北师大版(理)数学教案：第1章第2节 命题、充分条件与必要条件

学必求其心得，业必贵于专精2．1充分条件2．2必要条件学习目标 1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义。

2。

掌握充分条件、必要条件的判断方法。

3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力．知识点一充分条件与必要条件的概念给出下列命题：（1）若x>a2＋b2,则x〉2ab；（2)若ab＝0,则a＝0。

思考1你能判断这两个命题的真假吗?思考2命题（1)中条件和结论有什么关系？命题（2)中呢?学必求其心得，业必贵于专精梳理一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说,由p可推出q，记作________，并且说p是q 的__________，q是p的__________．知识点二充分条件与必要条件的判断知识点三充分条件、必要条件与集合的关系思考“x〈2”是“x〈3”的__________条件,“x<3”是“x<2”的__________条件．＝{x梳理A＝{x｜x满足条件p}，B|x满足条件q｝类型一充分条件与必要条件的概念例1（1）判断下列说法中，p是q的充分条件的是______________________________．①p:“x＝1”，q：“x2－2x＋1＝0"；②已知α，β是不同的两个平面，直线a⊂α,直线b⊂β，p：a与b 无公共点,q:α∥β；③设a，b是实数，p：“a＋b〉0",q：“ab〉0”．（2）下列各题中，p是q的必要条件的是________．①p：x2〉2 016，q：x2〉2 015；②p:ax2＋2ax＋1〉0的解集是实数集R，q：0<a<1；③已知a，b为正实数，p：a〉b>1,q：log2a〉log2b>0.引申探究例1（1）中p是q的必要条件的是________．反思与感悟充分条件、必要条件的两种判断方法(1)定义法①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论,则条件为结论的充分条件,否则就不是充分条件；③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为结论的必要条件，否则就不是必要条件．（2）命题判断法①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件,同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,同时q也不是p的必要条件．跟踪训练1对任意实数a，b，c，在下列命题中,真命题是() A．“ac〉bc”是“a>b”的必要条件B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件C．“ac>bc"是“a>b”的充分条件D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件类型二充分条件与必要条件的应用例2已知p：x2－x－6≤0，q：x2－4x＋4－9m2≤0，若q是p的充分条件，求正实数m的取值范围．引申探究若将本例条件变为q是p的必要条件，求正实数m的取值范围．反思与感悟（1)设集合A＝｛x|x满足p｝，B＝{x｜x满足q｝，则p⇒q可得A⊆B；q⇒p可得B⊆A；p⇔q可得A＝B,若p是q的充分不必要条件，则A B.(2）利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系,要注意范围的临界值．跟踪训练2已知p：x<－2或x>10，q：x2－2x＋1－a2〉0,若p是q的必要条件,求负实数a的取值范围．1．若a∈R,则“a＝2"是“(a－1）(a－2)＝0”的(）A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件，也不是必要条件D．无法判断2．设x∈R，则x>2的一个必要条件是()A．x>1 B．x〈1C．x〉3 D．x<33．已知函数f(x）的定义域为R，函数f(x)为奇函数的________条件是f（0）＝0.(填“充分”或“必要”)4．“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0)的两根都大于3”是“错误!，”的________条件．(填“充分”或“必要”)5．是否存在实数p，使得x2－x－2>0的一个充分条件是4x＋p〈0，若存在，求出p的取值范围，否则，说明理由．1．充分条件、必要条件的判断方法(1）定义法:直接利用定义进行判断．(2）等价法：“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换,当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．（3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B,则p是q的必要条件；若A＝B,则p是q的充分必要条件．2．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组）进行求解．答案精析问题导学知识点一思考1(1）真命题;(2）假命题．思考2命题(1)中只要满足条件x>a2＋b2，必有结论x>2ab；命题(2)中满足条件ab＝0，不一定有结论a＝0,还可能有结论b＝0。

《充分条件与必要条件》一、背景分析1、学习任务分析：充要条件主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，目的是为今后的数学学习特别是数学推理的学习打下基础。

教学重点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义。

2、学生情况分析：学生在学习充要条件这一概念时的知识储备不够丰富，逻辑思维能力的训练不够充分，这也为教师的教学带来一定的困难。

所以教师在充要条件这一内容的新授教学时，不可拔高要求追求一步到位，而要在今后的教学中滚动式逐步深化，使之与学生的知识结构同步发展完善。

教学难点：“充要条件”这一节介绍了充分条件,必要条件和充要条件三个概念,由于这些概念比较抽象,中学生不易理解,用它们去解决具体问题则更为困难,因此“充要条件”的教学成为中学数学的难点之一,而必要条件的定义又是本节内容的难点.根据多年教学实践,学生对”充分条件”的概念较易接受,而必要条件的概念都难以理解.对于“B=>A”,称A是B的必要条件难于接受,A本是B推出的结论,怎么又变成条件了呢?对这学生难于理解。

