比前年增产20%-10%D.今年比前年增产（1+20%）×（1+10%）-100%3.已知六（1）班昨天出席38人，缺席2人，那么计算出席率的正确算式是（ D ） A.%100382⨯ B.%1002382⨯+ C.%1003836⨯ D.%10023838⨯+ 4.下列语句中，正确的有（ A ）①种105棵树，全部成活，成活率是105%； ②六（1）班出勤率为97%，则缺勤率为3%；③李师傅一天生产102个零件，有2个废品，这一天的产品合格率是100%. A.1个 B.2个 C.3个 D.以上都不对 5.在100克水中放入25克盐，盐水的含盐率是（ B ） A.25% B.20% C.75% D.80% 二、填空题 1.()()()()4.0%4040:1652104====（小数）.2.()()()5010210:42357%20÷===. 3.____50____的30%是15.4.已知一批零件共有120只，其中有6只不符合规格，那么这批零件的合格率是___95___%.5.已知某农场前年生产稻谷40万千克，去年比前年增产20%，今年因自然灾害比去年减产20%，那么今年生产稻谷___38.4___万千克.6.如果今年小麦产量比去年提高二十个百分点，那么就是今年小麦产量是去年产量的___120___%.7.如果100千克的面粉中掺和25千克的水和成面粉团，那么面粉占面粉团的百分比是____20%____.8.一件商品，提价20%后又降价30%，这件商品的现价是原价的__84%__. 9.某商品八折卖出，售价是160元，原价为__200__元，亏损__40__元，亏损率是__20%__.10.一笔存款按20%的利息税，应交利息税360元，这笔存款税前利息是__1800__元. 三、简答题1.把下列各数化成百分数.（除不尽的在百分号前保留一位小数）（1）0.27 （2）725 （3）1336解：（1）27% （2）528.6% （3）276.9% 2.把下列各百分数化成最简分数.（1）54% （2）0.75% （3）41.6% 解：（1）5027 （2）4003 （3）125523.计算：（1）%40976536⨯⎪⎭⎫⎝⎛-⨯ （2）%7551342.3⨯-÷解：（1）0.8 （2）2.254.据资料显示，人的心脏跳动的次数随着年龄而变化。

