数学第六讲

教学辅导教案1、填空.(1)过同一平面上的两点可以画( )条直线.(2)把线段的一端无限延长，可以得到一条( )线.(3)下图的线段中，互相平行的有：( )平行于( )；( )平行于( )互相垂直的有：( )垂直于( )；( )垂直于( )2、判断对错.(1)大于90°的角是钝角.( )(2)小红画了一条3 cm长的射线.( )(3)一条直线的长度是一条射线长度的2倍.( )(4)在同一平面内，两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线一定是互相平行的.( )(5)把线段向两端无限延伸就可以得到一条直线.( )一、填空题1、填空不困难，全对不简单.(1)角的度量单位是( )，用符号( )表示.(2)角的大小与( )无关，与( )有关.(3)度量角的大小可以用( ).(4)用量角器量角时，要注意( )与( )重合，( )与( )重合.(5)钟面上分针旋转了360°时，则时针旋转了( ).第1页共11页2、分一分.92°175°35°88°58°100°3、看图求角的度数.(1)已知∠1＝54°，∠2＝______.(2)已知∠1＝105°，∠2＝______.二、选择题4、下图中，( )是角.A. B． C.5、角的大小与( )无关.A．边的长短B．角两边开口的大小6、下面语句正确的是( ).A．在3倍放大镜下看45°的角，角的度数也扩大3倍B．角的两边越长，角就越大C．度量角的单位是度三、按要求画图用三角尺画出下面各角.75°120°90°知识点一、角的度量1）认识度.将圆平均分成360份，把其中的1份所对的角叫做1度，记作1°，通常用1°作为度量角的单位.2）认识量角器.量角器是把半圆平均分成180份，一份表示1度.量角器上有中心点、0刻度线、内刻度线、外刻度线.3）量角器的使用方法.“两合一看”：“两合”是指中心点与角的顶点重合；零刻度线与角的一边重合.“一看”就是要看角的另一边所对的量角器的刻度.看角的度数时要注意是看外刻度还是内刻度.角的开口向左看外刻度线，角的开口向右看内刻度线. 【例题1】．动动小脑瓜，一起量一量.【变式1】用量角器测量(1)∠1＝______；∠2＝______；∠3＝______∠1＋∠2＋∠3＝______(2)(2)∠1＝______；∠2＝______；∠3＝______∠1＋∠2＋∠3＝______从(1)和(2)中你发现了什么？__________________________________________________________________知识点二、画角1）用量角器画指定度数的角的方法.画一条射线，中心点对准射线的端点，0刻度线对准射线（两合），对准量角器相应的刻度点一个点(一看)，把点和射线端点连接，然后标出角的度数.2）30度、60度、90度、45度、75度、105度、135度、120度和150度用三角板比较方便. 【例题2】写出下列由三角尺拼成的角的度数.(1) (2)( ) ( )(3) (4)( ) ( )【变式1】观察与填空(1)如下图，∠1＝90°，∠2＝______.(2)如下图，∠1＝60°，∠2＝______，∠3＝______，∠4＝______.【变式2】(1)用量角器画出下面各角.35° 80° 165°(2)用你喜欢的方法，画出下面各角.95° 20° 135°【变式3】拿两张长方形的纸，将一张放在另一张的上面，如下图所示.你能动手做一做，说说∠1和∠2之间的关系？一选择题1、把平角分成两个角，其中一个角是钝角，那么另一个角一定是( ).A．锐角B．直角C．钝角2、在下图中，∠1＝40°，那么∠2是( ).A．锐角B．钝角 C．直角 D．平角3、在下图中，如果∠1＝55°，那么∠2是( ).A．锐角 B．钝角 C．直角 D．平角4、在长方形中，AD与CD( ).A．互相平行 B．互相垂直 C．无法确定二、填空题5、已知∠1＋∠2＝120°，∠1＝40°，那么∠2＝______，∠3＝______.6、量出下面各角的度数，并按顺序排一排.∠1＝______°∠2＝______°∠3＝______°∠4＝______°( )＜( )＜( )＜( )7、下图中∠2＝50°.∠1＝______，∠3＝______，∠4＝______.三、按要求画图8、画出下面各角.70°145° 55°9、用三角板画下面各角105° 15° 120°四、解决生活中的问题10、从8时到11时，时针旋转了多少度？11、明明要从A点过马路.怎样走最近？请在图中画出来.12、小红早上出门时看了看钟，7时整，当她再回来时，发现时针已经转动了90°，请问小红回来时是几时.1.角的度量①度的认识以及书写；②量角器（中心点、0刻度线、内刻度线、外刻度线）；③量角器的使用方法（两合一看）2.量角器的使用②用量角器画指定度数的角的方法：画一条射线，中心点对准射线的端点，0刻度线对准射线（两合），对准量角器相应的刻度点一个点(一看)，把点和射线端点连接，然后标出角的度数.②熟记：30度、60度、90度、45度、75度、105度、135度、120度和150度用三角板比较方便.一．选择题.1．9时整，钟面上的时针和分针形成的角是直角，再过5分钟，钟面上的时针和分针形成的角是（）A．直角B．锐角 C．钝角D．不能确定2．一个30°的角在放大10倍的凸透镜下看是（）A．30°B．300°C．3°3．如图所示，观察用量角器测量∠AOC的度数是（）A．125°B．65° C．55°4．能直接用一套三角板画出的度数有（）A．75°B．115° C．80° D．35°5．在钟面上时针走1小时转过的角度，与分针走5分钟转过的角度相比（）A．时针走1小时转过的角度大 B．分针走5分钟转过的角度大 C．正好相等二．填空题.6．画一个105°的角，除了用量角器画，我们还可以用三角尺上的°和°的角来画．7．用一副三角尺，可以画出少于180°的角个．8．如图，这幅三角尺拼成的角AOB是度．9．用一副三角板拼75度的角，要先画度的角，再拼接度的角．10．画一条射线，使量角器的和它的段点重合，并使刻度线和射线重合．11．如图中，∠1= 度，∠2= 度．三．判断题.12．把半圆分成180份，每一份所对的角的大小是1度，记作1°．13．只能用量角器才能画出30°的角．14．用一副三角板能拼出15°、75°、105°、120°、135°、150°的角15．用量角器量角的度数时，只要让量角器的中心和角的顶点重合就可以了．16．成群大雁飞行时，有时会排成“人”字型，“人”字型的角度大约110度．四．操作题.17．用量角器量出如图各角的度数.∠2= ，∠3= ，∠4= ，∠5= ，∠6= ．五．解答题.18．用三角尺先把左边的直角三等分，再把右边的平角三等分．【拓展提升】——简单列举【例1】用红、黄、蓝三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？【变式1-1】甲、乙、丙三个同学排成一排，有几种不同的排法？【变式1-2】小红有3种不同颜色的上衣，4种不同颜色的裙子，问她共有多少种不同的穿法？。

