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小 波 分 析 及 应 用第一部分 引 言小波分析及应用傅立叶分析的有效性19世纪，傅立叶变换把时间域与频率域联系起来，用信号的频谱特性去分析时域内难以看清的问题，解决了很多物理和工程学方面的问题。
这个突破使得科学家们和工程师们开始考虑如何将傅立叶变换作为分析各种现象的最佳工具。
这种普遍性迫使人们开始进一步研究这种方法。
问题及大胆设想直到20世纪即将结束时，数学家、物理学家和工程师们才开始认识到傅立叶变换的缺点：它们在分析短时信号或突变信号时，效果并不理想。
在整个20世纪的过程中，各个领域的科学家们都试图突破上述这些障碍。
从本质上讲，科学家们往往想同时获取到低分辨率的森林——重复的背景信号；以及高分辨率的树——个体的、在背景上的局部变化。
他们提出了大胆的设想：也许通过将一个信号分割成并非纯正弦波的元素，就可以同时在时间和频率两方面对信息进行描述。
问题的解决小波变换是傅里叶变换的新发展，它既保留了傅里叶变换的优点，又弥补了傅里叶变换在信号分析上的一些不足。
原则上讲，小波变换适用于以往一切傅里叶变换应用的领域。
但小波变换并不是万能的，作为一种数学工具，小波变换（分析）有其特定的应用范围，即面向更能发挥小波分析优势的时间—频率局域性问题。
本课程的内容安排理论部分第二部分从傅里叶变换开始，沿着傅里叶变换→短时傅里叶变换→小波变换的发展轨迹，从物理直观的角度对其逐一进行介绍，引出小波变换的概念；然后对小波变换的基本理论进行了详细的讲解；第三部分首先介绍多分辨分析和多分辨率滤波器组的概念，在此基础上讲解由滤波器组系数构造小波基的方法，最后给出对信号和图像进行小波变换的Mallat算法；第四部分介绍小波理论的最新进展和发展方向：多小波；M带小波和提升框架等；应用部分第五部分在给出小波域滤波基本原理的基础上，介绍三种小波滤波方法——模极大值重构滤波、空域相关滤波和基于阈值的小波域滤波方法，并对这三种方法进行分析和比较；第六部分对经典小波滤波方法的改进、较新的进展及发展趋势进行介绍；第七部分对目前国内外小波分析软件应用领域的情况进行总结，着重介绍我们开发的小波分析领域通用信号处理软件系统——“小波软体”（Wavesoft），对其安装、运行、操作进行说明、演示；最后给出几个小波滤波方法的应用实例。
小波分析方法的特点及其在生物医学工程中的应用小波分析方法的特点：（1）时频局部化特点，即可以同时提供时域和频域局部化信息。
（2）多分辨率，即多尺度的特点，可以由粗到细逐步观察信号。
（3）带通滤波的特点，可以根据中心频率的变化调节带宽，中心频率的高低与带宽成反向变化，可以观测出信号的低频缓变部分和高频突变部分。
适当地选择小波基，可以方便地检测出信号的奇异点，观测信号的瞬态变化以及时域分析中信号不见的信息；此外利用带通特性，将信号分解成不同频带低频分解渡和高频分解波，并提取出信号中的非平稳信号。
在生物医学工程中的人体电信号，如心电信号，脑电信号，肌电信号，视觉诱发电位信号等均为非平稳的弱电信号，而对于这些信号的提取常因各信号的频谱相互交迭，以及信噪比较低加之工频及谐波干扰严重等而产生困难，而小波对非平稳信号的突出的处理能力，给人体电信号的提取带来了较以往各种滤波方法更为方便的手段。
此外，在CT成象方面，如何既增强边缘又平滑噪声一直是图象处理的难题，而小波变换，由于它可以同时在时域和频域内局部化，因而可以较好地处理图象局部细节，提高边缘分辨度，因此小波方法的出现给生物医学工程中信号和图象分析提供了有力的手段一、用多分辨多尺度方法消噪并提取人体电信号多分辨小波的特点是随着分辨率的增加信号逐渐收剑于原始信号，例如人体心电图（ECG）是一种非介入性检测，通过电极接触把心脏电波经绘图系统计录下来．在ECG中R波的检测尤为重要，以往R波的检测算法通常是设计成低通或高通滤波器，滤除非QRS波的影响（例如高T波，工频干扰．呼吸波的干扰以及肌电干扰的影响等），都被精心设计成使其能将QRS波和其它波分开，对于波形检测系统来说，最理想的情况是QRS波群高频杂波和低频干扰信号能够完全被正交分解，投影到不同的空间中，然而基于付氏频域的方法是难以实现的，因为各类信号频带范围互相交迭，加窗的付氏变换也受到限制，它无法形成正交基。
小波分析及其应用
小波分析，又称小波变换，是一种数字信号处理技术，它能有效地分
析和处理带有噪声的信号。
由于其分析和处理能力，小波变换正在广
泛应用于图像、音频和视频信号的处理中。
小波分析是基于多尺度分析理论的，其核心思想是从高频到低频把时
