高三数列复习讲座 Microsoft Word 文档

第三章 数列知识点网络图：数列基础知识定义项，通项数列表示法数列分类等差数列等比数列定义通项公式前n 项和公式性质特殊数列其他特殊数列求和数列第一讲 数列的概念(两课时) 高考要求理解数列的概念，了解数列通项公式的意义；了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项 一、知识点归纳1、数列：按照一定次序排列的一列数（与顺序有关）2、通项公式：数列的第n 项an 与n 之间的函数关系用一个公式来表示an=f(n)。

（通项公式不唯一）3、递推公式:用前n 项的值与它相邻的项之间的关系表示各项,如a1=1,an=1+2an-14、数列分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列5、任意数列{a n }中，前n 项和S n 与通项a n 的关系为：⎩⎨⎧∈≥-===-)N n ,2( )1( 111n S S n S a a n n n(数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++). 6，求数列的最大（小）项，通常要先讨论数列的单调性：可以利用通项公式的函数性质，也可以由),(1=<>+n n a a 解出数列递增（递减）的范围。

二、例题选讲考点一 由数列的前几项求通项公式1、根据下面各数列前几项，写出一个通项（1）3, 5, 7, 9… (2)3, 5, 9, 17, 33…(3) -1，4，-9，16 （4）9，99，999，9999考点二由递推公式求通项公式2、根据下列各个数列{a n}的首项和递推关系，求其通项公式：（1）a 1=1 ，a n=a n-1+3n-1(n2)(2) a 1=1 ，a n=1nna n-1(n2)(3) a1= 12,a n+1 =12a n+1(n N)考点三数列a n的通项与前n项和S n的关系3、下面各数列的前n项和S n的公式,求{a n}的通项公式.(1) S n=2n2-3n (2) S n= 3n-14、已知数列{a n}的通项公式9(1)()10nna n试问数列{an}有没有最大项?若有,求最大项和最大项的项数;若无,说明理由.高考试题再现1． 在等差数列{}n a 中，1910a a +=，则5a 的值为（A ）5 （B ）6（C ）8 （D ）102．已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =(A)3.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432s a =-，2332S a =-，则公比q =（A ）3（B ）4 （C ）5 （D ）64．已知等比数列{m a }中，各项都是正数，且1a ，321,22a a 成等差数列，则91078a a a a +=+A.1+B. 1C. 3+D 3-5、首项为24-的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是（ D ） A. 83d > B. 3d < C. 833d ≤< D. 833d <≤6．数列{a n }中，a 1 =1/3，前n 项和S n 满足S n+1 －S n =（1 / 3）n + 1 (n ∈)N *.（I）求数列{a n}的通项公式a n 以及前n项和S n（II）若S 1，t（S 1+ S 2），3（S 2+ S 3）成等差数列，求实数t的值.学习数列应体现观察、归纳、猜想、总结的思想；通项公式可以看成n为自变量的函数，因此要注意数列的函数特点，有时可以用研究函数的方法研究数列。

第二讲数列求和(一)一、知识要点若干个数排成一列称为数列。

数列中的每一个数称为一项。

其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。

通项公式：第n项=首项+(项数-1)×公差项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1二、精讲精练例题1、有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项? 【思路导航】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算。

项数=(52-4)÷6+1=9，即这个数列共有9项。

边学边练：等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项?例题2、有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少?【思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。

要求第100项，可根据“末项=首项+公差×(项数-1)”进行计算。

第100项=3+4×(100-1)=399.边学边练：一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少?例题3、有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。

请求出这个数列所有项的和。

【思路导航】如果我们把1.2.3.4，…，99，100与列100，99，…，3.2.1相加，则得到(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(99+2)+(100+1)，其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2.就是所求数列的和。

1+2+3+…+99+100=(1+100)×100÷2=5050上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：等差数列总和=(首项+末项)×项数÷2这个公式也叫做等差数列求和公式。

高考数学专题讲座 第4讲 等差数列与等比数列一、考纲要求1．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能够应用这些知识解决一些问题．2．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能够运用这些知识解决一些问题．二、基础过关1．在首项为81，公差为-7的等差数列{}n a 中，最接近零的是第（ ）．A ． 11项B ．12项C ．13项D ．14项2．已知等差数列{}n a 中，0≠n a ，若1>m ，且0211=-++-m m m a a a ，3812=-m S ，则m 等于( ) ．A ．38B ．20C ．10D ．93．数列{}n a 中，11=a ，对所有*N n ∈都有221n a a a n = ，则=+53a a （ ）．A ．1661 B ．925 C ．1625 D ．15314．（03年全国）设{a n }是首项为1的正项数列，且（n +1）a 2n +1-na n 2+a n +1a n =0(n=1,2,3,…),它的通项公式是__ _．5．如果一个数列{}n a 满足h a a n n =+-1，其中h 为常数，2,*≥∈n N n ，则称数列{}n a 为等和数列，h 为公和，n S 是其前n 项和．已知等和数列{}n a 中311-==h a ，，则=2004a ，=2005S ．6．设数列{}n a ，{}n b 分别为正项等比数列，n n R T ,分别为数列{}n a lg 与{}n b lg 的前n 项和，且12+=n nR T n n ，则55log a b 的数值为_________． 三、典型例题例1 已知数列{}n a 中，b na a a a n n +=-=+11,40，其中a ，b 为常数，且∈n N *，∈a N *，b 为负整数．（1）用a ，b 表示n a ；（2）若0,087<>a a ，求通项公式．例2 （04年湖南）已知数列{}n a 是首项为a 且公比不等于1的等比数列，S n 是其前n 项和，a 1,2a 7,3a 4成等差数列．（1）证明12S 3, S 6, S 12-S 6成等比数列；（2）求和 T n =a 1+2a 4+3a 7+---+na 3n -2 ．例3 数列{}n a 中，2,841==a a 且满足)(212N n a a a n n n ∈-=++．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n a a a S +++= 21，求n S ； （3）设)12(1n n a n b -=,)(21N n b b b T n n ∈+++= ，是否存在最大的整数m ，使得对任意n ∈N ,均有32mT n >成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． 例 4 在直角坐标平面上有一点列 ),(,),(),,(222111n n n y x P y x P y x P ，对一切正整数n ，点n P 位于函数4133+=x y 的图象上，且n P 的横坐标构成以25-为首项，1-为公差的等差数列{}n x ． （1）求点n P 的坐标；（2）设抛物线列 ,,,,,321n c c c c 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴，第n 条抛物线n c 的顶点为n P ，且过点)1,0(2+n D n ，记与抛物线n c 相切于n D 的直线的斜率为n k ，求：nn k k k k k k 13221111-+++ ． （3）设{}1,,2|≥∈==n N n x x x S n ，{}1,4|≥==n y y y T n ，等差数列{}n a 的任一项T S a n ∈，其中1a 是T S 中的最大数，12526510-<<-a ，求{}n a 的通项公式．四、热身演练1．（20XX 年天津文）等差数列}{n a 中，已知311=a ，452=+a a ，33=n a ，则n 为（ ）． A ．48B ．49C ．50D ．512．（20XX 年天津）若S n 是数列{}n a 的前n 项和，且,2n S n =则}{n a 是（ ）．A ．等比数列，但不是等差数列B ．等差数列，但不是等比数列C ．等差数列，而且也是等比数列D ．既非等比数列又非等差数列3．（20XX 年福建）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若9535=a a ，则=59S S（ ）． A ．1 B ．1- C ．2 D ．214．（20XX 年上海）若数列{}n a 前8项的值各异，且n n a a =+8，对任意的*N n ∈都成立，则下列数列中可取遍{}n a 前8项值的数列为（ ）．A ．{}12+k aB ．{}13+k aC ．{}14+k aD ．{}16+k a5．等差数列{}n a 共有2n 项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且3312-=-a a n ，则该数列的公差为（ ）．A ．3B ．3-C ．2-D ．1-6．等差数列{}n a 中，104,36139-=-=S S ，已知等比数列{}n b 的7755,a b a b ==，则=6b ．7．（04年北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和． 5，______________，这个数列的前n ________________．8．（99年全国）在等差数列{}n a 中，满足7473a a =，且01>a ，n S 是数列{}n a 前n 项的和，若n S 取得最大值，则n = ．9．（20XX 年浙江）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，))(1(31*N n a S n n ∈-=． （1）求21,a a ；（2）求证：数列{}n a 是等比数列．10．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知434131S S 与的等比中项为551S ，434131S S 与的等差中项为1，求等差数列{}n a 的通项． 11．（04年重庆）设a 1=1,a 2=35,a n +2=35a n +1-32a n (n =1,2,---)，令b n =a n +1-a n (n =1,2---)． （1）求数列{b n }的通项公式； （2）求数列{na n }的前n 项的和S n ．12．已知数列{}n a 是公差0≠d 的等差数列，其前n 项和为n S ．（1）求证：点),(,),2,2(),1,1(2211nS n P SP S P n n 在同一条直线1l 上； （2）过点),2(),,1(2211a Q a Q 作直线2l ，设θ的夹角为与21l l ，求证：42tan ≤θ．答案 二、基础过关 1、C 2、C 3、A 4、n 1 5、-4，-3005 6、199三、案例探究1、 解：（1） b na a a n n +=-+1 ，()()()()()()b a b a na b a na a a a a a a n n n n ++++-++-=-++-+-∴--- 212211 又40)1(2)1(,401+-+-=∴=b n a n n a a n .(2)为负整数，且，b N a b a a b a a ,,040728040621*87∈<++=>++= ∴由线性规划知识知:,10,1-==b a5022122+-=∴n n a n 2、 （Ⅰ）证明 由4713,2,a a a 成等差数列， 得41734a a a +=，即 .3436aq a aq += 变形得 ,0)1)(14(33=-+q q 所以14133=-=q q 或（舍去）.由 .1611211)1(121)1(123316136=+=----=q qq a q q a S S .1611111)1(1)1(166611216126612==-+=-----=-=-q q q q a q q a S S S S S 得.12661236S S S S S -= 所以12S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列. （Ⅱ）解：.3232)1(36323741--++++=++++=n n n naqaq aq a na a a a T 即 .)41()41(3)41(212a n a a a T n n --⋅++-⋅+-⋅+= ①①×)41(-得： a n a n a a a T n n n )41()41()41(3)41(24141132---⋅++-⋅+-⋅+=--.)41()54(54)41()41(1])41(1[a n a a n a n n n -⋅+-=-⋅-----=所以 .)41()542516(2516a n a T n n -⋅+-=3、解 （1）由a n+2=2a n+1－a n ⇒a n+2－a n+1=a n+1－a n ,可知{a n }成等差数列，d=1414--a a =－2 ∴a n =10－2n（2）由a n =10－2n ≥0得n ≤5，∴当n ≤5时，S n =－n 2+9n ；当n>5时，S n =n 2－9n+40故S n =⎪⎩⎪⎨⎧+-+-409922n n n n 551>≤≤n n （n ∈N ）（3）b n =)12(1n a n -=)22(·1+n n =21(n 1－11+n )∴T n = b 1+b 2+…+b n=21[(1－21)+(21－31)+…+(n 1－11+n )] =12121)1(2T T T nn n n n n >>>=->+--∴要使T n >32m 总成立，需32m <T 1=41恒成立，即m<8，（m ∈Z ）.故适合条件的m 的最大值为7.4、解：（1）23)1()1(25--=-⨯-+-=n n x n 1353533,(,3)4424n n n y x n P n n ∴=⋅+=--∴----（2）n c 的对称轴垂直于x 轴，且顶点为n P .∴设n c 的方程为：,4512)232(2+-++=n n x a y 把)1,0(2+n D n 代入上式，得1=a ，n c ∴的方程为：1)32(22++++=n x n x y .32|0'+===n y k x n ，)321121(21)32)(12(111+-+=++=∴-n n n n k k n nn n k k k k k k 13221111-+++∴ )]321121()9171()7151[(21+-+++-+-=n n =641101)32151(21+-=+-n n （3）}1,),32(|{≥∈+-==n N n n x x S ，}1,),512(|{≥∈+-==n N n n y y T }1,,3)16(2|{≥∈-+-==n N n n y y ,S T T ∴=T 中最大数171-=a .设}{n a 公差为d ，则)125,265(91710--∈+-=d a ，由此得 ).(247,24),(12,129248**N n n a d N m m d T a d n n ∈-=∴-=∴∈-=∴∈-<<- 又 四、热身演练1、C2、B3、A4、B5、B6、24±7、3 当n当n8、99、解 (1)由)1(3111-=a S 得)1(3111-=a a ，211-=∴a ，又)1(3122-=a S ，即)1(31221-=+a a a ，得412=a . (2)当2≥n 时，1113131)1(31)1(31----=---=-=n n n n n n n a a a a S S a ，得211-=-n n a a ，所以{}n a 是首项为21-，公比为21-的等比数列.10、解法一：设等差数列{a n }的首项a 1=a ，公差为d ，则其通项为根据等比数列的定义知S 5≠0，由此可得解法二：依题意，得11、解：（I ）因121+++-=n n n a a b n n n n n n b a a a a a 32)(323235111=-=--=+++故{b n }是公比为32的等比数列，且故,32121=-=a a b ),2,1()32(==n b n n （II ）由得nn n n a a b )32(1=-=+)()()(121111a a a a a a a a n n n n n -++-+-=--++])32(1[232)32()32()32(21n n n -=++++=-注意到,11=a 可得),2,1(3231 =-=-n a n n n . 记数列}32{11--n n n 的前n 项和为T n ，则n n n n n T n T )32()32(23232,)32(322121⋅++⋅+=⋅++⋅+=- 两式相减得,)32(])32(1[3)32()32()32(3213112n n n n n n n T --=-++++=-1832)3()1(232)21(32,32)3(9)32(3])32(1[911211-+++=-+++=+++=+-=--=-+-n n nn n n nn n n n n n T n na a a S n n T 从而故12、证明：(1)因为等差数列{a n }的公差d ≠0，所以Kp 1p k 是常数(k=2，3，…，n)．(2)直线l 2的方程为y-a 1=d(x-1)，直线l 2的斜率为d ．。

