第6节 二次函数与幂函数【选题明细表】知识点、方法 题号 幂函数的图象与性质 1,3,5,7,9,14 二次函数的图象与性质 2,4,6,8,11,12 二次函数的综合问题10,13,15,16基础对点练(时间:30分钟)1.函数y=√x 23的图象大致是( C )解析:y=√x 23=x 23,其定义域为x ∈R,排除A,B,又0<<1,图象在第一象限为上凸的,排除D.2.已知函数f(x)=x 2-2x+2的定义域和值域均为[1,b],则b 等于( C ) (A)3 (B)2或3 (C)2 (D)1或2解析:函数f(x)=x 2-2x+2在[1,b]上递增, 由已知条件{f(1)=1,f(b)=b,b >1,即{b 2-3b +2=0,b >1.解得b=2. 3.幂函数y=x m2-4m(m ∈Z)的图象如图所示,则m 的值为( C )(A)0 (B)1 (C)2(D)3解析:因为y=x m 2-4m (m ∈Z)的图象与坐标轴没有交点,所以m 2-4m<0,即0<m<4,又因为函数的图象关于y 轴对称,且m ∈Z,所以m 2-4m 为偶数,因此m=2.4.如果函数f(x)=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f(2+t)=f(2-t),那么( A ) (A)f(2)<f(1)<f(4) (B)f(1)<f(2)<f(4) (C)f(2)<f(4)<f(1) (D)f(4)<f(2)<f(1) 解析:因为f(2+t)=f(2-t),所以f(x)的图象关于x=2对称,又开口向上. 所以f(x)在[2,+∞)上单调递增,且f(1)=f(3). 所以f(2)<f(3)<f(4),即f(2)<f(1)<f(4).5.(2016南昌二中高三月考)a 为参数,函数f(x)=(x+a)·3x -2+a 2-(x-a)·38-x-3a是偶函数,则a 可取值的集合是( C )(A){0,5} (B){-2,5} (C){-5,2} (D){1,2 015}解析:因为函数f(x)=(x+a)·3x -2+a 2-(x-a)·38-x-3a是偶函数,所以f(x)=f(-x),所以f(x)=(x+a)·3x -2+a 2-(x-a)·38-x-3a=f(-x)=(-x+a)·3-x -2+a 2+(x+a) ·38+x-3a ,利用系数恒等关系可知8-3a=a 2-2.解方程得a=2或-5,故 选C.6.函数f(x)=ax 2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数a 的取值范围是( D ) (A)[-3,0) (B)(-∞,-3] (C)[-2,0] (D)[-3,0]解析:当a=0时,f(x)=-3x+1在[-1,+∞)上递减, 故a=0时满足题意.当a ≠0时,要使f(x)在[-1,+∞)上是减函数,则有{a <0,-a -32a≤-1,解得-3≤a<0.综上可知a 的取值范围是[-3,0].7.若(a+1)-12<(3-2a )-12,则a 的取值范围是( B ) (A)(,+∞) (B)(,) (C)(1,) (D)(,1)解析:因为f(x)=x -12的定义域为(0,+∞),且在(0,+∞)上是减函数, 所以原不等式等价于{a +1>0,3-2a >0,a +1>3-2a,即{a >-1,a <32,a >23.所以<a<.8.(2015合肥模拟)已知二次函数f(x)=ax 2+bx+1(a,b ∈R),x ∈R,若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)= . 解析:由题意知{f(-1)=a -b +1=0,-b2a=-1,解得{a =1,b =2, 所以f(x)=x 2+2x+1.答案:x 2+2x+19.若y=x a 2-4a -5是偶函数,且在(0,+∞)内是减函数,则整数a 的值是 . 解析:因为函数在(0,+∞)内是减函数,所以a 2-4a-5<0.所以-1<a<5,则整数a=0,1,2,3,4. 又函数是偶函数,所以a 2-4a-5是偶数,所以整数a 的值可以是1,3. 答案:1或310.设函数y=x 2-2x,x ∈[-2,a],求函数的最小值g(a).解:因为函数y=x 2-2x=(x-1)2-1.所以对称轴为直线x=1,而x=1不一定在区间[-2,a]内,应进行讨论. 当-2<a<1时,函数在[-2,a]上单调递减.则当x=a 时,y min =a 2-2a;当a ≥1时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增, 则当x=1时,y min =-1. 综上,g(a)={a 2-2a,-2<a <1,-1,a ≥1.能力提升练((时间:15分钟)11.设abc>0,二次函数f(x)=ax 2+bx+c 的图象可能是( D )解析:对于选项A,C都有{-b 2a<0,c <0,所以abc<0,故排除A,C;对于选项B,D,都有-b2a >0,即ab<0,则当c<0时,abc>0.选D.12.