广东省深圳市高级中学2019-2020学年高一下学期(在线)期中考试数学Word版含答案

深圳市第二高级中学2019-2020学年度第四学段考试高一数学试卷时间：120分钟 满分：150分注意事项：1．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.2．答题前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置. 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1.已知平面向量(1,2)a =-，(1,0)b =，则向量3a b +等于（ ） A. ()2,6- B. (2,6)--C. (2,6)D. (2,6)-【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算可得.【详解】因为(1,2)a =-，所以3(3,6)a =-，又因为(1,0)b =，所以3(31,60)(2,6)a b +=-++=-， 故选A【点睛】本题考查了平面向量的线性运算,属于基础题.2.设向量()2,a m =，()3,1b =-，若()2a a b ⊥-，则实数m =（ ） A. 2或－4 B. 2C. 14-或12D. －4【答案】A 【解析】 【分析】先求出()242，a b m -=-+，由()2a a b ⊥-，则()20a a b ⋅-=可求出参数m 的值.【详解】向量()2,a m =，()3,1b =-，则()242，a b m -=-+. 又()2a a b ⊥-，所以()20a a b ⋅-=又()()()224+20a a b m m ⋅-=⨯-⨯+=，即2280m m +-=，解得2m =或4m =-. 故选：A【点睛】本题考查向量的减法运算和利用向量垂直其数量积为零求参数的值，属于基础题. 3.在ABC 中，3c =，45B =︒，60C =︒，则b =（ ）A.22 B.32C.322D. 2【答案】D 【解析】 【分析】 直接用正弦定理sin sin c bC B=直接求解边. 【详解】在ABC 中，3c =，45B =︒，60C =︒由余弦定理有：sin sin c b C B =,即sin 3sin 452sin sin 60c B b C ⋅⋅︒===︒故选：D【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，属于基础题.4.如下图的矩形长为5、宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为( )A.235B.2350C. 10D. 不能估计【答案】A 【解析】 【分析】由已知中的矩形长为5，宽为2，计算得到矩形的面积，根据随机模拟实验的概念，根据阴影部分的面积与矩形的比例约为黄豆落在阴影区域中的频率，得到方程，即可求解．S ，【详解】由已知中的矩形长为5，宽为2，则到矩形的面积为10利用几何概型的概率计算公式，得阴影部分的面积约为×(5×2)＝.【点睛】本题主要考查了几何概型与随机模拟实验的应用，利用阴影部分的面积与矩形的面积的比例约为黄豆落在阴影部分的频率，构成关于阴影部分的方程是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．5.下列图形中，不是三棱柱展开图的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项.【详解】由图可知，ABD选项可以围成三棱柱，C选项不是三棱柱展开图.故选：C【点睛】本小题主要考查三棱柱展开图的判断，属于基础题.6.若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系为( )A. 相交、平行或异面B. 相交或平行C. 异面D. 平行或异面【答案】A【解析】【分析】根据异面直线的定义可得直线a，c的位置关系可能相交，可能平行，可能是异面直线．【详解】因为a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系可能相交，可能平行，也可能是异面直线．如下图所示，满足题意的条件，图①中a，c相交，图②中a，c平行，图③中a，c是异面直线.故选：A ．【点睛】本题主要考查空间异面直线的位置关系的判断，属于基础题．7.关于某设备的使用年限x （单位：年）和所支出的维修费用y （单位：万元）有如下统计数据表： 使用年限x 2 34 56维修费用y 2.2 3.85.56.57.0根据上表可得回归直线方程 1.23y x a =+，据此估计，该设备使用年限为10年时所支出的维修费用约是（ ） A. 12.08万元 B. 12.28万元C. 12.38万元D. 12.58万元 【答案】C 【解析】 【分析】计算出x 和y ，将点(),x y 的坐标代入回归直线方程，求得实数a 的值，然后将10x =代入回归直线方程可求得结果. 【详解】由表格中的数据可得2345645x ++++==， 2.2 3.8 5.5 6.5755y ++++==，由于回归直线 1.23y x a =+过样本中心点(),x y ，则1.2345a ⨯+=，解得0.08a =， 所以，回归直线方程为 1.230.08y x =+，当10x =时， 1.23100.0812.38y =⨯+=. 因此，该设备使用年限为10年时所支出的维修费用约是12.38万元.【点睛】本题考查利用回归直线方程对总体数据进行估计，充分利用结论“回归直线过样本的中心点(),x y ”的应用，考查计算能力，属于基础题. 8.设非零向量a ，b 满足a b a b +=-，则（ ） A. a b ⊥ B. a b =C. a //bD. a b >【答案】A 【解析】 【分析】根据a b +与a b -的几何意义可以判断.【详解】由a b a b +=-的几何意义知，以向量a ，b 为邻边的平行四边形为矩形，所以a b ⊥.故选：A.【点睛】本题考查向量的加减法的几何意义,同时，本题也可以两边平方，根据数量积的运算推出结论.9.在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cosC 等于 （ ） A.23B. 23-C. 13-D. 14-【答案】D 【解析】【详解】解：由正弦定理可得；sinA ：sinB ：sinC=a ：b ：c=2：3：4 可设a=2k ，b=3k ，c=4k （k ＞0）由余弦定理可得，cosC=1-4,选D 10.设l 是直线，α，β是两个不同的平面( ) A. 若//l α，l β//，则//αβ B. 若//l α，l β⊥，则αβ⊥ C. 若αβ⊥，l α⊥，则l β⊥ D. 若αβ⊥，//l α，则l β⊥【答案】B 【解析】根据空间中线面、面面间的位置关系对选项逐一判断即可. 【详解】由l 是直线，α，β是两个不同的平面，可知：A 选项中，若//l α，l β//，则α，β可能平行也可能相交，错误；B 选项中，若//l α，l β⊥，由线面平行、线面垂直的性质和面面垂直的判定可知αβ⊥，正确；C 选项中，若αβ⊥，l α⊥，由面面垂直、线面垂直的性质可知l β//或l β⊂，错误；D 选项中，若αβ⊥，//l α，则l ，β可能平行也可能相交，错误. 故选：B.【点睛】本题考查了线面、面面间的位置关系的判断，考查了空间思维能力，属于基础题. 11.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A. 3144AB AC - B.1344AB AC - C. 3144+AB ACD. 1344+AB AC【答案】A 【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BC =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果. 详解：根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+， 所以3144EB AB AC =-，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.12.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知2cos 0b a C -=，sin 3sin()A A C =+，则2bca=（ ） A.74 B.149C.23D.69【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理把角化边，可得3a b =，进一步得到2cos 3C =，然后根据余弦定理，可得6c b =，最后可得结果.【详解】在ABC ∆中，sin sin a b A B= 由()sin 3sin()3sin 3sin A A C B B π=+=-=所以3a b =①，又2cos 0b a C -=② 由①②可知：2cos 3C =又2222cos 23a b c C ab +-==③把①代入③化简可得：6c b =则2663bc b b a b ⋅== 故选：D【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的综合应用，难点在于将c 用b 表示，当没有具体数据时，可以联想到使用一个参数表示另外两个参数，属中档题.第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知向量(,4),(3,2)a m b ==-，且a b ∥，则m =___________. 【答案】6- 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示得出2430m --⨯=，求解即可得出答案. 【详解】因为a b ∥，所以2430m --⨯=，解得6m =-. 故答案为：6-【点睛】本题主要考查了由向量共线或平行求参数，属于基础题.14.已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为________. 【答案】36π 【解析】 分析】设圆柱的底面半径为r ，可知该圆柱的高为2r ，计算出圆柱的体积，可求得r 的值，进而可求得圆柱的侧面积.【详解】设圆柱的底面半径为r ，由于该圆柱的轴截面为正方形，则该圆柱的高为2r ， 所以，圆柱的体积为232254V r r r πππ=⨯==，解得3r =. 因此，该圆柱的侧面积为222244336S r r r ππππ=⨯==⨯=. 故答案为：36π.【点睛】本题考查圆柱侧面积的计算，同时也考查了圆柱的体积的计算，考查计算能力，属于基础题.15.若向量,2,2,()a b a b a b a ==-⊥满足，则向量a 与b 的夹角等于________． 【答案】4π 【解析】 ∵()2,2,a b a b a ==-⊥，∴()a b -•a =0， 即ab =2，∴cos＜a ，b ＞=a b a b =2222=⨯， 即向量a 与b 的夹角为4π，故答案为4π16.在四面体ABCD 中，AD AC BC BD ===，42AB CD ==球O 是四面体ABCD 的外接球，过点A 作球O 的截面，若最大的截面面积为9π，则四面体ABCD 的体积是______. 【答案】323【解析】 【分析】将四面体补成一个长方体，过点A 的最大截面面积为大圆面积可求出外接球的半径，代入长方体的外接球的直径计算公式(2222=R a b c ++)求出长方体的高，用长方体的体积减去三个相同的三棱锥的体积即为所求。

广东省深圳市高级中学2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由集合确定a值，然后取交集即可.【详解】∵，且；∴；∴．故选：C．【点睛】本题考查集合的交集并集的运算，属于简单题.2.下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性和奇偶性对选项逐个进行判断即可.【详解】解：由题意，可知：对于A：很明显是偶函数，所以排除A；对于B：在其定义域内是减函数，所以排除B；对于C：不是奇函数，所以排除C；对于D：，由幂函数的性质可知是增函数，∵，∴是奇函数．故选：D．【点睛】本题考查基本初等函数的奇偶性和单调性的判断，属于基础题.3.是第三象限角，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据和角的范围求得，然后由可得答案.【详解】因为是第三象限角，且，所以，所以．故选：B ．【点睛】本题考查同角三角函数的平方关系和商数关系，易错点是忽略角的范围造成函数值符号错误.4.已知向量的夹角为60°，且，，则（）A. 2B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由向量的模长公式和数量积公式求解即可得到答案.【详解】根据已知条件，；∴．故选：D．【点睛】本题考查向量的模以及向量数量积的运算法则，向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.5.在中，角所对的边分别为己知，则（）A. 45°或135°B. 135°C. 45°D. 以上都不对【答案】C【解析】【分析】由的度数求出的值，再利用正弦定理求出的值，由小于，得到小于，即可求出的度数．【详解】解：∵，，∴由正弦定理得：，∵，∴，则．故选：C．【点睛】本题主要考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题。