第2讲数列求和及其综合应用错位相减法求和[学生用书P34]共研典例类题通法错位相减法适用于由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积构成的数列的求和，其依据是：c n ＝a n b n ，其中{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q (q ≠1)的等比数列，则qc n ＝qa n b n ＝a n b n ＋1，此时c n ＋1－qc n ＝(a n ＋1－a n )·b n ＋1＝db n ＋1，这样就把对应相减的项变成了一个等比数列，从而达到求和的目的．(2016·高考山东卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n.求数列{c n }的前n 项和T n .【解】(1)由题意知当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，符合上式．所以a n ＝6n ＋5. 设数列{b n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，得⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ，可解得b 1＝4，d ＝3. 所以b n ＝3n ＋1.(2)由(1)知c n ＝（6n ＋6）n ＋1（3n ＋3）n＝3(n ＋1)·2n ＋1. 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，所以T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]， 2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]，两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋ (2)＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋4（1－2n ）1－2－（n ＋1）×2n ＋2＝－3n ·2n ＋2， 所以T n ＝3n ·2n ＋2.应用错位相减法求和需注意的问题(1)错位相减法适用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列．(2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后所得部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数．(3)为保证结果正确，可对得到的和取n ＝1，2进行验证． [跟踪训练](2016·兰州模拟)等差数列{a n }中，已知a n ＞0，a 1＋a 2＋a 3＝15，且a 1＋2，a 2＋5，a 3＋13构成等比数列{b n }的前三项．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则由已知得： a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝15，即a 2＝5. 又(5－d ＋2)(5＋d ＋13)＝100， 解得d ＝2或d ＝－13(舍去)，所以a 1＝a 2－d ＝3，a n ＝a 1＋(n －1)×d ＝2n ＋1. 又b 1＝a 1＋2＝5，b 2＝a 2＋5＝10，所以公比q ＝2， 所以b n ＝5×2n －1.(2)因为T n ＝5[3＋5×2＋7×22＋…＋(2n ＋1)×2n －1]， 2T n ＝5[3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n ＋1)×2n ]，两式相减得－T n ＝5[3＋2×2＋2×22＋…＋2×2n －1－(2n ＋1)×2n ]＝5[(1－2n )2n －1]， 则T n ＝5[(2n －1)2n ＋1]．裂项相消法求和[学生用书P35]共研典例类题通法 1．常见的裂项类型 (1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1； (2)1n （n ＋k ）＝1k ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋k ；(3)1n 2－1＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1；(4)14n 2－1＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；(5)n ＋1n （n －1）·2n ＝2n －（n －1）n （n －1）·2n ＝1（n －1）2n －1－1n ·2n. 2．裂项相消法求和的基本思想是把数列的通项公式a n 分拆成a n ＝b n ＋k －b n (k ≥1，k ∈N *)的形式，从而达到在求和时某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列{a n }的通项公式，使之符合裂项相消的条件．(2016·海口调研测试)在等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 1＝7，且a 2，a 5，a 10成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式及其前n 项和S n ； (2)若b n ＝5a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .【解】(1)因为a 2，a 5，a 10成等比数列， 所以(7＋d )(7＋9d )＝(7＋4d )2， 又因为d ≠0，所以d ＝2，所以a n ＝2n ＋5，S n ＝（7＋2n ＋5）n 2＝n 2＋6n .(2)由(1)可得b n ＝5（2n ＋5）（2n ＋7）＝52⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋5－12n ＋7， 所以T n ＝52⎝ ⎛⎭⎪⎫17－19＋19－111＋…＋12n ＋5－12n ＋7＝5n14n ＋49.裂项相消法的技巧在裂项时要注意把数列的通项分拆成的两项一定是某个数列中的相邻的两项，或者是等距离间隔的两项，只有这样才能实现逐项相消，只剩余有限的几项，从而求出其和．[跟踪训练](2016·石家庄模拟)已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．[解] (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝100， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.(2)由(1)知，b n ＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫11－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.分组转化求和[学生用书P35]共研典例类题通法 分组转化求和的三种类型分组转化求和是把数列之和分为几组，每组中的各项是可以利用公式(或其他方法)求和的，求出各组之和即得整体之和，这类试题一般有如下三种类型：(1)数列是周期数列，先求出每个周期内的各项之和，然后把整体之和按照周期进行划分，再得出整体之和；(2)奇偶项分别有相同的特征的数列(如奇数项组成等差数列、偶数项组成等比数列)，按照奇数项和偶数项分组求和；(3)通项中含有(－1)n 的数列，按照奇数项、偶数项分组，或者按照n 为奇数、偶数分类求和．(2016·呼和浩特模拟)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＝2a n －1＋(n －2)(n ≥2，n ∈N *)． (1)证明：数列{a n ＋n }是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .【解】(1)因为a n ＋n ＝2[a n －1＋(n －1)]，a n ＋n ≠0， 所以{a n ＋n }是首项为4，公比为2的等比数列，所以a n ＋n ＝4×2n －1＝2n ＋1. 所以a n ＝2n ＋1－n .(2)S n ＝(22＋23＋24＋…＋2n ＋1)－(1＋2＋3＋…＋n )＝2n ＋2－n 2＋n ＋82.分组求和的常见方法 (1)根据等差、等比数列分组. (2)根据正号、负号分组.(3)根据数列的周期性分组.[题组通关]1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n －1(n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2017＝( )A ．1009B ．1010C ．－1009D ．－1010B [解析] 因为a n ＝(－1)n －1(n ＋1)，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2017＝(2－3)＋(4－5)＋…＋(2016－2017)＋2018＝1008×(－1)＋2018＝1010.2．设数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，数列{a 2n －1}是首项为1的等差数列，数列{a 2n }是首项为2的等比数列，且满足S 3＝a 4，a 3＋a 5＝a 4＋2.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求S 2n .[解] (1)设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ，则a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1＋d ，a 4＝2q ，a 5＝1＋2d ，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＋d ＝2q ，（1＋d ）＋（1＋2d ）＝2＋2q ，解得d ＝2，q ＝3.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n ＝2k －1，2·3n 2－1，n ＝2k ，(k ∈N *)．(2)S 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝(1＋3＋5＋…＋2n －1)＋(2×30＋2×31＋…＋2×3n －1) ＝（1＋2n －1）n 2＋2（1－3n ）1－3＝n 2－1＋3n .等差、等比数列的综合问题[学生用书P36]共研典例类题通法解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；数列与不等式、函数、方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1a n ＋1－1－1a n －1＝0，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ＋1a n －1，数列{b n }的前n 项和为S n ，证明：S n ＜34.【解】(1)由已知a n ＋1a n ＋1－1－1a n －1＝0，n ∈N *，得（a n ＋1－1）＋1a n ＋1－1－1a n －1＝0，即1＋1a n ＋1－1－1a n －1＝0，亦即1a n ＋1－1－1a n －1＝－1(常数)．所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －1是以1a 1－1＝－2为首项， －1为公差的等差数列．可得1a n －1＝－2＋(n －1)×(－1)＝－(n ＋1)，所以a n ＝nn ＋1.(2)证明：因为b n ＝a n ＋1a n －1＝（n ＋1）2n （n ＋2）－1＝1n （n ＋2）＝12⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12⎝⎛⎭⎫12－14＋12⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＜12×⎝⎛⎭⎫1＋12＝34.解决数列综合问题的方法(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便.(2)数列的项或前n 项和可以看作关于n 的函数，然后利用函数的性质求解数列问题.(3)数列中的恒成立问题可以通过分离参数，通过求数列的值域求解. [跟踪训练](2016·武汉模拟)已知S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝－52.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1（2n ＋1）a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .[解] (1)设{a n }的公差为d (d ≠0)， 因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以S 22＝S 1S 4，即(2a 1＋d )2＝a 1(4a 1＋6d )，化简得d 2＝2a 1d .因为d ≠0，所以d ＝2a 1.① 因为a 3＝－52，所以a 1＋2d ＝－52.②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－12d ＝－1，所以a n ＝－12＋(n －1)×(－1)＝－n ＋12.