教学关键：找出A、B，根据定义判断A=>B与B=>A是否成立。

教学中，要强调先找出A、B，否则，学生可能会对必要条件难以理解。

二、教学目标设计：（一）知识目标：1、正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念。

2、能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系。

3、在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系。

（二）能力目标：1、培养学生的观察与类比能力：“会观察”，通过大量的问题，会观察其共性及个性。

2、培养学生的归纳能力：“敢归纳”，敢于对一些事例，观察后进行归纳，总结出一般规律。

3、培养学生的建构能力：“善建构”，通过反复的观察分析和类比，对归纳出的结论，建构于自己的知识体系中。

（三）情感目标：1、通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受。

第一章预备知识第二节常用逻辑用语2.1必要条件和充分条件常用逻辑用语是逻辑思维的基本语言，是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具.本节的内容包括必要条件、充分条件、充要条件，通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．一．教学目标：1、理解必要条件，充分条件，充要条件的概念，2、能够判断命题之间的充分必要关系二. 核心素养1.数学抽象：必要条件，充分条件，充要条件概念抽象概括2.逻辑推理：本节内容依初中所学的定理，研究条件和结论的关系，引出本节知识点，从而体现数学知识的连贯性和逻辑性3. 数学运算：判断命题之间的充分必要关系；利用充分必要关系求参数4.直观想象：讲解本节知识，利用初中所学过的定理，分析它们条件与结论的关系，从而引出抽象概述了充分，必要的概念，这种教学方式让学生更能直接的理解一个命题中，条件与结论的关系5. 数学建模：常用逻辑用语是逻辑思维的基本语言，是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具.，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．重点：充分条件、必要条件的概念．难点：判断命题的充分条件、必要条件。

PPT一：必要条件与性质定理（1）知识引入定理1菱形的对角线互相垂直,即如果四边形为菱形,那么这个四边形的对角线互相垂直.定理1是菱形的性质定理，即对角线互相垂直是菱形必有的性质.也就是说，如果能确定四边形为菱形,那么一定可以得出这个四边形的对角线互相垂直，而一旦某个四边形的对角线不互相垂直，那么这个四边形一定不是菱形.思考交流：试用上面的方法分析定理2，定理3定理2如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.定理3如果两个三角形是全等三角形,那么这两个三角形的对应角相等.（2）必要条件的概述：一般地，当命题“若p,则q”是真命题时，称q是p的必要条件.也就是说，一旦q 不成立,p一定也不成立，即q对于p的成立是必要的.例如,在定理1中，“四边形的对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的必要条件.例1:将下面的性质定理写成“若p则q”的形式，并用必要条件的语言表述：(1) 平面四边形的外角和是360°；(2) 在平面直角坐标系中,关于(轴对称的两个点的横坐标相同.解(1) “平面四边形的外角和是360°”可表述为“若平面多边形为四边形，则它的外角和为360°”,所以“外角和为360°”是“平面多边形为四边形”的必要条件；(2)“在平面直角坐标系中，关于(轴对称的两个点的横坐标相同”可表述为“若平面直角坐标系中的两个点关于(轴对称，则这两个点的横坐标相同”，所以“两个点的横坐标相同”是“在平面直角坐标系中，两个点关于(轴对称”的必要条件.二．充分条件与性质判断(1)知识引入定理 4 若a>0, b>0,则ab>0.定理4是说:如果满足了条件a>0, b>0”,一定有结论ab>0. ,但要注意，使得ab>0的条件不唯一，例如，由a<0,b<0,也可以判定ab>0.实际上，定理4告诉我们：只要有了a>0,b>0"这个条件，就可以判定a b>0”.思考交流：试用上面的方法分析定理5，定理6定理5对角线互相平分的四边形是平行四边形.定理6平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似.（2）充分条件概述一般地，当命题“若p则q”是真命题时，称p是q的充分条件.综上，对于真命题“若p,则q”，即p q时，称q是p的必要条件，也称p是q的充分条件例2:用充分条件的语言表述下面的命题：(1) 若a=-b，则|a|=|b|(2) 若点C是线段AB的中点，则|AC|=|BC|(3) 当ac<0时,一元二次方程ax2十bx十c = 0有两个不相等的实数根.解( 1) “a = —b"是"|a|=|b|"的充分条件；（2）“点C是线段AB的中点”是“ | AC | =| BC|的充分条件；（3）“a c<0”是“一元二次方程ax2十bx十c = 0有两个不相等的实数根”的充分条件.三. 充要条件（1）知识引入勾股定理如果一个三角形为直角三角形，那么它的两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理的逆定理如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