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知A={a，1}，B={2，a}，且A∪B={1，2，4}，则A∩B=（）A. {1，2}B. {2，4}C. {4}D. ∅2.下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（）A. y=x2B. y=-log2xC. y=3xD. y=x3+x3.α是第三象限角，且sin，则tanα=（）A. B. C. D.4.已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，则||=（）A. 2B.C. 2D. 25.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=60°，a=4，b=4，则B=（）A. 45°或135°B. 135°C. 45°D. 以上都不对6.在a，b中插入n个数，使它们和a、b组成等差数列a，a1，a2，…a n，b，则a1+a2+…+a n=（）A. n（a+b）B.C.D.7.若，，则一定有（）A. B. C. D.8.在等比数列{a n}中，若a1-a5=-，前四项的和S4=-5，则a4=（）A. 1B. -1C.D.9.已知函数f（x）=log2（x2-ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（）A. （-∞，4]B. （-∞，2]C. （-4，4]D. （-4，2]10.圆锥的高h和底面半径r之比h：r=2：1，且圆锥的体积V=18π，则圆锥的表面积为（）A. 18πB. 9（1+2）πC. 9πD. 9（1+）π11.函数f（x）=（）cos x的图象大致为（）A. B.C. D.12.设a+b=2，b＞0，则+的最小值是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在等比数列{a n}中，a2a3a4=8，a7=8，则a1=______．14.已知tanα=2，则=______．15.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，M为B1C1中点，连接A1B，D1M，则异面直线A1B和D1M所成角的余弦值为______．16.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，M是BC的中点，BM=2，AM=c-b，△ABC面积的最大值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知A={x|-x2+4＜0}，B={x|x2-2x-3＜0}，求A∩B及A∪B．18.已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，2c cos B=2a+b．（1）求角C的值；（2）若a=2b，求tan A．19.北京某附属中学为了改善学生的住宿条件，决定在学校附近修建学生宿舍，学校总务办公室用1000万元从政府购得一块廉价土地，该土地可以建造每层1000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高0.02万元，已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为0.8万元．（1）若学生宿舍建筑为x层楼时，该楼房综合费用为y万元（综合费用是建筑费用与购地费用之和），写出y=f（x）的表达式；（2）为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，学校应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少万元？20.已知f（x）=2sin x cosx+（cos2x-sin2x）．（1）求函数y=f（x）的最小正周期和对称轴方程；（2）若x∈[0，]，求y=f（x）的值域．21.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q＞0，S2=2a2-2，S3=a4-2．（1）求等比数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，求{}的前n项和T n．22.已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c）的图象上有两点A（m1，f（m1）），B（m2，f（m2））（m1≠m20．函数f（x）满足f（1）=0，且（a+f（m1））（a+f（m2））=0．（1）求证：-2；（2）求证：b≥0；（3）能否保证f（m1+3）和f（m2+3）中至少有一个为正数？请证明你的结论．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A={a，1}，B={2，a}，且A∪B={1，2，4}；∴a=4；∴A∩B={4}．故选：C．根据条件可求出a=4，然后进行交集的运算即可．考查列举法表示集合的定义，以及交集、并集的运算．2.【答案】D【解析】解：由题意，可知：对于A：很明显y=x2是偶函数，所以排除A；对于B：y=-log2x在其定义域内是减函数，所以排除B；对于C：y=3x不是奇函数，所以排除C；对于D：y=x3+x，y′=3x2+1＞0，∴y=x3+x是增函数，∵f（-x）=-f（x），∴y=x3+x是奇函数．故选：D．本题可根据各种函数的奇偶性及单调性采用排除法逐个判别．最终能得出正确选项．本题主要考查二次函数、对数函数、指数函数及三次函数的奇偶性和单调性，本题属基础题．3.【答案】B【解析】解：因为α是第三象限角，且sin，所以，所以．故选：B．利用同角三角函数的基本关系可得结果．本题考查了同角三角函数的基本关系，属基础题．4.【答案】D【解析】解：根据已知条件，=4+4+4=12；∴．故选：D．由已知条件及向量数量积的运算即可求出，从而便求出．考查数量积的运算及数量积的计算公式，求向量的长度先求的方法．5.【答案】C【解析】解：∵A=60°，a=4，b=4，∴由正弦定理=得：sin B===，∵a＞b，∴A＞B，则B=45°．故选：C．由A的度数求出sin A的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出sin B的值，由b小于a，得到B小于A，即可求出B的度数．此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．6.【答案】B【解析】解：依题意，设等差数列a，a1，a2，…a n，b，记为{c n}，其前n项和为S n，则c1=a，c n+2=b，所以a1+a2+…+a n=S n+2-（a+b）==，故选：B．在a，b中插入n个数，使它们和a、b组成等差数列，则第一项为a，第n+2项为b，根据等差数列的前n项和公式求解即可．本题考查了等差数列的前n项和，等差数列的性质，属于基础题．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查不等式比较大小，特值法有效，倒数计算正确．利用特例法，判断选项即可．【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=-3，d=-1，则，，∴A、B不正确；，=-，∴C不正确，D正确．解法二：∵c＜d＜0，∴-c＞-d＞0，∵a＞b＞0，∴-ac＞-bd，∴，∴．故选：D．8.【答案】A【解析】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若a1-a5=-，即a1（1-q4）=-，若其前四项的和S4=-5，则有S4==-5，解可得q=-，又由a1（1-q4）=-，则a1=-8，则a4=a1×q3=（-8）×（-）3=1；故选：A．根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，由a1-a5=-分析可得a1（1-q4）=-，结合等比数列的前n项和公式可得S4==-5，解可得q的值，进而可得a1=-8，结合等比数列的通项公式计算可得答案．本题考查等比数列的性质以及前n项和公式，属于基础题．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调区间，属于简单题．若函数f（x）=log2（x2-ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则x2-ax+3a＞0在[2，+∞）恒成立,结合二次函数的单调性，得a的不等式求解即可．【解答】解：若函数f（x）=log2（x2-ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则函数g（x）=x2-ax+3a在[2,+∞)上为增函数，且x∈[2，+∞）上，x2-ax+3a＞0恒成立，所以，g（2）=4+a＞0，解得-4＜a≤4．故选C．10.【答案】D【解析】解：圆锥的高h和底面半径r之比h：r=2：1，∴h=2r，又圆锥的体积V=18π，即πr2h==18π，解得r=3；∴h=6，母线长为l===3，则圆锥的表面积为S=πrl+πr2=π•3•3+π•32=9（1+）π．故选：D．根据圆锥的体积求出底面圆的半径r和高h，再求出母线长l，即可计算圆锥的表面积．本题考查了圆锥的体积与表面积计算问题，是基础题．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，利用函数的零点排除选项，然后通过特殊点的位置判断即可，属于中档题．【解答】解：函数f（x）=（）cos x，当x=时，是函数的一个零点，所以排除A，B；当x∈（0，1）时，cos x＞0，＜0，函数f（x）=（）cos x＜0，函数的图象在x轴下方；排除D；故选C．12.【答案】D【解析】【分析】本题考查了基本不等式的应用，需要根据条件和所求式子的特点，进行变形凑出定值再进行求解，考查了转化和分类讨论的能力．由题意得=1代入所求的式子，进行化简后，再对部分式子利用基本不等式求出范围，再由a的范围求出式子的最小值．【解答】解：∵a+b=2，∴=1，∴+=（+）=++，∵b＞0，|a|＞0，∴+≥1（当且仅当b2=4a2时取等号），∴+≥+1，故当a＜0时，+的最小值为．故选：D．13.【答案】1【解析】解：根据题意，等比数列{a n}中，其公比为q，a2a3a4=8，则（a3）3=8，解可得a3=2，又由a7=8，则有q4==4，则q2=2，则a1===1；故答案为：1．根据题意，由等比数列的性质可得（a3）3=8，解可得a3=2，又由q4=，计算可得q2的值，进而计算可得答案．本题考查等比数列的性质以及应用，关键是求出等比数列的公比，属于基础题．14.【答案】【解析】解：tanα=2，则==故答案为：．=$\frac{tan\alpha-3}{2tan\alpha+1}，将tanα=2代入求值即可．本题考查了三角函数的化简求值，属基础题．15.【答案】【解析】解：如图，连接CD1，CM，由A1D1∥BC，A1D1=BC，可得四边形A1BCD1为平行四边形，则A1B∥CD1，∴∠CD1M为异面直线A1B和D1M所成角，由正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，M为B1C1中点，得，．在△CMD1中，由余弦定理可得，cos∠CD1M=．∴异面直线A1B和D1M所成角的余弦值为．故答案为：．连接CD1，CM，由A1D1∥BC，A1D1=BC，可得四边形A1BCD1为平行四边形，则A1B∥CD1，可得∠CD1M为异面直线A1B和D1M所成角，再由已知求出△CD1M的三边长，由余弦定理求解．本题考查异面直线所成角及其求法，考查余弦定理的应用，是基础的计算题．16.【答案】2【解析】解：在△ABM中，由余弦定理得：cos B==．在△ABC中，由余弦定理得：cos B==．∴=．即b2+c2=4bc-8．∵cos A==，∴sin A==．∴S=sin A=bc=．由cos A=∈（-1，1）可得bc∈（4，12）．∴当bc=8时，S取得最大值2．故答案为2．在△ABM和△ABC中分别使用余弦定理得出bc的关系，求出cos A，sin A，代入面积公式求出最大值．本题考查了余弦定理得应用，根据余弦定理得出bc的关系是解题关键．17.【答案】解：A={x|x＜-2，或x＞2}，B={x|-1＜x＜3}；∴A∩B={x|2＜x＜3}，A∪B={x|x＜-2，或x＞-1}．【解析】可求出集合A，B，然后进行交集、并集的运算即可．考查描述法表示集合的定义，一元二次不等式的解法，以及交集、并集的运算．18.【答案】解（1）因为2sin C cos B=2sin A+sin B⇒2sin C cos B=2（sin B cos C+cos B sin C）+sin B ⇒cos C=-，C是三角形内角，C=120°．（2）根据余弦定理c== b根据正弦定理=，所以sin A=sin C=•=．cos A===所以tan A===．【解析】（1）将已知条件边化角可得；（2）先根据余弦定理求得c=b，再根据正弦定理求得sin A=，然后根据同角公式求得正切值．本题考查了三角形中的几何计算，属中档题．19.【答案】解：（1）由建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为0.8万元，且楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高0.02万元，可得建筑第1层楼房每平方米建筑费用为：0.72万元．建筑第1层楼房建筑费用为：0.72×1000=720（万元）．楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高：0.02×1000=20（万元）．建筑第x层楼时，该楼房综合费用为：y=f（x）=720x++1000=10x2+710x+1000．∴y=f（x）=10x2+710x+1000（x≥1，x∈Z）；（2）设该楼房每平方米的平均综合费用为g（x），则：g（x）===≥2=0.91，∴学校应把楼层建成10层，此时平均综合费用为每平方米0.91万元．【解析】本题考查简单的数学建模思想方法，训练了等差数列前n项和的求法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．（1）由已知求出第1层楼房每平方米建筑费用为0.72万元，得到第1层楼房建筑费用，由楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高20（万元），然后利用等差数列前n项和求建筑x层楼时的综合费用y=f（x）；（2）设楼房每平方米的平均综合费用为g（x），则g（x）=，然后利用基本不等式求最值．20.【答案】解：（1）f（x）=2sin x cosx+（cos2x-sin2x）=令，则f（x）的对称轴为，最小正周期；（2）当x∈[0，]时，，因为y=sin x在单调递增，在单调递减，在取最大值，在取最小值，所以，所以f（x）∈[-1，2]．【解析】（1）将f（x）化简，利用整体法求出f（x）的对称轴和周期即可；（2）根据正弦函数的单调性，求出f（x）的最大值和最小值即可．本题考查了三角函数的图象与性质和三角函数的化简求值，属基础题．21.【答案】解：（1）等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q＞0，S2=2a2-2①，S3=a4-2②．②-①，得a3=a4-2a2，则q2-q-2=0，又q＞0，所以q=2，因为S2=2a2-2，所以a1+a2=2a2-2，所以a1=2，所以a n=2n；（2）b n=log2a n=log22n=n，==-，所以前n项和T n=1-+-+…+-=1-=．【解析】（1）由数列的递推式和等比数列的通项公式，解方程可得公比，由等比数列的求和可得首项，进而得到所求通项公式；（2）求得b n=log2a n=log22n=n，==-，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．本题考查等比数列的通项公式和数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于基础题．22.【答案】（1）证明：f（1）=a+b+c=0，且a＞b＞c，所以a＞0，c＜0，因为b=-a-c，所以a＞-a-c＞c，所以，（2）因为（a+f（m1））（a+f（m2））=0．所以f（m1）=-a或f（m2）=-a，即m1或m2是方程f（x）=-a的一个实根，即ax2+bx+c+a=0的有根，所以△=b2-4a（a+c）≥0，因为b=-a-c，所以b2≥4a（a+c）=-4ab，即b（b+4a）≥0，即b（3a-c）≥0，因为3a-c＞0，所以b≥0（3）设f（x）=0的两根为x1，x2，显然其中一根为1，另一根为设f（x）=a（x-1）（x-），若f（m1）=-a，则a（m1-1）（m2-）=-a＜0所以，所以又函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，所以f（m1+3）＞f（1）=0．同理当f（m2）=-a时，f（m2+3）＞0所以f（m1+3），f（m2+3）中至少有一个是正数．【解析】（1）由f（1）=0，且a＞b＞c，可判断a＞0，c＜0且b=-a-c，所以a＞-a-c＞c，从而可证明；（2）由已知可知f（m1）=-a或f（m2）=-a，即m1或m2是方程f（x）=-a的一个实根，即ax2+bx+c+a=0的有根，结合二次方程的实根存在条件即可证；（3）由f（x）=0的两根中，其中一根为1，另一根为，结合二次方程的根的存在及二次函数的单调性可证．本题主要考查了二次方程的根的存在及二次不等式的求解，二次函数性质的综合应用，属于中档试题。

