初二数学二次根式及其性质

人教版初二下册数学知识点二次根式二次根式是指形如a√b（a≥0）的式子。

其中，a被称为系数，b被称为被开方数。

最简二次根式必须同时满足以下三个条件：被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；被开方数中不含分母；分母中不含根式。

同类二次根式是指二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

二次根式有以下几个性质：a²=a（a≥0）；a√b × c√d =ac√bd（a,b,c,d≥0）；a√b ÷ c√d = a÷c √b÷d（a,b,c,d≥0,c≠0,d≠0）。

二次根式的运算包括因式的外移和内移、加减法、乘除法。

在运算过程中，需要将二次根式化为最简二次根式，并合并同类项。

例题：1、下列哪些式子是二次根式？1)11；3)−x²+2；4)4；5)(−5)²；6)1−a；7)a²−2a+1.答案：1、3、4、5、6.2、求下列二次根式中字母的取值范围：（1）(x+5)÷(3−x)；（2）√((x-2)²+1)。

答案：（1）x≠3；（2）x∈R。

3、在1) a²+b²；2) x；3) x²-xy；4) 27abc中，最简二次根式是哪个？答案：C。

4、已知y=1−8x+8x⁻¹，求代数式1÷y+2−2y⁻¹的值。

答案：4x²-4x+1.5、已知数a，b，若(a−b)²=b−a，则a≤b。

给定$a=11,b=5$，求$\frac{b^5+1}{2a+b(b+a)}$的值。

首先，将$a$和$b$的值代入，得到：$\frac{5^5+1}{2\times11+5(5+11)}$。

计算分子和分母，得到：$\frac{3126}{96}$。

化简分数，得到：$\frac{1043}{32}$。

因此，$\frac{b^5+1}{2a+b(b+a)}=\frac{1043}{32}$。

《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（基础）【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】【要点梳理】要点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如13,,0.02,02等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）；（3）.要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2a =（0a ≥），如2221122););)33x x ===（0x ≥）. （2）2a a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 2a .（3a ，再根据绝对值的意义来进行化简.（42的异同a可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数；a，2=a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a2.3. 最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.显然是同类二次根式. 要点二、二次根式的运算 1. 乘除法（1）乘除法法则： 类型 法则逆用法则二次根式的乘法0,0)a b =≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥≥二次根式的除法0,0)a b ≥>商的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥>要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如= （2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.≠. 2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如23252(135)22+-=+-=-. 【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质1． 当________时，二次根式3x -在实数范围内有意义. 【答案】x ≥3.【解析】根据二次根式的性质，必须3x -≥0才有意义.【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0a ≥时a 才是二次根式. 举一反三【高清课堂：二次根式 高清ID 号：388065 关联的位置名称：填空题5】 【变式】①242x x =-成立的条件是 . ②2233x x x x--=--成立的条件是 . 【答案】① x ≤0；(2422x x x x ==-∴≤0.)② 2≤3x <.(20,30,x x -->∴≥2≤3x <)2．当0≤x <1时，化简21x x +-的结果是__________.【答案】 1.【解析】因为x ≥0，所以2x =x ；又因为x <1,即x -1<0,所以1(1)1x x x -=--=-，所以21x x +-=x +1-x =1.【总结升华】利用二次根式的性质化简二次根式，即2a =a ，同时联系绝对值的意义正确解答. 举一反三【变式】已知0a <，化简二次根式3a b -的正确结果是（ ）.A.a ab --B. a ab -C. a abD.a ab -【答案】A.3.下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）.1448ab44a +【答案】A.【解析】选项B ：48=43；选项C ：有分母；选项D ：44a +=21a +，所以选A. 【总结升华】本题考查了最简二次根式的定义.最简二次根式要满足：（1）被开方数是整数或是整式；（2）被开方数中不含能开方的因式或因数. 类型二、二次根式的运算4．下列计算错误的是（ ）.A. 14772⨯=B. 60523÷=C. 9258a a a +=D. 3223-= 【答案】 D.【解析】选项A ： 14714727772⨯=⨯=⨯⨯= 故正确；选项B ：605605123423÷=÷==⨯=，故正确；选项C925358a a a a a +=+=故正确；选项D ：32222-= 故错误.【总结升华】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，属于基础性考题. 举一反三 【变式】计算：48(54453)833-+⨯ 【答案】243610-.5.化简20102011(32)(32)⋅. 【答案与解析】201020102010=(32)32)(32)(32)32)32)132)3 2.⋅⋅⎡⎤=⋅⋅⎣⎦=⋅=原式【总结升华】本题的求解用到了积的乘方的性质，乘法运算律，平方差公式及根式的性质，是一道综合运算题型.6 已知2231,12x x x x=-+求.【答案与解析】2231,1=30,(1)1313331=3x x x xx x x =+∴->∴=--++==原式当时，原式【总结升华】 化简求值时要注意x 的取值范围，如果未确定要注意分类讨论. 举一反三【高清课堂:二次根式 高清ID 号：388065关联的位置名称：计算技巧6-7】 【变式】已知a b +=-3, ab =1,求ab b a +的值. 【答案】∵a b +=-3,ab =1，∴<0a ,<0b11+==-(+)=-=3--ab ab a bb a b a ab∴+原式.。

