三角形的_四心_与平面向量的结合_姚红梅

知识导航三角形“四心”在平面向量中的应用史平笔一、有关三角形“四心”的概述1.垂心：三角形三条高线的交点叫垂心.它与顶点的连线垂直于对边. 2.内心：三角形三条内角平分线的交点叫内心.内心就是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等. 3.重心：三角形三条中线的交点叫重心.它到三角形顶点的距离与该点到对边中点距离之比为 2∶1. 4.外心：三角形三条边的中垂线的交点叫外心.外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等. 二、三角形“四心”与平面向量的关系设（，），则（GG GG ）向量必平1．AB + AC λ∈0 +∞λGG GG 分，该向量必通过AB AC ∠BAC △ABC 的内心. GG GG 设（，），则（）AB AC 2．λ∈0 +∞λAB GG cos B + AC GG cos C 向量必垂直于边BC ，该向量必通过△ABC 的垂心. GG GG GG 3．△ABC 中，AB +AC 一定过BC 的中点，通过△ABC 的重心. 4．点O 是△ABC 的外心GG 2 GG 2 GG 2 圳OA =OB =OC . 5．点O 是△ABC 的重心GG GG GG 軋圳OA +OB +OC =0. GG GG GG GG GG GG 6．点O 是△ABC 的垂心圳OA ·OB =OB ·OC =OC ·OA . GG GG GG 軋7．点O 是△ABC 的内心圳a ·OA +b ·OB +c ·OC =0 （其中 a 、b 、c 为△ABC 三边）. 的外心、重心、垂心共线，即GG ∥GG . ABC O G H OG OH 三、探究教材内容，链接高考试题【题源】人教版 A 版《数学》必修四 B 组 P125 页第5 题：已知向量GG ，GG ，GG 满足条件GG +GG +GG = OP 1 OP 2 OP 3OP 1 OP 2 OP 3 0軋，GG OP 1 = GG OP 2 = GG OP 3 =1，求证：△P 1P 2P 3是正三角形．思路分析对于本题中的条件GG OP 1 = GG OP 2 = GG OP 3 =1，容易想到，点O 是△P 1P 2P 3的外心，而另一个条件GG GG GG 軋表明，点O 是△P 1P 2P 3 的重心故本OP 1 +OP 2 +OP 3 =0 ．题可描述为，若存在一个点既是三角形的重心也是外心，则该三角形一定是正三角形证明由．可知，是GG = GG = GG =1 OP 1 OP 2 OP 3 O △P 1P 2P 3三角形的外心，由GG GG GG 軋可知O 是三角形的重心，OP 1 +OP 2 +OP 3 =0 △P 1P 2P 3 可知点 O 是正△P 1P 2P 3的中心，即△P 1P 2P 3是正三角形．（2016·四川高考理科·T10）在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA GG = DB GG = DC GG GG GG GG GG GG ，DA ·DB =DB ·DC =DC ·GG =2 ，动点，满足GG =1 ，GG GG ，则GG 2 的数DA P M AP PM =MC BM 最大值是（）学A. 43B. 49C. 37+6姨3D. 37+2姨33 篇44 4 4 解析由上例可知△ABC 是正三角形，且 D 是46 GG GG = GG GG cos ∠ADB= GG △ABC 的中心，DA ·DB DA DB DA。

三角形的四心与平面向量知识点总结
三角形的四心与平面向量是一个关于平面几何的较为深奥的概念，它的概念要求学生
具备一定的几何知识，掌握这一概念对于学习几何领域的深入学习是十分有用的。

三角形的四心指的是在特定三角形ABC内构成特殊位置
三个点I（三角形BC边AB中点），J（三角形AC边BC中点），K（三角形AB边AC
中点），四点ABCIK组成的四边形，四边形的面积等于三角形的三分之一，此四边形称为BCIK三角形的四心．
此外，三角形的四心还有一个与平面向量密切相关的概念，在三角形的四心中，任
意三个角的夹角均为60°，在三角形四心ABCIK任意三点构成的三角形内构成平行四边形，平行四边形内两条边构成的三角形含有相同的角，平行四边形内两条边所在平面垂直于BCIK三角形的两条边，BCIK三角形的两条边构成的平面是BCIK三角形的平面向量．
三角形的四心与平面向量让学生熟悉一些它不同于其他几何图形所具有的形态特征，
有助于更深入地了解几何相关的知识，学习者不仅可以学习三角形的四心，还可以将其结
合实际的问题，学习如何用四心确定三角形的面积等相关的实际问题．。

运用平面向量判断三角形的四心公式三角形是数学中一个基本的概念，它具有丰富的性质及应用。

三角形的四心公式是三角形重要的性质之一，利用平面向量的知识可以简单地求得。

下面将详细介绍此公式，并给出实际问题的应用。

首先，我们需要了解什么是三角形的四心。

在三角形ABC中，围绕着三角形有四个中心，分别是：重心G、垂心H、外心O、内心I，它们的特点如下：重心G：三角形三个顶点到相对边之间连线的交点。

在等边三角形中，重心就是其唯一的交点；垂心H：三角形的三个顶点落垂线的交点之一；外心O：三角形外接圆的圆心，即三角形三边的垂直平分线的交点之一；内心I：内切圆的圆心，即三角形三条边所在直线的垂直平分线的交点之一。