充分条件与必要条件教案北师大版选修一、教学目标1. 理解充分条件和必要条件的概念。

2. 学会判断充分条件和必要条件。

3. 能够运用充分条件和必要条件解决实际问题。

二、教学内容1. 充分条件和必要条件的定义。

2. 判断充分条件和必要条件的方法。

3. 充分条件和必要条件在实际问题中的应用。

三、教学重点1. 充分条件和必要条件的概念。

2. 判断充分条件和必要条件的方法。

四、教学难点1. 理解充分条件和必要条件的区别。

2. 学会判断充分条件和必要条件。

五、教学方法1. 采用讲授法，讲解充分条件和必要条件的概念及判断方法。

2. 通过例题，让学生掌握充分条件和必要条件的应用。

3. 采用小组讨论法，让学生探讨充分条件和必要条件在实际问题中的运用。

第一章：充分条件和必要条件的定义1.1 引入概念：充分条件和必要条件1.2 讲解充分条件和必要条件的定义1.3 举例说明充分条件和必要条件的区别第二章：判断充分条件和必要条件的方法2.1 引入判断方法2.2 讲解判断充分条件和必要条件的方法2.3 举例说明判断方法的应用第三章：充分条件和必要条件在实际问题中的应用3.1 引入实际问题3.2 讲解充分条件和必要条件在实际问题中的应用3.3 举例说明应用方法第四章：总结与练习4.1 总结充分条件和必要条件的概念及判断方法4.2 布置练习题，让学生巩固所学知识第五章：拓展与提高5.1 引入拓展知识：充分条件和必要条件的推广5.2 讲解拓展知识5.3 举例说明拓展知识的应用六、教学目标1. 理解充分条件和必要条件与充分不必要条件、必要不充分条件的区别。

2. 学会判断充分不必要条件、必要不充分条件。

3. 能够在实际问题中运用充分不必要条件、必要不充分条件。

七、教学内容1. 充分条件和必要条件与充分不必要条件、必要不充分条件的定义。

2. 判断充分条件和必要条件与充分不必要条件、必要不充分条件的方法。

3. 充分条件和必要条件与充分不必要条件、必要不充分条件在实际问题中的应用。

1.2 充分条件与必要条件教案知识目标：1、理解充分条件、必要条件及充要条件的概念；理解“⇒”的含义。

2、初步掌握充分、必要条件及充要条件的判断方法。

3、在理解定义的基础上，能对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系。

能力目标：1、培养学生的阅读理解能力、归纳总结能力和逻辑推理能力。

2、培养学生数学语言与文字、符号、图形的翻译能力。

情感目标：1、把所学的逻辑知识运用到日常的生活、学习中来，让学生感受“生活中的逻辑”，增加对学习逻辑知识的兴趣和信心，克服畏惧感，激发求知欲。

2、通过以学生为主体的教学方法，让学生自己探索，发展体验获取知识的感受。

3、通过师生之间、学生之间的平等的合作与交流，使学生充分体验平等、民主、信任和关爱，形成较为丰富的人生态度和愉悦美好的情感体验。

“教学重难点分析”重点：充分条件、必要条件的概念和判断方法。

难点：1、必要条件的理解（这是学好本大节的关键）。

2、判断一些集合命题的真假（在以往的教学中，我发现学生易把结论判断反，因此我也把它作为本节课的难点）。

关键：找出题目中的p、q，判断p⇒q是否成立，同时．．还需判断q⇒p是否成立，再弄清是问“p是q的什么条件”还是问“q是p的什么条件”。

“教法与学法设计”本节课针对本校高一学生的认知水平和年龄特点以及这节课的内容特点，为了调动学生学习的积极性，使学生变被动学习为主动愉快的学习。

我以“建构主义”理论、教育心理学为指导，精心设计教学情景，激发学生学习兴趣，采用“交往式教学方法”。

本节课以问题为中心，以解决问题为主线展开，学生主要采用“探究式学习法”进行学习。

老师提出启发性、挑战性的问题，引导学生去探究，在探究问题的过程中激发学生的好奇心和创新精神，让学生充分展示自己、主动参与、共同交流，使整个课堂始终处于交互式的学习环境中。