八年级下册数学二次根式笔记
一、二次根式的定义
1. 二次根式：形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。

2. 二次根式的性质：非负性，即被开方数是非负数。

二、二次根式的性质和运算法则
1. 二次根式的乘法运算法则：√a × √b = √(a×b)（a≥0，b≥0）。

2. 二次根式的除法运算法则：√a ÷ √b = √(a÷b)（a≥0，b>0）。

3. 二次根式的乘方运算法则：√a^n = a^(n/2)（a≥0，n是正整数）。

4. 二次根式的加减运算法则：同类二次根式可以进行加减运算。

三、二次根式的化简
1. 完全平方公式：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2；a^2-2ab+b^2=(a-b)^2。

2. 平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)。

3. 完全立方公式：a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3。

4. 立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)。

5. 二次根式化简的一般步骤：去括号、合并同类项、化简。

四、二次根式的应用
1. 在实际问题中，经常需要求解一些与二次根式有关的数学问题，如长度、面积、体积等。

2. 在数学证明中，二次根式也经常被用来证明一些重要的数学定理，如勾股定理、毕达哥拉斯定理等。

五、练习与巩固
为了更好地掌握二次根式的知识，需要多做一些练习题，通过练习巩固所学知识。

可以参考教材上的练习题或找一些相关的练习册进行练习。

在练习过程中，要注意解题的思路和方法，掌握各种运算法则和公式的应用，提高解题的速度和准确性。

二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。

2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。

如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。

不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。

如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。

如25 可以写作 5 。

（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。

（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。

其中a≥0是 a 有意义的前提条件。

（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。

（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。

要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。

练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。

二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。

（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。

专题01二次根式的概念和性质（知识点考点串编）【思维导图】◎考点1：二次根式的值例．（2022·浙江·九年级专题练习）当0x =的值等于（ ）A ．4B ．2CD ．0【答案】B【解析】【分析】把0x =解题即可【详解】◉知识点一：二次根式的定义知识点技巧：二次根式概念：一般地，我们把形如（a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

【注意】1.二次根式，被开方数a 可以是一个具体的数，也可以是代数式。

2.二次根式是一个非负数。

3.二次根式与算术平方根有着内在联系，（a ≥0）就表示a 的算术平方根。

解：把0x =2=故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键．练习1．（2021·全国·八年级专题练习）当a 为实数时，下列各式中是二次根式的是（ ）个A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】B 【解析】【分析】0)a >的代数进行分析得出答案．【详解】共4个．故选：B ．【点睛】0)a >的代数式，正确把握定义是解题关键．练习2．（2021·河北·结果相同的是（ ）．A ．321-+B ．321+-C ．321++D ．321--【答案】A【解析】【分析】根据有理数运算和二次根式的性质计算，即可得到答案．【详解】2==∵3212-+=，且选项B 、C 、D 的运算结果分别为：4、6、0【点睛】本题考查了二次根式、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、含乘方的有理数混合运算的性质，即可得到答案．练习3．（2021·河南林州·八年级期末）已知当12a <<a -的值是（ ）A ．3-B ．12a -C ．32a -D ．23a -【答案】C【解析】【分析】由题意直接根据二次根式的性质以及去绝对值的方法，进行分析运算即可.【详解】解：∵12a <<，212132a a a a a a -=---=-+-=-.故选：C.【点睛】本题考查二次根式和去绝对值，熟练掌握二次根式的性质以及去绝对值的方法是解题的关键.◎考点2：求二次根式中的参数例．（2021·n 的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】【分析】=，则6n 是完全平方数，满足条件的最小正整数n 为6．【详解】解：=∴6n 是完全平方数；∴n 的最小正整数值为6．【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法则和二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件时被开方数是非负数进行解答练习1．（2020·甘肃·酒泉市第二中学八年级期中）若x 、y 为实数，且0x +=，则2019x y æöç÷èø的值( )A ．-2B ．1C ．2D ．-1【答案】D【解析】【分析】根据非负数的性质可求出x 、y 的值，然后把x 、y 的值代入所求式子计算即可．【详解】解：∵0x +=，∴x +2=0，y －2=0，∴x =﹣2，y =2，∴220190192=12x y -æöæöç÷è=-ç÷èøø．故选：D ．【点睛】本题主要考查了非负数的性质，明确实数绝对值和二次根式的非负性以及﹣1的奇次幂的性质是解题关键．练习2．（2020·江苏·丰县欢口镇欢口初级中学八年级阶段练习）如果3y ，则2x y -的平方根是（ ）A ．-7B ．1C ．7D ．±1【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的性质求出x 、y 的值，再代入求解即可．解：由题意可得：24020x x -+¹＝，，解得：2x ＝，故3y ＝，则21x y -＝，故2x y -的平方根是：±1．故选：D ．【点睛】本题考查了关于二次根式的运算问题，掌握二次根式的性质、平方根的性质是解题的关键．练习3．（2021·全国·n 的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．5【答案】D【解析】【分析】首先化简二次根式进而得出n 的最小值．【详解】=∴最小正整数n 的值是5．故选D ．【点睛】本题考查了二次根式的定义，正确化简二次根式得出是解题的关键．例．（2022·全国·九年级专题练习）在函数1y =中，自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ＜2B ．x ≥2C ．x ＞2D ．x ≠2【答案】C 【解析】◉知识点二：二次根式有意义的条件知识点技巧：二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

