小波分析应用实例读文报告
一、小波分析的基本理论
小波分析（Wavelet Analysis ）或多分辨分析（Multiresolution Analysis ）是傅里叶分析仪发展史上里程碑式的进展，也是调和分析这一数学领域半个世纪以来工作的结晶。
其基础理论知识涉及到泛函分析、数值分析、统计分析，涉及到电子工程、电气工程、通信工程和计算机工程等，其同时具有理论深刻和工程应用十分广泛的双重意义。
小波（wavelet ），即小区域的波，是一种特殊的长度有限（紧支集）或快速衰减，且均值为0的波形。
1.小波函数
小波函数的确切定义为：设()t ψ为一平方可积函数，即2()()t L R ψ∈，若其傅里叶变换()ψω满足条件：
()R C d ωωωψψ=<⎰∞ （1-3）
则称()t ψ为一个基本小波或小波母函数。
称式（1-3）为小波函数的可容许条件。
把小波和构成傅里叶分析基础的正弦波做一个对比，傅里叶分析所用的正弦波在实践上没有限制，从负无穷到正无穷，但小波倾向于不规则和不对称。
傅里叶分析是将信号分解成一系列的不同频率的正弦波德叠加，同样小波分析是将信号分解成一系列小波函数的叠加，而这些函数都是有一个母函数经过平移与尺度伸缩得来的。
信号局部的特性用小波函数来逼近尖锐变化的信号显然要比光滑的正弦曲线要好。
将小波母函数()t ψ进行伸缩和平移，就可以得到函数,()a t τψ：
,t ()a a t ττψ-=（） a R a>0τ∈，； （1-4） 式中，a 为伸缩因子，τ为平移因子，,()a t τψ为依赖于参数a 和τ的小波基函数，由于尺度因子a 和平移因子τ是连续变化的值，因此称,()a t τψ为连续小波基函数。
它们是由同一组母函数()t ψ经伸缩和平移后得到的一组函数序列。
小波奇函数的窗口随尺度因子的不同而伸缩，当a 逐渐增大时，基函数,()a t τψ的时间
窗口也逐渐变大，而其对应的频域窗口也相应减小，中心频率逐渐变低。
相反，当a 逐渐减小时，基函数,()a t τψ的时间窗口逐渐减小，而其频域窗口相应增大，中心频率逐渐升高。
小波分析方法是一种窗口大小（即窗口面积）固定但其形状可改变，时间窗和频率窗都可改变的时频局域化分析方法，即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低频率分辨率，所以被称之为数学显微镜。
2.小波变换
小波变换的含义：把一称为基本小波的函数()t ψ做位移τ后，再在不同尺度a 下与待分析信号x （t ）做内积：
*x t ()dt
a
x t WT τψ+-=∞
-∞（） a>0 等效频域表示是：
*()d
x WT a ωψωω+=∞
-∞X （）
式中，ωX （）()ψω分别是x （t ），()t ψ的傅里叶变换。
小波变换具有以下特点和作用：
（1） 具有多分辨率（也叫多尺度）的特点，可以由粗到细地逐步观察信号。
（2） 我们也可以把小波变换看成用基本频率特性为()ψω的带通滤波器在不同尺度a 下
对信号做滤波。
（3） 适当地选择基本小波，使()t ψ在时域上为有限支撑，()ψω在频域上也比较集中，
便可以使小波变换在时、频两域都具有表征信号局部特征的能力，这样就有利于检测信号得瞬态或奇异点。
3.多分辨率分析
多分辨分析是整个小波分析的精髓所在。
在工程应用中利用小波变换对信号进行处理，应用最广泛的是二进小波变换， 它对尺度参数进行离散化， 而对时间域上的平移参量保持连续变换，不破坏信号在时间域上的平移参量。
1988 年，Mallat 在构造正交小波基时， 提出了多分辨率分析的概念， 从空间的概念上形象地说明了小波的多分辨率性， 对正交小波基的构造方法进行了统一， 提出了正交小波变换的快速算法， 即Mallat 算法
采用正交小波变换时，任意信号2