(2)因为b n ＝1（2n ＋1）a n ＝1（2n ＋1）⎝⎛⎭⎫－n ＋12＝－2（2n ＋1）（2n －1）＝12n ＋1－12n －1，所以T n ＝⎝⎛⎭⎫13－1＋⎝⎛⎭⎫15－13＋⎝⎛⎭⎫17－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n －1＝－1＋12n ＋1＝－2n 2n ＋1. 课时作业[学生用书P120(独立成册)]1．设各项均为正数的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4a 8＝32，则S 11的最小值为( ) A ．22 2B ．442C ．22D ．44B [解析] 因为数列{a n }为各项均为正数的等差数列，所以a 4＋a 8≥2a 4a 8＝82，S 11＝（a 1＋a 11）×112＝112(a 4＋a 8)≥112×82＝442，故S 11的最小值为442，当且仅当a 4＝a 8＝42时取等号．2．已知在数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|等于( ) A ．445 B ．765 C ．1080D ．3105B [解析] 因为a n ＋1＝a n ＋3，所以a n ＋1－a n ＝3. 所以{a n }是以－60为首项，3为公差的等差数列． 所以a n ＝－60＋3(n －1)＝3n －63. 令a n ≤0，得n ≤21. 所以前20项都为负值． 所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30| ＝－(a 1＋a 2＋…＋a 20)＋a 21＋…＋a 30 ＝－2S 20＋S 30.因为S n ＝a 1＋a n 2n ＝－123＋3n 2×n ，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|＝765.3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋1a n －1＝a n (n ≥2)，则数列{a n }的前40项和S 40等于( )A ．20B ．40C ．60D ．80C [解析] 由a n ＋1＝a na n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，可得a 3＝3，a 4＝1，a 5＝13，a 6＝13，a 7＝1，a 8＝3，…，这是一个周期为6的数列，一个周期内的6项之和为263，又40＝6×6＋4，所以S 40＝6×263＋1＋3＋3＋1＝60.4．(2016·郑州模拟)设等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1＝12，a 24＝4a 2a 8，若1b n＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ，则数列{b n }的前10项和为( )A ．－2011B.2011C ．－95D.95A [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 24＝4a 2a 8，所以(a 1q 3)2＝4a 1q ·a 1q 7，即4q 2＝1，所以q ＝12或q ＝－12(舍)，所以a n ＝⎝⎛⎭⎫12n ＝2－n ，所以log 2a n ＝log 22－n ＝－n ，所以1b n ＝－(1＋2＋3＋…＋n )＝－n （1＋n ）2，所以b n ＝－2n （1＋n ）＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以数列{b n }的前10项和为－2⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13⎦⎤＋…＋⎝⎛⎭⎫110－111＝－2·⎝⎛⎭⎫1－111＝－2011. 5．设b n ＝a n （a n ＋1）（a n ＋1＋1）(其中a n ＝2n －1)，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 5＝( )A.3133B.3233C.3166D.1633C [解析] 由题意得，b n ＝2n －1（2n －1＋1）（2n ＋1）＝12n －1＋1－12n ＋1，所以T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋1－121＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋1－122＋1＋…＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋1－12n ＋1＝12－12n ＋1，所以T 5＝12－133＝3166.6．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )＞f (x )g ′(x )，且f (x )＝a x g (x )(a＞0，且a ≠1)，f （1）g （1）＋f （－1）g （－1）＝52.若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）g （n ）的前n 项和大于62，则n 的最小值为( )A ．8B ．7C ．6D ．9C [解析] 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）g 2（x ）＞0，知f （x ）g （x ）在R 上是增函数，即f （x ）g （x ）＝a x 为增函数，所以a ＞1.又因为a ＋1a ＝52，所以a ＝2或a ＝12(舍)．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）g （n ）的前n 项和S n ＝21＋22＋…＋2n ＝2（1－2n）1－2＝2n ＋1－2＞62.即2n ＞32，所以n ＞5.7．(2016·海口调研测试)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝12n (n ＝1，2，3，…)，则S 2n ＋3＝________．[解析] 依题意得S 2n ＋3＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2n ＋2＋a 2n ＋3)＝1＋14＋116＋…＋14n ＋1＝1－14n ＋21－14＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n ＋2. [答案]43⎝⎛⎭⎫1－14n ＋28．若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为814，则前4项倒数的和为________．[解析] 设等比数列的首项为a 1，公比为q ，则第2，3，4项分别为a 1q ，a 1q 2，a 1q 3，依题意得a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝9，a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝814⇒a 21q 3＝92，两式相除得a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3a 21q 3＝1a 1＋1a 1q ＋1a 1q 2＋1a 1q3＝2. [答案]29．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 2017＝________．[解析] 因为a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，所以a 1＝12－a 2＝12－2，a 2＝2，a 3＝12－2，a 4＝2，…，故a 2n ＝2，a 2n －1＝12－2，所以S 2017＝1009a 1＋1008a 2＝1009×⎝⎛⎭⎫12－2＋1008×2＝10052. [答案]1005210．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，设S n 为数列{a n }的前n 项和，对于任意的n >1，n ∈N *，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)都成立，则S 10＝________．[解析]因为⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＋S n －1＝2S n ＋2，S n ＋2＋S n ＝2S n ＋1＋2，所以a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，所以数列{a n }从第二项开始为等差数列，当n ＝2时，S 3＋S 1＝2S 2＋2，所以a 3＝a 2＋2＝4，所以S 10＝1＋2＋4＋6＋…＋18＝1＋9（2＋18）2＝91. [答案]9111．(2016·东北四市联考)已知数列{a n }满足a 1＝511，a 6＝－12，且数列{a n }的每一项加上1后成为等比数列．(1)求a n ；(2)令b n ＝|log 2(a n ＋1)|，求数列{b n }的前n 项和T n .[解] (1)由题意数列{a n ＋1}是等比数列，设公比为q ，a 1＋1＝512，a 6＋1＝12＝512×q 5， 解得q ＝14. 则数列{a n ＋1}是以512为首项，14为公比的等比数列， 所以a n ＋1＝211－2n ，a n ＝211－2n －1.(2)由(1)知b n ＝|11－2n |，当n ≤5时，T n ＝10n －n 2，当n ≥6时，T n ＝n 2－10n ＋50，所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －n 2，n ≤5n 2－10n ＋50，n ≥6. 12．(2016·哈尔滨模拟)已知数列{a n }是等比数列，a 2＝4，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 2a n －1，求数列{a n b n }的前n 项和T n .[解] (1)设数列{a n }的公比为q ，因为a 2＝4，所以a 3＝4q ，a 4＝4q 2.因为a 3＋2是a 2和a 4的等差中项，所以2(a 3＋2)＝a 2＋a 4.即2(4q ＋2)＝4＋4q 2，化简得q 2－2q ＝0.因为公比q ≠0，所以q ＝2.所以a n ＝a 2q n －2＝4×2n －2＝2n (n ∈N *)．(2)因为a n ＝2n ，所以b n ＝2log 2a n －1＝2n －1，所以a n b n ＝(2n －1)2n ，则T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)2n －1＋(2n －1)2n ，①2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)2n ＋(2n －1)·2n ＋1，②由①－②得，－T n ＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)2n ＋1＝2＋2×4（1－2n －1）1－2－(2n －1)2n ＋1 ＝－6－(2n －3)2n ＋1，所以T n ＝6＋(2n －3)2n ＋1.13．数列{a n }满足a n ＋1＝a n 2a n ＋1，a 1＝1. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n ，并证明1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＞n n ＋1. [解] (1)证明：因为a n ＋1＝a n 2a n ＋1，所以1a n ＋1＝2a n ＋1a n ，化简得1a n ＋1＝2＋1a n ， 即1a n ＋1－1a n ＝2，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列． (2)由(1)知1a n ＝2n －1，所以S n ＝n （1＋2n －1）2＝n 2. 1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝112＋122＋…＋1n 2＞11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 14．(选做题)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的图象经过点⎝⎛⎭⎫π12，－2，⎝⎛⎭⎫7π12，2，且在区间⎝⎛⎭⎫π12，7π12上为单调函数． (1)求ω，φ的值；(2)设a n ＝nf ⎝⎛⎭⎫n π3(n ∈N *)，求数列{a n }的前30项和S 30. [解] (1)由题可得ωπ12＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，7ωπ12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， 解得ω＝2，φ＝2k π－2π3，k ∈Z ， 因为|φ|＜π，所以φ＝－2π3. (2)因为a n ＝2n sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π3－2π3(n ∈N *)，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π3－2π3(n ∈N *)的周期为3，前三项依次为0，3，－3，所以a 3n －2＋a 3n －1＋a 3n ＝(3n －2)×0＋(3n －1)×3＋3n ×(－3)＝－3(n ∈N *)， 所以S 30＝(a 1＋a 2＋a 3)＋…＋(a 28＋a 29＋a 30)＝－10 3.。

