第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛题 B(小学高年级组)2014

2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组A卷）一、选择题（每小题10分）1．（10分）平面上的四条直线将平面分割成八个部分，则这四条直线中至多有（）条直线互相平行．A．0 B．2 C．3 D．42．（10分）某次考试有50道试题，答对一道题得3分，答错一道题扣1分，不答题不得分．小龙得分120分，那么小龙最多答对了（）道试题．A．40 B．42 C．48 D．503．（10分）用图1的四张含有4个方格的纸板拼成了图2所示的图形．若在图2的16个方格分别填入1，3，5，7（每个方格填一个数），使得每行、每列的四个数都不重复，且每个纸板内四个格子里的数也不重复，那么A，B，C，D四个方格中数的平均数是（）．A．4 B．5 C．6 D．74．（10分）小明所在班级的人数不足40人，但比30人多，那么这个班男、女生人数的比不可能是（）A．2：3 B．3：4 C．4：5 D．3：75．（10分）某学校组织一次远足活动，计划 10 点 10 分从甲地出发，13 点10 分到达乙地，但出发晚了 5 分钟，却早到达了 4 分钟．甲乙两地之间的丙地恰好是按照计划时间到达的，那么到达丙地的时间是（）A．11 点 40 分B．11 点 50 分C．12 点D．12 点 10 分6．（10分）如图所示，AF＝7cm，DH＝4cm，BG＝5cm，AE＝1cm．若正方形 ABCD 内的四边形 EFGH 的面积为 78cm2，则正方形的边长为（）cm．A．10 B．11 C．12 D．13二、填空题（每小题10分，满分40分）7．（10分）五名选手 A，B，C，D，E 参加“好声音”比赛，五个人站成一排集体亮相．他们胸前有每人的选手编号牌，5 个编号之和等于 35．已知站在 E 右边的选手的编号和为 13；站在 D 右边的选手的编号和为31；站在 A 右边的选手的编号和为 21；站在 C 右边的选手的编号和为7．那么最左侧与最右侧的选手编号之和是．8．（10分）甲乙同时出发，他们的速度如图所示，30分钟后，乙比甲一共多行走了米9．（10分）四个黑色1×1×1的正方体和四个白色1×1×1的正方体可以组成种不同的2×2×2的正方体（经过旋转得到相同的正方体视为同一种惰况）．10．（10分）在一个圆周上有 70 个点，任选其中一个点标上 1，按顺时针方向隔一个点的点上标 2，隔两个点的点上标 3，再隔三个点的点上标 4，继续这个操作，直到 1，2，3，…，2014 都被标记在点上．每个点可能不只标有一个数，那么标记了 2014 的点上标记的最小整数是．2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组A卷）参考答案与试题解析一、选择题（每小题10分）1．（10分）平面上的四条直线将平面分割成八个部分，则这四条直线中至多有（）条直线互相平行．A．0 B．2 C．3 D．4【分析】这道题考查的是大家对于平面直线分割的考查，因为所给的直线比较少，因此用找规律的方法来做比较简单．【解答】解：这道题问的是至多有几条直线平行，现在总过四条直线，那么最多4条线平行，而此时最多只能分成5个部分，那么我们再考虑三条直线的情况，此时只要画成“丰”字形，就可以得到八个平面，成立，故选：C．2．（10分）某次考试有50道试题，答对一道题得3分，答错一道题扣1分，不答题不得分．小龙得分120分，那么小龙最多答对了（）道试题．A．40 B．42 C．48 D．50【分析】首先分析如果正好得120分最低需要对40题，剩余的10题需要得分和扣分平衡即可．【解答】解：依题意可知：当小龙答对40题时，得分正好为40×3＝120分．那么需要剩余的10题得分和扣分相等．当小龙再答对1题时可以错3题剩余6题不答．当小龙再答对2题时可以错6题剩余2题不答．当小龙再答对3题时最多错7题，不能平衡分数．那么小龙最多答对42题．故选：B．3．（10分）用图1的四张含有4个方格的纸板拼成了图2所示的图形．若在图2的16个方格分别填入1，3，5，7（每个方格填一个数），使得每行、每列的四个数都不重复，且每个纸板内四个格子里的数也不重复，那么A，B，C，D四个方格中数的平均数是（）．A．4 B．5 C．6 D．7【分析】如图2，，根据每个纸板内四个格子里的数不重复，可得：A≠E，A≠F，B≠E，B≠F，所以A＝G，B＝H或A＝H，B＝G，所以G+H＝A+B，据此求出A，B，C，D四个方格中数的平均数是多少即可．【解答】解：如图2，，因为每个纸板内四个格子里的数不重复，所以A≠E，A≠F，B≠E，B≠F，所以A＝G，B＝H或A＝H，B＝G，所以G+H＝A+B，所以A，B，C，D四个方格中数是1，3，5，7（每个方格填一个数），所以A，B，C，D四个方格中数的平均数是：（1+3+5+7）÷4＝4．答：A，B，C，D四个方格中数的平均数是4．故选：A．4．（10分）小明所在班级的人数不足40人，但比30人多，那么这个班男、女生人数的比不可能是（）A．2：3 B．3：4 C．4：5 D．3：7【分析】先把比看成份数，求出总人数一共是几份，由于人数是整数，所以总人数必须是总份数的倍数，找出大于30小于40的数中没有总份数的倍数的选项即可求解．【解答】解：A：2+3＝5大于30小于40的数中35是5的倍数，所以这个班男、女生人数的比可能是2：3；B：3+4＝7大于30小于40的数中35是7的倍数，所以这个班男、女生人数的比可能是3：4；C：4+5＝9大于30小于40的数中36是9的倍数，所以这个班男、女生人数的比可能是4：5；D：3+7＝10大于30小于40的数中没有数是10的倍数，所以这个班男、女生人数的比不可能是3：7；故选：D．5．（10分）某学校组织一次远足活动，计划 10 点 10 分从甲地出发，13 点10 分到达乙地，但出发晚了 5 分钟，却早到达了 4 分钟．甲乙两地之间的丙地恰好是按照计划时间到达的，那么到达丙地的时间是（）A．11 点 40 分B．11 点 50 分C．12 点D．12 点 10 分【分析】首先分析计划 10 点 10 分从甲地出发，13 点 10 分到达乙地时间为3个小时．出发晚了 5 分钟，却早到达了 4 分钟时间差为9分钟．根据比例关系即可求解．【解答】解：依题意可知：计划 10 点 10 分从甲地出发，13 点 10 分到达乙地时间为3个小时．出发晚了 5 分钟，却早到达了 4 分钟时间差为9分钟．