高中数学 3.1.1 两角和与差的余弦教案 苏教版必修4(1)

两角和与差的三角函数3．1.1两角和与差的余弦预习课本P103～106，思考并完成以下问题1．如何通过向量法来推导两角差的余弦公式？2．如何由两角差的余弦公式来推导两角和的余弦公式？3．两角和(差)的余弦公式是什么？[新知初探]两角和与差的余弦公式(1)cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；(2)cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.[点睛](1)公式中的角α，β是任意角，特点是用单角的三角函数表示复角的三角函数，cos(α－β)，cos(α＋β)是一个整体．(2)公式特点：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反，可用口诀“余余、正正号相反”记忆公式．[小试身手]1．cos 110°cos 20°＋sin 110°sin 20°＝________. ★答案★：02．求值：cos 15°＋sin 15°＝________. ★答案★：623．满足sin π 5sin α＋cos 4π 5cos α＝12的锐角α＝________.★答案★： 7π154．已知cos(α＋β)＝12，cos(α－β)＝13，则tan αtan β＝________.★答案★：－15给角求值问题[典例1] 求下列各式的值： (1)cos 40°cos 70°＋cos 20°cos 50°； (2)cos 7°－sin 15°sin 8°cos 8°；(3)12cos 15°＋32sin 15°. [解] (1)原式＝cos 40°cos 70°＋sin 70°sin 40°＝cos(70°－40°)＝cos 30°＝32. (2)原式＝cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°cos 8°＝cos 15°cos 8°cos 8°＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝2＋64. (3)∵12＝cos 60°，32＝sin 60°，∴12cos 15°＋32sin 15° ＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15° ＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22.对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分求值；要善于逆用或变用公式．[活学活用] 求值：2sin 50°＋sin 80°(1＋3tan 10°)2cos 5°.解：原式＝2sin 50°＋2sin 80°cos 10°·⎝⎛⎭⎫12cos 10°＋32sin 10°2cos 5°＝2sin 50°＋2cos (60°－10°)2cos 5°＝2⎝⎛⎭⎫22sin 50°＋22cos 50°cos 5°＝2cos (50°－45°)cos 5°＝2.已知三角函数值求值[典例2] 已知π2＜β＜α＜3π4，且cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求cos 2α的值．[解] 因为π2＜β＜α＜3π4，所以π＜α＋β＜3π2，0＜α－β＜π4，又因为cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，所以sin(α－β)＝513，cos(α＋β)＝－45， 所以cos 2α＝cos [(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β)＝1213×⎝⎛⎭⎫－45－513×⎝⎛⎭⎫－35＝－3365.(1)在用两角和与差的余弦公式求值时，常将所求角进行拆分或组合，把所要求的函数值中的角表示成已知函数值的角．(2)在将所求角分解成某两角的差时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等．设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23且π2＜α＜π，0＜β＜π2，求cos α＋β2的值． 解：因为π2＜α＜π，0＜β＜π2，所以π4＜α－β2＜π，－π4＜α2－β＜π2，所以sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝1－⎝⎛⎭⎫－192＝459， cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－⎝⎛⎭⎫232＝53，所以cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β＝ cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527.已知三角函数值求角[典例 已知锐角α，β满足sin α＝5，cos β＝310，求α＋β的值． [解] 因为α，β为锐角且sin α＝55，cos β＝31010， 所以cos α＝1－sin 2α＝255， sin β＝1－cos 2 β＝1010， 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22. 由0＜α＜π2，0＜β＜π2，得0＜α＋β＜π，又cos(α＋β)＞0，所以α＋β为锐角，所以α＋β＝π4.[一题多变]1．[变条件]本例中条件cos β＝31010，变为sin β＝1010，α，β均为锐角变为α和β均为钝角，其他条件不变，求α＋β的值．解：因为α和β均为钝角， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－255，cos β＝－1－sin 2β＝－31010. 