域信号分解为不同的尺度的组件，或者说从原始信号中提取出比较重
要的特征信息，从而使处理和分析过程更加准确、方便和快捷。
其作
用是将一个复杂的信号分解成它的低频和高频分量，以此来滤除杂讯，增强信号特征。
由于小波分析的复杂性和高效性，小波变换已经被广泛应用于图像处
理领域。
图像处理中用到的小波变换主要有小波去噪、压缩、识别和
检测等。
小波去噪是将目标图像的某些频率分量置零以抑制高频噪声
的方法；压缩则是将原信号或图片的文件大小降低，以节省存储空间；识别则是利用小波分析技术对图像进行形状特征提取；检测则是利用
小波分析技术对图像中目标物体的位置、纹理特征等进行识别。
此外，小波分析还被应用到语音和音频信号的处理中。
语音处理中，
小波变换可以提取信号的特征，分离目标信号与噪声，并提升语音识
别性能；音频处理中，小波分析可以对音频信号进行动态范围分析等。
总之，小波分析可以准确地分解和处理复杂的信号，提取信号特征，
从而提升信号分析和处理的准确性和效率。
因此，小波分析已经成为
图像、音频和视频信号处理领域的重要技术之一。
小波变换和motion信号处理（一）这是《小波变换和motion信号处理》系列的第一篇，基础普及。
第二篇我准备写深入小波的东西，第三篇讲解应用。
记得我还在大四的时候，在申请出国和保研中犹豫了好一阵，骨子里的保守最后让我选择了先保研。
当然后来也退学了，不过这是后话。
当时保研就要找老板，实验室，自己运气还不错，进了一个在本校很牛逼的实验室干活路。
我们实验室主要是搞图像的，实力在全国也是很强的，进去后和师兄师姐聊，大家都在搞什么小波变换，H264之类的。
当时的我心思都不在这方面，尽搞什么操作系统移植，ARM+FPGA这些东西了。
对小波变换的认识也就停留在神秘的“图像视频压缩算法之王”上面。
后来我才发现，在别的很广泛的领域中，小波也逐渐开始流行。
比如话说很早以前，我们接触的信号频域处理基本都是傅立叶和拉普拉斯的天下。
但这些年，小波在信号分析中的逐渐兴盛和普及。
这让人不得不感到好奇，是什么特性让它在图象压缩，信号处理这些关键应用中更得到信赖呢？说实话，我还在国内的时候，就开始好奇这个问题了，于是放狗搜，放毒搜，找遍了中文讲小波变换的科普文章，发现没几个讲得清楚的，当时好奇心没那么重，也不是搞这个研究的，懒得找英文大部头论文了，于是作罢。
后来来了这边，有些项目要用信号处理，不得已接触到一些小波变换的东西，才开始硬着头皮看。
看了一些材料，听了一些课，才发现，还是那个老生常谈的论调：国外的技术资料和国内真TNND不是一个档次的。
同样的事情，别人说得很清楚，连我这种并不聪明的人也看得懂; 国内的材料则绕来绕去讲得一塌糊涂，除了少数天才没几个人能在短时间掌握的。
牢骚就不继续发挥了。
在这个系列文章里，我希望能简单介绍一下小波变换，它和傅立叶变换的比较，以及它在移动平台做motion detection的应用。
如果不做特殊说明，均以离散小波为例子。
考虑到我以前看中文资料的痛苦程度，我会尽量用简单，但是直观的方式去介绍。
小波分析读书报告---何鹏举2009-12-20一、概述小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。
正如1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到著名数学家grange，place 以及A.M.Legendre的认可一样。
幸运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似於现在的小波基；1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的同意方法，多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wavelets）》对小波的普及起了重要的推动作用。
它与Fourier变换、视窗Fourier变换（Gabor变换）相比，这是一个时间和频率的局网域变换，因而能有效的从信号中提取资讯，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了F ourier变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。
小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起地。
现在，它已经在科技资讯产业领网域取得了令人瞩目的成就。
电子资讯技术是六大高新技术中重要的一个领网域，它的重要方面是影像和信号处理。