数列高考知识点大扫描数列基本概念数列是一种特殊函数，对于数列这种特殊函数，着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质，依据这些性质将数列分类：依定义域分为：有穷数列、无穷数列； 依值域分为：有界数列和无界数列；依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。

数列的表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）； 数列通项：()n a f n =2、等差数列1、定义 当n N ∈,且2n ≥ 时，总有 1,()n n a a d d +-=常，d 叫公差。

2、通项公式 1(1)n a a n d =+-1）、从函数角度看 1()n a dn a d =+-是n 的一次函数，其图象是以点 1(1,)a 为端点, 斜率为d 斜线上一些孤立点。

2）、从变形角度看 (1)()n n a a n d =+--, 即可从两个不同方向认识同一数列，公差为相反数。

又11(1),(1)n m a a n d a a m d =+-=+-,相减得 ()n m a a n m d -=-，即()n m a a n m d =+-. 若 n>m ，则以 m a 为第一项，n a 是第n-m+1项，公差为d ； 若n<m ，则 m a 以为第一项时，n a 是第m-n+1项，公差为-d.3）、从发展的角度看 若{}n a 是等差数列，则12(2)p q a a a p q d +=++- ，12(2)m n a a a m n d +=++-, 因此有如下命题：在等差数列中，若2m n p q r +=+= , 则2m n p q r a a a a a +=+=.3、前n 项和公式由 1211,n n n n n S a a a S a a a -=+++=+++L L ， 相加得 12n n a a S n +=， 还可表示为1(1),(0)2n n n S na d d -=+≠，是n 的二次函数。

2008届高三数列复习讲座一、教学要求1．了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数。

理解数列的通项公式的意义。

2．理解等差数列的概念；掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式，能运用公式解决一些简单问题。

能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。

了解等差数列与一次函数的关系。

3．理解等比数列的概念；掌握等比数列的通项公式、前n 项和公式，能运用公式解决一些简单问题。

能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。

了解等比数列与指数函数的关系。

探索并、等比数列的通项公式和前n 项和公式。

数列教学，要注意的问题：（1）教学中，应使学生了解数列是一种特殊函数。

（2）会根据简单数列的前几项写出数列的一个通项公式。

（3）教学中，要掌握数列中各量之间的基本关系。

但训练要控制难度和复杂程度，避免繁琐的计算、人为技巧化的难题。

（4）等差数列和等比数列有着广泛的应用，教学中应重视在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系。

这样做，即突出了问题意识，也有助于学生理解数列的本质。

二、考试要求：（A ）数列的有关概念 （C ）等比数列，等差数列 三、题型示例：1．已知数列{}n a 的前n 项的和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k =（中等题）2．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列，11221,a b a b a ==≠，记n S 为数列{}n b 的前n 项的和．（1）若k m b a =（,m k 是大于2的正整数），求证：11(1)k S m a -=-；（2）若3i b a =（i 是某个正整数），求证q 是整数，且数列{}n b 中的每一项都是数列{}n a 中的项；（3）是否存在这样的正数q ，使等比数列{}n b 中有三项成等差数列？若存在，写出一个q 的值，并加以证明；若不存在，请说明理由．（难题） 四、2007年各地数列考查特点1．各地高考数列试题基本上都是一小一大，小题以考查等差（比）数列的通项公式，前n 项和为主，知识点以2-3个为多，解题方法大都是通法（解方程或解方程组），题目为容易题或中等题，在27个题中仅有8题的背景或问题不是等差（比）数列问题（1）（安徽文）3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21a =，33a =，则4S =（2）（北京文理）10．若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-=，，，，则此数列的通项公式为；数列{}n na 中数值最小的项是第项．（3）（福建理）2．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则5S 等于（4）（福建文）2．等比数列{}n a 中，44a =，则26a a 等于（5）（广东文理）13．已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，则其通项n a =；若它的第k 项满足58k a <<，则k =．（6）（海南、宁夏理）4．已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =， 则其公差d =（7）（海南、宁夏文）6．已知a bc d ，，，成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于（8）（海南、宁夏文）16．已知{}n a 是等差数列，466a a +=，其前5项和510S =，则其公差d = ．（9）（湖北理）6．若数列{}n a 满足212n na p a +=（p 为正常数，n *∈N ），则称{}n a 为“等方比数列”．甲：数列{}n a 是等方比数列；乙：数列{}n a 是等比数列，则甲是乙的 条件 （10）（湖北理）8．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则使得n nab 为整数的正整数n 的个数是 个 （11）（湖南理）15．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 ． 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1…… ………………………………………（12）（湖南文）4．在等比数列{}n a （n ∈N*）中，若11a =，418a =，则该数列的前10项和为（13）（江西理）14．已知数列{}n a 对于任意*p q ∈N ，，有p q p q a a a ++=，若119a =，则36a =（14）（江西文）14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则25811a a a a +++=．（15）（辽宁文理）4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（16）（全国Ⅰ理）（15）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为 ．（17）（全国Ⅱ文）14．已知数列的通项52n a n =-+，则其前n 项和n S = ．（18）（陕西理）5．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S 为，若2n S =，214n S =，则4n S 等于（19）（陕西文）5．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22S =，410S =，则6S 等于 （20）（天津理）8．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（21）（重庆理）1．若等比数列{}n a 的前3项和39S =且11a =，则2a 等于 （22）（重庆理）7．若a 是12b +与12b -的等比中项，则22aba b+的最大值为（23）（重庆理）14．设{}n a 为公比1q >的等比数列，若2004a 和2005a 是方程24830x x -+=的两根，则20062007a a +=______．（24）（重庆文）1．在等比数列{}n a 中，25864a a ==，，则公比q 为（25）（重庆文）11是1a -和1a +的等比中项，则3a b +的最大值为 （26）（2005江苏）（3）在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项13a =，前三项和为21，则345a a a ++=（27）（2006江苏）（15）对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列}1{+n a n的前n 项和的公式是 2．数列大题考查方向可以归纳为以下几类： 按背景分类（1）以应用题为背景 (安徽文理21)．（本小题满分14分）某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为1a ，以后每年交纳的数目均比上一年增加(0)d d >，因此，历年所交纳的储备金数目12a a ，，是一个公差为d 的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为(0)r r >，那么，在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为11(1)n a r -+，第二年所交纳的储备金就变为22(1)n a r -+，．以n T 表示到第n 年末所累计的储备金总额．（Ⅰ）写出n T 与1(2)n T n -≥的递推关系式；（Ⅱ）求证：n n n T A B =+，其中{}n A 是一个等比数列，{}n B 是一个等差数列．（2）以定义为背景 （上海理）20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．如果有穷数列123n a a a a ，，，，（n 为正整数）满足条件n a a =1，12-=n a a ，…，1a a n =，即1+-=i n i a a （12i n =，，，），我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列01m m m m C C C ，，，就是“对称数列”．（1）设{}n b 是项数为7的“对称数列”，其中1234b b b b ，，，是等差数列，且21=b ，114=b ．依次写出{}n b 的每一项；（2）设{}n c 是项数为12-k (正整数1>k )的“对称数列”，其中121k k k c c c +-，，，是首项为50，公差为4-的等差数列．记{}n c 各项的和为12-k S ．当k 为何值时，12-k S 取得最大值？并求出12-k S 的最大值；（3）对于确定的正整数1>m ，写出所有项数不超过m 2的“对称数列”，使得211222m -，，，，依次是该数列中连续的项；当m 1500>时，求其中一个“对称数列”前2008项的和2008S ．（上海文）20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．如果有穷数列123ma a a a ，，，，（m 为正整数）满足条件m a a =1，12-=m a a ，…，1a a m =，即1+-=i m i a a （12i m =，，，），我们称其为“对称数列”．例如，数列12521，，，，与数列842248，，，，，都是“对称数列”． （1）设{}n b 是7项的“对称数列”，其中1234b b b b ，，，是等差数列，且21=b ，114=b ．依次写出{}n b 的每一项；（2）设{}n c 是49项的“对称数列”，其中252649c c c ，，，是首项为1，公比为2的等比数列，求{}n c 各项的和S ；（3）设{}n d 是100项的“对称数列”，其中5152100d d d ，，，是首项为2，公差为3的等差数列．求{}n d 前n 项的和n S (12100)n =，，，． （3）以导数或函数、方程为背景 （广东文理）21．（本小题满分14分）已知函数2()1f x x x =+-，αβ，是方程()0f x =的两个根（αβ>），()f x '是()f x 的导数，设11a =，1()(12)()n n n n f a a a n f a +=-='，，． （1）求αβ，的值；（2）证明：对任意的正整数n ，都有n a α>； （3）记ln(12)n n n a b n a βα-==-，，，求数列{}n b 的前n 项和n S ．（湖南理）21．（本小题满分13分）已知()n n n A a b ，（n ∈N*）是曲线xy e =上的点，1a a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足22213n n n S n a S -=+，0n a ≠，234n =，，，…． （I ）证明：数列2n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭（2n ≤）是常数数列；（II ）确定a 的取值集合M ，使a M ∈时，数列{}n a 是单调递增数列； （III ）证明：当a M ∈时，弦1n n A A +（n ∈N*）的斜率随n 单调递增． （辽宁理）21．（本小题满分12分）已知数列{}n a ，{}n b 与函数()f x ，()g x ，x ∈R 满足条件：n n a b =，1()()()n n f b g b n +=∈N*.（I ）若()102f x tx t t +≠≠≥，，，()2g x x =，()()f b g b ≠，lim n n a →∞存在，求x 的取值范围；（II ）若函数()y f x =为R 上的增函数，1()()g x f x -=，1b =，(1)1f <，证明对任意n ∈N*，lim n n a →∞（用t 表示）． （四川文）（22）(本小题满分14分)已知函数f （x ）=x 2－4，设曲线y ＝f （x ）在点（x n ，f （x n ））处的切线与x 轴的交点为（x n +1,u ）（u ,N +），其中为正实数. （Ⅰ）用x x 表示x n +1；（Ⅱ）若a 1=4，记a n =lg 22n n x x +-，证明数列｛a 1｝成等比数列，并求数列｛x n ｝的通项公式；（Ⅲ）若x 1＝4，b n ＝x n －2，T n 是数列｛b n ｝的前n 项和，证明T n <3.（浙江理）（21）（本题15分）已知数列{}n a 中的相邻两项212k k a a -，是关于x 的方程2(32)320k k x k x k -++=的两个根，且212(123)k k a a k -=≤，，，．（I ）求1a ，2a ，3a ，7a ； （II ）求数列{}n a 的前2n 项和2n S ； （Ⅲ）记sin 1()32sin nf n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n nT a a a a a a a a +-----=++++…， 求证：15()624n T n ∈*N ≤≤． （浙江文）19．（本题14分）已知数列{}n a 中的相邻两项212k k a a -，是关于x 的方程2(32)320k kx k x k -++=的两个根，且212(123)k k a a k -=≤，，，．（I ）求1a ，3a ，5a ，7a 及2n a （4n ≥）（不必证明）； （II ）求数列{}n a 的前2n 项和2n S ．（4）没有背景，就是数列问题 按条件分类（1） 给出的条件是递推关系（2） 给出的条件是等差或等比数列 按结论分类一般的有2-3问，第一问是一个简单题（求待定系数的值，求前几项，证明一个结论，求通项），第一误码的解答对第二问的证明或求解会产生影响；第二问大都与不等式有关 （北京文理）15．（本小题共13分） 数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列． （I ）求c 的值；（II ）求{}n a 的通项公式．（福建理）21．（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n项和为1319n S a S ==+， （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S ； （Ⅱ）设()nn S b n n*=∈N ，求证：数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成为等比数列． （福建文）21．（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ； （Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n T ． （湖北文）20．（本小题满分13分）已知数列{}n a 和{}n b 满足：11a =，22a =，0n a >，n b =*n ∈N ），且{}n b 是以q 为公比的等比数列．（I ）证明：22n n a a q +=；（II ）若2122n n n c a a -=+，证明数列{}n c 是等比数列； （III ）求和：1234212111111n na a a a a a -++++++． （湖南文）20．（本小题满分13分）设n S 是数列{}n a （n ∈N*）的前n 项和，1a a =，且22213n n n S n a S -=+，0n a ≠，234n =，，，．（I ）证明：数列2{}n n a a +-（2n ≥）是常数数列；（II ）试找出一个奇数a ，使以18为首项，7为公比的等比数列{}n b （n ∈N*）中的所有项都是数列{}n a 中的项，并指出n b 是数列{}n a 中的第几项． （江苏）20．（本题满分16分）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列，11a b =，221a b a =≠，记n S 为数列{}n b 的前n 项和．（1）若k m b a =（m k ，是大于2的正整数），求证：11(1)k S m a -=-；（4分）（2）若3i b a =（i 是某个正整数），求证：q 是整数，且数列{}n b 中的每一项都是数列{}n a 中的项；（8分）（3）是否存在这样的正数q ，使等比数列{}n b 中有三项成等差数列？若存在，写出一个q 的值，并加以说明；若不存在，请说明理由．（4分）（江西理）22．（本小题满分14分）设正整数数列{}n a 满足：24a =，且对于任何*n ∈N ，有11111122111n n n n a a a a n n ++++<<+-+． （1）求1a ，3a ；（3）求数列{}n a 的通项n a ． （江西文）21．（本小题满分12分） 设{}n a 为等比数列，11a =，23a =． （1）求最小的自然数n ，使2007n a ≥； （2）求和：212321232n nn T a a a a =-+--． （辽宁文）20．（本小题满分12分）已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，11b =，且11113114413144n n n n n n a a b b a b ----⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩（2n ≥）（I ）令n n n c a b =+，求数列{}n c 的通项公式； （II ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式n S ． （全国Ⅰ文理）（22）（本小题满分12分）已知数列{}n a 中12a =，11)(2)n n a a +=+，123n =，，，…． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 中12b =，13423n n n b b b ++=+，123n =，，，…，43n n b a -<≤，123n =，，，…． （全国Ⅰ文）（21）（本小题满分12分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．（全国Ⅱ理）21．（本小题满分12分） 设数列{}n a 的首项113(01)2342n n a a a n --∈==，，，，，，…． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n b a =，证明1n n b b +<，其中n 为正整数． （全国Ⅱ文）17．（本小题满分10分）设等比数列{}n a 的公比1q <，前n 项和为n S ．已知34225a S S ==，，求{}n a 的通项公式． （山东理）（17）（本小题满分12分） 设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=…，a ∈*N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项； （Ⅱ）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． （山东文）18．（本小题满分12分）设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列．（1）求数列{}n a 的等差数列．（2）令31ln 12n n b a n +==，，，，求数列{}n b 的前n 项和T ．（陕西理）22．（本小题满分12分）已知各项全不为零的数列{}n a 的前k 项和为k S ，且11()2k k k S a a k +=∈N*，其中11a =． （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）对任意给定的正整数(2)n n ≥，数列{}n b 满足1k k b b +=1k k na +-（121k n =-，，，），11b =，求12n b b b +++．（陕西文）20．（本小题满分12分）已知实数列{}n a 是等比数列，其中71a =，且451a a +，，6a 成等差数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）数列{}n a 的前n 项和记为n S ，证明：128(123)n S n <=，，，． （天津理）21．（本小题满分14分）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （天津文）（20）（本小题满分12分）在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ．（Ⅰ）证明数列{}n a n -是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅲ）证明不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立．（重庆文理）21．（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分．）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足11S >，且6(1)(2)n n n S a a =++，n ∈N ．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足(21)1n bn a -=，并记n T 为{}n b 的前n 项和，求证：231log (3)n n T a n ->+∈N ，．（2006江苏）（21）（本小题满分14分）11 设数列}{n a 、}{n b 、}{n c 满足：2+-=n n n a a b ，2132++++=n n n n a a a c （n =1,2,3,…）， 证明}{n a 为等差数列的充分必要条件是}{n c 为等差数列且1+≤n n b b （n =1,2,3,…）（2005江苏）23。