每个小时会追及3分钟，那么就是每20分钟够追回1分钟．100分钟就追及5分钟．从10点10分过100分钟就是11点50分．故选：B．6．（10分）如图所示，AF＝7cm，DH＝4cm，BG＝5cm，AE＝1cm．若正方形 ABCD 内的四边形 EFGH 的面积为 78cm2，则正方形的边长为（）cm．A．10 B．11 C．12 D．13【分析】四边形EFGH的面积＝正方形ABCD的面积﹣四个小三角形面积；设正方形ABCD的边长为x，则四个小三角形的边长，都确定；列方程求出x．【解答】解：S四边形EFGH＝S□ABCD﹣S△AEF﹣S△FBG﹣S△CGH﹣S△DHE＝AB×BC﹣AE×AF ÷2﹣BG×BF÷2﹣GC×GH÷2﹣DE×DH÷2＝x2﹣7×1÷2﹣5×（x﹣7）÷2﹣（x﹣5）×（x﹣4）÷2﹣4×（x﹣1）÷2＝78．化简x2＝144；故选：C．二、填空题（每小题10分，满分40分）7．（10分）五名选手 A，B，C，D，E 参加“好声音”比赛，五个人站成一排集体亮相．他们胸前有每人的选手编号牌，5 个编号之和等于 35．已知站在 E 右边的选手的编号和为 13；站在 D 右边的选手的编号和为31；站在 A 右边的选手的编号和为 21；站在 C 右边的选手的编号和为7．那么最左侧与最右侧的选手编号之和是11 ．【分析】按题意，五位选手中，A，C，D，E的右侧都有人，故最右侧的是选手B，且B的编号为7，五人的排列顺序，可以依此推测出来，最后求和．【解答】解：根据分析，五位选手中，A，C，D，E的右侧都有人，故最右侧的是选手B，且B的编号为7；E右边的选手的编号和为13，故E右侧有C和B，且C的编号为：13﹣7＝6；A右边的选手的编号和为21，故A的边有E、C、B，且E的编号为：21﹣13＝8；D右边的选手的编号和为31，故D右边有A、E、C、B，且A的编号为：31﹣21＝10；剩下的D的编号为：25﹣31＝4，则最左侧的编号为D，最左侧与最右侧的选手编号之和＝4+7＝11．故答案是：11．8．（10分）甲乙同时出发，他们的速度如图所示，30分钟后，乙比甲一共多行走了300 米【分析】观察图可知：甲的路程分成3部分，第一部分，前10分钟，甲的速度是100米/分，第二部分，10～25分钟，甲的速度是80米/分，第三部分是25～30分，速度是60米/分钟；分别用速度乘行驶的时间，求出各段走的路程，再相加，即可求出甲走了多少米；乙的路程分成2部分，前20分钟，乙的速度是100米/分，第二部分20～30分钟，乙的速度是80米/分，同甲，求出乙的总路程，再用乙的总路程减去甲的总路程即可求解．【解答】解：甲：100×10＝1000（米）80×（25﹣10）＝80×15＝1200（米）60×（30﹣25）＝60×5＝300（米）1000+1200+300＝2500（米）乙：100×20＝2000（米）80×（30﹣20）＝80×10＝800（米）2000+800＝2800（米）2800﹣2500＝300（米）答：乙比甲一共多行走了 300米．故答案为：300．9．（10分）四个黑色1×1×1的正方体和四个白色1×1×1的正方体可以组成7 种不同的2×2×2的正方体（经过旋转得到相同的正方体视为同一种惰况）．【分析】首先分析一个颜色在同一面的情况．然后同一面的白色变成3个再变成2个分别进行枚举即可．【解答】解：依题意可知：①白色在底部5，6，7，8位置是1种（同一面）．②白色在底面5，6，7的位置第四块可以是1，2，4三个位置共3种．③白色在底面5，6位置，上面可以是1，4或者1，3共两种．④白色在底面5，7位置时，上面可以是1，3位置，共1种．1+3+2+1＝7（种）．故答案为：710．（10分）在一个圆周上有 70 个点，任选其中一个点标上 1，按顺时针方向隔一个点的点上标 2，隔两个点的点上标 3，再隔三个点的点上标 4，继续这个操作，直到 1，2，3，…，2014 都被标记在点上．每个点可能不只标有一个数，那么标记了 2014 的点上标记的最小整数是 5 ．【分析】首先根据等差数列的求和公式，求出1、2、3、…、2014的和是2029105；然后把圆周上70个点看作是等分点，因为2029105÷70＝28987…15，所以2014落在圆周上的第15个点，再根据15＝1+2+3+4+5，可得最小整数为5，所以标记了2014的点上标记的最小整数是5，据此解答即可．【解答】解：1+2+3+…+2014＝（1+2014）×2014÷2＝2015×2014÷2＝2029105因为2029105÷70＝28987…15，所以2014落在圆周上的第15个点，又因为15＝1+2+3+4+5，最小整数为5，所以标记了2014的点上标记的最小整数是5．答：标记了2014的点上标记的最小整数是5．故答案为：5．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:49:16；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@；学号：20913800。

第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题解答（初二组）（时间: 2014年4月12日）一、填空题 (每小题10分, 共80分)1. 计算:23322332623323333--⋅+-=________.【答案】45【解答】原式=()24513262436394-=-⋅⋅-4516=-. 2. 已知正整数a , b , c 满足三个等式：cba =3,9432=⎪⎭⎫ ⎝⎛++c b a , 6822=+b a , 那么2c 等于________.【答案】144. 【解答】由cba cb a ++==33, 知 9439322222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++==c b a c b a c b a , 所以,153)(499222=+=+b a c . 得1442=c .3. 如图, E , F 分别是菱形ABCD 的边AB , AD 上的点,︒=∠60DCB , ︒=∠105DFE , 1=DF , 32-=BE , 那么这个菱形的边长等于________. 【答案】3【解答】设菱形ABCD 的边长为a , 如右图, 过F 作AB 的垂线, 垂足为H .在直角三角形AHF 中, 由已知条件可知:︒=∠60FAE , ︒=∠30AFH , 1-=a AF .进而得到:21-=a AH （直角三角形中, 30度角所对边长是斜边长的一半）, 32122-=-=a AH AF FH （勾股定理）. 