()()X t L R ∈可采用多分辨率分解公式表示为：
,,1()()()()()J
j j k j j k k J K x t a k t d k t ϕψ-=+∑∑∑
式中，/2,()2(2)J J j k t t k ϕϕ--=-为尺度函数；/2,()2J j k t ψ-=为小波函数；{},()j k t ϕ为尺度空间j V 的标准正交基；{}
,()j k t ψ为小波空间j W 的标准正交基。
1j j j V V W -=⊕，其中j W 为j V 在1j V -空间的正交补空间，J 为尺度j 的某个特定值，分解系数()j k α和()j d k 分别称为离散平滑近似信号和离散细节信号。
其递推公式如下： 10()(2)()j j m
a k h m k a k +=-∑
11()(2)()j j m
d k h m k a k +=-∑
式中，0h 和1h 分别是低通数字滤波器和高通数字滤波器的单位取样响应。
取00(1)()k h h k =-，构成正交镜像对称滤波器组。
1()j d k +和1()j a k +分别是0()h k -和1()h k -卷积后再抽取得到的信号序列。
多分辨率分解只是对低频部分进一步分解，而高频部分则不予以考虑。
所以小波多分辨率信号分解可用多抽样率子带滤波器组来实现，在小波分解中，设采样频率为s f ，则()x n 占据的频带为0~/2s f ，经过J 级分解，得到1()d k ，2()d k …()j d k ，()j a k 这J+1个序号列，所占据的频带依次为：/4~/8s s f f ，/8~/16s s f f ，... 1/2~/2j j s s f f -，10~/2j s f +，由此可以将所需的频段提取出来，这就是用滤波器实现小波多分辨分析的原理。
二、粮食产量变化的实例分析
1．资料的来源与处理
我们选择以成都市粮食年际变化量来进行实例的小波分析运用．数据来源于文，分析的时间是1950～2005年．共计56年．成都市各年年际粮食变化量见图1。
图1 成都市各年年际粮食产量变化图
2．年际粮食变化量的小波变换
我们把现有的数据按照以下方式进行标准化处理：
其中：Z为标准化后得到的值；X均为算术平均值，s为标准差(样本方差)。
S=
然后进行了Morlet小波变换(其中取∞=6)．得到了一个56×56的小波系数矩阵.将矩阵各数取实部后．通过插值的方法。
我们将矩阵以图象的形式表达出来,这样很直观的表达出来了矩阵内部的变化,我们把最为主要的区域已列出见图2。
图2 morlet小波变换系数实部图
3．年际粮食变化量的小波方差
通过计算，我们得到了小波方差值，我们绘制了excel图，见图3能够很直观地看出。
在14a尺度上，小波方差达到了最大，说明14a是成都市粮食年际变化的主要周期。
图3小波方差图
4．实例结论
通过小波分析之后，我们得出了成都市粮食年际变化的主要存在着以周期为14a的振荡。
通过对14a尺度上的小波系数(小波系数实部图见图4)分析，我们很清楚地看出，目前，成都市的年际粮食产量还是属于减少与增长的过渡突变期，在未来的时间将会转变为增长期。
对于区域粮食的不同变化趋势。
应该启动不同的粮食政策。
政府粮食工作的重点也应该不同，而通过这个小波分析的结果可以为区域粮食政策的改变。
提供一个有用的参考。
图4时间尺度为14a的Morlet小波变换系数实部图
三、结论
通过实例分析，我们能够发现小波分析能够很好地分析出粮食年际变化所反映的时频信息。
利用小波理论对信号小波变换以其具备突出时频局部特性的能力，成为信号奇异性检侧的重要工具，这也为故障诊断的研究提供了一种新的技术手段，推动了信号处理领域的发展。
需要指出的是，小波变换在信号检侧的实际应用中，应当认真考虑选用合适的小波母函数并应在多尺度上做综合分析和判断，才能够准确地确定奇异点的位置。
