013质点运动学-运动学方程

第1章 质点运动学习题解答1-9 质点运动学方程为k j e i e r t t ˆ2ˆˆ22++=- .⑴求质点轨迹；⑵求自t= -1到t=1质点的位移。

解：⑴由运动学方程可知：1,2,,22====-xy z e y e x t t ，所以，质点是在z=2平面内的第一像限的一条双曲线上运动。

⑵j e e i e e r r r ˆ)(ˆ)()1()1(2222---+-=--=∆j i ˆ2537.7ˆ2537.7+-=。

所以，位移大小：︒==∆∆=︒==∆∆=︒=-=∆∆==+-=∆+∆=∆900arccos ||arccos z 45)22arccos(||arccos y 135)22arccos(||arccos x ,22537.72537.7)2537.7()()(||2222r zr y r x y x rγβα轴夹角与轴夹角与轴夹角与1-10 ⑴k t j t R i t R r ˆ2ˆsin ˆcos ++= ，R 为正常数，求t=0,π/2时的速度和加速度。

⑵kt j t i t r ˆ6ˆ5.4ˆ332+-= ，求t=0,1时的速度和加速度（写出正交分解式）。

解：⑴kj t R i t R dt r d v ˆ2ˆcos ˆsin /++-== jR a k i R v iR a k j R v j t R i t R dt v d a t t t t ˆ|,ˆ2ˆ|,ˆ|,ˆ2ˆ|.ˆsin ˆcos /2/2/00-=+-=-=+=∴--======ππ ⑵kt j dt v d a k t j t i dt r d v ˆ36ˆ9/,ˆ18ˆ9ˆ3/2+-==+-== ； kj a k j i v j a i v t t t t ˆ36ˆ9|,ˆ18ˆ9ˆ3|,ˆ9|,ˆ3|1100+-=+-=-======1-12质点直线运动的运动学方程为x=acost,a 为正常数，求质点速度和加速度，并讨论运动特点（有无周期性，运动范围，速度变化情况等）解：t a dt dv a t a dt dx v t a x x x x cos /,sin /,cos -==-=== 显然，质点随时间按余弦规律作周期性运动，运动范围：a a a a v a a x a x x ≤≤-≤≤-≤≤-,,1-13图中a 、b 和c 表示质点沿直线运动三种不同情况下的x-t 图像，试说明每种运动的特点（即速度，计时起点时质点的位置坐标，质点位于坐标原点的时刻）解：质点直线运动的速度 dt dx v /=，在x-t 图像中为曲线斜率。

质点运动的基本概念与运动学公式在物理学中，质点是指质量可忽略不计，仅具有位置和速度等运动属性的物体。

质点运动是运动学的一个基本概念，运动学是研究物体运动规律的学科。

本文将探讨质点运动的基本概念以及相关的运动学公式。

1. 位置、位移和路径位置是指物体在空间中的具体位置，通常可以用一个坐标系来表示。

位移是指物体从初位置到末位置的变化量，用Δx表示。

路径是物体在运动过程中所经过的轨迹。

2. 速度和速度公式速度是指物体在单位时间内所经过的位移，用v表示。

速度的大小可以通过位移除以时间来计算，即v=Δx/Δt。

当时间趋近于无穷小的时候，即Δt趋近于0，可以得到瞬时速度的定义：v=dx/dt，其中dx表示无穷小的位移变化，dt表示无穷小的时间变化。

3. 加速度和加速度公式加速度是指物体的速度变化率，用a表示。

加速度的大小可以通过速度除以时间来计算，即a=Δv/Δt。

当时间趋近于无穷小的时候，即Δt 趋近于0，可以得到瞬时加速度的定义：a=dv/dt，其中dv表示无穷小的速度变化，dt表示无穷小的时间变化。

4. 运动学公式根据速度和加速度的定义，我们可以得到一些与质点运动相关的运动学公式。

以下是一些常见的运动学公式：- 位移公式：Δx = v0t + (1/2)at^2- 速度公式：v = v0 + at- 加速度公式：v^2 = v0^2 + 2aΔx这些公式可以通过代入已知的初始条件，如初速度v0、时间t、位移Δx等来求解物体在运动过程中的运动参数。

5. 简谐振动简谐振动是质点运动中的一种特殊形式，它具有以下特点：- 振动的周期是恒定的，表示为T；- 振动的频率是周期的倒数，表示为f=1/T；- 振动的位移随时间的变化呈正弦或余弦函数。

对于简谐振动，还有一些与振动特性相关的公式：- 谐振频率公式：f = (1/2π) √(k/m)，其中k表示弹性系数，m表示质量；- 谐振周期公式：T = 1/f；- 谐振角频率公式：ω = 2πf。