由已知条件︒=∠105DFE 和︒=∠30AFH , 立即得到︒=︒-︒=∠453075EFH ,从而△EFH 是等腰直角三角形, FH HE =. 所以3232121-=----=-=a a a AE AB BE , 3=a . 4. 将一个四位数的四个数字之和的两倍与这个四位数相加得2379, 则满足条件的四位数有________个. 【答案】2【解答】设这个四位数为xyzw . 首先, 2=x . 因为 ,9,,0≤≤w z y 若1=x , 则有20552541999,54)(20=++≤++≤w z y ,与条件不符. 另一方面x 不能大于2. 于是, yzw xyzw 2=, 即有23792224101002000=+++++++w z y w z y .得到375312102=++w z y .容易验证, .2,1≠y 因此, .3=y 于是69312=+w z , 12369wz -=. 整数解： 4,7;5,3====z w z w .所求四位数为：2353, 2347. 经验证, 都符合要求.5. 已知a a x 14501450-++=, 其中a 是正整数, 那么所有使得x 为整数的a 的取值之和为________. 【答案】158 【解答】首先,a x 14250021002-+=,则a 142500-为完全平方数, 令2142500y a =-, 0≥y ,则a y y 14)50)(50(=-+, )50(|14y + 或 )50(|14y -, 500≤≤y .因此, y 的可能取值为6, 8, 20, 22, 34, 36, 48, 50, 使得2x 为完全平方数的是22, 48, 对应的a 为144和14.6. 已知a , b , c 为互不相等的非零实数, 且存在实数x , y 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333y cx c y bx b y ax a ,那么c b a ++的值是________. 【答案】0【解答】令⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++)3(.0)2(,0)1(,0333y cx c y bx b y ax a 由方程 (1), (2), 可得0)()(33=-+-x b a b a .因为0≠-b a , 所以022=+++x b ab a ,解得)(22b ab a x ++-=.代入方程 (1), 解得22ab b a y +=.将方程 (1), (2), (3) 相加, 得03)(333=++++++y x c b a c b a ,将y 代入, 得0)(3)(22333=+++++++y ab b a x c b a c b a .整理得0)2)(()()(22233=+--+++++=+++++x ca bc ab c b a c b a x c b a c b a .将x 代入整理得0))()(())((2=--++=--+++b c a c c b a ca bc ab c c b a .因为a , b , c 互不相等且均不等于0, 所以 0=++c b a .7. 如右图所示, 五边形ABCDE 中, AE AB =, CD BC =,2=AC 厘米, ︒=∠60BAE , E D BCD B ∠=∠=∠=∠, 则五边形ABCDE 的面积是________平方厘米. 【答案】3【解答】因为五边形的内角和为︒540, 且︒=∠60BAE , E D BCD B ∠=∠=∠=∠所以︒=∠=∠=∠=∠120E D BCD B .见右图, 以A 为旋转中心, 逆时针旋转△ABC 到△AEF 的位置, 则AB AE =, BC EF =, AC AF =, ︒=∠=∠=∠120AED ABC AEF .所以CDE DEF ∠=︒=∠120.连接CF 交DE 于P , 则△CDP ≌△FEP . 相当于将△CDP 绕P 旋转︒180补到△FEP 的位置. 可见五边形ABCDE 的面积 = △ACF 的面积.又, △ACF 是边长为2厘米的正三角形, 所以其面积为32432=⨯（平方厘米）. 因此五边形ABCDE 的面积为3 平方厘米.8. 方程023=+++C Bx Ax x 的系数C B A ,,为整数, 10||,10||,10||<<<C B A ,且1是方程的根, 那么这种方程总共有________个. 【答案】270. 【解答】由已知,b x a b x a x b ax x x C Bx Ax x --+-+=++-=+++)()1())(1(23223,其中, a , b 为实数, 于是有b C a b B a A -=-=-=,,1,并且得到a , b 为整数. 由题目条件得10||,10||,10|1|<<-<-b a b a ,因此1010,1010,119<<-+<<-<<-b b a b a .当0=b 时, 由1010,119<<-<<-a a , 得109<<-a , 即a 能够取18个整数值; 当1=b 时, 由119<<-a , 知a 能够取19个整数值; 当2=b 时, 由128,119<<-<<-a a , 得118<<-a , 即a 能够取18个整数值; ……; 当9=b 时, 由191,119<<-<<-a a , 得111<<-a , 即a 能够取11个整数值. 同样地, 当1-=b 时, 由911,119<<-<<-a a , 得99<<-a , 即a 能 能够取17个整数值; ……; 当9-=b 时, 由119,119<<-<<-a a , 得19<<-a , 即a 能取9个整数值.这样, ),(b a 的取法, 亦即),,(C B A 的取法有270210272930)91617()111819(18=⨯+⨯=++++++++ （种）. 所以, 这种方程共有270个.二、解答下列各题（每题10分, 共40分, 要求写出简要过程）9. 关于x 的方程 ()02|4|21=--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x a x 的3个解恰好是某个直角三角形三条边的边长, 那么这个直角三角形面积的最大值是多少?【答案】4323+ 【解答】由已知, 原方程共有三个解:)2(41),2(41,12321-=+=-=a x a x a x . 当2>a , 它们才可能是某个直角三角形的三条边长. 下面分两种情况讨论. （1）26>>a . 在这种情形下, 312x x x >>, 2x 是斜边长. 