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22. 由α和β均为钝角，得π<α＋β<2π，所以α＋β＝7π4.2．[变条件，变设问]若本例中cos β＝31010改为cos β＝1010，其他条件不变，求α－β的值．解：因为α，β为锐角， 所以由sin α＝55，cos β＝1010， 得到cos α＝255，sin β＝31010，且α＜β，即－π2＜α－β＜0.于是cos(α－β)＝255×1010＋55×31010＝22， 故α－β＝－π4.已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角．层级一 学业水平达标1．计算sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67°的值为________．解析：sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67°＝cos 83°cos 23°＋sin 83°sin 23°＝cos(83°－23°)＝cos 60°＝12.★答案★：122．cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θcos θ＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θsin θ＝________. 解析：cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θcos θ＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θsin θ ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋θ－θ＝cos π4＝22.★答案★：2 23．若a为锐角且cos α＝255，则cos⎝⎛⎭⎫π4－α＝________.解析：由α为锐角且cos α＝255，可得sin α＝55.于是cos⎝⎛⎭⎫π4－α＝cosπ4cos α＋sinπ4sinα＝22×255＋22×55＝31010.★答案★：310104．cos 105°＝________.解析：cos 105°＝cos(60°＋45°)＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45°＝12×22－32×22＝2－64.★答案★：2－645．已知sin α＋sin β＝35，cos α＋cos β＝45，则cos(α－β)＝________.解析：因为(sin α＋sin β)2＝925，(cos α＋cos β)2＝1625，以上两式展开两边分别相加得2＋2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝－12.★答案★：－126．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α，β均为锐角且α<β，则α＋β的值为________．解析：∵α<β，cos(α－β)＝55，且α，β均为锐角，∴sin(α－β)＝－255.又∵cos 2α＝1010，∴sin 2α＝31010.∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝1010×55＋31010×⎝⎛⎭⎫－255＝－22. ∵0<α<π2，0<β<π2，∴0<α＋β<π. ∴α＋β＝3π4. ★答案★：3π47．已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则β＝________. 解析：∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)． ∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sin α＝437，sin(α＋β)＝5314， ∴cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝12.∵0<β<π2，∴β＝π3.★答案★：π38．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝14，则cos α＋3sin α＝________. 解析：cos α＋3sin α＝2⎝⎛⎭⎫12cos α＋32sin α＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝2sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝2×14＝12. ★答案★：129．求值： (1)sin 285°；(2)sin 460°·sin(－160°)＋cos 560°·cos(－280°)．解：(1)sin 285°＝sin(270°＋15°)＝－cos 15°＝－cos(60°－45°) ＝－(cos 60°·cos 45°＋sin 60°·sin 45°)＝－6＋24. (2)原式＝－sin 100°·sin 160°＋cos 200°·cos 280° ＝－sin 100°·sin 20°－cos 20°·cos 80° ＝－(cos 80°·cos 20°＋sin 80°·sin 20°)＝－cos 60°＝－12.10．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－45，且5π4<α<7π4，求cos α的值． 解：因为5π4<α<7π4，所以3π2<α＋π4<2π，所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4>0， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35， 所以cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin π4＝35×22－45×22＝－210. 