八年级数学二次根式知识点在八年级数学中，二次根式是比较基础的一个知识点，也是初学者需要特别掌握的内容之一。

本文将详细介绍二次根式的定义、性质、运算方法和解题技巧，希望能够帮助大家更好地掌握这个知识点。

1. 二次根式的定义二次根式是指如下形式的算式：$\sqrt{a}$其中，a是一个非负实数，$\sqrt{a}$表示a的平方根。

例如，$\sqrt{4}$等于2，$\sqrt{9}$等于3。

2. 二次根式的性质（1）二次根式的值不超过其被开方数的值。

即，对于任意非负实数a和b，当a≥b时，有$\sqrt{a}≥\sqrt{b}$。

这是因为，平方根函数$\sqrt{x}$在x≥0的范围内是单调递增的。

（2）二次根式的值域为非负实数。

即，对于任意非负实数a，有$\sqrt{a}≥0$。

这是因为，平方根函数$\sqrt{x}$在x≥0的范围内是非负的。

（3）二次根式可以转化为分数形式。

即，对于任意非负实数a和正整数b，有$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$。

这是因为，分子、分母分别乘以$\sqrt{b}$，可以得到等式右边的形式。

3. 二次根式的运算方法（1）二次根式的加减法对于相同根式$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$，有：$\sqrt{a}±\sqrt{b}=\sqrt{a±b}$例如，$\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。

（2）二次根式的乘法对于非负实数a和b，有：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$例如，$\sqrt{2}·\sqrt{8}=\sqrt{16}=4$。

（3）二次根式的除法对于非负实数a和b（b≠0），有：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$例如，$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\sqrt{4}=2$。

数学八年级下册二次根式
一、二次根式的定义
二次根式是指形如√a（a≥0）的式子，其中a叫做二次根式的被开方数。

二、二次根式的性质
1. 偶次根式的被开方数可取一切正数，因此二次根式是双钩性质的体现。

2. 当二次根式中的被开方数小于0时无意义，说明开偶次方时，要求底数非负。

三、二次根式的运算
1. 乘法运算：二次根式相乘（除），把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行相加或相乘。

2. 加法运算：几个二次根式合并成一项时，需要把被开方数相同的二次根式进行合并。

四、二次根式的应用
1. 求实际问题的解：在解决实际问题时，需要把实际问题转化为数学问题，再利用二次根式进行求解。

2. 判断近似值是否合理：在进行近似计算时，需要利用二次根式对结果进行判断，看是否符合实际要求。

总之，二次根式是数学中的一个重要概念，它具有广泛的应用，需要我们熟练掌握其定义、性质和运算。

二次根式的有关概念及性质一、二次根式的有关概念：1.二次根式：式子(a≥0)叫做二次根式。

2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式；（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

如不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因数，又如，，..........都不是最简二次根式，而，，5，都是最简二次根式。

3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。

如, , 就是同类二次根式，因为=2，=3，它们与的被开方数均为2。

4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。

如与，a+与a-，-与+，互为有理化因式。

二、二次根式的性质：1.(a≥0)是一个非负数, 即≥0;2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2=a(a≥0)；3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|=4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即=·（a≥0,b≥0）。

5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即=（a≥0,b>0）。

三、例题：例1.x为何值时，下列各式在实数范围内才有意义：（1）（2）（3）（4）+（5）（6）+分析：这是一组考察二次根式基本概念的问题，要弄清每一个数学表达式的含义，根据分式和根式成立的条件去解，即要考虑到分式的分母不能为0并且偶次根号下被开方数要大于或等于零。

解：（1）∵6-x≥0,∴x≤6时原式有意义。

（2）∵x2≥0, ∴x2+3>0, ∴x取任意实数原式都有意义。

（3）∵∴∴当x<3且x≠-3时，原式有意义。

（4）∵∴∴当-≤x<时，原式有意义。

（5）∴∴当x≥0且x≠1时，原式有意义。

（6）∵∴∴x=2∴当x=2时，原式有意义。

二次根式的定义和性质讲学：●二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数。

两个特点：二次根号，非负性（非负性包括被开方数和开方结果）判断二次根式：1.有二次根号2.被开方数可以确定非负（包括转化为非负形式）1.有意义必须满足_________2.当满足什么条件时下列式子有意义。

●二次根式的性质：1.非负性：是一个非负数．2.3.公式与区别与联系（1）表示求一个数的平方的算术根，的范围是一切实数．（2）表示一个数的算术平方根的平方，的范围是非负数．（3）和的运算结果都是非负的．4.把根号外的因式移入根号内：1判断根号外的因式的符号；2留下符号；3平方后与被开方数相乘计算：因式分解：考练：【例1】下列各式，，，，，，其中是二次根式的是?【例2】若式子有意义，则x的取值范围是．【例3】若则=【例4】若则= ．【例5】化简：的结果为（）A、B、0 C、D、4【例6】已知,则化简的结果是【例7】如果表示两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果等于（）A、B、C、D、【例8】如果，那么的取值范围是（）o b aA、B、C、或D、【例9】化简二次根式的结果是( )课后作业：二次根式的定义：1.下列各式中，一定是二次根式的是（）A、B、C、D、2.在中是二次根式的个数有______个3.使代数式有意义的的取值范围是（）A、>3B、≥3C、>4 D 、≥3且≠44.使代数式有意义的的取值范围是5.如果代数式有意义，那么，直角坐标系中点（，）的位置在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限6.若，则的值为（）A、－1B、1C、2D、37.若都是实数，且，求的值8.当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。