因此,222)2(16112)2(161-+⎪⎭⎫⎝⎛-=+a a a , (*)解(*), 得到: 53±=a . 因为253<-, 仅有53+=a . 此时, 直角三角形面积为()853253161)2(161212231+=-+=-=a x x . （2）6≥a . 在这种情形下, 321x x x >>, 1x 是斜边长. 因此,222)2(161)2(16112-++=⎪⎭⎫⎝⎛-a a a , (**)解(**), 得到: ()322±=a . 因为()6322<-, 仅有()322+=a . 此时, 直角三角形面积为()43234324321)4(321212232+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-=a x x . 综上, 直角三角形面积的最大值是4323+. 10. 若干个选手参加象棋比赛, 每两个选手下一盘. 每盘棋的记分方法为：胜者得1分, 和棋各得0.5分, 负者得0分. 如果有两名选手共积11分, 其他选手的平均积分为整数, 那么一共下了多少盘棋? 【答案】21或231【解答】不论比赛状况如何, 下棋的盘数等于得分总数. 假设共有2+x 个人参加比赛, 那么共下)2)(1(21++x x 盘. 设n 为除两人外其余人的平均积分, 那么 nx x x =-++11)2)(1(21. 整理可得:020)32(2=--+x n x .由于人数为整数, 32-n 也为整数, 所以x 必为20的正约数. 又因为其中两名选手共得11分, 所以5≥x . 因此x 的取值只可能是5, 10或 20.当5=x , 7人比赛, 共计比赛21场, 总分21分, 其余人共得10分, 平均2分, 符合题意.当10=x 时, 12人比赛, 共计比赛66场, 总分66分, 其余人共得55分, 平均5.5分, 不合题意.当20=x 时, 22人比赛, 共计比赛231场, 总分231分, 其余人共得220分, 平均11分, 符合题意.因此, 参加比赛的选手人数可能为7人或者22人, 共举行的场数可能为21场或者231场.11. 在梯形ABCD 中, CD AB //, 8=AB , 6=CD .M , N 分别为AD , BC 的中点, MN 与梯形ABCD 的对角线AC , BD 分别相交于P , Q . 如图所示的四边形ABQP 的面积为18, 求梯形ABCD 的面积. 【答案】56【解答】见右图, 连接CQ . 因为M , N 分别为AD , BC 的中点, 所以P 为AC 的中点. 令x S QBN =∆, 则x S CQN =∆.因为P , N 分别为AC , BC 的中点, 所以421==AB PN . 同理可知321==CD QN .所以31=-==∆∆QN QN PN QN PQ S S CQNCPQ . 得x S CPQ 31=∆. 在CAB ∆中, x x x S S CPN ABNP 43133=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==∆.所以x S S S BNP ABNP ABQP 3=-=∆.得6=x . 所以321837=+=∆x S ABC 又43==∆∆AB CD S S ABC ACD , 得2443==∆∆ABC ACD S S . 最终,563224=+=ABCD S .12. 已知十个互不相同的正数满足:1) 它们的和为385;2) 它们中任意两个数的和或者差的绝对值是这十个数中的某个数. 请写出这十个数.【答案】7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70【解答】设这十个数为1021,,,a a a , 且1021a a a <<< . 由于1010a a a i >+, 91≤≤i ,所以它们都不是这十个数中的成员, 因此i a a -10都是这十个数中的成员, 都小于10a , 且有10110710810910a a a a a a a a a <-<<-<-<- ,故有i i a a a -=-1010, 特别地1910a a a =-. 又因为10199a a a a a i =+>+, 81≤≤i ,也都不是这十个数中的成员, 所以i a a -9都是这十个数中的成员, 都小于9a , 且有9197989a a a a a a a <-<<-<- ,故有i i a a a -=-99, 特别地189a a a =-. 完全相同的道理, 可得11a a a i i =-+, 91≤≤i .所以385)1021(11021=+++=+++ a a a a .解得71=a . 所以这十个数是7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70.三、解答下列各题（每题15分, 共30分, 要求写出详细过程）13. 右图中, ︒=∠=∠=∠45DAB BCD ABC , 2=BD 厘米,求四边形ABCD 的面积.【答案】2平方厘米【解答】见左图, 连接AC , 延长AD 交BC 于H . 则︒=∠90AHB , ︒=∠45CDH . 所以, BH AH =, HC DH =. 又在BHD ∆与AHC∆中,︒=∠=∠90AHC BHD , 所以AHC BHD ∆∆≌（边、角、边）. 得2==AC BD （厘米）.延长BD 交AC 于K , 由于︒=∠+∠90CAH ACH , 而KBH CAH ∠=∠ 所以︒=∠+∠90CAH KBH . 因此︒=∠90BKC , 得 AC BK ⊥, 即AC BD ⊥. 最终,四边形ABCD 的面积= ABC ∆的面积ADC ∆-的面积=)(212121DK BK AC DK AC BK AC -⨯⨯=⨯⨯-⨯⨯ = 2222121=⨯⨯=⨯⨯BD AC （平方厘米）. 14. 有n 个人在网上购物, 2>n . 已知, 任意三个人中有两人买有同一种类的商品, 没有三个人买有同一种类的商品. 若他们中的甲和乙两人各买了四种商品, 但没有买同一种类的商品, 则n 的最大值是多少? 当n 最大时, n 个人一共最少买了多少种商品？【答案】10, 20【解答】分别用A 1, A 2表示甲、乙两人, 他们没买同一种商品. 由任意3人中有2人买了相同的商品, 余下的(2-n )个人可分成两组: A 1组, 与A 1买有同种商品的人; A 2组, 与A 2买有同种商品的人. 注意, 同一个人可以即在A 1组也在A 2组. 两个组每组最多5人. 否则, 设有一个组有6个或6个以上的人, 不妨设是A 1. 