接下来，我们来推导三角形的四心公式。

设三角形ABC的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)。

那么，三角形的重心坐标可以表示为：G = (1/3)*(A+B+C) = (x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3垂心坐标不同于重心，但它们的横纵坐标可以表示为：tanA = |(y2-y1)/(x2-x1)|, tanB = |(y3-y2)/(x3-x2)|, tanC = |(y3-y1)/(x3-x1)|由于垂线斜率关于法线斜率取负倒数，所以垂线方程分别为：Hx = (y2-y1)/(x2-x1)*(y3-y2)/(x3-x2)*(y3-y1)/(x3-x1)*(y-y2)+x2；Hy = -(x2-x1)/(y2-y1)*(x3-x2)/(y3-y2)*(x3-x1)/(y3-y1)*(x-x2)+y2；外心坐标可以由三边中垂心的直线求出，考虑到三条中垂线相交于一点，所以求解直线交点即可。

该点重要的性质是与三角形顶点距离相等，于是有：OA = OB = OCOx = (a*x1+b*x2+c*x3)/(a+b+c), Oy =(a*y1+b*y2+c*y3)/(a+b+c) 其中，a = BC^2*(y1-y2)-AB^2*(y3-y2)+AC^2*(y3-y1) b = BC^2*(x2-x1)-AB^2*(x3-x1)+AC^2*(x3-x2) c = (y3-y2)*(x2-x1)-(y2-y1)*(x3-x2)最后，我们将探讨三角形的四心公式的实际应用。

三角形的“四心”与向量的完美结合三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式 一． 知识点总结1）O 是ABC ∆的重心⇔=++; 若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2）O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222==) 若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：故C 2sin B 2sin A 2sin =++ 4）O 是内心ABC ∆的充要条件是(=-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记,,的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+⋅=+⋅=+⋅ O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 C sin B sin A sin c b a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；二． 范例(一)．将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心解析：AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。

平面向量三角形四心(有详解)平面向量三角形四心(有详解)平面向量是数学中的重要概念，可以用来表示空间中的点、线、面等几何对象。

在平面向量的运算和应用中，三角形是常见的几何形状之一。

本文将介绍平面向量与三角形四心的关系，并详细解析其性质和应用。

1. 三角形的四心概述三角形的四心是指三角形内部的四个特殊点，包括重心、外心、内心和垂心。

这四个点有着各自的特点和性质，对于研究三角形的形状和性质非常重要。

1.1 重心三角形的重心是三条中线的交点，即三角形三个顶点与对应中点的连线交于一点。

重心在三角形中心位置，对称性较强，具有重要的几何意义。

1.2 外心三角形的外心是外接圆的圆心，即三角形三个顶点的垂直平分线的交点。

外心离三角形各顶点的距离相等，是三角形的外接圆的圆心。

1.3 内心三角形的内心是内切圆的圆心，即三角形三条边的角平分线的交点。

内心到三角形三边的距离相等，是三角形的内切圆的圆心。

1.4 垂心三角形的垂心是三条高线的交点，即三角形三个顶点与对边垂线的交点。

垂心所在的直线被称为垂心线，与三角形的三条边垂直。

2. 平面向量与四心关系的性质平面向量与三角形的四心之间具有一些重要的几何性质和关系，下面将分别介绍。

2.1 重心与向量以三角形的重心为原点建立直角坐标系，三角形三个顶点的位置向量相对于重心的位置向量之和为零。

即，三角形三个顶点的位置向量和为零向量。

2.2 外心与向量三角形的三个顶点为A、B、C，以外心O为原点建立直角坐标系。

则三角形顶点A、B、C的位置向量之和等于三倍的外心O的位置向量。

即，OA + OB + OC = 3OO。

2.3 内心与向量设三角形的内心为I，以内心I为原点建立直角坐标系。

则三角形三个顶点的位置向量与对边的位置向量之和分别为倍数的内心I的位置向量。

即，AI + BI = CI = 2II。

2.4 垂心与向量以三角形的垂心为原点建立直角坐标系，三角形三个顶点的位置向量与对边垂线的位置向量之和为零。

三角形的“四心”与平面向量湖北省 李祖红 万振平向量本身是一个几何概念，具有代数形式和几何形式两种表示方法，易于数形结合，而且向量问题在进行数形结合时具有新形式、新特点，因此可称为高中数学的一个交汇点。

