2010北京市高一数学竞赛

2008年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答一、填空题（满分40分，每小题答对得8分）1．在P (1, 1), Q (1, 2), M (2, 3), N (0.5, 0.25) 四个点中，能成为函数y = a x 的图像与其反函数的图像的公共点的只可能是 ．答：因为10.521110.2541616⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且111616110.25log log 0.542===，所以N (0.5, 0.25)可以是函数116x y ⎛⎫=⎪⎝⎭的图像与其反函数116log y x =的图像的公共点.易知，其余三点均不可能是函数y = a x 的图像与其反函数的图像的公共点．2．如右图所示，ABCD 是一张长方形纸片，将AD 、BC 折起，使A 、B 两点重合于CD 边上的点P ，然后压平得折痕EF 与GH ．若PE =2cm ，PG =1cm ，EGcm ．则长方形纸片ABCD 的面积为 cm ．解：由对称性知：AE =PE =2cm ，BG =PG =1cm ，所以AB = AE +EG +GB =PE +EG +PG(cm)，又由PE =2cm ，PG =1cm ，EG cm ，由余弦定理可知，在△PEG 中，∠EPG =120º，AD 等于△PEG 中边EG 上的高h ，易由△PEG 的面积求得AD = h =sin1203PE PG EG ⨯==(cm)． 所以，长方形纸片ABCD 的面积为(21)(37+==(cm)2． 3．二次函数f (x )满足f (–10) = 9，f (–6) = 7和f (2) = –9，则f (2008) = ．解：设f (x ) = ax 2+bx +c ，则由题意可得910010(1)7366(2)942(3)a b c a b ca b c =-+⎧⎪=-+⎨⎪-=++⎩由(1)减(3)得18 = 96a – 12b ，即3 = 16a – 2b ；由(2)减(3)得16 = 32a – 8b ，即4 = 8a – 2b ；解最后两式，得a = –18，b = –52． A D F E GB C P H C D以a = –18，b = –52代入 –9 = 4a +2b +c ，得c = –72． 因此，二次函数 f (x ) =2157822x x ---，所以 22008520087(2008)509031.5822f ⨯=---=-． 4．如图所示，线段OA = OB = OC =1，∠AOB = 60º，∠B OC = 30º，以OA ，OB ，OC 为直径画3个圆，两两的交点为M ，N ，P ，则阴影部分的曲边三角形的面积是 ．解：如图，连接AC ，AN ，BN ，AM ，BM ， MP ，NP ，OM ，ON ，OP ，易知∠OP A =∠OPC =90º，∠ANO =∠BNO = 90º，∠BMO =∠CNO = 90º，所以A ，P ，C 共线；A ，N ，B 共线；B ，M ，C 共线．由OA =OB =OC =1，可知P ，M ，N 分别是AC ，BC ，AB 的中点，MPNB 为平行四边形，BN =MP ，BM =NP ，所以BN 与MP 长度相等，BM 与NP 长度相等，因此，曲边三角形MPN 的面积= S MPNB =12S △ABC ， 而 S △ABC = S AOCB – S △AOC= S △+ S △– S △AOC=1114424+-=，所以，曲边三角形MPN 的面积=12S △ABC 5．对任意正实数x ，用F (x )表示log 2x 的整数部分，则F (1)+ F (2)+ F (3)+…+F (1022)+ F (1023) = ．解：对正整数n 我们实验分析找规律：n F (n )1 02，3 14，5，6，7 28，9，10，11，12，13，14，15 316，17，18，19，20，……，29，30，31 4…… ……规律：取值F (1)的正整数有1=20个，取值F (2)的正整数有2=21个，取值F (3)的正整数有4=22个，…… ……取值F (k )的正整数有2k –1=2F (k )个，所以F (1)+ F (2)+ F (3)+…+ F (1022)+ F (1023)= 0×20+1×21+2×22+3×23+…+9×29设T = 1×21+2×22+3×23+…+9×29，则2T = 1×22+2×23+3×24+…+9×210，于是T =–2–22–23–…–29+9×210 = –1022+9216=8194，即 F (1)+ F (2)+ F (3)+…+ F (1022)+ F (1023) = 8194．二、（满分15分）证明：111111tan3tan2tan1tan tan tan tan3tan2tan1tan tan tan 236236--+--=⋅⋅+⋅⋅．证明：1，2，3弧度都不等于2π+n π，n ∈Z ，则tan1,tan 2,tan 3都有意义.且tan1tan 21⋅≠，于是1tan1tan 20-⋅≠．∵ 1 + 2 = 3， ∴ tan(12)tan3+=，即 t a n 1t a n 2t a n 31t a n 1t a n 2+=-⋅， ∴ tan1tan2tan3tan1tan2tan3+=-⋅⋅ 因此 tan3tan2tan1tan3tan2tan1--=⋅⋅． （1）同理 由于 11106324π<<<<，11tan tan 136⋅≠，于是111tan tan 036-⋅≠， ∵ 111632+=， ∴ 111tan tan 632⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 即 11tan tan 163tan 1121tan tan 63+=-⋅， ∴ 111111tan tan tan tan tan tan 632236+=-⋅⋅， 因此 111111tan tan tan tan tan tan 236236--=⋅⋅． （2） （1）+（2）得 111111tan3tan 2tan1tan tan tan tan3tan 2tan1tan tan tan 236236--+--=⋅⋅+⋅⋅． 三、（满分15分）AB 是已知圆的一条弦，它将圆分成两部分，M 和N 分别是两段弧的中点，以B 为旋转中心，将弓形AMB 顺时针转一个角度成弓形1A B ，如图所示，1AA 的中点为P ．求证：MP NP ⊥．证明：取AB 的中点C ，A 1B 的中点C 1，易知A 1B =AB ，于是A 1C 1=AC ．连接MC 1，NC ，则MC 1⊥A 1B ，NC ⊥AB ，在未旋转时，C 1与C 是同一点，MN 是垂直于AB 的直径，由相交弦定理得MC 1·NC =AC ·CB =AC 2．连接PC ，PC 1，则111//,//PC AC PC A C ，∠A 1C 1P =∠C 1PC =∠ACP ，所以 MC 1·CH =PC 1·PC ，即11MC PC PC CN=， 又 ∠MC 1P =90º+∠A 1C 1P =90º+∠ACP =∠NCP ，所以 △MC 1P ∽△PCN ，所以∠MPC 1=∠PNC ．…（12分）设PN 交AB 于K ，∠C 1PN =∠CKN ，所以 ∠MPN =∠MPC 1+∠C 1PN =∠PNC+∠CKN =90º，因此MP NP ⊥． 四、（满分15分）定义在区间[0, 1]上的函数f (x )满足f (0)= f (1)=0，且对任意的x 1, x 2∈[0, 1]都有f (122x x +)≤f (x 1)+ f (x 2)． (1) 证明，对任意的x ∈[0, 1]都有f (x )≥0；(2) 求f (34)的值； (3) 计算f (12)+f (14)+…+ f (12k )+…+ f (200812)． 解：(1) 任取x 1= x 2= x ∈[0, 1]，则有f (22x )≤f (x )+ f (x )， 即 f (x )≤2f (x )，于是f (x )≥0，所以，对任意的x ∈[0, 1]都有f (x )≥0．(2) 由f (0)= f (1)=0，得f (012+)≤f (0)+ f (1)=0+0=0，于是f (12)≤0． 但由(1)的结果知f (12)≥0，所以f (12)=0， 由f (12)=0，f (1)=0，则f (1122+)≤f (12)+ f (1)=0+0=0，于是f (34)≤0． 由(1)的结果知f (34)≥0，所以f (34)= 0． (3) 由f (0)=0，f (12)=0，得f (1022+)≤f (0)+ f (12)=0+0=0，于是f (14)≤0． 但由（1）的结果知f (14)≥0，所以f (14)=f (212)=0，继续求下去，可得 f (12k )=0，k =1, 2, 3,…, 2008． 因此，f (12)+f (14)+…+ f (12k )+…+ f (200812)=0． 五、（满分15分）北京市中学有m (m ＞2)位中学生为“北京奥运会”共提交了n 条不同的建议，已知其中任两名学生提交的建议中至少有一条建议是相同的，也至少有一条建议是不同的．求证：提交建议的学生数m 不超过2n –1．证明：设A 为m 位中学生所提不同建议的集合，A i (i =1, 2, …, m )表示 第i 个学生提的建议的集合，以│X │表示集合X 中元素的个数，X 表示X 的补集，则│A │=n ；因为任两名学生提出的建议中都至少有一条是相同的，也至少有一条是不同的，所以A i ∩A j ≠ Ø，A i ≠ A j ，(1≤i ≤j ≤m )．因为 A i ∩i A =Ø，可以断定(,1,2,,i j A A i j m ≠=且)i j ≠． 如若不然，假设某个i j A A =，由A i ∩i A =Ø可得A i ∩A j = Ø，与A i ∩A j ≠ Ø矛盾！ 这样就形成了如下的2m 个集合：1212,,,,,,,m m A A A A A A ，他们都是A 的子集合，且彼此不等．因为n 个元素的集合的子集个数为2n ，所以 2m ≤2n ，即m ≤2n –1．事实上，等号可以达到，我们通过n = 4的情况说明，m 可以等于24–1=8；比如：{a},{a, b},{a, c},{a, d},{a, c, d},{a, b, c},{a, b, d},{a, b, c, d} 就是一例．所以，提交建议的学生数m不超过2n–1．。

