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第6章 MATLAB解方程与最优化问题求解

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MATLAB中的优化算法详解

MATLAB中的优化算法详解

MATLAB中的优化算法详解引言：MATLAB是一种功能强大的数学软件包，它在优化算法方面具有出色的性能和灵活性。

优化算法是解决实际问题中最常用的方法之一，可以用于求解最优化问题，如最小化成本、最大化利润等。

MATLAB提供了多种优化算法，每种算法都具有其独特的特点和适用范围。

本文旨在详细介绍MATLAB中几种常用的优化算法及其原理，为读者提供深入了解和掌握优化算法的基础知识。

一、梯度下降法梯度下降法是一种基于导数的优化算法，可以用于求解无约束最优化问题。

其基本思想是通过迭代的方式，不断更新参数的值，使目标函数的值逐渐趋于最小值。

梯度下降法的步骤如下：1. 初始化参数向量；2. 计算目标函数的梯度向量；3. 更新参数向量，使目标函数的值减小；4. 重复步骤2和3，直到满足停止准则。

梯度下降法的优点是简单易用，但其也存在一些缺点，如容易陷入局部最小值、收敛速度慢等。

为了提高算法的性能，可以采用不同的变种算法，如批梯度下降法、随机梯度下降法等。

二、共轭梯度法共轭梯度法是一种求解大规模线性方程组的优化算法，它通过迭代的方式，逐步逼近线性方程组的解。

共轭梯度法的关键在于选择一组共轭的搜索方向，以加快收敛速度。

其基本思想是通过找到一系列共轭的搜索方向，使每次迭代的残差向量与先前的残差向量相互正交。

共轭梯度法通常用于求解正定或近似正定的对称线性方程组。

三、遗传算法遗传算法是一种模拟自然进化过程的优化算法，可以用于求解复杂的非线性、非凸优化问题。

遗传算法的基本思想是通过模拟自然选择、交叉和变异等操作，以产生新的解，并通过适应度评估来选择优秀的解进行后续操作。

其步骤如下：1. 初始化种群，即随机生成一组解向量；2. 计算每个个体的适应度，并进行选择，选择适应度较高的个体作为父代；3. 通过交叉和变异操作产生新的解向量，形成子代；4. 重复步骤2和3，直到满足停止准则。

遗传算法具有全局搜索能力强、适应能力好等优点，但其也存在收敛速度较慢、参数选择困难等问题。

第06章_MATLAB数值计算_参考解答

第06章_MATLAB数值计算_参考解答


%可参见教材第 157 页例 6.19
运行结果： dx =
000
%当 x=pi/2 时单独计算 x=pi/2; f=inline('sin(x).^2+cos(x).^2'); dx=diff(f([x, pi]))/(pi/2)
dx = 0
(2) 程序设计： clear all; close all; clc; x=1:3; f=inline('sqrt(x.^2+1)'); dx=diff(f([x, 4]))
运行结果：
U= 1.0e-004 * -0.0675
0.1715
fmin = 1.9920e-010
(2) 程序设计： clear all; close all; clc; f=inline('-sin(x)-cos(x.^2)'); fmax=fminbnd(f, 0, pi)
%用内联函数，求负的最小值 %注意函数名 f 不加单引号'
高教社刘卫国《MATLAB 程序设计与应用》（第二版）习题参考解答
第 6 章：MATLAB 数值计算
教材 P189 习题六
第 6 章 MATLAB 数值计算
1. 利用 MATLAB 提供的 randn 函数生成符合正态分布的 10×5 随机矩阵 A，进行如下操 作：
(1) A 各列元素的均值和标准方差。 (2) A 的最大元素和最小元素。 (3) 求 A 每行元素的和以及全部元素之和。 (4) 分别对 A 的每列元素按升序、每行元素按降序排列。 答：
运行结果： P=
0
15.0000
7.0000 -3.5000
0.5000 -2.0000 -2.0000
第6章__MATLAB解方程与最优化问题求解

第6章__MATLAB解方程与最优化问题求解


该式即为Gauss-Serdel迭代公式。和Jacobi迭代相比， Gauss-Serdel迭代用新分量代替旧分量，精度会 高些。
Gauss-Serdel迭代法的MATLAB函数文件gauseidel.m如下：
function [y,n]=gauseidel(A,b,x0,eps) if nargin==3 eps=1.0e-6; elseif nargin<3 error return end D=diag(diag(A)); %求A的对角矩阵 L=-tril(A,-1); %求A的下三角阵 U=-triu(A,1); %求A的上三角阵 G=(D-L)\U; f=(D-L)\b; y=G*x0+f; n=1; %迭代次数 while norm(y-x0)>=eps x0=y; y=G*x0+f; n=n+1; end
例6-5 用Jacobi迭代法求解下列线性方程组。设迭代 初值为0，迭代精度为10-6。
10x1 x2 9, x1 10x2 2 x3 7, 2 x 10x 6. 2 3
在命令中调用函数文件Jacobi.m，命令如下： A=[10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10]; b=[9,7,6]';
(2) QR分解
对矩阵X进行QR分解，就是把X分解为一个正交矩阵 Q和一个上三角矩阵R的乘积形式。QR分解只能对 方阵进行。MATLAB的函数qr可用于对矩阵进行 QR分解，其调用格式为：
(1) [Q,R]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q和一个上 三角矩阵R，使之满足X=QR。
(2) [Q,R,E]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q、一个上 三角矩阵R以及一个置换矩阵E，使之满足XE=QR。 实现QR分解后，线性方程组Ax=b的解x=R\(Q\b)或 x=E(R\(Q\b))。
(完整word版)Matlab求解优化问题

