全等三角形常见题型

全等三角形的基本模型一、平移模型常见的平移模型：例1：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，点E在边AB上，点F在AB的延长线上，且AE ＝BF.求证：∠ADE＝∠BCF.例2：如图，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF.求证：AC∥DF.二、轴对称模型常见的轴对称类型：例3：如图3－ZT－5，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是() A．AC＝BDB．∠CAB＝∠DBAC．∠C＝∠DD．BC＝AD例4：如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA＝OB，则图中有______ 对全等三角形．例5：如图，点D，E分别在AB，AC上，AB＝AC，BD＝CE.求证：BE＝CD.例6：如图3－ZT－8，EB交AC于点M，交FC于点D，AB交FC于点N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF. 试证明下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM.三、旋转模型常见的旋转模型例7：如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D.求证：PC＝PD.两个特殊的旋转模型：（一）绕点型：（手拉手模型）（1）自旋转（2）共旋转（典型的手拉手模型）例7：在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： 1) △ABE ≌△DBC 2) AE=DC3) AE 与DC 的夹角为60。

4) △AGB ≌△DFB 5) △EGB ≌△CFB 6) BH 平分∠AHC 7) GF ∥AC练习：1. 如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： 1) △ABE ≌△DBC 2) AE=DC3) AE 与DC 的夹角为60。

4) AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC2. △ABD和△ACE均为等腰直角三角形，连接CD，BE交于点O①△ACD ≌△ABE；②∠BOC＝90°；③OA平分∠BOC3. 已知：△ABE和△ACD为两个的等腰三角形，∠BAE＝∠CAD＝∠α，连接EC，BD交于点O①△ABD ≌△AEC；②∠α＋∠BOC＝180°；③OA平分∠BOC模型应用1. (2010·深圳改编)如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，D在AB上．(1)求证：△AOC≌△BOD；(2)判断△CAD是什么形状的三角形，说明理由．2. 如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，连接CD，BE，CD，BE相交于点O，判断CD与BE的位置关系，并说明理由．（二）半角模型：说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

全等三角形证明经典50题已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD1. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB2已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠23 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC4已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C5已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BEADBCCDB ABA CDF2 1 E12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

求证：BC=AB+DC 。

13.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C14. 已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C15. P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-AB16. 已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BE17. 已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DCDCB A FE P D ACB FAE DCB18．（5分）如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ． 19．（5分）如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ．求证：∠OAB =∠OBA 20．（5分）如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．21．（6分）如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠BPED CBA D CBA22．（6分）如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ．（1）求证：MB =MD ，ME =MF（2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．23．（7分）已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点， （1）求证：△AED ≌△EBC ．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）： 24．（7分）如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ．25、（10分）如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。

全等三角形证明经典50题（含答案）1.已知：AB二4, AC=2, D是BC中点，AD是整数，求AD延长AD到E,使DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBD即BE=ΛC=2 在三角形ABE 中，AB-BE<ΛE<ΛB+BE即rl0-2<2ΛD<10+2 4<AD<6又AD是整数，则AD二52.已知：D 是AB 中点，ZACB二90°,求证：CD = -AB从D做辅助线3.已知：BC二DE, ZB=ZE, ZC=ZD, F 是CD 中点，求证：Z1=Z2证明：连接BF 和EF。

因为BC=ED,CF=DF, ZBCF=ZEDFO 所以三角形BCF全等于三角形EDF（边角边）。

所以BF=EF, ZCBF=ZDEFo连接BE。

在三角形BEF 中,BF=EF0所以ZEBF=ZBEFO 又因为ZABC二ZAED。

所以ZABE=ZAEBO 所以AB=AE o 在三角形ABF 和三角形AEF 中,ΛB-AE,BF=EF, ZABF=ZΛBE÷ZEBF=ZΛEB÷ZBEF=ZAEF o所以三角形ABF和三角形AEF全等。

所以ZBΛF= ZEΛF （ZI=Z2）o4.已知：Z1=Z2, CD二DE, EF//AB,求证：EF二AC 证明：过E点，作EG//AC,交AD延长线于G则ZDEG=ZDCA, ZDGE=Z2 又VCD-DEΛZ1ΛDC^ ZJGDE( AAS )ΛEG=ACVEF∕∕ΛBΛ ZDFE=Zr? Z1=Z2.∖ ZDFE=ZDGEΛEF=E G ∙∙∙ EF=AC5.已知：AD 平分ZBΛC, AC=AB÷BD,求证：ZB=2ZC证明：在AC 上截取AE 二AB,连接EDVAD 平分ZBΛC Λ ZEΛD-ZBAD 又TAE 二AB,AD=AD Λ ZlAED^ ZIABD ( SΛS ) ?. ZAED=ZB ,DE=DBVΛC=ΛB+BDΛC=AE÷CEΛCE=DEΛ ZC=ZEDCV ZΛED=ZC÷ZEDC=2ZCΛ ZB二2ZC6.已知：AC平分ZBAD, CE丄AB,ZB+ZD=180o,求证:AE=AD+BE证明：在AE上取F,使EF=EB, 连接CF因为CE丄AB所以ZCEB= ZCEF=90°因为EB=EF, CE=CE, 所以∕∖CEB9ZkCEF 所以ZB = ZCFE 因为ZB+ ZD = 180° , ZCFE + ZCFA = 180°所以ZD = ZCFA因为AC平分ZBAD所以ZDΛC=ZFΛC又因为AC=AC所以∆ΛDC^∆ΛFC (SAS) 所以AD=AF 所以AE=AF+FE=AD+BE12.如图，四边形ABCD中，AB〃DC, BE. CE分别平分ZΛBC. ZBCD,且点E在AD上。

全等三角形的常见题型一、全等三角形的性质：1、如图，△ABC ≌△ADE ，则，AB= ．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC= °．2、如图，△ECD ≌△BCA ，AC ⊥BD 于C ，AB=5 cm ，∠B=60°，则DE= 。

3、已知，如图ΔABE ≌ΔACD ，AB=AC ，BE=CD ，∠B=50°，∠AEC=120°，则∠DAC 的度数为（ ）A. 120°B. 70°C. 60°D.50°4、如图，ΔABC ≌ΔADE ，AB=AD ， AC=AE ，∠B=28º，∠E=95º，∠EAB=20º， 则∠BAD 为（ ）A.75ºB. 57ºC. 55ºD. 77º5、如图，ΔABC ≌ΔBAD ，A 和B ，C 和D 是对应顶点，如果AB=6cm ，BD=5cm ，AD=4cm ，那么BC 等于（ ）A ．6cm B.5cm C.4cm D.5cm 或4cm6、如图, ΔABC ≌ΔADE,AB 和AD,AC 和AE 是对应边,那么∠DAC 等于 A.∠ACB B.∠CAE C.∠BAE D.∠BAC7、已知图2中的两个三角形全等，则∠ 度数是（ ）A.72°B.60°C.58°D.50° 8、如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则∠A ′DB =( ) (A)40°． (B)30°． (C)20°． (D)10°．9、如图所示，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB ，AC 边翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，则∠α的度数为A ．80°B ．100°C ．60°D ．45°．A 'B DAC ABCDEADEBCABCDCBAED10、如图,在正方形ABCD中,E是AD的中点,F是BA延长线上的一点,AF=AB,已知△ABE≌△ADF.⑴在图中,可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE变到△ADF的位置；⑵线段BE与DF有什么关系？证明你的结论.二、全等三角形判定SSSC DB CDD如图，已知点E C，在线段BF上，BE=CF，AB=DE，AC=DF．求证：ABC DEF△≌△．如图，A C＝B D，CB＝A D．求证：∠BAD＝∠ABC．已知:如图,AD=BC,AC=BD.求证:OD=OCCEB FDAOD CAADBFECA BCFECA BDE三、全等三角形判定SAS已知AD AE AB AC ==，．试说明：B C =∠∠；（江津区）如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O. 求证： △ABC ≌△AED ；如图，△ABC 中，∠C=90度，AC=BC ，D 为AB 中点，AE=CF ， 求证：DE=DF ，四边形CEDF 面积为定值在ABC △中，AB AC =，点D 是直线BC 上一点（不与B C 、重合），以AD 为一边在AD 的右侧．．作ADE △，使AD AE DAE BAC =∠=∠，，连接CE ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上，如果90BAC ∠=°，则BCE ∠= 度； （2）设BAC α∠=，BCE β∠=．O C EBD A FE D CB AA BC D E①如图2，当点D 在线段BC 上移动，则αβ，之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D 在直线BC 上移动，则αβ，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．已知Rt ABC △中，90AC BC C D ==︒，∠，为AB 边的中点，90EDF ∠=°，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ． 当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证12DEF CEF ABC S S S +=△△△．当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC 和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEF S △、CEF S △、ABC S △又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．（2009年重庆）如图，在等腰Rt ABC △中，908C AC ∠==°，，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD CE =．连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，下列结论： ①DFE △是等腰直角三角形； ②四边形CDFE 不可能为正方形， ③DE 长度的最小值为4；④四边形CDFE 的面积保持不变； ⑤△CDE 面积的最大值为8． 其中正确的结论是（ ） A ．①②③ B ．①④⑤ C ．①③④ D ．③④⑤A EEA C C DB B 图1 图2 A A 备用图 BC B C备用图 AE CF BD图1图3ADFECBADBCE 图2F如图，扇形ODE 的圆心角为120，正三角形ABC 的中心恰好为扇形ODE 的圆心，且点B 在扇形ODE 内.(1)请连接OA OB 、，并证明AOF BOG △≌△；(2)求证：ABC △与扇形ODE 重叠部分的面积等于ABC △面积的13．如图：在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 两边上的高，在BE 上截取BD=AC ，在CF 的延长线上截取CG=AB ，连结AD 、AG 。

全等三角形经典题型50题1. 已知:AB=4,AC=2, D是BC中点, AD是整数,求AD延长AD到E,使 DE-AD.则三角形ADC全等于三角形EBD印 BE-AC-2 在三角形ABE中,AB-BE<AE-AB+BE即:10-2<2AD<10+24<AD<6又AD是整数,则 AD=5AB2.已知: D是 AB中点,∠ACB=90°,求证: CD=123.已知: BC-DE,∠B -∠E,∠C-∠D, F是CD中点,求证:∠1-∠2证明:连接 BF和EF,因为BC=LD,CF=DF,∠BCF=∠EDF.所以三角形BCF全等于三角形EDF(边角边), 所以BF-EF∠CBF-∠DEF。

连接BE.在三角形BEF 中,BF-EF, 所以∠EBF=∠BEF。

又因为∠ABC-∠AED。

所以∠ABE=∠AEB, 所以 AB=AE, 在三角形ABF和三角形AEF中, AB=AEBF=EF.∠ABF-∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF, 所以三角形ABF 和三角形AEF 全等。