第六讲简单鸡兔同笼1、掌握“鸡兔同笼问题”的特点、解题方法和步骤；2、学会典型鸡兔问题的解题方法，灵活应用到同类问题中去；3、培养学生的假设意识和推理能力。

基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；列表尝试法：“取数”过程实际上是个“来来回回”地、“反反复复”地凑数的过程。

假设法基本思路：1、假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：2、假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；3、每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；4、再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。

假设法基本公式：1、把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）2、把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）关键问题：找出总量的差与单位量的差。

讲演者：得分：鸡兔同笼，共有45个头，146只脚，问笼中鸡、兔各有几只？【解析】45个头表示鸡和兔共有45只。

假设这45只都是兔子，则会有45×4＝180(只)脚。

那就比实际情况多出了180－146＝34（只）脚，这多出的脚是把每只鸡加上了4－2＝2（只）脚看成了兔子导致的，其实就是把34÷2＝17（只）鸡都看成了兔子。

同样的，我们也可以把这45只鸡兔，全假设成鸡，那么就有45×2＝90（只）脚。

这样比实际就少了146－90 ＝56（只）脚，少了的脚实际就是让每只兔子少2条腿假设成鸡，那么就有56÷2＝28(只)兔子被假设成了鸡。

方法一：假设全是兔；鸡的头数：(45×4－146)÷(4－2)＝17（只）；兔的头数：45－17＝28（只）。

方法二：假设全是鸡；兔的头数：(146－45×2)÷(4－2)＝28（只）；鸡的只数：45－28＝17（只）。

第六讲有理数的乘方一、有理数乘方1.乘方的定义（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；2.有理数的乘方法则（1）正数的任何次幂都是正数.（2）负数的奇次幂是负数.负数的偶次幂是正数.注意：当n为正奇数时: (-a)n=-a n或(a -b)n=-(b-a)n , 当n为正偶数时: (-a)n =a n或(a-b)n=(b-a)n .二、科学记数法把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.三、近似数的精确位一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数的精确到那一位.四、有效数字从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.1.区分乘方与幂的不同2.熟练掌握科学计数法表示数的方法例1．﹣12的值是（）A．1B．﹣1 C．2D．﹣2考点：有理数的乘方．分析：根据乘方运算，可得幂，根据有理数的乘法运算，可得答案．解答：解：原式=﹣1，故选；B．点评：本题考查了有理数的乘方，注意底数是1．例2．（﹣2）3的值为（）A．﹣6 B．6C．﹣8 D．8考点：有理数的乘方．专题：计算题．分析：根据有理数乘方的法则计算：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．解答：解：（﹣2）3=﹣8，故选C．点评：本题考查了有理数的乘方法则，解题时牢记法则是关键，此题比较简单，易于掌握．例3．据统计，2014年河南省机动车保有量突破280万辆，对数据“280万”的理解错误的是（）A．精确到万位B．有三个有效数字C．这是一个精确数D．用科学记数法表示为2.80×106考点：近似数和有效数字．分析：根据近似数、有效数字的意义和科学记数法的计数方法逐一分析得出答案即可．解答：解：A、280万精确到万位是正确的，此选项不合题意；B、280万有三个有效数字是正确的，此选项不合题意；C、280万是一个近似数，不是精确数，此选项符合题意；D、280万用科学记数法表示为2.80×106是正确的，此选项不合题意．故选：C．点评：此题考查近似数与有效数字，以及科学计数法，掌握基本概念和方法是解决问题的关键．例4．据国家统计局初步核算，2012年全年国内生产总值519322亿元，请用科学记数法表示519322亿元正确的是（）A．5.19322×105元B．519322×105元C．5.19322×108元D．5.19322×1013元考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于519322亿有14位，所以可以确定n=14﹣1=13．解答：解：519322亿=51 932 200 000 000=5.19322×1013．故选D．点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．例5．一种病毒长度约为0.000056mm，用科学记数法表示这个数为（）A．5.6×10﹣6B．5.6×10﹣5C．0.56×10﹣5D．56×10﹣6考点：科学记数法—表示较小的数．分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解答：解：0.000056=5.6×10﹣5．故选：B．点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．例6．用科学记数法表示数5.8×10﹣5，它应该等于（）A．0.005 8 B．0.000 58 C．0.000 058 D．0．O00 005 8考点：科学记数法—原数．分析：把5.8的小数点向右移动5个位，即可得到．解答：解：5.8×10﹣5=0.000 058．故选：C．点评：本题主要考查了用科学记数法表示的数化成一般的数的方法，用科学记数法表示的数还原成原数时，n＞0时，n是几，小数点就向后移几位．A档1．计算：32=．考点：有理数的乘方．分析：此题比较简单，直接利用平方的定义即可求出结果．解答：解：32=9．故填空答案：9．点评：此题只要利用平方的定义即可．2．﹣32=．考点：有理数的乘方．分析：﹣32即32的相反数．解答：解：﹣32=﹣9．点评：乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．乘方的意义就是多少个某个数字的乘积．负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；﹣1的奇数次幂是﹣1，﹣1的偶数次幂是1．3．计算：﹣22﹣（﹣2）2=．考点：有理数的乘方．分析：利用有理数的乘方运算法则得出即可．解答：解：﹣22﹣（﹣2）2=﹣4﹣4=﹣8．故答案为：﹣8．点评：此题主要考查了有理数的乘方运算法则，注意运算符号．4．近似数8.6×105精确到位．考点：近似数和有效数字．分析：根据近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位，即可得出答案．解答：解：近似数8.6×105精确到万位；故答案为：万．点评：此题考查了近似数和有效数字，最后一位所在的位置就是精确度．5．近似数3.06精确到位．考点：近似数和有效数字．分析：精确到哪一位就是看这个近似数的最后一位的数字在什么位．解答：解：近似数3.06精确到百分位．故答案为：百分．点评：本题考查近似数与有效数字，精确度由所得近似数的最后一位有效数字在该数中的位置决定．B档6．近似数1.02×105精确到了位．考点：近似数和有效数字．分析：根据近似数的精确度求解．解答：解：近似数1.02×105精确到了千位．故答案为千．点评：本题考查了近似数与有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．7．由四舍五入得到的近似数0.5600的有效数字的个数是，精确度是．考点：近似数和有效数字．分析：根据有效数字的定义和近似数的精确度求解．解答：解：近似数0.5600的有效数字是5、6、0、0，精确度为精确到0.0001．故答案为4，精确到0.0001．点评：本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字．8．世界文化遗产长城总长约为6700000m，若将6700000用科学记数法表示为6.7×10n（n是正整数），则n的值为．考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：6 700 000=6.7×106，则n=6，故答案为：6．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．9．嫦娥三号是嫦娥绕月探月工程计划中嫦娥系列的第三颗人造绕月探月卫星．将于2013年下半年择机发射．奔向距地球1500000km的深空．用科学记数法表示1500000为．考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：1 500 000=1.5×106，故答案为：1.5×106．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．10．截至2013年12月31日，余额宝规模已达到1853亿元，这个数据用科学记数法可表示为元．