层级二 应试能力达标1．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝1213，sin β＝－35，则cos(α－β)＝________.解析：因为α为锐角，且cos α＝1213，所以sin α＝1－cos 2α＝513. 又因为β为第三象限角，且sin β＝－35，所以cos β＝－1－sin 2β＝－45，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝1213×⎝⎛⎭⎫－45＋513×⎝⎛⎭⎫－35＝－6365. ★答案★：－63652．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝________. 解析：原式＝cos [(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12.★答案★：123．已知锐角α，β满足cos α＝45，tan(α－β)＝－13，则cos β＝______.解析：因为α为锐角，且cos α＝45，得sin α＝35.又因为0<α<π2，0<β<π2，所以－π2<α－β<π2.又因为tan(α－β)＝－13<0，所以cos(α－β)＝310.从而sin(α－β)＝tan(α－β)cos(α－β)＝－110. 所以cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝45×310＋35×⎝⎛⎭⎫－110＝91050. ★答案★：910504.2cos 10°－sin 20°sin 70°＝________.解析：原式＝2cos (30°－ 20°)－sin 20°sin 70°＝2cos 30°cos 20°＋2sin 30°sin 20°－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.★答案★： 35．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫7π4＋α＝________. 解析：由题意可知cos α＝45，cos ⎝⎛⎭⎫7π4＋α＝ cos ⎝⎛⎭⎫2π－π4＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin α·sin π4＝45×22＋35×22＝7210. ★答案★：72106．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0和cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________． 解析：由已知得，－sin γ＝sin α＋sin β，① －cos γ＝cos α＋cos β，②①2＋②2得，1＝1＋1＋2sin αsin β＋2cos αcos β， 化简得cos αcos β＋sin αsin β＝－12，即cos(α－β)＝－12.★答案★：－127．已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π12－x －cos ⎝⎛⎭⎫5π12＋x 的值域． 解：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π12－x －cos ⎝⎛⎭⎫5π12＋x＝cos ⎝⎛⎭⎫π12－x －cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π12－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π12－x －sin ⎝⎛⎭⎫π12－x ＝2⎣⎡⎦⎤22cos ⎝⎛⎭⎫π12－x －22sin ⎝⎛⎭⎫π12－x ＝2⎣⎡⎦⎤cos π4cos ⎝⎛⎭⎫π12－x －sin π4sin ⎝⎛⎭⎫π12－x ＝2cos ⎣⎡⎦⎤π4＋⎝⎛⎭⎫π12－x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－x .因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以－π6≤π3－x ≤π3， 所以cos ⎝⎛⎭⎫π3－x ∈⎣⎡⎦⎤12，1， 所以函数y 的值域是⎣⎡⎦⎤22，2.8．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(其中ω>0，x ∈R)的最小正周期为10π. (1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝⎛⎭⎫5β－5π6＝1617，求cos(α＋β)的值． 解：(1)因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，ω>0的最小正周期T ＝10π＝2πω，所以ω＝15. (2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫15x ＋π6，而α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝⎛⎭⎫5β－5π6＝1617， 所以2cos ⎣⎡⎦⎤15⎝⎛⎭⎫5α＋5π3＋π6＝－65， 2cos ⎣⎡⎦⎤15⎝⎛⎭⎫5β－5π6＋π6＝1617， 即cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－35，cos β＝817， 于是sin α＝35，cos α＝45，sin β＝1517，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.。