现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构（或恢复）。
从数学地角度来看，信号与影像处理可以统一看作是信号处理（影像可以看作是二维信号），在小波分析地许多分析的许多应用中，都可以归结为信号处理问题。
小波分析在故障诊断中的应用摘要：小波分析技术具有多分辨率及良好的时域特性，为机械故障诊断提供了一条有效途径，本文以齿轮故障诊断为例，简要分析了小波分析技术在故障诊断中的应用。
关键词：小波分析；故障诊断；齿轮箱小波分析由于具有良好的时频局部化性能，已经在信号分析、图像处理、语音合成、故障诊断、地质勘探等领域取得一系列重要应用。
其多分辨率分析不仅应用于数字信号处理和分析、信号检测和噪声抑制，而且各种快速有效的算法也大大促进了小波分析在实际系统中的应用，使得小波及相关技术在通信领域中的应用也得到了广泛的研究，已逐步用于通信系统中的信号波形设计、扩频特征波形设计、多载波传输系统等。
被誉为数学显微镜的小波分析技术，为机械故障诊断中的非平稳信号分析、弱信号提取、信噪分离等提供了一条有效的途径，国内外近年来应用小波分析进行机械故障诊断的研究发展十分迅速，但就目前应用现状来看，还存在一些问题，限制了小波分析优良性质的发挥[1]。
一、小波分析理论小波分析方法具有对低频信号在频域里有较高分辨率，对高频信号在时域里也有较高的分辨率的特点，具有可调窗口的时频局部分析能力，弥补了傅立叶变换和快速傅立叶变换的不足。
目前，一般认为离散小波分析、多分辨率分析、连续小波分析及后来发展的小波包分析等都是小波理论的不同方面，是在小波理论发展的过程中不断繁衍产生的，这些方面都在故障诊断的应用中得到了体现。
㈠多分辨率分析小波分解相当于一个带通滤波器和一个低通滤波器，每次分解总是把原信号分解成两个子信号，分别称为逼近信号和细节信号，每个部分还要经过一次隔点重采样，再下一层的小波分解则是对频率的逼近部分进行类似的分解。
如此分解N次即可得到第N层(尺度N上)的小波分解结果。
在工程应用中，利用多分辨率分析可以对信号进行分解重构，不仅可以达到降噪的的目的，还可以识别在含噪声信号中有用信号的发展趋势。
㈡小波包分析小波包分解是从小波分析延伸出来的一种信号进行更加细致的分析与重构的方法。
小波方法年级：研一专业：高压姓名：吕树明学号：0920300072第1章绪论小波分析(Wavelet Analysis)即小波变换是80年代中期发展起来的一门新兴的数学理论和方法，它被认为是傅立叶分析方法的突破性进展，它具有许多优良的特性。
小波变换的基本思想类似于Fourier变换，就是用信号在一族基函数张成的空间上的投影表征该信号。
经典的Fourier变换把信号按三角正、余弦基展开，将任意函数表示为具有不同频率的谐波函数的线性迭加，能较好地刻划信号的频率特性，但它在时空域上无任何分辨，不能作局部分析，这在理论和应用上都带来了许多不便。
小波分析优于傅立叶之处在于，小波分析在时域和频域同时具有良好的局部化性质，因为小波函数是紧支集，而三角正、余弦的区间是无穷区间，所以小波变换可以对高频成分采用逐渐精细的时域或空间域取代步长，从而可以聚焦到对象的任意细节。
因此，小波变换被誉为分析信号的显微镜，傅立叶分析发展史上的一个新的里程碑。
小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分析、傅立叶分析、数值分析的最完美结晶;在应用领域，特别是在信号处理、图象处理、语音分析、模式识别、量子物理、生物医学工程、计算机视觉、故障诊断及众多非线性科学领域都有广泛的应用。
AbstractWavelet Analysis (order Wavelet), Wavelet transform is mid 80's developed a new mathematical theory and method, it is believed to be the Fourier Analysis method, it is the breakthrough of many excellent properties. The basic thought of wavelet transform is similar with Fourier signal in gens function of space projection lodged open like the signal representation. The Fourier transform of the classical signal by