考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于1853亿有12位，所以可以确定n=12﹣1=11．解答：解：1853亿=185 300 000 000=1.853×1011．故答案为：1.853×1011．点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．C档11．环境空气质量问题已经成为人们日常生活所关心的重要问题，我国新修订的《环境空气质量标准》中增加了PM2.5检测指标，“PM2.5”是指大气中危害健康的直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米即0.0000025米．用科学记数法表示0.0000025为．考点：科学记数法—表示较小的数．分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解答：解：0.000 0025=2.5×10﹣6；故答案为：2.5×10﹣6．点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．12．人的眼睛可以看见的红光的波长是0.000077cm，请把这个数用科学记数法表示，其结果是cm．考点：科学记数法—表示较小的数．分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解答：解：0.000077=7.7×10﹣5，故答案为：7.7×10﹣5．点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．13．用小数表示1.027×10﹣6=0.000001027．考点：科学记数法—原数．分析：科学记数法的标准形式为a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）．本题把数据“1.027×10﹣6中1.027的小数点向左移动6位就可以得到．解答：解：原式=0.000001027，故答案为0.000001027．点评：本题考查了科学记数法，写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法a×10﹣n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．14．我国第六次人口普查公布全国人口数约为137054万，将这个数精确到亿位，结果为．考点：科学记数法与有效数字．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于137054万有10位，所以可以确定n=10﹣1=9．解答：解：我国第六次人口普查公布全国人口数约为137054万，将这个数精确到亿位，结果为1.3×109，故答案为：1.3×109．点评：此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．15．2015年3月10日，苹果公司宣布Apple Watch从4月10日起开始预售，价格从2588元﹣126800元不等，将126800元精确到千位，结果为．考点：科学记数法与有效数字．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于126800有6位，所以可以确定n=6﹣1=5．解答：解：将126800元精确到千位，结果为1.27×105；故答案为：1.27×105．点评：此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．1．用科学记数法表示0.0000216，结果是（保留两位有效数字）．考点：科学记数法与有效数字．分析：根据科学记数法的表示方法，有效数字的意义，可得答案．解答：解：0.0000216=2.2×10﹣5，故答案为：2.2×10﹣5．点评：本题考查了科学记数法与有效数字，数字的前面有几个零，科学计数法中10的指数就是负几．2．计算：=．考点：有理数的乘方．分析：直接利用乘方的意义和计算方法计算得出答案即可．解答：解：﹣（﹣）2=﹣．故答案为：﹣．点评：此题考查有理数的乘方，掌握乘方的意义和计算方法是解决问题的关键．3．计算（﹣1）2012﹣（﹣1）2011的值是．考点：有理数的乘方．分析：根据﹣1的奇数次幂是﹣1，﹣1的偶数次幂是1解答．解答：解：（﹣1）2012﹣（﹣1）2011，=1﹣（﹣1），=1+1，=2．故答案为：2．点评：本题考查了有理数的乘方，熟记﹣1的奇数次幂是﹣1，﹣1的偶数次幂是1是解题的关键．4．中央电视台统计显示，南京青奥会开幕式直播有超过2亿观众通过央视收看，2亿用科学记数法可记为．考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将2亿=200000000用科学记数法表示为：2×108．故答案为：2×108．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．光的速度为300000千米/秒，太阳光从太阳照到地球约需500秒，地球与太阳距离是米（用科学记数法）．考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：300000×500=150000000千米=1.5×1014米．故答案为1.5×1014．点评：本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．1．计算：﹣24+（﹣2）4=．考点：有理数的乘方．专题：计算题．分析：此题比较简单，直接利用幂的定义就可以求出结果．解答：解：﹣24+（﹣2）4=﹣16+16=0．故填空答案：0．点评：此题主要考查了乘方的定义，其中的规律：①负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；②﹣1的奇数次幂是﹣1，﹣1的偶数次幂是1．2．在近似数6.48中，精确到位，有个有效数字．考点：近似数和有效数字．分析：近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位，最后一位是什么位就是精确到哪一位；一个近似数的有效数字是从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是这个数的有效数字．解答：解：近似数6.48中，最后一位是百分位，因而是精确到百分位，有6，4，8共3个有效数字．故答案是百分和3．点评：本题主要考查了近似数与有效数字的确定方法，精确到哪一位，即对下一位的数字进行四舍五入．有效数字的计算方法以及与精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错．3．用四舍五入法把3.0987精确到0.01的结果是．考点：近似数和有效数字．分析：精确到哪位，就是对它后边的一位进行四舍五入．解答：解：把3.0987精确到0.01，即对千分位的数字进行四舍五入，是3.10．故答案为：3.10．点评：精确到哪一位，即对下一位的数字进行四舍五入．这里对千分位的8入了后，百分位的是9，满了10后要进1．4．数2.30×103精确到位．考点：近似数和有效数字．分析：根据近似数的精确度求解．解答：解：2.30×103精确到十位．故答案为十．点评：本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字．5．2014年我国的国内生产总值（GPD）达到636000亿元，请将636000用科学记数法表示，记为．考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将636000用科学记数法表示为6.36×105．故答案为：6.36×105．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．6．人的眼睛可以看见的红光的波长是0.000077cm，请把这个数用科学记数法表示，其结果是cm．考点：科学记数法—表示较小的数．分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解答：解：0.000077=7.7×10﹣5，故答案为：7.7×10﹣5．点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．7．写出下列用科学记数法表示的数的原来的数：2.35×10﹣2=．考点：科学记数法—原数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．因而把这个数还原，就是把2的小数点向左移动2位．解答：解：2.35×10﹣2=0.0235．故答案为：0.0235．点评：本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．8．我国现有约7849万名共青团员，用科学记数法（保留两个有效数字）表示为名．考点：科学记数法与有效数字．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于7849万有8位，所以可以确定n=8﹣1=7．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．解答：解：7849万=7.849×107≈7.8×107，故答案为7.8×107．点评：本题考查了科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．课程顾问签字： 教学主管签字：。