如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1,给出下面四个结论:①b 2>4ac; ②2a-b=1; ③a-b+c=0; ④5a<b.其中正确的是( B )(A)②④ (B)①④ (C)②③ (D)①③ 解析:因为图象与x 轴交于两点,所以b 2-4ac>0,即b 2>4ac,①正确; 对称轴为x=-1,即-b2a =-1,2a-b=0,②错误;结合图象,当x=-1时,y=a-b+c>0,③错误;由对称轴为x=-1知,b=2a,又函数图象开口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a<b,④正确.13.(2016衡水中学高二上第二次调研)已知正实数x,y满足xy+2x+y=4,则x+y的最小值为.解析:因为x,y为正实数,且xy+2x+y=4,设x+y=k>0,则y=k-x代入已知式子得x(k-x)+ 2x+k-x-4=0,整理得x2-(k+1)x-k+4=0,关于x的方程有解,所以Δ=[-(k+1)]2-4×(4-k)≥0,解之得k≤-3-2√6或k≥2√6-3,又因为k>0,所以k≥2√6-3,即x+y的最小值为2√6-3.答案:2√6-314.已知幂函数y=xα,α∈{-1,,1,2,3}的图象过定点A,且点A在直线2xm+=1(m>0,n>0)上,则log2(+)= .解析:由幂函数的图象知y=xα,α∈{-1,,1,2,3}的图象恒过定点A(1,1),又点A在直线2xm+=1(m>0,n>0)上,所以+=1.所以log2(+)=log2[2(+)]=log22=1.答案:115.已知函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-1,2]上有最大值4,求实数a的值.解:f(x)=a(x+1)2+1-a,①当a=0时,函数f(x)在区间[-1,2]上的值为常数1,不符合题意,舍去;②当a>0时,函数f(x)在区间[-1,2]上是增函数,最大值为f(2)=8a+1=4,解得a=;③当a<0时,函数f(x)在区间[-1,2]上是减函数,最大值为f(-1)=1-a=4,解得a=-3.综上a=或a=-3.16.已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为常数),x∈R,F(x)={f(x),x>0,-f(x),x<0.(1)若f(-1)=0,且函数f(x)的值域为[0,+∞),求F(x)的表达式;(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围;(3)设m·n<0,m+n>0,a>0且f(x)为偶函数,证明F(m)+F(n)>0.(1)解:因为f(-1)=0,所以a-b+1=0,a=b-1.又x∈R,f(x)的值域为[0,+∞),所以{a>0,Δ=b2-4a=0,所以b2-4(b-1)=0,b=2,a=1, 所以f(x)=x2+2x+1=(x+1)2.所以F(x)={(x+1)2,x>0,-(x+1)2,x<0.(2)解:g(x)=f(x)-kx =x 2+2x+1-kx =x 2+(2-k)x+1, 当k -22≥2或k -22≤-2时,即k ≥6或k ≤-2时,g(x)在[-2,2]上是单调函数.故所求实数k 的取值范围为(-∞,-2]∪[6,+∞). (3)证明:因为f(x)是偶函数, 所以f(x)=ax 2+1,F(x)={ax 2+1,x >0,-ax 2-1,x <0,因为m ·n<0,不妨设m>n, 则n<0,又m+n>0,m>-n>0,所以m 2>n 2, 又a>0,所以F(m)+F(n)=(am 2+1)-an 2-1=a(m 2-n 2)>0. 命题得证.精彩5分钟1.若f(x)是幂函数,且满足f(4)f(2)=3,则f()等于( C )(A)3 (B)-3 (C) (D)-解题关键:待定系数法求出函数的解析式. 解析:设f(x)=x n,则f(4)f(2)==2n=3,所以f()=()n==.2.已知函数f(x)=x 2+1的定义域为[a,b](a<b),值域为[1,5],则在平面直角坐标系内,点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积是( C ) (A)8 (B)6 (C)4 (D)2 解题关键:数形结合思想的应用.解析:由f(x)=x 2+1=5,得x 2=4, 即x=±2.故根据题意结合函数f(x)=x 2+1的图象得a,b 满足: -2<a ≤0且b=2或a=-2且0≤b ≤2,所以点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是一个边长为2的正方形如图,面积为4.3.方程x 2-mx+1=0的两根为α,β,且α>0,1<β<2,则实数m 的取值范围是 .解题关键:先用β将m 表示出来,再用函数的单调性求出实数m 的取值范围. 解析:因为{α+β=m,α·β=1,所以m=β+,因为β∈(1,2)且函数m=β+在(1,2)上是增函数, 所以1+1<m<2+,即m ∈(2,). 答案:(2,)。