高级中学2019—2019学年第二学期期中测试高一理科数学命题人：李浩宾 审题人：张宏伟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-8题，共40分，第Ⅱ卷为9-20题，共110分．全卷共计150分．考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（本卷共40分）一、选择题：（本大题共8题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．不等式()()31210x x +->的解集是（ ）A ．}2131|{>-<x x x 或 B ．}2131|{<<-x x C ．}21|{>x x D ．}31|{->x x 2．已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是（ ）A ．15B ．30C ．31D ．643．过点（－1，3）且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y xD ．072=+-y x4．已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a =（ ） A.21 B. 22C. 2D.25．在ABC ∆中，若°60A ∠=，°45B ∠=，BC =，则AC =（ ）A ．B ．C ．D ．26．已知点n A （n ，n a ）（∈n N *）都在函数x y a =（01a a >≠，）的图象上，则46a a +与52a的大小关系是（ ）A ．46a a +＞52aB ．46a a +＜52aC ．46a a +＝52aD ．46a a +与52a 的大小与a 有关7．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =， 连接EC 、ED ，则sin CED ∠=（ ） A ．31010 B ．1010 C ．510 D ．5158．已知整数按如下规律排成一列：()1,1、()1,2、()2,1、()1,3、()2,2，()3,1，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，……，则第70个数对是（ ）A ．()2,11B ．()3,10C ．()4,9D ．()5,8第Ⅱ卷（本卷共计110分）二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．已知两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ，则a = ． 10．若011<<b a ，则下列不等式①ab b a <+；②|;|||b a >③b a <；④2>+baa b 中，正确的不等式是 ．（填写正确序号）11．已知点P (),a b 在直线23x y +=上，则24a b +的最小值为 ． 12．在ABC ∆中，若︒=120A ，AB =5，BC =7，则ABC ∆的面积S=__________. 13．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为 ．14．等比数列{}n a 的首项为12015a =，公比12q =-．设()f n 表示该数列的前n 项的积， 则当n = 时，()f n 有最大值．三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）15．（本小题满分12分） （Ⅰ）求以下不等式的解集：（1） 22150x x --< （2） 23x≥- （Ⅱ）若关于x 的不等式2122x x mx -+>的解集为()0,2，求实数m 的值．16．（本小题满分12分）已知ABC ∆三个顶点的直角坐标分别为A (3，4)、B (0，0)、C (c ，0)． （Ⅰ)若AB BC ⊥,求c 的值； （Ⅱ）若c =5，求sin ∠A 的值．17．（本小题满分14分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +==（Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设3102log ,n n b a =+求数列{}n b 的前n 项和n S ；（III ）设()23log n n c a =,求证：123111174n c c c c ++++<．18．（本小题满分14分）如图所示，某海岛上一观察哨A 在上午11时测得一轮船在海岛北偏东060的C 处，12时20分测得船在海岛北偏西060的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5km 的E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？19．（本小题满分14分）已知点(1,1)P 到直线l ：3(0)y x b b =+>的距离为2105.数列{a n }的首项11a =，且点列()*1,n n a a n N +∈均在直线l 上.（Ⅰ)求b 的值；（Ⅱ）求数列{a n }的通项公式； （III ）求数列{}n na 的前n 项和n S .20．（本小题满分14分）已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且满足2n S n =，数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}nb 的前n 项和.（Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若对任意的*n N ∈，不等式8(1)n n T n λ<+⋅-恒成立，求实数λ的取值范围；（III ）是否存在正整数m ，n （1＜m ＜n ），使得1T ，m T ，n T 成等比数列？若存在，求出所有m ，n 的值；若不存在，请说明理由.高级中学2019—2019学年第二学期期中测试高一理科数学参考答案一．选择题：（本大题共8题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）第Ⅱ卷（本卷共计110分）二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．2 10. ①④ 11. 12．4 13. 1214. 126612015()2⨯14.解112015()2n n a -=⨯-，(1)21()2015()2n n nf n -=⋅- ∵|(1)|2015|()|2nf n f n +=，∴当n ≤10时，|(1)|2015|()|2nf n f n +=＞1，∴ | f (11) |＞| f (10) |＞…＞| f (1) |； 当n ≥11时，|(1)|2015|()|2n f n f n +=＜1，∴ | f (11) |＞| f (12) |＞…∵(11)0,(10)0,(9)0,(12)0f f f f <<>>，∴()f n 的最大值为(9)f 或(12)f 中的最大者．∵126633031093612015()(12)1201522015()()11(9)222015()2f f ⨯==⨯=>⨯-，∴ 当n =12时，()f n 有最大值为12661(12)2015()2f =⨯．三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）15．（本小题12分） （Ⅰ）求以下不等式的解集：1． 22150x x --< 2． 23x≥- （Ⅱ）若关于x 的不等式2122x x mx -+>的解集为()0,2，求m 的值． 解：（Ⅰ）1. 22150x x --<的解集为5,32⎛⎫- ⎪⎝⎭3分2．23x ≥-的解集为()20,,3⎛⎤+∞-∞- ⎥⎝⎦ 7分（Ⅱ）若关于x 的不等式2122x x mx -+>的解集为()0,2，则0,2是2122x x mx -+=的解．故 2122222m -+⋅=，解得1m =，所以1m = 12分 16．（本小题满分12分）已知ABC ∆三个顶点的直角坐标分别为A (3，4)、B (0，0)、C (c ，0)． （Ⅰ)若AB BC ⊥,求c 的值； （Ⅱ）若c =5，求sin ∠A 的值．(1) (3,4)AB =-- (3,4)AC c =--由 3(3)162530AB AC c c =--+=-= 得 253c = 5分 (2) (3,4)AB =-- (2,4)AC =-6cos 5AB AC A ABAC-∠===sin 5A ∠==12分 17．（本小题14分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +==（Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）（Ⅱ）设3102log ,n n b a =+求数列{}n b 的前n 项和n S . （III ）设()23log n n c a =,求证：123111174n c c c c ++++<． 解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以219q =。

深圳高级中学（集团）2020 学年第二学期期中考试高一数学（理科）本试卷由两部分组成。

第一部分：高一数学第一学期期末前的基础知识和能力考查，共44 分；选择题包含第1题.第7题.第9题.共20分填空题没有，共0 分解答题包含第19题.第 22题，共 24分第二部分：高一数学第一学期期末后的基础知识和能力考查，共106 分选择题包含第2题.第3题.第5题.第6题.第8题，第 10题.第 10 题.第 12 题，共 40 分填空题包含第13题.第 14题. 第 15题，第16 题，共20 分解答题包含第17题.第 18题. 第 20题.第 21题，共 46分全卷共计150 分。

考试时间 120 分钟 .一．选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1. 已知集合A x 2x 1 0,B x x2 1 0，则A BA. x x 1B. x x 1C. x 1 x 1D.x 1x 12 22. 已知, 且 sin 3，则 tan2 53B. 4 3 4A. C. D.34 3 4r r( 2, 4), 则在方向上的投影是3. 若a (1,3), bA. B. C. D.4. 在ABC中，ABC, AB 2, BC 3, 则 sin BAC ＝4A．10B．10C．3 10D．5 10510 55.设，则A. B. C. D.6. 如图，在uuur 1 uuur uuur uuur 2 uuurABC 中，AN NC ，P是BN上的一点，若AP mAB AC ，则实数 m3 9的值为A.1B.1C.1D.39 37. 已知两点A0, 3,B4,0, 若点P 是圆x 2 y 2 2 y 0 上的动点，则ABP面积的最小值为A． 6 B. 11C．8D. 21 2 28. 若为第一象限角，且，则的值为7 7 1 7A. B. C. D.5 5 3 39. 已知四棱锥P ABCD 的三视图如图，则四棱锥P ABCD 的全面积为A．2 5 B．35C．5D．410. 已知两个单位向量vvv va,b 的夹角为120，k R ，则a kb 的最小值为A. 3B.3C.1D. 34 2 211.同时满足下列三个条件的函数为①在0,R 上的偶函数；③最小正周期为ππ 上是增函数；②为．2A.y tan xB.y cosxC.y cos2xD.y sin2 x12. 将函数 f x1 2sin2 x cos cos 2xsin 的图象向右平移个单位后，所得23函数图象关于原点对称，则 的取值可能为 A.5B. C.D.63 2 6二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 .13. 已知角的终边经过点 P 1,2 ，则sin2cos 2___________.sina sin2ABC 中， BAC 120o, ABuuur uuur14. 在 2, AC 1, DC2BD ， D 是边 BC 上的一点，则 uuur uuur AD BC ＝ __________．15.已知 sinx1，则 sin5x sin 2x___________．646316. 函数 f x sin2x3 的图像为 C ，如下结论中正确的是 __________（写出所有正确结论的编号） .①图象 C 关于直线 x11 对称；12②图象 C 关于点2 ,0 对称；3③ f x 在区间1 , 5内是增函数 .12 12三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .17. （本小题满分 10 分）已知 cos 24 为第三象限角 .，且5（ 1）求 cos的值；2tansinsin（ 2）求 f2的值 .cos18. （本小题满分 12 分）设两个向量 vv，满足 v 2 ， v.a 、bab 1 v v v v v v（ 1）若 a 2b a b 1 ，求 a 、 b 的夹角；v vv v v v t 的取值范围 .（ 2）若 a 、 b 夹角为 60°，向量 2ta 7b 与 a tb 的夹角为钝角，求实数 19. （本小题满分 12 分）如图，已知 PA 矩形 ABCD 所在的平面， M 、N 分别为 AB 、PC 的中点， PDA 450 , AB 2, AD1.（ 1）求证： （ 2）求证：（ 3）求 PCMN //平面PAD ； MN 面PCD ；与面 PAD 所成角大小的正弦值.20. （本小题满分 12 分）函数 f xAsin x （ A 0 ， 0 ，π）的部分图象如图所示．2（ 1）求函数 f x 的解析式；（ 2）若将 f x 的图象向右平移π个单位，再将所得图象的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐6标不变，得到 g x 的图象，求不等式g x 1的解集．21. （本小题满分 12 分）已知函数f x 4sin 2x sin 2 x2.6（ 1）求函数 f x 的单调递减区间；（ 2）求函数 f x 在区间 0,上的最大值，并求出取得最大值时x 的值 .222.（本小题满分 12 分）设 f xx 1x 为奇函数，且实数 a 0。