(完整word版)Matlab求解优化问题

预备知识：M 文件简介在MATLAB 中，用户可以利用Edtior （编辑器）建立M 文件，然后在命令窗口中的“>>”提示符下键入M 文件的主文件名，回车执行.MATLAB 的M 文件有两类：命令文件和函数文件。

将原本要在MATLAB 环境下直接输入的语句，放在一个以 .m 为后缀的文件中，这一文件就称为命令文件；函数文件由五部分组成：函数定义行、H1行、函数帮助文本、函数体、注释，MATLAB 的内部函数都是由函数文件定义的。

1.11 优化(最值、数学规划)在数学上，优化问题包括最值问题和数学规划问题等，后者又包括线性规划、整数规划（含0-1规划）、二次规划等.在MATLAB 中，求解最值问题的命令主要有：fminbnd (f,x1,x2) 求一元函数f 在区间[x1,x2]上的最小值点[x,fval]=fminbnd(f,x1,x2) 求一元函数f 在区间[x1,x2]上的最小值点和最小值 fminsearch (’f’,x0) 求多元函数f 在点x0附近的最小值点[x,fval]=fminsearch(’f’,x0) 求多元函数f 在点x0附近的最小值点和最小值例1.11.1 求函数23)(2++=x x x f 在区间]5,5[-上的最小值点和最小值. >> [x,fval]=fminbnd('x^2+3*x+2',-5,5) x =-1.5000 fval =-0.2500例1.11.2 求函数21212122),(x x x x x x f ++=在点)1,1(附近的最小值点和最小值. >> [x,fval]= fminsearch('x(1)*x(2)+2/x(1)+2/x(2)',[1 1]) x =1.2599 1.2599 fval =4.7622在MATLAB 中，求解数学规划问题的命令主要有：（1）线性规划⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=⋅≤=ub x lb beq x Aeq bAx t s x c z T ..min命令：[x,fval]=linprog (c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)在上述命令中，当某些参数空缺时，可用[]代替或省略，下同。