中考复习如何灵活运用百分数解决实际问题百分数在数学中起着重要的作用，特别是在实际问题中的应用。

掌握灵活运用百分数是中考复习的重要内容之一。

本文将介绍一些解决实际问题时如何灵活应用百分数的方法。

一、百分数与分数的关系在实际问题中，我们经常会遇到百分数与分数的转化和比较。

首先，我们来看百分数和分数的关系。

百分数转化为分数时，我们需要将百分数除以100，并将百分号去掉。

例如，75%可以转化为75/100，进一步化简为3/4。

分数转化为百分数时，我们需要将分数化为小数后乘以100，并加上百分号。

例如，5/8可以转化为0.625，进一步转化为62.5%。

比较百分数和分数时，我们可以转化为相同形式后进行比较。

例如，比较25%和1/3大小时，我们先将25%转化为分数，得到1/4。

然后，我们可以发现1/4小于1/3，所以25%小于1/3。

二、百分数在比例问题中的应用比例问题是中考中常见的实际问题类型。

百分数在比例问题中起着重要的作用。

例如，某班级女生占全班学生的40%。

如果班级共有60名学生，那么女生人数是多少？解决这个问题，我们需要先计算出女生人数所占的百分数。

女生人数所占的百分数为40%，即40/100。

然后，我们可以根据班级学生总数60人，计算出女生人数。

女生人数 = 40/100 × 60 = 24人。

所以，女生人数是24人。

三、百分数在涨跌问题中的应用涨跌问题是中考中常见的实际问题类型。

百分数在涨跌问题中的应用非常灵活。

例如，某商品原价100元，现在降价20%。

现在的价格是多少？解决这个问题，我们需要计算出降价所占的百分数。

降价所占的百分数为20%，即20/100。

然后，我们可以根据原价100元，计算出现在的价格。

现在的价格 = 原价 - 降价 = 100 - (20/100 × 100) = 100 - 20 = 80元。

所以，现在的价格是80元。

四、百分数在利润和损失问题中的应用利润和损失问题也是中考中常见的实际问题类型。

较复杂的百分数应用题知识导引1、百分数应用题的种类。

(1)、求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几），即求分率。

比较量÷单位“1”的量＝分率（2）、求一个数的几分之几（或百分之几）是多少,即分数乘法应用题。

单位“1”的量×A的分率＝A的数量（3）、已知一个数的几分之几是多少求这个数，即求单位“1”的量,分数除法应用题。

A的数量÷A所对应的分率＝单位“1”的量（4）、分数工程问题：把工作总量看做“1”.工作效率×工作时间＝工作总量2、解题方法(1）、分数与百分数之间可以互化，所以百分数应用题可以转化为分数应用题。

（2）、解答分数（百分数）应用题的关键是找准题中的单位“1”,然后利用顺向分析和逆向分析的方法列出式子，进行解答。

(3）在确定单位“1”的时候,要分清比较量与标准量，只能把标准量看做单位“1”。

（4）、在解答分数（百分数)应用题时，要找准量率之间的对应关系。

经典例题例1、四川汶川地震中，抢险队员步行去深山营救,第一小时走了全程的30％，第二小时比第一小时多走了3千米，又走15千米才到达。

抢险队员一共走了多少千米？例2、将一批苹果装箱,如果装42箱，还剩下这批苹果的70%,如果装85箱,还剩1540个苹果，这批苹果共有多少个?例3、体操队里男队员有45人,若女队员人数减少10%，就恰好与男队员人数的60%相等，体操队里的女队员有多少人？例4、六年级一班女生人数是男生人数的65，这学期新来1名女生，这时女生人数是男生人数的87。

5％.六年级一班现在有女生多少人？例5、商店运来240台冰箱，第一天卖出的25％与第二天卖出的32相等,第三天又卖出总数的25％，还剩下70台，第一天比第二天多卖出多少台？例6、某小学四年级原来有两个班，现在重新编为三个班。