“交往式教学方法”、“探究式学习法”充分体现了“以学生发展为本”的原则，充分体现了以“教师为主导，学生为主体”的原则。

1．2.1充分条件与必要条件一、教学目标:1.知识与技能：正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．2.过程与方法：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．３．情感、态度与价值观：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．二、教学重点与难点重点：充分条件、必要条件的概念．(解决办法：对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证．)难点：判断命题的充分条件、必要条件关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程(一)、创设情境当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”.那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子.那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题—充分条件与必要条件. （二）、活动尝试问题1：前面讨论了“若p则q”形式的命题的真假判断，请同学们判断下列命题的真假，并说明条件和结论有什么关系？（1）若x＝y，则x2＝y2（2）若ab = 0，则a = 0（3）若x2>1，则x>1（4）若x＝1或x ＝2，则x2－3x＋2＝0推断符号“⇒”的含义：“若p则q”为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立，记作p⇒q，或者q⇐p；如果由p推不出q，命题为假，记作p q.简单地说，“若p则q”为真，记作p⇒q（或q⇐p）；“若p则q”为假，记作p q（或q p）.（三）、师生探究命题(1)、 (4)为真，是由p经过推理可以得出q，即如果p成立，那么q一定成立，此时可记作“p⇒q”，命题(2)、（3）为假，是由p经过推理得不出q，即如果p成立，推不出q成立，此时可记作“p q.”说明：“p⇒q”表示“若p则q”为真，可以解释为：如果具备了条件p，就是以保证q 成立，即表示“p蕴含q”。