如何在Matlab中进行数学建模和优化问题求解

如何在Matlab中进行数学建模和优化问题求解

如何在Matlab中进行数学建模和优化问题求解在当今信息时代，数学建模和优化问题求解在各个领域都扮演着重要的角色。

而Matlab作为一种功能强大的数学软件，在数学建模和优化问题求解方面具有广泛的应用和影响力。

本文将介绍如何在Matlab中进行数学建模和优化问题求解的具体步骤以及一些常用的工具和技巧。

一、数学建模数学建模是指将实际问题转化为数学模型，并通过数学方法对问题进行分析和求解的过程。

在Matlab中进行数学建模，首先要明确问题的数学模型。

一般来说，数学模型分为离散模型和连续模型两种类型。

离散模型主要是指离散的数据，比如图论、网络流等问题。

在Matlab中，关于离散模型的建模和求解可以使用图论和最短路径算法等工具函数来实现。

比如可以使用graph函数构建图，再使用相应的算法来求解最短路径等问题。

连续模型主要是指连续的函数或方程，比如微分方程、优化问题等。

在Matlab 中，关于连续模型的建模和求解可以使用符号计算工具箱和优化工具箱来实现。

符号计算工具箱可以用来求解微分方程，而优化工具箱可以用来求解优化问题，比如线性规划、非线性规划等。

在进行数学建模时，还需要考虑问题的目标函数和约束条件。

目标函数表示问题的目标是最大化还是最小化，而约束条件则是限制问题解的条件。

在Matlab中，可以使用符号计算工具箱和优化工具箱提供的函数来定义和处理目标函数和约束条件。

比如可以使用syms函数定义符号变量，再使用fmincon函数来求解带有约束条件的优化问题。

在实际进行数学建模时，通常会遇到数据不完整或不准确的情况。

因此，对于这种情况，可以使用插值和拟合技术来对数据进行处理和修复。

在Matlab中，可以使用interp1函数进行插值和拟合，并使用polyfit函数进行多项式拟合。

二、优化问题求解优化问题求解是指在给定的约束条件下，寻找使目标函数达到最优的解。

在Matlab中，有多种常用的优化算法可以用于求解优化问题，比如线性规划、非线性规划、整数规划等。

Matlab解方程与最优化问题求解

Matlab解方程与最优化问题求解



MATLAB 线性方程组求解 MATLAB 非线性方程数值求解 MATLAB常微分方程初值问题的数值解法 MATLAB 最优化问题求解
6.1
线性方程组求解
将包含 n 个未知数，由 n 个方程构成的线性方程组表示为 a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a n1 x1 a n2 x 2 a nn x n bn 其矩阵表示形式为 Ax=b 其中
为检验结果是否正确，输入命令：
LU=L*U LU = 1 5 2
-1 -4 1
1 3 1
说明结果是正确的。例中所获得的矩阵 L 并不是一个下三角矩阵，但经过各行互换后， 即可获得一个下三角矩阵。 利用第②种格式对矩阵 A 进行 LU 分解的命令如下：
[L,U,P]=lu(A) L = 1.0000 0 0.4000 1.0000 0.2000 -0.0769 U = 5.0000 -4.0000
A=[1,-1,1;5,-4,3;2,1,1] A = 1 -1 1 5 -4 3 2 1 1 [L,U]=lu(A) L = 0.2000 -0.0769 1.0000 1.0000 0 0 0.4000 1.0000 0 U = 5.0000 -4.0000 3.0000 0 2.6000 -0.2000 0 0 0.3846
A=[2,1,1;1,2,-1;1,-1,3]; R=chol(A) R = 1.4142 0.7071 0.7071 0 1.2247 -1.2247 0 0 1.0000
可以验证 R'R=A：
R'*R ans = 2.0000 1.0000 1.0000
优化问题的MATLAB求解课件

优化问题的MATLAB求解课件


MATLAB简介
MATLAB是一种高级编程语言和交互 式环境，主要用于数值计算、数据分 析和可视化。
它广泛应用于工程、科学、技术和数 学领域，支持多种编程范式，包括面 向对象编程。
MATLAB编程基础
MATLAB使用类似于数学表达式的语 法，支持多种数据类型，包括数组、 矩阵和结构体。
程序流程控制结构包括条件语句、循 环语句和开关语句等。
05
非线性规划问题求解
非线性规划问题概述
1
非线性规划问题是在满足一定约束条件下，寻找 一组变量使得某个目标函数达到最小或最大的问 题。
2
约束条件可以是等式或不等式，目标函数是非线 性函数。
3
非线性规划问题在许多领域都有广泛应用，如机 器学习、数据挖掘、金融、工程等。
MATLAB求解非线性规划问题
此外，MATLAB优化工具 箱还可以用于图像处理、 信号处理等领域。
在生物医学领域， MATLAB优化工具箱可用 于药物研发、疾病预测等 。
04
线性规划问题求解
线性规划问题概述
线性规划问题是在满足一组线性约束条件下，寻 找线性函数的最大或最小值的问题。
线性规划问题通常用于解决资源分配、生产计划 、运输和分配等问题。
整数规划问题实例
问题描述
以最小化总成本为例，考虑一个 生产计划问题，其中包含多个产 品、多个资源、多个工艺流程和 多个约束条件。
数学模型
使用线性整数规划模型描述该问 题，包括决策变量、目标函数和 约束条件。
求解过程
使用MATLAB的优化工具箱进行 求解，并分析求解结果。
感谢您的观看
THANKS
这些函数使用户能够通过 调用函数并传递参数来定
义和解决优化问题。
用MATLAB求解优化问题

用MATLAB求解优化问题

用MATLAB 优化工具箱解线性规划min z=cXbAX t s ≤..1、模型：命令：x=linprog （c ，A ，b ）2、模型：beqAeqX bAX ..min =≤=t s cXz 命令：x=linprog （c ，A ，b ，Aeq,beq ）注意：若没有不等式：b AX ≤存在，则令A=[]，b=[].若没有等式约束,则令Aeq=[],beq=[].3、模型：VUBX VLB beqAeqX bAX ..min ≤≤=≤=t s cXz 命令：[1]x=linprog （c ，A ，b ，Aeq,beq,VLB ，VUB ）[2]x=linprog （c ，A ，b ，Aeq,beq,VLB ，VUB,X0）注意：[1]若没有等式约束,则令Aeq=[],beq=[].[2]其中X0表示初始点4、命令：[x,fval]=linprog(…)返回最优解ｘ及ｘ处的目标函数值fval.例1max 6543216.064.072.032.028.04.0x x x x x x z +++++=85003.003.003.001.001.001.0..654321≤+++++x x x x x x t s 70005.002.041≤+x x 10005.002.052≤+x x 90008.003.063≤+x x 6,2,10 =≥j x j 解编写M 文件小xxgh1.m 如下：c=[-0.4-0.28-0.32-0.72-0.64-0.6];A=[0.010.010.010.030.030.03;0.02000.0500;00.02000.050;000.03000.08];b=[850;700;100;900];Aeq=[];beq=[];vlb=[0;0;0;0;0;0];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)例2321436min x x x z ++=120..321=++x x x t s 301≥x 5002≤≤x 203≥x 解:编写M 文件xxgh2.m 如下：c=[634];A=[010];b=[50];Aeq=[111];beq=[120];vlb=[30,0,20];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub例3（任务分配问题）某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。