高考数学母题保值区间年福建高考试题)设非空集合S={x|m ≤x ≤n}满足:当x ∈S 时,有x 2∈S.给出如下三(A)0 (B)1 (C)2 (D)3[解析]:①若m=1,由m ≤x ≤n ⇒1≤x ≤n ⇒1≤x 2≤n 2;又由x 2∈S ⇒n 2≤n ⇒n=1⇒S={1};②若m=-21,由m ≤x ≤n ⇒-21≤x ≤n ⇒0≤x ≤max{41,n 2};又由x 2∈S ⇒max{41,n 2}≤n ⇒41≤n ≤1;③若n=21,由m ≤x ≤n ⇒m ≤x ≤21;(i)当m>0时,m 2≤x 2≤41;又由x 2∈S ⇒m 2≥m,且m ≤21⇒m ∈∅;(ii)当m ≤0时,0≤x ≤max{41,m 2};又由x 2∈S ⇒max{41,m 2}≤21 ⇒m 2≤21⇒-22≤m ≤0.故选[点评]:本题是一道以集合为背景的形似不等式的问题,但实质是函数的保值区间问题,当函数自变量的取值区间与对应函数值的取值区间相同时,这样的区间称为函数的保值区间;令f(x)=x 2,x ∈S,则x 2∈S ⇔f(x)∈S;函数f(x)与y=x 的图像如图①若m=1,由m ≤x ≤n ⇒1≤x ≤n;又由f(x)∈S ⇒n=1⇒S={1};②若m=-21,由m ≤x ≤n ⇒-21≤x ≤n;又由f(x)∈S ⇒41≤n ≤1;③若n=21,由m ≤x ≤n ⇒m ≤x ≤21;又由f(x)∈S ⇒-22≤m ≤0.故选(D). 在函数的三要素:定义域、解析式和值域中,定义域和解析式是函数的“基本量”,即由函数的定义域和解析式可唯一确定函数的值域,但由函数的解析式和值域不能唯一确定函数的定义域;解答函数的定义域与值域的关系问题常用的方法是图解法,即通过作出所给函数的图像直观分析求解;或通过研究函数的单调性分析求解.着意于函数的定义域和值域的关系,是高考命题的出发点之一.年广东高考模拟试题)当函数的自变量取值区间与值域区间相同时,我们称这样的区间为该函数的保值区间.函数的保值区间有(-∞,m]、[m,n]、[n,+∞)三种形式.以下四个二次函数图象的对称轴是直线l,从图象可知,有2个保值区间的函数是( )[解析]:图(A)中无保值区间;设直线y=x 与二次函数y=ax 2+bx+c 的图象交于A(m,m),B(n,n),图(B)中,有3个保值区间[m,n]、[m,+∞)、[n,+∞);图(C)中,有2个保值区间[k,+∞)、[n,+∞),其中,k=ab ac 442-;图(D)中,有1个保值区间(-∞,m].故选(C).注:关于二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a>0)的保值区间有如下结论:①当f(x)与y=x 无交点时,f(x)无保值区间;②当f(x)与y=x 恰有一个交点A(m,m)时,f(x)恰有1个保值区间[m,+∞);③当f(x)与y=x 有二个交点A(m,m)、B(n,n)(m<n),且-ab2 272 [母题]Ⅰ(5-33):保值区间(094)≤m 时,f(x)恰有3个保值区间[m,n]、[m,+∞)、[n,+∞);④当f(x)与y=x 有二个交点A(m,m)、B(n,n)(m<n), m<-ab2<n且f(k )>n 时,f(x)恰有2个保值区间[k,+∞)、[n,+∞),其中,k=ab ac 442-;⑤当f(x)与y=x 有二个交点A(m,m)、B(n,n)(m<n),m<-ab2<n 且f(k )≤n 时,f(x)恰有3个保值区间[k,n]、[k,+∞)、[n,+∞),其中,k=a b ac 442-.年江苏省高考试题)设函数f(x)=-||1x x+,区间M=[a,b](a<b),集合N={y|y=f(x),x ∈M},则使M=N 成立的实数对(a,b)有( )(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)无数多个[解析]:(法一)由y=-x 是奇函数,y=1+|x|是偶函数⇒f(x)是奇函数;又因当x>0时,f(x)=-||1x x +=-1+x x =11+x -1⇒f(x)在(0,+∞)内单调递减⇒f(x)在(-∞,+∞)内单调递减;集合N 的意义是f(x)的定义域为M 时的值域,所以M=N ⇔f(a)=b,f(b)=a ⇔-||1a a +=b,-||1b b+=a,两式相乘得|)|1|)(|1(b a ab++=ab ⇒ab=0,或(1+|a|)(1+|b|)=1⇒a=b=0,与己知a<b 矛盾.故选(法二)当x>0时,f(x)=11+x -1⇒其图像如图由f(x)是奇函数⇒f(x)的图像如图:由图知,f(x)不存在保值区间.故选(A).注:对于单调函数f(x)存在保值区间[a,b]有如下结论:①若f(x)单调递增,则f(a)=a,且f(b)=b ⇔方程f(x)=x 有两个不等根a,b;②若f(x)单调递减,则f(a)=b,且f(b)=a.年江西高考试题)设函数f(x)=c bx ax ++2(a<0)的定义域为D,若所有点(s,f(t))(s,t ∈D)构成一个正方形区域,则a 的值为( )(A)-2 (B)-4 (C)-8 (D)不能确定[解析]:由所有点(s,f(t))(s,t ∈D)构成一个正方形区域⇔f(x)的值域为D;设ax 2+bx+c=0的两根分别为x 1,x 2(x 1<x 2),则D=[x 1,x 2],f(x)的值域为[0,a b ac 442-]⇒x 1=0⇒c=0⇒x 2=-a b ⇒-a b =a b ac 442-⇒-a b =ab 42-⇒a 2=-4a ⇒a=-4.故选(B).注:本题利用条件:“所有点(s,f(t))(s,t ∈D)构成一个正方形区域”包装函数f(x)存在保值区间,体现了高考命题的一个方向;已知函数存在保值区间,求参数的值(或范围)是保值区间问题的一个重要题型. 1.(1997年第八届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)当a>1时,若函数f(x)=21x 2-x+23的定义域和值域都是[1,a],则a= .2.(典型题)函数y=|2x-1|的定义域与值域均为[a,b](b>a),则a+b=( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)43.(2007年全国高中数学联赛湖北预赛试题)对于函数f(x)=bx ax +2,存在一个正数b,使得f(x)的定义域和值域相同,则非零实数a 的值为 .4.(2010年北京市中学生数学竞赛高一试题)已知函数f(x)=x 2−1的定义域为D,值域为{−1,0,1,3},试确定这样的集合D 最多有多少个．[母题]Ⅰ(5-33):保值区间(094) 2735.(2008年天津高考试题)设a>1,若仅有一个常数c 使得对于任意的x ∈[a,2a],都有y ∈[a,a 2]满足方程log a x+log a y=c,这时a 的取值的集合为 .6.(2003年江苏省数学夏令营数学竞赛题)如图,已知函数y=2x2在[a,b](a<b)上的值域为[0,2],则点(a,b)的轨迹为图中的( ) (A)线段AB 、BC (B)线段AB 、OC (C)线段OA 、BC (D)线段OA 、OC 7.(2004年北京高考试题)函数f(x)=⎩⎨⎧∈-∈Mx x Px x ,,,其中P,M 为实数集R 的两个非空子集,又规定f(P)={y|y=f(x),x ∈P},f(M)={y|y=f(x),x ∈M}.给出下列四个判断:①若P ∩M=∅,则f(P)∩f(M)=∅;②若P ∩M ≠∅,则f(P)∩f(M)≠∅;③若P ∪M=R,则f(P)∪f(M)=R;④若P ∪M ≠R,则f(P)∪f(M)≠R.其中正确判断有( )(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 8.(2007年全国高中数学联赛陕西初赛试题)定义区间[x 1,x 2](x 1<x 2)的长度为x 2-x 1.己知函数y=|x 21log |的定义域为[a,b],值域为[0,2],则区间[a,b]长度的最大值与最小值的差为 . 9.(2010年全国高中数学联赛内蒙古预赛试题)已知函数f(x)=-21x 2+x.若函数f(x)的定义域为[m,n](m<n)时,值域为 [km,kn](k>1),则m,n,k 的关系是 .10.(2011年全国高中数学联赛湖北预赛试题)已知函数f(x)=x 2-2|x|+2的定义域为[a,b](其中a<b),值域为[2a,2b],则符合条件的数组(a,b)为 .11.(2000年全国高中数学联赛试题)若函数f(x)=-21x 2+213在区间[a,b]上的最小值为2a,最大值为2b,求[a,b]. 12.(2004年全国高中数学联赛河南初赛试题)己知二次函数f(x)=ax 2+bx+a,满足条件:f(x+47)=f(47-x),且方程f(x)=7x+a 有两个相等的实根. (Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)是否存在实数m 、n(0<m<n),使f(x)的定义域和值域分别是[m,n]和[n 3,m3]？如果存在,求出m 、n 的值;若不存在,请说明理由.1.解:由f(x)=x ⇒21x 2-x+23=x ⇒x=1,3;又f(x)在区间[1,3]内单调递增⇒当x ∈[1,3]时,f(x)的值域是[1,3]⇒a=3. 2.解:由|2x-1|=x ⇒x=0,1;又f(x)在[0,1]内递增⇒当x ∈[0,1]时,f(x)的值域是[0,1]⇒a=0,b=1⇒a+b=1.故选(A). 3.解:若a>0, f(x)的定义域为D=(-∞,-ab]∪[0,+∞),但f(x)的值域A=[0,+∞),不合要求;若a<0,对于正数b,f(x)的 274 [母题]Ⅰ(5-33):保值区间(094)定义域为D=[0,-a b ],由于此时f max (x)=f(-a b 2)=a b -2⇒f(x)的值域A=[0,ab -2],由D=A ⇒-a b =a b-2⇒a=-4. 4.解:由f(x)=-1⇒x=0;f(x)=0⇒x=-1,1;f(x)=1⇒x=-2,2;f(x)=3⇒x=-2,2⇒0∈D,-1,1至少一个属于D,有3种选择;-2,2至少一个属于D,有3种选择;-2,2至少一个属于D,有3种选择⇒这样的D 共有3×3×3=27个.5.解:由log a x+log a y=c ⇒xy=a c⇒y=x a c ;任意的x ∈[a,2a],值域为[a a c 2,a a c ];由[a a c 2,a a c ]⊆[a,a 2]⇒a a c 2≥a,aa c ≤a 2⇒c ≥log a 2+2,c ≤3⇒log a 2+2≤c ≤3;又由常数c 仅有一个⇒log a 2+2=3⇒a=2⇒a 的取值的集合为{2}.6.解:由函数y=2x 2在[a,b](a<b)上的值域为[0,2],①当a=-1时,0≤b ≤1⇒点(a,b)的轨迹为图中的线段BC;②当b=1时,-1≤a ≤0⇒点(a,b)的轨迹为图中的线段AB.故选(A).7.解:由函数f(x)的定义知,P ∩M=∅,或P ∩M={0};当f(x)=|x|(x ≠0),P=(0,+∞),M=(-∞,0)时,f(P)=f(M)=(0,+∞)⇒①错;若P ∩M ≠∅⇒P ∩M={0}⇒0∈f(P)∩f(M)⇒f(P)∩f(M)≠∅⇒②正确;当f(x)=|x|,P=[0,+∞),M=(-∞,0)时,P ∪M=R,但f(P)∪f(M)=[0,+∞)⇒③错;假设f(P)∪f(M)=R ⇒∀x ∈R,都有x ∈f(P)∪f(M)⇒x ∈f(P)或x ∈f(M)⇒x ∈P 或-x ∈M ⇒x ∈P ∪M ⇒P ∪M=R,矛盾⇒④正确.故选(B). 8.解:由y=|log 2x|,令|log 2x|=0⇒x=1,令|log 2x|=2⇒x=41,4;作其图像知,区间[a,b]长度的最大值时,[a,b]=[41,4],区间[a,b]长度的最小值时,[a,b]=[41,1]⇒区间[a,b]长度的最大值与最小值的差=(4-41)-(1-41)=3. 9.解:由f(x)=kx ⇒-21x 2+x=kx ⇒x=0,2(1-k);作f(x)的图像知,m,n,k 的关系是n=0,m=2(1-k). 10.解:由f(x)=2x ⇒x 2-2|x|+2=2x(x>0)⇒x=2-2,2+2;令2x=1⇒x=21⇒(a,b)=(21,2+2). 11.解:①若a<b<0,则f(x)在[a,b]内单调递增⇒⎩⎨⎧==bb f a a f 2)(2)(⇒a,b 是方程f(x)=2x 的两根,f(x)=2x ⇒x 2+4x-13=0,而该方程无两负根;②若a<0≤b,则f(x)在[a,b]内的最大值=f(0)=213⇒b=413,此时f(b)=f(413)>0≠2a,所以只有f(a)=2a ⇒ a=-2-17;③若0≤a<b,则f(x)在[a,b]内单调递减⇒⎩⎨⎧==ab f ba f 2)(2)(⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+13413422a b b a ,两式相减得:a+b=4⇒a 2-4a+3=0⇒a=1, 3⇒a=1,b=3. 12.解:(Ⅰ)由f(x+47)=f(47-x)⇒-a b 2=47⇒b=-27a ⇒f(x)=ax 2-27ax+a;又由f(x)=7x+a,即ax 2-(27a+7)x=0有等根⇒27a+7=0⇒a=-2⇒f(x)=-2x 2+7x-2; (Ⅱ)由f(x)=x3⇒-2x 2+7x-2=x3(x>0)⇒2x 3-7x 2+2x+3=0⇒x=1,3;又f max (x)=f(47)=833,令x3=833⇒x=118⇒m=118,n=3. 13.解:(Ⅰ)由f(1)=4,f '(1)=0⇒a=-6,b=9⇒f(x)=x 3-6x 2+9x ⇒f '(x)=3(x-1)(x-3)⇒f(x)在区间(-∞,1)和(3,+∞)内递增,在区间(1,3)内递减;(Ⅱ)由f(x)=x(x>0)⇒x=2,4,作图知,f(x)保值区间为[0,4].故不存在“正保值区间”.14.解:(Ⅰ)由f '(x)=x(x-1)e x ,①当-2<t ≤0时,单调增区间为[-2,t];②当0<t<1时,单调增区间为[-2,0],减区间为[0,t];(Ⅲ)假设函数()g x 存在保值区间[a,b].由g '(x)=(x+1)(x-1)e x ⇒g(x)单调递增⇒a,b 是方程g(x)=x,即(x-1)2e x=x 的两根⇒h(x)=(x-1)2e x -x 有两个大于1的零点;由h '(x)=(x 2-1)e x -1⇒h ''(x)=(x 2+2x-1)e x>0⇒h '(x)在(1,+∞)上单增⇒h '(x)存在唯一的零点x 0⇒h(x)在x 0处取得极小值;又h(1)=-1<0⇒h(x)在(1,+∞)上只有一个零点⇒不存在保值区间.(永定一中2014届高中毕业班适应性考试)已知函数2()()x f x ax bx c e =++在1x =处取得极小值，其图象过点(0,1)A ，且在点A 处切线的斜率为1-． (I)求()f x 的解析式；(II)设函数()g x 的定义域为D ，若存在区间[,]m n D ⊆，使得()g x 在[,]m n 上的值域也是[,]m n ，则称区间[,]m n 为函数()g x 的“保值区间”． ①请写出()f x 的一个“保值区间”(不必证明）； ②证明：当1x >时，函数()f x 不存在“保值区间”．。