．经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的过程，教学,讨论可能沿着下面的方向进行：1 cos sin 1,1a x x b a b a b θ==（，），（），为与 的夹角，求．4+=-（），得到如下结论：利用两点间距离公式推导5．用“四、数学运用利用两角和（差）余弦公式证明下列诱导公式：五、回顾小结利用变换角的方法推出了两角和的余弦公式，要牢记公式的结构特点，是什么？怎样推导呢？留给同学们课后探讨。

六、课外作业：精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

，求 cos(a + 0)的值.(l)C OS ［课 题］:3. 1.1两角和与差的余弦［知识摘记］1. 两角差的余弦公式2. 两角和的余弦公式［例题解析］例1 .利用两角和(差)的余弦公式证明下列诱导公式:例2.利用两角和(差)的余弦公式.求cos75°,cos 15°,sin 15°,tan 15°.例 3.已知 sin a =—,a e 思考：你能求出sin(a + 0)吗?例4.已知锐角a, ［3满 3 cosa= —5 cos (a+卩)=-看求 C0S P °71a 2 =sin a［练习与反思］课本练习1, 2, 3 反思：9、已知锐角a. 0满足cos0 =3V1010sin a =(1) cos(a —0)(2) G +［课外作业］1、cos255°的值是 __________________2、cos ------ A/3 sin —的值是 ___________________12 123、已知0,0均为锐角，COS(G+0)= —U, COSQ=丄,，则角0为 ____________'丿14 73 54、在AASC 中，sin A =-,cos5 =—,那么cos C 的值为_____________________5 135、cos 24° - cos 36° - sin 24° - cos54°的值等于_____________6、在AABC 中，若sinAsinB<cosAcosB,则AABC —定为___________ 三角形7、cos(&-35。