实验09数值微积分与方程数值解(第6章)

实验09数值微积分与方程数值解(第6章)

实验09数值微积分与方程数值解（第6章）《数学软件》课内实验王平（第6章MATLAB数值计算）一、实验目的1.掌握求数值导数和数值积分的方法。

2.掌握代数方程数值求解的方法。

3.掌握常微分方程数值求解的方法。

二、实验内容1.求函数在指定点的数值导数某f(某)1程序及运行结果：某2某36某2某3某2,某1,2,3 022.用数值方法求定积分(1)I120cot24in(2t)21dt的近似值。

程序及运行结果：(2)I220ln(1某)d某1某2程序及运行结果：3.分别用3种不同的数值方法解线性方程组6某5y2z5u49某y4zu133某4y2z2u13某9y2u11程序及运行结果：4.求非齐次线性方程组的通解2某17某23某3某463某15某22某32某449某4某某7某22341程序及运行结果（提示：要用教材中的函数程序line_olution）：5.求代数方程的数值解(1)3某+in某-e某=0在某0=1.5附近的根。

程序及运行结果（提示：要用教材中的函数程序line_olution）：(2)在给定的初值某0=1，y0=1，z0=1下，求方程组的数值解。

in某y2lnz70y33某2z10某yz50程序及运行结果：26.求函数在指定区间的极值某3co某某log某(1)f(某)在(0,1)内的最小值。

e某程序及运行结果：332(2)f(某1,某2)2某1在[0,0]附近的最小值点和最小值。

4某1某210某1某2某2程序及运行结果：7.求微分方程的数值解，并绘制解的曲线某d2ydy5y0d某2d某y(0)0y'(0)0程序及运行结果（注意：参数中不能取0，用足够小的正数代替）：令y2=y,y1=y'，将二阶方程转化为一阶方程组：1'5yy1某1某y2'y2y1y(0)0,y(0)0218.求微分方程组的数值解，并绘制解的曲线y'1y2y3y'yy213y'0.51yy123y1(0)0,y2(0)1,y3(0)1程序及运行结果：3三、实验提示四、教程：第6章MATLAB数值计算（2/2）6.2数值微积分p1556.2.1数值微分1.数值差分与差商对任意函数f(某)，假设h>0。

Matlab 课后习题集

Matlab 课后习题集

Matlab程序设计课程实验目录Matlab操作实验（第1章）实验指导思考练习矩阵运算实验（第2章）实验指导思考练习程序设计实验（第3章）实验指导思考练习高级绘图实验（第4章）实验指导思考练习数据分析与多项式计算实验（第5章）实验指导思考练习解方程与最优化问题求解实验（第6章）实验指导思考练习数值运算实验（第7章）实验指导思考练习符号实验（第8章）实验指导思考练习图形句柄实验（第9章）实验指导思考练习图形用户界面设计实验（第10章）实验指导思考练习Simulink动态仿真实验（第11章）实验指导思考练习外部接口技术实验（第12章）实验指导思考练习1、Matlab操作实验一、实验内容1. 第一章实验内容1：path(path,’系统盘名:\matlab文件名\要添加的文件名’)如：path(path,’c:\matlab701\my work’)实验内容-2例1-1：x=[0:0.5:360]*pi/180;plot(x,sin(x),x,cos(x));例1-2p=[3,7,9,0,-23];x=roots(p)例1-3quad(‘x.*log(1+x)’,0,1)例1-4：实验内容3Help 函数名如：help inv help plot等实验内容4（1）x=0:pi/10:2*pi;y=sin(x);二、思考练习思考题1启动：有三种常见方法，（1）、在Windows桌面，单机任务栏上的‚开始‛按钮，选择‚所有程序‛菜单项，然后选择MATLAB程序组中的MATLAB （版本号）程序选项，即可启动。