但是A 1只买了4种商品, 由抽屉原则, 另外5个或5个以上的人中必有2人与A 1都买有同一种类商品. 这与题设“没有三个人买有同一种类的商品”矛盾. 若10>n , 由抽屉原则有一组有6个或6个以上的人, 与“两个组每组最多5人”矛盾. 所以, 10≤n .考虑10=n 的情况. 记第i 个人为A i , 用B1, B2, …, B20表示20种不同种类的商品. 购物情况可以如下:A 1买B1, B2, B3, B4; A 2买B11, B12, B13, B14;A 3买B1, B5, B6, B7; A 7买B11, B15, B16, B17;A 4买B2, B5, B8, B9; A 8买B12, B15, B18, B19;A 5买B3, B6, B8, B10; A 9买B13, B16, B18, B20;A 6买B4, B7, B9, B10; A 10买B14, B17, B19, B20.满足题目的要求, 且两组各有5人.当10=n 时, 两个组只能各有5人且无人同属两组. 同一组中, 三人有二人购有同种商品, 而无其他同组人买这种商品. 这二人可以是同组中任意二人, 所以, 一个组就至少买了1025=C 种商品. 两个组至少买了20种商品.。

初赛试卷（小学高年级组）一、选择题(每小题10分, 共60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)1.两个有限小数的整数部分分别是7和10，那么这两个有限小数的积的整数部分有（）种可能的取值．（A）16 （B）17 （C）18 （D）192.小明家距学校，乘地铁需要30分钟，乘公交车需要50分钟．某天小明因故先乘地铁，再换乘公交车，用了40分钟到达学校，其中换乘过程用了6分钟，那么这天小明乘坐公交车用了（）分钟．（A）6 （B）8 （C）10 （D）123.将长方形ABCD对角线平均分成12段，连接成右图，长方形ABCD内部空白部分面积总和是10平方厘米，那么阴影部分面积总和是（）平方厘米．（A）14 （B）16 （C）18 （D）204.请在图中的每个方框中填入适当的数字，使得乘法竖式成立．那么乘积是（）．（A）2986 （B）2858 （C）2672 （D）2754CD BA5. 在序列20170……中，从第5个数字开始，每个数字都是前面4个数字和的个位数，这样的序列可以一直写下去．那么从第5个数字开始，该序列中一定不会出现的数组是（ ）． （A ）8615（B ）2016（C ）4023（D ）20176. 从0至9中选择四个不同的数字分别填入方框中的四个括号中，共有（ ）种填法使得方框中话是正确的．（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4二、填空题 (每小题 10 分, 共40分)7. 若15322.254553923444741A ⎛⎫-⨯÷+=⎪ ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭，那么A 的值是________． 8. 右图中，“华罗庚金杯”五个汉字分别代表1—5这五个不同的数字．将各线段两端点的数字相加得到五个和，共有 ________种情况使得这五个和恰为五个连续自然数．9. 右图中，ABCD 是平行四边形，E 为CD 的中点，AE 和BD 的交点为F ，AC 和BE 的交点为H ，AC 和BD 的交点为G ，四边形EHGF 的面积是15平方厘米，则ABCD 的面积是__________平方厘米．10. 若2017,1029与725除以d 的余数均为r ，那么d r -的最大值是________．第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛这句话里有（ ）个数大于1，有（ ）个数大于2，有（ ）个数大于3，有（ ）个数大于4． 罗华庚金 杯决赛试题B （小学高年级组）一、填空题（每小题10份，共80分）1. 计算：8184157.628.814.48012552⨯+⨯-⨯+=________．2. 甲、乙、丙、丁四人共植树60棵．已知，甲植树的棵数是其余三人的二分之一，乙植树的棵数是其余三人的三分之一，丙植树的棵数是其余三人的四分之一，那么丁植树________棵．3. 当时间为5点8分时，钟表面上的时针与分针成________度的角．4. 某个三位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，加4是6的倍数，那么这个数最小为________．5. 贝塔星球有七个国家，每个国家恰有四个友国和两个敌国，没有三个国家两两都是敌国．对于一种这样的星球局势，共可以组成________个两两都是友国的三国联盟．6. 由四个互不相同的非零数字组成的没有重复数字的所有四位数之和为106656，则这些四位数中最大的是________，最小的是________．7. 见右图，三角形ABC 的面积为1，3:1:=OB DO ，5:4:=OA EO ，则三角形DOE 的面积为________．8. 三个大于1000的正整数满足：其中任意两个数之和的个位数字都等于第三个数的个位数字，那么这3个数之积的末尾3位数字有________种可能数值．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9. 将1234567891011的某两位数字交换能否得到一个完全平方数？请说明理由．10. 如右图所示，从长、宽、高为15，5，4的长方体中切走一块长、宽、高为,5,y x 的长方体（,x y 为整数），余下部分的体积为120，求x 和y ．yx515411. 圆形跑道上等距插着2015面旗子，甲与乙同时同向从某个旗子出发，当甲与乙再次同时回到出发点时，甲跑了23圈，乙跑了13圈．不算起始点旗子位置，则甲正好在旗子位置追上乙多少次？12. 两人进行乒乓球比赛，三局两胜制，每局比赛中，先得11分且对方少于10分者胜，10平后多得2分者胜．两人的得分总和都是31分，一人赢了第一局并且赢得了比赛，那么第二局的比分共有多少种可能？三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13. 如右图所示，点M 是平行四边形ABCD 的边CD 上的一点，且2:1: MC DM ，四边形EBFC 为平行四边形，FM 与BC 交于点G ．若三角形FCG 的面积与三角形MED 的面积之差为13cm 2，求平行四边形ABCD 的面积．14. 