第六讲立体图形的特征及计算（一）长方体与正方体一、知识梳理1、长方体和正方体的认识一个长方体至少可以有两个面是正方形，最多可以有6个面是正方形，但不会存在3个、4个、5个面是正方形二、例题精讲例1：（1）判断和填空：长方体的六个面一定是长方形； ( × )正方体的六个面面积一定相等； ( √ )一个长方体(非正方体) 最多有四个面面积相等； (√ )相交于一个顶点的三条棱相等的长方体一定是正方体。

( √ )一个长方体中，可能有4个面是正方形。

（×）正方体是特殊的长方体。

（√）有两个面是正方形的长方体一定是正方体。

( × )一个长方体中最少有4条棱长度相等，最多有8条棱长度相等。

（√）（2）一个长方体最多有（ 2 ）个面是正方形，最多有（ 8 ）条棱长度相等。

（3）一个长方体的底面是一个正方形，则它的4个侧面是（完全一样的长方）形。

（4）正方体不仅相对的面相等，而且所有相邻的面（相等），它的六个面都是相等的（正方）形。

（5）把长方体放在桌面上，最多可以看到（ 3 ）个面。

最少可以看到（ 1 ）个面。

2、长方体与正方体的棱长总和公式长方体棱长总和=（长+宽+高）×长+宽+高=棱长总和÷4长方体棱长总和=下面周长×2+高×4长方体棱长总和=右面周长×2+长×4长方体棱长总和=前面周长×2+宽×4正方体棱长总和=棱长×棱长=棱长和÷12例2：（1）看图，并填空单位：厘米这个长方体长( 6 )厘米，宽(3)厘米，高(4) 厘米。