（2）、在MATLAB的安装路径中找到MATLAB系统启动程序matlab.exe，然后运行它。

（3）、利用建立快捷方式功能，将MATLAB系统启动程序以快捷方式的形式放在Windows桌面上，以后只要在桌面上双击该图标即可启动MATLAB。

关闭：常见的也有3种方法，（1）、在MATLAB主窗口file菜单中选择exit MATLAB命令。

第6章_MATLAB数值计算_part2

第6章_MATLAB数值计算_part2


6.2.2 数值积分

b a b
f ( x)dx p1 ( x)dx (b a )
a
b
f (a ) f (b) 2 ab
( f (a) 4 f ( ) f (b)) 数值积分方法 6 2 n 1 求解定积分的数值方法多种多样， h T f ( a ) f ( b ) 2 f ( a kh ) n 如简单的梯形法、辛普生 2 k 1 (Simpson)• 法、牛顿－柯特斯 h S ( f (x ) 4 f (x ) f ( x 1)) (Newton-Cotes)法等都是经常采 6 用的方法。 h f (a) 4 f ( x ) 2 f ( x ) f (b) 基本思想 6
第6章 MATLAB数值计算
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 数据处理与多项式计算 数值微积分 线性方程组求解 最优化问.1 数值微分（导数） 不关心微分的形式和性质，只关心该微分在一串离散点 的近似值以及所计算的近似值有多大的误差。 MATLAB下求数值导数的两种方法：
I e
0
1
x2
dx
2 被积函数由一个表格定义
在科学实验和工程应用中，函数关系往往是不知道 的，只有实验测定的一组样本点和样本值，这时， 就无法使用quad函数计算其定积分。 在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求 定积分问题用trapz(X,Y)函数。 其中向量X、Y定义函数关系Y=f(X)。
值得一提的是，当已知给出的样本数N0不是2 的幂次时，可以取一个N使它大于N0且是2 的幂次，然后利用函数格式fft(X,N)或 fft(X,N,dim)便可进行快速傅立叶变换。这 样，计算速度将大大加快。 相应地，一维离散傅立叶逆变换函数是ifft。 ifft(F)返回F的一维离散傅立叶逆变换； ifft(F,N)为N点逆变换；ifft(F,[],dim)或 ifft(F,N,dim)则由N或dim确定逆变换的点数 或操作方向。

《基于MATLAB的高等数学问题求解》学习笔记

第六章：函数，极限与连续的MATLAB1 映射与函数。

（1）集合（更多的是用于数组间的运算）：ismember（一个个元素判断是否是子集，返回一个数组）；intersect（求交集，返回结果数组）；setdiff(a,b)（求差集，属于a不属于b的数组）；union （求并集）。

（2）函数：定义方法：y=@(x)f(x)；syms x y=f(x)；y=sym(‘f(x)’);求反函数：finverse(f,t)；求复合函数f(g(x))：y=compose(f,g)；2 求极限。

（1）求数列极限：limit(xn, n, inf)；limit(xn, inf)。

（2）求函数极限：limit(fx, x, x0(, ‘left’) )；limit(fx, x, inf)。

3 函数的连续性与间断点。

（1）判断连续性的函数代码：P144。

（2）判断x0是否是函数f(x)的间断点的函数代码：（P146，文件夹MATLAB学习中的程序储存里）。

实际应用中，可以根据绘图来判定是否是间断点。

（3）求函数区间的方法：P215。

第七章：导数与微分的MATLAB求解1 导数求解：diff(fx,x,n)后面2个可以省略，则是求导函数；隐函数的导数求解见P156的2个例子；稍微总结就是把y定义为y=sym(‘y(x)’)，然后定义隐函数的表达式为F=…，把表达式等号右侧置为0，左侧为F函数表达式，之后：diff(F,x)。

参数方程确定的函数的导数P157。

2 洛必达法则：P168.3 泰勒公式：P172.另外，MATLAB有taylor(fx,x,n,a)。

MATLAB提供了泰勒级数逼近分析界面：taylortool，4 函数的凹凸性与曲线的单调性：求函数单调区间及各个区间单调性的判定：P175。

求凹凸性与拐点的程序：P179。

求方程实根从而可以进行一些特殊数值表达式的求解（比如（-8）^(1/3)的求解）的函数代码：P176。

优化问题的MATLAB求解


最最 优优 解值
数变数目 向量各标 量系维函
初
可
始
选
点
项
四、线性规划例题
生产规划问题：某厂利用a,b,c三种原料生产A,B,C三种产品， 已知生产每种产品在消耗原料方面的各项指标和单位产品的 利润，以及可利用的数量，试制定适当的生产规划使得该工 厂的总利润最大。
a b c 单位产品利润 （万元）
生产每单位产品所消耗的原料 现有原料数
十、函数fminunc
2.例题：
已知梯形截面管道的参数是：底边长度c，高度h，面积 A=64516mm2，斜边与底边夹角为θ。管道内液体的流速与管 道截面的周长s的倒数成比例关系。试按照使液体流速最大确 定该管道的参数。
解：(1)建立优化设计数学模型
管道截f(面X周) 长
s c 2h sin
(X)
1
XTHX
CTX，其中：
x1
X
x
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4 2 0 H 2 4 0
2 0 C 0
x3
0 0 2
1
(2)编写求解二次规划的M文件：
结果
H=[4,-2,0;-2,4,0;0,0,2]; Aeq=[2,-1,1]; xopt=[2.571,1.143,0.000]
C=[0,0,1];
beq=[4];
%求解一维优化问题
fun=inline(‘(x^3+cos(x)+x*log(x))/exp(x)’,‘x’);%目标函数
x1=0;x2=1;%搜索区间
[xopt,fopt]=fminbnd(fun,x1,x2)
(2)编制一维函数图形的M文件。
ezplot(fun,[0,10])