triangle is, the yankees will be arbitrarily, cosines with different frequency function for the linear superposition of harmonic function, can characterize the signal frequency characteristics, but when it without any resolution airspace, cannot make local analysis, it in theory and application are brought much inconvenience. Wavelet analysis is superior to Fourier, wavelet analysis in time domain and frequency domain, also have good properties, because the localization of wavelet function is tight, and triangle is a collection of interval is infinite, cosine interval, so the wavelet transformation of high frequency components can be refined by gradually replacing time or space domain, which can step length on any object to details. Therefore, the wavelet transform is regarded as the microscope, the analysis of signal in the history of the Fourier analysis, a new milestone. Wavelet analysis is a new branch of mathematics, it is the functional analysis, Fourier analysis, numerical analysis of the most perfect, In the fields of application, especially in the image processing and signal processing, analysis and pattern recognition, quantum physics, biomedical engineering, computer vision, fault diagnosis and nonlinear science is widely used in the field.Key words: wavelet Analysis, harmonic function, diagnosis第2章 傅立叶变换2.1周期信号的傅里叶级数任一满足狄利克雷条件的周期信号()f t （1T 为其周期）可展开为傅里叶级数。
小波方法年级：研一专业：高压姓名：吕树明学号：0920300072第1章绪论小波分析(Wavelet Analysis)即小波变换是80年代中期发展起来的一门新兴的数学理论和方法，它被认为是傅立叶分析方法的突破性进展，它具有许多优良的特性。
小波变换的基本思想类似于Fourier变换，就是用信号在一族基函数张成的空间上的投影表征该信号。
经典的Fourier变换把信号按三角正、余弦基展开，将任意函数表示为具有不同频率的谐波函数的线性迭加，能较好地刻划信号的频率特性，但它在时空域上无任何分辨，不能作局部分析，这在理论和应用上都带来了许多不便。
小波分析优于傅立叶之处在于，小波分析在时域和频域同时具有良好的局部化性质，因为小波函数是紧支集，而三角正、余弦的区间是无穷区间，所以小波变换可以对高频成分采用逐渐精细的时域或空间域取代步长，从而可以聚焦到对象的任意细节。
因此，小波变换被誉为分析信号的显微镜，傅立叶分析发展史上的一个新的里程碑。
小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分析、傅立叶分析、数值分析的最完美结晶;在应用领域，特别是在信号处理、图象处理、语音分析、模式识别、量子物理、生物医学工程、计算机视觉、故障诊断及众多非线性科学领域都有广泛的应用。