2015年北京市中学生数学竞赛高一年级获奖名单一等奖（86名）姓名性别年级学校姓名性别年级学校胡宇征男高一北京四中孙景波男高一人大附中周行健男高一人大附中张迪威女高一人大附中吴子涵男高一北师大实验中学鹿星怡女早九人大附中夏晨曦男高一北师大二附中陈康安男高一十一学校王璐女高一人大附中黄镇男高一十一学校李子俊男高一清华附中杨思远男高一北师大实验中学王阳晟男高一北京四中刘凝丰男高一北京四中邱厚德男早十人大附中张有辰男初二北师大实验中学刘宇航男高一北京四中于宸锴男高一人大附中初佳慧女高一北师大实验中学杨嗣祺女高一十一学校张起帆男高一北师大实验中学高云晖男高一北京五中甄家晖男高一北师大实验中学庆语其男高一北师大实验中学张宁馨女高一北师大实验中学戴铭宇男高一人大附中张伟一男高一清华附中顾子杉男高一人大附中单梦伊女高一人大附中尚正元男高一人大附中郑博钰男早九人大附中白瑞祺男高一十一学校金泽宇女高一北师大实验中学王与常男高一北京四中陈晓铮男高一北师大实验中学昝思研男高一北京四中张一男高一民大附中赫峘男高一北京一零一中张峰玮男高一人大附中李靖阳男高一北京一零一中薛彦钊男高一人大附中杨关霖男高一北师大实验中学马浩睿男高一十一学校徐宣哲男高一北师大实验中学冯韫禛男高一人大附中杨煦男初二北师大实验中学尹泽龙男初三北京二中李岩楷男高一人大附中贾纪元男高一人大附中栾诗颖女高一人大附中施宏建男高一十一学校丁如仪女早九人大附中徐天杨男高一北京一零一中宗馨女高一人大附中向子木男高一北师大实验中学王浩领男高一北师大二附中徐明宽男高一北师大实验中学刘雨辰男初三十一学校王昕阳男高一北师大实验中学肖子豪男初三十一学校李沛岩男高一北师大实验中学张凯勃男初三十一学校李效晟男高一北师大实验中学李延一男高一十一学校王子轩男高一人大附中徐浩轩男初二北师大实验中学董昕妍女高一人大附中李沐晗男高一北师大实验中学吴杰乐男高一人大附中武建宇男高一北师大实验中学岳楷键男高一十一学校邹舒涵男高一清华附中赵昕曈男初三北京四中张鸿儒男高一人大附中王天旭男高一北京四中吴雨川男高一人大附中申睿男高一北师大实验中学刘鑫焱男高一首师大附中姚瑞辰男高一汇文中学张禹哲男高一首师大附中孔鼎问男初三人大附中徐元新男高一北京二十中高翌佳女高一人大附中秦安祺女高一北京二中陈子瑄男高一人大附中吴晓航男高一北工大附中二等奖（124名）姓名性别年级学校姓名性别年级学校强少华男高一北京四中杨翟女高一北京一零一中刘旻轩男高一北京四中张梓博男高一北师大实验中学秘玮晨女高一北京四中王羽超男高一北师大实验中学孙枫男高一北师大二附中黄烁男初三北京二中王祉衡男高一北师大实验中学陈嘉旋男高一汇文中学武益阳男高一北师大附属中学彭丁宇男高一景山学校谭智泉男高一北师大实验中学金戈骁男高一清华附中谷宇辰男高一北师大实验中学冯春元男高一清华附中张卓敏男高一北师大实验中学武明睿男早十人大附中肖广瀚男高一北师大实验中学赵睿文男高一人大附中杨淏宁男高一景山学校吴博洋男高一人大附中分校聂桢轲男高一人大附中赵昊喆男高一十一学校李婧女高一人大附中杨睿男高一北师大实验中学韦锦鹏男高一人大附中赵明昊男高一北京八中张峰瑞男高一人大附中魏雪晴女高一北京四中管畅男高一人大附中邹寒凝男初三北京五中分校邓京阳男高一人大附中翁纪伦男高一北师大实验中学陈子言男高一人大附中祁晟男高一景山学校郑汉唐男高一人大附中张梓悦男高一清华附中陈淼男高一人大附中汪子骐女高一人大附中丁芊屹男高一北师大二附中王子涵男高一人大附中钱博翀男初三十一学校田文宇男高一人大附中李个男高一十一学校房东柯男早九人大附中付雪融女高一北师大实验中学刘紫箫男高一首师大附中肖玉女高一北京四中刘武傲男高一民大附中刘晶女高一北师大二附中王子晗女高一北京八中孟祖平男高一北师大实验中学宋心怡女初三北京二中许沁宁男高一清华附中张睿齐男初三北京五中分校王梓晗男早九人大附中高铭洋男高一北师大二附中李凯文男高一北师大附中赵福民男高一北师大实验中学原思聪女高一北京四中樊金昊男高一民大附中孙司宇男高一北师大实验中学毛思哲男高一牛栏山一中邓天丞男高一北师大实验中学任纪铭男高一清华附中冯致铭男高一清华附中王一尧男高一清华附中贺文迪男高一人大附中卫钰杰女高一清华附中王梓凝男高一人大附中周英博男高一人大附中袁杰男高一人大附中赵晟宇男高一人大附中焦宇翔男早九人大附中丛雨键男高一人大附中孙焕宸男高一北京四中谭镇涛男高一十一学校刘晓冰女高一北京四中成嘉维男高一十一学校刘晨屹男高一北师大实验中学王兆祺男高一十一学校张云柯男高一人大附中吴明辉男高一十一学校于孟桐男高一北京四中郭杨男高一十一学校田原男高一北京五中袁子麟男高一北师大实验中学米颖馨女高一顺义一中王庭萱男高一人大附中王焱男高一北师大二附中林瑞忞男高一人大附中分校刘大为男高一北京八中朱贝鸣女高一十一学校孙兆瑞女高一北京四中徐家兴男初三十一学校葛逸盟女高一北师大二附中鲁子初男高一十一学校张瑞霖男高一北师大实验中学梁恩硕男高一十一学校刘恺闻男高一北师大实验中学侯瑞童男高一十一学校张孝为男高一民大附中刘镔诺男高一十一学校赵一萌女高一民大附中巩煜聪男初三十一学校刘海多男高一清华附中杨熙贤男高一首师大附中彭诚男高一清华附中许锦文男高一中关村中学崔若鹏男高一清华附中蒋怡雯女高一北京四中张玮誉女高一清华附中周晨昊男高一北师大附中王疏影女高一清华附中张伊凡男高一北师大实验中学李硕秋男高一人大附中彭汉唐男高一北师大实验中学关文研女早九人大附中张庭轩男高一北师大实验中学何舒扬男高一人大附中李岱轩男高一十一学校王梓涵男高一人大附中张葆圣男高一东直门中学三等奖（138名）姓名性别年级学校姓名性别年级学校刘旭晗女高一北京四中余天枢男高一北京四中王煦彤男初三北京一零一中刘述凯男高一北京四中王维曦男高一北师大实验中学孟李皎悦女高一北京一零一中朱开元男高一民大附中余秋辰男高一北师大二附中李毅男高一民大附中陈远洲男初二北师大实验中学张子建男高一清华附中丁胜昊男高一北师大附属中学郜叶欣男高一清华附中岳顺禹男高一北师大实验中学陆宇豪男高一人大附中滕生宇男高一清华附中苗瀚男高一人大附中李卓扬男高一清华附中陈炤桦男高一人大附中赵子荀男早十人大附中王骁飞男高一人大附中分校向未来男高一人大附中倪淏琪男高一十一学校孙宇聪男高一十一学校李昱辰男高一十一学校钟钰男高一十一学校张嘉宸男高一十一学校刘晟芊男高一十一学校胡时京男高一北京一零一中潘明轩男初三十一学校冯济尘男高一北师大实验中学梁雪航男高一十一学校王珂音女高一人大附中赵嘉卿男高一首师大附中邱子龙男早九人大附中张家铭男高一八一中学管昕航男高一人大附中鄢语轩男高一北京五中陈浩澜男高一十一学校刘梓锋男高一北京五中张雨杉女高一汇文中学扬子江男初三北京一零一中杨云舒女高一清华附中周天宇男高一北师大实验中学袁韬男高一人大附中杨名男高一北师大实验中学张林辰男高一人大附中陈宣伊女高一清华附中李长宇男高一北京四中谢晶雷男高一育英中学石仰洲男高一北京二中赵思璋女高一北京一七一中李雪莹女高一北师大附中陈星合男高一北师大附中亢博旸男高一北京十二中张熹晨男初三北师大实验中学胡沐阳男高一北京四中李天健男高一北师大实验中学冯心禹女高一北京四中张恩慈女高一北师大实验中学李研男高一北京五中罗士钧男高一北师大实验中学乐阳男初三北京一零一中马涵聪女高一北师大实验中学潘乐延男初三北京一零一中陈启文男高一景山学校吴凌风男高一北京一零一中孙晨晔男初三景山学校张健伟男高一北京一零一中高文昊男高一牛栏山一中刘祎萌女高一北师大实验中学张灵溪女高一清华附中韩书朋男高一北师大实验中学岳强男高一清华附中杨天宇男高一北师大实验中学曾培宇男高一清华附中许朋程男高一北师大实验中学周琪森男高一人大附中曹增涵男高一北师大实验中学于瀚洋男高一人大附中易睿哲女初二北师大实验中学沈家河男早九人大附中钟碧涛男高一朝阳外国语学校陈晓宇男高一人大附中杨航男高一陈经纶中学赵奕男高一人大附中李许凯风男高一东直门中学李志恒男高一十一学校魏羽龙男高一景山学校吴澍晨男高一十一学校王梓伦男高一景山学校远洋分校常阔男高一十一学校韩丁男高一民大附中王贺鹏男高一北京十二中李凡芃男高一牛栏山一中脱陈男高一北京二中马文畅男高一牛栏山一中安子訸女高一北京四中杨泰男高一牛栏山一中饶腾铂男初三北京一零一中张睿男高一清华附中刘桐序男高一北师大二附中张子尉男高一清华附中郑奕女高一北京二中吕捷诚男高一清华附中郭逸飞男高一清华附中徐明宽男高一人大附中刘晏铭男高一十一学校冯恕男高一人大附中林欣悦女高一首师大附中盛翊伦男早九人大附中张赛女高一杨镇一中汪子岩男高一十一学校侯睿男高一潞河中学张天亮男高一十一学校窦昊晨男高一房山中学王嘉晨男高一首师大附中任鹏男高一延庆一中宋彬彬男高一顺义一中李安可女高一通州运河中学吴桐男高一北京八中王浩洋男高一房山交道中学武宁女高一北京十二中汪雪妍女高一大兴兴华中学王思漪女高一北京十二中张大智男高一大兴一中陈蔚诗女高一北京四中朱济男高一北京九中张垚男高一北京四中张涛男高一首师附回龙观育新学校单旭男高一北京五中李京男高一昌平二中刘祎璠男高一北京一零一中李紫杨女高一怀柔一中余昕悦男高一北京一零一中康硕伟女高一大峪中学向李圆女初三北京一零一中吕鑫女高一平谷中学。

高中数学竞赛试题汇总高中数学竞赛模拟试题一一试一、填空题（共8小题，8×7=56分）1、已知点(x,y)在直线x+2y=3上移动，当2x+4y取最小值时，点(x,y)与原点的距离是。

2、设f(n)为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如记f1(n)=f(n)，fk+1(n)=f(fk(n))，f(123)=12+22+32=14.k=1,2,3.则f2010(2010)=。

3、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的二面角度数是。

4、在1,2.2010中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是。

5、若正数a,b,c满足abc=-(b+ca+ca+b)，则ba+c的最大值是。

6、在平面直角坐标系xoy中，给定两点M(-1,2)和N(1,4)，点P在X轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是。

7、已知数列a,a1,a2.an。

满足关系式(3-an+1)(6+an)=18且a=3，则∑(i=1 to n)ai的值是。

8、函数f(x)=sinx+tanxcosx+tanxcosx+cotxsinx+cotx的最小值为。

二、解答题（共3题，14+15+15=44分）9、设数列{an}满足条件：a1=1,a2=2，且an+2=an+1+an (n=1,2,3.)，求证：对于任何正整数n，都有：na(n+1)≥1+(n/2)(an)2,3.10、已知曲线M:x2-y2=m，x>0，m为正常数．直线l与曲线M的实轴不垂直，且依次交直线y=x、曲线M、直线y=-x于A、B、C、D4个点，O为坐标原点。

1）若|AB|=|BC|=|CD|，求证：△AOD的面积为定值；2）若△BOC的面积等于△AOD面积的1/3，求证：|AB|=|BC|=|CD|。

11、已知α、β是方程4x2-4tx-1=0(t∈R)的两个不等实根，函数f(x)=2x-t的定义域为[α,β]。

求证：2α+1<2β+1.Ⅰ）求函数g(t)=max{f(x)}-min{f(x)};Ⅱ）证明：对于u1,u2,u3∈(0,π)，若sinu1+sinu2+sinu3=1/2，则1113+g(tanu1)g(tanu2)g(tanu3)<6.二试考试时间：150分钟总分：200分）一、（本题50分）如图，O1和O2与△ABC的三边所在的三条直线都相切，E,F,G,H为切点，并且EG、FH的延长线交于P点。

2010年(第十届)高中生数学论文竞赛评奖公告为了反映学生的学习成果，鼓励学生的创新意识，支持中学生开展数学论文写作这一活动，我刊从2001年开始至今已开展了十届高中生数学论文写作竞赛。