所以∠BAF-∠EAF(∠1=∠2).5. 已知:AD 平分∠BAC. AC=AB+BD.求证:∠B=2∠C证明: 在AC 上载取AE AB,连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴/EAD/BAD 又∵AH AB, AD -AD ∴△AED ≌△ABD(SAS) ∴∠AED /B. DE D8 ∵AC -AB+BD AC AE+CH ∴CE-DE ∴∠C-∠IDC ∵∠AED-∠C ∠EDC-2∠C ∴∠B-2∠C12.如图,四边形ABCD 中, AB ∥DC,BE 、CE 分别平分∠ABC,∠BCD,且点E 在AD 上,求证:BC-AB+DC.4. 已知: ∠1=∠2,CD=DE,EF:AB,求证:EF=AC 证明: 过B 点、 作EG∥AC, 交 AD 延长线于 G 则∠DEG -∠DCA,∠DGE -∠2 又∵CD -DE ∴∠ADC≌AGDE(AAS)∴EGAC∵EF∥AB∴∠DFE=∠1∵∠1∠2∴∠DFE -∠DGE∴FF -EG ∴FF -AC6. 已知: AC 平分∠BAD. CE⊥ AB,∠B+∠D 180° , 求证: AE -AD+BE证明: 在AE 上取F.使EF-EB.连接 CF 因为 CE⊥AB 所 以∠CTB -∠CEF -90° 因为EB= EF : CE= CE,所以△CEB≌△CEF 所以∠B=∠CFE 因为∠B+∠D -180°, ∠CFE+∠CFA=180° 所以∠D=∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC =∠FAC 又因为AC=AC 所以△ADC≌△AFC(SAS) 所以AD=AF 所以AE=AF +FE=AD+BE证明:在 BC 上截取BF-BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则∠ADL ≅△l ′DL (SAS ),∠EFB =∠A;AB 平行于CD.则∠A+∠D=180°,又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCECE=CE.故△FCE≌ADCE(AAS),FC -CD.所以,BC-BF+FC-AB+CD.13.已知: AB/ED, ∠EAB=∠BDE, AF-CD, EF-BC, 求证: ∠F-∠C14.已知:AB=CD,∠A=∠D,求证:∠B=∠C15. P 是∠BAC 平分数AD 上点,AC>AB,求证: PC-PB<AC-AB∠ABE=90-∠1=2∠C延长BE 交AC 于F因为, ∠1=∠2, BE ⊥AE所以,△ABF 是等腰三角形 AB=AF,BF=2BE ∠FBC=∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠CBF-CF AC-AB-AC-AF-CF-BF-2BE17.已知,E 是 AB 中点,AF=BD,BD=5, AC=7, 求 DCAB∥ED,AE∥BD 推出AE=BD,又有AF-CD,EF-BC所以三角形AEF 全等于三角形DCB.所以:∠C -∠F 1: 证明: 设线段 AB,CD 所在的直线交于E,(当AD<BC 时,E 点是射线 BA. CD 的交点,当AD=BC 时,E 点是射线ABDC 的交点)。