将原来一班人数的31和原来二班人数的25％组成新一班，将原来一班人数的25％和原来二班人数的31 组成新二班，余下的30人组成新三班。

百分数的应用问题的解答百分数是在生活中经常用到的一种表示方式，它在商业、金融、统计和数学等领域都具有广泛的应用。

在本文中，我将解答一些与百分数有关的应用问题，并提供相关的解析和实际例子。

1. 百分数的基本概念百分数是将数值以百分数的形式表示，即以百分之一为单位。

百分数由数值和百分号组成，如45%表示45百分之一。

百分数常用于表示比率、增减量和比较等情况。

2. 百分数与分数的转化为了进行计算和比较，我们经常需要将百分数转化为分数或将分数转化为百分数。

转化的方法如下：a) 将百分数转化为分数：将百分数除以100，并将结果化为最简分数。

例如，75%可以转化为75/100，进一步简化为3/4。

b) 将分数转化为百分数：将分数的分子除以分母，再乘以100，并加上百分号。

例如，4/5可以转化为4 ÷ 5 × 100，即80%。

3. 百分数的比较在比较两个百分数的大小时，我们可以直接比较它们的数值部分。

例如，25%大于15%，因为25大于15。

但要注意，比较对象必须具有相同的基准，如比较两个销售增长率时，要确保它们都是相对于同一基准值的百分数。

4. 百分数的增减在实际应用中，我们常常需要对百分数进行增减操作。

增加一个百分数可以通过将原数值加上其百分之一部分来实现；减少一个百分数可以通过将原数值减去其百分之一部分来实现。

例如，某公司销售额为100万，今年增长了10%，我们可以通过计算100万加上10%的增长量来得到最终的销售额。

类似地，我们也可以减少一个百分数，如降低折扣率或降低存款利率。

5. 百分数的应用举例a) 折扣计算：假设某商店打折促销，某商品原价为200元，打八折，我们可以通过计算200乘以0.8来得到折后价格，即160元。

b) 利率计算：假设某银行的存款利率为年利率3%，我们可以通过将存款金额乘以0.03来计算年利息。

c) 统计分析：在统计学中，百分数经常用于表示频数和相对频数。

中考数学专项突破——新定义阅读理解创新题型1.阅读下列材料，解答下列问题：材料一：一个三位以上的自然数，如果该自然数的末三位表示的数与末三位之前的数字表示的数之差是11的倍数，我们称满足此特征的数叫“网红数”.如：65362，362-65=297=11×27，称65362是“网红数”.材料二：对任意的自然数p 均可分解为p =100x +10y +z （x ≥0，0≤y ≤9,0≤z ≤9且想，x ，y ，z 均为整数），如：5278=52×100+10×7+8，规定：G （p ）= zx x z x x -++-+112）（ . （1）求证：任意两个“网红数”之和一定能被11整除；（2）已知：s =300+10b +a ，t =1000b +100a +1142（1≤a ≤7,0≤b ≤5，且a 、b 均为整数），当s +t 为“网红数”时，求G （t ）的最大值.（1）证明：设两个“网红数”为mn ，ab （n ，b 分别为mn ，ab 末三位表示的数，m ，a 分别为mn ，ab 末三位之前的数字表示的数）， 则n -m =11k 1，b -a =11k 2， ∴mn +ab =1001m +1001a +11（k 1+k 2）=11（91m +91a +k 1+k 2）. 又∵k 1，k 2，m ，n 均为整数，∴91m +91a +k 1+k 2为整数，∴任意两个“网红数”之和一定能被11整除.（2）解：s =3×100+10b +a ，t =1000（b +1）+100（a +1）+4×10+2， S +t =1000（b +1）+100（a +4）+10（b +4）+a +2，①当1≤a ≤5时，s +t =））（）（）（（2a 4b 4a 1b ++++， 则））（）（（2a 4b 4a +++-（b +1）能被11整除，∴101a +9b +441=11×9a +2a +11b -2b +40×11+1能被11整除， ∴2a -2b +1能被11整除.∵1≤a ≤5，0≤b ≤5，∴-7≤2a -2b +1≤11，∴2a -2b +1=0或11，∴a =5，b =0，∴t =1642，G （1642）=17141， ②当6≤a ≤7时，s +t =））（）（）（（2a 4b 6a 2b ++-+， 则））（）（（2a 4b 6a ++--（b +2）能被11整除，∴101a +9b -560=11×9a +2a +11b -2b -51×11+1能被11整除，∴2a -2b +1能被11整除.