设“一家之言”、“言扬行举”、“举世皆知”、“知行合一”四个成语中的每个汉字代表11个连续的非零自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数．如果每个成语中四个汉字所代表的数之和都是21，则“行”可以代表的数最大是多少?第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试题C （小学高年级组） （时间: 2013 年3月23日）一、选择题 (每小题 10 分, 满分60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)1. 如果mn=+⨯⨯20122014201420132013（其中m 与n 为互质的自然数）, 那么m +n 的值是（ ）. （A ）1243 （B ）1343 （C ）4025 （D ）40292. 甲、乙、丙三位同学都把25克糖放入100克水中混合成糖水, 然后他们又分别做了以下事情:最终,（ ）得到的糖水最甜.（A ）甲 （B ）乙 （C ）丙 （D ）乙和丙3. 一只青蛙8点从深为12米的井底向上爬, 它每向上爬3米, 因为井壁打滑, 就会下滑1米,下滑1米的时间是向上爬3米所用时间的三分之一. 8点17分时, 青蛙第二次爬至离井口3米之处, 那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（ ）分钟. （A ）22 （B ）20 （C ）17 （D ）164. 已知正整数A 分解质因数可以写成γβα532⨯⨯=A , 其中α、β、γ 是自然数. 如果A的二分之一是完全平方数, A 的三分之一是完全立方数, A 的五分之一是某个自然数的五次方, 那么 γβα++ 的最小值是（ ）.再加入50克含糖率20%的糖水.再加入20克糖和30克水.再加入100克糖与水的比是2:3的糖水.（A）10 （B）17 （C）23 （D）315.今有甲、乙两个大小相同的正三角形, 各画出了一条两边中点的连线. 如图, 甲、乙位置左右对称, 但甲、乙内部所画线段的位置不对称. 从图中所示的位置开始, 甲向右水平移动, 直至两个三角形重叠后再离开. 在移动过程中的每个位置, 甲与乙所组成的图形中都有若干个三角形. 那么在三角形个数最多的位置, 图形中有（）个三角形.（A）9 （B）10 （C）11 （D）126.从1～11这11个整数中任意取出6个数, 则下列结论正确的有（）个.①其中必有两个数互质;②其中必有一个数是其中另一个数的倍数;③其中必有一个数的2倍是其中另一个数的倍数.（A）3 （B）2 （C）1 （D）0二、填空题(每小题10 分, 满分40分)7.有四个人去书店买书, 每人买了4本不同的书, 且每两个人恰有2本书相同, 那么这4个人至少买了_______种书..8.每天, 小明上学都要经过一段平路AB、一段上坡路BC和一段下坡路CD （如右图）. 已知AB:BC:CD =1:2:1, 并且小明在平路、上坡路、下坡路上的速度比为3:2:4. 那么小明上学与放学回家所用的时间比是.9.黑板上有11个1, 22个2, 33个3, 44个4. 做以下操作: 每次擦掉3个不同的数字,并且把没擦掉的第四种数字多写2个. 例如: 某次操作擦掉1个1, 1个2, 1个3, 那就再写上2个4. 经过若干次操作后, 黑板上只剩下3个数字, 而且无法继续进行操作, 那么最后剩下的三个数字的乘积是.10.如右图, 正方形ABCD被分成了面积相同的8个三角形, 如果DG = 5, 那么正方形ABCD面积是.第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级组）（时间: 2015年12月12日10:00—11:00）一、选择题 (每小题10分, 共60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)1. 算式43421Λ43421Λ个个2016201699999999⨯的结果中含有（ ）个数字0．（A ）2017 （B ）2016 （C ）2015 （D ）20142. 已知A , B 两地相距300米．甲、乙两人同时分别从A , B 两地出发, 相向而行, 在距A 地140米处相遇; 如果乙每秒多行1米, 则两人相遇处距B 地180米．那么乙原来的速度是每秒（ ）米．（A ）532 （B ）542（C ）3 （D ）513 3. 在一个七位整数中, 任何三个连续排列的数字都构成一个能被11或13整除的三位数, 则这个七位数最大是（ ）．（A ）9981733 （B ）9884737 （C ）9978137 （D ）98717734. 将1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8这8个数排成一行, 使得8的两边各数之和相等, 那么共有（ ）种不同的排法．（A ）1152 （B ）864 （C ）576 （D ）2885. 在等腰梯形ABCD 中, AB 平行于CD , 6=AB , 14=CD , AEC ∠是直角, CE CB =, 则2AE 等于（ ）．（A ）84 （B ）80（C ）75 （D ）646. 从自然数1,2,32015,2016L ，，中, 任意取n 个不同的数, 要求总能在这n 个不同的数中找到5个数, 它们的数字和相等. 那么n 的最小值等于（ ）． （A ）109 （B ）110 （C ）111 （D ）112 二、填空题 (每小题 10 分, 共40分)7. 两个正方形的面积之差为2016平方厘米, 如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米, 那么满足上述条件的所有正方形共有 对．8. 如下图, O , P , M 是线段AB 上的三个点, AB AO 54=, AB BP 32=, M 是AB 的中点, 且2=OM , 那么PM 长为 ．9. 设q 是一个平方数. 如果2-q 和2+q 都是质数, 就称q 为P 型平方数. 例如, 9就是一个P 型平方数．那么小于1000的最大P 型平方数是 ．10. 有一个等腰梯形的纸片, 上底长度为2015, 下底长度为2016. 用该纸片剪出一些等腰梯形, 要求剪出的梯形的两个底边分别在原来梯形的底边上, 剪出的梯形的两个锐角等于原来梯形的锐角, 则最多可以剪出 个同样的等腰梯形．第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题A （小学高年级组）一、选择题1、计算：19+⨯+-=[(0.8)24]7.6(___)514（A）30 （B）40 （C）50 （D）602、以平面上4个点为端点连接线段，形成的图形中最多可以有（）个三角形。