第6章 MATLAB解方程与最优化问题求解


例6-7 分别用Jacobi迭代和Gauss-Serdel迭代法求 解下列线性方程组，看是否收敛。 命令如下：
a=[1,2,-2;1,1,1;2,2,1];
b=[9;7;6];
[x,n]=jacobi(a,b,[0;0;0])
[x,n]=gauseidel(a,b,[0;0;0])
6.2 非线性方程数值求解
(2) QR分解 对矩阵X进行QR分解，就是把X分解为一个正交矩阵Q 和一个上三角矩阵R的乘积形式。QR分解只能对方 阵进行。MATLAB的函数qr可用于对矩阵进行QR分 解，其调用格式为： [Q,R]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q和一个上三角 矩阵R，使之满足X=QR。
[Q,R,E]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q、一个上三 角矩阵R以及一个置换矩阵E，使之满足XE=QR。
例6-10 设有初值问题，试求其数值解，并与精确解比较
(1) 建立函数文件funt.m。
function yp=funt(t,y) yp=(y^2-t-2)/4/(t+1);
(2) 求解微分方程。
t0=0;tf=10;
y0=2;
[t,y]=ode45('funt',[t0,tf],y0); %求数值解 y1=sqrt(t+1)+1; t' y' y1' %求精确解
x=fsolve('myfun',[0.5,0.5]',optimset('Display','off'))
x= 0.6354
0.3734
将求得的解代回原方程，可以检验结果是否正确， 命令如下： q=myfun(x)
q= 1.0e-009 * 0.2375 0.2957 可见得到了较高精度的结果。

第6讲 Matlab 方程求解与优化问题

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x= 0.6354
0.3734
将求得的解代回原方程，可以检验结果是否正确， 命令如下： q=myfun(x) q=
1.0e-009 *
0.2375 0.2957
可见得到了较高精度的结果。
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6.2 无约束最优化问题求解
6.2.1 非线性一元函数的最小值 Matlab 命令为 fminbnd, 其调用格式为 X=fminbnd(fun, x1, x2) [X, fval, exitflag, output]=fminbnd(fun, x1, x2) 其中, fun 为目标函数, x1, x2 为变量的边界约束, 即 x1≤x≤x2, x 为最小值点，fval 为最小值。
fx=x-10.^x+2;
(2) 调用 fzero 函数求根。 z=fzero('funx',0.5) z= 0.3758
sin x Ex: 求方程 x 0 在 x0 0.5 附近的根。 x
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6.1.2 非线性方程组的求解
对于非线性方程组 F(X)=0，用 fsolve 函数求其数值解。 fsolve 函数的调用格式为：
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例 6-4 求函数 f(x) 在区间 [-2, 2] 上的最小值和相应的 x 值。
f ( x)
x5 x3 x 2 1 e sin x
x2
解：Matlab 程序为 fun='(x^5+x^3+x^2-1)/(exp(x^2)+sin(-x))' ezplot(fun,[-2,2]) % 绘图 [X,fval,exitflag,output]= fminbnd(fun,-2,2)
X =0.2176 fval =-1.1312 exitflag =1 output = iterations: 12 funcCount: 13 algorithm: 'golden section search, parabolic interpolation' message: [1x112 char]

最优化问题的matlab求解


3
1.1 代数方程的图解法
1.1.1 一元方程的图解法
【例1】
2020/1/5
4
1.1.2 二元方程的图解法
【例2】
2020/1/5
5
1.2 多项式型方程的准解析解法
【例3】
2020/1/5
6
2020/1/5
7
【例4】
2020/1/5
8
【例5】
2020/1/5
9
2020/1/5
10
【例6】
代数方程与最优化问题 的计算机求解
2020/1/5
1
主要内容
代数方程的求解 无约束最优化问题求解 有约束最优化问题的计算机求解 整数规划问题的计算机求解
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2
1.代数方程的求解
代数方程的图解法 多项式型方程的准解析解法 一般非线性方程数值解
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2020/1/5
20
2.1 解析解法和图解法
2020/1/5
21
【例11】
2020/1/5
22
2020/1/5
23
2.2 基于 MATLAB 的数值解法
2020/1/5
24
【例12】
2020/1/5
25
2020/1/5
26
2020/1/5
27
2.3 全局最优解与局部最优解
【例13】
2020/1/5
2020/1/5
11
【例7】
2020/1/5
12
1.3 一般非线性方程数值解
2020/1/5
13
2020/1/5
14
【例8】
2020/1/5