2010年（第十届）高中生数学论文竞赛得到了广大中学教师和学生的大力支持，来稿踊跃。

经过评审委员会评定，评出特等奖4篇，一等奖14篇，二等奖45篇，现将获奖论文及作者名单公布如下（同等奖次排名不分先后）。

论文题目作者单位指导老师特等奖一道竞赛题的解题思路分析陈茜湖北省武汉市华中师范大学一附中高三（25）班双层最值问题的解法张云枭重庆市一中高二（23）班张光年一道集合题解答的探索过程杨石光湖北省公安县第一中学高二（２０）班杨先义深刻源于质朴谢剑亮广东省深圳市石岩公学高中部高二（3）班康宇一等奖数列和不等式证明中的放缩技巧杨苾玙湖北省武汉二中高三（12）班长方体的魅力张潇月山东省实验中学（东校区）2009级24班一道竞赛题的再证张冲冲湖北省荆州市沙市中学吴祥成四法求解无棱二面角陈晗湖北省黄石市阳新一中高三（七）班等可能事件概率学习中常见错误刘畅湖北省武汉市关山中学高三（2）班两道姊妹题的巧解燕浩湖北省黄冈中学高三（13）班对一道数学题的分析与反思杜宜敏湖北省孝感高级中学高三（八）班用平面几何知识巧解解析几何题张绍杭广东省深圳市石岩公学高三（6）班郭味纯解决正态分布问题的两个着眼点刘俊贵州省息烽县第一中学高三（4）班舒飞跃双曲线中几个有趣的定值高余鸣湖北省武汉市第一中学高三（10）班王志成例谈特殊值法在解题中的应用谭艳浙江省绍兴县越崎中学高一（12）班俞新龙一道女子奥林匹克题的溯源与推广王群四川绵阳东辰学校高2011级8班姚先伟一道德国数学奥林匹克试题的简解欧阳自豪湖北十堰东风高级中学高二（２）班吕辉一个优美不等式的证明及变式张旭东安徽省泗县一中高三文（1）班田辉二等奖删繁就简归于平易张琢广东省深圳市高级中学高二（11）班黄元华一道面积问题的推广林媛赵新玲操礼丽安徽省安庆市第一中学高三(11)班洪汪宝纠正一道条件矛盾的函数题刘宇慧广东省江门市培英高级中学高二（17）班刘品德等差数列前n项和的另一个性质范正东广东省惠州市第一中学高二（1）班方志平从一道高考试题的解法谈起高赵军湖南省华容县第二中学C815 陈万龙转换视角渐入佳境董祎娜广东省深圳市石岩公学高中部高二（3）班康宇几何法妙解一则孙豪新疆乌鲁木齐兵团二中高三（10）班张国治一个三角函数最值的有趣求法万竟成江苏省高邮中学高三（13）班黄桂君多解一题其乐无穷侯思奇湖南省常德市第七中学高二胡红凌一个四元变量不等式猜想的构造证明谭震江苏省如东县马塘中学高二（3）班有关底部不可到达建筑物高度测量的研究张若曦内蒙古包头市第九中学高二（18）班张长梅关于高中数学解三角形应用的探讨王雨佳内蒙古包头市第九中学高二（18）班张长梅三角的发展与应用张沁媛内蒙古包头市第九中学高二（18）班张长梅函数最值问题解法及认识宝玥娇内蒙古包头市第九中学高二（18）班张长梅对一道双曲线问题的探究黄健林福建省龙岩一中高三（15）班胡寅年浅谈三角函数中万能公式的几个问题张晶晶河北省唐山市唐山一中张连杰例谈夹逼法在解题中的应用陶梦如安徽省泗县一中高三文（1）班田辉三角函数解题中容易忽略的隐含条件杨果贵州省息烽县第一中学高三（4）班舒飞跃角的变换技巧金日峥湖北省大冶市第一中学高二（20）班余锦银浅谈已知部分元素的错位排列数许开来湖北省宜昌市夷陵中学高二（13）班杨明三次方程的根与双曲线王恺峥北京大学附属中学高中部11届1班关于一类函数值域问题的几种解法马小军王璞宁夏银川市第六中学高二（1）班苏克义一道独联体奥赛题的普通证明朱明杰贵州省贵阳市清华中学高二（1）班李驯洪一道三角函数题目的六种思路任长斌贵州省荔波县民族中学高三杨术敏一道检测题的再思考石莎莎湖北省十堰东风高级中学高二（2）班吕辉说长道短话焦点弦陈力湖南省南县一中高三0712班陈敬波妙用微积分巧解题邱蜀伟山东省北镇中学高三（19）班宋志敏例析解不等式常见错误邓润贵州省普安县第一中学高二年级杜永宁回归课本，提高高三复习效率陈斯哲福建省南安第一中学高三年级12班洪丽敏对线性规划中含参数问题的解法新探张乔湖北省天门实验高级中学高三（20）班肖家怀柯西不等式的十种证明方法林天润安徽省淮北市第一中学高一（1）班牛松此6种非彼6种王冉冉江苏省兴化中学高三（22）班徐永忠易错题两例王蒙江苏省溧水县第二高级中学高一（17）班张忠一道联考题的两个优美解胡航湖北省大冶市第一中学高二（20）班徐国辉一道课本习题解答的多种视角刘筱叶贵州师大附中高二（20）班林运来谈谈一类函数的值域林宁宁广东省汕尾市华南师大附中汕尾学校高一（2）班林敏燕椭圆和圆的一种奇妙变换——伸缩变换吴林峰浙江省湖州二中高三沈恒从一个简单结论引出的一组有趣的平分角性质蔡天乐浙江省杭州市第十三中学蔡小雄有关三棱锥的另类解法汪宗城甘肃省白银市平川中恒学校何俊强一道32届IMO试题推广孙琦江苏省徐州市第一中学高三（12）班张培强对教材中一道例题解法的探究李海坤安徽省阜阳市第十中学高二（10）班王海萍求解椭圆中焦点三角形面积时遇到的困惑魏祥详安徽省阜阳市第十中学高二（7）班王海萍附在手机、手表中的效率计算器的算法设计与构思高心怡北京市中国人民大学附属中学0804班以值域来分段的分段函数桂梅书湖南省祁阳一中435班桂松充分利用函数图象的三点性质解题王宝东辽宁省庄河市高级中学高三年级（1）班李景波说明：请获奖论文的作者从邮局汇款50元到“430079 湖北省武汉市华中师范大学《数学通讯》编辑部”，以便我们及时寄出获奖证书（学生证书和指导教师证书）和本期期刊，请在汇款单附言栏内注明“高中生论文竞赛证书”。

2011年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题一 选择题（单选，6×6）1. 函数)(x f 是偶函数且2)3(-=-f ，则2)3(5)3(2+-f f 的值为A ﹣12B 16C 17D 82. 若图中给出的函数a ax x y ++=2的图像与x 轴只有一个公共点，则a 为A 0B 1C 2D 4 3. 函数x x x f )161(log )(161-=的零点个数为A 0B 1C 2D 34. 定义在实数集R 上的函数f ，对于每一个R x ∈和常数0>a ，都满足方程2))(()(21)(x f x f a x f -+=+，若函数f 的值域记为M ，则 A M ∈7πB M ∈32C M ∈22D M ∈3π5. P 为正方形ABCD 内一点，PA=1厘米，PB=2厘米，PC=3厘米。

则△PBC 的面积（单位：平方厘米）为 A 222+ B 22+ C 222- D 22-6. 函数)(x f 是R 上的奇函数，)(x g 是R 上的周期为4的周期函数，已知6)2()2(=-=-g f 且21))2(20())2()2(())2()2((2=-+-++f g g f g g f f ，则)0(g 的值为A 2B 1C 0D ﹣1 二 填空题（8×8）1. 求︒5.22tan 的值2. 设函数)(x f y =定义域为R ，且对任意R x ∈都有639)23()(2222--=+-++x x x x f x x f ，求)60(f 的值3. 若[x ]表示不超过x 的最大整数。

求在平面直角坐标系y O x --中满足[x ] ▪ [y ]=2011的所有点),(y x组成的图形的面积4. 如图，两同心圆半径分别为6和10，矩形ABCD 的边AB 、CD 分别为两圆的弦，当矩形面积取最大值时，试确定它的周长5. 已知211)(x x f +=，求)20111()31()21()2011()2()1(f f f f f f +⋯⋯++++⋯⋯++的值6. 已知直角三角形的两条直角边的长为二次方程02=++c bx ax 的两个根，试确定这个直角三角形外接圆的面积。

2010年全国高中数学联合竞赛加试 试题参考答案及评分标准（B 卷）说明：1. 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次。

一、（本题满分40分）如图，锐角三角形ABC 的外心为O ，K 是边BC 上一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与AB 交于点M ．求证：若OK ⊥MN ，则A ，B ，D ，C 四点共圆．证明：用反证法．若A ，B ，D ，C 不四点共圆，设三角形ABC 的外接圆与AD 交于点E ，连接BE 并延长交直线AN 于点Q ，连接CE 并延长交直线AM 于点P ，连接PQ ．因为2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ） ()()2222PO rKOr=-+-，同理 ()()22222QK QO r KO r =-+-，所以 2222P O P K Q O Q K -=-，故 OK ⊥PQ ． （10分）由题设，OK ⊥MN ，所以PQ ∥MN ，于是AQ APQN PM=． ① 由梅内劳斯（Menelaus ）定理，得1NB DE AQBD EA QN⋅⋅=， ② 1MC DE APCD EA PM⋅⋅=． ③ 由①，②，③可得NB MCBD CD=， （30分） 所以ND MDBD DC=，故△DMN ∽ △DCB ，于是DMN DCB ∠=∠，所以BC ∥MN ，故OK ⊥BC ，即K 为BC 的中点，矛盾！从而,,,A B D C 四点共圆. （40分）注1：“2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）”的证明：延长PK 至点F ，使得PK KF AK KE ⋅=⋅， ④则P ，E ，F ，A 四点共圆，故PFE PAE BCE ∠=∠=∠，从而E ，C ，F ，K 四点共圆，于是PK PF PE PC ⋅=⋅， ⑤⑤-④，得 2PK PE PC AK KE =⋅-⋅=P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）．注2：若点E 在线段AD 的延长线上，完全类似．二、（本题满分40分）设m 和n 是大于1的整数，求证：11111112(1)().1m m n mmmk k jj m m k j i n n C n C i m -+===⎧⎫+++=+-⎨⎬+⎩⎭∑∑∑ 证明：11101)m m j jm j q C q +++=+=∑由（得到 111(1),mm m j jm j q qC q +++=+-=∑ 1,2,,q n = 分别将代入上式得：11021,mm jm j C ++=-=∑1110322,mm m j jm j C +++=-=∑F E QP O NM K DCBA1110(1)(1),mm m j jm j nn C n +++=--=-∑ 1110(1).mm m j j m j n nC n +++=+-=∑ n 将上面个等式两边分别相加得到：1101(1)1(),mnm jjm j i n Ci++==+-=∑∑ （20分）11111(1)(1)1(1),m nnmjj mm j i i n n n Ci m i -+===++-=+++∑∑∑（）11111112(1)().1m m nmmmk k j j m m k j i n n C n C i m -+===⎧⎫+++=+-⎨⎬+⎩⎭∑∑∑ （40分） 三、（本题满分50分）设,,x y z 为非负实数, 求证：22232222223()()()()()32xy yz zx x y z x xy y y yz z z zx x ++++≤-+-+-+≤.证明：首先证明左边不等式.因为 2222211[()3()]()44x xy y x y x y x y -+=++-≥+, 同理,有2221()4y yz z y z -+≥+, 2221()4z zx x z x -+≥+; （10分） 于是22222221()()()[()()()]64x xy y y yz z z zx xx y y z z x -+-+-+≥+++21[()()]64x y z xy yz zx xyz =++++-; （20分） 由算术-几何平均不等式, 得 1()()9xyz x y z xy yz zx ≤++++,所以222222221()()()()()81x xy y y yz z z zx x x y z xy yz zx -+-+-+≥++++ 22221(222)()81x y z xy yz zx xy yz zx =+++++++3()3xy yz zx ++≥. 左边不等式获证, 其中等号当且仅当x y z ==时成立. （30分）下面证明右边不等式.根据欲证不等式关于,,x y z 对称, 不妨设x y z ≥≥, 于是 22222()()z z x x y y z z xy -+-+≤, 所以222222222()()()()x x y y y y zz z z x x xx y y x y-+-+-+≤-+. （40分）运用算术-几何平均不等式, 得222222222()()()2x xy y xy x xy y x y x xy y xy xy xy -++-+=-+⋅⋅≤⋅ 22222()()22x xy y xy x y -+++≤⋅2222233(()22x y x y z +++=≤. 右边不等式获证, 其中等号当且仅当,,x y z 中有一个为0,且另外两个相等时成立. （50分）四、（本题满分50分）设k 是给定的正整数，12r k =+．记(1)()()f r f r r r ==⎡⎤⎢⎥，()()l f r = (1)(()),2l f f r l -≥．证明：存在正整数m ，使得()()m f r 为一个整数．这里，x ⎡⎤⎢⎥表示不小于实数x 的最小整数，例如：112⎡⎤=⎢⎥⎢⎥，11=⎡⎤⎢⎥． 证明：记2()v n 表示正整数n 所含的2的幂次．则当2()1m v k =+时，()()m f r 为整数． 下面我们对2()v k v =用数学归纳法．当0v =时，k 为奇数，1k +为偶数，此时()111()1222f r k k k k ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎝⎭为整数． （10分)假设命题对1(1)v v -≥成立．对于1v ≥，设k 的二进制表示具有形式1212222v v v v v k αα++++=+⋅+⋅+ ，这里，0i α=或者1，1,2,i v v =++ ． （20分)于是 ()111()1222f r k k k k ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎝⎭2122kk k =+++ 11211212(1)2()222v v v vv v v ααα-++++=+++⋅++⋅+++12k '=+， ① （40分）这里1121122(1)2()22v v v v v v v k ααα-++++'=++⋅++⋅+++ ．显然k '中所含的2的幂次为1v -．故由归纳假设知，12r k ''=+经过f 的v 次迭代得到整数，由①知，(1)()v f r +是一个整数，这就完成了归纳证明． （50分）。