9.二次根式的性质：10.若，则的值为。

11. 已知 为实数，且 ，则 的值为（ ）A 、3B 、– 3C 、1D 、– 112. 已知直角三角形两边 的长满足 ，则第三边长为______________.13. 若 与 互为相反数，则14. 在实数范围内分解因式: = ； =15. 化简：16. 根式 的值是( )A 、-3B 、3或-3C 、3D 、917. 已知 ，那么 可化简为（ ）A ．B ．C ．D ．18. 若 ，则 等于（ ）A 、B 、C 、D 、19. 若 ，则化简 的结果是（ ）A 、－1B 、1C 、D 、20. 化简 得（ ）A 、2B 、C 、-2D 、21. 当 且 时，化简 ＝ ．22. 已知 ，化简求值：23. 实数 在数轴上的位置如图所示： 化简： ． 24. 如果 成立，那么实数 的取值范围是________________25. 若 ，则 的取值范围是____________。

【知识回顾】1.⼆次根式：式⼦（ ≥0）叫做⼆次根式。

2.最简⼆次根式：必须同时满⾜下列条件：⑴被开⽅数中不含开⽅开的尽的因数或因式；⑵被开⽅数中不含分母；⑶分母中不含根式。

3.同类⼆次根式：⼆次根式化成最简⼆次根式后，若被开⽅数相同，则这⼏个⼆次根式就是同类⼆次根式。

4.⼆次根式的性质：（1）（）2= （ ≥0）；（2）5.⼆次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开⽅数中有的因式能够开得尽⽅，那么，就可以⽤它的算术根代替⽽移到根号外⾯；如果被开⽅数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外⾯，反之也可以将根号外⾯的正因式平⽅后移到根号⾥⾯．（2）⼆次根式的加减法：先把⼆次根式化成最简⼆次根式再合并同类⼆次根式．（3）⼆次根式的乘除法：⼆次根式相乘（除），将被开⽅数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开⽅数并将运算结果化为最简⼆次根式．= • （a≥0，b≥0）；（b≥0，a>0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适⽤于⼆次根式的运算．【典型例题】1、概念与性质例1下列各式1），其中是⼆次根式的是_________（填序号）．例2、求下列⼆次根式中字母的取值范围（1）；（2）例3、在根式1) ，最简⼆次根式是（）A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)例4、已知：例5、（2009龙岩）已知数a，b，若 =b－a，则 ( )A. a>bB. a2、⼆次根式的化简与计算例1. 将根号外的a移到根号内，得 ( )A. ；B. －；C. －；D.例2. 把（a－b）－1a－b 化成最简⼆次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：，其中a= ，b= ．例5、如图，实数、在数轴上的位置，化简：4、⽐较数值（1）、根式变形法当时，①如果，则；②如果，则。

例1、⽐较与的⼤⼩。

（2）、平⽅法当时，①如果，则；②如果，则。

八年级二次根式知识点总结在八年级数学教学中，二次根式是一个非常重要的知识点。

本文将对八年级二次根式的相关内容做出总结。

一、二次根式的定义二次根式是指形如√a（其中a≥0）的数学表达式。

其中，a被称为二次根式的被开方数，√a被称为二次根式的根号。

二次根式可以被写成分数形式，如a/b。

二、二次根式的简化二次根式可以通过简化变成更简单的形式。

简化二次根式的方法有以下两种：1. 化简平方因数法。

通过分解因数，将被开方数分解成平方数与非平方数的积，再把非平方因数提出根号，最后简化出来。

例如：√48=√16×3=4√3。

2. 分离根式法。

对于含有有理数和根号的表达式，可以将其中根式部分提出来进行简化。

例如：√128+√32=√64×2+√16×2=8√2+4√2=12√2。

三、二次根式的计算在二次根式计算中，需要掌握以下几种运算法则：1. 二次根式的加减运算。

在进行二次根式的加减运算时，必须要保证分母相同。

如果分母不同，则需要通过乘以一个适当的有理数将分母进行化简，使得分母相同。

例如：√5+√20=√5+√4×5=√5+2√5=3√5。

2. 二次根式的乘法。

二次根式的乘法运算可以使用分配律进行转化，乘号两边的数分别做乘法，最后化简即可。

例如：（√2-√3）（√2+√3）=2-3= -1。

3. 二次根式的除法。

二次根式的除法运算可以转化为乘法运算。

即如下式：例如：（√18/√2）×（1/√3）=√9=3。

四、二次根式的应用1. 几何意义：二次根式可以用于计算正方形、长方形等几何图形的对角线长。

例如：正方形的对角线长为√2l，其中l为正方形边长。

2. 物理意义：二次根式可以应用于运动学、波动学等方面的物理问题的求解中。

例如：自由落体运动中下落高度h与时间t的关系式为h=gt²/2，其中g为重力加速度，t为时间。

如果我们希望计算自由落体运动中1秒后物体下落的高度，可以使用二次根式进行计算。

第七讲二次根式的意义与性质二次根式是数学中重要的概念之一，它在代数学、几何学和物理学等领域中都有着广泛的应用，了解二次根式的意义与性质能够帮助我们更好地理解和运用它。