三角形的“四心”（外心、内心、重心、垂心）是与三角形有关的一些特殊点，各自有一些特殊的性质。

在高考中，往往将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查。

这就需要我们在熟悉向量的代数运算的基础上读懂向量的几何意义。

与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有：① 设()+∞∈,0λ，则向量+λ必平分∠BAC ，该向量必通过△ABC 的内心; ② 设()+∞∈,0λ，则向量-λ必平分∠BAC 的邻补角③ 设()+∞∈,0λ，则向量+λ必垂直于边BC ，该向量必通过△ABC 的垂心④ △ABC 中AC AB +一定过BC 的中点，通过△ABC 的重心⑤ 点O 是△ABC 的外心 222==⇔⑥ 点O 是△ABC 的重心 =++⇔⑦ 点O 是△ABC 的垂心 ⇔ OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅⑧ 点O 是△ABC 的内心 0=⋅+⋅+⋅⇔OC c OB b OA a (其中a 、b 、c 为△ABC 三边)⑨ △ABC 的外心O 、重心G 、垂心H 共线，即OG ∥OH⑩ 设O 为△ABC 所在平面内任意一点，G 为△ABC 的重心，，I 为△ABC 的内心， 则有)(31++= c b a c b a OI ++++= 并且重心G （X A +X B +X C 3 ，Y A +Y B +Y C 3 ） 内心I （aX A + bX B + cX C a+b+c ，ay A + by B + cy C a+b+c）例1：（20XX 年全国高考题）O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P满足OA OP ++=λ，()+∞∈,0λ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）（A ）外心 （B ）内心（C ）重心 （D ）垂心事实上如图设AE=AF =都是单位向量易知四边形AETF 是菱形 故选答案B例2：（20XX 年北京市东城区高三模拟题）O 为△ABC 所在平面内一点，如果OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则O 必为△ABC 的（ ）（A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心 事实上⇒=⋅⇒=⋅-⇒⋅=⋅00)(OB CA OB OC OA OC OB OB OA OB ⊥CA 故选答案D例3：已知O 为三角形ABC 所在平面内一点，且满足+=+=+，则点O 是三角形ABC 的（ ）（A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心 事实上由条件可推出⋅=⋅=⋅ 故选答案D例4：设O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P满足++=λ，()+∞∈,0λ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC的（ ）（A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心事实上0)(=+⋅=∙+BC BC λλ 故选答案D。