高一数学竞赛试题一、选择题(每小题5分, 共40分, 每题仅有一个正确答案)1.已知函数f (x )满足f (||2x x +)=log 2||x x , 则f (x )的解析式是( ) A.2-x B.log 2 x C. -log 2 x D.x -22.已知f (x )=1-21x -(-1≤x ≤0), 函数y =f (x +1)与y =f (3-x )的图象关于直线l 对称, 则直线l 的方程为( )A.x =2B.x =1C.x =21 D.x =0 3.设f (x )是R 上的奇函数, 且在(0, +∞)上递增, 若f (21)=0, f (log 4x )＞0, 那么x 的 取值范围是( )A.x ＞2或21＜x ＜1B.x ＞2C.21＜x ＜1D.21＜x ＜2 4.已知定义域为R 的函数y =f (x )在(0, 4)上是减函数, 又y =f (x +4)是偶函数, 则( )A. f (5)＜f (2)＜f (7)B. f (2)＜f (5)＜f (7)C. f (7)＜f (2)＜f (5)D. f (7)＜f (5)＜f (2)5.若不等式2x 2+ax +2≥0对一切x ∈(0,21]成立, 则a 的最小值为( ) A.0 B. -4 C.-5 D. -66.已知定义域为R 的函数f (x )满足f (-x )= -f (x +2), 且当x ＞1时, f (x )单调递增. 如果x 1+x 2＜2, 且(x 1-1)(x 2-1)＜0, 则f (x 1)+f (x 2)的值( )A.恒大于0B.恒小于0C.可能为0D.可正可负7.若函数f (x )=25-|x +5| -4×5-|x +5| +m 的图象与x 轴有交点, 则实数m 的取值范围是( )A.m ＞0B.m ≤4C.0＜m ≤4D.0＜m ≤38.对定义在区间[a , b ]上的函数f (x ), 若存在常数c , 对于任意的x 1∈[a , b ]有唯一的x 2∈[a , b ], 使得221)()(x f x f +=c 成立, 则称函数f (x )在区间[a , b ]上的“均值”为c . 那么, 函数f (x )=lg x 在[10, 100]上的“均值”为( )A.101 B.10 C.43 D.23二、填空题(每小题5分, 共30分)9.已知集合A={x | 4-2k ＜x ＜2k -8}, B={x | -k ＜x ＜k },若A ⊂ ≠B, 则实数k 的取值范围是____________________10.若函数y =log a (2x 2+ax +2)没有最小值, 则a 的所有值的集合是_________________11.集合P ={x |x =2n -2k , 其中n , k ∈N , 且n ＞k }, Q ={x |1912≤x ≤2006, 且x ∈N }, 那么, 集合P ∩Q 中所有元素的和等于_________12.已知方程组⎩⎨⎧=-=+164log 81log 4log log 6481y xy x 的解为⎩⎨⎧==11y y x x 和⎩⎨⎧==22y y x x , 则log 18(x 1 x 2 y 1 y 2)=________ 13.若关于x 的方程4x +2x m +5=0至少有一个实根在区间[1, 2]内,则实数m 的取值范围是_________________14.设card(P)表示有限集合P 的元素的个数. 设a =card(A), b =card(B), c =card(A ∩B),且满足a ≠b , (a +1)(b +1)=2006, 2a +2b =2a +b -c +2c , 则max{a , b }的最小值是______三、解答题(每题10分, 共30分)15.设函数f (x )=|x +1|+|ax +1|.(1)当a =2时, 求f (x )的最小值;(2)若f (-1)=f (1), f (-a 1)=f (a1)(a ∈R, 且a ≠1), 求a 的值 16.设函数f (x )的定义域是(0, +∞), 且对任意的正实数x , y 都有f (xy )=f (x )+f (y )恒成立. 已知f (2)=1, 且x ＞1时, f (x )＞0.(1)求f (21)的值; (2)判断y =f (x )在(0, +∞)上的单调性, 并给出你的证明; (3)解不等式f (x 2)＞f (8x -6) -1.17.已知函数f (x )=log a (ax 2-x +21)在[1, 2]上恒为正数, 求实数a 的取值范围.(洪一平命题, 后附参考答案)参考答案1.C2.B3.A4.A5.C6.B7.D8.D9.(0, 4] 10.(0,1)∪[4,+∞) 11.3904 12. 12 13.]52,421[-- 14.58 15.(1)当a =2时, f (x )=|x +1|+|2x +1|=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≥+-<<---≤--21,23211,1,23x x x x x x ∴当x ≤-1时, f (x )递减, 故f (x )≥f (-1)=1, 当-1＜x ＜-21时, f (x )递减, 故f (x )＞f (-21)=21, 当x ≥-21时, f (x )递增, 故f (x )≥f (-21)=21, 因此, f (x )的最小值为21 (2)由f (-1)=f (1)得 2+|a +1|=|1-a | (*), 两边平方后整理得|a +1|= -(a +1) ∴ a ≤-1 ①同理, 由f (-a 1)=f (a 1)得2+|a 1+1|=|1-a 1|, 对比(*)式可得 a1≤-1 ∴ -1≤a ＜0 ② 由①②得a = -116.(1)令x =y =1, 则可得f (1)=0, 再令x =2, y =21, 得f (1)=f (2)+f (21), 故f (21)= -1 (2)设0＜x 1＜x 2, 则f (x 1) +f (12x x )=f (x 2) 即f (x 2) -f (x 1)=f (12x x ), ∵12x x ＞1, 故f (12x x )＞0, 即f (x 2)＞f (x 1) 故f (x )在(0, +∞)上为增函数 (3)由f (x 2)＞f (8x -6) -1得f (x 2)＞f (8x -6) +f (21)=f [21(8x -6)], 故得x 2＞4x -3且8x -6＞0, 解得解集为{x |43＜x ＜1或x ＞3} 17.题设条件等价于(1) 当a ＞1时, ax 2-x +21＞1对x ∈[1, 2]恒成立; (2)当0＜a ＜1时, 0＜ax 2-x +21＜1对x ∈[1, 2]恒成立. 由(1)得a ＞21)11(2112122-+=+x x x 对x ∈[1, 2]恒成立, 故得a ＞23. 由(2)得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-->-+<21)11(2121)11(2122x a x a 对x ∈[1, 2]恒成立, 故得21＜a ＜85. 因此, a 的取值范围是a ＞23或21＜a ＜85。

2010年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答2010年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及参考解答2010年5月16日8:30～10:30.一、填空题（满分40分，每小题8分，将答案写在下面相应的空格中）小题号 123 45 答案12- 6693352231x x -+201451. 函数()y f x =是定义在R 上的周期为3的函数,右图中表示的是该函数在区间[2,1]-上的图像.则(2010)(5)(16)f f f ⨯的值等于 .答: 12-.理由:(5)(1)1,(16)(1)2,(2010)(0)1,f f f f f f =-=-==== 则(2010)11.(5)(16)(1)(2)2f f f ==--2. 方程21120102010x x -+=的所有根的立方和等于 . 答:669335. 解: 方程21120102010x x -+=等价于 21120102010x x -+=………① 与 21120102010x x -+=-……② 由①得：11x =，20x =由②得：2101005x x -+=，所以343411,.1005x x x x +== 所以()3323434343431334()()31111005335335x x x x x x x x ⎛⎫+=++-=⨯-=-= ⎪⎝⎭. 所以3333123433466910335335x x x x +++=++=.3. 如右图, AB 与⊙O 切于点A . 连接B 与⊙O 内一点D 的线段交圆于点C .并且AB =6，DC=CB =3，OD =2，则⊙O 的半径等于 .答：22.解: 延长BD 交圆于E ，延长OD 交圆于F ，G （如左图）.FG 是⊙O 的直径.设⊙O 的半径为r ，由切割线 定理，有 2,BC BE BA ⋅= 即 23(6)636.DE +== 所以DE =6.由相交弦定理可得 ,DE DC DF DG ⋅=⋅ 即63(2)(2),r r ⨯=-+所以218 4.r =-解得22r =.4．满足方程3()(2)(1)3(0)2()f x x f f x x +-+=+∈的函数()f x = .答：3() 1.f x x x =-+解：取x =1和x =0代入方程，得33(1)(12)(1)3(0)12(0)(02)(1)3(0)02f f f f f f ⎧+-+=+⎨+-+=+⎩，进而得(0)1.(1)1f f =⎧⎨=⎩ 于是33()2(2)(1)3(0) 1.f x x x f f x x =+---=-+ 经检验，所求的函数满足方程.5．若一个自然数比它的数字和恰好大2007, 这样的自然数叫做“好数”,则所有“好数”的和等于 .答: 20145.解：设()(),f n n S n =-其中()S n 是自然数n 的数字和.则函数()f n 是非严格的增函数.(2009)(2010)(2011)(2019)2007(2020)f f f f f <====<所以满足条件的所有自然数只有10个：2010，2011，2012，2013，2014，2015，2016，2017，2018，2019．其和为解：（1）设i p 为质数，若2010能写成k 个质数的平方和，则当10k =时, 取最小的10个互不相等的质数的平方和, 则4+9+25+49+121+169+289+361+529+841=2397>2010，因此9.k ≤（2）因为只有一个偶质数2，其余质数都是奇数，而奇数的平方仍是奇数，并且被8除余1.所以若2,4,6,8k =时，则2010=2i p ∑，则i p 都是奇数.若222122010k p p p =+++，左边2010被8除余2.当k=4时，右边被8除余4；当k=6时，右边被8除余6；当k=8时，右边被8除余0；这3种情况等式都不能成立.当k=2时，由于质数中只有32被3除余0, 而其余所有质数的平方都被3除余1. 因此，两个不同质数的平方之和被3除余1或余2, 而2010被3除余0. 所以，2010不能表为2个互不相等的质数的平方和.因此，当2,4,6,8k =时，2010都不能表示为2个、4个、6个、8个质数的平方之和.（3）对1,3,7,9k =时，k=1时，2010显然不是一个质数的平方.k=3时，若2010=222123.p p p ++其中必有一个偶质数的平方，两个奇质数的平方.左边被8除余2，右边被8除余6，等式不能成立.k=5时，若2010=2222212345.p p p p p ++++其中必有一个偶质数的平方，4个奇质数的平方.左边被8除余2，右边被8除余0，等式不能成立.k=9时，若2010=222222222123456789p p p p p p p p p ++++++++，其中必有一个偶质数的平方，两个奇质数的平方.左边被8除余2，右边被8除余4，等式不能成立.只有k=7时，2010=22222221234567p p p p p p p ++++++，左边被8除余2，右边被8除余2，等式可能成立.我们试算可知，2222222237111317372010++++++=，因此，2010 只可以表示为7个不同质数的平方和.唯一地k =7, 其例如上.四、（满分15分）已知平面上9个点，任两点间的距离都不小于1. 证明，其中3.证明：设已知的9个点的集合记为S .则在平面上可画一直线l ，使S 在l 同一侧.平移直线l ，直到遇到S 中的点O 为止.这时，S 中的点在直线l 上或l 的同一侧.以O 为圆心1为半径画圆与直线l 交成半圆区域P ，再以O 3径画半圆，如图所示，与直线l 和前面画的半圆（O ，1）交成半圆环Q .我们看到，已知9个点中一个点为O ，其余8个点不能在半圆区域P 中，我们证明，这8个点中至少有一个点不在半圆环Q 中.事实上，我们以O 为始点作射线，将半圆环Q 等分为圆心角为7π的7个相等的小区域，如图记为Q 1，Q 2，Q 3，Q 4，Q 5，Q 6，Q 7，我们估计i Q 中两点间的距离（1,2,3,4,5,6,7i =）.半圆环宽度310.7331TV =-<<；230.778 1.WT WT π<=<< 且 22223cos sin 323cos cos sin 77777VW πππππ⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭423cos 423cos76ππ=-<- （因为coscos67ππ<）3423 1.2⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭可见，每个i Q 中任两点间的距离都小于1.所以每个i Q 中至多分布S 的前述8个点中的1个点.因此，前述8个点中至少有一点A 要分布在半圆（,3O ）之外.因此 3.OA ≥五、（满分15分）已知如图，凸四边形ABCD 的对角线交点为O . O 1，O 2，O 3，O 4分别为△AOB ，△BOC ，△COD ， △DOA 的内切圆圆心，对应的内切圆半径r 1，r 2，r 3，r 4满足关系式13241111.r r r r +=+求证：（1）四边形ABCD 存在内切圆； （2）O 1，O 2，O 3，O 4四点共圆.证明：（1）设AB = a ，BC = b ，CD = c ， DA = d ，AO= x ，BO = y ， CO = u ，DO = v ，cos AOB k ∠=, 则cos BOC k ∠=-.根据已知等式Sr p=（其中，S 是三角形的面积， p 是半周长，r 是内切圆半径），由已知条件得到关系式a x y c u vb y u d x vxy uv yu xv+++++++++=+， 由此得出auv + cxy = bxv + dyu.平方得22222222222222a u v c x y auvcxy b x v d y u bxvdyu ++=++ 用余弦定理表示a 2，b 2，c 2，d 2并代入上式，得22222222(2)(2)2x y kxy u v u v kuv x y acxyuv +-++-+ 22222222(2)(2)2,y u kuy x v x v kxv y u bdxyuv =++++++化简得 2ac - 2kuv – 2kxy = 2bd +2kxv +2kyu . 等式左右两边同时添加x 2 + y 2 + u 2 + v 2 得2ac +（u 2 + v 2 - 2kuv ）+（ x 2 + y 2– 2kxy ）= 2bd +（x 2 + v 2 - 2kxv ）+（y 2 + u 2 - 2kyu ）即 2ac + c 2 + a 2 = 2bd + d 2 + b 2，也就是22()(),a c b d a c b d +=+⇒+=+ 由此得证四边形ABCD 存在内切圆.（2）设,AOB θ∠=易知，O 1，O ，O 3三点共线，O 2，O ，O 4三点共线，且1324O O O O ⊥.因此要证O 1，O 2，O 3，O 4四点共圆，我们必须证明 OO 1×OO 3 = OO 2×OO 4.或者132422sincos22r r r r θθ=①事实上，设由O 引向11223344(,),(,),(,),(,)O r O r O r O r 的切线长分别为l 1，l 2，l 3，l 4，则有 111()cot ,22l x y a r θ=+-= 221()tan ,22l y u b r θ=+-=331()cot ,22l u v c r θ=+-= 441()tan ,22l v x d r θ=+-=因为 a + c = b + d ，则有 l 1 + l 3 = l 2 + l 4，这意味着1324()cot()tan ,22r r r r θθ+=+②考虑到已知关系式13241111,r r r r +=+ 有13241324.r r r r r r r r ++= ③②÷③得 1324cottan22r r r r θθ=，即成立132422sincos22r r r r θθ=.所以有OO 1×OO 3 = OO 2×OO 4，因此O 1，O 2，O 3，O 4四点共圆.。

2010年北京市高一数学竞赛模拟题（一）一、填空题（每小题8分）1．集合M = { x | x = 2n ，n ∈ N * ，且n ≤2005}，已知22005是个604位数，则M 中最高位是1的元素共有 个。