由一个顶点引出的三条棱的长度和是(13 )厘米。

棱长总和是( 52 )厘米。

上下两个面是( 长方 )形。

（2）一个长方体的棱长总和是 80厘米，其中长是 10厘米，宽是 7厘米，高是（ 3 ）厘米。

（3）有一个长方体的鱼缸，长50厘米，宽30厘米，高30厘米，需要在用铝合金包裹玻璃连接处，需要（ 4.4 ）米的铝合金（4）把两个棱长 1厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是（ 16 ）厘米。

第6讲乌鸦怎么才能喝到水例题练习例1 如图,一个瓶子里面装着一些水,瓶子的下面部分是圆柱形．请根据图中的数据计算出瓶子的容积．（π取3.14）练1 如图,一个瓶子里面装着一些水,瓶子的下面部分是圆柱形．请根据图中的数据计算出瓶子的容积．（π取3.14）例2 一个圆柱形的水池,底面半径为2米,池中有一些水．将一块石头浸没在水中,发现水面上升了5厘米．这块石头的体积是多少？（π取3.14）练2 一个圆柱形的水池,底面半径为10米,池中有一些水．将一块体积为3.14立方米的石头浸没在水中,水面会上升多少？（π取3.14）课堂笔记例3 如图,一个底面长20分米,宽8分米,高20分米的长方体水池,存有二分之一池水．将一个高50分米,底面积为60平方分米的长方体竖直放入池中,水面会上升多少？练3 一个圆柱形的水池,底面半径为6厘米,高为20厘米,里面存有半池水．将一个底面半径为4厘米,高为1米的圆柱竖直放入池中,水面会上升多少？例4 如图,一个底面长20分米,宽8分米,高15分米的长方形水池,存有三分之二池水．将一个高50分米,底面积为60平方分米的长方体竖直放入池中,水面会上升多少？练4 一个圆柱形的水池,底面半径为6厘米,高为15厘米,里面存有半池水．将一个底面半径为4厘米,高为1米的圆柱竖直放入池中,水面会上升多少？选做题1 如图所示,一个透明的封闭盛水容器,由一个圆柱体和一个圆锥体组成．圆柱体的底面直径和高都是12厘米．其内有一些水,正放时水面离容器顶11厘米,倒放时,水面离顶部5厘米．请问：这个容器的高是多少厘米？课堂笔记自我巩固1．如图,一个瓶子里面装着一些水,瓶子的下面部分是圆柱形．根据图中的数据可以计算出瓶子的容积是_________立方厘米．（π取3.14）2．如图,一个瓶子里面装着一些水,瓶子的下面部分是圆柱形．根据图中的数据计算出瓶子的容积是_________立方厘米．（π取3.14）3．一个圆柱形的水池,底面半径为4米,池中有一些水．将一块石头浸没在水中,发现水面上升了10厘米．这块石头的体积是_________立方米．（π取3.14）4．一个圆柱形的水池,底面半径为2米,池中有一些水．将一块石头浸没在水中,发现水面上升了0.2米．这块石头的体积是_________立方米．（π取3.14）5．一个圆柱形的水池,底面半径为5米,池中有一些水．将一块体积为3.14立方米的石头浸没在水中,水面会上升______厘米．（π取3.14）6．一个圆柱形的水池,底面半径为10米,池中有一些水．将一块体积为6.28立方米的石头浸没在水中,水面会上升______厘米．（π取3.14）课堂笔记7．一个底面长20分米、宽12分米、高20分米的长方形水池,存有二分之一池水．将一个课堂笔记高50分米、底面积为40平方分米的长方体竖直放入池中,水面会上升______分米．8．一个底面长10分米、宽8分米、高10分米的长方形水池,存有二分之一池水．将一个高20分米,底面积为40平方分米的长方体竖直放入池中,水面会上升______分米．9．一个长方体容器内装着水,水面高4厘米．从里面量,容器的底面积是72平方厘米,深10厘米．将一个底面积为12平方厘米、高3厘米的长方体铁块放入杯中,水面的高度会变成______厘米．10．一个长方体容器内装着水,水面高2厘米．从里面量,容器的底面积是20平方厘米,深5厘米．将一个底面积为10平方厘米、高2厘米的长方体铁块放入杯中,水面的高度会变成______厘米．课堂落实1．如图,一个瓶子里面装着一些水,瓶子的下面部分是圆柱形．根据图中的数据可以计算出瓶子的容积是_________立方分米．（π取3.14）2．一个圆柱形的水池,底面半径为4米,池中有一些水．将一块石头浸没在水中,发现水面上升了10厘米．这块石头的体积是_________立方米．（π取3.14）3．