23、数列（3）——等比数列一、基础知识（必记）1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从 ，每一项与它的 的比都等于 常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母 表示(q ≠0)． 2．等比数列的基本公式（１）通项公式（２）前ｎ项和的公式Ｓｎ＝ ＝ ＝ ．（３）等比中项： ．3.等比数列的性质（１）对任意的正整数m 、n 、p 、q ，若m ＋n ＝p ＋q ，则 ． 特别地m ＋n ＝2p 则 .（２）若等比数列前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列，即(S 2m －S m )2＝ （m ∈N *，公比q ≠－1)（３）数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列，公比为 .二、基础自测：１、你能发现下列两题的解法错在哪吗？（１）在等比数列{a n }中，它的前n 项和是S n ，当S 3＝3a 3时，求公比q 的值．解∵ S 3＝3a 3，∴ a 1(1－q 3)1－q ＝3a 1·q 2，∴ a 1(q 2＋q ＋1)＝3a 1q 2，∴ 2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12.（２）ac ＝b 2是a ，b ，c 成等比数列的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：若a ，b ，c 成等比数列，∴ b 2＝ac ；若ac ＝b 2，∴ a ，b ，c 成等比数列，选C. 答案：C ２．(2010·全国)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝( )３．在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则公比q 的值是( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3 ４. (2010·辽宁)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和. 已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比q ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6５. 4．若等比数列的公比为2，且前4项和为1，则这个等比数列的前8项和为________．６．设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)，…的前n 项和为S n ，则S n ＝________.三、基本题型１、设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．２、已知单调递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n ＋1>50成立的正整数n 的最小值．３、(1)已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求a n ；(2)有四个正数，前三个数成等差数列，其和为48，后三个数成等比数列，其最后一个数为25，求此四个数．＊＊４.(2010·全国Ⅱ)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2⎝⎛1a 1＋1a 2，a 3＋a 4＋a 5＝64⎝⎛⎭⎫1a 3＋1a 4＋1a 5. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n 2，求数列{b n }的前n 项和T n .＊＊５.(2010·北京海淀二模)若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝pS n ＋r (n ∈N *)，p ，r ∈R ，S n 为数列{a n }的前n 项和． (1)当p ＝2，r ＝0时，求a 2，a 3，a 4的值；(2)是否存在实数p ，r ，使得数列{a n }为等比数列？若存在，求出p ，r 满足的条件；若不存在，说明理由.＊＊＊６.(2010·安徽)设C 1，C 2，…，C n ，…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x 轴的正半轴上，且都与直线y ＝33x 相切. 对每一个正整数n ，圆C n 都与圆C n ＋1相互外切. 以r n 表示C n 的半径，已知{r n }为递增数列．(1)证明：{r n }为等比数列；(2)设r 1＝1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n r n 的前n 项和．四、基础训练： （一）、选择题1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝( )A ．－12B ．－2C ．2D.122．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( )A ．64B ．81C ．128D ．2433．在正项等比数列{a n }中，a 1和a 19为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 8a 10a 12＝( )A ．32B ．±64C ．64D ．256 （二）、填空题4．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 2n ＝14，则S 3n 等于________．5．在所示的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c 的值为________.（三）、解答题6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N ＋)． (1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．五．课后作业：一、选择题1．在等比数列{a n }中，已知a 1a 3a 11＝8，则a 2a 8等于( )A ．16B ．6C ．12D ．42．(2010·浙江)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝( )A ．－11B ．－8C ．5D ．113．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项4．(2010·菱湖模拟)在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于( )A ．2nB ．3nC ．3n－1D ．2n ＋1－25．已知x >0，y >0，x 、a 、b 、y 成等差数列，x 、c 、d 、y 成等比数列，则(a ＋b )2cd的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．46．(2010·哈尔滨模拟)已知等比数列{a n }满足a n >0，n ∈N *，且a 3·a 2n －3＝4n(n >1)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n 2B ．(n ＋1)2C ．n (2n －1)D ．(n －1)2二、填空题7．(2010·株洲模拟)等比数列{a n }中，a n >0且a 5·a 6＝9，则log 3a 2＋log 3a 9＝________.8．在正项数列{a n }中，a 1＝2，点(a n ，a n －1)(n ≥2)在直线x －2y ＝0上，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________. 9．在数列{a n }，{b n }中，b n 是a n 与a n ＋1的等差中项，a 1＝2，且对任意n ∈N ＋，都有3a n ＋1－a n ＝0，则{b n }的通项公式b n ＝________.10．已知函数f (x )＝2x ＋3，数列{a n }满足：a 1＝1且a n ＋1＝f (a n )(n ∈N *)，则该数列的通项公式a n ＝________. （三）、解答题11．(2010·陕西)已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列．(1)求数列{a n }的通项； (2)求数列{2a n }的前n 项和S n .12．(2010·上海)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n －5a n －85，n ∈N *.(1)证明：{a n －1}是等比数列；(2)求数列{S n }的通项公式. 请指出n 为何值时，S n 取得最小值，并说明理由．。

3．4等比数列——学习等比数列要与等差数列比照着学习,这是类比思想的典型范例一、明确复习目标1．理解等比数列的概念和性质；2．掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能用公式 解决简单问题.二．建构知识网络1．等比数列定义从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.10n na q a +=≠为常数,且第每项不为零.2．通项公式11-=n n q a a ,推广:mn m n q a a -=,变式),,(*-∈>=N n m m n a a q mn mn3．前n 项和111(1)(1)(01)11nn n na q S a q a a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩、, q ≠1时，m n S S =mnq q --11. 注:应用前n 项和公式时,一定要区分q=1与q ≠1的两种不同情况,必要的时候要分类讨论. 4．等比中项:若a 、b 、c 成等比数列,则b 是a 、c 的等比中项,且ac b ±= 5．等比数列{a n }的性质:(1)若q p n m a a a a N q p n m q p n m ⋅=⋅∈+=+*则,,,, (2)下标成等差数列的项构成等比数列 (3)连续若干项的和也构成等比数列. 6．证明数列为等比数列的方法: (1)定义法:若{}为等比数列数列n nn a N n q a a ⇔∈=*+)(1(2)等比中项法:若{}2120,()n n n n a a a n N a *++=⋅≠∈⇔数列为等比数列(3)通项法:若{}为等比数列数列的常数均是不为n n n a N ，n q c cq a ⇔∈=*)0,((4)前n 项和法:若(,0,1)n n S Aq A A q q q =-≠≠⇔为常数,且数列{}n a 为等比数列。