将M 中元素从小到大排列，第1个是1，以后当从m 位增加到m + 1位时，第1个m +1位数的最高位总是1，且只有这1个m + 1位数的最高位数是1，所以M 中最高位是1的元素共有604个。

2．若O 是锐角ABC ∆内一点，满足222222OA BC OB CA OC AB +=+=+，则点O 是ABC ∆的 心。

（垂） 3.0,22ππαβπ<<<<，且112sin()sin()sin αβαβα+=+-， 112cos()cos()cos αβαβα+=+-，则tan α= 1 4.已知()32009sin 2010f x x x =+且()1,1x ∈-。

若()()2110f a f a -+-<，则a 的取值范围是在_____________。

5.将一副学生用三角板拼成如图所示的四边形ABCD ，其中045CBD CDB ∠=∠=，0260BAD BDA ∠=∠=，设对角线CA 与边CB 所成的角为θ，则tan θ=二、（本小题15分）已知一次函数()f x ax b =+，对任意的,[0,1]x y ∈都满足1()()4f x f y xy +-≤，试确定这样的()f x 。

三、（本小题15分）圆内接四边形ABCD 的一组对边,AB DC 的延长线交于点P ，另一组对边,AD BC 的延长线交于点Q ，自,P Q 分别作该圆的切线,PE QF ，其中,E F 是切点，连结PQ 。

求证：以线段,,PE QF PQ 为边构成的三角形是直角三角形。

EPQABCD F A BCD四、（本小题15分）任给7个互不相等的实数，求证：其中至少有两个实数,x y ，使得013x y xy -<<+ 证明：由不等式的结构 ，学生容易联想到两角差的正切公式tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+，以及3tan 303=，从而问题转化为：任给7个不相等的实数，求证：其中至少有两个实数x 、y ，使得tan x α=、tan y β=，且030αβ<-<。

101近3年来高中竞赛获奖情况统计所以信息数据均来自于101官网的新闻（不排除在统计整理时遗漏）统计原则：1）官网竞赛新闻数据比较多（如有许多英语，创新等方面的信息）这里仅统计数学，物理，化学，生物，信息五科情况。

2）详做信息统计，略做数据分析。

数据时间说明：1）以下统计时间以学校信息公布时间为准（因为无法一一查实实际竞赛举办时间）。

2）统计时间段：2008年1月1日至今一，101近3年来高中竞赛获奖情况4月2011-4-21北京高中生物竞赛高二年级一等奖5人二等奖7人三等奖6人（共18人）2011-4-19北京高中化学竞赛高二年级一等奖3人二等奖6人三等奖9人（共18人）3月-----------2月-----------1月-----------12月2010-12-23信息学奥林匹克竞赛全国高中组一等奖2人（高3一人，初2一人）二等奖1人（高2一人）（共3人）2011-12-212010年全国高中学生化学竞赛（省级赛区）一等奖1人（高3）二等奖3人（高三2人，高二1人）三等奖2人（高二2人）（共6人）11月2010-11-172010年全国高中数学联赛二等奖5人（高三3人，高二2人）三等奖3人（高三1人，高二2人）（共8人）10月2010-10-252010年海淀区信息学奥林匹克竞赛（高中组）一等奖1人（高2）二等奖2人（高二1人，高一1人）三等奖2人（高二1人，高一1人）（共5人）9月2010-9-102010年全国中学生生物学联赛一等奖1人（高3）二等奖2人（高三2人）三等奖12人（高三10人，高二2人）（共15人）8月----------7月----------6月2010-6-132010年全国数学联赛北京赛区（高一）一等奖2人二等奖2人三等奖4人（共8人）5月2010-5-31第五届全国高中应用物理知识竞赛决赛（高二）一等奖2人二等奖3人三等奖4人（共7人）2010-5-312010年北京市高中化学竞赛（高二）二等奖2人三等奖6人（共8人）2010-5-252010年北京市高中化学竞赛（高一）一等奖4人二等奖14人三等奖21人（共39人）4月----------3月2010-3-30第23届全国高中学生化学竞赛决赛银牌1人（高3）2月----------1月2010-1-82009年海淀区中小学生信息学奥林匹克竞赛一等奖1人（高1）二等奖1人（高1）（共2人）2010-1-82009年北京市中小学生信息学奥林匹克竞赛二等奖1人（高2）三等奖1人（初3）（共2人）12月11月2009-11-192009年全国高中学生化学竞赛（省级赛区）一等奖2人（高3）二等奖5人（高3）三等奖1人（高3）（共8人）10月----------9月----------8月2009-8-17第26届全国青少年信息学奥林匹克竞赛金牌1人（收到清华大学的预录通知书）7月2009-7-3第22届北京市高一物理（北京四中杯）竞赛海淀区预赛一等奖9人，二等奖23人，三等奖18人（共50人）6月2009-6-26第四届全国高中应用物理知识竞赛（高一）一等奖4人，二等奖4人，三等奖3人（共11人）2009-6-23第二十二届北京市高一物理（力学）竞赛决赛二等奖5人，三等奖7人（共12人）2009-6-222009年北京市高一数学竞赛（决赛）二等奖2人（共2人）2009-6-152009年4月的北京市高中学生化学竞赛（高二）一等奖4人，二等奖7人，三等奖3人（共14人）2009-6-12北京市化学会高一化学竞赛一等奖2人；二等奖8人；三等奖18人（共28人）2009-6-3加拿大计算机竞赛（Canadian Computing Competition，简称CCC）决赛银奖1人（高2）进入“信息学奥林匹克”北京队的最终10人大名单中5月2009-5-272009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛（高一）三等奖4人优胜奖5人（共9人）2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛（高二）二等奖1人，三等奖1人优胜奖2人（共4人）2009-5-222009年北京市高一数学竞赛（初赛）一等奖33人；二等奖4人；（共37人）2009-5-222009年“希望杯”全国数学竞赛（高一）三等奖4人；（共4人）4月----------3月----------2月----------1月----------12月2008-12-222008年全国青少年信息学奥林匹克联赛（高中组）一等奖2人（高2）；二等奖1人（高2）；三等奖1人（初2）（共4人）11月2008-11-122008年全国高中数学联赛（北京赛区）高三年级一等奖1人；二等奖1人；三等奖3人（共5人）2008-11-122008年全国高中数学联赛（北京赛区）高二年级三等奖2人（共2人）10月2008-10-29第25届全国中学生物理竞赛复赛一等奖2人；二等奖6人；三等奖2人（共10人）9月2008-9-12第25届全国中学生物理竞赛预赛一等奖5人；二等奖6人；三等奖6人（共17人）8月----------7月----------6月第二十一届北京市高一物理（力学）竞赛决赛一等奖4人；二等奖8人；三等奖4人（共16人）2008-6-19北京市中学生数学竞赛一等奖1人（高1）；二等奖6人（高一2人，高二4人）（共7人）2008-6-19第十一届高中数学应用知识竞赛竞赛一等奖1人（高2）；二等奖1人（高1）；三等奖4人（高一1人，高二3人）（共6人）论文一等奖2人（高一1人，高二1人）；三等奖2人（高二2人）（共4人）2008-6-3第二十一届北京市高一物理竞赛预赛一等奖15人；二等奖34人；三等奖48人（共97人）5月2008-5-23在刚结束的北京市高一化学竞赛一等奖7人；二等奖4人；三等奖14人（共25人）4月2008-4-26在刚结束的北京市高二化学竞赛一等奖3人；二等奖8人；三等奖11人（共22人）2008-4-24第三届全国高中应用物理知识竞赛预赛10人获得决赛资格3月-----------2月-----------1月------------二，统计说明与分析：1）从竞赛级别看：海淀区级，北京市级，全国级，每级又分预赛和决赛(全国还有总竞赛)区级比赛特别是区级或市级比赛的预赛，101获奖同学较多（最多97人）2008-6-3第二十一届北京市高一物理竞赛预赛一等奖15人；二等奖34人；三等奖48人（共97人）2009-7-3第22届北京市高一物理（北京四中杯）竞赛海淀区预赛一等奖9人，二等奖23人，三等奖18人（共50人）一般到了决赛阶段，101获奖同学多在十几名或几名之间。