最优化问题的matlab求解


x13

x
2 2

x3

80
2个不等式约束，
2个等式约束
3个决策变量x1，x2，x3 如果nonlcon以‘mycon1’作为参数值，则程序 mycon1.m如下
(4) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’) (5)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’,options)
输出极值点 M文件 迭代的初值 变量上下限 参数说明
(6) [x,fval]= fmincon(...) (7) [x,fval,exitflag]= fmincon(...) (8)[x,fval,exitflag,output]= fmincon(...)
1、解析解法和图解法
f
f
f
x1
|xx0
0, x2
|xx0
0,...,
xn
|xx0
0
例：用解析法求解以下函数的最小值
z e3t sin(4t 2) 4e0.5t cos 2t 0.5
>>syms t; y=exp(-3*t)*sin(4*t+2)+4*exp(-0.5*t)*cos(2*t)-0.5; ezplot(y,[0 4]) y1=diff(y); ezplot(y1,[0 4]) t0=solve(y1) y2=diff(y1); b=subs(y2,t,t0)
>> c=[-2,-1,-4,-3,-1]; A=[0 2 1 4 2;3 4 5 -1 -1]; b=[54;62]; Ae=[];Be=[]; xm=[0,0,3.32,0.678,2.57]; ff=optimset; rgeScale=‘off’;%是否采用大规模算法 ff.TolX=1e-15;%解的控制精度 ff.Display=‘iter’;%显示信息的级别 [X,f,flag,c]=linprog(c,A,b,Ae,Be,xm,[],[],ff)
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在Jacobi迭代过程中，计算时，已经得到，不必再用， 即原来的迭代公式Dx(k+1)=(L+U)x(k)+b可以改进为 Dx(k+1)=Lx(k+1)+Ux(k)+b，于是得到： x(k+1)=(D-L)-1Ux(k)+(D-L)-1b
该式即为Gauss-Serdel迭代公式。和Jacobi迭代相比， Gauss-Serdel迭代用新分量代替旧分量，精度会高 些。
例6-5 用Jacobi迭代法求解下列线性方程组。设迭代 初值为0，迭代精度为10-6。
在命令中调用函数文件Jacobi.m，命令如下：
A=[10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10];
b=[9,7,6]';
[x,n]=jacobi(A,b,[0,0,0]',1.0e-6)
2．Gauss-Serdel迭代法
命令执行时，出现错误信息，说明A为非正定矩阵。
6.1.2 迭代解法 迭代解法非常适合求解大型系数矩阵的方程组。在数 值分析中，迭代解法主要包括 Jacobi迭代法、 Gauss-Serdel迭代法、超松弛迭代法和两步迭代法。
1．Jacobi迭代法(雅可比)
对于线性方程组Ax=b，如果A为非奇异方阵，即 aii≠0(i=1,2,…,n)，则可将A分解为A=D-L-U，其中 D为对角阵，其元素为A的对角元素，L与U为A的 下三角阵和上三角阵，于是Ax=b化为：
[L,U,P]=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个下三角阵 L以及一个置换矩阵P，使之满足PX=LU。当然矩 阵X同样必须是方阵。 实现LU分解后，线性方程组Ax=b的解x=U\(L\b)或 x=U\(L\Pb)，这样可以大大提高运算速度。
例6-2 用LU分解求解例6-1中的线性方程组。 命令如下： A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];
MATLAB程序设计教程（第二版）
刘卫国 主编
中国水利水电出版社
第6章 MATLAB解方程与最优化问题求解