AbstractWavelet Analysis (order Wavelet), Wavelet transform is mid 80's developed a new mathematical theory and method, it is believed to be the Fourier Analysis method, it is the breakthrough of many excellent properties. The basic thought of wavelet transform is similar with Fourier signal in gens function of space projection lodged open like the signal representation. The Fourier transform of the classical signal by triangle is, the yankees will be arbitrarily, cosines with different frequency function for the linear superposition of harmonic function, can characterize the signal frequency characteristics, but when it without any resolution airspace, cannot make local analysis, it in theory and application are brought much inconvenience. Wavelet analysis is superior to Fourier, wavelet analysis in time domain and frequency domain, also have good properties, because the localization of wavelet function is tight, and triangle is a collection of interval is infinite, cosine interval, so the wavelet transformation of high frequency components can be refined by gradually replacing time or space domain, which can step length on any object to details. Therefore, the wavelet transform is regarded as the microscope, the analysis of signal in the history of the Fourier analysis, a new milestone. Wavelet analysis is a new branch of mathematics, it is the functional analysis, Fourier analysis, numerical analysis of the most perfect, In the fields of application, especially in the image processing and signal processing, analysis and pattern recognition, quantum physics, biomedical engineering, computer vision, fault diagnosis and nonlinear science is widely used in the field.Key words: wavelet Analysis, harmonic function, diagnosis第2章 傅立叶变换2.1周期信号的傅里叶级数任一满足狄利克雷条件的周期信号()f t （1T 为其周期）可展开为傅里叶级数。
小波分析及其应用研究引言小波分析是一种近年来逐渐被广泛应用的数学工具，它在信号处理、图像处理等领域具有广泛的应用价值。
小波分析能够将一个信号或图像分解成多个小波系数，从而方便地对信号或图像进行频域和时域的分析。
本文旨在探讨小波分析的基本原理及其在信号处理和图像处理领域的应用研究，以期读者能够更好地理解小波分析的应用价值。