2010年北京市初二数学竞赛试卷一、选择题（每小题5分，共25分）1．（5分）设x，y为实数，满足，则x2+y2的值是（）A．2B．3C．4D．52．（5分）如图，直线a∥b，∠4﹣∠3＝∠3﹣∠2＝∠2﹣∠1＝d＞0，其中∠3＜90°，∠1＝50°，则∠4的最大可能的整数值是（）A．107°B．108°C．109°D．110°3．（5分）设P是质数，若有整数对（a，b）满足|a+b|+（a﹣b）2＝P，则这样的整数对（a，b）共有（）A．3对B．4对C．5对D．6对4．（5分）设△ABC的三边长分别为BC＝2，CA＝3，AB＝4，h a，h b，h c分别表示边BC、CA、AB上的高，则＝（）A．B．C．D．5．（5分）如图，正方形ABCD被直线OE分成面积相等的两部分，已知线段OD、AD的长都是正整数，．则满足上述条件的正方形ABCD面积的最小值是（）A．324B．331C．354D．361二、填空题（每小题7分，共35分）6．（7分）如图，已知AB＝2，BC＝AE＝6，CE＝CF＝7，BF＝8，则四边形ABDE与△CDF 面积的比值是．7．（7分）已知，，则k＝．8．（7分）如图，在四边形ABCD中，设∠BAD+∠ADC＝270°，且E、F分别为AD、BC 的中点，EF＝4，阴影部分分别是以AB、CD为直径的半圆，则这两个半圆面积的和是（圆周率为π）．9．（7分）计算：＝．10．（7分）如图，在边长为10的正方形ABCD中，内接六个大小相同的正方形，P、Q、M、N是落在大正方形边上的顶点．则这六个小正方形的面积和是．三、解答题（共40分）11．（10分）如图，在凸五边形ABCDE中，连接AC，BE，AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∠ABC ＝2∠DBE．求证：∠ABC＝60°．12．（15分）能否2010写成k个互不相等的质数的平方和？如果能，试求k的最大值；如果不能，请简述理由．13．（15分）某次初二数学竞赛，共有99所学校中学报名参加，每校参赛者中既有男选手，也有女选手，证明：存在其中的50所学校的男选手总数不小于全部男选手总数的一半，且其参赛的女选手总数也不小于全部女选手总数的一半．2010年北京市初二数学竞赛试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共25分）1．（5分）设x，y为实数，满足，则x2+y2的值是（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据x+y＝1，得出x2+y2＝1﹣2xy，再利用x4+y4＝，得出（1﹣2xy）2﹣2x2y2＝，进而求出xy的值，即可得出答案．【解答】解：∵x+y＝1，∴x2+y2+2xy＝1，∴x2+y2＝1﹣2xy，∵x4+y4＝，∴（x2+y2）2﹣2x2y2＝，∴（1﹣2xy）2﹣2x2y2＝，整理得出：2x2y2﹣4xy+1＝，解得：xy＝1±，∴x2+y2＝1﹣2（1+1.5）＝﹣4（不合题意舍去）或x2+y2＝1﹣2（1﹣1.5）＝2．故选：A．【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用以及一元二次方程的解法，熟练地应用完全平方公式得出xy＝1±是解决问题的关键．2．（5分）如图，直线a∥b，∠4﹣∠3＝∠3﹣∠2＝∠2﹣∠1＝d＞0，其中∠3＜90°，∠1＝50°，则∠4的最大可能的整数值是（）A．107°B．108°C．109°D．110°【分析】利用∠4﹣∠3＝∠3﹣∠2＝∠2﹣∠1＝d＞0变形得到∠4＝2∠3﹣∠2，2∠2＝∠3+50°，于是得到2∠4＝3∠3﹣50°，而∠3＜90°，则∠4＜110°，即可得到4的最大可能的整数值．【解答】解：∵∠4﹣∠3＝∠3﹣∠2，∴∠4＝2∠3﹣∠2，又∵∠3﹣∠2＝∠2﹣∠1，∠1＝50°，∴2∠2＝∠3+50°，∴2∠4＝4∠3﹣2∠2＝4∠3﹣∠3﹣50°＝3∠3﹣50°，∴∠3＝，而∠3＜90°，∴＜90°，∴∠4＜110°，∴∠4的最大可能的整数值是109°．故选：C．【点评】本题考查了直线平行的性质：两直线平行同位角相等．3．（5分）设P是质数，若有整数对（a，b）满足|a+b|+（a﹣b）2＝P，则这样的整数对（a，b）共有（）A．3对B．4对C．5对D．6对【分析】因为都是整数，所以|a+b|与（a﹣b）2的奇偶性相同，所以P为偶数，偶数中只有2是质数，所以P＝2，因为|a+b|与（a﹣b）2都是非负数，（a﹣b）2是完全平方数所以（a﹣b）2只能为0或者1．【解答】解：因为|a+b|与（a﹣b）2的奇偶性相同，推出|a+b|+（a﹣b）2＝P必为偶．在质数中，唯一的偶质数只有2一个，故P＝2．则|a+b|+（a﹣b）2＝2，可知：任何整数的平方最小是0，然后是1，4，9…所以此处的（a﹣b）2只有0和1两个选择：①当（a﹣b）2＝0，则|a+b|＝2，解得：a＝b，所以|2b|＝2，|b|＝1，则a＝b＝±1；②（a﹣b）2＝1，则|a+b|＝1，解得：a﹣b＝±1，a+b＝±1，组成4个方程组：a﹣b＝1a+b＝1，解之得：a＝1，b＝0；a﹣b＝1a+b＝﹣1，解之得：a＝0，b＝﹣1；a﹣b＝﹣1a+b＝1，解之得：a＝0，b＝1；a﹣b＝﹣1a+b＝﹣1，解之得：a＝﹣1，b＝0．综上，符合条件的整数对（a，b）共有6对：（1，1）（﹣1，﹣1）（1，0）（0，﹣1）（0，1）（﹣1，0）．故选：D．【点评】解答本题的关键是判断出P的值，再依次推导出|a+b|和（a﹣b）2的值即可．4．（5分）设△ABC的三边长分别为BC＝2，CA＝3，AB＝4，h a，h b，h c分别表示边BC、CA、AB上的高，则＝（）A．B．C．D．【分析】根据三角形的面积公式列出关于h a，h b，h c间的关系式BC•h a＝CA•h b＝AB •h c，然后求得它们之间的数量关系，将这种数量关系代入化简后的代数式并求值．【解答】解：∵△ABC的三边长分别为BC＝2，CA＝3，AB＝4，h a，h b，h c分别表示边BC、CA、AB上的高，∴BC•h a＝CA•h b＝AB•h c，即2h a＝3h b＝4h c；故设2h a＝3h b＝4h c＝t（t＞0），则h a＝，h b＝，h c＝，∴＝（++）（++）＝•＝，即＝．故选：B．【点评】本题考查了三角形的面积．解答此类题目，可以利用比例的基本性质将h a，h b，h c间的数量关系解答出来．5．（5分）如图，正方形ABCD被直线OE分成面积相等的两部分，已知线段OD、AD的长都是正整数，．则满足上述条件的正方形ABCD面积的最小值是（）A．324B．331C．354D．361【分析】根据直线将正方形分成面积相等的两部分，可见OE必过正方形ABCD的中心O′，设BE＝a，OD＝m，表示出O′的坐标，将坐标代入OE的解析式y＝kx，求出m 的值，再根据线段OD、AD的长都是正整数，求出a的最小值．【解答】解：OE一定过正方形ABCD的中心O′．不妨设BE＝a，OD＝m．∴CE＝20a，正方形边长为21a；∴O′（m+10.5a，10.5a），E（m+21a，20a），设OE解析式为y＝kx，∴k（m+10.5a）＝10.5a，k（m+21a）＝20a，∴＝，化简得：m＝a，∵线段OD、AD的长都是正整数，∴m，21a都是正整数，∴21a的最小值为19，此时m＝1．此时正方形ABCD的最小面积为（21a）2＝192＝361．故选：D．【点评】本题考查了一次函数与正方形的性质，找到OE一定过正方形ABCD的中心O′并设出心O′的坐标是解答此类题目的关键．二、填空题（每小题7分，共35分）6．（7分）如图，已知AB＝2，BC＝AE＝6，CE＝CF＝7，BF＝8，则四边形ABDE与△CDF 面积的比值是1．【分析】由题意得AC＝CB+BA＝8，可得AC＝BF，利用SSS可证得△AEC≌△BCF，从而可得S△AEC＝S△BCF，也就得出S△CDF+S△CDB＝S ABDE+S△CDB，这样可求出四边形ABDE 与△CDF面积的比值．【解答】解：由题意得AC＝CB+BA＝8，∴AC＝BF，在△AEC和△BCF中，∴△AEC≌△BCF，∴S△AEC＝S△BCF，故可得S△CDF+S△CDB＝S ABDE+S△CDB⇒S ABDE＝S△CDF，∴四边形ABDE与△CDF面积的比值是1．故答案为：1．【点评】本题考查了面积及等积变换的知识，难度一般，根据题意证明△AEC≌△BCF 是解答本题的关键，另外要注意等量代换在解答数学题目中的运用．7．（7分）已知，，则k＝﹣1．【分析】先从等式右边进行分母有理化，即原式＝﹣2，然后依次循环即可求k的值．【解答】解：由原式可知＝+2﹣4＝﹣2，∴4+＝+2，依此类推得：＝+2，∴k＝﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查了分母有理化的知识，解题时可从等式右边进行分母有理化，那样会简便些．8．（7分）如图，在四边形ABCD中，设∠BAD+∠ADC＝270°，且E、F分别为AD、BC 的中点，EF＝4，阴影部分分别是以AB、CD为直径的半圆，则这两个半圆面积的和是8π（圆周率为π）．【分析】连接BD，取BD的中点M，连接EM、FM，EM交BC于N，根据三角形的中位线定理推出EM＝AB，FM＝CD，EM∥AB，FM∥CD，推出∠ABC＝∠ENC，∠MFN＝∠C，求出∠EMF＝90°，根据勾股定理求出ME2+FM2＝16，根据圆的面积公式求出阴影部分的面积即可．【解答】解：连接BD，取BD的中点M，连接EM、FM，延长EM交BC于N，∵∠BAD+∠ADC＝270°，∴∠ABC+∠C＝360°﹣270°＝90°，∵E、F、M分别是AD、BC、BD的中点，∴EM＝AB，FM＝CD，EM∥AB，FM∥CD，∴∠ABC＝∠ENC，∠MFN＝∠C，∴∠MNF+∠MFN＝90°，∴∠NMF＝180°﹣90°＝90°，∴∠EMF＝90°，由勾股定理得：ME2+FM2＝EF2＝42＝16，∴阴影部分的面积是：π+＝π×（ME2+FM2）＝π×16＝8π．故答案为：8π．【点评】本题主要考查对勾股定理，三角形的内角和定理，多边形的内角和定理，三角形的中位线定理，圆的面积，平行线的性质，面积与等积变形等知识点的理解和掌握，能正确作辅助线并求出ME2+FM2的值是解此题的关键．9．（7分）计算：＝．【分析】把前面2010个分数的和看作被减数，后面2009个分数的和的看作减数，本题就是求它们的差．由于被减数中每一个分数的分子都是1，分母都是2个数的乘积，且这两个数的和为1+2010＝2+2009＝…＝2010+1＝2011，所以将每一个分数改写成两个分数的和，＝＝（+），＝＝（+），依此类推，＝（+）；同理，减数中每一个分数也可以改写成两个分数的和，＝（+），＝（+），…，＝（+），然后根据运算法则及乘法的分配律计算即可．【解答】解：＝（++++…++）﹣×（++++…++）＝（++++…++﹣﹣﹣﹣﹣…﹣﹣）＝（+）＝×＝．故答案为：．【点评】本题考查了有理数的混合运算，属于竞赛题型，难度较大．关键是通过观察，发现分数之间的特点，从而将每一个分数改写成两个分数的和．10．（7分）如图，在边长为10的正方形ABCD中，内接六个大小相同的正方形，P、Q、M、N是落在大正方形边上的顶点．则这六个小正方形的面积和是．【分析】如图，过点Q作QF⊥AD，垂足为F，可以得到△BQP∽△FQN，再根据相似三角形对应边成比例的性质列式求解即可得到QB和DN，根据勾股定理可求QN的长，从而求出六个小正方形的面积和．【解答】解：如图所示：∵正方形ABCD边长为10，∴∠A＝∠B＝90°，AB＝10，过点Q作QF⊥AD，垂足为F，则∠4＝∠5＝90°，∴四边形AFQB是矩形，∴∠2+∠3＝90°，QF＝AB＝10，∵六个大小完全一样的小正方形如图放置在大正方形中，∴∠1+∠2＝90°，∴∠1＝∠PQB，∴△BQP∽△FQN，∴＝＝，∴＝，∴QB＝2．∴AF＝2．同理DN＝2．∴NF＝AD﹣DN﹣AF＝6．∴QN＝＝＝2，∴小正方形的边长为，则六个小正方形的面积和是6×（）2＝．故答案为：．【点评】考查了面积及等积变换，本题主要利用相似三角形的判定和相似三角形对应边成比例的性质和勾股定理，综合性较强，有一定的难度．三、解答题（共40分）11．（10分）如图，在凸五边形ABCDE中，连接AC，BE，AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∠ABC ＝2∠DBE．求证：∠ABC＝60°．【分析】等腰三角形的底角相等，一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．【解答】证明：∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB，同理∠CBD＝∠CDB．∵∠ABC＝2∠DBE，∴∠ABE+∠CBD＝∠DBE，∵∠ABE＝∠AEB，∠CBD＝∠CDB，∴∠AEB+∠CDB＝∠DBE，∴∠AEB+∠CDB＝180°﹣∠BED﹣∠BDE，∴∠AEB+∠BED+∠CDB+∠BDE＝180°，∴∠AED+∠CDE＝180°，∴AE∥CD，∵AE＝CD，∴四边形AEDC为平行四边形．∴DE＝AC＝AB＝BC．∴△ABC是等边三角形，所以∠ABC＝60°【点评】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的底角相等，以及等边三角形的判定定理．12．（15分）能否2010写成k个互不相等的质数的平方和？如果能，试求k的最大值；如果不能，请简述理由．【分析】先把2010分解成分解为几个质数的平方和的形式，再求出k的值即可．【解答】解：∵22+32+72+132+172+232+312＝2010；22+32+72+112+132+172+372＝2010．∴k＝7．【点评】本题考查的是质数与合数，能把2010分解为几个互不相等的质数的平方和的形式是解答此题的关键．13．（15分）某次初二数学竞赛，共有99所学校中学报名参加，每校参赛者中既有男选手，也有女选手，证明：存在其中的50所学校的男选手总数不小于全部男选手总数的一半，且其参赛的女选手总数也不小于全部女选手总数的一半．【分析】根据题意通过假设的方法依次进行论证．【解答】解：（1）如果有50所学校的男选手总数大于或等于全部男选手总数的一半，那就无需证明成立了，（2）如果有50所学校的男选手总数小于全部男选手总数的一半，那么剩下的49所学校的男选手总数就应该超过全部男选手总数的一半，因此，这49所学校的男选手数再任加1所学校的男选手数，其总数也必超过男选手总数的一半，同样道理，可证参赛的女选手总数也不小于全部女选手总数的一半．【点评】本题主要考查了推理与论证的方法，需要考虑周全，比较简单．。