)cos(25。

+o) + sin(a-35o) sin(25。

+a) = __________________________Q古sin 10° - V3 cosl0°8>求值：-------------------cos40°10、已知cos。

§3.1.1 两角和与差的余弦(1)学习目标：⒈建立两角差的余弦公式，掌握两角差的余弦公式及其推导过程．⒉初步理解公式的结构及其功能，灵活掌握两角差的余弦公式的正用与逆用．教学重点：建立两角差的余弦公式．教学难点：探索两角差的余弦公式的证明方法．教学方法：讨论式．教具准备：多媒体投影．教学过程：（Ⅰ）新课引入：问题引入：某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上．如图所示，小山高BC约为30米，在地平面上有一点A，测得A、C两点间距离约）约为45 ．求这座为67米，从A观测电视发射塔的视角（CAB电视发射塔的高度．设电视发射塔高BC x =米，CAD α∠=，则30sin 67α=． 在Rt ADB ∆中，30tan(45)tan 30x αα++=，于是 30tan(45)30tan x αα+=- ．如果能由30sin 67α=求得tan(45)α+ 的值，那么就能得出电视发射塔的高度了．能不能由30sin 67α=求得tan(45)α+ 的值呢？或者说能不能用sin α把tan(45)α+ 表示出来呢？更一般地说，对于任意角α，β，能不能用α，β的三角函数值把αβ+或αβ-的三角函数值表示出来呢？本节课开始，我们就着手解决此类问题．（Ⅱ）讲授新课：问题1.请问cos cos αβ-和cos()αβ-相等吗？请举例说明．（举例说明cos cos αβ-和cos()αβ-不相等）．由α、β的具体取值我们可以看到，一般来说，cos()cos cos αβαβ-≠-．那么，应该如何用任意角α、β的正弦、余弦值来表示cos()αβ-呢？请同学们阅读课本P93的内容得到cos()αβ-与任意角α、β的正弦、余弦值的关系的方法并不唯一．事实上，我们在上一章课本P83第15题就已经得到了一个表达式：000000cos(7515)cos75cos15sin 75sin15-=+如图，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角α、β，它们的终边与单位圆的交点分别为A 、B ，则(cos ,sin )OA αα=，(cos ,sin )OB ββ= ．由向量数量积的定义，有 ||||cos()cos()OA OB OA OB αβαβ⋅=-=-． 由向量数量积的坐标表示，有(cos ,sin )(cos ,sin )OA OB ααββ⋅=⋅cos cos sin sin αβαβ=+ 所以，cos()αβ-cos cos sin sin αβαβ=+．问题 2.我们这里的角α、β是任意角，因此角αβ-也是任意角．你认为上述推导过程严密吗？哪里有问题呢？依据向量数量积的概念，角αβ-必须符合条件0αβπ≤-≤，因此只有在这个条件下上面的推导才是正确的．这就要求我们研究当αβ-是任意角时，以上的推导是否正确的问题．事实上，当αβ-是任意角时，由诱导公式，总可以找到一个角[0,2)θπ∈，使cos cos()θαβ=-．若[0,)θπ∈，则cos cos()OA OB θαβ⋅==-； 若[,2)θππ∈，则2(0,]πθπ-∈，且cos(2)cos cos()OA OB πθθαβ⋅=-==-．于是，对于任意角α、β都有此公式给出了任意角α、β的正弦、余弦值与其差角αβ-的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作()C αβ-．问题3.这个公式有什么用途呢？根据这个共识，我们只要知道了角α、β的正弦、余弦值，就可以求出cos()αβ-的值了．对于任意角α、β都有αβαβ+的余弦值之间的关系，称为和角的余弦公式，简记作()C αβ+．例1.(课本P94例1)解析:练习:例2.(课本P95例2)练习:例3.能!练习: (课时训练P74第5)答案:5.cos例4. (课时训练P73例3)已知锐角α、β满足10103cos ,55sin ==βα，求α＋β.分析: 本题考查两角和与差的余弦公式的应用和已知三角函数值求角的方法.在求角的过程中，要求值与判断角的范围相结合.解析:∵α、β为锐角且10103cos ,55sin ==βα 2210105510103552 sin sin cos cos )cos(10101091cos 1sin 552511sin 1cos 22=⋅-⋅=-=+∴=-=-==-=-=βαβαβαββαα 由0＜α＜2π，0＜β＜2π得 0＜α+β＜π 又cos （α＋β）＞0 ∴α＋β为锐角, ∴α＋β＝4π思考: 1.65sin 1211cos 611cos 1225sin ππππ-等于( ) A.-22 B.22 C.-sin 2π D.sin 12π 2. 若sin α·sin β＝1，则cos （α＋β）的值为( )A.0B.1 Ｃ.±1 Ｄ.－13.对任意的锐角βα,，下列不等关系中正确的是（ ）A ．βαβαsin sin )sin(+>+B ．βαβαcos cos )sin(+>+C ．βαβαsin sin )cos(+<+D ．βαβαcos cos )cos(+<+答案:BDD. (特殊值法验证即可得!)（Ⅲ）课后练习：课本P95练习P96习题3.1（Ⅳ）课时小结:⑴三角变换的基本要求是：思维有序、表述条理．⑵三角变换中角的拆分的多样性，决定了变换的多样性．⑶三角公式的应用也具有多样性，要注意正勇、逆用、变形用．（Ⅴ）课后作业：⒈课本P96习题3.1(1) 1～7⒉预习课本P96～P97，思考下列问题：⑴怎样应用差角的余弦公式推导和角的余弦公式？⑵怎样进行一个角的正弦、余弦之间的转化？你能将两角和（差）的正弦转化为余弦吗？⑶怎样推导两角和（差）的正切公式？应用两角和（差）的正切公式需要些怎样的条件呢？⑷通过例题2的解答，你有些什么体会呢？板书设计：教学后记。