∵6≤a ≤7，0≤b ≤5，∴3≤2a -2b +1≤15，∴2a -2b +1=11，∴⎩⎨⎧==1b 6a ，⎩⎨⎧==2b 7a ， ∴t =2742或3842，G （2742）=28251，G （3842）=39361， 综上，G （t ）的最大值为39361. 2.若将自然数中能被3整除的数，在数轴上的对应点称为“3倍点”，取任意的一个“3倍点”P ，到点P 距离为1的点所对应的数分别记为a ，b .定义：若数K ＝a 2＋b 2－ab ，则称数K 为“尼尔数”．例如：若P所表示的数为3，则a ＝2，b ＝4，那么K ＝22＋42－2×4＝12；若P 所表示的数为12，则a ＝11，b ＝13，那么K ＝132＋112－13×11＝147，所以12，147是“尼尔数”．(1)请直接判断6和39是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被9除余3；(2)已知两个“尼尔数”的差是189，求这两个“尼尔数”．解：(1)6不是尼尔数，39是尼尔数．证明：设P 表示的数为3m ，则a ＝(3m －1)，b ＝(3m ＋1)， K ＝(3m －1)2＋(3m ＋1)2－(3m －1)(3m ＋1)＝9m 2＋3，∵m 为整数，∴m 2为整数，∴9m 2＋3被9除余3；(2)设这两个尼尔数分别是K 1，K 2，将两个“尼尔数”所对应的“3倍点数”P 1，P 2分别记为3m 1，3m 2.∴K 1－K 2＝9m 12－9m 22＝189，∴m 12－m 22＝21，∵m 1，m 2都是整数，∴m 1＋m 2＝7，m 1－m 2＝3，∴⎩⎨⎧==2m 5m 21， ∴⎩⎨⎧==39k 228k 21.3.若在一个两位正整数 N 的个位数字与十位数字之间添上数字 2 ，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为 N 的“诚勤数”，如 34 的“诚勤数”为 324 ；若将一个两位正整数 M 加 2 后得到一个新数，我们称这个新数为 M 的“立达数”，如 34 的“立达数”为 36.(1)求证：对任意一个两位正整数 A ，其“诚勤数”与“立达数”之差能被 6 整除；(2)若一个两位正整数 B 的“立达数”的各位数字之和是 B 的各位数字之和的一半，求 B 的值.解：（1）设A 的十位数字为a ，个位数字为b ，则A ＝10a +b ，它的“诚勤数”为100a +20+b ，它的“立达数”为10a +b +2， ∴100a +20+b -（10a +b +2）＝90a +18＝6（15a +3），∵a 为整数，∴15a +3是整数，则“诚勤数”与“立达数”之差能被6整除；（2）设B ＝10m +n ，1≤m ≤9，0≤n ≤9（B 加上2后各数字之和变小，说明个位发生了进位），∴B +2＝10m +n +2，则B 的“立达数”为10（m +1）+（n +2-10），∴m +1+n +2﹣10=21（m +n ），整理，得m +n ＝14，∵1≤m ≤9，0≤n ≤9，∴⎩⎨⎧==6n 8m 、⎩⎨⎧==8n 6m 、⎩⎨⎧==5n 9m 、⎩⎨⎧==9n 5m 、⎩⎨⎧==7n 7m ， 经检验：77、86和95不符合题意，舍去，∴所求两位数为68或59．4．一个正偶数k 去掉个位数字得到一个新数，如果原数的个位数字的2倍与新数之和与19的商是一个整数，则称正偶数k 为“魅力数”，把这个商叫做k 的魅力系数，记这个商为F （k ）．如：722去掉个位数字是72，2的2倍与72的和是76，76÷19=4，4是整数，所以722是“魅力数”，722的魅力系数是4，记(722)4F =．(1)计算：(304)(2052)F F +；(2)若m 、n 都是“魅力数”，其中3030101m a =+，40010n b c =++(0≤a ≤9，0≤b ≤9，0≤c ≤9，a 、b 、c 是整数)，规定：(,)a c G m n b-=．当()()24F m F n +=时，求(,)G m n 的值． 解：（1）∵30+2×4=38，38÷19=2，∴F (304)=2.∵205+2×2=209,209÷19=11， ∴F （2025）=11.∴F （304）+F （2052）=13；（2）∵m =3030+101a =3000+100a +30+a ，∴F （m ）=19a 23a 10300+++=19a 12303+=15+19a 1218+. ∵m 是“魅力数”， ∴19a 1218+是整数. ∵0≤a ≤9，且a 是偶数，∴a =0,2,4,6,8.