MATLAB线性方程组求解 MATLAB非线性方程数值求解


MATLAB常微分方程初值问题的数值解法
MATLAB最优化问题求解
6.1 线性方程组求解
6.1.1 直接解法 1．利用左除运算符的直接解法
x=D-1(L+U)x+D-1b
与之对应的迭代公式为：
x(k+1)=D-1(L+U)x(k)+D-1b 这就是Jacobi迭代公式。如果序列{x(k+1)}收敛于x， 则x必是方程Ax=b的解。
Jacobi迭代法的MATLAB函数文件Jacobi.m如下：
function [y,n]=jacobi(A,b,x0,eps) if nargin==3 eps=1.0e-6; elseif nargin<3 error return end D=diag(diag(A)); %求A的对角矩阵 L=-tril(A,-1); %求A的下三角阵 U=-triu(A,1); %求A的上三角阵 B=D\(L+U); f=D\b; y=B*x0+f; n=1; %迭代次数 while norm(y-x0)>=eps x0=y; y=B*x0+f; n=n+1; end
例6-4 用Cholesky分解求解例6-1中的线性方程组。 命令如下： A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];
b=[13,-9,6,0]';
R=chol(A) ??? Error using ==> chol
Matrix must be positive definite
function yp=funt(t,y)
yp=(y^2-t-2)/4/(t+1);
(2) 求解微分方程。 t0=0;tf=10;
y0=2;
[t,y]=ode23('funt',[t0,tf],y0); %求数值解 y1=sqrt(t+1)+1; t' y' y1' %求精确解
例6-11 求解著名的Van der Pol方程。
对于线性方程组Ax=b，可以利用左除运算符“\”求解：
x=A\b
例6-1 用直接解法求解下列线性方程组。
命令如下： A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];
b=[13,-9,6,0]';
x=A\b
2．利用矩阵的分解求解线性方程组
矩阵分解是指根据一定的原理用某种算法将一个矩 阵分解成若干个矩阵的乘积。常见的矩阵分解有 LU分解、QR分解、Cholesky分解，以及Schur分 解、Hessenberg分解、奇异分解等。
b=[13,-9,6,0]';
[L,U]=lu(A); x=U\(L\b)
或采用LU分解的第2种格式，命\P*b)
(2) QR分解 对矩阵X进行QR分解，就是把X分解为一个正交矩阵Q 和一个上三角矩阵R的乘积形式。QR分解只能对方 阵进行。MATLAB的函数qr可用于对矩阵进行QR分 解，其调用格式为： [Q,R]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q和一个上三角 矩阵R，使之满足X=QR。
其中fname是待求根的函数文件名，x0为搜索的起点。一个 函数可能有多个根，但fzero函数只给出离x0最近的那个根。 tol控制结果的相对精度，缺省时取tol=eps，trace指 • 定迭代 信息是否在运算中显示，为1时显示，为0时不显示，缺省 时取trace=0。
例6-8 求f(x)=x-10x+2=0在x0=0.5附近的根。 步骤如下： (1) 建立函数文件funx.m。
function fx=funx(x)
fx=x-10.^x+2; (2) 调用fzero函数求根。
z=fzero('funx',0.5)
z= 0.3758
6.2.2 非线性方程组的求解 对于非线性方程组F(X)=0，用fsolve函数求其数值解。 fsolve函数的调用格式为： X=fsolve('fun',X0,option) 其中X为返回的解，fun是用于定义需求解的非线性方程组的 函数文件名，X0是求根过程的初值，option为最优化工具 箱的选项设定。最优化工具箱提供了20多个选项，用户可 以使用optimset命令将它们显示出来。如果想改变其中某 个选项，则可以调用optimset()函数来完成。例如，Display 选项决定函数调用时中间结果的显示方式，其中‘off’为 不显示，‘iter’表示每步都显示，‘final’只显示最终结 果。optimset(‘Display’,‘off’)将设定Display选项为 ‘off’。
例6-7 分别用Jacobi迭代和Gauss-Serdel迭代法求解 下列线性方程组，看是否收敛。
命令如下：
a=[1,2,-2;1,1,1;2,2,1];
b=[9;7;6];
[x,n]=jacobi(a,b,[0;0;0])
[x,n]=gauseidel(a,b,[0;0;0])
6.2 非线性方程数值求解 6.2.1 单变量非线性方程求解 在MATLAB中提供了一个fzero函数，可以用来求单变量非 线性方程的根。该函数的调用格式为： z=fzero('fname',x0,tol,trace)
(1) LU分解
矩阵的LU分解就是将一个矩阵表示为一个交换下 三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积形式。线性 代数中已经证明，只要方阵A是非奇异的，LU 分解总是可以进行的。
MATLAB提供的lu函数用于对矩阵进行LU分解，其 调用格式为：
[L,U]=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个变换形式 的下三角阵L(行交换)，使之满足X=LU。注意， 这里的矩阵X必须是方阵。
例6-9 求下列非线性方程组在(0.5,0.5) 附近的数值解。
(1) 建立函数文件myfun.m。 function q=myfun(p) x=p(1); y=p(2); q(1)=x-0.6*sin(x)-0.3*cos(y); q(2)=y-0.6*cos(x)+0.3*sin(y); (2) 在给定的初值x0=0.5,y0=0.5下，调用fsolve函数求方程的 根。 x=fsolve('myfun',[0.5,0.5]',optimset('Display','off')) x=
[t,y]=ode45('fname',tspan,y0)
其中fname是定义f(t,y)的函数文件名，该函数文件必 须返回一个列向量。tspan形式为[t0,tf],表示求解区 间。y0是初始状态列向量。t和y分别给出时间向量 和相应的状态向量。
例6-10 设有初值问题，试求其数值解，并与精确解 相比较。 (1) 建立函数文件funt.m。
[Q,R,E]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q、一个上三 角矩阵R以及一个置换矩阵E，使之满足XE=QR。
实现QR分解后，线性方程组Ax=b的解x=R\(Q\b)或 x=E(R\(Q\b))。
例6-3 用QR分解求解例6-1中的线性方程组。 命令如下： A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];
b=[13,-9,6,0]';
[Q,R]=qr(A); x=R\(Q\b)
或采用QR分解的第2种格式，命令如下：
[Q,R,E]=qr(A); x=E*(R\(Q\b))
(3) Cholesky分解
如果矩阵X是对称正定的，则Cholesky分解将矩阵X分 解成一个下三角矩阵和上三角矩阵的乘积。设上三 角矩阵为R，则下三角矩阵为其转置，即X=R'R。