首先，我们需要明确二次根式的概念。

在代数学中，二次根式是指形如√a的表达式，其中a是一个实数。

这里的√符号称为根号，表示正的平方根。

二次根式通常用于求解一些方程或方程组，以及在几何问题中计算线段的长度、计算图形的面积等。

二次根式具有以下几个重要的性质：1.二次根式可以是正数、负数或零。

当a大于零时，√a是一个正数；当a小于零时，√a是一个虚数；当a等于零时，√a等于零。

2. 如果a和b都是非负实数，那么√(ab)等于(√a)(√b)。

这个性质称为二次根式的乘法性质。

例如，√4×√9=2×3=63.如果a和b都是非负实数，那么√(a/b)等于(√a)/(√b)。

这个性质称为二次根式的除法性质。

例如，√9/√4=3/24.如果a和b都是非负实数，且a大于b，那么√a大于√b。

这个性质表示，二次根式随着被开方数的增大而增大。

例如，√4=2，√9=3，显然2小于35.如果a和b都是非负实数，那么√(a+b)不等于√a+√b。

这个性质表示，二次根式的加法没有简化的形式。

例如，√2+√3不能简化为一个更简单的表达式。

6.二次根式可以进行化简。

对于非完全平方数，可以将其分解为一个完全平方数和一个非完全平方数的乘积。

例如，√10=√(2×5)=√2×√5了解了二次根式的意义与性质，我们可以应用它们来解决一些实际问题。

1.计算线段的长度：假设有一条线段AB，其坐标分别为A(x1,y1)和B(x2,y2)，则线段AB的长度可以用二次根式来表示，即√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。

这个公式可以推广到三维空间中的点和线段的计算。

2. 计算图形的面积：例如，正方形的面积可以用边长的平方来表示，即√a²=a；矩形的面积可以用长和宽的乘积来表示，即√(ab)。

初中数学二次根式的性质
二次根式具有多种性质，以下是其中一些主要的性质：
1.非负性：对于任意的实数a，如果a≥0，那么√a是一个非
负数。

也就是说，二次根式的结果总是非负的。

这个性质在二次根式的运算中非常重要，因为它可以帮助我们确定结果的符号。

2.定义域：二次根式有意义的条件是被开方数必须是非负
数。

也就是说，如果我们要对一个数进行开方运算，那么这个数必须是大于或等于0的。

否则，二次根式就没有意义。

3.运算性质：二次根式满足一些基本的运算性质，如加法、
减法、乘法和除法。

这些性质与整数的运算性质类似，但需要注意的是，二次根式的运算结果可能需要进行化简。

4.化简性质：在二次根式中，我们可以利用一些公式和性质
进行化简。

例如，我们可以利用平方差公式将√(a^2 -
b^2)化简为√a^2 - √b^2，或者利用完全平方公式将√(a^2 + 2ab + b^2)化简为√(a + b)^2。

以上是二次根式的一些主要性质，这些性质在解二次根式方程和不等式，以及进行二次根式的运算时都非常重要。

二次根式的定义和基本性质二次根式，也称为平方根，是数学中常见的一种运算。

它的定义和基本性质在代数学和几何学中有着广泛的应用。

本文将介绍二次根式的定义，并探讨其基本性质。

在此之前，我们先来了解一下二次根式的定义。

二次根式的定义：二次根式是指一个数的平方根，如√x表示x的平方根，其中x为一个非负实数。

当x小于0时，√x是一个虚数。

在计算平方根时，我们通常提取其中的正根，即非负实数解。

基本性质：1. 非负数的平方根：对于非负实数a，它的平方根√a是一个非负实数。

例如，√9 = 3，因为3的平方等于9。

2. 平方根的乘法：对于非负实数a和b，有以下运算规则：√(a * b) = √a * √b例如，√(4 * 9) = √4 * √9 = 2 * 3 = 63. 平方根的除法：对于非负实数a和b（b不等于0），有以下运算规则：√(a / b) = √a / √b例如，√(25 / 4) = √25 / √4 = 5 / 2 = 2.54. 平方根的加法与减法：对于非负实数a和b，有以下运算规则：√a ± √b 通常不能进行化简，可以合并成一个复合根。

例如，√2 + √3 无法化简，但可以合并为一个复合根√(2 + 3) = √55. 平方根的乘方：对于非负实数a和正整数n，有以下运算规则：(√a)^n = a^(1/n)例如，(√9)^2 = 9^(1/2) = 36. 平方根的传递性：对于非负实数a和b，如果a小于b，则√a小于√b。