三角形全等的判定（6种题型）【知识梳理】一、全等三角形判定——“边边边”全等三角形判定——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .二、全等三角形判定——“边角边”1. 全等三角形判定——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.三、垂直平分线：1.定义：垂直于一条线段,并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线,简称中垂线.2.性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等四、全等三角形判定——“角边角”全等三角形判定——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）.要点诠释：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .五、全等三角形判定——“角角边” 1.全等三角形判定——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC 和△ADE 中，如果BC ，那么∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，又∠A ＝∠A ，但△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.六、角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等.【考点剖析】题型一、全等三角形的判定——“边边边”例1、已知：如图，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分∠PRQ ．【思路点拨】由中点的定义得PM ＝QM ，RM 为公共边，则可由SSS 定理证明全等.【答案与解析】证明：∵M 为PQ 的中点（已知），∴PM ＝QM在△RPM 和△RQM 中，()(),,RP RQ PM QM RM RM ⎧=⎪=⎨⎪=⎩已知公共边 ∴△RPM ≌△RQM （SSS ）．∴ ∠PRM ＝∠QRM （全等三角形对应角相等）．即RM 平分∠PRQ.【总结升华】在寻找三角形全等的条件时有的可以从图中直接找到，如：公共边、公共角、对顶角等条件隐含在题目或图形之中. 用全等三角形的性质和判定.【变式】已知：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：∠CAD ＝∠DBC.【答案】证明：连接DC ，在△ACD 与△BDC 中()AD BC AC BDCD DC ⎧=⎪=⎨⎪=⎩公共边 ∴△ACD≌△BDC（SSS ）∴∠CAD ＝∠DBC （全等三角形对应角相等）【变式2】、如图，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，求证：∠BAD ＝∠CAE.【答案与解析】证明：在△ABD 和△ACE 中，AB AC AD AE BD CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACE （SSS ）∴∠BAD ＝∠CAE （全等三角形对应角相等）.【总结升华】把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的判定和性质. 要证∠BAD ＝∠CAE ，先找出这两个角所在的三角形分别是△BDA 和△CAE ，然后证这两个三角形全等.题型二、全等三角形的判定——“边角边”例2、已知：如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠1＝∠2．求证：BC ＝DE ．【思路点拨】由条件AB ＝AD ，AC ＝AE ，需要找夹角∠BAC 与∠DAE ，夹角可由等量代换证得相等.【答案与解析】证明： ∵∠1＝∠2∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD ，即∠BAC ＝∠DAE在△ABC 和△ADE 中AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADE （SAS ）∴BC ＝DE （全等三角形对应边相等）【总结升华】证明角等的方法之一：利用等式的性质，等量加等量，还是等量.【变式】如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A 、B 、D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC ＝∠EBD ＝90°），连接AE 、CD ，试确定AE 与CD 的位置与数量关系，并证明你的结论．【答案】AE ＝CD ，并且AE ⊥CD证明：延长AE 交CD 于F ，∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形∴AB ＝BC ，BD ＝BE在△ABE 和△CBD 中90AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CBD （SAS ）∴AE ＝CD ，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC ＝90°∴AE ⊥CD例3、如图，AD 是△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD ．【思路点拨】延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE ．通过证全等将AB 转化到△CEA 中，同时也构造出了2AD ．利用三角形两边之和大于第三边解决问题.【答案与解析】证明：如图，延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE ．在△ABD 和△ECD 中，AD DE ADB EDC BD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝．∴△ABD ≌△ECD （SAS ）．∴AB ＝CE ．∵AC ＋CE ＞AE ，∴AC ＋AB ＞AE ＝2AD ．即AC ＋AB ＞．【总结升华】证明边的大小关系主要有两个思路：（1）两点之间线段最短；（2）三角形的两边之和大于第三边．要证明AB ＋AC ＞2AD ，如果归到一个三角形中，边的大小关系就是显然的，因此需要转移线段，构造全等三角形是转化线段的重要手段．可利用旋转变换，把△ABD 绕点D 逆时针旋转180°得到△CED ，也就把AB 转化到△CEA 中，同时也构造出了2AD ．若题目中有中线，倍长中线，利用旋转变换构造全等三角形是一种重要方法．例4、已知，如图：在△ABC 中，∠B ＝2∠C ，AD ⊥BC ，求证：AB ＝CD －BD ．【思路点拨】在DC 上取一点E ，使BD ＝DE ，则△ABD ≌△AED ，所以AB ＝AE ，只要再证出EC ＝AE 即可．【答案与解析】证明：在DC 上取一点E ，使BD ＝DE∵ AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠ADE在△ABD 和△AED 中，BD DE ADB=ADE AD AD ⎧⎪⎨⎪⎩＝∠∠＝∴△ABD ≌△AED （SAS ）．∴AB ＝AE ，∠B ＝∠AED ．又∵∠B ＝2∠C ＝∠AED ＝∠C ＋∠EAC ．∴∠C ＝∠EAC ．∴AE ＝EC ．∴AB ＝AE ＝EC ＝CD —DE ＝CD —BD ．【总结升华】此题采用截长或补短方法.上升到解题思想，就是利用翻折变换，构造的全等三角形，把条件集中在基本图形里面，从而使问题加以解决．如图，要证明AB ＝CD －BD ，把CD －BD 转化为一条线段，可利用翻折变换，把△ABD 沿AD 翻折，使线段BD 运动到DC 上，从而构造出CD －BD ，并且也把∠B 转化为∠AEB ，从而拉近了与∠C 的关系.【变式】已知，如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，并且AE ＝12（AB ＋AD ）， 求证：∠B ＋∠D ＝180°. AE D CB【答案】证明：在线段AE 上，截取EF ＝EB ，连接FC ，∵CE ⊥AB ，∴∠CEB ＝∠CEF ＝90°在△CBE 和△CFE 中，CEB CEF EC =EC EB EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△CBE 和△CFE （SAS ）∴∠B ＝∠CFE∵AE ＝12（AB ＋AD ），∴2AE ＝ AB ＋AD ∴AD ＝2AE －AB∵AE ＝AF ＋EF ，∴AD ＝2（AF ＋EF ）－AB ＝2AF ＋2EF －AB ＝AF ＋AF ＋EF ＋EB －AB ＝AF ＋AB －AB ，即AD ＝AF在△AFC 和△ADC 中(AF AD FAC DAC AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩角平分线定义）∴△AFC ≌△ADC （SAS ）∴∠AFC ＝∠D∵∠AFC ＋∠CFE ＝180°，∠B ＝∠CFE.∴∠AFC ＋∠B ＝180°，∠B ＋∠D ＝180°.题型三、全等三角形的判定——“角边角”例5、已知：如图，E ，F 在AC 上，AD ∥CB 且AD ＝CB ，∠D ＝∠B ．求证：AE ＝CF ．【答案与解析】证明：∵AD ∥CB∴∠A ＝∠C在△ADF 与△CBE 中A C AD CB D B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADF ≌△CBE （ASA ）∴AF ＝CE ，AF ＋EF ＝CE ＋EF故得：AE ＝CF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．【变式】（2022•长安区一模）已知：点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB ∥DE ，AC ∥DF ，BE ＝CF ．求证：△ABC ≌△DEF ．【分析】先利用平行线的性质得到∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，再证明BC＝EF，然后根据“ASA”可判断△ABC≌△DEF．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，{∠B=∠DEF BC=EF∠ACB=∠F，∴△ABC≌△DEF（ASA）．5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．例6、如图，G是线段AB上一点，AC和DG相交于点E.请先作出∠ABC的平分线BF，交AC于点F；然后证明：当AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝2∠ADG时，DE＝BF.【思路点拨】通过已知条件证明∠DAC＝∠C，∠CBF＝∠ADG，则可证△DAE≌△BCF【答案与解析】证明：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠C∵BF平分∠ABC∴∠ABC＝2∠CBF∵∠ABC＝2∠ADG∴∠CBF＝∠ADG在△DAE 与△BCF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠C DAC BCAD CBF ADG ∴△DAE≌△BCF（ASA ）∴DE＝BF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．【变式】已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM.【答案】证明：∵MQ 和NR 是△MPN 的高，∴∠MQN ＝∠MRN ＝90°，又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4∴∠1＝∠2在△MPQ 和△NHQ 中，12MQ NQ MQP NQH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MPQ ≌△NHQ （ASA ）∴PM ＝HN题型四、全等三角形的判定——“角角边”例7.（2021秋•苏州期末）如图，在四边形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠ACD ，∠CED +∠B ＝180°．求证：△ADE ≌△CAB ．【分析】由等角对等边可得AC＝AD，再由平行线的性质可得∠DAE＝∠ACB，由∠CED+∠B＝180°，∠CED+∠AED＝180°，得∠AED＝∠B，从而利用AAS可判定△ADE≌△CAB．【解答】证明：∵∠ADC＝∠ACD，∴AD＝AC，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠ACB，∵∠CED+∠B＝180°，∠CED+∠AED＝180°，∴∠AED＝∠B，在△ADE与△CAB中，{∠DAE=∠ACB ∠AED=∠BAD=AC，∴△ADE≌△CAB（AAS）．【点评】本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是由已知条件得出相应的角或边的关系．例8、已知：如图，AB⊥AE，AD⊥，∠E＝∠B，DE＝CB．求证：AD＝AC．【思路点拨】要证AC＝AD，就是证含有这两个线段的三角形△BAC≌△EAD.【答案与解析】证明：∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠CAD＝∠BAE＝90°∴∠CAD＋∠DAB＝∠BAE＋∠DAB ，即∠BAC＝∠EAD在△BAC和△EAD中BAC EAD B E CB=DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△BAC ≌△EAD （AAS ）∴AC ＝AD【总结升华】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等． 题型五：线段的垂直平分线 例9．（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）如图所示，在ABC 中，8AC =，5BC =，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，则BCE 的周长为（ ）A ．13B ．18C ．10.5D ．21【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AE BE =，再将BCE 的周长转化为AC BC +的长，即可求解.【详解】解：DE 是AB 的垂直平分线，∴AE BE =，∴BCE 的周长为BE EC BC AE EC BC AC BC ++=++=+，8AC =，5BC =，∴BCE 的周长为8513AC BC +=+=，故选：A ．【点睛】本题主要考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．【变式1】（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，点D 是ABC 边AC 的中点，过点D 作AC 的垂线交BC 于点E ，已知6AC =，ABC 的周长为14，则ABE 的周长是（ ）A ．6B ．14C ．8D ．20【答案】C 【分析】由题意可知：ED 垂直平分AC ,故EA EC =，结合6AC =，ABC 的周长为14，即可得出答案．【详解】解：∵点D 是ABC 边AC 的中点， ED AC ⊥,∴ED 垂直平分AC ,∴EA EC =，∵6AC =，ABC 的周长为14，∴1468AB BC +=−=,∴8AB BC AB BE EC AB BE AE +=++=++=,∴ABE 的周长是8．故选：C ．【点睛】此题考查了垂直平分线的性质和判定，掌握垂直平分线的性质和判定是解题的关键．【答案】C 【分析】根据垂直平分线的性质可知，到A ，B ，C 表示三个居民小区距离相等的点，是AC ，BC 两边垂直平分线的交点，由此即可求解．【详解】解：如图所示，分别作AC ，BC 两边垂直平分线MN ，PQ 交于点O ，连接OA，OB，OC，∵MN，PQ是AC，BC两边垂直平分线，==，∴OA OB OC∴点O是到三个小区的距离相等的点，即点O是AC，BC两边垂直平分线的交点，故选：C．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．八年级专题练习）如图，在ABC中，是ABC外的一点，且【分析】根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，即可证明A、D都在BC的垂直平分线上，由此即可证明结论．AB AC，【详解】证明：∵=∴点A在BC的垂直平分线上，BD CD，∵=∴点D在BC的垂直平分线上，∴A、D都在BC的垂直平分线上，∴AD垂直平分BC．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟知线段垂直平分线的判定条件是解题的关键．【变式】．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，点E是△ABC的边AB的延长线上一点，∠BCE＝∠A＋∠ACB，求证：点E在BC的垂直平分线上．【分析】由三角形的外角性质得到∠EBC=∠A+∠ACB，结合已知推出∠BCE=∠EBC，得到BE=CE，即可得到结论．【详解】证明：∵∠BCE=∠A+∠ACB，∠EBC=∠A+∠ACB，∴∠BCE=∠EBC，∴BE=CE，∴点E在BC的垂直平分线上．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，线段垂直平分线的判定，用到的知识点：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．题型六：角平分线【答案】A【分析】根据角平分线上的点到两边的距离相等即可解答．【详解】根据题意要使集贸市场到三条公路的距离相等即集贸市场应建在三个角的角平分线的交点．故本题选A ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解答本题的关键． 的中点，ABC ，则BED 的面积为（ 【答案】C【分析】作DF AC ⊥于F ，DM AB ⊥于点M ，根据角平分线的性质求出DM ，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：作DF AC ⊥于F ，DM AB ⊥于点MAD 是ABC 的角平分线DF AC ⊥于F ，DM AB ⊥，112122AC DF AB DM ∴⋅+⋅=，112122AC DM AB DM ⋅+⋅=∴即：3421DM DM +=得3DM =8AB =， E 是AB 的中点，142BE AB ∴== 1143622BEDS BE DM ∴=⋅=⨯⨯= 故选：C ．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键． 例12．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知：如图，90B C ∠=∠=，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠．(1)若连接AM ，则AM 是否平分BAD ∠？请你证明你的结论；(2)线段DM 与AM 有怎样的位置关系？请说明理由．【答案】(1)AM 平分BAD ∠，证明见解析(2)DM AM ⊥，理由见解析【分析】（1）过点M 作ME AD ⊥，垂足为E ，证明ME MC MB ==即可得证．（2）利用两直线平行，同旁内角互补，证明1390∠+∠=．【详解】（1）AM 平分BAD ∠，理由为：证明：过点M 作ME AD ⊥，垂足为E ，∵DM 平分ADC ∠，∴12∠=∠，∵ME AD ⊥，MC CD ⊥∴MC ME =（角平分线上的点到角两边的距离相等），又∵MC MB =，∴ME MB =，∵MB AB ⊥，ME AD ⊥，∴AM 平分BAD ∠（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．（2）DM AM ⊥，理由如下：∵90B C ∠=∠=，∴,DC CB AB CB ⊥⊥，∴DC AB ∥（垂直于同一条直线的两条直线平行），∴180DAB CDA ∠+∠=（两直线平行，同旁内角互补）又∵111,322CDA DAB ∠=∠∠=∠（角平分线定义） ∴2123180∠+∠=，∴1390∠+∠=，∴90AMD ∠=．即DM AM ⊥．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理和判定定理，平行线的性质，熟练掌握以上的知识是解题的关键． 