小波分析基本原理小波分析的基本原理主要包括小波基函数的选取、小波分解的过程以及小波重构的过程。
小波基函数具有尺度性和移位性，通过这些性质，可以将一个信号或图像从小波基函数展开，得到一系列的小波系数。
小波分解是将信号或图像分解成多个小波系数的过程，从而方便对信号或图像进行频域和时域的分析。
小波重构则是从小波系数出发，恢复原信号或图像的过程。
小波分析在信号处理中的应用小波分析在信号处理领域具有广泛的应用，主要包括信号压缩、去噪以及分类等方面。
小波分析能够将信号分解成多个小波系数，对于那些幅值较小的系数，可以将其置零或近似为零，从而实现信号压缩。
同时，小波分析在信号去噪方面也有着重要的应用，通过将信号分解成多个小波系数，可以有效地去除噪声，提高信号的信噪比。
此外，小波分析还可以应用于信号分类，例如基于小波包的分类方法可以有效地对信号进行分类。
小波分析在图像处理中的应用小波分析在图像处理领域同样具有广泛的应用，主要包括图像压缩、去噪以及分类等方面。
在图像压缩方面，小波分析可以通过将图像分解成多个小波系数，实现图像的压缩，从而减少存储空间的需求。
同时，小波分析在图像去噪方面也有着重要的应用，能够有效地去除图像中的噪声。
此外，小波分析还可以应用于图像分类，例如基于小波包的分类方法可以有效地对图像进行分类。
小波分析作为一种数学工具，在信号处理和图像处理领域具有广泛的应用价值。
通过将信号或图像分解成多个小波系数，可以方便地对信号或图像进行频域和时域的分析。
本文介绍了小波分析的基本原理及其在信号处理和图像处理领域的应用研究，希望读者能够更好地理解小波分析的应用价值。
小波分析应用实例读文报告
一、小波分析的基本理论
小波分析（Wavelet Analysis ）或多分辨分析（Multiresolution Analysis ）是傅里叶分析仪发展史上里程碑式的进展，也是调和分析这一数学领域半个世纪以来工作的结晶。
其基础理论知识涉及到泛函分析、数值分析、统计分析，涉及到电子工程、电气工程、通信工程和计算机工程等，其同时具有理论深刻和工程应用十分广泛的双重意义。
小波（wavelet ），即小区域的波，是一种特殊的长度有限（紧支集）或快速衰减，且均值为0的波形。
1.小波函数
小波函数的确切定义为：设()t ψ为一平方可积函数，即2()()t L R ψ∈，若其傅里叶变换()ψω满足条件：
()R C d ωωωψψ=<⎰∞ （1-3）
则称()t ψ为一个基本小波或小波母函数。
称式（1-3）为小波函数的可容许条件。
把小波和构成傅里叶分析基础的正弦波做一个对比，傅里叶分析所用的正弦波在实践上没有限制，从负无穷到正无穷，但小波倾向于不规则和不对称。
傅里叶分析是将信号分解成一系列的不同频率的正弦波德叠加，同样小波分析是将信号分解成一系列小波函数的叠加，而这些函数都是有一个母函数经过平移与尺度伸缩得来的。
信号局部的特性用小波函数来逼近尖锐变化的信号显然要比光滑的正弦曲线要好。
将小波母函数()t ψ进行伸缩和平移，就可以得到函数,()a t τψ：
,t ()a a t ττψ-=（） a R a>0τ∈，； （1-4） 式中，a 为伸缩因子，τ为平移因子，,()a t τψ为依赖于参数a 和τ的小波基函数，由于尺度因子a 和平移因子τ是连续变化的值，因此称,()a t τψ为连续小波基函数。
它们是由同一组母函数()t ψ经伸缩和平移后得到的一组函数序列。
小波奇函数的窗口随尺度因子的不同而伸缩，当a 逐渐增大时，基函数,()a t τψ的时间
窗口也逐渐变大，而其对应的频域窗口也相应减小，中心频率逐渐变低。
相反，当a 逐渐减小时，基函数,()a t τψ的时间窗口逐渐减小，而其频域窗口相应增大，中心频率逐渐升高。
小波分析方法是一种窗口大小（即窗口面积）固定但其形状可改变，时间窗和频率窗都可改变的时频局域化分析方法，即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低频率分辨率，所以被称之为数学显微镜。
2.小波变换
小波变换的含义：把一称为基本小波的函数()t ψ做位移τ后，再在不同尺度a 下与待分析信号x （t ）做内积：
*x t ()dt
a
x t WT τψ+-=∞
-∞（） a>0 等效频域表示是：
*()d
x WT a ωψωω+=∞
-∞X （）
式中，ωX （）()ψω分别是x （t ），()t ψ的傅里叶变换。
小波变换具有以下特点和作用：
（1） 具有多分辨率（也叫多尺度）的特点，可以由粗到细地逐步观察信号。
（2） 我们也可以把小波变换看成用基本频率特性为()ψω的带通滤波器在不同尺度a 下