科目:数学教师：授课时间：第周星期年月日精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

学习资料专题§2充分条件与必要条件[对应学生用书P5]古时候有个卖油郎叫洛孝，一天他在卖油回家的路上捡到30两银子，回家后其母亲叫洛孝把银子还给失主．当洛孝把银子还给失主时，失主却说自己丢了50两银子，叫洛孝拿出自己私留的20两银子．两人为此争执不休，告到县衙，县官听了两人的供述后，把银子判给洛孝，失主含羞离去．设：A：洛孝主动归还所拾银两．B：洛孝无赖银之情．C：洛孝拾到30两银子，失主丢失50两银子．D：洛孝所拾银子不是失主所丢．问题1：县官得到结论B的依据是什么？它是B的什么条件？提示：A，充分条件．问题2：县官由C得出什么结论？它是C的什么条件？提示：D，必要条件．充分条件和必要条件如果“若p，则q”形式的命题为真命题，即p⇒q，称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件.已知：p：前年在伦敦举行第30届夏季奥运会．q：前年是2012年．问题1：“若p，则q”为真命题吗？p是q的什么条件？提示：是真命题，充分条件．问题2：“若q，则p”是真命题吗？p是q的什么条件？提示：是真命题，必要条件．问题3：p是q的什么条件？q是p的什么条件？提示：充要条件，充要条件．充要条件(1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，通常记作p⇔q，则称p是q的充分必要条件，简称充要条件．(2)p是q的充要条件也可以说成：p成立当且仅当q成立．(3)如果p，q分别表示两个命题，且它们互为充要条件，我们称命题p和命题q是两个相互等价的命题．(4)若p⇒q，但q⇒/ p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．(5)若p⇒/ q，且q⇒/ p，则p是q的既不充分也不必要条件．充分条件与必要条件的判断，即对命题“若p，则q”与“若q，则p”进行真假判断，若是一真一假则p是q的充分不必要条件或必要不充分条件；若是两真则p是q的充要条件；若是两假则p是q的即不充分又不必要条件．[对应学生用书P6][例1](1)p：a，b，c三数成等比数列，q：b＝ac；(2)p：y＋x>4，q：x>1，y>3；(3)p：a>b，q：2a>2b；(4)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC为等腰三角形．[思路点拨] 可先看p成立时，q是否成立，再反过来若q成立时，p是否成立，从而判定p ，q 间的关系．[精解详析] (1)若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ，b ＝±ac ，则p ⇒/ q ；若b ＝ac ，当a ＝0，b ＝0时，a ，b ，c 不成等比数列，即q ⇒/ p ，故p 是q 的既不充分也不必要条件．(2)y ＋x >4不能得出x >1，y >3，即p ⇒/ q ，而x >1，y >3可得x ＋y >4，即q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件．(3)当a >b 时，有2a>2b，即p ⇒q ，当2a>2b时，可得a >b ，即q ⇒p ，故p 是q 的充要条件．(4)法一：若△ABC 是直角三角形不能得出△ABC 为等腰三角形，即p ⇒/ q ；若△ABC 为等腰三角形也不能得出△ABC 为直角三角形，即q ⇒/ p ，故p 是q 的既不充分也不必要条件．法二：如图所示：p ，q 对应集合间无包含关系，故p 是q 的既不充分也不必要条件．[一点通]充分必要条件判断的常用方法：(1)定义法：分清条件和结论，利用定义判断．(2)等价法：将不易判断的命题转化为它的逆否命题判断． (3)集合法：设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，若x 具有性质p ，则x ∈A ；若x 具有性质q ，则x ∈B . ①若A B ，则p 是q 的充分不必要条件； ②若B A ，则p 是q 的必要不充分条件； ③若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；④若A B 且B A ，则p 是q 的既不充分又不必要条件．1．设集合A ＝{x |xx －3≤0}，集合B ＝{x ||x －2|≤1}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：集合A ＝{x |0≤x ＜3}，集合B ＝{x |1≤x ≤3}，则由“m ∈A ”得不到“m ∈B ”，反之由“m ∈B ”也得不到“m ∈A ”，故选D.答案：D2．对任意实数a ，b ，c 给出下列命题： ①“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件；②“a ＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件； ③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件； ④“a <5”是“a <3”的必要条件． 其中，真命题的序号是________．解析：①由a ＝b 可得ac ＝bc .但ac ＝bc 时不一定有a ＝b ，故①为假命题；②由“a ＋5为无理数”可得“a 为无理数”，由“a 为无理数”可得“a ＋5为无理数”，②为真命题；③由“a >b ”不能得出a 2>b 2，如a ＝1，b ＝－2，③为假命题；④“由a <5”不能得“a <3”，而由“a <3”可得“a <5”，④为真命题．答案：②④3．指出下列各组命题中p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件，并说明理由． (1)p ：|x |＝|y |，q ：x ＝y ；(2)在△ABC 中，p ：sin A ＞12，q ：A ＞π6.解：(1)因为|x |＝|y |⇒x ＝y 或x ＝－y ，但x ＝y ⇒|x |＝|y |，所以p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件．