2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组）一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）用□和○表示两个自然数，若□×○＝42，则（□×4）×（○÷3）．2．（10分）计算：10×9×8+7×6×5+6×5×4+3×2×1﹣9×8×7﹣8×7×6﹣5×4×3﹣4×3×2＝．3．（10分）将学生分成35组，每组3人．其中只有1个男生的有10组，不少于2个男生的有19组，有3个男生的组数是有3个女生的组数的2倍．则男生有人．4．（10分）从 1～8 这八个自然数中取三个数，其中有连续自然数的取法有种．5．（10分）如图，三个圆交出七个部分，将整数0～6分别填入七个部分中，使得每个圆内的四个数字的和都相等，那么和的最大值是．6．（10分）若干自然数的乘积为324，则这些自然数的和最小为．7．（10分）在嫦娥三号着月过程中，从距离月面2.4千米到距离月面100米这一段称为接近段．图1和图2分别是它到距月面 2.4 千米和月面100米处时，录像画面截图．则嫦娥三号在接近段内行驶的时间是秒（录像时间的表示方法：30：28/2：10：48表示整个录像时间长为 2 小时10分钟48秒，当前恰好播放到第30分钟28秒处）．8．（10分）将 1～6 这六个自然数分成甲、乙两组，则甲组数的和与乙组数的和的乘积最大是．二、简答题（每小题10分，共40分，要求写出简要过程）9．（10分）如图，将一个大三角形纸板剪成四个小三角形纸板（第一次操作），再将每个小三角形纸板剪成四个更小的三角形纸板（第二次操作）．这样继续操作下去，完成第5次操作后得到若干个小三角形纸板．甲和乙在这些小三角形纸板上涂色，每人每次可以在1至10个小三角形纸板上涂色，谁最后涂完谁赢．在甲先涂的情况下，请设置一个方案使得甲赢．10．（10分）如图所示，网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米．小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上），则这个剪影的面积为平方厘米．11．（10分）从一块正方形土地上，划出一块宽为10米的长方形土地（如图），剩下的长方形土地面积是1575平方米．那么，划出的长方形土地的面积是多少？12．（10分）三位数中，有些数本身是该数的数字和的19倍，如190＝19×（1+9+0），请写出所有这样的三位数．2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组）参考答案与试题解析一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）用□和○表示两个自然数，若□×○＝42，则（□×4）×（○÷3）56 ．【分析】第一个因数扩大4倍，所以积也扩大4倍，是42×4，然后第二个因数又缩小了3倍，所以积也缩小3倍，是42×4÷3，据此解答即可．【解答】解：根据分析可得，42×4÷3＝168÷3＝56；故答案为：56．2．（10分）计算：10×9×8+7×6×5+6×5×4+3×2×1﹣9×8×7﹣8×7×6﹣5×4×3﹣4×3×2＝132 ．【分析】先把每一项分组，再根据乘法的分配律解答．【解答】解：10×9×8+7×6×5+6×5×4+3×2×1﹣9×8×7﹣8×7×6﹣5×4×3﹣4×3×2＝（10×9×8﹣9×8×7）﹣（8×7×6﹣7×6×5）+（6×5×4﹣5×4×3）﹣（4×3×2﹣3×2×1）＝9×8×（10﹣7）﹣7×6×（8﹣5）+5×4×（6﹣3）﹣3×2×（4﹣1）＝9×8×3﹣7×6×3+5×4×3﹣3×2×3＝（9×8﹣7×6+5×4﹣3×2）×3＝（72﹣42+20﹣6）×3＝44×3＝132；故答案为：132．3．（10分）将学生分成35组，每组3人．其中只有1个男生的有10组，不少于2个男生的有19组，有3个男生的组数是有3个女生的组数的2倍．则男生有60 人．【分析】总共有四种情况，①3名女生，②2名女生1名男生，③1名女生2名男生，④3名男生．根据只有1个男生的有10组，可得②的情况有10组，不少于2个男生的19组，③和④的情况，共有19组，可得①的情况有35﹣19﹣10＝6（组），又因为有3个男生的组数是有3个女生的组数的2倍．所以④的情况有6×2＝12（组）．③的情况有19﹣12＝7（组），再把每组中男生的人数相加即可求解．【解答】解：总共有四种情况，①3名女生，②2名女生1名男生，③1名女生2名男生，④3名男生．根据只有1个男生的有10组，可得②的情况有10组，有男生10×1＝10（人）不少于2个男生的19组，③和④的情况，共有19组，可得①的情况有35﹣19﹣10＝6（组），这6组没有男生；又因为有3个男生的组数是有3个女生的组数的2倍；所以④的情况有6×2＝12（组），有男生12×3＝36（人）③的情况有19﹣12＝7（组），7×2＝14（人）男生共有10+36+14＝60（人）答：男生有60人．故答案为：60．4．（10分）从 1～8 这八个自然数中取三个数，其中有连续自然数的取法有36 种．【分析】没有连续自然数的取法分四种情况列举：（1）三个奇数，（2）三个偶数，（3）两个奇数一个偶数，（4）两个偶数一个奇数；从 1～8 这八个自然数中取三个数共有＝56种，然后用56减去没有连续自然数的取法解答即可．【解答】解：没有连续自然数的取法：（1）三个奇数：135、137、157、357，共4个；（2）三个偶数：246、248、268、468，共4个；（3）两个奇数一个偶数：136、138、158、147、358、257，共6个；（4）两个偶数一个奇数：247、258、146、148、168、368，共6个；综合上述没有连续自然数的取法共：4+4+6+6＝20（种）从 1～8 这八个自然数中取三个数的取法：＝＝56（种）所以有连续自然数的取法有56﹣20＝36（种）；答：从 1～8 这八个自然数中取三个数，其中有连续自然数的取法有 36种．故答案为：36．5．（10分）如图，三个圆交出七个部分，将整数0～6分别填入七个部分中，使得每个圆内的四个数字的和都相等，那么和的最大值是15 ．