2023届高考专题——平面向量与三角形的“四心”一、三角形的“四心”(1)重心：三角形的三条中线的交点；O 是△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0；(2)垂心：三角形的三条高线的交点；O 是△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →；(3)外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)．O 是△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|(或OA →2＝OB →2＝OC →2)；(4)内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)；O 是△ABC 的内心⇔OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|－AC →|AC →|＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BA →|BA →|－BC →|BC →|＝OC →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫CA →|CA →|－CB →|CB →|＝0. 注意：向量λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ≠0)所在直线过△ABC 的内心(是∠BAC 的角平分线所在直线)．类型一 平面向量与三角形的“重心”问题例1 已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点P 满足OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)·OC →]，λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过( C )A ．△ABC 的内心B ．△ABC 的垂心 C ．△ABC 的重心D ．AB 边的中点 [解析] 取AB 的中点D ，则2OD →＝OA →＋OB →，∵OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →]， ∴OP →＝13[2(1－λ)OD →＋(1＋2λ)OC →] ＝21－λ3OD →＋1＋2λ3OC →， 而21－λ3＋1＋2λ3＝1，∴P ，C ，D 三点共线， ∴点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心．类型二 平面向量与三角形的“外心”问题例2 设P 是△ABC 所在平面内一点，若AB →·(CB →＋CA →)＝2AB →·CP →，且AB →2＝AC →2－2BC →·AP →，则点P 是△ABC 的( A )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心[解析] 由AB →·(CB →＋CA →)＝2AB →·CP →，得AB →·(CB →＋CA →－2CP →)＝0，即AB →·[(CB →－CP →)＋(CA →－CP →)]＝0，所以AB →·(PB →＋PA →)＝0.设D 为AB 的中点，则AB →·2PD →＝0，故AB →·PD →＝0.由AB →2＝AC →2－2BC →·AP →，得(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝－2BC →·AP →，即(AB →＋AC →－2AP →)·BC →＝0.设E 为BC 的中点，则(2AE →－2AP →)·BC →＝0，则2PE →·BC →＝0，故BC →·PE →＝0.所以P 为AB 与BC 的垂直平分线的交点，所以P 是△ABC 的外心．故选A ．跟踪练习在△ABC 中，O 为其外心，OA ―→·OC ―→＝3，且 3 OA ―→＋7OB ―→＋OC ―→＝0，则边AC 的长是________．[解析] 设△ABC 外接圆的半径为R ，∵O 为△ABC 的外心，∴|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|＝R ，又 3 OA ―→ ＋7 OB ―→＋OC ―→＝0，则 3 OA ―→＋OC ―→＝－7OB ―→，∴3OA ―→2＋OC ―→2＋2 3OA ―→·OC ―→＝7OB ―→2，从而OA ―→·OC ―→＝32R 2，又OA ―→·OC ―→＝3，所以R 2＝2，又OA ―→·OC ―→＝|OA ―→||OC ―→|cos ∠AOC ＝R 2cos ∠AOC ＝3，∴cos ∠AOC ＝32，∴∠AOC ＝π6，在△AOC 中，由余弦定理得AC 2＝OA 2＋OC 2－2OA ·OC ·cos∠AOC ＝R 2＋R 2－2R 2×32＝(2－3)R 2＝4－23．所以AC ＝3－1． 类型三 平面向量与三角形的“垂心”问题例3 (2022·济南质检)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，点P 满足OP ―→＝OA ―→＋λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB―→|AB ―→|cos B ＋|AC ―→||AC ―→|cos C ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．重心B ．外心C ．垂心D ．内心 [解析] OP ―→－OA ―→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB ―→|AB ―→|cos B ＋AC ―→|AC ―→|cos C ，AP ―→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB ―→|AB ―→|cos B ＋AC ―→|AC ―→|cos C ，BC ―→·AP ―→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BC ―→·AB ―→|AB ―→|cos B ＋BC ―→·AC ―→|AC ―→|cos C ＝λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫|BC ―→||AB ―→|cos π－B |AB ―→|cos B ＋|BC ―→||AC ―→|cos C |AC ―→|cos C ＝λ(－|BC ―→|＋|BC ―→|)＝0，所以BC ―→⊥AP ―→，动点P 在BC 的高线上，动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心，故选C ．类型四 平面向量与三角形的“内心”问题例4 在△ABC 中，|AB →|＝3，|AC →|＝2，AD →＝12AB →＋34AC →，则直线AD 通过△ABC 的( D ) A ．重心B ．外心C ．垂心D ．内心[解析] ∵|AB →|＝3，|AC →|＝2，∴12|AB →|＝34|AC →|＝32.设AE →＝12AB →，AF →＝34AC →，则|AE →|＝|AF →|.∵AD →＝12AB →＋34AC →＝AE →＋AF →，∴AD 平分∠EAF ， ∴AD 平分∠BAC ，∴直线AD 通过△ABC 的内心．跟踪练习(2022·海南模拟)在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP ―→＝x OB ―→＋y OC ―→，其中x ，y ∈[0,1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( )A ．1063B ．1463C ．4 3D ．6 2 [解析] 根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC 的面积的2倍．在△ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a ＝7．设△ABC 的内切圆的半径为r ，则12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263，所以S △BOC ＝12×a ×r ＝12×7×263＝763．故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC ＝1463． 二、三角形形状的判断在△ABC 中，①若|AB →|＝|AC →|，则△ABC 为等腰三角形；②若AB →·AC →＝0，则△ABC 为直角三角形；③若AB →·AC →<0，则△ABC 为钝角三角形；④若AB →·AC →>0，BA →·BC →>0，且CA →·CB →>0，则△ABC 为锐角三角形；⑤若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则△ABC 为直角三角形；⑥若(AB →＋AC →)·BC →＝0，则△ABC 为等腰三角形．例5 (2022·驻马店质检)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( C )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形 [解析] 由题意知CB →·(AB →＋AC →)＝0.所以(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 是等腰三角形，故选C ．〔变式训练4〕(1)若P 为△ABC 所在平面内一点．①若(OP →－OA →)·(AB →－AC →)＝0，则动点P 的轨迹必过△ABC 的垂心.②若OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)(λ≥0)，则动点P 的轨迹必过△ABC 的重心.③若CA →2＝CB →2－2AB →·CP →，则动点P 的轨迹必过△ABC 的外心.(2)已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( D )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形[解析] (1)①由题意知AP →·CB →＝0，∴AP ⊥BC ，∴动点P 必过△ABC 的垂心；②由题意知AP →＝λ(AB →＋AC →)＝2λAM →(M 为BC 中点)∴P 、A 、M 共线，∴P 必过△ABC 的重心；③2AB →·CP →＝CB →2－CA →2＝(CB →－CA →)·(CB →＋CA →)＝AB →·(CB →＋CA →)，即2AB →·CP →＝AB →·(CB →＋CA →)，∴AB →·(2CP →－CB →－CA →)＝AB →·(BP →＋AP →)＝0.∴以BP →，AP →为邻边的平行四边形的对角线互相垂直．∴点P 在线段AB 的中垂线上，∴P 必过△ABC 的外心．(2)因为非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC ．又cos ∠BAC ＝AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，所以∠BAC ＝π3.所以△ABC 为等边三角形．故选D ．。

平面向量中的三角形四心问题（定稿）第一篇：平面向量中的三角形四心问题（定稿）平面向量中的三角形四心问题向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要工具。

本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。

在给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。

一、重心（barycenter)三角形重心是三角形三边中线的交点。

重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

在重心确定上，有著名的帕普斯定理。

结论1：若G为∆ABC所在平面内一点，则GA+GB+GC=0⇔G是三角形的重心证明：设BC中点为D，则2GD=GB+GCGA+GB+GC=0⇔-GA=GB+GC∴-GA=2GD,这表明，G 在中线AD上同理可得G在中线BE,CF上故G为∆ABC的重心结论2：1若P为∆ABC所在平面内一点，则PG=(PA+PB+PC)3⇔G是∆ABC的重心1证明：PG=(PA+PB+PC)⇔(PG-PA)+(PG-PB)+(PG-PC)=03⇔GA+GB+GC=0⇔G是∆ABC的重心二、垂心(orthocenter)三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。

结论3：若H为∆ABC所在平面内一点，则HA⋅HB=HB⋅HC=HC⋅HA⇔H是∆ABC的垂心证明：HA⋅HB=HB⋅HC⇔HB⋅(HA-HC)=0⇔HB⋅AC=0⇔HB⊥AC同理，有HA⊥CB,HC⊥AB故H为三角形垂心结论4：若H为∆ABC所在平面内一点，则HA+BC=HB+AC=HC+AB⇔H 是∆ABC的垂心证明：由HA+BC=HB+CA得，HA+(HB-HC)=HB+(HC-HA)2⇔HB⋅HC=HC⋅HA同理可证得，HA⋅HB=HB⋅HC=HC⋅HA由结论3可知命题成立2222222222222三、外心(circumcenter)三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。