高级中学 2019—2019 学年第二学期期中测试高一数学（文科）命题人：郑方兴审题人：余小玲本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-10 题，共 50 分，第Ⅱ卷为11-20 题，共 100 分．全卷合计150 分．考试时间为120 分钟．第Ⅰ卷（本卷共50 分）一、选择题：（本大题共10 题，每题 5 分，共 50 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）1．不等式3x 1 2x 1 0 的解集是（）A ．{ x | x1B ．{ x | x1}}2131 1 1x D ．{ x | xC．{ x | } 或 x }3 2 3 22．已知等差数列{ a n } 中，a7 a9 16, a4 1,则 a12的值是（）A．15 B． 30 C． 31 D． 64 3．过点（－ 1，3）且垂直于直线x 2 y 3 0 的直线方程为（）A ．2x y 1 0B ．C．x 2 y 5 0 D ．2 x y 5 0 x 2 y 7 04．已知等比数列{ a n} 的公比为正数，且a3·a9=2a5 2 ， a2=1，则 a1=（）A. 1 2C. 2D.2B.225．在ABC 中，若 A 60°， B 45°， BC 3 2，则AC=( )A．43 B．23 C． 3 D ．3 2→ →3 2 2 3A．－2 B．－3 C.3 D. 27．等差数列a n中，a1＞0，d≠0，S3=S11，则S n中的最大值是() A．S7B．S7或 S8C．S14D． S88．已知点 A n（ n ， a n）（n N *）都在函数y a x（ a 0，a 1）的图象上，则a3a7与 2a5 的大小关系是A ． a a ＞ 2aB ． a3 a ＜ 2a3 7 5 7 5C．a3 a ＝ 2a5D． a a 与 2a 的大小与a相关7 3 7 59．如图，正方形ABCD 的边长为 1，延伸 BA 至 E ，使 AE 1 ，连结 EC 、ED，则 sin CED （）A．3 10 B．10C．5D． 510 10 10 1510．已知整数按以下规律排成一列：1,1、1,2 、 2,1、1,3 、 2,2 ，3,1 ，1,4 ，2,3 ，3,2 ， 4 ,1 ，，则第 70 个数对是（）A ．2,11 B．3,10 C．4,9 D．5,8第Ⅱ卷（本卷合计100 分）二、填空题：（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）11．已知两条直线l1 : ax 3 y 3 0, l2 : 4x 6 y 1 0. 若 l1 // l 2，则 a_ _. 12．在ABC 中，若 A 120 ， AB=5，BC=7，则ABC 的面积S=__________.14．若 1 1 0 ，则以下不等式① a b ab ；②| a | | b |;③ a b ；④ba 2 中，a b a b正确的不等式是．（填序号）三、解答题：（本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）15．（本小题12 分）（Ⅰ）求以下不等式的解集：1．2x2 x 15 0 2．231 x2 x（Ⅱ）若对于 x 的不等式 2 x mx 的解集为0,2 ，务实数m的值．216．（此题满分 12 分）在△ ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a、b、c ，若B 60 ，且 cos( B C ) 11（ 2）若a 5，求△ ABC 的面积.. （ 1）求cosC的值；1417．（本小题14 分）等比数列a n的各项均为正数，且2a13a21,a329a2 a6 . （Ⅰ ) 求数列 a 的通项公式；n（Ⅱ）设 b n log3 a1 log 3 a2 ...... log 3 a n , 求数列1的前 n 项和.b n以下图， 某海岛上一察看哨 A 上午 11 时测得一轮船在海岛北偏东600 的 C 处，12 时 20 分测得船在海岛北偏西 600 的 B 处， 12 时 40 分轮船抵达位于海岛正西方且距海岛 5 km 的 E 港口，假如轮船一直匀速直线行进，问船速多少？19．（本小题满分 14 分）已知点 P(1,1)到直线 l ： y 3x b(b0) 的距离为2 10.数列的首项 a 11，且点列{a5a n ,a n 1 n N * 均在直线 l 上 .（Ⅰ ) 求 b 的值；（Ⅱ）求数列 {a n }的通项公式； （ III ）求数列 na n 的前 n 项和 S n .20．（本小题满分 14 分）已知数列 {a n }的前 n 项和为 S n ，且知足 S nn 2 ，数列 b n 知足 b n1，T n 为数列 b na nan 1的前 n 项和，（1）求数列 {a n 的通项公式；}（2）若对随意的 nN * ，不等式 T n n 8 ( 1)n 恒建立，务实数的取值范围；（3）能否存在正整数m ， n （ 1＜m ＜ n ），使得 T 1 ， T m ， T n 成等比数列？若存在，求出全部高级中学 2019— 2019 学年第二学期期中测试高一数学（文科）答题卷一、选择题：（本大题共10 题，每题 5 分，共 50 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案第Ⅱ卷（本卷合计100 分）二、填空题：（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）11．______________ 12．______________13．______________14．______________三、解答题：（本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）15．（本小题12 分）16．（本小题12 分）17．（本小题14 分）18．（本小题14 分）19．（本小题14 分）20．（本小题14 分）高级中学 2019—2019 学年第二学期期中测试高一数学（文科）答案命题人：郑方兴审题人：余小玲本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-10 题，共 50 分，第Ⅱ卷为11-20 题，共 100 分．全卷合计150 分．考试时间为120 分钟．第Ⅰ卷 （本卷共50 分）一、选择题：（本大题共 10 题，每题5 分，共 50 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）1．不等式 3x 1 2x 10 的解集是（ ）A ． { x | x1}B ． { x | x 1}32C ． { x |1 x 1} D ． { x | x1或 x 1}32322．已知等差数列 { a n } 中， a 7a 916, a 41,则 a 12 的值是（） A ．15B ． 30C ． 31D ． 643．过点（－ 1，3）且垂直于直线 x 2 y 30 的直线方程为（ ）A ． 2x y 1 0B ．C ． x2 y5 0D ．2 x y 5 0x2 y 7 04．已知等比数列 { a n } 的公比为正数，且 a 3 ·a 9 =2 a 5 2 ， a 2 =1，则 a 1 =（）A.1 2 C.2D.2B.225．在ABC 中，若A 60°，B 45°， BC 3 2，则 AC =()A ．43B ．23C ． 3D ． 326.在△ ABC 中 AB ＝ 3，AC =2， BC= 10 → →()，则 AB AC 等于3 22 3A ．－ 2B ．－ 3 C.3D. 27．等差数列a n 中， a 1＞ 0，d ≠0，S 3 =S 11，则 S n 中的最大值是( )A ．S 7B ．S 7 或 S 8C ．S 14D ． S 88．已知点 A n （ n ， a n ）（ n N * ）都在函数 y a x （ a 0，a 1）的图象上，则 a 3a 7 与 2a 5的大小关系是A ． a 3 a 7 ＞ 2a 5B ． a 3 a 7 ＜ 2a 5C ．a 3a 7 ＝ 2a 5D ． a 3 a 7 与 2a 5 的大小与 a 相关9．如图， 正方形 ABCD 的边长为 1，延伸 BA 至 E ，使 AE 1 ，连结 EC 、 ED ，则 sinCED （ ）3 10 10 55A ．B ．C ．10 D ．10101510．已知整数按以下规律排成一列：1,1、1,2 、 2,1、1,3 、 2,2 ， 3,1 ，1,4 ，2,3 ，3,2 ， 4 ,1 ， ，则第 70 个数对是（ ）A ． 2,11B ． 3,10C ． 4,9D ． 5,8第Ⅱ卷 （本卷合计100 分）二、填空题：（本大题共 4 小题，每题5 分，共 20 分）11．已知两条直线 l 1 : ax 3 y 3 0, l 2 : 4x 6 y 1 0. 若 l 1 // l 2 ，则 a _ _. 212．在ABC 中，若 A 120 ， AB=5，BC=7，则 ABC 的面积 S=__________.15 3 413．等比数列 {a n } 中， a 3 7，前 3 项的和 S 3=21 ，则公比 q 的值是．1或1 211 0 ，则以下不等式① a b ab ；② | a | | b |; ③ a b ；④ba14．若 2 中，aba b正确的不等式是．（填序号）①④三、解答题：（本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）151212x2x 15 02231 x 2xx2 x mx0,2m21.2x2x 15 05,33223 0,, 2723xx1 x2 2x mx 0,20,2 1 x 2 2x mx1 22222 2 2mm 1m 11221612ABCA B Ca 、b 、c B 60cos( BC )11 . 1cosC 2a5ABC .14161cos( B C )11,14sin( BC )1 cos2 (BC ) 5 3314cosC cos B C B cos(B C)cos B sin(B C)sin B11 1 5 3 3 1 642142721sin C1 cos 2 C4 3 87ABCc b a sin C sin Bsin A∴ ca sin C8 , bb sin A 10 分sin A5a∴ S1ac sin B 1 5 8310 3.12 分2 2217．（本小题 14 分）等比数列a n 的各项均为正数，且 2a 1 3a 2 1,a 329a 2 a 6 .（Ⅰ ) 求数列 a n 的通项公式；（Ⅱ）设b n log 3 a 1 log 3 a 2 ...... log 3 a n , 求数列 1 的前 n 项和 .b n17．解：（Ⅰ）设数列 a n的公比为 q ，由 a 32 9a 2 a 6 得 a 33 9a 42 所以 q 21 。

深圳市高级中学2019-2020学年第二学期期中测试高二数学命题人：黄审题人：雷本试卷由两部分组成.第一部分：选择填空题，共80分；第二部分：解答题，共70分，全卷共计150分.考试时间为120分钟. 注意事项：1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上.3、考试结束，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回.第Ⅰ卷（本卷共计80分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求的）1.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2,3A =，{}2,4B =，则()U C A B 为（ ）A.{}1,2,4B.{}2,3,4C.{}0,2,4D.{}0,2,3,42.已知命题P ：01x ∃>，2010x ->，那么P ⌝是（ ）A.1x ∀>，210x ->B.1x ∀≤，210x -≤C.01x ∃>，2010x -≤ D.01x ∃<，01x ∃<3.设()21f x x bx =++，且()()13f f -=，则()0f x >的解集是（ ） A.()(),13,-∞-+∞B.{}1x x ≠C.{}1x x =D.R4.如图所示，图中有5组数据，去掉______组数据后（填字母代号），剩下的4组数据的线性相关性最大（ ）A.EB.CC.AD.D5.已知变量x ，y 满足约束条件6,32,1,x y x y x +≤⎧⎪-≤-⎨⎪≥⎩则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A.3B.5C.8D.116.将红、黄、蓝三种颜色的三颗棋子分别放入33⨯方格图中的三个方格内，如图，要求任意两颗棋子不同行、不同列，则不同方法共有几种（ ）.A.12B.16C.24D.367.在621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是（ ）A.20-B.15-C.15D.308.若随机变量()23,X N σ，且()50.2P X ≥=，则()15P X ≤≤等于（ ）A.0.6B.0.5C.0.4D.0.39.某单位为了响应疫情期间有序复工复产的号召，组织从疫区回来的甲、乙、丙、丁四名员工进行核酸检测，现采用抽签法决定检测顺序，在“员工甲不是第一个检测，员工乙不是最后一个检测”的条件下，员工丙第一个检测的概率为（ ）A.313B.27C.14D.1510.2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是（）A.310B.35C.25D.1511.如图，分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为（）A.42π-B.22π-C.44π-D.24π-12.有报道称，据南方科技大学、上海交大等8家大卫的最新研究显示：A、B、O、AB血型与COVID19-易感性存在并联，具体调查数据统计如图：根据以上调查数据，则下列说法错误的是（）A.与非O型血相比，O型血人群对COVID19-相对不易感，风险较低B.与非A型血相比，A型血人群对COVID19-相对易感，风险较高C.与O型血相比，B型、AB型血人群对COVID19-的易感性要高.D.与A型血相比，非A型血人群对COVID19-都不易感，没有风险.二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分，请将答案填写在答题纸上）. 13.抛一枚硬币3次，恰好2次正面向上的概率为______. 14.已知()()511ax x ++的展开式中2x 的系数为5，则a =______.15.一个布袋中，有大小、质地相同的4个小球，其中2个是红球，2个是白球，若从中随机抽取2个球，则所抽取的球中至少有一个红球的概率是______.16.已知离散型随机变量X 服从二项分布(),X B n p ，且()4E X =，()D X q =，则11p q+的最小值为______.第Ⅰ卷（本卷共计70分）三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本题10分）设集合{}2230A x x x =+-<，集合{}1B x x a =+<. （1）若3a =，求AB ；（2）设命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 成立的必要条件，求实数a 的取值范围. 18.（本题12分）（1）在()1nx +的展开式中，若第3项与第6项系数相等，则n 等于多少？