例如，√4小于√9，因为4小于9。

通过以上基本性质，我们可以在实际问题中用到二次根式。

例如，在几何学中，可以通过求解平方根来计算物体的边长或面积；在代数学中，平方根可以用来求解方程的解等。

需要注意的是，对于负数的平方根，我们引入了虚数单位i。

虚数单位i定义为√(-1)，它满足i^2 = -1。

负数的平方根被称为虚数，属于复数的一种。

虚数在物理学和电气工程等领域有着重要的应用。

初中数学知识点归纳二次根式二次根式是初中数学中的一个重要知识点，它是一个数的平方根，或者可以表示成形如√a的形式，其中a是一个正整数。

在学习二次根式的过程中，我们需要掌握二次根式的化简、计算与运算等基本技巧。

下面我将详细介绍二次根式的相关知识点。

1.二次根式的定义与性质二次根式可以表示成√a的形式，其中a是一个正整数。

二次根式有以下基本性质：（1）√a=b，其中b是一个正数，那么a=b²；（2）√a=b，其中b是一个正数，那么b²=a，即b是a的一个正平方根；（3）0<√a<√b，其中a<b。

2.二次根式的化简化简二次根式是指将一个二次根式以最简形式表达出来。

（1）对于根号中的数，可以找出完全平方数因式，然后求出根号中被平方的数的平方根。

（2）对于根号外的系数，可以利用乘方运算法则进行整理。

3.二次根式的运算二次根式之间的运算包括加法、减法、乘法和除法。

（1）加减法：二次根式的加减法可以转化为同类项相加减的问题，将根号内的数进行化简和整理即可。

（2）乘法：乘法运算可以通过合并同类项、运用公式进行展开、化简来求解。

（3）除法：除法运算需要利用有理化技巧，将二次根式的被除数和除数分别乘以一个适当的有理化因子，使得分子没有根号。

4.二次根式的应用二次根式在初中数学中常常与勾股定理、平方差公式等知识点相结合，应用于解决各种几何问题。

（1）使用二次根式计算直角三角形的边长：根据勾股定理，可以利用二次根式计算直角三角形的边长。

（2）使用二次根式计算面积：利用二次根式可以计算各类面积，如矩形、正方形、圆等。

5.二次根式的估算在实际生活和解题过程中，我们常常需要对二次根式进行估算。

可以利用四舍五入和近似计算的方法对二次根式进行估算，得到一个较为接近的结果。

以上就是关于初中数学中二次根式的相关知识点的归纳。

通过学习和掌握这些知识，可以更好地理解和运用二次根式，提高数学解题的能力。

八年级上册数学二次根式知识点总结一、二次根式的概念。

1. 定义。

- 一般地，形如√(a)(a≥0)的式子叫做二次根式。

其中“√()”称为二次根号，a 叫做被开方数。

例如√(4)，√(x + 1)(x≥ - 1)都是二次根式。

- 要注意被开方数a必须是非负数，这是二次根式有意义的条件。

例如√(-2)就不是二次根式，因为被开方数-2<0。

2. 最简二次根式。

- 满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：- 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

例如√(8)不是最简二次根式，因为8 = 2^3，√(8)=√(2^3) = 2√(2)，而√(2)是最简二次根式。

- 被开方数不含分母。

例如(1)/(√(2))不是最简形式，将其分母有理化得到(√(2))/(2)，√(2)是最简二次根式。

二、二次根式的性质。

1. (√(a))^2=a(a≥0)- 例如(√(3))^2=3，(√(x + 1))^2=x + 1(x≥ - 1)。

2. √(a^2)=| a|=<=ft{begin{array}{l}a(a≥0) - a(a < 0)end{array}right.- 当a = 3时，√(3^2)=|3| = 3；当a=-3时，√((-3)^2)=| - 3|=3。

3. √(ab)=√(a)·√(b)(a≥0,b≥0)- 例如√(12)=√(4×3)=√(4)·√(3)=2√(3)。

4. √(frac{a){b}}=(√(a))/(√(b))(a≥0,b > 0)- 例如√(frac{8){2}}=(√(8))/(√(2))=(2√(2))/(√(2)) = 2。