7．解等比数列题的常见思维方法 (1)方程的思想(“知三求二”问题) ;(2)转化化归思想; 化归为等比数列,转化为基本量; (3)分类的思想:q =1和q ≠1; 由a n+1－a n =a 1q n-1(q －1)讨论增减等. (4)等比数列中,次数较高时,常作同除.三、双基题目练练手1.(2006湖北)若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且a+3b+c=10，则a= （ ） A.4 B.2 C.-2 D.-42.银行一年定期的年利率为r ，三年定期的年利率为q ，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q 的值应略大于 ( )A.1)1(3-+rB.31［（1+r ）3－1］ C.（1+r ）3－1D.r3.（2006辽宁）在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则S n 等于 ( )（A ）122n +-（B ）3n（C ） 2n（D ）31n -4.（2006北京）设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈ ，则()f n 等于( )（A ）2(81)7n- （B ）12(81)7n +- （C ）32(81)7n +- （D ）42(81)7n +-5. 在2与6之间插入n 个数，使它们组成等比数列，则这个数列的公比为6. 已知等比数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=7，a 1a 2a 3=8，则通项公式为简答:1-4.DBCD; 2.由题意得（1+r ）3＜1+3q ，故q ＞31［（1+r ）3－1］;4.通项a n =23n-2,f(n)是前n+4项的和; 5. 13+n6.转化为基本量a 1，q ， a n =2n －1或a n =23－n .四、经典例题做一做【例1】 (2006陕西) 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① 代n=1得10a 1=a 12+5a 1+6，a 1=2或a 1=3 又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2)，②由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1)，即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n ≥2)当a 1=3时，a 3=13，a 15=73 a 1， a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3;当a 1=2时， a 3=12， a 15=72， 有 a 32=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －3【例2】等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项中，数值最大的一项是54，若该数列的前n 项之和为S n ，且S n =80，S 2n =6560，求：（1）前100项之和S 100. （2）通项公式a n .解：设公比为q ，由已知得 S n =q q a n--1)1(1=80， ①S 2n =qq a n --1)1(21=6560， ②由②÷①解得,q n =81,q >1, （∵a n ＞0）,可知最大项为a n =a 1q n －1 ③ q n =81代入①③得a 1=2，q =3， （1）前100项之和S 100=13)13(2100--=3100－1.（2）通项公式为a n =2·3n －1.提炼方法:1.转化为基本量;2. 解方程次数较高时除一下可降次.3.判定最大项的方法.【例3】 （2005全国Ⅲ）在等差数列{a n }中，公差d ≠0,且a 2是a 1和a 4的等比中项,已知a 1,a 3,,a ,a ,a ,a n321k k k k 成等比数列，求数列k 1,k 2,k 3,…,k n 的通项k n 解：由题意得：4122a a a = 即)3()(1121d a a d a +=+ 又0,d ≠d a =∴1 a n =na 1又 ,,,,,,2131nk k k a a a a a 成等比数列,∴该数列的公比3313===dd a a q ，其中第n+2项:113+⋅=n k a a n又1nk n a k a =13+=∴n n k 所以数列}{n k 的通项为13+=n n k方法步骤:1.推a 1=d, a n =na 1;q=a 3÷a 1=3,113nn k a a +=⋅;2.比较nk a 在两数列中的式子.【例4】已知12a =，点1(,)n n a a +在函数2()2f x x x =+的图象上(1,2,3,n = ) （1）证明数列{lg(1)}n a +是等比数列；（2）设12(1)(1)(1)n n T a a a =+++ ，求n T 及数列{}n a 的通项；解：（Ⅰ）由已知212n n n a a a +=+，211(1)n n a a +∴+=+ 12a =11n a ∴+>，两边取对数得1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+，即1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+ {lg(1)}n a ∴+是公比为2的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知11lg(1)2lg(1)n n a a -+=⋅+ 1122lg 3lg 3n n --=⋅=1213n n a -∴+= （*）12(1)(1)n T a a ∴=++n …(1+a )12222333=⋅⋅⋅⋅n-12…321223+++=n-1…+2=n2-13由（*）式得1231n n a -=-【研讨.欣赏】设数列｛a n ｝，a 1＝65，若以a 1，a 2，…，a n 为系数的二次方程：a n －1x 2－a n x ＋1＝0（n ∈Ｎ*且n ≥2）都有根α、β满足3α－αβ＋3β＝1.（1）求证:｛a n －21｝为等比数列； （2）求a n ；（3）求｛a n ｝的前n 项和S n .证明（1）∵α＋β＝1-n n a a ，αβ＝11-n a 代入3α－αβ＋3β＝1得a n ＝31a n －1＋31，∴21211---n n a a ＝2121313111--+--n n a a ＝31为定值. ∴数列｛a n －21｝是等比数列.解（2）∵a 1－21＝65－21＝31，∴a n －21＝31×（31）n －1＝（31）n .∴a n ＝（31）n ＋21.解（3）S n ＝（31＋231+…+n31)+2n ＝311)311(31--n+2n ＝21+n －n321⨯.五．提炼总结以为师1.等比数列的概念和性质，证明数列{a n }是等比数列的方法：2.等比数列的通项公式与前n 项和公式的求法与应用;五个元素a 1，a n ，n ，q ，S n 中知三，可求另两个.次数较高时可除或换元; 3.思想.方法 :转化为基本量,利用性质,方程的思想,类比思想.同步练习 3．4等比数列 【选择题】1.在公比q ≠1的等比数列{a n }中，若a m =p,则a m+n 的值为 （ ） （A ）pq n+1 （B ）pq n-1 （C ）pq n （D ）pq m+n-12.在等比数列{a n }中，a 9+a 10=a(a 0≠),a 19+a 20=b,则a 99+a 100的值为 （ ） （A ）89ab （B ）（ab ）9（C ）910ab（D ）（ab ）103.设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q =2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30=230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于 ( ) A.210 B.220 C.216 D.2154. 若等比数列的各项均为正数，前n 项之和为S ，前n 项之积为P ，前n 项倒数之和为M ，则 ( )（A ）P =MS （B ）P ＞MS （C ）n M S P⎪⎭⎫ ⎝⎛=2（D ）2P ＞nM S ⎪⎭⎫ ⎝⎛ 【填空题】5.（2003上海）若首项为a 1，公比为q 的等比数列{a n }的前n 项和总小于这个数列的各项和，则首项a 1，公比q 的一组取值可以是（a 1，q ）=___________.6.设{a n }是首项为1的正项数列，且（n +1）a n +12－na n 2+a n +1a n =0（n ∈N *），则它的通项公式a n =______________.简答.提示：1-4.CABC; 3. a 1·a 2·a 3=（qa 3）3，故a 1·a 2·a 3·…·a 30=（1030963qa a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅）3.又q =2，故a 3·a 6·a 9·…·a 30=220.选B; 4.特例法,设为常数列a,可知选C; 5.由题意qq a n--1)1(1＜qa -11且|q |＜1对n ∈N 都成立，∴a 1＞0，0＜q ＜1.答案：（1，21）（a 1＞0，0＜q ＜1的一组数）; 6. 分解因式得［（n +1）a n +1－na n ］·［a n +1+a n ］=0，又a n ＞0，则（n +1）a n +1－na n =0，即nn a a 1+=1+n n .又a 1=1，由累积法可得a n =n1.【解答题】7.数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1=a 1，b n =a n －a n －1（n ≥2），若a n +S n =n . （1）设c n =a n －1，求证：数列{c n }是等比数列； （2）求数列{b n }的通项公式.证明（1）：∵a 1=S 1，a n +S n =n ，∴a 1+S 1=1，得a 1=21.又a n +1+S n +1=n +1，两式相减得2（a n +1－1）=a n －1，即111--+n n a a =21，也即nn c c 1+=21，故数列{c n }是等比数列.（2）解：∵c 1=a 1－1=－21，∴c n =－12n，a n =c n +1=1－n21，a n －1=1－121-n .故当n ≥2时，b n =a n －a n －1=121-n －n21=n21.又b 1=a 1=21，即b n =n21（n ∈N *）.8.设数列｛a n ｝、｛b n ｝（b n ＞0，n ∈Ｎ*），满足a n ＝nb b b nlg lg lg 21+⋅⋅⋅++（n ∈Ｎ*），证明：｛a n ｝为等差数列的充要条件是｛b n ｝为等比数列.证明：充分性：若｛b n ｝为等比数列，设公比为q ，则a n ＝nqqq b n n )lg(lg 121-⋅⋅⋅⋅⋅⋅+＝nqb n n n 2)1(1lg lg -+＝lg b 1＋（n －1）lg q 21，a n ＋1－a n ＝lg q 21为常数，∴｛a n ｝为等差数列. 必要性：由a n ＝nb b b nlg lg lg 21+⋅⋅⋅++得na n ＝lg b 1＋lg b 2＋…＋lg b n ，（n ＋1）a n ＋1＝lg b 1＋lg b 2＋…＋lg b n ＋1，∴n （a n ＋1－a n ）＋a n ＋1＝lg b n ＋1.若｛a n ｝为等差数列，设公差为d ， 则nd ＋a 1＋nd ＝lg b n ＋1，∴b n ＋1＝10nd a 21+，b n ＝10d n a )1(21-+. ∴nn b b 1+＝102d为常数.∴｛b n ｝为等比数列.9. 设数列{a n }前n 的项和为 S n ，且*).(32)3(N n m ma S m n n ∈+=+-其中m 为常数，0,3≠-≠m m 且（1）求证：{a n }是等比数列；（2）若数列{a n }的公比满足q =f (m )且1113,()(*,2),2n n b a b f b n N n -==∈≥1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭求证为等差数列，并求n b解：（1）由(3)23n n m S m a m -+=+，得11(3)23,n n m S m a m ++-+=+ 两式相减，得 1(3)2,(3)n n m a m a m ++=≠-12,3n na m a m +∴=+{}n a ∴是等比数列111111112(2)1,(),2,3233()22311133.311{}131121,333.2n n n n n n n n nn nnn m b a q f m n N n m b b f b b b b b b b b b n n b b n ------====∈≥+==⋅++=⇒-=∴-+∴=+==+由且时，得是为首项为公差的等差数列,故有点评：为了求数列{}n b 的通项，用取＂倒数＂的技巧，得出数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的递推公式，从而将其转化为等差数列的问题10.已知数列{a n }中，a 1=65，并且数列log 2（a 2－31a ），log 2（a 3－32a ），…，log 2（a n +1－3n a ）是公差为－1的等差数列，求数列{a n }的通项公式.分析：由数列{log 2（a n +1－3n a ）}为等差数列及等差数列的通项公式，可求出a n +1与a n 的一个递推关系式解：∵数列{log 2（a n +1－3n a ）}是公差为－1的等差数列，∴log 2（a n +1－3n a ）=log 2（a 2－31a 1）+（n －1）（－1）=log 2（3619－31×65）－n +1=－（n +1），于是有a n +1－3n a =2－（n +1）. 两边同乘2n+1得112221,3n nn n a a ++⋅=⋅+记1111222(2),221,333n nn nn n n n a p a p a a p ++++⋅+=⋅+⋅=⋅+=-代得即{23}n n a ⋅-是等比数列,首项14223,33a q ⋅-=-=公比14223()33nn n a -∴⋅-=-∴a n =n 23－n 32. 【探索题】 数列{}{}n n b a ,的通项公式分别是,23,2+==n b a n n n 它们公共项由小到大排列的数列是{}n c ,①写出{}n c 的前5项 ②证明{}n c 是等比数列思维分析:容易证明{}n c 是等比数列,由定义式,只需找出{}n c 中任意相邻两项关系即可.解(1) {}n c 的前5项为:8、32、128、512、2048 （2）设,232mm p n n a b c c p ==∴==+,而a m+1=2·2m =2(3p+2)=3(2p+1)+1,∴a m+1不在{b n }中;又a m+2=4·2m =4·(3p+2)=3·(4p+2)+2∴a m+2在{b n }中{}{}是等比数列故项中的项即是n n n n n m c c c c c a ,4,112=∴∴+++特别识记:本题是很特别的方法,与前面两个等差数列中相同的项构成的新数列的求法是不同的.应特别的记一记.备选题3.(2006湖南)若数列}{n a 满足: 311=a , 且对任意正整数n m ,都有n m n m a a a ⋅=+,则=++++∞→)(lim 21n n a a a (A)A ．21 B ．32 C ．23 D ．21.若等比数列{a n }的公比q ＜0，前n 项和为S n ，则S 8a 9与S 9a 8的大小关系是 A.S 8a 9＞S 9a 8B.S 8a 9＜S 9a 8C.S 8a 9=S 9a 8D.不确定解析：由等比数列通项公式和前n 项和公式得 S 8·a 9－S 9·a 8 =－qq a --1)1(81·a 1q 3－qq a --1)1(91·a 1q 7=qa qqq a ----1)]()[(16716821=qq q a --1)(7821=－a 12q 7.又q ＜0，则S 8·a 9－S 9·a 8＞0，即S 8·a 9＞S 9·a 8. 答案：A5. 已知数列｛a n ｝为等差数列，公差d ≠0，｛a n ｝的部分项组成下列数列：a 1k ，a 2k ，…，a nk ，恰为等比数列，其中k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，求k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n .剖析：运用等差（比）数列的定义分别求得a nk ，然后列方程求得k n .解：设｛a n ｝的首项为a 1，∵a 1k 、a 2k 、a 3k 成等比数列∴（a 1＋4d ）2＝a 1（a 1＋16d ）得a 1＝2d ，q ＝12k k a a ＝3.∵a nk ＝a 1＋（k n －1）d ，又a nk ＝a 1·3n －1，∴k n ＝2·3n －1－1.∴k 1＋k 2＋…＋k n ＝2（1＋3＋…＋3n －1）－n＝2×3131--n－n ＝3n －n －1.思悟提炼：运用等差（比）数列的定义转化为关于k n 的方程是解题的关键，转化时要注意项数间的对应关系：a nk 是等差数列中的第k n 项，而是等比数列中的第n 项.。