（2）n⎛⎝展开式中所有奇数项的二项式系数之和为128，求展开式中二项式系数最大的项. 19.（本题12分）某运动会将在深圳举行，组委会招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图（单位：cm ），身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高个子”，身高在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“非高个子”.（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，求至少有一人是“高个子”的概率；（2）若从身高180cm 以上（包括180cm ）的志愿者中选出男、女各一人，设这2人身高相差cm ξ（0ξ≥），求ξ的分布列和数学期望（均值）.20.（本题12分）关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元），有如下的统计资料：（1）如由资料可知y 对x 呈线形相关关系.试求：线性回归方程；（a y bx =-，()1221ni ii nii x y nx yb xn x==-=-∑∑）（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？21.（本题12分）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图： 将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众成为“体育迷”.（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列、期望()E X 和方差()D X .附：()211221221221221221n n n n n n n n n χ-=.22.（本题12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图所示的频率分布直方图：（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布()2,Nμσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .（i ）利用该正态分布，求()187.8212.2P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值Z 位于区间()187.8,212.2的产品件数，利用（i ）的结果，求()E X .12.2≈，若()2,ZN μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=.。

2019-2020学年广东省深圳第二高级中学高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若a ，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，则a ，c 的位置关系为( )A. 相交、平行或异面B. 相交或平行C. 异面D. 平行或异面2. 在△ABC 中，如果sinA ：sinB ：sinC =2：3：4，那么cosC 等于( )A. 23B. −23C. −13D. −143. 已知平面向量a ⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(1,0)，则向量3a ⃗ +b ⃗ 等于( )A. (−2,6)B. (−2,−6)C. (2,6)D. (2,−6)4. 设非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |，则( )A. a ⃗ ⊥b ⃗B.C. a ⃗ //b ⃗D. |a ⃗ | > |b ⃗ |5. 在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 6. 设l 是直线，α，β是两个不同的平面( )A. 若l//α，l//β，则 α//βB. 若l//α，l ⊥β，则α⊥βC. 若α⊥β，l ⊥α，则 l ⊥βD. 若α⊥β，l//α，则l ⊥β7. 如图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为( )A. 235B. 2310C. 523D. 18238. 在△ABC 中，c =√3，B =45°，C =60°，则b =( )A. √22B. √32C. 3√22D. √29. 设向量a ⃗ =(2,m)，b ⃗ =(3,−1)，若a ⃗ ⊥(a ⃗ −2b⃗ )，则实数m =( ) A. 2或−4 B. 2C. −14或12D. −410. 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c.已知2b −acosC =0，sinA =3sin(A +A. √74B. √149C. 23D. √6911.下列图形中，不是三棱柱的展开图()A. B. C. D.12.关于某设备的使用年限x(单位：年)和所支出的维修费用y(单位：万元)有如下统计数据表：使用年限x23456维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.57.0根据上表可得回归直线方程ŷ=1.23x+â，据此估计，该设备使用年限为10年时所支出的维修费用约是()A. 12.08万元B. 12.28万元C. 12.38万元D. 12.58万元二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(m,4)，b⃗ =(3,−2)，且a⃗//b⃗ ，则m=．14.已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为______．15.若向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=√2，|b⃗ |=2，(a⃗−b⃗ )⊥a⃗，则向量a⃗与b⃗ 的夹角等于______ ．16.在四面体ABCD中，AD=AC=BC=BD，AB=CD=4√2，球O是四面体ABCD的外接球，过点A作球O的截面，若最大的截面面积为9π，则四面体ABCD的体积是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2=a2+c2−ac．(Ⅰ)求∠B的大小；(Ⅱ)若a=c=2，求△ABC的面积；(Ⅲ)求sinA+sinC的取值范围．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，M是AD中点，N是PC中点．(1)求证：MN//平面PAB；(2)若平面PMC⊥平面PAD，求证：CM⊥AD．．19.已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=2，cosB=35 (Ⅰ)若b=4，求sinA的值；(Ⅱ)若△ABC的面积S=4，求b、c的值．20.在某中学举行的物理知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩在进行整理后分成5组，绘制出如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、(1)求成绩在50～70分的频率是多少；(2)求这三个年级参赛学生的总人数是多少；(3)求成绩在80～100分的学生人数是多少．21.某班共有学生45人，其中女生18人，现用分层抽样的方法，从男、女学生中各抽取若干学生进行演讲比赛，有关数据见表(单位：人)性别学生人数抽取人数女生18y男生x3(1)求x和y；(2)若从抽取的学生中再选2人做专题演讲，求这2人都是男生的概率．22.如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD．(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若AB=2，PA=2√3，求点A到平面PCD的距离．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查空间异面直线的位置关系的判断，比较基础．根据异面直线的定义可得直线a，c的位置关系可能平行，可能是异面直线．【解答】解：因为a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系可能平行，可能是异面直线，也可能是相交直线．故选A．2.【答案】D【解析】解：由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4可设a=2k，b=3k，c=4k(k>0)由余弦定理可得，CosC=a2+b2−c22ab =4k2+9k2−16k22⋅2k⋅3k=−14故选：D．由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c，可设a=2k，b=3k，c=4k(k>0)，由余弦定理CosC=a2+b2−c22ab可求得答案．本题主要考查了正弦定理asinA =bsinB=csinC及余弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题．3.【答案】A【解析】解：3a⃗+b⃗ =3(−1,2)+(1,0)=(3×(−1)+1,3×2+0)=(−2,6)故选：A．按照向量数乘的坐标运算及和运算，直接计算即可．本题考查向量数乘、及和运算的坐标表示，属于基础题．4.【答案】A【解析】 【分析】本题考查两个向量的关系的判断，属于基础题．由已知得(a ⃗ +b ⃗ )2=(a ⃗ −b ⃗ )2，从而a ⃗ ⋅b ⃗ =0，由此得到a ⃗ ⊥b ⃗ ． 【解答】解：∵非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |， ∴(a ⃗ +b ⃗ )2=(a ⃗ −b ⃗ )2，即a ⃗ 2+b ⃗ 2+2a ⃗ ·b ⃗ =a ⃗ 2+b ⃗ 2−2a ⃗ ·b⃗ ， 整理得4a ⃗ ·b ⃗ =0， 解得a ⃗ ⋅b ⃗ =0， ∴a ⃗ ⊥b ⃗ ． 故选A ．5.【答案】A【解析】 【分析】本题考查向量的加减和数乘运算，考查运算能力，属于基础题． 运用向量的加减和数乘运算，计算可得结果． 【解答】 解：如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB ⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选A ．6.【答案】B【解析】 【分析】本题考查直线与平面、平面与平面的位置关系，属于基础题．根据直线与平面、平面与平面的位置关系对4个选项分别进行判断，即可得出结论． 【解答】解：若l//α，l//β，则 α//β或α，β相交，故A 不正确；根据线面平行的性质可得：若l//α，经过l 的平面与α的交线为m ， 则l//m ， ∵l ⊥β，∴m ⊥β，根据平面与平面垂直的判定定理，可得α⊥β，故B 正确；若l ⊥α，α⊥β，则l ⊂β或l//β，故C 错误；若α⊥β，l//α，则有l//β或l ⊂β或l 与β相交，故D 不正确．故选：B ．7.【答案】A【解析】解：根据题意：黄豆落在阴影部分的概率是138300， 矩形的面积为10，设阴影部分的面积为S 阴影， 则有S 阴影10=138300，∴S 阴影=235，由已知中矩形的长为5，宽为2，我们易计算出矩形的面积，根据随机模拟实验的概念，我们易得阴影部分的面积与矩形面积的比例约为黄豆落在阴影区域中的频率，由此我们构造关于S阴影的方程，解方程即可求出阴影部分面积．本题考查的知识点是几何概型与随机模拟实验，利用阴影面积与矩形面积的比例约为黄豆落在阴影区域中的频率，构造关于S阴影的方程，是解答本题的关键．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题．直接利用正弦定理化简求解即可．【解答】解：在△ABC中，c=√3，B=45°，C=60°，由正弦定理，则b=csinBsinC =√3×√22√32=√2．故选D．9.【答案】A【解析】解：∵向量a⃗=(2,m)，b⃗ =(3,−1)，∴a⃗−2b⃗ =(2,m)−2(3,−1)=(−4,m+2)∵a⃗⊥(a⃗−2b⃗ )，∴a⃗⋅(a⃗−2b⃗ )=0∴−8+m(m+2)=0，解得m=2或m=−4，故选：A．根据向量的垂直和向量的数量的积的运算即可求出答案．本题考查了向量的坐标运算和向量的垂直和向量的数量积的运算，属于基础题．10.【答案】D【分析】本题考查余弦定理，正弦定理在三角形求解中的应用，属于基础题．由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简即可得a ，b ，c 的关系，代人即可求解． 【解答】解：∵2b −acosC =0， 由余弦定理可得2b =a ×a 2+b 2−c 22ab，整理可得，3b 2+c 2=a 2，① ∴sinA =3sin(A +C)=3sinB ， 由正弦定理可得，a =3b②， ①②联立可得，c =√6b ， 则bc a=√6b×b 9b =√69． 故选：D ．11.【答案】C【解析】解：根据三棱柱的结构特征知，A 、B 、D 中的展开图都还原为三棱柱，但是C 中展开图还原后的几何体没有下底面． 故选：C ．利用三棱柱的结构特征与展开图还原后的几何体进行对比．本题考查了由展开图还原为几何体，利用三棱柱的结构特征进行判断，考查了空间想象能力．12.【答案】C【解析】解：由表知，x −=15×(2+3+4+5+6)=4，y −=15×(2.2+3.8+5.5+6.5+7.0)=5，所以样本中心为(4,5)，将其代入回归直线方程y ̂=1.23x +a ̂，有5=1.23×4+a ̂，所以a ̂=0.08， 所以y ̂=1.23x +0.08，当x =10时，y ̂=1.23×10+0.08=12.38．由表可得知样本中心为(x−,y−)，将其代入回归直线方程，可得a^的值，再代入x=10，求得y^，即可．本题考查线性回归直线方程，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．13.【答案】−6【解析】【分析】本题考查向量平行的应用，考查计算能力，属于基础题．直接利用向量平行列出方程求解即可．【解答】解：因为向量a⃗=(m,4)，b⃗ =(3,−2)，且a⃗//b⃗ ，所以4×3=−2m，即12=−2m，解得m=−6．故答案为−6．14.【答案】36π【解析】解：设圆柱的底面半径为r.因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为2r．因为该圆柱的体积为54π，πr2ℎ=2πr3=54π，解得r=3，所以，该圆柱的侧面积为2πr×2r=36π．故答案为：36π．通过圆柱的体积与求出圆柱的底面半径，转化求解圆柱的侧面积即可．本题考查几何体的体积以及表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．15.