【变式1】（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）如图 90B C ∠=∠=︒，E 为BC 上一点，AE 平分BAD ∠，DE 平分CDA ∠．(1)求AED ∠的度数；(2)求证：E 是BC 的中点．【答案】(1)90︒(2)见解析．【分析】（1）利用已知条件可以得到180BAD CDA ∠+∠=︒，想要求AED ∠的度数，只需要根据三角形内角和定理和角平分线的性质即可得到结论．（2）过点E 做EF AD ⊥，根据角平分线上的点到角的两边距离相等即可得结论．【详解】（1）解：∵90B C ∠=∠=︒，∴DC AB ∥，∴180BAD CDA ∠+∠=︒，∵AE 平分BAD ∠，DE 平分CDA ∠， ∴12EAD BAD ∠=∠，12EDA CDA ∠=∠， ∴1()902EAD EDA BAD CDA ∠+∠=∠+∠=︒，∴180()90AED EAD EDA ∠=︒−∠+∠=︒；（2）证明：过点E 作EF AD ⊥于点F ，∵AE 平分BAD ∠，90B Ð=°，EF AD ⊥，∴EF EB =．∵DE 平分CDA ∠，90C ∠=︒，EF AD ⊥，∴EF EC =．∴EB EC =，即E 是BC 的中点．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，以及角平分线上的点到角两边距离相等的性质，熟记性质和定理并做出辅助线是解题的关键．【变式2】．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在ABC 外作两个大小不同的等腰直角三角形，其中90DAB CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AC AE =．连接DC 、BE 交于F 点．(1)求证：DAC BAE ≌△△； (2)直线DC 、BE 是否互相垂直，试说明理由；(3)求证：AF 平分DFE ∠．【答案】(1)见解析(2)DC BE ⊥，理由见解析(3)见解析【分析】（1）由题意可得AD AB =，AC AE =，由90DAB CAE ∠=∠=︒，可得到DAC BAE ∠=∠，从而可证DAC BAE ≌△△；（2）由（1）可得ACD AEB ∠=∠，再利用直角三角形的性质及等量代换即可得到结论；（3）作AM DC ⊥于M ，AN BE ⊥于N ，利用全等三角形的面积相等及角平分线的判定即可证得结论．【详解】（1）证明：∵90DAB CAE ∠=∠=︒，∴DAB BAC CAE BAC ∠+∠=∠+∠，即DAC BAE ∠=∠，又∵AD AB =，AC AE =，∴()SAS DAC BAE ≌△△；（2）解：DC BE ⊥，理由如下；∵DAC BAE ≌△△， ∴ACD AEB ∠=∠，∵90AEB AOE ∠+∠= ，AOE FOC ∠=∠，∴90FOC ACD ∠+∠=，∴90EFC ∠=，∴DC BE ⊥；（3）证明：作AM DC ⊥于M ，AN BE ⊥于N ，∵DAC BAE ≌△△， ∴DAC BAE S S ∆∆=，DC BE =， ∴1122DC AM BE AN ⋅=⋅，∴AM AN =，∴AF 平分DFE ∠．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，及直角三角形的性质，角平分线的判定，熟练掌握判定和性质是解决本题的关键．【变式3】（2023春·浙江金华·八年级浙江省义乌市后宅中学校考阶段练习）已知：OP 平分MON ∠，点A ，B 分别在边OM ，ON 上，且180OAP OBP ∠∠+=︒．(1)如图1，当90OAP ∠=︒时，求证：OA OB =；(2)如图2，当90OAP ∠<︒时，作PC OM ⊥于点C ．求证：①PA PB =；②请直接写出OA ，OB ，AC 之间的数量关系 ．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②2OA OB AC −=【分析】（1）证明()AAS OPA OPB ≌，即可得证；（2）①作PD ON ⊥于点D ，证明()AAS PAC PBD ≌，即可得证； ②证明()AAS OCP ODP ≌，得出OD =，根据AC BD =，即可得证．【详解】（1）证明：180OAP OBP ∠∠+=︒，且90OAP ∠=︒，90OAP OBP ∠∠∴==︒，OP 平分MON ∠，POA POB ∠∠∴=，OP OP =，()AAS OPA OPB ∴≌，OA OB ∴=；（2）证明：①如图2，作PD ON ⊥于点D ，PC OM ⊥于点C ，PC PD ∴=，90PCA PDB OCP ∠∠∠===︒，180OAP OBP ∠∠+=︒，180DBP OBP ∠∠+=︒，OAP DBP ∠∠∴=，在PAC 和PBD 中，CAP DBP PCA PDBPC PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AAS PAC PBD ∴≌， PA PB ∴=；②结论：2OA OB AC −=．理由：在OCP 和ODP 中，OCP ODP COP DOP OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS OCP ODP ∴≌，OC OD ∴=，OA AC OB BD ∴−=+，AC BD =，2OA OB AC BD AC ∴−=+=．故答案为：2OA OB AC −=．【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．【过关检测】一、单选题 1．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，在ABC 中，90A ∠=︒，点D 是边AC 上一点，3DA =，若点D 到BC 的距离为3，则下列关于点D 的位置描述正确的是（ ）A ．点D 是AC 的中点B ．点D 是B ∠平分线与AC 的交点 C ．点D 是BC 垂直平分线与AC 的交点D ．点D 与点B 的距离为5【答案】B 【分析】作DE BC ⊥于E ，连接BD ，利用角平分线的判定定理可证明BD 是ABC ∠的角平分线，即可作答．【详解】解：如图所示：作DE BC ⊥于E ，连接BD ，∵3DA =，点D 到BC 的距离为3，∴=AD DE ，∵90A ∠=︒，∴DA BA ⊥，∵DE BC ⊥，∴BD 是ABC ∠的角平分线，即点D 是ABC ∠的角平分线与AC 的交点，故B 项正确；其余选项，利用现有条件均无法得出，故选：B ．【点睛】本题主要考查了角平分线的判定定理，作出辅助线，证明BD 是ABC ∠的角平分线，是解答本题的关键． 2．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，已知BF DE =，AB ∥DC ，要使ABF CDE ≅△△，添加的条件可以是（ ）A．BE DF =B ．AF CE =C ．AB CD = D ．B D ∠=∠【答案】C 【分析】根据AB ∥DC ，可得B D ∠=∠，又BF DE =，所以添加AB CD =，根据SAS 可证ABF CDE ≅△△．【详解】解：应添加AB DC =，理由如下：AB ∥DC ，B D ∴∠=∠．在ABF △和CDE 中，AB CD B DBF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)ABF CDE ∴≅，故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．3．（2023·浙江金华·统考二模）如图，ABC 和DEF 中，AB DE ∥，A D ∠=∠，点B ，E ，C ，F 共线，添加一个条件，不能判断ABC DEF ≌△△的是（ ）A ．AB DE =B ．ACB F ∠=∠C ．BE CF =D ．AC DF =【答案】B 【分析】根据AB DE ∥可得B DEF ∠=∠，加上A D ∠=∠，可知ABC 和DEF 中两组对角相等，因此一组对边相等时，即可判断ABC DEF ≌△△． 【详解】解：AB DE ∥，∴B DEF ∠=∠， 又A D ∠=∠，∴ABC 和DEF 中两组对角相等，当AB DE =时，根据ASA 可证ABC DEF ≌△△，故A 选项不合题意； 当ACB F ∠=∠时，ABC 和DEF 中，三组对角相等，不能判断ABC DEF ≌△△，故B 选项符合题意； 当BE CF =时，BC EF =，根据AAS 可证ABC DEF ≌△△，故C 选项不合题意； 当AC DF =时，根据AAS 可证ABC DEF ≌△△，故D 选项不合题意； 故选B ．【点睛】本题考查添加条件使三角形全等，解题的关键是熟练掌握全等三角形的各种判定方法．．ABC 的三条中线的交点．ABC 三边的垂直平分线的交点．ABC 三条角平分线的交点．ABC 三条高所在直线的交点【答案】C【分析】角平分线上的点到角的两边的距离相等，由此可解．【详解】解：要使凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭应在ABC 三条角平分线的交点处．故选C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是注意区分三角形中线的交点、高的交点、垂直平分线的交点以及角平分线的交点之间的区别． 5．（2020秋·浙江·八年级期末）如图，AD 是ABC 中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥交AB 于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ，若7ABC S =△，2DE =，4AB =，则AC 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A 【分析】先根据角平分线的性质得到2DF DE ==，再利用三角形面积公式得到11242722AC ⨯⨯+⨯⨯=，然后解关于AC 的方程即可．【详解】解：∵AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，2DE =，∴2DF DE ==，∵7ABC S =△，4AB =，又∵ABD ACD ABC S S S +=△△△，∴111124272222AB DE DF AC AC ⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=，∴3AC =．故选：A ．【点睛】本题考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．理解和掌握角平分线的性质是解题的关键．本题也考查了三角形的面积及等积变换．6．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，用B C ∠=∠，12∠=∠，直接判定ABD ACD ≌△△的理由是（ ）A ．AASB ．SSSC ．ASAD ．SAS【答案】A 【分析】根据三角形全等的判定方法判定即可．【详解】解：在ABD △和ACD 中，12B CAD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()AAS ABD ACD ≌，故A 正确． 故选：A ．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，解题的关键是掌握证明全等三角形的几种证明方法：AAS 、ASA 、SSS 、SAS 、HL ．A ．2B ．【答案】C 【分析】由FC AB ∥，得F ADE ∠=∠,FCE A ∠=∠，即可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明CFE ADE ≅，则4CF AD AB BD ==−=．【详解】解：FC AB ∥，F ADE ∴∠=∠，FCE A ∠=∠，在CFE 和ADE V 中，F ADE FCE AFE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS CFE ADE ∴≅， CF AD ∴=，5AB =，1BD =，514AD AB BD ∴=−=−=，4CF ∴=，CF ∴的长度为4．故选：C ．【点睛】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明CFE ADE ≅是解题的关键．A ．SSS【答案】B 【分析】根据已知条件两边，及两边的夹角是对顶角解答．【详解】解：在AOB 和COD △中，OA OC AOB COD OB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOB COD SAS ∴≌． 故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，准确识图判断出两组对应边的夹角是对顶角是解题的关键． 9．（2022秋·浙江嘉兴·九年级校考期中）在联欢会上，有A 、B 、C 三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放在ABC 的（ ）A ．三边垂直平分线的交点B ．三杂中线的交点C ．三条角平分线的交点D ．三条高所在直线的交点【答案】A【分析】根据题意可知，当木凳所在位置到A 、B 、C 三个顶点的距离相等时，游戏公平，再由线段垂直平分线的性质即可求解．【详解】解：由题意可得：当木凳所在位置到A 、B 、C 三个顶点的距离相等时，游戏公平，∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，∴木凳应放的最适当的位置是在ABC 的三边垂直平分线的交点，故选：A ．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质的应用，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． ）可说明ABC 与△ 【答案】A 【分析】先根据垂直的定义可得90ACB ADB ∠=∠=︒，再根据角平分线的定义可得CAB DAB ∠=∠，然后根据AAS 定理即可得．【详解】解：,BC AC BD AD ⊥⊥，90ACB ADB ∴∠=∠=︒，AB 平分CAD ∠，CAB DAB ∴∠=∠，在ABC 和ABD △中，90ACB ADB CAB DABAB AB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS ABC ABD ∴≌，故选：A ． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．二、填空题【答案】CA FD =，B E ∠=∠，A D ∠=∠，AB DE ∥等【分析】可选择CA FD =添加条件后，能用SAS 进行全等的判；也可选择B E ∠=∠添加条件后，能用ASA 进行全等的判定；也可选择A D ∠=∠添加条件后，能用AAS 进行全等的判定；也可选择AB DE ∥添加条件后，能用ASA 进行全等的判定即可；【详解】解：添加CA FD =，∵12∠=∠，BC EF =，∴()SAS ABC DEF ≌△△，故答案为：CA FD =；或者添加B E ∠=∠，∵BC EF =，12∠=∠，∴()ASA ABC DEF ≌△△，故答案为：B E ∠=∠；或者添加A D ∠=∠，∵12∠=∠，BC EF =，∴()AAS ABC DEF ≌△△，故答案为：A D ∠=∠；或者添加AB DE ∥，∵AB DE ∥，∴B E ∠=∠，∵12∠=∠，BC EF =，∴()AAS ABC DEF ≌△△，故答案为：AB DE ∥．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解答本题关键是掌握全等三角形的判定定理，本题答案不唯一．【答案】AB DC =【分析】添加条件AB DC =，利用SAS 证明ABC DCB △≌△即可．【详解】解：添加条件AB DC =，理由如下：在ABC 和DCB △中，AB DC ABC DCBBC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS ABC DCB △≌△， 故答案为：AB DC =．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有SSS SAS AAS ASA HL ，，，，． 13．（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）如图，已知AC DB =，要使得ABC DCB ≅，根据“SSS”的判定方法，需要再添加的一个条件是_______．【答案】ABDC =【分析】要使ABC DCB ≅，由于BC 是公共边，若补充一组边相等，则可用SSS 判定其全等．【详解】解：添加AB DC =．在ABC 和DCB △中AB DC BC CB AC BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴()ABC DCB SSS ≅△△， 故答案为：AB DC =．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．添加时注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择添加的条件是正确解答本题的关键．14．（2022秋·浙江丽水·八年级统考期末）如图，在ABC 中，CD 是边AB 上的高，BE 平分ABC ∠，交CD 于点E ，6BC =，若BCE 的面积为9，则DE 的长为______．【答案】3【分析】过E 作EF BC ⊥于F ，根据角平分线性质求出EF DE =，根据三角形面积公式求出即可．【详解】解：过E 作EF BC ⊥于F ，CD 是AB 边上的高，BE 平分ABC ∠，交CD 于点E ，DE EF ∴=，192BCE S BC EF =⋅=，1692EF ∴⨯⨯=，3EF DE ∴==，故答案为：3．【点睛】本题考查了角平分线性质的应用，能根据角平分线性质求出3EF DE ==是解此题的关键，注意：在角的内部，角平分线上的点到角的两边的距离相等． 八年级期末）如图，在ABC 中， 【答案】4【分析】根据线段垂直平分线的性质得到2AD BD ==，则4CD AC AD =−=．【详解】解：∵AB 的垂直平分线交AB 于点E ，交AC 于点D ，∴2AD BD ==，∵6AC =，∴4CD AC AD =−=，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 16．（2022秋·浙江温州·八年级校联考期中）如图，在ABC 中，DE 是AC 的中垂线，分别交AC ，AB 于点D ，E ．已知BCE 的周长为9，4BC =，则AB 的长为______．【答案】5【分析】先利用三角形周长得到5CE BE +=，再根据线段垂直平分线的性质得到EC EA =，然后利用等线段代换得到AB 的长．【详解】解：∵BCE 的周长为9，9CE BE BC ∴++=，又4BC =，5CE BE ∴+=，又DE 是AC 的中垂线，EC EA ∴=，5AB AE BE CE BE ∴=+=+=；故答案为：5．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．17．（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）如图，已知12∠=∠，要说明ABC BAD ≌，（1）若以“SAS ”为依据，则需添加一个条件是__________；（2）若以“ASA ”为依据，则需添加一个条件是__________．【答案】 BC AD = BAC ABD ∠=∠【分析】（1）根据SAS 可添加一组角相等，故可判定全等；（2）根据ASA 可添加一组角相等，故可判定全等；【详解】解：（1）已知一组角相等和一个公共边，以“SAS ”为依据，则需添加一组角，即BC AD =故答案为：BC AD =；（2）已知一组角相等，和一个公共边，以“ASA ”为依据，则需添加一组角，即BAC ABD ∠=∠． 故答案为：BAC ABD ∠=∠．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS SAS ASA AAS HL 、、、、．添加时注意：AAA SSA 、不能判定两个三角形全等． 18．（2019秋·浙江嘉兴·八年级校考阶段练习）如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB ∥DE ，AB=DE ，BE=CF ，AC=6，则DF=________【答案】6.【分析】根据题中条件由SAS 可得△ABC ≌△DEF ，根据全等三角形的性质可得AC=DF=6．【详解】∵AB ∥DE ，∴∠B=∠DEF∵BE=CF ，∴BC=EF ，在△ABC 和△DEF 中，AB DE B DEFBC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SAS ），∴AC=DF=6．考点：全等三角形的判定与性质．。