课题：高三数列复习教师：黄建平学校：华师大松江实验高级中学我说课的内容是《高三数列复习》。

我把说课内容分成教材分析、学情分析及课时安排、知识结构框架、重难点解析四个部分。

一．教材分析：（一）数列的地位作用：数列是高中数学的重要内容之一，也是与大学数学相衔接的内容，在测试学生逻辑推理能力和理性思维水平，以及考查学生创新意识和创新能力等方面有不可替代的作用。

它的地位作用可以从以下几方面来看：⑴数列作为一种定义在正整数集（或其有限子集）上的特殊函数，与函数思想密不可分；学习数列一方面可以加深学生对函数概念的认识，使他们了解不仅可以有自变量连续变化的函数，还可以有自变量离散变化的函数；另一方面，又可以从函数的观点出发变动地、直观地研究数列的一些问题，以便对数列性质的认识更深入一步。

⑵数列是反映自然规律的基本数学模型之一。

通过对日常生活和现实世界中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列两种数学模型，有利于培养数学抽象能力，发展数学建模能力。

而数学归纳法是一种重要的证明方法，在数学的各分支学科中也被广泛使用。

（二）数列的考点分析：在历年高考试题中，数列占有重要地位，近几年更是有所加强。

这些试题不仅考查数列、等差数列和等比数列、数列极限以及数学归纳法等基本知识、基本技能，而且常与函数、方程、不等式、解析几何等知识相结合，考查学生在数学学习和研究过程中知识的迁移、组合、融会，进而考查学生的学习潜能和数学素养，为考生展现其创新意识和发挥创造能力提高广阔的空间，所以经常以中高档题出现，而且主要以应用题和探索题的面目出现。

（三）复习的总体目标：根据教材、课标、考纲对数列知识点的要求，归纳对数列这一章复习的总体目标如下：1．理解数列的有关概念，理解数列的通项公式及前n 项的求和公式的含义2．理解等差数列、等比数列的概念，熟练掌握其通项公式与前n 项求和公式，能运用这些知识进行有关的计算和证明，并能把等差数列、等比数列的有关性质进行类比。

高中数学复习专题讲座高考要求数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前n 项和公式都能够看作项数n 的函数，是函数思想在数列中的应用 数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n 项和S n 可视为数列{S n }的通项 通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一，与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，本点的动态函数观点解决相关问题，为其提供行之有效的方法重难点归纳1 数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同 所以在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性2 数列{a n }前n 项和S n 与通项a n 的关系式 a n =⎩⎨⎧≥-=-2,1,11n S S n S n n①作新数列法 作等差数列与等比数列 ②累差叠加法 最基本形式是a n =(a n －a n －1 ) + (a n －1+a n －2) +…+ (a 2－a 1) + a 11122111a a aa a a a a a n n n n n n ⋅⋅⋅=---- ③归纳、猜想法④递推数列：)(1n f a a n n +=- )(1n f a a n n=- d ca a n n +=-1 4 数列前n 项和常用求法①重要公式：1+2+…+n =21n (n +1) ， 12+22+…+n 2=61n (n +1)(2n +1) 13+23+…+n 3=(1+2+…+n )2=41n 2(n +1)2②等差数列中S m +n =S m +S n +mnd ，等比数列中S m +n =S n +q n S m =S m +q m S n③裂项求和 将数列的通项分成两个式子的代数和，即a n =f (n +1)－f (n )，然后累加时抵消中间的很多项 应掌握以下常见的裂项1111,!(1)!!,ctg ctg2,(1)1sin 2n n n n ααn n n n α=-⋅=+-=-++11111C C C ,(1)!!(1)!n r rn n nn n n -+=-=-++等 ④错项相消法 ⑤并项求和法数列通项与和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法典型题例示范讲解例1已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x )=(x －1)2，且a 1=f (d －1)，a 3=f (d +1)，b 1=f (q +1)，b 3=f (q －1)，(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }的前n 项和为S n ，对一切n ∈N *，都有nn c c b c b c +++ 2111=a n +1成立，求lim∞→n nn S S 212+命题意图 本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前n 项和公式、数列的极限，以及运算水平和综合分析问题的水平知识依托 本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显，而(2)中条件等式的左边可视为某数列前n 项和，实质上是该数列前n 项和与数列{a n }的关系，借助通项与前n 项和的关系求解c n 是该条件转化的突破口错解分析 本题两问环环相扣，(1)问是基础，但解方程求基本量a 1、b 1、d 、q ，计算不准易出错；(2)问中对条件的准确理解和转化是关键技巧与方法 本题(1)问使用函数思想转化为方程问题，思路较为自然，(2)问“借鸡生蛋”构造新数列{d n }使用和与通项的关系求出d n ，丝丝入扣解 (1)∵a 1=f (d －1)=(d －2)2，a 3=f (d +1)=d 2， ∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ，∵d =2，∴a n =a 1+(n －1)d =2(n －1)； 又b 1=f (q +1)=q 2，b 3=f (q －1)=(q －2)2，∴2213)2(qq b b -==q 2，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2，()!2!!x b n a r n r →∞--∴b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1(2)令nn b c=d n ，则d 1+d 2+…+d n =a n +1,(n ∈N *),∴d n =a n +1－a n =2, ∴n n b c =2,即c n =2·b n =8·(－2)n －1；∴S n =38［1－(－2)n ］ ∴2lim ,1)21(2)21()2(1)2(121222212212-=--+-=----=+∞→++n n n n n n n n n S S S S 例2、设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，并且对于所有的自然数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项(1)写出数列{a n }的前3项(2)求数列{a n }的通项公式(写出推证过程)(3)令b n =)(2111+++n n n n a a a a(n ∈N *)，求lim ∞→n (b 1+b 2+b 3+…+b n －n )解析 (1)由题意，当n =1时，有11222S a =+，S 1=a 1， ∴11222a a =+，解得a 1=2 当n =2时，有22222S a =+，S 2=a 1+a 2，将a 1=2代入，整理得(a 2－2)2=16，由a 2＞0，解得a 2=6当n =3时，有33222S a =+，S 3=a 1+a 2+a 3， 将a 1=2，a 2=6代入，整理得(a 3－2)2=64，由a 3＞0，解得a 3=10 故该数列的前3项为2，6，10(2）解法一 由(1）猜想数列{a n } 有通项公式a n =4n －2 下面用数学归纳法证明{a n }的通项公式是a n =4n －2，(n ∈N *） ①当n =1时，因为4×1－2=2，，又在(1)中已求出a 1=2，所以上述结论成立②假设当n =k 时，结论成立，即有a k =4k －2，由题意，有k k S a 222=+，将a k =4k －2 代入上式，解得2k =k S 2，得S k =2k 2，由题意，有11222++=+k k S a ，S k +1=S k +a k +1， 将S k =2k 2代入得(221++k a )2=2(a k +1+2k 2)，整理得a k +12－4a k +1+4－16k 2=0，由a k +1＞0，解得a k +1=2+4k ， 所以a k +1=2+4k =4(k +1)－2，即当n =k +1时，上述结论成立根据①②，上述结论对所有的自然数n ∈N *成立解法二 由题意知n n S a 222=+，(n ∈N *) 整理得，S n =81(a n +2)2,由此得S n +1=81(a n +1+2)2，∴a n +1=S n +1－S n =81［(a n +1+2)2－(a n +2)2］整理得(a n +1+a n ）(a n +1－a n －4)=0， 由题意知a n +1+a n ≠0，∴a n +1－a n =4，即数列{a n }为等差数列，其中a 1=2，公差d =4∴a n =a 1+(n －1)d =2+4(n －1)，即通项公式为a n =4n －2解法三 由已知得n n S a 222=+,(n ∈N *) ①，所以有11222++=+n n S a ②，由②式得11222++=+-n n n S S S ，整理得S n +1－22·1+n S +2－S n =0，解得n n S S ±=+21，因为数列{a n }为正项数列，而2,211>+∴=+n n S S S ， 因而n n S S +=+21，即{S n }是以21=S 为首项，以2为公差的等差数列所以n S = 2+(n －1) 2=2n ,S n =2n 2，故a n =⎩⎨⎧≥-=-=-)2(,24)1(,21n n S S n n n 即a n =4n －2(n ∈N *)(3)令c n =b n －1，则c n =)2(2111-+++n n n n a a a a1212111[(1)(1)],221212121n n n n n n +-=-+-=--+-+ 1212n n b b b n c c c +++-=+++111111(1)()()1,335212121n n n =-+-++-=--++121()(1) 1.lim lim 21n n n b b b n n →∞→∞∴+++-=-=+ 例3、数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ； （Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n T ． 解：（Ⅰ）12n n a S +=，12n n n S S S +∴-=，13n nS S +∴=．又111S a ==， ∴数列{}n S 是首项为1，公比为3的等比数列，1*3()n n S n -=∈N ．当2n ≥时，21223(2)n n n a S n --==≥，21132n n n a n -=⎧∴=⎨2⎩， ，，≥．（Ⅱ）12323n n T a a a na =++++，当1n =时，11T =；当2n ≥时，0121436323n n T n -=++++，…………①12133436323n n T n -=++++，………………………②-①②得：12212242(333)23n n n T n ---=-+++++-213(13)222313n n n ---=+--11(12)3n n -=-+-．1113(2)22n n T n n -⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭≥又111T a ==也满足上式，1*113()22n n T n n -⎛⎫∴=+-∈ ⎪⎝⎭N例4、设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列．（1）求数列{}n a 的等差数列．（2）令31ln 12n n b a n +==，，，，求数列{}n b 的前n 项和T ．解：（1）由已知得1231327:(3)(4)3.2a a a a a a ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得22a =．设数列{}n a 的公比为q ，由22a =，可得1322a a q q==，．又37S =，可知2227q q ++=，即22520q q -+=，解得12122q q ==，．由题意得12q q >∴=，．11a ∴=．故数列{}n a 的通项为12n n a -=．（2）因为31ln 12n n b a n +==，，，，由（1）得3312n n a +=3ln 23ln 2n n b n ∴== 又13ln 2n n n b b +-={}n b ∴是等差数列．12n n T b b b ∴=+++1()2(3ln 23ln 2)23(1)ln 2.2n n b b n n n +=+=+= 故3(1)ln 22n n n T +=．西乡一中2008年高考复习数学培训试题（三）1. 已知数列}{n a 的前n 项和n n b n S ⋅+=)1(, 其中}{n b 是首项为1，公差为2的等差数列。