对信号做滤波。
（3） 适当地选择基本小波，使()t ψ在时域上为有限支撑，()ψω在频域上也比较集中，
便可以使小波变换在时、频两域都具有表征信号局部特征的能力，这样就有利于检测信号得瞬态或奇异点。
3.多分辨率分析
多分辨分析是整个小波分析的精髓所在。
在工程应用中利用小波变换对信号进行处理，应用最广泛的是二进小波变换， 它对尺度参数进行离散化， 而对时间域上的平移参量保持连续变换，不破坏信号在时间域上的平移参量。
1988 年，Mallat 在构造正交小波基时， 提出了多分辨率分析的概念， 从空间的概念上形象地说明了小波的多分辨率性， 对正交小波基的构造方法进行了统一， 提出了正交小波变换的快速算法， 即Mallat 算法
采用正交小波变换时，任意信号2
()()X t L R ∈可采用多分辨率分解公式表示为：
,,1()()()()()J
j j k j j k k J K x t a k t d k t ϕψ-=+∑∑∑
式中，/2,()2(2)J J j k t t k ϕϕ--=-为尺度函数；/2,()2J j k t ψ-=为小波函数；{},()j k t ϕ为尺度空间j V 的标准正交基；{}
,()j k t ψ为小波空间j W 的标准正交基。
1j j j V V W -=⊕，其中j W 为j V 在1j V -空间的正交补空间，J 为尺度j 的某个特定值，分解系数()j k α和()j d k 分别称为离散平滑近似信号和离散细节信号。
其递推公式如下： 10()(2)()j j m
a k h m k a k +=-∑
11()(2)()j j m
d k h m k a k +=-∑
式中，0h 和1h 分别是低通数字滤波器和高通数字滤波器的单位取样响应。
取00(1)()k h h k =-，构成正交镜像对称滤波器组。
1()j d k +和1()j a k +分别是0()h k -和1()h k -卷积后再抽取得到的信号序列。
多分辨率分解只是对低频部分进一步分解，而高频部分则不予以考虑。
所以小波多分辨率信号分解可用多抽样率子带滤波器组来实现，在小波分解中，设采样频率为s f ，则()x n 占据的频带为0~/2s f ，经过J 级分解，得到1()d k ，2()d k …()j d k ，()j a k 这J+1个序号列，所占据的频带依次为：/4~/8s s f f ，/8~/16s s f f ，... 1/2~/2j j s s f f -，10~/2j s f +，由此可以将所需的频段提取出来，这就是用滤波器实现小波多分辨分析的原理。
二、粮食产量变化的实例分析
1．资料的来源与处理
我们选择以成都市粮食年际变化量来进行实例的小波分析运用．数据来源于文，分析的时间是1950～2005年．共计56年．成都市各年年际粮食变化量见图1。
图1 成都市各年年际粮食产量变化图
2．年际粮食变化量的小波变换
我们把现有的数据按照以下方式进行标准化处理：
其中：Z为标准化后得到的值；X均为算术平均值，s为标准差(样本方差)。
S=
然后进行了Morlet小波变换(其中取∞=6)．得到了一个56×56的小波系数矩阵.将矩阵各数取实部后．通过插值的方法。
我们将矩阵以图象的形式表达出来,这样很直观的表达出来了矩阵内部的变化,我们把最为主要的区域已列出见图2。
图2 morlet小波变换系数实部图
3．年际粮食变化量的小波方差
通过计算，我们得到了小波方差值，我们绘制了excel图，见图3能够很直观地看出。
在14a尺度上，小波方差达到了最大，说明14a是成都市粮食年际变化的主要周期。
图3小波方差图
4．实例结论
通过小波分析之后，我们得出了成都市粮食年际变化的主要存在着以周期为14a的振荡。
通过对14a尺度上的小波系数(小波系数实部图见图4)分析，我们很清楚地看出，目前，成都市的年际粮食产量还是属于减少与增长的过渡突变期，在未来的时间将会转变为增长期。
对于区域粮食的不同变化趋势。
应该启动不同的粮食政策。
政府粮食工作的重点也应该不同，而通过这个小波分析的结果可以为区域粮食政策的改变。
提供一个有用的参考。
图4时间尺度为14a的Morlet小波变换系数实部图
三、结论
通过实例分析，我们能够发现小波分析能够很好地分析出粮食年际变化所反映的时频信息。
利用小波理论对信号小波变换以其具备突出时频局部特性的能力，成为信号奇异性检侧的重要工具，这也为故障诊断的研究提供了一种新的技术手段，推动了信号处理领域的发展。
需要指出的是，小波变换在信号检侧的实际应用中，应当认真考虑选用合适的小波母函数并应在多尺度上做综合分析和判断，才能够准确地确定奇异点的位置。