两角和与差的正、余弦（1） 教学目标
1.进一步熟悉两角和与差的正（余）弦公式，能正确运用公式进行简单的 三角函数的化简、求值；
2.掌握一些角的变换技巧，能选择恰当的公式解决有关问题；
3.了解由三角函数值求角的方法。

教学重、难点
公式的运用。

教学过程
（一）复习：
1．()C αβ±及()S αβ±公式；
2．练习 38P 3（1）（2）（3）．
（二）新课讲解：
例1：已知sin (0,)52παα=
∈，cos (0,)102
πββ=∈， （1）求cos(),sin()αβαβ--的值.； （2）求αβ-． 例2：已知62ππα<<，且15cos()617πα-=，求cos ,sin αα的值。

．
例3：已知324π
πβα<<<，12cos()13αβ-=，3sin()5αβ+=-，求cos 2β的值。

课堂练习 P 103习题1，2，3
课堂小结：
1．掌握求角的一般方法；
2．寻找角之间的关系，选择恰当的公式解决有关问题。

教学后记。

教学设计3．1.1两角和与差的余弦作者：王盈慧，江苏省前黄高级中学教师，本教学设计获江苏省教学设计大赛二等奖．整体设计设计思路整堂课大致分两部分，一是探究发现；二是知识应用．探究过程由物理情景出发，尝试解决物理问题后抽象出数学模型——向量，再转化问题的表述，回归数学本质，探究“cos(α－β)能否用α，β的三角函数表示出来？如何表示？”这一问题．经历“猜想——验证——证明”的体验过程，感受向量方法证明的简洁美和数学探究的成功体验．以《几何画板》为探索平台，完成公式推导，并体验α，β的任意性．证明过程由粗至精，在直观形象的基础上进一步去体验数学的科学严谨．通过例1、例2和练习1学会运用公式进行简单三角函数的化简、求值，例3有一定技巧，意在让学生初步体会角的变换的灵活性．教学目标1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；2．掌握两角和与差的余弦公式，能正确运用这些公式进行简单三角函数的化简、求值；3．培养学生发现问题、研究问题、解决问题的能力及创新能力，掌握数形结合这一重要数学思想；4．引导学生注意养成有条理地逐步解决问题的习惯，培养学生普遍联系、运动变化、数学来源于实践又指导实践的辩证唯物主义观点及勇于探索的创新精神．教学过程情景创设1．物理情景如图1所示，倾角为30°的斜坡上，一物体在力F的作用下前进了1 m，已知|F|＝1 N，力F的方向与水平方向成45°角，求此过程中力F所做的功．图1设问1：力F与位移s的夹角不是我们熟知的那些特殊角，有办法求此过程中力F所做的功W吗？将力F正交分解，得水平方向和竖直方向的两个分力F1、F2，将位移s也按同样的方向做正交分解为s1、s2，可以具体计算出W1、W2，再求出和功W.发现：由F·s＝F1·s1＋F2·s2，有cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°.设问2：一般地，斜坡倾角为β，力F的方向与水平方向所成角为α，还会有类似的结果吗？2．数学情境将上述问题中的数学模型抽象出来：我们知道，力、位移这些矢量在数学中抽象为向量，下面我们将前面的探索翻译成数学语言、向量语言．设问3：(设问2的转化)cos(α－β)能否用α，β的三角函数表示出来？如何表示？猜猜看？学生活动：举例验证各自的猜想是否正确，然后班级交流．(猜想cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，诱导公式就是极好的验证例子)设问4：所猜想的等式有什么结构特点？你能推导出这一猜想吗？说说你的推导思路．建构数学探究1：cos(α－β)看成两个向量的夹角的余弦，用向量的数量积来研究．(严谨性不必一步到位，采用学生们的说法“α－β为两向量夹角”)师生活动：从“α－β为两向量夹角”这一不够严谨的说法出发，学生画图探索，尝试证明．老师用“几何画板”演示(如图2)，写出推导思路．再用“几何画板”演示(如图3)，引导大家对欠严谨处展开讨论，体验α，β的任意性．图2图3前面的推导必须符合条件0≤α－β≤π才正确，α、β是任意的，α－β也应该是任意的．猜想仍然正确吗？利用诱导公式，存在θ∈[0,2π)使cosθ＝cos(α－β)，若θ∈[0，π]，则a·b＝cosθ＝cos(α－β)；若θ∈[π，2π)，则2π－θ∈[0，π]且a·b＝cos(2π－θ)＝cosθ＝cos(α－β)．