【答案】π4【解析】解：设两个向量的夹角为θ∵(a⃗−b⃗ )⊥a⃗∴(a⃗−b⃗ )⋅a⃗=0∴a⃗2− a⃗⋅b⃗ =0即2−2√2cosθ=0∴cosθ=√22∵θ∈[0,π]∴θ=π4故答案为π4利用向量垂直的数量积为0列出方程；利用向量的平方等于向量模的平方及向量的数量积公式将方程用模与夹角表示求出夹角．本题考查向量垂直的充要条件、考查向量模的平方等于向量的平方、考查向量的数量积公式．16.【答案】323【解析】解：如图，∵AD=AC=BC=BD，AB=CD=4√2，∴长方体的长和宽都是4，设该长方体的高为ℎ，球O的半径为R，则R=√16+16+ℎ22，∵过点A作球O的截面，最大的截面面积为9π，∴R=3．则ℎ=2．故四面体ABCD的体积是4×4×2−13×12×4×4×2×4=323．故答案为：323．由题意画出图形，把四面体ABCD放置在一个长方体中，求出高，则四面体ABCD的体积可求．本题考查解得几何体的外接球，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)∵b2=a2+c2−ac．∴由余弦定理可得：cosB=a2+c2−b22ac =ac2ac=12，∵B∈(0,π)，∴B =π3； (Ⅱ)∵a =c =2，B =π3， ∴△ABC 的面积S =12acsinB =12×2×2×√32=√3； (Ⅲ)由题意可得：sinA +sinC═sinA +sin(2π3−A)=32sinA +√32cosA =√3sin(A +π6)，∵A ∈(0,2π3)，A +π6∈(π6,5π6)，∴√3sin(A +π6)∈(√32,√3]. 故所求的取值范围是：(√32,√3].【解析】(Ⅰ)由已知利用余弦定理可得cosB =12，结合范围B ∈(0,π)，可求B =π3； (Ⅱ)利用三角形面积公式即可计算得解．(Ⅲ)利用三角函数恒等变换的应用可得sinA +sinC =√3sin(A +π6)，结合范围A +π6∈(π6,5π6)，利用正弦函数的有界性即可求解．本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的有界性在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】证明：(1)取PB 中点E ，连EA ，EN ，△PBC 中，EN//BC 且EN =12BC ，又AM =12AD ，AD//BC ，AD =BC ，∴EN//=AM ，四边形ENMA 是平行四边形，∴MN//AE ，MN ⊄平面PAB ，AE ⊂平面PAB ，∴MN//平面PAB ．(2)在平面PAD 内过点A 作直线PM 的垂线，垂足为H ，∵平面PMC ⊥平面PAD ，平面PMC ∩平面PAD =PM ，AH ⊥PM ，AH ⊂平面PAD ， ∴AH ⊥平面PMC ，CM ⊂平面PMC ，∴AH ⊥CM ，∵PA ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CM ，∵PA ∩AH =A ，PA 、AH ⊂平面PAD ，∴CM ⊥平面PAD ，∵AD⊂平面PAD，∴CM⊥AD．【解析】(1)取PB中点E，连EA，EN，推导出四边形ENMA是平行四边形，从而MN//AE，由此能证明MN//平面PAB．(2)在平面PAD内过点A作直线PM的垂线，垂足为H，由AH⊥PM，得AH⊥平面PMC，从而AH⊥CM，进而PA⊥CM，由此能证明CM⊥平面PAD，从而CM⊥AD．本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．19.【答案】解：(I)∵sinB=2B=45(2分)由正弦定理得asinA =bsinB．∴sinA=asinBb =2×454=25.(5分)(II)∵S△ABC=12acsinB=4，∴12×2×c×45=4．∴c=5(7分)由余弦定理得b2=a2+c2−2accosB，∴b=√a2+c2−2accosB=√22+52−2×2×5×35=√17(10分)【解析】本题考查的知识点是正弦定理与余弦定理，(1)由cosB=35，我们易求出B的正弦值，再结合a=2，b=4，由正弦定理易求sinA的值；(2)由△ABC的面积S=4，我们可以求出c值，再由余弦定理可求出b值．在解三角形时，正弦定理和余弦定理是最常用的方法，正弦定理多用于边角互化，使用时要注意一般是等式两边是关于三边的齐次式．而余弦定理在使用时一般要求两边有平方和的形式．20.【答案】解：(1)成绩在50−70分的频率为：0.03×10+0.04×10=0.7(2)第三小组的频率为：0.015×10=0.15这三个年级参赛学生的总人数(总数=频数频率)为：150.15=100(人)(3)成绩在80−100分的频率为：0.01×10+0.005×10=0.15则成绩在80−100分的人数为：100×0.15=15(人)【解析】(1)根据频率分布直方图的矩形面积表示频率，求出成绩在50−70分的矩形面积，即为所求；(2)求出第三组的频率，然后根据三个年级参赛学生的总人数=频数频率，可求出所求；(3)先求出成绩在80−100分的频率，然后利用频数=总数×频率可求出成绩在80−100分的学生人数．本题主要考查了频率分布直方图，以及总数、频数、频率之间的关系，同时考查了识图能力，属于基础题．21.【答案】解：(1)由题意可得，x=45−18=27，根据分层抽样原理知y18=327，解得y=2；(2)记从女生中抽取的2人为a1，a2，从男生中抽取的3人为b1，b2，b3，则从抽取的5人中再选2人做专题演讲，基本事件有：(a1,a2)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a2,b3)，(b1,b2)，(b1,b3)，(b2,b3)共10种．设选中的2人都是男生的事件为A，则A包含的基本事件有：(b1,b2)，(b1,b3)，(b2,b3)共3种．因此P(A)=310．即2人都是男生的概率为310．【解析】(1)由题意列方程求出x、y的值；(2)利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．本题考查了分层抽样原理和列举法求古典概型的概率计算问题，是基础题．22.【答案】(1)证明：因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD，又因为PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC．(2)解：设点A到平面PCD的距离为ℎ，因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，PA∩AD=A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD，由已知得PD=√PA2+AD2=√4+12=4，所以三角形PCD的面积为：S1=12×4×2=4，所以V A−PCD=13S1ℎ=43ℎ，依题PA为三棱锥P−ACD的高，所以三棱锥P−ACD的体积为：V P−ACD=13PA⋅S△ACD=13×2√3×12×2×2=43√3，又因为V P−ACD=V A−PCD，所以43ℎ=43√3，解得ℎ=√3，所以点A到平面PCD的距离为点√3．【解析】(1)证明AC⊥BD，PA⊥BD，然后证明BD⊥平面PAC．(2)设点A到平面PCD的距离为ℎ，利用V P−ACD=V A−PCD，转化求解即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，空间点、线、面距离的求法，是中档题．。

2020-2021学年广东省深圳高级中学高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 设集合M ={x||x|≤2}，N ={x|x 2−2x −3<0}，则集合M ∩N =( )A. {x|−1≤x <2}B. {x|−1<x ≤2}C. {x|−2<x ≤3}D. {x|−2≤x <3}2. 复数2i1+i 的共轭复数是( )A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i3. 在△ABC 中，已知a =2，b =√2，A =45°，则B 等于( )A. 30°B. 60°C. 30°或150°D. 60°或120°4. 为了得到函数y =sin2x 的图象，只需要把函数y =sin(2x +π6)的图象( )．A. 向左平移π12个单位 B. 向右平移π12个单位 C. 向左平移π6个单位D. 向右平移π6个单位5. 2020年5月，《东莞市生活垃圾分类三年行动方案》出台.根据该方案，小明家所在小区设置了两个垃圾回收点A ，B ，他从自家楼下出发，向正北方向走80米，到达回收点A ，再向南偏东60方向走30米，到达回收点B ，则他从回收点B 回到自家楼下至少还需走( )A. 50米B. 57米C. 64米D. 70米6. a ⃗ ，b ⃗ 是两个非零向量，则使a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |成立的一个必要非充分条件是( )A. a ⃗ =b ⃗B. a ⃗ //b ⃗C. a ⃗ ⊥b ⃗D. a ⃗ =λb ⃗ (λ>0)7. 函数f(x)={|2x −1|,x ≤2−x +5,x >2，若函数g(x)=f(x)−t(t ∈R)有3个不同的零点a ，b ，c ，则2a +2b +2c的取值范围是( )A. [16,32]B. [16,34)C. (18,32]D. (18,34)8. 设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若A =π3，a =√3，则b 2+c 2+bc 的取值范围为( )A. (1,9]B. (3,9]C. (5,9]D. (7,9]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 以下命题(其中a ，b 表示直线，α表示平面)，其中错误的是( )A. 若a//b ，b ⊂α，则a//αB. 若a//α，b//α，则a//bC. 若a//b ，b//α，则a//αD. 若a//α，a ⊂β，α∩β=b ，则a//b10. 已知复数z =4+7i3+2i ，则下列结论中正确的是( )A. z 的虚部为iB. z −=2−i C. |z|=√5D. z 在复平面内对应的点位于第四象限11. 如图，透明塑料制成的长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，下面四个命题中正确的是( )A. 水面EFGH 所在四边形的面积为定值B. 棱A 1D 1始终与水面所在平面平行C. 当E ∈AA 1时，AE +BF 是定值D. 当容器倾斜如图(3)所示时，BE ⋅BF 是定值12. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedes benz)的l o go 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，则S A ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +S B ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +S C ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ .若O 是锐角△ABC 内的一点，A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且点O 满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ .则( )A. O 为△ABC 的垂心B. ∠AOB =π−CC. |OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |：|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |：|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=sinA ：sin B ：sin CD. tanA ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +tanB ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +tanC ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知复数z =m 2−3m +(m 2−6m)i 为纯虚数，则实数m = ______ ． 14. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为45°，且|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=√2，则|a ⃗ −b ⃗ |= ______ ． 15. △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知cosC c+cosB b=1a ，则A 的取值范围是______ ．16. 窗花是贴在窗纸或户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形ABCDEF 的边长为4，圆O 的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P 在正六边形的边上运动，MN 为圆O 的直径，则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 平面内给定三个向量a ⃗ =(3,2)，b ⃗ =(−1,2)，c⃗ =(4,1)． (1)求满足a ⃗ =m b ⃗ −n c ⃗ 的实数m ，n ； (2)若(a ⃗ +k c ⃗ )//(2b ⃗ −a ⃗ )，求实数k 的值．18. 已知函数f(x)=sin 2ωx +√3sinωxsin(ωx +π2)(ω>0)的最小正周期为π．(1)求ω的值； (2)求函数f(x)在区间[0,2π3]上的取值范围．19. 如图：在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点．(1)求证：BD 1//平面AEC ；(2)若F 为CC 1的中点，求证：平面AEC//平面BFD 1．20. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知m ⃗⃗⃗ =(a,c −2b)，n ⃗ =(cosC,cosA)，且m⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ (Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，求△ABC 面积的最大值．21.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，请在①b+bcosC=√3csinB；②(2b−a)cosC=ccosA；S△ABC这三个条件中任意选择一个，完成下列问题：③a2+b2−c2=4√33(1)求∠C；(2)若a=5，c=7，延长CB到D，使cos∠ADC=√21，求线段BD的长度．