(2)因为0＜A ＜π时，sin A ∈(0,1]，且A ∈(0，π2]时，sin A 单调递增，A ∈[π2，π)时，sin A 单调递减，所以sin A ＞12⇒A ＞π6，但A ＞π6⇒/ sin A ＞12.所以p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件.[例2] n n 求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.[思路点拨] 本题可分充分性和必要性两种情况证明，即由q ＝－1推证数列{a n }为等比数列和由数列{a n }满足S n ＝p n＋q (p ≠0且p ≠1)为等比数列推证q ＝－1.[精解详析] (充分性)当q ＝－1时，a 1＝S 1＝p －1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝pn －1(p－1)，且n ＝1时也成立．于是a n ＋1a n ＝p n p －p n －1p －＝p (p ≠0且p ≠1)，即{a n }为等比数列．(必要性)当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q ； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝pn －1(p －1)．因为p ≠0且p ≠1，所以当n ≥2时，a n ＋1a n ＝p n p －p n －1p －＝p ，可知等比数列{a n }的公比为p .故a 2a 1＝p p －p ＋q＝p ，即p －1＝p ＋q ，求得q ＝－1.综上可知，q ＝－1是数列{a n }为等比数列的充要条件． [一点通]充要条件的证明问题，要证明两个方面，一是充分性，二是必要性．为此必须要搞清条件，在“A 是B 的充要条件”中，A ⇒B 是充分性，B ⇒A 是必要性；在“A 的充要条件是B ”中，A ⇒B 是必要性，B ⇒A 是充分性．4．不等式x 2－ax ＋1>0的解集为R 的充要条件是________． 解析：若x 2－ax ＋1>0的解集为R ，则Δ＝a 2－4<0，即－2<a <2.又当a ∈(－2,2)时，Δ<0，可得x 2－ax ＋1>0的解集为R ，故不等式x 2－ax ＋1>0的解集为R 的充要条件是－2<a <2.答案：－2<a <25．等差数列{a n }的首项为a ，公差为d ，其前n 项和为S n ，则数列{S n }为递增数列的充要条件是________．解析：由S n ＋1＞S n (n ∈N ＋)⇔(n ＋1)a ＋n n ＋2d ＞na ＋n n －2d (n ∈N ＋)⇔dn ＋a ＞0(n ∈N ＋)⇔d ≥0且d ＋a ＞0.因此数列{S n }为递增数列的充要条件是d ≥0且d ＋a ＞0.答案：d ≥0且d ＋a ＞06．求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. 证明：先证必要性：∵方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1， ∴x ＝1满足方程ax 2＋bx ＋c ＝0. ∴a ×12＋b ×1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0. ∴必要性成立．再证充分性：∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－a －b .代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0中可得：ax 2＋bx －a －b ＝0，即(x －1)(ax ＋b ＋a )＝0.故方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1.故关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.[例3] 已知p ：关于x 的不等式2＜x ＜2，q ：x (x －3)＜0，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．[思路点拨] 求出q 对应的集合，然后把问题转化为集合间的包含关系求解． [精解详析] 记A ＝{x |3－m 2＜x ＜3＋m2}，B ＝{x |x (x －3)＜0}＝{x |0＜x ＜3}， 若p 是q 的充分不必要条件，则A B . 注意到B ＝{x |0＜x ＜3}≠∅，分两种情况讨论： (1)若A ＝∅，即3－m 2≥3＋m2，解得m ≤0，此时AB ，符合题意；(2)若A ≠∅，即3－m 2＜3＋m2，解得m ＞0，要使AB ，应有⎩⎪⎨⎪⎧3－m2＞0，3＋m2＜3，解得0＜m ＜3.m ＞0，综上可得，实数m 的取值范围是(－∞，3)． [一点通]将充分、必要条件转化为集合的包含关系，是解决该类问题的一种有效的方法，关键是准确把p ，q 用集合表示，借助数轴，利用数形结合的方法建立方程或不等式，求参数的范围．7．已知条件p ：x 2＋x －6＝0，条件q ：mx ＋1＝0(m ≠0)，且q 是p 的充分不必要条件，求m 的值．解：解x 2＋x －6＝0得x ＝2或x ＝－3，令A ＝{2，－3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1m ，∵q 是p 的充分不必要条件，∴B A . 当－1m ＝2时，m ＝－12；当－1m ＝－3时，m ＝13.所以m ＝－12或m ＝13.8．已知M ＝{x |(x －a )2<1}，N ＝{x |x 2－5x －24<0}，若x ∈M 是x ∈N 的充分条件，求a 的取值范围．解：由(x －a )2<1得x 2－2ax ＋(a －1)(a ＋1)<0，∴a －1<x <a ＋1，M ＝{x |a －1<x <a ＋1}．又由x 2－5x －24<0得－3<x <8，N ＝{x |－3<x <8}． ∵x ∈M 是x ∈N 的充分条件，∴M ⊆N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥－3，a ＋1≤8，解得－2≤a ≤7.故a 的取值范围是[－2,7]．1．充分必要条件与四种命题之间的对应关系；(1)若p 是q 的充分条件，则原命题“若p ，则q ”及它的逆否命题都是真命题； (2)若p 是q 的必要条件，则逆命题及否命题为真命题； (3)若p 是q 的充要条件，则四种命题均为真命题．