【分析】因为使得每个圆内的四个数字的和都相等，且和最大值时，6最大，就把6写在最中间，还剩的3个较大数字5、4、3，填在两圆公共的部分，最后剩下的0、1、2；0与6、4、5结合；1与6、5、3结合；2与6、3、4结合，那么每个圆内的四个数字的和都是15，据此解答即可．【解答】解：根据分析可得，所以，6+5+4+0＝6+4+3+2＝6+5+3+1＝15；所以，和的最大值是 15．故答案为：15．6．（10分）若干自然数的乘积为324，则这些自然数的和最小为16 ．【分析】因为将一个数分解出若干个2与3的乘积，而不含1，此时这些自然数的和最小，所以324＝2×2×3×3×3×3，所以这些自然数的和最小为：2+2+3+3+3+3＝16，据此解答．【解答】解：因为324＝2×2×3×3×3×3，所以这些自然数的和最小为：2+2+3+3+3+3＝16，故答案为：16．7．（10分）在嫦娥三号着月过程中，从距离月面2.4千米到距离月面100米这一段称为接近段．图1和图2分别是它到距月面 2.4 千米和月面100米处时，录像画面截图．则嫦娥三号在接近段内行驶的时间是114 秒（录像时间的表示方法：30：28/2：10：48表示整个录像时间长为 2 小时10分钟48秒，当前恰好播放到第30分钟28秒处）．【分析】根据题目给出的数据，接近段是从录像的第45分39秒到47分33秒，用47分33秒减去45分39秒，即可求出接近段这部分时间是多少．【解答】解：47分33秒﹣45分39秒＝1分54秒＝114秒答：嫦娥三号在接近段内行驶的时间是 114秒．故答案为：114．8．（10分）将 1～6 这六个自然数分成甲、乙两组，则甲组数的和与乙组数的和的乘积最大是110 ．【分析】要使甲组数的和与乙组数的和的乘积最大，则这两个和应尽可能大，且两个和的差要尽可能小；由此先分组解答即可．【解答】解：6个数的和为：1+2+3+4+5+6＝21，21分解成两个最接近的整数的和是：21＝11+10，即，把 1～6 这六个自然数分成（1+2+3+4）、（5+6）两组，所以，乘积最大为：（1+2+3+4）×（5+6）＝11×10＝110；答：甲组数的和与乙组数的和的乘积最大是 110．股单位：110．二、简答题（每小题10分，共40分，要求写出简要过程）9．（10分）如图，将一个大三角形纸板剪成四个小三角形纸板（第一次操作），再将每个小三角形纸板剪成四个更小的三角形纸板（第二次操作）．这样继续操作下去，完成第5次操作后得到若干个小三角形纸板．甲和乙在这些小三角形纸板上涂色，每人每次可以在1至10个小三角形纸板上涂色，谁最后涂完谁赢．在甲先涂的情况下，请设置一个方案使得甲赢．【分析】根据已知第一次操作后得到4个小正三角形，第二次操作后得到4×4＝16个小正三角形；第三次操作后得到4×4×4＝64个小正三角形；…继而第5次操作后得到4×4×4×4×4＝1024个小三角形．首先理解题意，谁先涂谁并且获胜，甲要先涂，利用甲所涂小三角形的个数均为10减去乙所涂三角形个数解答此题即：甲先涂1个，以后当乙涂n个时，甲涂11﹣n个，据此即可解答问题．【解答】解：4×4×4×4×4＝1024（个）1024÷（10+1）＝93 (1)甲先涂，由于余1，所以甲先涂1个张，乙再涂n（1≤n≤10）张，接着甲涂走（11﹣n）个；以后每次在乙涂后，甲所涂的个数均为11减去乙所涂数之差；最后都得给甲剩下1～10个，这样，甲就能最后涂剩下的所有小三角形．10．（10分）如图所示，网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米．小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上），则这个剪影的面积为56 平方厘米．【分析】按题意，可以将图中剪影分割成若干部分，然后标出每部分的面积，利用剪切和拼接的性质求得每部分的面积，最后求和．【解答】解：根据分析，如图，将剪影分割，通过分割和格点面积公式可得小马剪影的总面积＝0.5+3+16+2+1+2.5+3+0.5+1.5+12+3+2+0.5+3+0.5+1+2+1.5+0.5＝56（平方厘米）故答案是：56．11．（10分）从一块正方形土地上，划出一块宽为10米的长方形土地（如图），剩下的长方形土地面积是1575平方米．那么，划出的长方形土地的面积是多少？【分析】根据题干，剩下的长方形的长与宽的差是10米，因为1575＝3×3×5×5×7＝45×35，所以原正方形的边长为45米，所以划出的长方形的长与宽分别是45米、10米，据此计算即可解答问题．【解答】解：根据题干分析可得：1575＝3×3×5×5×7＝45×35，45﹣35＝10，所以原正方形的边长为45米，则划出的面积是：45×10＝450（平方米），答：划出的长方形土地的面积是450平方米．12．（10分）三位数中，有些数本身是该数的数字和的19倍，如190＝19×（1+9+0），请写出所有这样的三位数．【分析】首先，这个数是19的倍数，这个数是三位数，三位数各位数字的和不会超过27，那么这个数不会超过19×27＝513，500多，数字和不会超过4+9+9＝22，即这个数不超过22×19＝418，找出418以内所有19的倍数，看是否符合题意即可解答．【解答】解：这个数是19的倍数，三位数各位数字的和不会超过27，那么这个数不会超过19×27＝513，500多，数字和不会超过4+9+9＝22，即这个数不超过22×19＝418，19×6＝114 （√）1+1+4＝619×7＝133 （√）1+3+3＝719×8＝152 （√）1+5+2＝819×9＝171 （√）1+7+1＝919×10＝190 （√）1+9+0＝1019×11＝209 （√）2+0+9＝1119×12＝228 （√）2+2+8＝1219×13＝247 （√）2+4+7＝1319×14＝266 （√）…19×15＝285 （√）…19×16＝304 3+0+4＝7≠1619×17＝323 …19×18＝342 …19×19＝361 …19×20＝380 …19×21＝399 （√）3+9+9＝2119×22＝418 4+1+8＝13≠22所以所有的结果是：114、133、152、171、190、209、228、247、266、285、399共11个数，答：这样的三位数有114、133、152、171、190、209、228、247、266、285、399．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:49:57；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@；学号：20913800。