全等三角形证明经典50题（含答案）1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD延长AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD 是整数,则AD=52. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF 。

因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。

所以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。

所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。

连接BE 。

在三角形BEF 中,BF=EF 。

所以 ∠EBF=∠BEF 。

又因为 ∠ABC=∠AED 。

所以 ∠ABE=∠AEB 。

所以 AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形AEF 中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。

所以 三角形ABF 和三角形AEF 全等。

所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

ADBC4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BDAC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠ED C ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

全等三角形经典题型50题（含答案）全等三角形证明经典50题（含答案）1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求ADA BDC延长AD到E,使DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE中,AB-BE2. 已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：CD?A 12ABD C B3. 已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2A 1 2B EC FD 证明：连接BF和EF。

??因为BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。

??所以三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。

??所以BF=EF,∠CBF=∠DEF。

????连接BE。

??在三角形BEF中,BF=EF。

??所以∠EBF=∠BEF。

??又因为∠ABC=∠AED。

??所以∠ABE=∠AEB。

??所以AB=AE。

????在三角形ABF和三角形AEF中，??AB=AE,BF=EF,??∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。

??所以三角形ABF和三角形AEF全等。

??所以∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

??4. 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC证明：??过E点，作EG//AC，交AD延长线于G??则∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2??又∵CD=DE??∴SADC≌SGDE （AAS）??∴EG=AC??∵EF//AB??∴∠DFE=∠1??∵∠1=∠2??∴∠DFE=∠DGE??∴EF=EG??∴EF=AC5. 已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠CA B E A 1 2 F C D B D C证明：??在AC上截取AE=AB，连接ED??∵AD平分∠BAC??∴∠EAD=∠BAD??又∵AE=AB，AD=AD??∴SAED≌SABD （SAS）??∴∠AED=∠B，DE=DB??∵AC=AB+BD??AC=AE+C E??∴CE=DE??∴∠C=∠EDC??∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C??∴∠B=2∠C6. 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明：??在AE上取F，使EF＝EB，连接CF ??因为CE⊥AB ??所以∠CEB＝∠CEF＝90° ??因为EB＝EF，CE＝CE，??所以△CEB≌△CEF??所以∠B＝∠CFE ??因为∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180° ??所以∠D＝∠CFA ??因为AC平分∠BAD ??所以∠DAC＝∠FAC ??又因为AC＝AC ??所以△ADC≌△AFC（SAS）??所以AD＝AF ??所以AE＝AF＋FE＝AD＋BE ????12. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。

最新全等三角形经典题型50题(含答案)连接CF，BD。

因为AC平分∠BAD，所以∠CAE=∠CAD。

又∠CEB=90°，所以∠BEC=∠BAE。

因为EF＝EB，所以∠XXX∠XXX。

所以∠XXX∠BAE+∠XXX∠CAE+∠BEF=∠CAF。

所以三角形BCF和三角形CAF全等。

所以CF=AC。

又因为∠B+∠D=180°，所以∠XXX∠BAC。

所以三角形BDC和三角形BAC相似。

所以XXX。

又∠CAE=∠CAD，所以三角形CAE和三角形CAD相似。

所以XXX。

因为CE⊥AB，所以CE＝BD。

所以AE/AD=BD/CD。

所以AE/AD=AB+BD/CD。

所以AE/AD=AB/CD+BD/CD。

所以AE/AD=AB/AC+BD/AC。

所以AE/AD=AB+BD/AC。

所以AE=AD+BE。

AF=AB又因为，∠ABE=2∠C，∠XXX∠BAC-∠CAE=3∠C-90，∠ABF=180-∠ABE-∠BAF=5∠C-90所以，∠XXX-∠ABF=2∠C-90，∠BEF=180-∠ABE-∠FBE=3∠C因此，△XXX和△ABC相似所以，BE/AB=EF/BC，即BE=(AB×EF)/BC又因为，AC=AB+BC，所以AC-AB=BC所以，AC-AB=BC=(AB×EF)/BE=2BE所以，PC-PB<AC-AB成立。

AB=AF。

BF=2BE。

∠XXX∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠CBF=CFAC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE已知AB为线段，其中E为中点，AF=BD=5，AC=7，求DC。

作AG∥BD，交DE延长线于G。

因为AGE全等于BDE，所以AG=BD=5.又因为AGF∽CDF，所以AF=AG=5.所以DC=CF=2BE=2A。

在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC。

延长AD至H交BC于H，BD=DC。

所以∠XXX∠DCB，∠1=∠2.DBC+∠1=∠DCB+∠2，∠XXX∠XXX。

全等三角形证明经典50题（含答案）1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD延长AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD 是整数,则AD=52. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF 。

因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。

所以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。

所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。

连接BE 。

在三角形BEF 中,BF=EF 。

所以 ∠EBF=∠BEF 。

又因为 ∠ABC=∠AED 。

所以 ∠ABE=∠AEB 。

所以 AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形AEF 中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。

所以 三角形ABF和三ADBC角形AEF 全等。

所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DG E ∴EF=EG ∴EF=AC5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BDAC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠E DC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

八年级上册数学《第1章三角形的初步认识》专题全等三角形常见的基本模型平移模型展示沿同一直线 (BC) 平移可得两三角形重合 (BE=CF)1．（2024•荔湾区一模）如图，点E，C在线段BF上，BE＝FC，∠A＝∠D，∠ACB＝∠DEF．求证：△ABC≌△DFE．2．已知：如图，点E是AC的中点，BA⊥AC于A，DE⊥AC于E，⊥B＝⊥D，求证：BE＝DC．3．（2023秋•枣阳市期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF．求证：AC＝DF．4．（2023春•埇桥区期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．试说明：（1）△ABC≌△DEF；（2）∠A＝∠EGC．5．已知：如图，点B，E，C，F有同一直线l，AB⊥DE，且AB＝DE，BE＝CF，试判断线段AC与DF的数量关系以及位置关系．并证明．6．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF．（1）求证：AC∥DF；（2）若∠B＝65°，∠F＝35°，求∠EOC的度数．7．如图，A、D、B、E四点在同一条直线上，AD＝BE，BC∥EF，BC＝EF．（1）求证：AC＝DF；（2）若CD为∠ACB的平分线，∠A＝25°，∠E＝71°，求∠CDF的度数．对称模型展示有公共边：有公共顶点：所给图形沿公共边所在直线或者经过公共顶点的某条直线折叠，两个三角形完全重合. 1．（2024春•秦都区校级月考）如图，在△ABC和△AED中，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，求证：2．（2023•越秀区校级二模）已知：如图，DB⊥AB，DC⊥AC，∠1＝∠2．求证：AD平分∠BAC．3．（2023春•桑植县期末）如图，∠A＝∠D＝90°，点B，E，F，C在同一直线上，AB＝CD，BE＝CF，求证：∠B＝∠C．4．（2024•碑林区校级模拟）如图．已知△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是边AB、AC上的中点，连接求证：BE＝CD．5．（2024春•碑林区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作DE∥BC，且AD＝AE，连接BD，CE．试说明：BD＝CE．6．（2024春•碑林区校级月考）如图，已知∠C＝∠E，AC＝AE，∠CAD＝∠EAB．求证：∠ABD＝∠ADB．7．（2024•凉州区校级三模）如图，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且OB＝OC．求证：AO平分∠BAC．8．（2023春•明水县期中）如图，在△ABE和△ACF中，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，BE＝CF．求证：（1）∠1＝∠2．（2）CM＝BN．旋转模型展示绕公共顶点旋转可得两个三角形重合.1．（2024•海珠区校级二模）如图，AD＝AB，∠D＝∠B，∠EAC＝∠DAB，求证：AE＝AC．2．（2023•大连）如图，在△ABC和△ADE中，延长BC交DE于F．BC＝DE，AC＝AE，∠ACF+∠AED ＝180°．求证：AB＝AD．3．如图，在⊥ABC和⊥ADE中，AB＝AC，AD＝AE，⊥BAD＝⊥CAE．求证：⊥ABD＝⊥ACE．4．（2024•阎良区校级二模）如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，若∠1＝∠2，∠E＝∠C，AE＝AC，求证：AB＝AD．5．（2024•长沙）如图，点C在线段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）若∠BAC＝60°，求∠ACE的度数．6．（2023•宜兴市二模）如图，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，点D在线段AB上（与A，B不重合），连接BE．（1）证明：△ACD≌△BCE．（2）若BD＝3，BE＝7，求AB的长．7．（2024•杭州三模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，且AD＝BE．（1）求证：△ABD≌△ECB；（2）如果∠BDC＝75°，求∠ADB的度数．8．（2032秋•大同月考）已知△ABC和△CDE中，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AE与BD交于点F．（1）如图1．当α＝90°时．求证：①△ACE≌△BCD；②AE⊥BD；（2）如图2．当α＝60°时，直接写出∠AFB的度数为；（3）如图3，直接写出∠AFD的度数为（用含α的式子表示）．题型四旋转不共顶点模型1．（2024•泸州校级二模）如图AE＝BD，AC＝DF，BC＝EF，求证：EF∥BC．2．（2024•江阳区校级三模）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF．求证：△ADE≌△BCF．3．（2023秋•翠屏区期末）小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，绘制如下图，点B、F、C、E在直线l上（点F、C之间的距离为池塘的长度），点A、D在直线l的异侧，且AB∥DE，旋转模型展示∠A＝∠D，测得AB＝DE．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝120m，BF＝38m，求池塘FC的长度．4．（2023春•连平县期末）已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB∥DE，AB＝DE，求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）BC∥EF．5．（2023秋•大化县月考）如图，A、E、F、C四点在同一直线上，AE＝CF，过E、F分别作BE⊥AC，DF ⊥AC，且AB＝CD．求证：（1）AB∥CD；（2）BD平分EF．6．（2023春•碑林区校级期末）如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AF＝CE，BE＝FD，∠AEB＝∠CFD．（1）求证：△AEB≌△CFD；（2）若DF＝CF，∠ABE＝20°，∠DAC＝30°，求∠ADC的度数．7．如图所示，点A、E、F、C在一条直线上，AE＝CF，过点E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB＝CD．（1）如图⊥所示，若EF与BD相交于点G，则EG与FG相等吗？试说明理由．（2）如图⊥所示，若将⊥DEC的边EC沿AC方向移动至图中所示位置时，其余条件不变，（1）中结论是否还能成立？请说明理由．题型五三垂直模型已知 A , B , C 三点共线,且∠1=∠2=∠3=90°.1．（2023春•钢城区期末）如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．求证：△ABE≌△CAF．2．（2023秋•江州区期末）课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉在两墙之间，如图所示．（1）求证：△ADC≌△CEB；三垂直模型展示（2）已知DE＝49cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小和墙AD的高（每块砖的厚度都为a cm）．3．（2023春•横山区期末）如图，⊥ABC＝90°，F A⊥AB于点A，点D在直线AB上，AD＝BC，AF＝BD．（1）如图1，若点D在线段AB上，判断DF与DC的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，其他条件不变，试判断（1）中结论是否成立，并说明理由．4．如图，AB＝BC，AD＝DE，且AB⊥BC，AD⊥DE，又CG⊥BD的延长线于点G，EF⊥BD交BD的延长线于点F．求证：CG+EF＝BD．5．如图，在⊥ABC中，⊥ACB＝90°，AC＝BC，直线MN过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，在MN绕点C旋转过程中，以上关系保持不变（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2位置时，DE、AD、BE三者之间有怎样的等量关系，证明你的结论；（3）当直线MN绕点C旋转到图3位置时，试问：DE、AD、BE三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论．6．（2023秋•邓州市期中）已知∠ABC＝90°，D是直线AB上的点，AD＝BC，作F A⊥AB于点A，且AF ＝BD，连结DC、DF．（1）自主探究：如图1，当点D在线段AB上，点F在点A右侧时，DF与DC的数量关系为，位置关系为；（2）思考拓展：如图2，当点D在线段AB的延长线上，点F在点A的左侧时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）能力提升：当点D在线段BA的延长线上，点F在点A的侧时，（1）中的两个结论依然成立，若此时BC＝2，AB＝1，则AF的长度为．7．（203秋•阳信县期中）在△ABO中，∠AOB＝90°，AO＝BO，直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D（1）当直线MN绕点O旋转到图①的位置时，求证：CD＝AC+BD；（2）当直线MN绕点O旋转到图②的位置时，求证：CD＝AC﹣BD；（3）当直线MN绕点O旋转到图③的位置时，试问：CD、AC、BD有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．一线三等角模型展示（1）点P在线段AB上:（2）点P 在线段AB 的延长线上:已知A , P , B 三点共线,且∠1=∠2=∠3 .1．（2023•碑林区一模）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝∠B，D、E分别为AB、BC上一点，∠CDE＝∠A．若BC＝BD，求证：CD＝DE．2．（1）课本习题回放：如图①，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm．求BE的长．（2）探索证明：如图②，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF．3．（2023春•宽甸县期中）已知：CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，点E、F分别是直线CD 上两点，且∠BEC＝∠CF A＝∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，如图1，若∠BCA＝90°，∠a＝90°，则BE与CF的数量关系是．（2）如图2，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想：.并说明理由．4．（1）如图1，直线m经过等腰直角△ABC的顶点A，过点B、C分别作BD⊥m，CE⊥m，垂足分别为D、E，求证：BD+CE＝DE；（2）如图2，直线m经过△ABC的顶点A，AB＝AC，在直线m上取两点D，E，使∠ADB＝∠AEC＝α，补充∠BAC＝（用α表示），线段BD，CE与DE之间满足BD+CE＝DE，补充条件后并证明；（3）在（2）的条件中，将直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件∠ADB ＝∠AEC＝（用α表示）．通过观察或测量，猜想线段BD，CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明．5．问题情境：如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD＝∠C（不需要证明）；（1）特例探究：如图2，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF；（2）归纳证明：如图3，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；（3）拓展应用：如图4，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为3，则△ACF与△BDE的面积之和为．6．（2023春•平阴县期末）已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，∠BDA＝∠AEC ＝∠BAC．（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为，BD，CE与DE的数量关系为．（2）如图②，当AB不垂直于AC时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，DE＝10cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t与x的值；若不存在，请说明理由．7．（2024春•温江区校级期末）【模型熟悉】（1）如图1，已知△ABC和△DCE，点B、C、E在一条直线上，且∠B＝∠ACD＝∠E，AC＝CD，求证：BC＝DE；【模型运用】（2）如图2，在等边△ABC中，M、N分别为BC，AB边上的点，且ND＝NM，∠DNM＝60°，连接AD．若∠DAN＝30°，求证：CM＝2BN；【能力提升】（3）如图3，等边△ABC的面积是25，AB＝6，点D、F分别为AC、BC边上的动点，AD＝2CF，连接DF，以DF为边在△ABC内作等边△DEF，连接BE，当点D从点A运动到点C，请在图3中作出点E 的运动轨迹，并求出点E的运动路程．。