一个圆柱形的水池,底面半径为1米,池中有一些水．将一块体积为3.14立方米的石头浸没在水中,水面会上升______厘米．（π取3.14）4．一个底面长20分米、宽10分米、高30分米的长方体水池,存有二分之一池水．将一个高50分米、底面积为50平方分米的长方体竖直放入池中,水面会上升______分米．5．一个长方体容器内装着水,水面高3厘米．从里面量,容器的底面积是30平方厘米．将一个底面积为15平方厘米、高1厘米的长方体铁块放入杯中,水没有溢出,水面的高度会变成______厘米．作业笔记课堂笔记第6讲乌鸦怎么才能喝到水例题练习例1 如图,一个瓶子里面装着一些水,瓶子的下面部分是圆柱形．请根据图中的数据计算出瓶子的容积．（π取3.14）【答案】100.48立方厘米．【解析】瓶子的容积是水的体积和瓶中空气的体积之和．在左图中,水的形状是圆柱形,可求出体积是π×22×6=24π立方厘米．在右图中,空气的形状也是圆柱形,可求出体积是π×22×2=8π立方厘米．那么瓶子的容积是24π+8π=32π=100.48立方厘米．练1 如图,一个瓶子里面装着一些水,瓶子的下面部分是圆柱形．请根据图中的数据计算出瓶子的容积．（π取3.14）【答案】565.2立方厘米．【解析】π×32×16+π×32×4=180π=565.2立方厘米．例2 一个圆柱形的水池,底面半径为2米,池中有一些水．将一块石头浸没在水中,发现水面上升了5厘米．这块石头的体积是多少？（π取3.14）【答案】0.628立方米．【解析】上升的水的体积,就是石头的体积,正好是一个底面半径为2米,高为5厘米的圆柱形的体积．π×22×0.05=0.628立方米．练2 一个圆柱形的水池,底面半径为10米,池中有一些水．将一块体积为3.14立方米的石头浸没在水中,水面会上升多少？（π取3.14）【答案】1厘米．【解析】水池的底面积是314平方米．那么水面上升的高度是3.14÷314=0.01米,即1厘米．例3 如图,一个底面长20分米,宽8分米,高20分米的长方体水池,存有二分之一池水．将一个高50分米,底面积为60平方分米的长方体竖直放入池中,水面会上升多少？【答案】6分米．【解析】根据题意可知一定不会浸没．放入前后水的形状有变化．之前是一个底面积为160平方分米的长方体,之后是一个底面积为160−60=100平方分米的柱体．注意到水的体积没有发生变化,那么可以求出后来水的高度是160×10÷100=16分米．水面上升了6分米．练3 一个圆柱形的水池,底面半径为6厘米,高为20厘米,里面存有半池水．将一个底面半径为4厘米,高为1米的圆柱竖直放入池中,水面会上升多少？【答案】8厘米．【解析】水之前的底面积是36π平方厘米,之后的底面积是36π−16π=20π平方厘米．36π×10÷20π=18厘米,水后来的高度是18厘米,上升了8厘米．例4 如图,一个底面长20分米,宽8分米,高15分米的长方形水池,存有三分之二池水．将一个高50分米,底面积为60平方分米的长方体竖直放入池中,水面会上升多少？【答案】5分米．【解析】同例3,放入以后水的高度应该也是16分米．但注意到水池的高度只有15分米,所以水的高度上升到15分米后就不会再上升了．最后上升了5分米．练4 一个圆柱形的水池,底面半径为6厘米,高为15厘米,里面存有半池水．将一个底面半径为4厘米,高为1米的圆柱竖直放入池中,水面会上升多少？【答案】6厘米．【解析】略．选做题 1 如图所示,一个透明的封闭盛水容器,由一个圆柱体和一个圆锥体组成．圆柱体的底面直径和高都是12厘米．其内有一些水,正放时水面离容器顶11厘米,倒放时,水面离顶部5厘米．请问：这个容器的高是多少厘米？【答案】21厘米【解析】由于圆柱体的高度已知,只要求出圆锥体的高度即可．可设圆锥体的高为x厘米,由于正放和倒放时,空白部分的体积相同,可得方程：13×π×62×x+（11−x）×π×62=5×π×62,解得：x=9．容器的高为9+12=21厘米．自我巩固1．如图,一个瓶子里面装着一些水,瓶子的下面部分是圆柱形．根据图中的数据可以计算出瓶子的容积是_________立方厘米．（π取3.14）A．18.84 B．12.56 C．6.28【答案】A【解析】瓶子的容积是水的体积和瓶中空气的体积之和.所以瓶子的容积为π×12×5+π×12×（7−6）=18.84立方厘米.2．如图,一个瓶子里面装着一些水,瓶子的下面部分是圆柱形．