用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。

结论5：若O是∆ABC所在平面内一点，则OA=OB=OC⇔O是∆ABC的外心证明：由外心定义可知命题成立结论6：若O是∆ABC所在平面内一点，则（OA+OB)⋅BA=(OB+OC)⋅CB=(OC+OA)⋅AC ⇔O是∆ABC的外心 3 证明：Θ(OA+OB)⋅BA=(OA+OB)(OA-OB)=OA-OB∴(OB+OC)⋅CB=OB-OC( OC+OA)⋅AC=OC-OA222222222故OA-OB=OB-OC=OC-OA⇒OA=OB=OC故O为∆ABC的外心222四、内心(incenter)三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。

专题：平面向量中三角形“四心”问题题型总结在三角形中，“四心”是一组特殊的点，它们的向量表达形式具有许多重要的性质，在近年高考试题中，总会出现一些新颖别致的问题，不仅考查了向量等知识点，而且培养了考生分析问题、解决问题的能力．现就“四心”作如下介绍：1．“四心”的概念与性质(1)重心：三角形三条中线的交点叫重心．它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为2∶1.在向量表达形式中，设点G 是△ABC 所在平面内的一点，则当点G 是△ABC 的重心时，有GA ＋GB ＋GC ＝0或PG ＝13(PA ＋PB ＋PC )(其中P 为平面内任意一点)．反之，若GA ＋GB ＋GC ＝0，则点G 是△ABC 的重心．在向量的坐标表示中，若G ，A ，B ，C 分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为G (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则有x ＝x 1＋x 2＋x 33，y ＝y 1＋y 2＋y 33. (2)垂心：三角形三条高线的交点叫垂心．它与顶点的连线垂直于对边．在向量表达形式中，若H 是△ABC 的垂心，则HA ·HB ＝HB ·HC ＝HC ·HA 或HA 2＋BC 2＝HB 2＋CA 2＝HC 2＋AB 2.反之，若HA ·HB ＝HB ·HC ＝HC ·HA ，则H 是△ABC 的垂心．(3)内心：三角形三条内角平分线的交点叫内心．内心就是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等．在向量表达形式中，若点I 是△ABC 的内心，则有|BC |·IA ＋|CA |·IB ＋|AB |·IC ＝0.反之，若|BC |·IA ＋|CA |·IB ＋|AB |·IC ＝0，则点I 是△ABC 的内心．(4)外心：三角形三条边的中垂线的交点叫外心．外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等．在向量表达形式中，若点O 是△ABC 的外心，则(OA ＋OB )·BA ＝(OB ＋OC )·CB ＝(OC ＋OA )·AC ＝0或|OA |＝|OB |＝|OC |.反之，若|OA |＝|OB |＝|OC |，则点O 是△ABC 的外心．2．关于“四心”的典型例题[例1] 已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP ＝OA ＋λ(AB ＋AC )，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________心．[解析] 由原等式，得OP －OA ＝λ(AB ＋AC )，即AP ＝λ(AB ＋AC )，根据平行四边形法则，知AB ＋AC 是△ABC 的中线所对应向量的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．[答案] 重[点评] 探求动点轨迹经过某点，只要确定其轨迹与三角形中的哪些特殊线段所在直线重合，这可从已知等式出发，利用向量的线性运算法则进行运算得之．[例2] 已知△ABC 内一点O 满足关系OA ＋2OB ＋3OC ＝0，试求S △BOC ∶S △COA ∶S △AOB 之值．[解] 延长OB 至B 1，使BB 1＝OB ，延长OC 至C 1，使CC 1＝2OC ，连接AB 1，AC 1，B 1C 1，如图所示，则1OB ＝2OB ，1OC ＝3OC ，由条件，得OA ＋1OB ＋1OC ＝0，所以点O 是△AB 1C 1的重心．从而S △B 1OC 1＝S △C 1OA ＝S △AOB 1＝13S ，其中S 表示△AB 1C 1的面积，所以S △COA ＝19S ，S △AOB ＝16S ，S △BOC ＝12S △B 1OC ＝12×13S △B 1OC 1＝118S . 于是S △BOC ∶S △COA ∶S △AOB ＝118∶19∶16＝1∶2∶3. [点评] 本题条件OA ＋2OB ＋3OC ＝0与三角形的重心性质GA ＋GB ＋GC ＝0十分类似，因此我们通过添加辅助线，构造一个三角形，使点O 成为辅助三角形的重心，而三角形的重心与顶点的连线将三角形的面积三等分，从而可求三部分的面积比．[引申推广] 已知△ABC 内一点O 满足关系λ1OA ＋λ2OB ＋λ3OC ＝0，则S △BOC ∶S △COA ∶S △AOB ＝λ1∶λ2∶λ3.[例3] 求证：△ABC 的垂心H 、重心G 、外心O 三点共线，且|HG |＝2|GO |.[证明] 对于△ABC 的重心G ，易知OG ＝OA ＋OB ＋OC 2，对于△ABC 的垂心H ，设OH ＝m (OA ＋OB ＋OC )，则 AH ＝AO ＋m (OA ＋OB ＋OC )＝(m －1) OA ＋m OB ＋m OC .由AH ·BC ＝0，得[(m －1) OA ＋m OB ＋m OC ](OC －OB )＝0，(m －1) OA ·(OC －OB )＋m (OC 2－OB 2)＝0， 因为|OC |＝|OB |，所以(m －1) OA ·(OC －OB )＝0.但OA 与BC 不一定垂直，所以只有当m ＝1时，上式恒成立．所以OH ＝OA ＋OB ＋OC ，从而OG ＝13OH ，得垂心H 、重心G 、外心O 三点共线，且|HG |＝2|GO |.[引申推广]重心G 与垂心H 的关系：HG ＝13(HA ＋HB ＋HC )． [点评] 这是著名的欧拉线，提示了三角形的“四心”之间的关系．我们选择恰当的基底向量来表示它们，当然最佳的向量是含顶点A 、B 、C 的向量．[例4] 设A 1，A 2，A 3，A 4，A 5 是平面内给定的5个不同点，则使1MA ＋2MA ＋3MA ＋4MA ＋5MA ＝0成立的点M 的个数为( )A ．0B ．1C ．5D ．10[解析] 根据三角形中的“四心”知识，可知在△ABC 中满足MA ＋MB ＋MC ＝0的点只有重心一点，利用类比的数学思想，可知满足本题条件的点也只有1个．[答案] B[点评] 本题以向量为载体，考查了类比与化归，归纳与猜想等数学思想．本题的详细解答过程如下：对于空间两点A ，B 来说，满足MA ＋MB ＝0的点M 是线段AB 的中点；对于空间三点A ，B ，C 来说，满足MA ＋MB ＋MC ＝0，可认为是先取AB 的中点G ，再连接CG ，在CG 上取点M ，使MC ＝2MG ，则M 满足条件，且唯一；对于空间四点A ，B ，C ，D 来说，满足MA ＋MB ＋MC ＋MD ＝0，可先取△ABC 的重心G ，再连接GD ，在GD 上取点M ，使DM ＝3MG ，则M 满足条件，且唯一，不妨也称为重心G ；与此类似，对于空间五点A ，B ，C ，D ，E 来说，满足MA ＋MB ＋MC ＋MD ＋ME ＝0，可先取空间四边形ABCD 的重心G ，再连接GE ，在GE 上取点M ，使EM ＝4MG ，则M 满足条件，且唯一．。