2．涉及利用充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，常利用命题的等价性进行转化，从集合的包含、相等关系上来考虑制约关系．[对应课时跟踪训练二1．“1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当1＜x ＜2时，必有x ＜2；而x ＜2时，如x ＝0，推不出1＜x ＜2，所以“1＜x＜2”是“x ＜2”的充分不必要条件．答案：A2．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像关于直线x ＝1对称的充要条件是( ) A ．m ＝－2 B ．m ＝2 C ．m ＝－1D ．m ＝1解析：函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像关于x ＝1对称⇔－m2＝1⇔m ＝－2.答案：A3．已知命题p ：“a ，b ，c 成等差数列”，命题q ：“a b ＋c b＝2”，则命题p 是命题q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若a b ＋c b＝2，则a ＋c ＝2b ，由此可得a ，b ，c 成等差数列；当a ，b ，c 成等差数列时，可得a ＋c ＝2b ，但不一定得出a b ＋c b＝2，如a ＝－1，b ＝0，c ＝1.所以命题p 是命题q 的必要不充分条件，故选A.答案：A4．“a ＞3”是“函数f (x )＝ax ＋2在区间[－1,2]上存在零点”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ＞3时，f (－1)f (2)＝(－a ＋2)(2a ＋2)＜0，即函数f (x )＝ax ＋2在区间[－1,2]上存在零点；但当函数f (x )＝ax ＋2在区间[－1,2]上存在零点；不一定是a ＞3，如当a ＝－3时，函数f (x )＝ax ＋2＝－3x ＋2在区间[－1,2]上存在零点．所以“a ＞3”是“函数f (x )＝ax ＋2在区间[－1,2]上存在零点”的充分不必要条件，故选A.答案：A5．直线l ：x －y ＋m ＝0与圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2有公共点的充要条件是________． 解析：直线l 与圆C 有公共点⇔|－1＋m |2≤2⇔|m －1|≤2⇔－1≤m ≤3.答案：m ∈[－1,3]6．在下列各项中选择一项填空： ①充分不必要条件②必要不充分条件 ③充要条件④既不充分也不必要条件(1)记集合A ＝{－1，p,2}，B ＝{2,3}，则“p ＝3”是“A ∩B ＝B ”的________；(2)“a ＝1”是“函数f (x )＝|2x －a |在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数”的________． 解析：(1)当p ＝3时，A ＝{－1,2,3}，此时A ∩B ＝B ；若A ∩B ＝B ，则必有p ＝3.因此“p ＝3”是“A ∩B ＝B ”的充要条件．(2)当a ＝1时，f (x )＝|2x －a |＝|2x －1|在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数；但由f (x )＝|2x －a |在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数不能得到a ＝1，如当a ＝0时，函数f (x )＝|2x －a |＝|2x |在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数．因此“a ＝1”是“函数f (x )＝|2x －a |在区间[12，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．答案：(1)③ (2)①7．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)?(1)p ：△ABC 中，b 2＞a 2＋c 2，q ：△ABC 为钝角三角形； (2)p ：△ABC 有两个角相等，q ：△ABC 是正三角形； (3)若a ，b ∈R ，p ：a 2＋b 2＝0，q ：a ＝b ＝0； (4)p ：△ABC 中，A ≠30°，q ：sin A ≠12.解：(1)△ABC 中，∵b 2＞a 2＋c 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＜0，∴B 为钝角，即△ABC 为钝角三角形，反之若△ABC 为钝角三角形，B 可能为锐角，这时b 2＜a 2＋c 2.∴p ⇒q ，q ⇒/ p ，故p 是q 的充分不必要条件． (2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立， ∴p ⇒/ q ，q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件．(3)若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，故p ⇒q ；若a ＝b ＝0，则a 2＋b 2＝0，即q ⇒p ，所以p 是q 的充要条件．(4)转化为△ABC 中sin A ＝12是A ＝30°的什么条件．∵A ＝30°⇒sin A ＝12，但是sin A ＝12⇒/ A ＝30°，∴△ABC 中sin A ＝12是A ＝30°的必要不充分条件．即p 是q 的必要不充分条件．8．求方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不相等的负实根的充要条件．解：①当a ＝0时，方程为一元一次方程，其根为x ＝－12，不符合要求；②当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0为一元二次方程，有两个不相等的负实根的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧4－4a >0，－2a <0，1a >0，解得0<a <1.所以ax 2＋2x ＋1＝0有两个不相等的负实根的充要条件是0<a <1.。