第2讲 等差数列及其前n 项和【2014年高考会这样考】1．考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题． 2．考查等差数列的性质、前n 项和公式及综合应用． 【复习指导】1．掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前n 项和公式等． 2．掌握等差数列的判断方法，等差数列求和的方法．基础梳理1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． 2．等差数列的通项公式若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项 如果A ＝a ＋b 2，那么A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ， 则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (5)S 2n －1＝(2n －1)a n . (6)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd 2；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．5．等差数列的前n 项和公式若已知首项a1和末项a n，则S n＝n(a1＋a n)2，或等差数列{a n}的首项是a1，公差是d，则其前n项和公式为Sn ＝na1＋n(n－1)2d.6．等差数列的前n项和公式与函数的关系S n ＝d2n2＋⎝⎛⎭⎪⎫a1－d2n，数列{an}是等差数列的充要条件是S n＝An2＋Bn(A，B为常数)．7．最值问题在等差数列{a n}中，a1＞0，d＜0，则S n存在最大值，若a1＜0，d＞0，则S n存在最小值．一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋a n，①Sn＝a n＋a n－1＋…＋a1，②①＋②得：S n＝n(a1＋a n)2.两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．四种方法等差数列的判断方法(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证a n－a n－1为同一常数；(2)等差中项法：验证2a n－1＝a n＋a n－2(n≥3，n∈N*)都成立；(3)通项公式法：验证a n＝pn＋q；(4)前n项和公式法：验证S n＝An2＋Bn.注 后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝12，则a 5等于( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 解析 a 2＋a 8＝2a 5，∴a 5＝6. 答案 C2．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( )．A ．31B ．32C ．33D ．34 解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝263，d ＝－43.∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝32. 答案 B3．(2011·江西)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1.那么a 10＝( )． A ．1 B ．9 C ．10 D ．55解析 由S n ＋S m ＝S n ＋m ，得S 1＋S 9＝S 10⇒a 10＝S 10－S 9＝S 1＝a 1＝1. 答案 A4．(2012·杭州质检)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )． A ．13 B ．35 C ．49 D ．63解析 ∵a 1＋a 7＝a 2＋a 6＝3＋11＝14，∴S 7＝7(a 1＋a 7)2＝49.答案 C5．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________. 解析 设公差为d . 则a 5－a 2＝3d ＝6，∴a 6＝a 3＋3d ＝7＋6＝13. 答案 13考向一 等差数列基本量的计算【例1】►(2011·福建)在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． [审题视点] 第(1)问，求公差d ； 第(2)问，由(1)求S n ，列方程可求k .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3可得1＋2d ＝－3.解得d ＝－2.从而，a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n . 所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2.进而由S k ＝－35可得2k －k 2＝－35. 即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7为所求．等差数列的通项公式及前n 项和公式中，共涉及五个量，知三可求二，如果已知两个条件，就可以列出方程组解之．如果利用等差数列的性质、几何意义去考虑也可以．体现了用方程思想解决问题的方法．考向二 等差数列的判定或证明【例2】►已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 是等差数列； (2)求a n 的表达式．[审题视点] (1)化简所给式子，然后利用定义证明．(2)根据S n 与a n 之间关系求a n .(1)证明 ∵a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，又a n ＝－2S n ·S n －1， ∴S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，S n ≠0，∴1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．由等差数列的定义知⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 是以1S 1＝1a 1＝2为首项，以2为公差的等差数列．(2)解 由(1)知1S n ＝1S 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，有a n ＝－2S n ×S n －1＝－12n (n －1)，又∵a 1＝12，不适合上式，∴a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法，而对于通项公式法和前n 项和公式法主要适合在选择题中简单判断．【训练2】 已知数列{a n }的前n 项和S n 是n 的二次函数，且a 1＝－2，a 2＝2，S 3＝6. (1)求S n ；(2)证明：数列{a n }是等差数列．(1)解 设S n＝An 2＋Bn ＋C (A ≠0)，则⎩⎨⎧－2＝A ＋B ＋C ，0＝4A ＋2B ＋C ，6＝9A ＋3B ＋C ，解得：A ＝2，B ＝－4，C ＝0. ∴S n ＝2n 2－4n .(2)证明 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－4n －[2(n －1)2－4(n －1)] ＝4n －6.∴a n ＝4n －6(n ∈N *)．当n ＝1时符合上式，故a n ＝4n －6， ∴a n ＋1－a n ＝4，∴数列{a n }成等差数列．考向三 等差数列前n 项和的最值【例3】►设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9.(1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值． [审题视点] 第(1)问：列方程组求a 1与d ；第(2)问：由(1)写出前n 项和公式，利用函数思想解决． 解 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 及a 3＝5，a 10＝－9得 ⎩⎨⎧a 1＋2d ＝5，a 1＋9d ＝－9，可解得⎩⎨⎧a 1＝9，d ＝－2.数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n . (2)由(1)知，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝10n －n 2.因为S n ＝－(n －5)2＋25，所以当n ＝5时，S n 取得最大值．求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．(2)利用等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值．【训练3】 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值． 解 法一 ∵a 1＝20，S 10＝S 15， ∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ， ∴d ＝－53.∴a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653.∴a 13＝0.即当n ≤12时，a n ＞0，n ≥14时，a n ＜0.∴当n＝12或13时，S n取得最大值，且最大值为S12＝S13＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎪⎫－53＝130.考向四等差数列性质的应用【例4】►设等差数列的前n项和为S n，已知前6项和为36，S n＝324，最后6项的和为180(n ＞6)，求数列的项数n.[审题视点] 在等差数列 {a n}中，若m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q(m，n，p，q∈N*)用此性质可优化解题过程．解由题意可知a 1＋a2＋…＋a6＝36①an＋a n－1＋a n－2＋…＋a n－5＝180②①＋②得(a1＋a n)＋(a2＋a n－1)＋…＋(a6＋a n－5)＝6(a1＋a n)＝216.∴a1＋a n＝36.又S n＝n(a1＋a n)2＝324，∴18n＝324.∴n＝18.本题的解题关键是将性质m＋n＝p＋q⇒a m＋a n＝a p＋a q与前n项和公式S n＝n(a1＋a n)2结合在一起，采用整体思想，简化解题过程．【训练4】 (1)设数列{a n}的首项a1＝－7，且满足a n＋1＝a n＋2(n∈N＋)，则a1＋a2＋…＋a17＝________.(2)等差数列{a n}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于________．解析 (1)∵a n＋1－a n＝2，∴{a n}为等差数列．∴a n＝－7＋(n－1)·2，∴a17＝－7＋16×2＝25，S 17＝(a1＋a17)×172＝(－7＋25)×172＝153.(2)由已知可得(a1＋a2＋a3)＋(a18＋a19＋a20)＝－24＋78⇒(a1＋a20)＋(a2＋a19)＋(a3＋a18)＝54⇒a1＋a20＝18⇒S20＝a1＋a202×20＝182×20＝180.。