从而得出公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.C(α－β)探究2：(旋转变换的思想)如图4，将角α－β旋转变换到以x轴正方向为始边的位置，接着利用两点间的距离公式建立等式[cos(α－β)－1]2＋sin2(α－β)＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2.图4引导体会该证法的优点(任意角α、β的终边位置不同不影响公式的证明)．探究3：cos(α＋β)能否用α、β的三角函数表示出来？如何表示？学生小组讨论后很容易由α＋β＝α－(－β)或依据α、β的任意性令β＝－β得出公式：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.发散：模仿探究3你还能得出其他类似结果吗？数学运用我们探索得到了两角和与差的余弦公式，公式形式上有什么特点，如何记忆？这一公式的得出又有怎样的价值？例题选讲例1利用两角和(差)的余弦公式，求cos75°，cos15°，sin15°，tan15°.设问5：这里的75°、15°以前我们并不熟悉，现在要求它们的余弦值(三角函数值)，怎样处理？学生很快会答出将75°表示成45°＋30°，将15°表示成45°－30°，然后再利用两角和(差)的余弦公式求值．学生还会想出60°－45°的处理办法，要及时肯定．教师板书解题过程，启发学生总结出解决问题的关键点：“将所求角用熟知的特殊角表示出来”．本题还涉及到诱导公式和同角三角函数关系的运用，也需设问引导学生注意总结．学生若能够与探究部分的发散联系起来，得出两角和(差)的正弦公式，要多加赞许．例2已知sinα＝23，α∈(π2，π)，cosβ＝－35，β∈(π，3π2)，求cos(α＋β)． 学生思考后师生共同分析，欲利用两角和的余弦公式求三角函数值，要先准备好公式中所需要的相关角的正弦值、余弦值，教育学生做事情要有条理，一步一步把事情做好．强调利用同角三角函数关系准备相关三角函数值时，要依据角的范围，判断函数值的符号，进而求出三角函数值．例3已知α、β都是锐角，cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，求cosβ. 探究4：学生往往抓住cos(α＋β)用公式展开，将sin α，cosα的值代入，再结合同角三角函数关系sin 2β＋cos 2β＝1，用方程思想求解．启发学生把题目中所涉及的角分成两类：已知角和所求角，能否用已知角把所求角表示出来？进而引导学生抓住角的变换应用公式求值．β＝(α＋β)－α，cosβ＝cos((α＋β)－α)＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα.老师板书解题过程，并引导学生比较两种方法．学生练习1．利用两角和(差)的余弦公式化简：(1)cos58°cos37°＋sin58°sin37°；(2)cos(60°＋θ)－cos(60°－θ)．2．已知cos θ＝－35，θ∈(π2，π)，求cos(π3－θ)的值． 课堂小结先请两位同学谈谈自己这堂课的收获与体验，然后老师小结．·熟记公式 (化归的思想)·向量方法探索公式的简洁美 (其他探索方法)·公式应用 (求值型，证明型，化简型)注意公式的正用、逆用，注意根据角的范围确定三角函数值的符号，要善于发现角之间的关系．巩固作业1．已知sinα＝23，cosβ＝－34，且α、β都是第二象限角，求cos(α－β)的值． 2．已知π4<α<β<π2，且sin(α＋β)＝45，cos(α－β)＝1213. (1)用α＋β，α－β表示2α；(2)求cos2α的值．教学反思1．物理情景的引入帮助学生很快形成猜想，同时尝试抽象出其中的数学本质，一方面自然过渡到用向量法探究两角差的余弦公式，另一方面也是对数学建模思想的又一次丰富．2．两角差的余弦公式探索方法很多，教材中也留有许多思考让学生从不同角度探索公式，这些探索证明方法的建构都有着丰富的数学思想方法，仅仅停留在课堂上的探索是远远不够的，要引导学生课后继续探究．3．本堂课中学生的情感体验，对两角和差余弦公式价值的认识都比较充分；适当的数学史知识和我国数学家的介绍也拓宽了学生的视野，加深了学生对数学研究的亲近感；结合数学解题展开的生活习惯的养成也恰到好处．。