第一章预备知识第2节常用逻辑用语2.1必要条件与充分条件第一课时必要条件与充分条件必要条件与充分条件，是常用逻辑用语的第一个基本内容，是逻辑思维的基本语言。

对于一个命题，明确了“条件”是“结论”成立的必要性条件还是充分性条件，可以使学生的数学思维更加清晰，是培养学生逻辑思维能力的重要途径，学生能够熟练地使用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理和运算，为今后的数学学习，在思维的敏捷性、推理的准确性、语言表达的精炼性等方面，奠定坚实的基础。

(1)知识目标：掌握命题的概念和基本形式；通过典型的数学命题，理解必要条件、充分条件的含义，能够熟练地将数学命题改成必要条件或充分条件的表述形式；能够对命题中条件的必要性或充分性作出准确的判断。

(2)核心素养目标：提高学生数学表达、数学运算和数学思维的准确性，培养学生的逻辑推理能力和数学的运算能力。

（1）掌握命题的概念和基本形式；（2）理解必要条件、充分条件的含义，能够熟练地将数学命题改成必要条件或充分条件的表述形式；（3）能够对命题中条件的必要性或充分性作出准确的判断。

多媒体课件一、知识引入初中学习过“命题”的知识，可以判断真假、用文字或符号表述的陈述句叫作命题。

命题的一般形式是“若p，则q”，其中p是命题的条件，q是命题的结论，如果“若p，则q”是真命题，就说由p推出q，记作p⇒q。

如：平面上两条直线被第三条直线所截，如果两直线平行，那么同位角相等。

该命题为真命题，其中“平面上两条直线被第三条直线所截”是命题的前提，“如果两直线平行”是命题的条件，“那么同位角相等”是命题的结论。

思考讨论：定理1：菱形的对角线互相垂直.定理2：对顶角相等.定理3：如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应角相等.①将定理1、2改成“若p，则q”的形式.提示：定理1：如果一个四边形是菱形，那么它的对角线互相垂直.定理2：如果两个角是对顶角，那么它们相等.②定理1：如果一个四边形是菱形，那么它的对角线互相垂直。

充分条件与必要条件教案北师大版选修一、教学目标1. 让学生理解充分条件和必要条件的概念。

2. 培养学生判断充分条件和必要条件的能力。

3. 引导学生运用充分条件和必要条件解决实际问题。

二、教学内容1. 充分条件和必要条件的定义。

2. 判断充分条件和必要条件的方法。

3. 充分条件和必要条件在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：充分条件和必要条件的定义及其判断方法。

2. 教学难点：充分条件和必要条件在实际问题中的应用。

四、教学过程1. 导入：通过生活实例引入充分条件和必要条件的概念。

2. 新课讲解：讲解充分条件和必要条件的定义，举例说明。

3. 课堂练习：学生独立完成练习题，巩固知识点。

4. 案例分析：分析实际问题，运用充分条件和必要条件解决。

5. 总结：回顾本节课所学内容，加深理解。

五、课后作业1. 复习本节课所学内容，整理笔记。

2. 完成课后练习题，巩固知识点。

3. 选取一个实际问题，运用充分条件和必要条件进行分析。

六、教学评价1. 评价目标：评估学生对充分条件和必要条件的理解程度。

2. 评价方法：课堂提问、练习题、案例分析报告。

3. 评价内容：学生对充分条件和必要条件的定义、判断方法及实际应用的掌握情况。

七、教学策略1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究充分条件和必要条件的含义。

2. 通过生活实例和案例分析，帮助学生将理论知识与实际问题相结合。

3. 设计具有层次性的练习题，让学生在练习中巩固知识点，提高解题能力。

八、教学资源1. 教材：北师大版选修《数学》相关章节。

2. 辅助材料：PPT、案例分析资料、练习题。

3. 教学工具：黑板、投影仪、计算机。

九、教学进度安排1. 第1-2课时：讲解充分条件和必要条件的定义及判断方法。

2. 第3-4课时：通过案例分析，引导学生运用充分条件和必要条件解决实际问题。

3. 第5-6课时：课堂练习与课后作业的讲解与点评。

十、教学反思1. 反思教学内容：检查所讲解的充分条件和必要条件知识点是否全面，是否符合学生的学习需求。

第一章常用逻辑用语第2.1节充分条件第2.2节必要条件 教学过程：一、复习准备：写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假：（1）若0ab =，则0a =；（2）若0a >时，则函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加.二、讲授新课：1.认识“⇒”与“”：①在上面两个命题中，命题（1）为假命题，命题（2）为真命题.也就是说，命题（1）中由“0ab =”不能得到“0a =”，即0ab =0a =；而命题（2）中由“0a >”可以得到“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”，即0a >⇒函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加.②练习：教材P10 第1题2.教学充分条件和必要条件：①若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.上述命题（2）中“0a >”是“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”的充分条件，而“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”则是“0a >”的必要条件.②例1：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若1x >，则33x -<-；（2）若1x =，则2320x x -+=；（3）若()3x f x =-，则()f x 为减函数； （4）若x 为无理数，则2x 为无理数.（5）若12//l l ，则12k k =.（学生自练→个别回答→教师点评）解析:若p q ⇒，则p 是q 的充分条件解：（1）（2）（3）p 是q 的充分条件。

点评：判断p 是不是q 的充分条件，可根据若p 则q 的真假进行判断。

③变式练习：P10页 第2题④例2：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？（1）若0a =，则0ab =；（2）若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等；（3）若a b >，则ac bc >；（4）若x y =，则22x y =.（学生自练→个别回答→教师点评）解析:若p q ⇒，则q 是p 的必要条件。