722.已知函数f(x)=x|x−a|+x，a∈R(1)若a=0，判断函数y=f(x)的奇偶性，并加以证明；(2)若函数f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围；(3)若存在实数a∈[−2,3]，使得关于x的方程f(x)−tf(a)=0有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵M={x||x|≤2}={x|−2≤x≤2}，N={x|x2−2x−3<0}={x|−1<x<3}，∴M∩N={x|−1<x≤2}，故选：B．先解不等式求出集合M，N，再根据交集的定义求出M与N的交集．本题考查了交集及其运算，一元二次不等式，绝对值不等式的解法，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：2i1+i =2i(1−i)(1−i)(1+i)=1+i，其共轭复数为1−i．故选：C．直接由复数代数形式的乘除运算化简复数2i1+i，则其共轭复数可求．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.【答案】A【解析】解：由正弦定理可得：sinB=bsinAa =√2×sin45°2=12∵a=2>b=√2，∴B<A=45°∴可解得：B=30°故选：A．由正弦定理可求得sin B的值，由大边对大角可得B<A=45°，从而可解得B的值．本题主要考查了正弦定理，大边对大角的应用，属于基础题．4.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题． 由条件根据函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，可得结论．【解答】解：要把函数y =sin(2x +π6)=sin2(x +π12)的图象向右平移π12个单位，可得函数y =sin2x 的图象， 故选：B ．5.【答案】D【解析】解：由题意可知，李华的行走路线如图， 由余弦定理可得：OB =√OA 2+AB 2−2OA ⋅ABcos60° =√900+6400−2×80×30=70(米)． 他从回收点B 回到自家楼下至少还需走70米． 故选：D ．画出图形，利用余弦定理转化求解即可．本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，是基本知识的考查．6.【答案】B【解析】解：由a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |得a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos <a ⃗ ，b ⃗ >=|a ⃗ ||b ⃗ |， 则cos <a ⃗ ，b ⃗ >=1，即<a ⃗ ，b ⃗ >=0，则a ⃗ ，b ⃗ 同向共线，则条件成立的充要条件是a ⃗ =λb ⃗ (λ>0)， 则使a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |成立的一个必要非充分条件是a ⃗ //b ⃗ ， 故选：B ．根据向量数量积的公式化简条件得到a ⃗ ，b ⃗ 同向共线，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量数量积的应用是解决本题的关键．7.【答案】D【解析】解：函数f(x)={|2x −1|,x ≤2−x +5,x >2，作出函数f(x)的图象如图所示，因为函数g(x)=f(x)−t(t∈R)有3个不同的零点a，b，c，不妨设a<b<c，则有1−2a=2b−1，所以2a+2b=2，结合图象，可得4<c<5，故16<2c<32，所以18<2a+2b+2c<34．故选：D．不妨设a<b<c，利用f(a)=f(b)=f(c)，先确定2a+2b的值，再结合图象求出c的取值范围，即可得到2a+2b+2c的取值范围．本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：(1)方程法(直接解方程得到函数的零点)；(2)图象法(直接画出函数的图象分析得解)；(3)方程+图象法(令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解).属于中档题．8.【答案】D【解析】解：∵A=π3，a=√3，由正弦定理 bsinB=csinC=√3√32=2，由余弦定理可得a2=b2+c2−bc，∴b2+c2+bc=b2+c2−bc+2bc=a2+2bc=3+2×2sinB×2sinC=3+8sinBsin(2π3−B)=3+8sinB(√32cosB+12sinB)=5+4sin(2B−π6)，∵锐角△ABC中，B∈(π6,π2)，可得2B−π6∈(π6,5π6)，∴sin(2B−π6)∈(12,1]，∴b2+c2+bc=5+4sin(2B−π6)的取值范围为(7,9]．故选：D．由已知利用正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得b2+c2+bc=5+4sin(2B−π6)，可求范围2B−π6∈(π6,5π6)，利用正弦函数的性质即可求解其取值范围．此题考查了正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质在解三角形中的应用，属于基础题．9.【答案】ABC【解析】解：由a，b表示直线，α表示平面，知：对于A，若a//b，b⊂α，则a//α或a⊂α，故A错误；对于B，若a//α，b//α，则a与b相交、平行或异面，故B错误；对于C，若a//b，b//α，则a//α或a⊂α，故C错误；对于D，若a//α，a⊂β，α∩β=b，则由线面平行的性质得a//b，故D正确．故选：ABC．对于A，a//α或a⊂α；对于B，a与b相交、平行或异面；对于C，a//α或a⊂α；对于D，由线面平行的性质得a//b．本题考查命题真假的判断，空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10.【答案】BC【解析】解：∵z=4+7i3+2i =(4+7i)(3−2i)(3+2i)(3−2i)=12−8i+21i−14i232+22=26+13i13=2+i，∴z的虚部为1，z−=2−i，|z|=√22+12=√5，z在复平面内对应点的坐标为(2,1)，在第一象限．∴AD错误，BC正确．故选：BC．利用复数代数形式的乘除运算化简z，然后逐一分析四个选项得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．11.【答案】BCD【解析】解：对于A：根据容器的倾斜程度，水面EFGH是不断发生变化的，故A错误；对于B：由于A1D1//AD//平面EFGH，故B正确；对于C：利用等体积得知：容器中水的高为BC不会发生变化，所以底面积不会发生变化，即BE⋅BF为定值，故D正确；由于水的体积的不变性，BE+BF为定值，故C正确；故选：BCD ．直接利用几何体的体积公式，线面平行的判定，等体积转换法的应用判断A 、B 、C 、D 的结论． 本题考查的知识要点：几何体的体积公式，线面平行的判定，等体积转换法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．12.【答案】ABD【解析】解：∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，同理：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴O 为△ABC 的垂心，∴A 正确；∵在四边形ODCE 中，∠OEC =∠ODC =90°，∴∠DOE +∠DCE =180°，∴∠DOE =180°−∠DCE ，即∠AOB =π−∠DCE ，∴B 正确；∵OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠AOB =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(π−C)=−|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC ，同理：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA ，∴|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB =|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA ，∴|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |：|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |：|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=cosA ：cos B ：cos C ，∴C 错；∵S A =12|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sin(π−A)=12|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinA ，同理：S B =12|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinB ，S C =12|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |sinC ，∴S A ：S B ：S C =sinA |OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |：sinB |OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |：sinC|OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=sinAcosA ：sinB cosB=sinCcosC =tanA ：tan B ：tan C ，由奔驰定理得tanA ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +tanB ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +tanC ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，∴D 正确． 故选：ABD ．通过OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 可判断A ；在四边形ODCE 中，∠OEC =∠ODC =90°，∴∠DOE +∠DCE =180°可判断B ；通过OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 相互数量积表示可判断C ；用三角形面积公式12absinC 表示S A ，S B ，S C 可解决D ． 本题考查平面向量数量积、数形结合思想，考查数学运算能力，属于难题．13.【答案】3【解析】解：∵z 是纯虚数，∴{m 2−3m =0m 2−6m ≠0，得{ m =0或m =3m ≠0且m ≠6，得m =3，故答案为：3根据纯虚数的定义建立方程进行求解即可．本题主要考查复数的基本运算，根据纯虚数的定义建立方程是解决本题的关键，是基础题．14.【答案】1【解析】解：|a⃗−b⃗ |=√(a⃗−b⃗ )2=√a⃗2+b⃗ 2−2|a⃗||b⃗ |cos45°=√1+2−2×1×√2×√22=1故答案为：1．由平面向量的和与差的模的运算性质即可求解．本题考查了平面向量和与差的模的运算性质，属于基础题．15.【答案】(0,π3]【解析】解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知cosCc +cosBb=1a，则a2+b2−c22abc +a2+c2−b22abc=1a，整理得a2=bc．由余弦定理的得cosA=b2+c2−a22bc =b2+c2−bc2bc≥2bc−bc2bc=12，当且仅当b=c时取等号，所以cosA≥12，故0<A≤π3，即A的取值范围是(0,π3].故答案为：(0,π3].直接利用余弦定理的应用和三角函数的关系式的应用和函数值的应用求出结果．本题考查的知识要点：余弦定理的应用，三角函数值的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．16.【答案】[8,12]．【解析】解：由正六边形ABCDEF 的边长为4，圆O 的圆心为正六边形的中心，半径为2，故正六边形ABCDEF 的内切圆半径为r =OAsin60°=2√3，外接圆半径R =4.，则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−4.由图可知2√3≤|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤4，∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[8,12]． 故答案为：[8,12]．先利用平面向量的线性运算法则，把PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用向量PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 来表示，然后将所求表达为|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2的形式，结合函数思想求范围．本题考查平面向量数量积的应用、转化思想，考查数学运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)(3,2)=a ⃗ =m b ⃗ −n c ⃗ =m(−1,2)−n(4,1)=(−m −4n,2m −n)．∴{−m −4n =32m −n =2，解得m =59，n =−89．(2)a ⃗ +k c ⃗ =(3,2)+k(4,1)=(3+4k,2+k)． 2b ⃗ −a ⃗ =2(−1,2)−(3,2)=(−5,2)． 因为(a ⃗ +k c ⃗ )//(2b ⃗ −a ⃗ )，∴−5(2+k)−2(3+4k)=0，解得k =−1613．【解析】本题考查了向量坐标运算性质、向量相等、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．(1)利用向量坐标运算性质、向量相等即可得出． (2)利用向量共线定理即可得出．18.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=1−cos2ωx 2+√32sin2ωx =√32sin2ωx −12cos2ωx +12=sin(2ωx −π6)+12．∵函数f(x)的最小正周期为π，且ω>0， ∴2π2ω=π，解得ω=1．