全等三角形的判定题型类型一、全等三角形的判定1——“边边边”例题、已知：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：∠CAD ＝∠DBC.(答案）证明：连接DC ， 在△ACD 与△BDC 中()AD BC AC BDCD DC ⎧=⎪=⎨⎪=⎩公共边∴△ACD ≌△BDC （SSS ）∴∠CAD ＝∠DBC （全等三角形对应角相等）类型二、全等三角形的判定2——“边角边”例题、已知，如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，并且AE ＝12（AB ＋AD ），求证：∠B ＋∠D ＝180°.(答案）证明：在线段AE 上，截取EF ＝EB ，连接FC ，∵CE ⊥AB ，∴∠CEB ＝∠CEF ＝90°在△CBE 和△CFE 中，CEB CEF EC =EC EB EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△CBE 和△CFE （SAS ）∴∠B ＝∠CFE ∵AE ＝12（AB ＋AD ），∴2AE ＝ AB ＋AD ∴AD ＝2AE －AB ∵AE ＝AF ＋EF ，∴AD ＝2（AF ＋EF ）－AB ＝2AF ＋2EF －AB ＝AF ＋AF ＋EF ＋EB －AB ＝AF ＋AB －AB ，即AD ＝AF在△AFC 和△ADC 中(AF AD FAC DAC AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩角平分线定义）∴△AFC ≌△ADC （SAS ）∴∠AFC ＝∠D∵∠AFC ＋∠CFE ＝180°，∠B ＝∠CFE.∴∠AFC ＋∠B ＝180°，∠B ＋∠D ＝180°. 类型三、全等三角形的判定3——“角边角”例题、已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM.证明：∵MQ 和NR 是△MPN 的高， ∴∠MQN ＝∠MRN ＝90°， 又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4 ∴∠1＝∠2在△MPQ 和△NHQ 中，12MQ NQ MQP NQH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MPQ ≌△NHQ （ASA ） ∴PM ＝HN类型四、全等三角形的判定4——“角角边”例题、已知Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 为AB 边的中点，∠EDF ＝90°，∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB 于E 、F ．当∠EDF 绕D 点旋转到DE ⊥AC 于E 时（如图1），易证12DEF CEF ABC S S S +=△△△；当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图2情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明.解：图2成立； 证明图2：过点D 作DM AC DN BC ⊥⊥，则90DME DNF MDN ∠=∠=∠=°在△AMD 和△DNB 中，AMD=DNB=90A B AD BD ∠∠︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AMD ≌△DNB （AAS ）∴DM ＝DN∵∠MDE ＋∠EDN ＝∠NDF ＋∠EDN ＝90°，∴∠ MDE ＝∠NDF在△DME 与△DNF 中，90EMD FDN DM DN MDE NDF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DME ≌△DNF （ASA ）∴DME DNF S S =△△∴DEF CEF DMCN DECF S =S =S S .+△△四边形四边形可知ABC DMCN 1S =S 2△四边形，∴12DEF CEF ABC S S S +=△△△类型五、直角三角形全等的判定——“HL ”下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（ ） （2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ） （3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ）(答案）（1）√；（2）×；在△ABC 和△DBC 中，AB ＝DB ，AE 和DF 是其中一边上的高，AE ＝DF（3）×. 在△ABC 和△ABD 中，AB ＝AB ，AD ＝AC ，AH 为第三边上的高，如下图：1、已知：如图，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，AD ＝BC ，DE ＝BF.求证：AB ∥DC.(答案与解析）证明：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴在Rt △ADE 与Rt △CBF 中.AD BC DE BF ⎧⎨⎩＝，＝∴Rt △ADE ≌Rt △CBF （HL ） ∴AE ＝CF ，DE ＝BF∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ，即AF ＝CE在Rt △CDE 与Rt △ABF 中，DE BFDEC BFA EC FA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴Rt △CDE ≌Rt △ABF （SAS ）∴∠DCE ＝∠BAF ∴AB ∥DC. (点评）从已知条件只能先证出Rt △ADE ≌Rt △CBF ，从结论又需证Rt△CDE ≌Rt △ABF.我们可以从已知和结论向中间推进，证出题目.2、如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线， 过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D. （1）求证：AE ＝CD ；（2）若AC ＝12cm ，求BD 的长.(答案与解析）（1）证明：∵DB ⊥BC ，CF ⊥AE ，∴∠DCB ＋∠D ＝∠DCB ＋∠AEC ＝90°．∴∠D ＝∠AEC ．又∵∠DBC ＝∠ECA ＝90°，且BC ＝CA ，∴△DBC ≌△ECA （AAS ）．∴AE ＝CD ． （2）解：由（1）得AE ＝CD ，AC ＝BC ，∴△CDB ≌△AEC （HL ） ∴BD ＝EC ＝12BC ＝12AC ，且AC ＝12． ∴BD ＝6cm ．(点评）三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC 的内心为1P ，旁心为234,,P P P ，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.角的平分线的性质及判定1、如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，交AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DB ＝DC.求证：BE ＝CF.(答案）证明：∵DE ⊥AE ，DF ⊥AC ，AD 是∠BAC 的平分线， ∴DE ＝DF ，∠BED ＝∠DFC ＝90°在Rt △BDE 与Rt △CDF 中，DB DCDE DF =⎧⎨=⎩，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ） ∴BE ＝CF2、如图，AC=DB ，△PAC 与△PBD 的面积相等．求证：OP 平分∠AOB ．(答案与解析）证明：作PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N12PAC S AC PM =△∵，12PBD S BD PN =△，且PAC S =△PBD S △ ∴ 12AC PM 12BD PN =又∵AC ＝BD ∴PM ＝PN又∵PM⊥OA，PN⊥OB ∴OP平分∠AOB(点评）观察已知条件中提到的三角形△PAC与△PBD，显然与全等无关，而面积相等、底边相等，于是自然想到可得两三角形的高线相等，联系到角平分线判定定理可得.跟三角形的高结合的题目，有时候用面积会取得意想不到的效果.3、如图，DC∥AB，∠BAD和∠ADC的平分线相交于E，过E的直线分别交DC、AB于C、B两点. 求证：AD＝AB＋DC.(答案）证明：在线段AD上取AF＝AB，连接EF，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠1＝∠2，∵AF＝AB AE＝AE，∴△ABE≌△AFE，∴∠B＝∠AFE由CD∥AB又可得∠C＋∠B＝180°，∴∠AFE＋∠C＝180°，又∵∠DFE＋∠AFE＝180°，∴∠C＝∠DFE，∵DE是∠ADC的平分线，∴∠3＝∠4，又∵DE＝DE，∴△CDE≌△FDE，∴DF＝DC，∵AD＝DF＋AF，∴AD＝AB＋DC．类型一、全等三角形的性质和判定如图，已知：AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE.(答案)证明：∵AE⊥AB，AD⊥AC，∴∠EAB＝∠DAC＝90°∴∠EAB＋∠DAE＝∠DAC＋∠DAE ，即∠DAB＝∠EAC.在△DAB与△EAC中，DAB EACAB ACB C∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DAB≌△EAC （SAS）∴BD＝CE.类型二、巧引辅助线构造全等三角形(1)．作公共边可构造全等三角形：1、在ΔABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C(答案)证明：过点A作AD⊥BC在Rt△ABD与Rt△ACD中AB AC AD AD=⎧⎨=⎩∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）∴∠B＝∠C.(2)．倍长中线法：1、已知：如图所示，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC．求证：CD＝2CE．(答案）证明：延长CE至F使EF＝CE，连接BF．∵EC为中线，∴AE＝BE．在△AEC与△BEF中，,,,AE BEAEC BEFCE EF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEC≌△BEF（SAS）．∴AC＝BF，∠A＝∠FBE．（全等三角形对应边、角相等）又∵∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A．∴AC＝AB，∠DBC＝∠FBC．∴AB＝BF．又∵BC为△ADC的中线，∴AB＝BD．即BF＝BD．在△FCB与△DCB中，,,,BF BDFBC DBC BC BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FCB≌△DCB（SAS）．∴CF＝CD．即CD＝2CE．2、若三角形的两边长分别为5和7, 则第三边的中线长x的取值范围是( )A.1 ＜x＜6B.5 ＜x＜7C.2 ＜x＜12D.无法确定(答案)A ；提示：倍长中线构造全等三角形，7－5＜2x＜7＋5，所以选A选项.(3).作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形：如图，AD 是ABC ∆的角平分线，H ，G 分别在AC ，AB 上，且HD ＝BD. (1)求证：∠B 与∠AHD 互补；(2)若∠B ＋2∠DGA ＝180°，请探究线段AG 与线段AH 、HD 之间满足的等量关系，并加以证明.(答案）证明：（1）在AB 上取一点M, 使得AM ＝AH, 连接DM.∵ ∠CAD ＝∠BAD, AD ＝AD, ∴ △AHD ≌△AMD. ∴ HD ＝MD, ∠AHD ＝∠AMD. ∵ HD ＝DB, ∴ DB ＝ MD. ∴ ∠DMB ＝∠B.∵ ∠AMD ＋∠DMB ＝180︒,∴ ∠AHD ＋∠B ＝180︒. 即 ∠B 与∠AHD 互补. （2）由（1）∠AHD ＝∠AMD, HD ＝MD, ∠AHD ＋∠B ＝180︒.∵ ∠B ＋2∠DGA ＝180︒,∴ ∠AHD ＝2∠DGA. ∴ ∠AMD ＝2∠DGM.∵ ∠AMD ＝∠DGM ＋∠GDM. ∴ 2∠DGM ＝∠DGM ＋∠GDM. ∴ ∠DGM ＝∠GDM. ∴ MD ＝MG.∴ HD ＝ MG.∵ AG ＝ AM ＋MG, ∴ AG ＝ AH ＋HD. （3）.利用截长(或补短)法作构造全等三角形：1、如图，AD 是△ABC 的角平分线，AB ＞AC,求证：AB －AC ＞BD －DC (答案）证明：在AB 上截取AE ＝AC,连结DE∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD ＝∠CAD在△AED 与△ACD 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AD CAD BAD ACAE∴△AED ≌△ADC （SAS ）∴DE ＝DC 在△BED 中，BE ＞BD －DC即AB －AE ＞BD －DC ∴AB －AC ＞BD －DCM G HDCBAEDC BA2、如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．(答案与解析)证明：∵AB＞AC，则在AB上截取AE＝AC，连接ME．在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）．在△AMC和△AME中，()()()AC AECAM EAMAM AM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所作，角平分线的定义，公共边，∴△AMC≌△AME（SAS）．∴MC＝ME（全等三角形的对应边相等）．又∵BE＝AB－AE，∴BE＝AB－AC，∴MB－MC＜AB－AC．(点评)因为AB＞AC，所以可在AB上截取线段AE＝AC，这时BE＝AB－AC，如果连接EM，在△BME中，显然有MB－ME＜BE．这表明只要证明ME＝MC，则结论成立．充分利用角平分线的对称性，截长补短是关键.（4）.在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.1、如图所示，已知E为正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且∠DAE＝∠FAE．求证：AF＝AD＋CF．(答案与解析）证明：作ME⊥AF于M，连接EF．∵四边形ABCD为正方形，∴∠C＝∠D＝∠EMA＝90°．又∵∠DAE＝∠FAE，∴AE为∠FAD的平分线，∴ME＝DE．在Rt△AME与Rt△ADE中，()()AE AEDE ME=⎧⎨=⎩公用边，已证，∴Rt△AME≌Rt△ADE(HL)．∴AD＝AM(全等三角形对应边相等)．又∵E为CD中点，∴DE＝EC．∴ME＝EC．在Rt△EMF与Rt△ECF中，()(ME CEEF EF=⎧⎨=⎩已证，公用边)，∴Rt△EMF≌Rt△ECF(HL)．∴MF＝FC(全等三角形对应边相等)．由图可知：AF＝AM＋MF，∴AF＝AD＋FC(等量代换)．(点评）与角平分线有关的辅助线：在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段. 四边形ABCD为正方形，则∠D＝90°．而∠DAE＝∠FAE说明AE为∠FAD的平分线，按常规过角平分线上的点作出到角两边的距离，而E到AD的距离已有，只需作E到AF的距离EM即可，由角平分线性质可知ME＝DE．AE＝AE．Rt△AME与Rt△ADE全等有AD＝AM．而题中要证AF＝AD＋CF．根据图知AF＝AM＋MF．故只需证MF＝FC即可．从而把证AF＝AD＋CF转化为证两条线段相等的问题．2、如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，12AE BD=，求证：BD是∠ABC的平分线．(答案与解析）证明：延长AE和BC，交于点F，∵AC⊥BC，BE⊥AE，∠ADE=∠BDC（对顶角相等），∴∠EAD+∠ADE=∠CBD+∠BDC．即∠EAD=∠CBD．在Rt△ACF和Rt△BCD中．所以Rt△ACF≌Rt△BCD（ASA）．则AF=BD（全等三角形对应边相等）．∵AE=BD，∴AE=AF，即AE=EF．在Rt△BEA和Rt△BEF中，则Rt△BEA≌Rt△BEF（SAS）．所以∠ABE=∠FBE（全等三角形对应角相等），即BD是∠ABC的平分线．(点评）如果由题目已知无法直接得到三角形全等，不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的条件，使问题得以解决．平时练习中多积累一些辅助线的添加方法.类型三、全等三角形动态型问题解决动态几何问题时要善于抓住以下几点：(1)变化前的结论及说理过程对变化后的结论及说理过程起着至关重要的作用；(2)图形在变化过程中，哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化；原来的线段之间、角之间的位置与数量关系是否还存在是解题的关键；(3)几种变化图形之间，证明思路存在内在联系，都可模仿与借鉴原有的结论与过程，其结论有时变化，有时不发生变化1、已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD 为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图1，求证：CF＝BD（2）当点D 运动到线段BC 的延长线上时，如图2，第（1）问中的结论是否仍然成立，并说明理由.(答案）证明：（1）∵正方形ADEF ∴AD ＝AF ，∠DAF ＝90°∴∠DAF －∠DAC ＝∠BAC －∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAF在△ABD 和△ACF 中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACF （SAS ） ∴BD ＝CF（2）当点D 运动到线段BC 的延长线上时，仍有BD ＝CF此时∠DAF ＋∠DAC ＝∠BAC ＋∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAF在△ABD 和△ACF 中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACF （SAS ） ∴BD ＝CF2、如图(1)，△ABC 中，BC ＝AC ，△CDE 中，CE ＝CD ，现把两个三角形的C 点重合，且使∠BCA ＝∠ECD ，连接BE ，AD ．求证：BE ＝AD ．若将△DEC 绕点C 旋转至图(2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，BE 与AD 还相等吗?为什么?(答案)证明：∵∠BCA ＝∠ECD ， ∴∠BCA －∠ECA ＝∠ECD －∠ECA ，即∠BCE ＝∠ACD在△ADC 与△BEC 中ACD=BCE AC BC CD CE =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△BEC(SAS) ∴BE ＝AD ．若将△DEC 绕点C 旋转至图(2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，BE 与AD 还相等，因为还是可以通过SAS 证明△ADC ≌△BEC.。