当a =0时，19a 1218+=1918不符合题意. 当a =2时，19a 1218+=1942不符合题意. 当a =4时，19a 1218+=1966不符合题意.当a =6时，19a 1218+=1990不符合题意. 当a =8时，19a 1218+=19114=6符合题意. ∴a =8，此时m =3838，F （m ）=F （3838）=6+15=21.又∵F （m ）+F （n ）=24，∴F （n ）=3.∵n =400+10b +c ，∴F （n ）=19c 2b 40++=3， ∴b +2c =17，∵n 是“魅力数”，∴c 是偶数，又∵0≤c ≤9，∴c =0，2,4,6,8.当c =0时，b =17不符合题意.当c =2时，b =13不符合题意.当c =4时，b =9符合题意.此时，G （m ，n ）=b c a -=948-=94. 当c =6时，b =5符合题意.此时，G （m ，n ）=b c a -=568-=52. 当c =8时，b =1符合题意.此时，G （m ，n ）=b c a -=188-=0. ∵ 94＞52＞0， ∴G （m ，n ）的最大值是94. 5.已知一个正整数，把其个位数字去掉，再将余下的数加上个位数字的4倍，如果和是13的倍数，则称原数为“超越数”．如果数字和太大不能直接观察出来，就重复上述过程．如：1131：113+4×1＝117，117÷13＝9，所以1131是“超越数”；又如：3292：329+4×2＝337，33+4×7＝61，因为61不能被13整除，所以3292不是“超越数”．（1）请判断42356是否为“超越数”（填“是”或“否”），若ab+4c ＝13k（k为整数），化简abc除以13的商（用含字母k的代数式表示）．（2）一个四位正整数N＝abcd，规定F（N）＝|a+d2﹣bc|，例如：F （4953）＝|4+32﹣5×9|＝32，若该四位正整数既能被13整除，个位数字是5，且a＝c，其中1≤a≤4．求出所有满足条件的四位正整数N中F（N）的最小值．解：（1）否，4235+4×6＝4259，425+4×9＝461，46+4×1＝50，因为50不能被13整除，所以42356不是超越数.∵ab+4c＝13k，∴10a+b+4c＝13k，∴10a+b＝13k﹣4c，∵abc＝100a+10b+c＝10（10a+b）+c＝130k﹣40c+c＝130k﹣39c＝13（10k﹣3c），abc＝10k﹣3c；∴13（2）由题意得d＝5，a＝c，∴N＝1000a+100b+10c+5，∵N能被13整除，∴设100a+10b+c+4×5＝13k，∴101a +10b +20＝13k ，且a 为正整数，b ，k 为非负整数， 1≤a ≤4，∴a ＝2，b ＝9，k ＝24 或a ＝3，b ＝8，k ＝31，或a ＝4，b ＝7，k ＝38，∴F （N ）＝|2+25﹣18|＝9，或F （N ）＝|3+25﹣24|＝4，或 F （N ）＝|4+25﹣28|＝1，∴F （N ）最小值为1．6.一个两位正整数n ，如果n 满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称n 为“启航数”，将n 的两个数位上的数字对调得到一个新数'n .把'n 放在n 的后面组成第一个四位数，把n 放在'n 的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为()F n ，例如：23n =时，32n '=，23323223(23)8111F -==-. （1）计算(42)_____;F = 若m 为“启航数”，()F m 是一个完全平方数，求()F m 的值；（2）s t 、为“启航数”，其中10,10s a b t x y =+=+（1≤b ≤a ≤9，1≤x 、y ≤5，且y x b a ,,,为整数） 规定：(,)s t K s t t-=，若()F s 能被7整除，且()()81162F s F t y +-=，求(,)K s t 的最大值.解：（1）F （42）=162，设m =pq （1≤p ≤q ≤9，且p 、q 为整数）， 则()=81()11pqqp qppq F m p q -=-，∵()F m 完全平方数，∴p q -为完全平方数，∵1≤p ≤q ≤9，且p 、q 为整数，∴0＜p -q ≤8，∴14p q -=或，∴F （m ）=81或324；（2）由题意知：s =ab ，t =xy （1≤b ≤a ≤9,1≤x 、y ≤5，且a b x y 、、、为整数），∴()81()F s a b =-，()81()F t x y =-，∵()F s 能被7整除，∴81()7a b -为整数， 又∵1≤b ≤a ≤9，∴0＜a -b ≤8，∴7a b -=，∴9,28,1a b a b ====或，∴s =92或81.