根据图中的数据计算出瓶子的容积是_________立方厘米．（π取3.14）A．18.84 B．15.7 C．6.28【答案】B【解析】瓶子的容积是水的体积和瓶中空气的体积之和.所以瓶子的容积为π×12×4+π×12×（6−5）=15.7立方厘米.3．一个圆柱形的水池,底面半径为4米,池中有一些水．将一块石头浸没在水中,发现水面上升了10厘米．这块石头的体积是_________立方米．（π取3.14）A．0.5024 B．50.24 C．5.024【答案】C【解析】上升水的体积,就是石头的体积,正好是一个底面半径为4米,高10厘米的圆柱形的体积.π×42×0.1=5.024立方米.4．一个圆柱形的水池,底面半径为2米,池中有一些水．将一块石头浸没在水中,发现水面上升了0.2米．这块石头的体积是_________立方米．（π取3.14）A．0.2512 B．2.512 C．25.12【答案】B【解析】上升水的体积,就是石头的体积,正好是一个底面半径为2米,高0.2厘米的圆柱形的体积.π×22×0.2=2.512立方米.5．一个圆柱形的水池,底面半径为5米,池中有一些水．将一块体积为3.14立方米的石头浸没在水中,水面会上升______厘米．（π取3.14）【答案】4【解析】水面上升的高度为3.14÷（3.14×52）=0.04米,即4厘米.6．一个圆柱形的水池,底面半径为10米,池中有一些水．将一块体积为 6.28立方米的石头浸没在水中,水面会上升______厘米．（π取3.14）【答案】2【解析】水面上升的高度为6.28÷（3.14×102）=0.02米,即2厘米.7．一个底面长20分米、宽12分米、高20分米的长方形水池,存有二分之一池水．将一个高50分米、底面积为40平方分米的长方体竖直放入池中,水面会上升______分米．【答案】2【解析】根据题意可知一定不会浸没．放入前后水的形状有变化.之前是一个底面积为20×12=240平方分米的长方形,之后是一个底面积240−40=200平方分米的柱体．注意到水的体积没有发生变化,那么可以求出后来水的高度是240×20×0.5÷200=12分米,水面上升了2分米.8．一个底面长10分米、宽8分米、高10分米的长方形水池,存有二分之一池水．将一个高20分米,底面积为40平方分米的长方体竖直放入池中,水面会上升______分米．【答案】5【解析】根据题意可知一定不会浸没．放入前后水的形状有变化.之前是一个底面积为10×8=80平方分米的长方形,之后是一个底面积80−40=40平方分米的柱体．注意到水的体积没有发生变化,那么可以求出后来水的高度是80×10×0.5÷40=15分米,水面上升了5分米.9．一个长方体容器内装着水,水面高4厘米．从里面量,容器的底面积是72平方厘米,深10厘米．将一个底面积为12平方厘米、高3厘米的长方体铁块放入杯中,水面的高度会变成______厘米．A．4.5 B．0.5 C．3.5【答案】A【解析】根据题意可知一定会浸没,所以水面高度会变为4+12×3÷72=4.5厘米.10．一个长方体容器内装着水,水面高2厘米．从里面量,容器的底面积是20平方厘米,深5厘米．将一个底面积为10平方厘米、高2厘米的长方体铁块放入杯中,水面的高度会变成______厘米．【答案】3【解析】根据题意可知一定会浸没,所以水面高度会变为2+10×2÷20=3厘米.课堂落实1．如图,一个瓶子里面装着一些水,瓶子的下面部分是圆柱形．根据图中的数据可以计算出瓶子的容积是_________立方分米．（π取3.14）【答案】18.842．一个圆柱形的水池,底面半径为4米,池中有一些水．将一块石头浸没在水中,发现水面上升了10厘米．这块石头的体积是_________立方米．（π取3.14）【答案】5.0243．一个圆柱形的水池,底面半径为1米,池中有一些水．将一块体积为3.14立方米的石头浸没在水中,水面会上升______厘米．（π取3.14）【答案】1004．一个底面长20分米、宽10分米、高30分米的长方体水池,存有二分之一池水．将一个高50分米、底面积为50平方分米的长方体竖直放入池中,水面会上升______分米．【答案】55．一个长方体容器内装着水,水面高3厘米．从里面量,容器的底面积是30平方厘米．将一个底面积为15平方厘米、高1厘米的长方体铁块放入杯中,水没有溢出,水面的高度会变成______厘米．【答案】3.5。