(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=sin(2x −π6)+12． ∵0≤x ≤2π3，∴−π6≤2x −π6≤7π6，∴−12≤sin(2x−π6)≤1．∴0≤sin(2x−π6)+12≤32，即f(x)的取值范围为[0,32]．【解析】(Ⅰ)先根据倍角公式和两角和公式，对函数进行化简，再利用T=2π2ω，进而求得ω(Ⅱ)由(Ⅰ)可得函数f(x)的解析式，再根据正弦函数的单调性进而求得函数f(x)的范围．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象，三角函数式恒等变形，三角函数的值域．公式的记忆，范围的确定，符号的确定是容易出错的地方．19.【答案】证明：(1)设AC∩BD=O，连接OE，∵在正方体ABCD−A1B1C1D1中，四边形ABCD是正方形，∴O是BD中点，∵E是DD1的中点，∴OE//BD1，∵BD1⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，∴BD1//平面AEC．(2)因为F为CC1的中点，E为DD1的中点，所以CF//ED1，CF=ED1，所以四边形CFD1E为平行四边形，所以D1F//CE，又因为EC⊂平面AEC，D1F⊄平面AEC，所以D1F//平面AEC，由(1)知BD1//平面AEC，又因为BD1∩D1F=DF，BD1平面BFD1，D1F⊂平面BFD1，所以平面AEC//平面BFD1．【解析】(1)设AC∩BD=O，连接OE，推导出OE//BD1，由此能证明BD1//平面EAC；(2)由F为CC1的中点，E为DD1的中点，推导出D1F//CE，从而可得D1F//平面AEC，结合(1)中结论，由面面平行的判定定理即可得证．本题主要考查线面平行，面面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力、推理论证能力等数学核心素养，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)由题意得a⋅cosC+(c−2b)⋅cosA=0，∴sinA⋅cosC+(sinC−2sinB)⋅cosA=0，即sinB −2sinBcosA =0， ∵sinB ≠0，∴cosA =12， ∵A 是△ABC 内角，∴A =60°．(Ⅱ)将|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2两边平方， 即4=c 2+(b 3)2−bc 3≥2√b2c 29−bc 3=bc 3，∴bc ≤12，当且仅当b =c =6时取等号， 此时，S △ABC =12bcsinA =√34bc ，其最大值为3√3．【解析】(Ⅰ)由题意得a ⋅cosC +(c −2b)⋅cosA =0，从而sinB −2sinBcosA =0，进而cosA =12，由此能求出A ．(Ⅱ)将|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2两边平方，推导出bc ≤12，当且仅当b =c =6，时取等号，由此求出△ABC 面积的最大值．本题考查角的大小的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查三角函数恒等式、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)选①：由正弦定理知，a sinA =b sinB =csinC ，∵b +bcosC =√3csinB ，∴sinB +sinBcosC =√3sinBsinC ， ∵B ∈(0,π)，∴1+cosC =√3sinC ，即sin(C −π6)=12， ∵C ∈(0,π)，∴C −π6∈(−π6,5π6)，∴C −π6=π6，即C =π3．选②：由正弦定理知，asinA =bsinB =csinC ，∵(2b −a)cosC =ccosA ，∴(2sinB −sinA)cosC =sinCcosA ， ∴2sinBcosC =sin(A +C)=sinB ， ∵B ∈(0,π)，∴cosC =12， ∵C ∈(0,π)，∴C =π3． 选③：∵a 2+b 2−c 2=4√33S △ABC =4√33×12absinC =2√33absinC ，由余弦定理知，cosC =a 2+b 2−c 22ab=√33sinC ， ∵C ∈(0,π)，∴tanC =√33，∴C =π3．(2)在△ABC 中，由余弦定理知，cosC =a 2+b 2−c 22ab，∴12=25+b 2−492×5b，化简b 2+5b −24=0，解得b =8或−3(舍负)，由正弦定理知，b sin∠ABC =c sinC ，∴8sin∠ABC =7sin π3，∴sin∠ABC =4√37，∵∠ABC ∈(0,π)，∴cos∠ABC =√1−sin 2∠ABC =17，在△ABD 中，sin∠ADC =√1−cos 2∠ADC =(√217)=2√77，∴sin∠BAD =sin(∠ABC −∠ADC)=sin∠ABC ⋅cos∠ADC −cos∠ABC ⋅sin∠ADC=4√37×√217−17×2√77=10√749， 由正弦定理知，BDsin∠BAD =ABsin∠ADB ， ∴10√749=2√77，∴BD =5．【解析】(1)选①：利用正弦定理将已知等式中的边化角，再由辅助角公式，即可得解； 选②：利用正弦定理将已知等式中的边化角，再由三角形的内角和定理，即可得解； 选③：结合余弦定理和正弦的面积公式，可求得tan C 的值，从而得解．(2)在△ABC 中，由余弦定理求得b =8，再由正弦定理得sin∠ABC 的值，然后结合同角三角函数的平方关系与正弦两角差公式求出sin∠BAD 的值，最后由正弦定理，即可得解．本题考查解三角形与三角恒等变换的综合运用，熟练掌握正弦定理、余弦定理、正弦面积公式、两角和差公式等基础知识是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)函数f(x)=x|x −a|+x ，a ∈R根据题意，当a =0时，则函数f(x)为奇函数， 因为当a =0时，f(x)=x|x|+x ，x ∈R ，则f(−x)=(−x)|−x|−x =−(x|x|+x)=−f(x)， 故函数f(x)为奇函数，(2)f(x)={x 2+(1−a)x,(x ≥a)−x 2+(1+a)x,(x <a)，当x ≥a 时，y =f(x)的对称轴为：x =a−12； 当x <a 时，y =f(x)的对称轴为：x =a+12；∴当a−12≤a ≤a+12时，y =f(x)在R 上是增函数，即：−1≤a ≤1时，函数y =f(x)在R 上是增函数； (3)方程f(x)−tf(a)=0的解即为方程f(x)=tf(a)的解． ①当−1≤a ≤1时，函数y =f(x)在R 上是增函数， ∴关于x 的方程f(x)=tf(a)不可能有三个不相等的实数根； ②当a >1时，即a >a+12>a−12；∴y =f(x)在(−∞,a+12)上单调增，在(a+12,a)上单调减，在(a,+∞)上单调增，∴当f(a)<tf(a)<f(a+12)时，关于x 的方程f(x)=tf(a)有三个不相等的实数根；即：a <ta <(a+1)24，即：4a <t4a <(a +1)2，∵a >1，∴1<t <14(a +1a +2)． 设ℎ(a)=14(a +1a +2)，∵存在a ∈[−2,3]使得关于x 的方程f(x)=tf(a)有三个不相等的实数根， ∴1<t <ℎ(a)max ，又可证ℎ(a)=14(a +1a +2)，在(1,3]上单调增． ∴ℎ(a)max =43，∴1<t <43， ③当a <−1时，即：a <a−12<a+12；∴y =f(x)在(−∞,a)上单调增，在(a,a−12)上单调减，在(a−12,+∞)上单调增，∴当f(a−12)<tf(a)<f(a)时，关于x 的方程f(x)=tf(a)有三个不相等的实数根；即：−(a−1)24<ta <a ，∵a <−1∴1<t <−14(a +1a −2)，设g(a)=−14(a +1a −2)，∵存在a ∈[−2,3]使得关于x 的方程f(x)=tf(a)有三个不相等的实数根，∴1<t <g(a)max ，又可证g(a)=−14(a +1a −2)，在[−2,−1]上单调减，∴g(a)max =98， ∴1<t <98， 综上：1<t <43，故答案为：(1)若a=0，函数y=f(x)是奇函数，见证明；(2)若函数f(x)在R上是增函数，实数a的取值范围：−1≤a≤1；(3)若存在实数a∈[−2,3]，使得关于x的方程f(x)−tf(a)=0有三个不相等的实数根，实数t的取值范围：1<t<4．3【解析】(1)若a=0，利用奇偶性的定义判断函数y=f(x)的奇偶性即可；(2)函数f(x)在R上是增函数，由分段函数的对称轴讨论a可求实数a的取值范围；(3)若存在实数a∈[−2,3]，将关于x的方程f(x)−tf(a)=0有三个不相等的实数根，转换成方程f(x)=tf(a)的解．分类讨论a由函数单调性可求实数t的取值范围．本题考查分段函数，函数的性质的应用，注意解题方法的积累，属于难题．。

圳实验学校2019-2020学年度第二学期第一阶段考试高一数学参考答案及评分标准第Ⅰ卷一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．第Ⅱ卷二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． （13（14）23- （15）3 （16）41π 三．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分） （1）()(2)(21)(2)21(2)2(2)(2)555a i a i i a a i a a i i i i -----+-+===-++-，则2=025a a +⇒=-……5分 （2）z i -≤z ∴在复平面内所对应的点的轨迹是以(1,0)为圆心，该圆的面积为22ππ⋅= ………………………………10分（18）（本小题满分12分）（1）22221(2)44414117=72a m n m n m n a =+=++⋅=++⨯⨯⨯=∴， 22221(23)49124912117=72b n m n m m n b =-=+-⋅=+-⨯⨯⨯=∴，227(2)(23)622a b m n n m m n m n ⋅=+⋅-=-++⋅=- ……………4分12cos ,23a b a b a b a bπ⋅==-∴与的夹角为 …………………………………6分（2）a 与b 的夹角为锐角，则0a b ⋅＞且a 与b 不共线，则22340260λλλλ⎧+⎪⎨-≠⎪⎩＞， …………10分 解得411333λλλ＜-或0＜＜或＞所以λ的取值范围是411(,)(0,)(,)333-∞-+∞ …………12分（19）（本小题满分12分）（1）12BQ BA AQ a b =+=-+,13CR CA AR b a =+=-+， …………………………………4分 （2）1()(1)22AB BQ a a b a b λλλλ+=+-+=-+，1()(1)33AC CR b b a a b μμμμ+=+-+=+-，,a b 是不共线的向量，∴由μλ+=+=得1,31,2μλλμ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ …………8分 解得43,55λμ== …………………………………12分（20）（本小题满分12分）（1）因为平面//ABC 平面DEFG ，平面ABED ⋂平面ABC AB =，平面ABED ⋂平面DEFG DE =，由面面平行的性质定理，得//AB DE ，同理//AD BE .所以四边形ABED 为平行四边形.又AB AD ⊥，AB AD =，所以平行四边形ABED 是正方形；…………………………………6分 （2）如图，取DG 的中点P ，连接PA 、PF .因为平面//BEF 平面ADGC ，平面EFGD ⋂平面BEF EF =， 平面EFGD ⋂平面ADGC DG =，由面面平行的性质定理， 得//EF DG ，同理//AC DG ，在梯形EFGD 中，//EF DG ，且P 为DG 的中点，1EF =，2DG =，//EF PD ∴，EF PD =，则四边形EFPD 为平行四边形，//DE PF ∴且DE PF =.……………8分又//AB DE ，AB DE =，所以//AB PF 且AB PF =，所以四边形ABFP 为平行四边形，所以//AP BF . …………………………10分P 为DG 的中点，112PG DG AC ∴===， 又//AC PG ，∴四边形ACGP 为平行四边形，//∴AP CG ，//BF CG ∴.故B 、C 、F 、G 四点共面. …………………………………12分（21）（本小题满分12分）（1）设AE 中点为G ，连结GF ，GC ，则//GF EB ，//GF 平面EBD .32PG PC PE PD ==，∴//ED GC , //GC 平面EBD ， ,GF GC ⊂面GFC ,GFGC G =∴平面//GFC 平面EBD ，CF ⊂面GFC ∴//FC 平面1EBD ； (6)分（2）设h 为点B 到平面PAC 的距离 作BM AC ⊥于M ．PA ⊥底面ABC ，BM ⊂底面ABC ，PA BM ⊥，,PA AC 是平面PAC 内两条相交直线，∴BM ⊥平面PAC ，h BM ==． ……………8分1sin 2PEDSPE PD APC =⋅⋅∠ 112sin 223PA PC APC =⋅⋅⋅∠112363PACS PA AC ==⋅= ……………10分13P BDE B PED PED V V Sh --∴==⋅=……………12分法二：PEB ∆为底面121121,223=3P BDE P D PEB PE EBB Sh V V S h --=⨯⨯====⋅=（面积，高，体积算对各给2分）（22）（本小题满分12分）（1）取11A C 中点H ，连接 HQ QN ，， NM ，MH ，则梯形MHQN 是过,,M N Q 三点的截面，如图所示.…………………………………4分（2）存在，当1111=2A R A C 时，//MR 平面1B CP …………………………………6分 证明：在线段11A B 上取四等分点S ，使得1111=4A S AB ，连结,,MS RS MR ， 令11A B 中点为T ，连结1,ATC T ，则S 为1A T 中点 则1112AB BT BT AP ==∥∥即，故四边形1B PAT 为平行四边形1//P AT B ∴ 又S 为1A T 中点，M 为1AA 中点，MS AT ∴=∥1MS B P ∴=∥MS ⊄面1B CP ,1B P ⊂面1B CP //MS ∴面1B CP …………………………………8分 S 为1A T 中点，R 为11A C 中点，1//RS C T ∴又1//P C T C //RS CP ∴RS ⊄面1B CP ,CP ⊂面1B CP //RS ∴面1B CP …………………………………9分1,,=MS RS B CP MSRS S ⊂面 ∴面1//B CP 面MRS …………………………………11分又MR ⊂面MRS //MR ∴面1B CP …………………………………12分附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。