全等三角形经典题型汇总全等三角形知识网络题型一已知两边，找夹角SAS1.如图，△ABC中，AB = AC，点E，F 在边BC 上，BE = CF，点D 在AF 的延长线上，AD = AC，（1）求证：△ABE ≌△ACF；（2）若∠BAE = 30°，则∠ADC = °．【解析】（1）∵AB = AC，∴∠B = ∠ACF，在△ABE 和△ACF 中，AB = AC , ∠B = ∠ACF，BE = CF，∴△ABE ≌△ACF（SAS）；（2）∵△ABE ≌△ACF，∠BAE = 30°，∴∠CAF = ∠BAE = 30°，∵AD = AC，∴∠ADC = ∠ACD，∴∠ADC = 1/2（180°- 30°）= 75°.2.如图，点E、F 在BC 上，BE = CF，AB = DC，∠B = ∠C，AF 与DE 交于点G，求证：GE = GF．【解析】∵BE = CF，∴BE + EF = CF + EF，∴BF = CE，在△ABF 和△DCE 中，AB = DC , ∠B = ∠C，BF = CE ,∴△ABF ≌△DCE（SAS），∴∠GEF = ∠GFE，∴EG = FG．3.已知，点P 是等边三角形△ABC 中一点，线段AP 绕点A 逆时针旋转60°到AQ，连接PQ、QC．（1）求证：PB＝QC；（2）若PA＝3，PB＝4，∠APB＝150°，求PC 的长度．【解析】（1）证明：∵线段AP 绕点A 逆时针旋转60°到AQ，∴AP = AQ，∠PAQ = 60°，∴△APQ 是等边三角形，∠PAC + ∠CAQ = 60°，∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAP + ∠PAC = 60°，AB = AC，∴∠BAP = ∠CAQ，在△BAP 和△CAQ 中，BA = CA , ∠BAP = ∠CAQ，AP = AQ ,∴△BAP ≌△CAQ（SAS），∴PB = QC；（2）解：∵由（1）得△APQ 是等边三角形，∴AP = PQ = 3，∠AQP = 60°，∵∠APB = 150°，∴∠PQC = 150°﹣60°= 90°，∵PB = QC，∴QC = 4，∴△PQC 是直角三角形，题型二已知两边，找直角HL1.如图，BD = CF，FD⊥BC 于点D，DE⊥AB 于点E，BE = CD，若∠AFD = 145°，则∠EDF 的度数为（）A．45°B．55°C．35°D．65°【解析】∵∠DFC + ∠AFD = 180°，∠AFD = 145°，∴∠DFC = 35°，∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠BED = ∠CDF = 90°.∵在Rt△BDE 与Rt△CFD 中BE = CD，BD = CF，∴Rt△BDE ≌△Rt△CFD，∴∠BDE = ∠CFD = 35°.∵∠EDF + ∠BDE = 90°，∴∠EDF = 55°.故选B.2.如图，∠B = ∠D = 90°，BC = CD，∠1 = 40°，则∠2 = （）.A．40°B．50°C．60°D．75°【解析】∵∠B = ∠D = 90°，在Rt△ABC 和Rt△ADC 中，BC = CD , AC = AC ,∴Rt△ABC ≌Rt△ADC（HL）∴∠2 = ∠ACB = 90°- ∠1 = 50°．故选：B．3.如图，直线l 上有三个正方形a，b，c，若a，c 的面积分别为5 和11，则b 的面积为（）.【解析】∵∠ACB＋∠ECD＝90°，∠DEC＋∠ECD＝90°，∴∠ACB＝∠DEC，∵∠ABC＝∠CDE，AC＝CE，∴△ABC ≌△CDE，∴BC＝DE.∴(如上图)，根据勾股定理的几何意义，b 的面积＝a 的面积＋c 的面积，∴b 的面积＝a 的面积＋c 的面积＝5＋11＝16.故选C.题型三已知两边，找第三边SSS1.如图，五边形ABCDE 中有一正三角形ACD，若AB = DE，BC = AE，∠E = 115°，则∠BAE 的度数为何？（）A.115B.120C.125D.130【解析】∵三角形ACD 为正三角形，∴AC = AD，∠ACD = ∠ADC = ∠CAD = 60°，∵AB = DE，BC = AE，∴△ABC ≌△DEA，∴∠B = ∠E = 115°，∠ACB = ∠EAD，∠BAC = ∠ADE，∴∠ACB + ∠BAC = ∠BAC + ∠DAE = 180°﹣115°= 65°，∴∠BAE = ∠BAC + ∠DAE + ∠CAD = 65°+ 60°= 125°，故选：C．2.在边长为1 的正方形网格中标有A、B、C、D、E、F 六个格点，根据图中标示的各点位置，与△ABC 全等的是（）A.△ACFB.△ACEC.△ABDD.△CEF【解析】在△ABC 中，A、在△ACF 中，则△ACF 与△ABC 不全等，故不符合题意；B、在△ACE 中，则△ACE 与△ABC 不全等，故不符合题意；C、在△ABD 中，则由SSS 可证明△ACE 与△ABC 全等，故符合题意；D、在△CEF 中，则△CEF 与△ABC 不全等，故不符合题意，故选C.3.如图，OA＝OB，OC＝OD，AD＝BC，则图中全等三角形的对数有( ).A．1 对B．2 对C．3 对D．4 对【解析】∵OA = OB，OC = OD，AD＝BC，∴△DOA ≌△COB（SSS）；∵OA = OB，OC = OD，∴AC = BD，∵AB = AB，AD＝BC，∴△ABD ≌△BAC（SSS）；∵AD = BC，AC = BD，DC = CD，∴△ADC ≌△BCD（SSS）．故选：C．4.如图，点B、C、E 三点在同一直线上，且AB = AD , AC = AE , BC = DE ；若∠1 + ∠2 + ∠3 = 94°，则∠3 的度数为（）.A.49°B.47°C.45°D.43°【解析】在△ABC 和△ADE 中，AB = AD , AC = AE , BC = DE ,∴△ABC ≌△ADE (SSS)，∴∠ABC = ∠1，∠BAC = ∠2，在△ABC 中，由三角形的外角性质得，∠3 = ∠ABC + ∠BAC = ∠1 + ∠2，∵∠1 + ∠2 + ∠3 = 94°，∴2∠3 = 94°，∴∠3 = 47°.故选B.题型四已知一边一角（若边为角的对边，找任意角AAS ）1.如图，正方形ABCD 中，AB = 1，点P 是BC 边上的任意一点（异于端点B、C ），连接AP，过B、D 两点作BE⊥AP 于点E，DF⊥AP 于点F.（1）求证：EF = DF﹣BE；（2）若△ADF 的周长为7/3 ，求EF 的长.【解析】（1）证明：∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠DFA = ∠AEB = 90°，∠ABE + ∠BAE = 90°，∵四边形ABCD 为正方形，∴AD = AB，∠DAB = 90°= ∠DAF + ∠BAE，∴∠DAF = ∠ABE，在△ADF 和△BAE 中，∠DAF = ∠ABE，∠DFA = ∠AEB，AD = AB，∴△ADF ≌△BAE（AAS），∴AF = BE，DF = AE，∴EF = AE﹣AF = DF﹣BE；（2）解：设DF = a，AF = b，EF = DF﹣AF = a﹣b ＞0，∵△ADF 的周长为7/3，AD = 1，∴DF + AF = 4/3，即a + b = 4/3，由勾股定理得：DF2 + AF2 = AD2，即a2 + b2 = 1，∴（a - b）2 = 2（a2 + b2）- （a + b）2 = 2 - 16/9 = 2/9 ,∴a - b = √2/3 , 即EF = √2/3 .题型五已知一边一角（边为角的邻边（找已知角的另一边SAS ））1.如图，线段AD、BE 相交与点C , 且△ABC ≌△DEC，点M、N 分别为线段AC、CD 的中点．求证：（1）ME = BN；（2）ME∥BN．【解析】（1）∵△ABC ≌△DEC，∴AC = DC , BC = CE.∵点M、N 分别为线段AC、CD 的中点,∴CM = CN.在△BCN 和△ECM 中，AC = DC, ∠BCN = ∠ECM , BC = CE，∴△BCN ≌△ECM（SAS），∴ME = BN.（2）∵△BCN ≌△ECM，∴∠CBN = ∠CEM,∴ME∥BN.2.已知：△ABC 是等边三角形，点D、E 分别是边BC、CA 上的点且BD = CE，AD、BE相交于点O．（1）求证：△ACD ≌△BAE；（2）求∠AOB 的度数．【解析】（1）∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC = ∠C = 60°，BC = AC，∵BD = CE，∴BC - BD = AC - CE，∴AE = CD，在△ACD 和△BAE 中，AE = CD , ∠BAE = ∠C = 60°，AB = AC ,∴△ACD ≌△BAE（SAS）；（2）∵△ACD ≌△BAE，∴∠CAD = ∠ABE，∴∠AOE = ∠BAD + ∠ABE = ∠BAD + ∠CAD = ∠BAC = 60°，∴∠AOB = 180°- 60°= 120°．题型六已知一边一角（边为角的邻边（找已知边的对角AAS））1.如图，在▱ABCD 中，E 是BC 的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F．（1）求证：AB = CF；（2）连接DE，若AD = 2AB，求证：DE⊥AF．【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠BAE = ∠F，∵E 是BC 的中点，∴BE = CE，在△AEB 和△FEC 中，∠BAE = ∠F，∠AEB = ∠FEC，BE = EC，∴△AEB ≌△FEC（AAS），∴AB = CF；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB = CD，∵AB = CF，DF = DC + CF ，∴DF = 2CF，∴DF = 2AB，∵AD = 2AB，∴AD = DF，∵△AEB ≌△FEC，∴AE = EF，∴ED⊥AF .题型七已知一边一角（边为角的邻边（找已知边的另一角ASA ））1.如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D 在AC 边上，∠1＝∠2，AE 和BD 相交于点O．求证：△AEC ≌△BED；【解析】∵AE 和BD 相交于点O，∴∠AOD = ∠BOE．在△AOD 和△BOE 中，∠A=∠B，∴∠BEO = ∠2．又∵∠1 = ∠2，∴∠1 = ∠BEO，∴∠AEC = ∠BED．在△AEC 和△BED 中，∠A = ∠B，AE = BE , ∠AEC = ∠BED，∴△AEC ≌△BED（ASA）．题型八已知两角，找两角的夹边ASA1.如图，在△DAE 和△ABC 中，D 是AC 上一点，AD = AB，DE∥AB，∠E = ∠C．求证：AE = BC．【解析】证明：∵DE∥AB，∴∠ADE = ∠BAC．在△ADE 和△BAC 中，∠E = ∠C ，∠ADE = BAC，AD = AB，∴△ADE ≌△BAC（AAS），∴AE = BC．题型九已知两角，找任意一边AAS1.如图AF//DE，点B、C 在线段AD 上，连接FC、EB，且∠E = ∠F，延长EB 交AF 于点G.（1）求证：BE//CF（2）若CF = BE，求证：AB = CD .【解析】（1）∵AF//DE，∴∠AGB = ∠E，又∵∠E = ∠F，∴∠AGB = ∠F，∴BE//CF（2）∵BE//CF，∴∠DBE = ∠ACF，∵∠E = ∠F , CF = BE，∴ΔACF ≌ΔDBE，∴AC = BD，∴AB = CD.。