三角形的“四心”与平面向量利津一中 路雪梅向量本身是一个几何概念，具有代数形式和几何形式两种表示方法，易于数形结合向量本身是一个几何概念，具有代数形式和几何形式两种表示方法，易于数形结合..三角形的“四心”（外心、内心、重心、垂心）是与三角形有关的一些特殊点，各自有一些特殊的性质。

在高考中，往往将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查。

在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。

现归纳总结如下：心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。

现归纳总结如下：与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有：与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有： ① 设()+¥Î,0l ，则向量)(AC AC AB AB +l 必平分∠必平分∠BAC BAC BAC，该向量必通过△，该向量必通过△，该向量必通过△ABC ABC 的内心的内心; ;② 设()+¥Î,0l ，则向量)(ACAC ABAB -l 必平分∠必平分∠BAC BAC 的邻补角的邻补角③ 设()+¥Î,0l ，则向量)cos cos (C AC ACB AB AB+l 必垂直于边BC BC，，该向量必通过△该向量必通过△ABC ABC 的垂心的垂心④ △ABC 中AC AB +一定过BC的中点，通过△的中点，通过△ABC ABC 的重心的重心⑤ 点O 是△是△ABC ABC 的外心的外心 222OC OB OA ==Û ⑥ 点O 是△是△ABC ABC 的重心的重心 0=++ÛOC OB OA⑦ 点O 是△是△ABC ABC 的垂心的垂心 Û OA OC OC OB OB OA ×=×=×⑧ 点O 是△是△ABC ABC 的内心的内心 0=×+×+×ÛOC c OB b OA a (其中a 、b 、c 为△为△ABC ABC 三边三边) )⑨ △ABC 的外心O 、重心G 、垂心H 共线，即OG ∥OH⑩ 设O 为△为△ABC ABC 所在平面内任意一点，所在平面内任意一点，G G 为△为△ABC ABC 的重心，，I 为△为△ABC ABC 的内心，的内心，则有)(31OC OB OA OG ++= c b a OC c OB b OA a OI ++++=并且重心G （X A +X B +X C 3 ，Y A +Y B +Y C 3 ） 内心内心I （aX A + bX B + cX C a+b+c ，ay A + by B + cy Ca+b+c ） (一)．将平面向量与三角形内心结合考查．将平面向量与三角形内心结合考查例1：（2003年全国高考题）O 是平面上一定点，是平面上一定点，A A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足)(ACAC ABABOA OP ++=l ，()+¥Î,0l ，则动点P 的轨迹一定通过△的轨迹一定通过△ABC ABC 的（ ）） （A ）外心）外心 （（B ）内心）内心A F E C T B （C ）重心）重心 （（D ）垂心）垂心解析:如图设,AB AB AE =ACAC AF =都是单位向量都是单位向量易知四边形AETF 是菱形是菱形 故选答案故选答案B(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理” 例2：（1）：（2005年北京市东城区高三模拟题）O 为△为△ABC ABC 所在平面内一点，如果OA OC OC OB OB OA ×=×=×，则O 必为△必为△ABC ABC 的（的（ ））（A ）外心）外心 （（B ）内心）内心 （（C ）重心）重心 （（D ）垂心）垂心解析：Þ=×Þ=×-Þ×=×00)(OB CA OB OC OA OC OB OB OA OB ⊥CA 故选答案D （2）：已知O 为三角形ABC 所在平面内一点，且满足所在平面内一点，且满足222222AB OC CA OB BC OA +=+=+，则点O 是三角形ABC 的（的（） （A ）外心）外心 （（B ）内心）内心 （（C ）重心）重心 （（D ）垂心）垂心事实上由条件可推出OA OC OC OB OB OA ×=×=× 故选答案故选答案D(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例3：若O 为ABC D 内一点，0OA OB OC ++= ，则O 是ABC D 的（的（ ）） A ．内心 B ．外心 C ．垂心D ．重心 解析：解析：由由0OA OB OC ++= 得OB OC OA +=-，如图以OB OB、、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD += ，由平行四边形性质知12OE OD =，2OA OE =，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。