三、二次根式的运算。

1. 二次根式的加减法。

- 先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式（被开方数相同的二次根式）合并。

- 例如计算√(12)+√(27)-√(48)：- 先化简：√(12)=2√(3)，√(27)=3√(3)，√(48)=4√(3)。

二次根式基础知识通关16.1二次根式1.二次根式：一般地，形如 （a≥0）的代数式叫做二次根式，当a ＞0时， 表示a 的算术平方根,=0.2.二次根式有意义的条件：.3.二次根式的双重非负性：，①0a.4.二次根式的化简：()(0)0(0)a a a a >⎧⎪= = =⎨⎪ <⎩∣∣；()20a a =；)00a b =，；00)a b =>， .16.2二次根式的乘除5.)00a b =， 6.二次根式的除法：)0a = ，7.最简二次根式①被开方数中不含分母；②被开方数中不含能开的尽方的因数或因式.16.3二次根式的加减8.同类二次根式：几个二次根式化成后，如果相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式.9.二次根式的加减：二次根式加减时，可以先将二次根式化成，再将被开方数相同的二次根式进行合并.本章知识结构图单元检测一．选择题（共10小题）1．若在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（）A ．x ≥1B ．x ≤1C ．x ＜1D ．x ≠12．若代数式有意义，则x 的取值是（）A ．x ＝0B ．x ≠0C ．x ≥0D ．x ＞03．若代数式在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（）A ．x ≠1B ．x ＞﹣3且x ≠1C ．x ≥﹣3D ．x ≥﹣3且x ≠14．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A ．B ．C ．D ．5．下列各选项中，化简正确的是（）A ．B ．C ．D ．|π﹣2|＝2﹣π6．下列各式中，最简二次根式是（）A ．B ．C ．D ．7．下列运算结果正确的是（）A ．＝﹣9B ．C ．D ．8．以下二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（）A ．①和②B ．②和③C ．①和④D ．③和④9．下列各式中，运算正确的是（）A ．B ．C ．D ．10．如图，从一个大正方形中裁去面积为30cm 2和48cm 2的两个小正方形，则余下部分的面积为（）A ．78cm 2B ．cm 2C ．cm 2D ．cm 2二．填空题（共10小题）11．若a ，b 都是实数，b ＝+﹣2，则a b 的值为．12．①＝；②＝．13．已知，化简的结果是．14．在二次根式、、、中，是最简二次根式的是．15．将根号外的因式移入根号内的结果是．16．＝，＝．17．最简二次根式与是同类二次根式，则mn＝．18．如图，在长方形内有两个相邻的正方形A，B，正方形A的面积为2，正方形B的面积为4，则图中阴影部分的面积是．19．当时，代数式x2+2x+2的值是．20．关于x的不等式x﹣＜﹣1的非负整数解为．三．解答题（共5小题）21．已知|2018﹣m|+＝m，求m﹣20182的值．22．阅读下面的解答过程，然后作答：有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn＝，则a+2可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简．例如：∵5+2＝3+2+2＝（）2+（）2+2＝（+）2∴＝＝+请你仿照上例将下列各式化简（1）（2）．23．若x＝，y＝，求代数式x2﹣xy+y2的值．24．计算：+﹣9+（3+4）（3﹣4）25．如图，小明在研究性学习活动中，对自己家所在的小区进行调查后发现，小区汽车入口宽AB 为3.2m，在入口的一侧安装了停止杆CD，其中AE为支架．当停止杆仰起并与地面成60°角时，停止杆的端点C恰好与地面接触．此时CA为0.7m．在此状态下，若一辆货车高3m，宽2.5m，入口两侧不能通车，那么这辆货车在不碰杆的情况下，能从入口内通过吗？请你通过估算说明．（参考数据：≈1.7）四、附加题（共2小题）26．在进行二次根式的化简与运算时，如遇到，，这样的式子，还需进一步化简：＝＝①＝＝②＝＝＝﹣1③以上化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：＝＝＝＝﹣1．④（Ⅰ）请用不同的方法化简（1）参照③式化简＝.（2）参照④式化简.（Ⅱ）化简：+++…+．27．阅读学习计算：+++．可以用下面的方法解决上面的问题：+++=（﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）=1﹣＝1﹣利用上面的方法解决问题：（1）计算++++…+．（2）当n＝时，等式++＝成立．基础知识通关答案2．被开方数大于等于零4．a0a-6．0>b8．最简二次根式，被开方数9．最简二次根式单元检测答案一．选择题（共10小题）1．【分析】根据二次根式有意义的条件可求出x的取值范围【解答】解：由题意可知：x﹣1≥0,解得x≥1故选：A【知识点】22．【分析】二次根式有意义要求被开方数为非负数，由此可得出x的取值范围【解答】解：由题意得：x≥0故选：C【知识点】23．【分析】如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．【解答】解：若代数式在实数范围内有意义，则x﹣1≠0，x+3≥0∴实数x的取值范围是x≥﹣3且x≠1故选：D【知识点】24．【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案【解答】解：A、是最简二次根式，正确B、不是最简二次根式，错误C、不是最简二次根式，错误D、不是最简二次根式，错误故选：A【知识点】4、95．【分析】根据平方根、立方根、绝对值的意义逐个选择判断得结论．【解答】解：因为±＝±3，所以A正确＝2≠﹣2，所以B不正确＝＝5≠﹣5，所以C不正确∵π≈3.14＞2，∴|π﹣2|＝π﹣2≠2﹣π，所以D不正确故选：A【知识点】4、96．