北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答选择题答案123456AABDCD填空题答案1 2 3 4 5 67 8 2489.52504 (1242)410145一、选择题:1．集合A={2, 0, 1, 7}，B={x| x 2-2A, x-2A}，则集合B 的所有元素之积为（A ）36．（B ）54．（C ）72．（D ）108．答：A ．解：由x 2-2A ，可得x 2=4，2，3，9，即x=2，2，3，3．又因为x-2A ，所以x 2，x 3，故x= -2，2，3，-3．因此，集合B={-2, -2,2, -3,3，-3}．所以，集合B 的所有元素的乘积等于(-2)(-2)(2)(-3)(3)(-3)=36．2．已知锐角△ABC 的顶点A 到它的垂心与外心的距离相等，则tan(2BAC )=（A ）33．（B ）22．（C ）1．（D ）3．答：A ．解：作锐角△ABC 的外接圆，这个圆的圆心O 在形内，高AD ，CE 相交于点H ，锐角△ABC 的垂心H 也在AH K E形内．连接BO 交⊙O 于K ，BK 为O 的直径. 连接AK ，CK ．因为AD ，CE 是△ABC 的高，∠KAB ，∠KCB 是直径BK 上的圆周角，所以∠KAB=∠KCB=90°．于是KA//CE ，KC//AD ，因此AKCH 是平行四边形．所以KC=AH=AO=12BK ．在直角△KCB 中，由KC=12BK ，得∠BKC=60°，所以∠BAC=∠BKC=60°．故tan(2BAC )= tan30°=33．3．将正奇数的集合{1, 3, 5, 7, …}从小到大按第n 组2n-1个数进行分组：{1}，{3, 5, 7}，{9, 11, 13, 15, 17}，…，数2017位于第k 组中，则k 为（A ）31．（ B ）32．（ C ）33．（D ）34．答：B.解：数2017是数列a n = 2n -1的第1009项．设2017位于第k 组，则1+3+5+…+(2k-1)≥1009，且1+3+5+…+(2k-3)＜1009．即k 是不等式组221009(1)1009k k的正整数解，解得k =32，所以2017在第32组中．4．如图，平面直角坐标系x-O-y 中，A, B 是函数y =1x 在第I 象限的图象上两点，满足∠OAB=90°且AO = AB ，则等腰直角△OAB 的面积等于（A ）12．（B ）22．（C ）32．（D ）52．答：D ．解：依题意，∠OAB=90°且AO = AB ，∠AOB=∠ABO=45°．过点A 做y 轴垂线交y 轴于点C ，过点B 做y 轴平行线，交直线CA 于点D ．易见△COA ≌△DAB ．设点A(a, 1a )，则点B(a +1a , 1a-a)．ABO yxy =1x ABOyxy =1x D C因为点B 在函数y =1x 的图象上，所以(a +1a )(1a -a)=1，即21a -a 2=1．因此S △ABC =12OA 2=12(21a + a 2) =1222215()42a a．5．已知f (x)=x 5+a 1x4+a 2x 3+a 3x 2+a 4x +a 5，且当m =1, 2, 3, 4时，f (m)=2017m ，则f (10)-f (-5)=（A ）71655．（B ）75156．（ C ）75615．（ D ）76515．答：C ．解：因为当m =1, 2, 3, 4时，f (m)=2017m ，所以1, 2, 3, 4是方程f (x)-2017x=0的四个实根，由于5次多项式f (x)-2017x 有5个根，设第5个根为p ，则f (x)-2017x = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-p)即f (x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-p)+2017x ．所以f (10)=9×8×7×6(10-p)+2017×10，f (-5)=-6×7×8×9(5+p)-2017×5，因此f (10)- f(-5)=15(9×8×7×6+2017)=75615．6．已知函数2||,,()42,.x x a f x xax a xa 若存在实数m ，使得关于x 的方程f (x)=m有四个不同的实根，则a 的取值范围是（A ）17a ．（B ）16a．（C ）15a．（D ）14a．答：D ．解：要使方程 f (x)=m 有四个不同的实根，必须使得y=m 的图像与y=f(x)的图像有4个不同的交点．而直线与y=|x|的图像及二次函数的图像交点都是最多为两个，所以y=m 与函数y=|x|, x ≤a 的图像和y=x 2-4ax+2a, x ＞a 的图像的交点分别都是2个．而存在实数m ，使y=m 与y=|x|, x ≤a 的图像有两个交点，需要a ＞0，此时0＜m ≤a ；又因为y=x 2-4ax+2a, x ＞a 顶点的纵坐标为242(4)4a a ，所以，要y=m 与y=x 2-4ax+2a,x ＞a 的图像有两个交点，需要m ＞242(4)4a a ．因此y=m 的图像与y=f(x)的图像有4个不同的交点需要满足：0＜m ≤a 且m ＞242(4)4a a ，解得14a．二、填空题:1. 用[x]表示不超过x 的最大整数，设[1][2][3][99]S ，求[]S 的值．答：24．解：因为12≤1, 2, 3＜22，所以1≤1,2, 3＜2，因此[1][2][3]1，共3个1；同理，22≤4, 5, 6, 7, 8＜32，因此，[4][5][6][7][8]2，共5个2；又32≤9, 10, 11, 12, 13, 14, 15＜42，因此[9][10]=[15]3，共7个3；依次类推，[16][17][23][24]4，共9个4；[25][26][34][35]5，共11个5；[36][37][47][48]6，共13个6；[49][50][62][63]7，共15个7；[64][65][79][80]8，共17个8；[81][82][98][99]9，共19个9. S = ([1][2][3])+([4][5][6][7][8])+…+([81][99])= 1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×13+7×15+8×17+9×19=615．因为242=576＜615=S ＜625=252，即24＜S ＜25，所以，[S ]=24．2．确定(201721log 2017×201741log 2017×201781log 2017×2017161log 2017×2017321log 2017)15的值．答：8．解：原式=(20172017log 2×20172017log 4×20172017log 8×20172017log 16×20172017log 32)15=(2×4×8×16×32)15= (21×22×23×24×25)15=(21+2+3+4+5)15=(215)15=23=8．3．已知△ABC 的边AB=29厘米，BC=13厘米，CA=34厘米，求△ABC 的面积．答：9.5平方厘米．解：注意到13=32+22，29=52+22，34=52+32，作边长为5厘米的正方形AMNP ，分成25个1平方厘米的正方形网格，如图．根据勾股定理，可知，AB=29厘米，BC=13厘米，CA=34厘米，因此△ABC 的面积可求．△ABC 的面积=5×5-12×3×5-12×2×5-12×2×3=9.5（平方厘米）．4. 设函数222(1)ln(1)()1x x x f x x的最大值为M ，最小值为N ，试确定M+N的值．答：2．解：由已知得222ln(1)()11x xx f x x因为2222ln(1)ln(()1())ln[(()1())(()1())]xx x x x x x x =22ln(()1())ln10x x ，所以22ln(()1())ln(1)x x xx ，因此，2ln(1)xx 是奇函数．进而可判定，函数222ln(1)()1xx x g x x为奇函数．则g(x)的最大值M 1和最小值N 1满足M 1+N 1= 0．因为M =M 1+1，N = N 1+1，所以M + N = 2．5．设A 是数集{1, 2, …, 2017}的n 元子集，且A 中的任意两个数既不互质，又不存在整除关系，确定n 的最大值．答：504．解：在数集{1, 2, …, 2017}中选取子集，使得子集中任意两个数不互质，最大的子集是偶数集{2, 4, …, 2016}共1008个元素，但其中，有的元素满足整除关系，由于1010的2倍是2020，所以集合A={1010, 1012, 1014, …, 2016}中，任意两个数既不互质，又不存在整除关系，A 中恰有504个元素．NA MBCP事实上504是n 的最大值．因为若从{1009, 1011, …, 2017}中任取一个奇数，会与A 中的与它相邻的偶数互质；若从{1, 2, 3, …, 1008}中任取一数，则它的2倍在A 中，存在整除关系．6．如图，以长为4厘米的线段AB 的中点O 为圆心、2厘米为半径画圆，交AB 的中垂线于点E 和F. 再分别以A 、B 为圆心，4厘米为半径画圆弧交射线AE 于点C ，交射线BE 于点D. 再以E 为圆心DE 为半径画圆弧DC ，求这4条实曲线弧连接成的“卵形”AFBCDA的面积．（圆周率用π表示，不取近似值）答：(12-42)π-4平方厘米．解：半圆(O, 2)的面积=12π×22=2π．因为AO=OB=2，所以AB=AC=BD =4，AE=BE=22，ED=EC=4-22．又∠AEB=∠CED=90°，∠EAB =∠EBA=45°，因此，扇形BAD 的面积=扇形ACB 的面积=18π×42=2π，△AEB 的面积=12×4×2=4，直角扇形EDC 的面积=14π(4-22)2= 6π-42π，卵形AFBCDA 的面积= 半圆(O, 2)的面积+扇形BAD 的面积+扇形ACB 的面积-△AEB 的面积+直角扇形EDC 的面积= 2π+2×2π-4+6π-42π= (12-42)π-4（平方厘米）．7. 已知22()1005000xf x xx ，求f (1)+f (2)+…+f (100)的值．答：101．解：设g(x) = x 2-100x+5000，则g(100-x) = (100-x)2-100(100-x)+5000=1002-200x+x 2-1002+100x+5000= x 2-100x+5000= g(x)，即g(k) = g(100-k)．B FADCEO所以f (k) + f(100-k) =22(100)()(100)kk g k g k =22(100)()kk g k =2，又f (50) =2250=150100505000，f (100)22100==2.1001001005000所以，f (1)+ f (2)+…+ f (100)= (f (1)+ f (99))+ (f (2)+ f (98))+…+ (f (49)+ f (51))+ f (50)+ f (100) = 2×49+1+2=101．8．如图，在锐角△ABC 中，AC = BC = 10，D 是边AB 上一点，△ACD 的内切圆和△BCD 的与BD 边相切的旁切圆的半径都等于2，求AB 的长．答：45．解：线段AB 被两圆与AB 的切点及点D 分成四段，由于两圆半径相等，再根据切线长定理，可知中间两段相等，于是可将这四段线段长度分别记为a, b, b, c ，由于圆O 2的切线长CE = CG ，所以BC+a = CD+b = (AC-c+b)+b ，而AC = BC ，所以a+c = 2b ．由等角关系可得△AO 1F ∽△O 2BE ，得12O F BE AFO E，即22ac，由此推出ac = 4．分别计算△BCD 和△ACD 的面积：12(),2BCDSBC CD BD 12()2ACDSAC CD AD 所以24ACDBCDS S ADBDABa c bb .①又设由C 引向AB 的高为h ，可得22211()()410(2)22ACDBCDS S c a hc a ac b ②由①、②两式可得22214()410(2)2bca acb 将a+c = 2b ，ac = 4代入，化简得42251000bbDACBD A CB E G FO 1O 2 ·a b b c ·解得b2=5或b2=20，即b =5或b = 25，（负根舍）．于是，AB = a+c+2b = 4b = 45，或AB = 85．若AB = 85，△ABC为钝角三角形，不合题设△ABC是锐角三角形的要求．所以AB的长为45．。

高一年级初赛试题2008年4月13日8︰30～10︰30亲爱的中学生朋友:欢迎你参加本次竞赛活动﹗中国的未来需要众多的人才，人才的培养需要从青少年时代奠基，打好数学基础有助于从事各行业的发展。

北京数学会组织中学生数学竞赛等数学科普活动旨在自愿的前提下丰富数学爱好者的课余生活，激发学习兴趣，普及科学精神，提高能力水平。

祝你插上数学的翅膀，在科学探索的空间展翅翱翔。

注意事项1.本次考试共有14个小题﹙6个选择，8个填空题﹚，把答案填写在下面标有题号的空格内。

2.不允许使用计算器。

3.监考员宣布考试结束时，请你私下本页，填好所要求填写的项目，交给监考员。

以下由考生填写姓名__________________性别______考号_____________校名______________________________年级___________以下由评分者填写本次考试该生所得分数是__________高一年级初赛试题一 、选择题﹙满分36分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的英文字母代号填入第一页指定地方，答对得6分，答错或不答均记0分﹚ 1.设函数()f x 对0x ≠的一切实数均有()200823f x f x x ⎛⎫⎪⎝⎭+=，则()2f 等于﹙A ﹚2006. ﹙B ﹚2008. ﹙C ﹚2010. ﹙D ﹚2012. 2. 0cos 31,tan 46,sin 81,sin 113的大小关系是 ﹙A ﹚0000cos 31tan 46sin 81sin113<<<. ﹙B ﹚0000sin 81cos 31sin113tan 46<<<. ﹙C ﹚0000cos 31sin113sin 81tan 46<<<. ﹙D ﹚0000tan 46sin 81cos 31sin113<<<.3.已知0abc <，则在下列四个选项中，表示2y ax bx c =++的图像只可能是4.对非0实数a ，存在实数θ使得212cos a aθ+=成立，则6cos πθ⎛⎫⎪⎝⎭+的值是 ﹙A. ﹙B ﹚12. ﹙C﹚-. ﹙D ﹚12-.5.已知,αβ分别满足100411004,10g βααβ=⋅=⋅，则αβ⋅等于﹙A﹚ ﹙B ﹚1004. ﹙C﹚ ﹙D ﹚2008.6. 23456cos 0coscoscos cos cos cos 777777ππππππ++++++等于 ﹙A ﹚4. ﹙B ﹚3. ﹙C ﹚2. ﹙D ﹚1.二 、填空题﹙满分64分，每小题8分，请将答案填入第一页指定地方﹚ 1.求523111125323111og og og ⋅⋅的值.2.如果sin cos αα+=，试确定3tan πα⎛⎫⎪⎝⎭+的值.3.在右图的圆中，弦,AB C D 垂直相交于E ，若线段,AE EB 和ED 的长分别是2厘米，6厘米和3厘米，试求这个圆的面积. 4.以[]x 表示不超过x 的最大整数，试确定sin1sin 2sin 3sin 4sin 5++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的值.5.已知直角三角形A B C 斜边AB ，计算AB AC BC BA C A C B ++⋅⋅⋅.6.已知集合{}{}22,68070x x x x x ax A B -+<-+===.若A B ≠∅ ，确定实数a 的取值范围.7.分别以锐角三角形A B C 的边,,AB BC C A 为直径画圆，如图所示.已知在三角形外的阴影曲边三角形面积为w 平方厘米，在三角形内的阴影曲边三角形面积为u 平方厘米，试确定三 角形A B C 的面积.8.已知正整数n 与k 使得252500nk =+成立.试确定不小于lg lg kn的最小整数的值.参考答案1. A 【解析】(2)2(1004)32(2)2006(1004)2(2)31004f f f f f +=⨯⎧⇒=⎨+=⨯⎩2. C 【解析】注意到：cos 31sin 59︒=︒，sin 113sin 67︒=︒ sin 59sin 67sin 811tan 46︒<︒<︒<<︒4. A 【解析】注意到：2111cos (||)1cos 2||2||a a a a θθ+==+≥=≥我们有：cos 1θ=，sin 0θ=此时有：cos cos cos sin sin 6662πππθθθ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭ 5. B 【解析】令函数()lg f x x x =，则()f x 是(0,)+∞上的增函数，注意到： (10)10lg 10101004()f f βββββα=⋅=⋅==，有10βα=此时有10(10)1004f ββαββ⋅=⋅==6.D 【解析】注意到：162534cos coscoscoscoscos0777777ππππππ+=+=+=因此有：原式＝11.()()2355lg 21lg 3111(3)lg 5loglog log 15125323lg 2lg 3lg 5-⨯-⨯-⨯⋅⋅=⋅⋅=-2. sin cos sin 12()444k k Z πππαααααπ⎛⎫⎛⎫+=+=⇒+=⇒=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1tan tan 2tan 234343k πππππαπ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+==-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3. 2tan 3A E A D E D E∠==，6tan 23B E B D E D E∠===223tan 8sin 2123A DB A D B +∠==-⇒∠=-⨯28652sin4ABR S RAD Bππ=====∠4. sin1、sin2、sin3(0,1)∈，sin4、sin5(1,0)∈-2sin1sin2sin3sin4sin5++++=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦5. ||29AB AC BC BA CA CB AB AC BC BA AB AB AB++=+=⋅==⋅⋅⋅⋅⋅6. {|24}A x x=<<，记2()7f x x ax=-+，欲使A Bφ≠需且只需：(2)(4)0f f<或(2)0(4)0242ffa∆≥⎧⎪≥⎪⎪⎨≥⎪⎪≤≤⎪⎩，整理有234a≤≤7.如图所示，设红色区域面积为x，白色区域面积为y，三个半圆的面积之和为S，则：1()232S w yx u w uS y x u=+⎧⇒+=-⎨=++⎩8. 当n ＝1、2、3、4时，k非正整数，当5n≥时，有()44252500554n n k-+=⨯+=此时有4225|5|k k⇒，令25()k t t N=∈，有424545(2)(2)n nt t t--+=⇔=+⨯-，存在α、Nβ∈，αβ>，使得5225455t tαβαβ=+>-=⇒=-若0β≠，则：5|55αβ-，矛盾有0β=，则：lg lg22513225,5lg lg5kt k nnα=⇒=⇒==⇒=注意到lg125lg225lg62534lg5lg5lg5=<<=，lg2254lg5⎡⎤=⎢⎥⎢⎥。