全等三角形证明经典50题（含答案）1.已知：AB=4 , AC=2 , D是BC中点，AD是整数，求AD/ C= / D, F 是CD 中点，求证：/ 1 = / 2证明：连接BF 和EF。

因为BC=ED,CF=DF, / BCF= / EDF。

所以三角形BCF全等于三角形EDF（边角边）。

所以BF=EF, / CBF= / DEF。

连接BE。

在三角形BEF 中,BF=EF。

所以 / EBF= / BEF。

又因为 / ABC= / AED。

所以 / ABE= / AEB。

所以AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形AEF 中，AB=AE,BF=EF, / ABF= / ABE+ / EBF= / AEB+ / BEF= / AEF。

所以三角形ABF 和三角形AEF 全等。

所以 / BAF= / EAF （/ 1 = / 2）。

延长AD至U E,使DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6又AD是整数，则AD=52.已知：D是AB中点，/ ACB=90 °，求证：CD1 —AB 2A34. 已知：/ 仁/2, CD=DE , EF//AB ，求证:EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于 G 则/ DEG= / DCA , / DGE= / 2 又 •/ CD=DE U ADC 也"GDE ( AAS )••• EG=AC •/ EF//AB /-Z DFE= / 1 v/ 1 = / 2：丄 DFE= / DGE ••• EF=EG •: EF=AC5. 已知：AD 平分Z BAC , AC=AB+BD ，求证：Z B=2 / C证明：在 AC 上截取 AE=AB ，连接 ED •/ AD 平分Z BAC ：•/ EAD= Z BAD 又 v AE=AB ,AD=AD ：•" AED 6 ABD (SAS )•：Z AED= Z B ,DE=DB v AC=AB+BDAC=AE+CE •: CE=DE :-Z C=Z EDC vZ AED= Z C+ Z EDC=2 Z C -Z B=2 Z C 6. 已知：AC 平分Z BAD , CE 丄 AB , Z B+ Z D=180 °，求证： AE=AD+BE证明：在AE 上取F ,使EF = EB , 连接CF 因为CE 丄AB 所以Z CEB=Z CEF = 90° 因为 EB = EF , CE = CE , 所以△CEBCEF 所以Z B = Z CFE 因为Z B+ Z D = 180°, Z CFE +Z CFA = 180° 所以Z D = Z CFA 因为 AC 平分Z BAD 所以Z DAC=Z FAC 又因为 AC = AC 所以△ ADC AFC (SAS ) 所以 AD = AF 所以 AE = AF + FE=AD + BE12.如图，四边形 ABCD 中，AB // DC , BE 、CE 分别平分Z ABC 、Z BCD ，且点 E 在AD 上。

已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC1. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C2. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BEADBCCDBAB A CDF2 1 E6. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。

求证：BC=AB+DC。

.7.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C8已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠CDCBAFEAB CD9．已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE10．如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．12．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．（1）求证：MB=MD，ME=MF（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．13．已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，（1）求证：△AED≌△EBC．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：FAEDCB24．（7分）如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．证明：延长BA、CE，两线相交于点F ∵BE⊥CE ∴∠BEF=∠BEC=90° 在△BEF和△BEC中∠FBE=∠CBE, BE=BE, ∠BEF=∠BEC ∴△BEF≌△BEC(ASA) ∴EF=EC ∴CF=2CE ∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90° 又∵∠ADB=∠CDE ∴∠ABD=∠ACF 在△ABD和△ACF 中∠ABD=∠ACF, AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90° ∴△ABD≌△ACF(ASA) ∴BD=CF ∴BD=2CE25、（10分）如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。