§ 两角和与差的余弦江苏丰县华山中学 刘国良【教学目标】1知识目标：理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式，运用两角和与差的余弦公式，解决相关数学问题。

2能力目标：培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生逆向思维和发散思维能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。

3情感目标：通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。

【高考等级要求】 C 级 【教学重点与难点】教学重点：两角和与差的余弦公式的理解与灵活运用。

教学难点：两角和与差的余弦公式的推导过程，特别是一般性的推广。

【教学方法与教学手段】问题教学法、合作学习法，多媒体课件【教学过程】一、创设情境、自主先学问题1：前面学习了三角函数，()βα-cos 能否用α的三角函数和β的三角函数来表示 问题2：不用计算器，求cos15的值，cos15能否写成两个特殊角的和或差的形式 问题3：cos15cos(4530)cos45cos30=-=-成立吗 问题4：cos(4530)-能否用4530和的三角函数来表示设计意图: 通过创设问题情境，自然流畅地提出问题，揭示课题，引发学生思考,使学生目标明确、迅速进入角色。

二、动手操作、实例验证1向量的数量积__________b a =⋅),,a 11y x （=),b 22y x （= 则 __________b a =⋅ （2）单位圆上的点的坐标表示试在直角坐标系中画出终点在单位圆上的向量a (cos 45,sin 45)=和b (cos30,sin 30)=，并求出它们的两种形式的数量积？由图可知：==→a OP 1, ==→b 2OP 则=⋅b a_____________a =→_____________b =→问题5： =︒-︒=∠)3045cos(P cos 21OP问题6：由︒︒+︒︒=︒-︒30sin 45sin 30cos 45cos )3045cos(出发，你能推广到对任意的两个角都成立吗 设计意图:通过动手操作、实例验证，复习回顾使学生熟悉基础知识、特别是用角的正、余弦表示特殊点的坐标，让学生通过特殊值在转化到一般情况，符合学生的认知律三、小组合作、建构概念问题7 ：？）（=-βαcos（一）两角差的余弦公式设角α的终边与单位圆的交点坐标为Pco α,in α，角β的终边与单位圆的交点坐标为Qco β,in β见图1．记 a=OP =co α,in α，b =OQ =co β,in β,则a b =|a |⋅|b|co α-β=co α-β；又应用向量数量积的坐标表示公式，a b=co α co β in α in β，所以co α-β=co α co β in α in β ① 当点P 在直线OQ 上或上方时图1•αP co α,in αβ Q co β,in βO•P 0角θβ+与角α终边相同，Z k k ∈++=∴,2πθβαβαβαβαθβαπθβαsin sin cos cos )cos(cos )cos(,2+=-∴=-∴∈+=-∴Zk k ② 当点P 在直线OQ 下方时角θβ-与角α终边相同，Z k k ∈+-=∴,2πθβαβαβαβαθθβαπθβαsin sin cos cos )cos(cos )cos()cos(,2+=-∴=-=-∴∈+-=-∴Zk k，对于任意的角βα,都成立。

3.1.1 两角和与差的余弦一、课题：两角和与差的余弦二、教学目标：1．掌握两点间的距离公式及其推导；2．掌握两角和的余弦公式的推导；3．能初步运用公式()C αβ±来解决一些有关的简单的问题。

三、教学重点：两点间的距离公式及两角和的余弦公式的推导。

四、教学难点：两角和的余弦公式的推导。

五、教学过程： （一）复习：1．数轴两点间的距离公式：12MN x x =-．2．点(,)P x y 是α终边与单位圆的交点，则sin ,cos y x αα==． （二）新课讲解：1．两点间的距离公式及其推导设111222(,),(,)P x y P x y 是坐标平面内的任意两点，从点12,P P 分别作x 轴的垂线1122,PM P M ，与x 轴交于点1122(,0),(,0)M x M x ；再从点12,P P 分别作y 轴的垂线 1122,PN P N ，与y 轴交于点1122(0,),(0,)N y N y ．直线11P N 与22P M 相交于点Q ，那么 11221PQ M M x x ==-， 21221QP N N y y ==-． 由勾股定理，可得2221212PP PQ QP =+2212x x y y =-+- 222121()()x x y y =-+-∴12PP =2．两角和的余弦公式的推导在直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作角,αβ与β-，使角α的始边为Ox ，交⊙O 于点1P ，终边交⊙O 于点2P ；角β的始边为2OP ，终边交⊙O 于点3P ；角β-的始边为1OP ，终边交⊙O 于点4P ，则点1234,,,P P P P 的坐标分别是1(1,0)P ，2(cos ,sin )P αα， 3(cos(),sin())P αβαβ++，4(cos(),sin())P ββ--，1324PP P P =，∴22[cos()1]sin ()αβαβ+-++22[cos()cos ][sin()sin ]βαβα=--+--得：22cos()αβ-+22(cos cos sin sin )αβαβ=-- ∴cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-．（()C αβ+）3．两角差的余弦公式在公式()C αβ+中用β-代替β，就得到cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ （C αβ-）说明：公式()C αβ±对于任意的,αβ都成立。