【分析】根据最简二次根式的概念判断即可【解答】解：＝3，A不是最简二次根式＝|n|m2，B不是最简二次根式＝，C不是最简二次根式D，是最简二次根式故选：D【知识点】97．【分析】直接利用二次根式的性质以及二次根式除法运算法则计算得出答案【解答】解：A、＝9，故此选项错误B、（﹣）2＝2，正确C、÷＝，故此选项错误D、＝5，故此选项错误故选：B【知识点】48．【分析】先把每个二次根式化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义解答【解答】解：∵，，，∴与是同类二次根式的是①和④故选：C【知识点】4、89．【分析】分别根据合并同类项的法则、二次根式的化简法则对各选项进行逐一分析即可【解答】解：A、3﹣＝2≠3，故本选项错误B、＝2，故本选项正确C、2与不是同类项，不能合并，故本选项错误D、＝2≠﹣2，故本选项错误故选：B【知识点】4、910．【分析】根据题意求出阴影部分的面积进而得出答案【解答】解：从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形大正方形的边长是+＝+4留下部分（阴影部分）面积是（+4）2﹣30﹣48＝8＝24（cm2）故选：D【知识点】9二．填空题（共10小题）11．【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a的值，进而利用负指数幂的性质得出答案【解答】解：∵b＝+﹣2，∴1﹣2a＝0解得：a＝，则b＝﹣2，故a b＝（）﹣2＝4故答案为：4【知识点】312．【分析】①先对根式下的数进行变形，（﹣0.3）2＝（0.3）2，直接开方即得②已知25 ，所以开方后||＝【解答】解：①原式＝0.3②原式＝||＝【知识点】413．【分析】由于，则＝x﹣2，|x﹣4|＝4﹣x，先化简，再代值计算【解答】解：已知，则＝x﹣2+4﹣x＝2【知识点】414．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是【解答】解：根据最简二次根式的定义可知：（含有分母）、（被开方数含能开得尽方的因数）和（含有分母），故不是最简二次根式符合最简二次根式的定义故答案为：【知识点】915．【分析】根据二次根式有意义的条件先确定a的正负，然后化简根式，约分得出结果【解答】解：∵要使有意义必须﹣＞0即a＜0所以＝﹣＝【知识点】416．【分析】根据二次根式乘法法则进行计算即可【解答】解：•＝＝4y•＝＝＝18【知识点】4、517．【分析】根据最简二次根式以及同类二次根式的定义即可求出答案【解答】解：由题意可知：2m﹣1＝34﹣3m，n﹣1＝2解得：m＝7，n＝3∴mn＝21故答案为：21【知识点】818．【分析】设两个正方形A ，B 的边长是x 、y （x ＜y ），得出方程x 2＝2，y 2＝4，求出x ＝，y ＝2，代入阴影部分的面积是（y ﹣x ）x 求出即可【解答】解：设两个正方形A ，B 的边长是x 、y （x ＜y ）则x 2＝2，y 2＝4x ＝，y ＝2则阴影部分的面积是（y ﹣x ）x ＝（2﹣）×＝2﹣2故答案为：2﹣2【知识点】919．【分析】根据x 的值求出（x +1）2的值，再把（x +1）2展开，即可得出要求的式子【解答】解：∵，∴x +1＝∴（x +1）2＝5∴x 2+2x +1＝5∴x 2+2x ＝4∴x 2+2x +2＝4+2＝6故答案为：6【知识点】5、920．【分析】首先解不等式确定不等式的解集，然后确定其整数解即可【解答】解：解不等式x ﹣＜﹣1得：x ＜﹣1∵3＜＜4∴2＜﹣1＜3∴x ＜﹣1的非负整数解为0，1，2故答案为：0，1，2【知识点】7三．解答题（共5小题）21．【分析】直接利用二次根式有意义的条件分别分析得出答案【解答】解：∵m ﹣2019≥0，∴m ≥2019∴2018﹣m ≤0∴原方程可化为：m ﹣2018+＝m∴＝2018∴m ﹣2019＝20182∴m ﹣20182＝2019【知识点】322．【分析】（1）利用完全平方公式把4+2化为（1+）2，然后利用二次根式的性质化简即可（2）利用完全平方公式把7﹣2化为（﹣）2然后利用二次根式的性质化简即可【解答】解：（1）∵4+2＝1+3+2＝12++2＝（1+）2∴＝＝1+（2）＝＝＝﹣【知识点】423．【分析】首先利用完全平方公式将原式变形进而代入已知求出答案【解答】解：∵x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2+xy∴把x＝，y＝代入得原式＝（﹣）2+×＝7+1＝8【知识点】5、6、924．【分析】直接利用二次根式的性质化简进而结合乘法公式计算得出答案【解答】解：原式＝﹣2+2﹣9×+18﹣16＝﹣2+2﹣3+18﹣16＝﹣【知识点】4、5、6、925．【分析】首先在AB之间找一点F，且BF＝2.5，过点F作GF⊥AB交CD于点G，只要求得GF的数值，进一步与货车高相比较得出答案即可【解答】解：如图在AB之间找一点F，使BF＝2.5m过点F作GF⊥AB交CD于点G∵AB＝3.2m，CA＝0.7m，BF＝2.5m∴CF＝AB﹣BF+CA＝1.4m∵∠ECA＝60°，∴GFCF∴GF ＝CF＝1.4≈2.38m∵2.38＜3，∴这辆货车在不碰杆的情况下，不能从入口内通过【知识点】5四．附加题（共2小题）26．【分析】（1）分母有理化的两种方法：1.同乘分母的有理化因式；2.因式分解达到约分的目的（2）中，注意找规律：分母的两个被开方数相差是2，分母有理化后，分母都是2，分子可以出现抵消的情况【解答】解：（1）参照③式化简＝＝﹣故答案是：﹣（2）参照④式化简＝＝＝＝﹣故答案是：﹣（Ⅱ）原式＝（+++…+）＝[（﹣1）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝（﹣1）\11/【知识点】4、727．【分析】（1）根据题意首先化简二次根式，进而得出答案（2）首先化简二次根式进而得出关于n的等式求出答案【解答】解：（1）原式＝﹣+﹣+…+﹣＝1﹣+﹣++…+﹣＝1﹣＝（2）∵++＝∴﹣+﹣+﹣＝，则＝解得：n＝1故答案为：1【知识点】4、7\12/。