平面向量在三角形四心中的应用平面向量在三角形四心中的应用，乍一听，好像有点高深莫测，但其实它不难理解。

你要是能把三角形的四个“心”理解透了，平面向量就像一把钥匙，帮你打开这些奥秘的大门。

别看这些名字听起来很复杂，什么重心、外心、内心、垂心，一听就让人头大，其实呢，每个“心”都有它自己独特的作用。

就像你自己也是三角形的一部分一样，每个点都有自己的使命，发挥着不容忽视的作用。

咱们从最常见的“重心”说起。

重心，简单来说，就是三角形的“平衡点”。

你想象一下，拿一块三角形的纸板，想让它平稳地悬挂在一根细线上，放哪里最稳？答案就是它的重心。

这个点，其实就是通过三角形三个顶点的连线中线交汇的地方。

其实也没啥复杂的，只是每个小小的向量，通过加法的方式，帮助我们找到了这个点。

换句话说，重心就是三个顶点之间的“心机”。

如果你用向量表示每个顶点的坐标，然后通过加法“调和”，就能计算出这个“重心”的位置。

接着是“外心”。

说起外心，你可能会问：那它又是个啥？简单来说，外心就是三角形外接圆的圆心。

记住了，是外接圆！这个外接圆，就是能完美地包住三角形的那个圆。

外心的位置，基本上是通过三角形三个边的垂直平分线交点来确定的。

你试想，三个边的垂直平分线把三角形围住，那个交点就是外心。

它的位置就是用向量计算出来的，基本就是通过从每个顶点向垂直平分线投射向量，然后找交点的方式来求解。

是不是有点像数学里的“反向操作”？说实话，搞定了这个，你就等于掌握了三角形的“外面世界”。

再说说“内心”。

内心的位置，顾名思义，它就是三角形内角平分线的交点。

它就是三角形“心”的存在。

每条内角平分线把三角形的一个角分成两部分，它们交汇的地方，就是内心。

内心的位置不仅仅是由几何关系确定，还可以用向量表示。

通过向量的比值关系，我们可以计算出这个点的准确位置。

你要是能通过向量公式算出它的坐标，就能说你已掌握了三角形的“内心”奥秘！它不仅是几何的“心脏”，也是在三角形中最神秘、最让人着迷的点之一。

三角形的四心与平面向量好嘞，今天咱们聊聊三角形的四心和那些平面向量。

哎呀，听起来是不是有点高大上？其实没那么复杂，就像吃个西瓜，切开后，水分满满，心里也是爽爽的。

三角形，大家都知道，三个角、三条边，简单得不能再简单了。

但是，等你一探究竟，就会发现这其中的门道多得很。

四心呀，听起来像四个小伙伴，其实它们可是这个三角形的超级英雄呢。

我们今天的主角就是那几个心，分别是重心、外心、内心和垂心。

说起这四位，哎呀，就像四个性格各异的朋友，简直是一言不合就会引发一场“江湖”恩怨。

首先聊聊重心吧，简单得很。

这个小家伙，就是三个顶点的“调和者”，把每个角的力量聚在一起，形成一个均衡的点。

想象一下，像是一个老大哥，听得见所有人的声音，还能把意见合在一起，做出最优的决定。

重心呢，正好在三角形的内部，不会偏向任何一方，就像个公正的裁判，真是让人忍不住想为它点赞。

心里想着，它可是那种不会给你太多压力的人，轻轻松松就把一切搞定。

接着说说外心，嘿，这家伙可不一样。

它可是在三角形外面驻扎，像个喜欢四处游玩的家伙，心里总想着“要出门看看”。

外心的位置可巧妙了，正好是三角形的三个边延长线交点。

想象一下，像个开派对的主办方，永远在外面准备着，生怕自己落下了什么精彩的瞬间。

它的存在也很重要，毕竟，在很多情况下，外心也能帮我们找到一些意想不到的解决方案，真是个机灵鬼。

再来看看内心，这位可真是个温柔的人儿，居然是三角形内切圆的中心。

说白了，它就在这个三角形的“怀抱”里，想方设法让每个边都能“舒舒服服”。

内心的存在让我们意识到，和谐是多么重要，生活也是如此，若能互相理解，便能达到完美的平衡。

想想看，就像朋友之间的小聚会，大家围坐一圈，畅所欲言，气氛轻松愉快，内心的存在让一切变得更加美好。

最后说到垂心，这个小家伙可爱得很，它就是三角形的高度交点。

想象一下，像个爱打高尔夫的朋友，总是喜欢把球打得高高的。

垂心的位置跟角度有着密不可分的关系，通常就是从一个顶点垂直落到对边上。

利用向量研究三角形的“四心”作者：张建锋来源：《中学课程辅导·教学研究》2013年第01期摘要：三角形的“四心”是指三角形外心、内心、重心、垂心。

由于向量具有几何和代数的双重属性，所以本文从向量的角度研究三角形的“四心”，并揭示出三角形的“四心”与顶点及各心之间的联系。

关键词：向量；三角形的“四心”；联系一、“四心”的定义以及相关性质1.三角形的“外心”（1）定义：三角形三边的中垂线的交点，该点是三角形的外接圆的圆心，简称外心。

向量表示： = = 。

（即O到3个顶点距离相等）。

（2）性质：①外心到三角形三个顶点的距离相等；②直角三角形的外心是其斜边的中点。

③O是△ABC的外心，则（ + ）· =（ + ）· =（ + ）· =0。