质点运动学简介质点运动学是研究物体运动的一门学科，它研究的对象是不考虑物体内部结构和力的作用下，描述物体运动状态的一系列物理量。

质点运动学主要研究质点的位置、速度和加速度等与运动有关的基本概念和关系，为进一步研究物体的力学性质和运动规律提供了基础。

质点质点是运动学中研究的基本对象之一。

它是一个理想化的模型，将物体的体积和形状等因素抽象化，仅考虑物体的质量和位置。

质点可以被描述为一个在空间中具有一定质量的点，在研究物体的运动时，可以用质点来近似地代替物体。

质点的位置通常用坐标来表示，如在二维空间中，可以用水平方向的x坐标和竖直方向的y坐标来描述质点的位置。

在三维空间中，需要使用x、y和z三个坐标来表示质点的位置。

位置、速度和加速度质点运动学关注物体的位置、速度和加速度等运动状态。

下面分别介绍这些概念：位置位置是物体在空间中相对于参考点的位置。

我们通常使用坐标系来描述质点的位置，如直角坐标系、极坐标系等。

在直角坐标系中，质点的位置可以用一组坐标来表示。

例如，一个位于原点的质点，其位置可以表示为(0, 0)。

速度速度是物体在单位时间内位移的大小与方向的矢量量。

它描述了质点在单位时间内改变位置的快慢和方向。

速度可以分为瞬时速度和平均速度。

瞬时速度是在某一时刻的瞬时位置与前一时刻的瞬时位置之间的位移与时间间隔的比值。

平均速度是在一段时间内的位移与时间间隔的比值。

加速度加速度是物体在单位时间内速度变化的大小与方向的矢量量。

它描述了质点在单位时间内改变速度的快慢和方向。

加速度可以分为瞬时加速度和平均加速度。

瞬时加速度是在某一时刻的瞬时速度与前一时刻的瞬时速度之间的速度变化与时间间隔的比值。

平均加速度是在一段时间内的速度变化与时间间隔的比值。

运动方程运动方程是质点运动学中描述质点运动规律的方程。

在一维运动中，质点只在一个方向上运动，可以用以下方程描述：•位移公式：s = vt•速度公式：v = v0 + at•加速度公式：a = (v - v0) / t在二维运动中，质点在平面上运动，可以用两个方向的运动方程来描述。

第1章 质点运动学物质最普遍最基本的运动形式包括机械运动、分子热运动、电磁运动、原子和原子核运动以及其他微观粒子运动等。

宏观物体之间（或物体内各部分之间）的相对位置变动，称为机械运动，物理学中对机械运动的规律及其应用的研究称为力学。

通常把力学分为运动学、动力学和静力学。

运动学描述物体位置随时间的变化或运动轨迹的问题，而不涉及引起运动和运动变化的原因；动力学则研究物体的运动与物体间相互作用的内在联系；静力学研究物体在相互作用下的平衡问题。

本章讨论质点运动学，从最简单的质点模型出发，研究描述质点运动的物理量（位置矢量、位移、速度和加速度、质点运动方程、切向加速度和法向加速度）、运动的叠加性和相对运动，并研究物体位置随时间的变化或运动轨迹等问题。

在数学上引入了导数运算和积分运算，从而可以清晰地阐述运动的相对性、瞬时性和矢量性等基本性质。

1.1 质点运动的描述1.1.1 质点一切实际物体都具有大小和形状，而且在物体的运动过程中，其大小和形状还会变化。

一般来说，物体的大小和形状的变化，对物体的运动是有影响的，但是在某些情况下，在某些问题中，运动物体的大小和形状并不起主要作用。

某一质量的重金属实心球从高空下落，会受到重力和空气阻力的作用，其中重力由球的质量m 和重力加速度g 确定，空气阻力与球的大小和形状有关。

由于空气阻力远远小于重力，它起的作用很小，运动情况主要取决于重力，所以，这时物体的运动情况可看作与球的大小和形状无关。

又如，公转问题是研究地球上各点相对太阳的运动情况，研究地球绕太阳公转时，由于地球到太阳的平均距离（81.510km ×）是地球本身直径（平均半径约为36.410km ×）的11719倍，因此地球上各点相对太阳的位置就可视为是相同的。

这时就可以不考虑地球的大小和形状。

当物体的大小和形状与所研究的问题无关，或所起作用很小时，可将物体看作只有质量而无大小和形状的点。

这种抽象化的物体，在物理学中被称为质点。

质点运动学1.描述质点的运动的物理量：位矢、位移、速度和加速度。

（1）位矢：从坐标原点引向质点所在位置的有向线段，记为r。

在直角坐标系中r=x i+y j+z k。

（2）运动方程：质点的位置随时间变化的关系：r=r(t)称为运动方程。

在直角坐标系中的矢量表示式：r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k。

在自然坐标中：s=s(t)（3）位移：由质点初始位置指向末位置的矢量，△r=r(t+△t)-r(t).在直角坐标系中：△r=△x i+△y j+△z k。

（4）路程：物体运动时沿轨迹实际通过的路径长度称为路程，用s 表示。

一般情况下，|△r|≠△s。

（5）速度：质点位置对时间的一阶倒数称为速度v=d r/d t.在直角坐标系中：v=v x i+v y j+v z k=(dx/dt)i+(dy/dt)j+(dz/dt)k在自然坐标系中：v=(ds/dt)e t速度大小称为速率，速率是标量。

v=|v|=|d r/dt|=ds/dt（6）加速度：质点速度对时间的一阶求导a=d v/dt=d2r/dt2 在直角坐标系中：a=a x i+a y j+a z k=(dv x/dt)i+(dv y/dt)j+(dv z/dt)k=(d2x/dt2)i+(d2y/dt2)j+(d2z/dt2)k 在自然坐标系中：a=a t e t+a n e n=(dv/dt)e t+(v2/ρ)e n2.常见的几种运动形式（1）匀速直线运动：v=v0+atx=x0v0t+1/2*at2v2-v20=2a(x-x0)（2）抛体运动：a x=0,a y=-gv x=v0cosθ,v0=v0sinθ-1/2*gt2x=(v0cosθ)t,y=(v0sinθ)t-1/2*gt2 （3）圆周运动：角位置：θ=θ(t)角位移：△θ=θ(t+△t)-θ(t)角速度：ω=dθ/dt=v/R角加速度：β=dω/dt=d2θ/dt2法向加速度：a n=v2/R=Rω2切向加速度：aτ=dv/dt=Rβ3.伽利略变换伽利略速度变换式：v=v0+u。