又∵()()81162F s F t y +-=，∴81（a -b ）+81（x -y ）-81y =162，∴2y =x +5，∵1≤x ，y ≤5且x y ≠，∴1,33,4x y x y ====或，∴t =13 或34， ∴79(92,13)13K =，K （92，34）=3458，68(81,13)13K =，47(81,34)34K = K max =1379. 7.若一个三位数，其个位数加上十位数等于百位数，可表示为t ＝100（x +y ）+10y +x （x +y ≤9），则称实数t 为“加成数”，将t 的百位作为个位，个位作为十位，十位作为百位，组成一个新的三位数q，例如：321是一个“加成数”，将其h．规定q＝t﹣h，f（m）＝9百位作为个位，个位作为十位，十位作为百位，得到的数h＝213，108＝12．∴q＝321﹣213＝108，f（m）＝9（1）当f（m）最小时，求此时对应的“加成数”的值；（2）若f（m）是24的倍数，则称f（m）是“节气数”，猜想这样的“节气数”有多少个，并求出所有的“节气数”．q，解：（1）∵f（m）＝9∴当f（m）最小时，q最小，∵t＝100（x+y）+10y+x=101x+110y，h＝100y+10x+x+y＝101y+11x，∴q＝t﹣h＝101x+110y﹣（101y+11x）＝9y+90x，且1≤y≤9，0≤x ≤9，x、y为正整数，当x＝0，y＝1时，q＝9，此时对应的“加成数”是110；（2）∵f（m）是24的倍数，设f（m）＝24n（n为正整数），q，q＝216n，则24n＝9由（1）知：q＝9y+90x＝9（y+10x），∴216n＝9（y+10x），24n＝y+10x，（x+y＜10）①当n＝1时，即y+10x＝24，解得：x＝2，y＝4，则这样的“节气数”是24；②当n＝2时，即y+10x＝48，解得：x＝4，y＝8，x+y＝12＞10，不符合题意；③当n＝3时，即y+10x＝72，解得：x＝7，y＝2，则这样的“节气数”是72；④当n＝4时，即y+10x＝96，解得：x＝9，y＝6，x+y＝15＞10，不符合题意；⑤当n＝5时，即y+10x＝120，没有符合条件的整数解，综上，这样的“节气数”有2个，分别为24，72．8.在任意n（n＞1且为整数）位正整数K的首位后添加6得到的新数叫做K的“顺数”，在K的末位前添加6得到的新数叫做K的“逆数”．若K的“顺数”与“逆数”之差能被17整除，称K是“最佳拍档数”．比如1324的“顺数”为16324，1324的“逆数”为13264，1324的“顺数”与“逆数”之差为16324﹣13264＝3060，3060÷17＝180，所以1324是“最佳拍档数”．（1）请根据以上方法判断31568（填“是”或“不是”）“最佳拍档数”；若一个首位是5的四位“最佳拍档数”N，其个位数字与十位数字之和为8，且百位数字不小于十位数字，求所有符合条件的N的值．（2）证明：任意三位或三位以上的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除．（1）解：是；【解法提示】∵361568﹣315668＝45900，且45900÷17＝2700，∴根据最佳拍档数的定义可知，31568是“最佳拍档数”；故答案为：是设“最佳拍档数”N的十位数字为x，百位数字为y，则个位数字为8﹣x，y≥x，N＝5000+100y+10x+8﹣x＝100y+9x+5008，∵N是四位“最佳拍档数”，∴50000+6000+100y+10x+8﹣x﹣[50000+1000y+100x+60+8﹣x]，＝6000+100y+9x+8﹣1000y﹣100x﹣68+x，＝5940﹣90x﹣900y，＝90（66﹣x﹣10y），∴66﹣x﹣10y能被17整除，①x＝2，y＝3时，66﹣x﹣10y＝34，能被17整除，此时N为5326；②x＝3，y＝8时，66﹣x﹣10y＝﹣17，能被17整除，此时N为5835；③x＝5，y＝1时，66﹣x﹣10y＝51，能被17整除，但x＞y，不符合题意；④x＝6，y＝6时，66﹣x﹣10y＝0，能被17整除，此时N为5662；⑤x＝8，y＝3时，66﹣x﹣10y＝28，不能被17整除，但x＞y，不符合题意；⑥当x＝9，y＝4时，66﹣x﹣10y＝17，能被17整除，但x＞y，不符合题意；综上，所有符合条件的N的值为5326，5835，5662；（2）证明：设三位正整数K的个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z，它的“顺数”：1000z+600+10y+x，它的“逆数”：1000z +100y +60+x ，∴（1000z +600+10y +x ）﹣（1000z +100y +60+x ）＝540﹣90y ＝90（6﹣y ），∴任意三位正整数K 的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除， 设四位正整数K 的个位数字为x ，十位数字为y ，百位数字为z ，千位数字为a ，∴（10000a +6000+100z +10y +x ）﹣（10000a +1000z +100y +60+x ）＝5940﹣900z ﹣90y ＝90（66﹣10z ﹣y ），∴任意四位正整数K 的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除， 同理得：任意三位或三位以上的正整数K 的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除．9.若实数a 可以表示成两个连续自然数的倒数差，即a ＝n 1-1n ＋1，那么我们称a 为第n 个“1阶倒差数”，例如21＝1-21，∴21是第1个“1阶倒差数”，61＝21-31，∴16是第2个“1阶倒差数”．同理，若b ＝n 1-2n 1 ，那么，我们称b 为第n 个“2阶倒差数”．(1)判断132是否为“1阶倒差数”；直接写出第5个“2阶倒差数”；(2)若c ，d 均是由两个连续奇数组成的“2阶倒差数”，且d 1-c 1＝22，求c ，d 的值．解：(1)132不是“1阶倒差数”，235；【解法提示】∵32＝1×32＝2×16＝4×8，不是两个连续自然数的积， ∴321不是“1阶倒差数”． 第5个“2阶倒差数”为51-71＝352. (2)设m 是由两个连续奇数2x -1，2x +1组成的“2阶倒差数”，则m =1x 21--1x 21+=））（（）（1x 21x 21x 21x 2-+--+=1x 422-. ∵c ，d 是两个连续奇数组成的“2阶倒差数”，∴可设c ＝1y 422-，d ＝1z 422-， ∵d 1－c 1＝22，∴4z 2－12－4y 2－12＝22，即z 2－y 2＝11，∴(z ＋y )(z －y )＝11>0，∴z ＞y .∵11＝1×11，∴⎩⎨⎧=-=+1y z 11y z ，解得⎩⎨⎧==6z 5y ， ∴c =15422-⨯=299，d =16422-⨯=2143. 10.任意一个正整数n ，都可以表示为：n ＝a ×b ×c （a ≤b ≤c ，a ，b ，c 均为正整数），在n 的所有表示结果中，如果|2b ﹣（a +c ）|最小，我们就称a ×b ×c 是n 的“阶梯三分法”，并规定：F （n ）＝bc a +，例如：6＝1×1×6＝1×2×3，因为|2×1﹣（1+6）|＝5，|2×2﹣（1+3）|＝0，5＞0，所以1×2×3是6的阶梯三分法，即F（6）＝231+＝2．（1）如果一个正整数p是另一个正整数q的立方，那么称正整数p 是立方数，求证：对于任意一个立方数m，总有F（m）＝2；（2）t是一个两位正整数，t＝10x+y（1≤x≤9，0≤y≤9，且x≥y，x+y≤10，x和y均为整数），t的23倍加上各个数位上的数字之和，结果能被13整除，我们就称这个数t为“满意数”，求所有“满意数”中F（t）的最小值．解：（1）∵m为立方数，∴设m＝q×q×q，∴|2q﹣（q+q）|＝0，∴q×q×q是m的阶梯三分法，∴F（m）=q qq+=2；（2）由已知，[23（10x+y）+x+y]能被13整除，整理得：231x+24y能被13整除，∵231x+24y＝13（18x+2y）﹣（3x+2y），∴3x+2y能被13整除，∵1≤x≤9，0≤y≤9，∴3≤3x+2y≤45，∵x，y均为整数，∴3x+2y的值可能为13、26或39，①当3x+2y＝13时，∵x ≥y ，x +y ≤10，∴x ＝3，y ＝2，t ＝32，∴32的阶梯三分法为2×4×4， ∴F （32）＝23242=+； ②同理，当3x +2y ＝26时，可得x ＝8，y ＝1或x ＝6，y ＝4， ∴t ＝81或64，∴F （81）＝4，F （64）＝2； ③同理，当3x +2y ＝39时，可得x ＝9，y ＝6（不合题意舍去）， ∴综合①②③，F （t ）最小值为23.。