④若O是△ABC的外心，r是三角形外接圆的半径，则 =2SinA， =2SinB， =2SinC；⑤若O是△ABC外心，r是三角形外接圆的半径，则r= 。

2.三角形的“重心”（1）定义：三角形三条中线的交点，此点位于各中线（自顶点起）的三分之二处，此点叫做三角形的重心。

（2）性质：如图1所示，设G是△ABC内的一点，P是平面上的任意一点，则：①G是△ABC重心的充要条件是 + + =0。

②G是△ABC重心的充要条件是3 = + + 。

证明：设△ABC的三边AB、BC、CA的中点分别为F、D、E，延长GD到H，使GD=DH，则四边形BHCG为平行四边形。

充分性：∵ + + =0，又∵ + = ，∴ + =0，∴ = ，即2 = ，∴G是△ABC的重心。

必要性：∵G是△ABC的重心，∴ =2 =于是 + + = + + = + =0。

∴ - + - + - =0，即3 = + + 。

⒊三角形的“垂心”（1）定义：三角形的三条高交于一点，这点叫做三角形的垂心。

（2）性质：如图2所示，设H是△ABC的垂心，则 + = + = + =4 。

三角形的“四心”与平面向量向量本身是一个几何概念，具有代数形式和几何形式两种表示方法，易于数形结合，而且向量问题在进行数形结合时具有新形式、新特点，因此可称为高中数学的一个交汇点。

三角形的“四心”（外心、内心、重心、垂心）是与三角形有关的一些特殊点，各自有一些特殊的性质。

在高考中，往往将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查。

这就需要我们在熟悉向量的代数运算的基础上读懂向量的几何意义。

与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有： ① 设()+∞∈,0λ，则向量+λ必平分∠BAC ，该向量必通过△ABC 的内心;② 设()+∞∈,0λ，则向量λ必平分∠BAC 的邻补角③ 设()+∞∈,0λ，则向量+λ必垂直于边BC ，该向量必通过△ABC 的垂心④ △ABC 中AC AB +一定过BC uuu r的中点，通过△ABC 的重心⑤ 点O 是△ABC 的外心 222==⇔ ⑥ 点O 是△ABC 的重心 =++⇔⑦ 点O 是△ABC 的垂心 ⇔ OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅⑧ 点O 是△ABC 的内心 =⋅+⋅+⋅⇔c b a (其中a 、b 、c 为△ABC 三边)⑨ △ABC 的外心O 、重心G 、垂心H 共线，即OG ∥OH⑩ 设O 为△ABC 所在平面内任意一点，G 为△ABC 的重心，，I 为△ABC 的内心， 则有)(31++=c b a OC c OB b OA a OI ++++=并且重心G （X A +X B +X C 3 ，Y A +Y B +Y C 3 ） 内心I （aX A + bX B + cX C a+b+c ，ay A + by B + cy Ca+b+c ）例1： O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P满足++=λ，()+∞∈,0λ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）（A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心 事实上如图设,ABAB AE =ACAC AF =都是单位向量易知四边形AETF 是菱形 故选答案B例2： O 为△ABC 所在平面内一点，如果OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则O 必为△ABC 的（ ） （A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心事实上⇒=⋅⇒=⋅-⇒⋅=⋅00)(OB CA OB OC OA OC OB OB OA OB ⊥CA 故选答案D例3：已知O 为三角形ABC 所在平面内一点，且满足222222AB OC CA OB BC OA +=+=+，则点O 是三角形ABC 的（ ）（A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心例4：设O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足)cos cos (CAC BAB OA OP ++=λ，()+∞∈,0λ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC的（ ）（A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心事实上0)()cos cos (=+-⋅=•+BC BC BC CAC AC BAB AB λλ故选答案D 例5.。