第六讲取整问题第一格：阿呆一手拿着剪刀，一手挠着头看着地上的绳子，心想：“我要把绳子截成一米长的小段，应该怎么截呢？”地上有一根绳子，标明这根绳子长五米．第二格：阿呆蹲在地上，拿着剪刀的手已经剪在了这根绳子的中点处．第三格：阿呆疑惑的想：“现在还能截出多少个一米长的小段？”教学目标1．了解取整符号的概念和性质；2．了解带有取整符号类的数列的变化区间；3．学会求取整数列的值；4．学会求解关于取整符号的方程；知识点概述一．基本概念：表示不大于x的最大整数，通常叫做x的整数部分，，通常叫做x的小数部分或真分数部分；如，．二．基本性质：1.，，；2.，(x、y均为整数是等号才成立)．3.若是整数，则三．关于取整符号的方程1.有关x、、的方程，通常都要先把x拆成，然后利用是整数以及有范围的特点求解．2.一些复杂的x、、的方程，有时候用换元的方法来化简求值，例如方程：，因为，然后令，即有（其中），于是方程变为，把y拆开，有，所以，容易算出此时，所以．例1． （1）[]{}()[]{}3.1 2.5 4.750.8+⨯+=_____；（2）[][]42ππ⨯=______；「分析」问题的关键是将取整符号和取小符号都去掉，容易知道[]π的值为3．练习1、______．例2． （1）201320112012⨯⎡⎤=⎢⎥⎣⎦_______； （2）[]{}3535372378.758.753636⎡⎤⎧⎫⨯+⨯⨯+⨯=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭________．「分析」如何用凑整的方法把这些取整符号中的分数化成带分数．练习2、（1）[]10 3.6π+=_______；（2）201320112012⨯⎧⎫=⎨⎬⎩⎭_______．例3． 已知[]1x =，[]2y =，[]3z =，求：[]23x y z -+的所有可能值．「分析」先算出x 、y 、z 的取值范围，然后再根据取值范围的取法确定可能值．练习3、已知[]1x =，[]2y =，[]3z =，求：[]x y z ++的所有可能值．例4． 1311321382138321212121⨯⨯⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦_______． 「分析」看到这道题，大家会想，要是没有取整符号就好了，剩下的就是一个等差数列，我们可以用配对的想法来求和．而现在取整符号确实存在，有了取整符号之后，各项就不构成等差数列了，那我们要怎么办呢？配对的想法在这里还用得上吗？练习4、51525951011111111⨯⨯⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的和是________．例5． 解方程：（1）{}[]234x x x +=；（2）[]{}201320122011x x -=．「分析」先把x 拆成，然后利用是整数以及有范围的特点求解．例6． 解方程： []2130.5x x +=-．「分析」先把21x +设为y ，采用换元法．课堂内外彗星彗星（Comet），中文俗称“扫把星”，是太阳系中小天体之一类．由冰冻物质和尘埃组成．当它靠近太阳时即为可见．太阳的热使彗星物质蒸发，在冰核周围形成朦胧的彗发和一条稀薄物质流构成的彗尾．由于太阳风的压力，彗尾总是指向背离太阳的方向．彗星是星际间物质，英文是Comet，是由希腊文演变而来的，意思是“尾巴”或“毛发”，也有“长发星”的含义．而中文的“彗”字，则是“扫帚”的意思．在《天文略论》这本书中写道：彗星为怪异之星，有首有尾．历史上第一个被观测到相继出现的同一天体是哈雷彗星，牛顿的朋友和捐助人哈雷（1656一1742年）在1705年认识到它是周期性的．它的周期是76年．历史记录表明自从公元前240年也可能自公元前466年来，它每次通过太阳时都被观测到了．它最近一次是在1986年通过的．离太阳很远时彗星的亮度很低，而且它的光谱单纯是反射阳光的光谱．当彗星进入离太阳8个天文单位以内时，它的亮度开始迅速增长并且光谱急剧地变化．科学家看到若干属于已知分子的明亮谱线．发生这种变化是因为组成彗星的固体物质（彗核）突然变热到足以蒸发并以叫做彗发的气体云包围彗核．太阳的紫外光引起这种气体发光．彗发的直径通常约为105千米，但彗尾常常很长，达108千米或1天文单位．科学家估计一般接近太阳距离只有几个天文单位的彗星将在几千年内瓦解．公元1066年，诺曼人入侵英国前夕，正逢哈雷彗星回归．当时，人们怀有复杂的心情，注视着夜空中这颗拖着长尾巴的古怪天体，认为是上帝给予的一种战争警告和预示．后来，诺曼人征服了英国，诺曼统帅的妻子把当时哈雷彗星回归的景象绣在一块挂毯上以示纪念．中国民间把彗星贬称为“扫帚星”、“灾星”．像这种把彗星的出现和人间的战争、饥荒、洪水、瘟疫等灾难联系在一起的事情，在中外历史上有很多．彗星是在扁长轨道(极少数在近圆轨道)上绕太阳运行的一种质量较小的云雾状小天体．作业1.计算：（1）；（2）．2.已知，，，求：（1）的所有可能值是多少；（2）的所有可能值是多少？3.求的运算结果是多少？4.解方程：5.解方程：第六讲 取整问题例题：例7． 答案：（1）14.8；（2）72详解：（1）[]{}()[]{}()3.1 2.5 4.750.830.540.814.8+⨯+=+⨯+=； （2）[][]42126=72ππ⨯=⨯．例8． 答案：2011；174218详解：（1）()201212011201320112012201120112011201220122012+⨯⎡⎤⨯⨯+⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦； （2）()()353517361236140.7542363618⎡⎤⎧⎫=+⨯+⨯+⨯+⨯=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭原式．例9． 答案：4、5、6、7、8、9详解：12x ≤<，23y ≤<，34z ≤<，那么，426y ≤<，9312z ≤<，42310x y z <-+<，所以[]23x y z -+的可能值有4、5、6、7、8、9．例10． 答案：2118详解：我们先把首末两项配对，得到下面这个算式131138313113831311383131138352512121212121212121⨯⨯⨯⨯⎛⨯⨯⎫⎛⨯⨯⎫⎡⎤⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+=+-+=-+=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭⎝⎭该算式左侧为整数，因此右侧也得是整数，也就是说131********⎛⨯⨯⎫⎧⎫⎧⎫+⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎩⎭⎝⎭得是整数，而这部分一定大于0小于2，所以必定是1．由此可得上面这个算式的计算结果必为52151-=． 同理可得：132138213213821321382132138252512121212121212121⨯⨯⨯⨯⎛⨯⨯⎫⎛⨯⨯⎫⎡⎤⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+=+-+=-+=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭⎝⎭133138113313811331381133138152512121212121212121⨯⨯⨯⨯⎛⨯⨯⎫⎛⨯⨯⎫⎡⎤⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+=+-+=-+=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭⎝⎭……1341134313411343134113431341134352512121212121212121⨯⨯⨯⨯⎛⨯⨯⎫⎛⨯⨯⎫⎡⎤⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+=+-+=-+=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭⎝⎭由此将算式首末配对，每一对的和都是51，这里面还有一些特殊的情况：[][]132113631339522121⨯⨯⎡⎤⎡⎤+=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；[]1342262621⨯⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，除上述两组外其余共有40对51，总和为405152262118⨯++=．例11． 答案：（1）0、1.4、2.8；（2）111006详解：将x 替换为[x ]+｛x ｝，然后先对[x ]进行估算再确定{x }的值．例12． 答案：32、76、56详解：设：21y x =+，则12y x -=，原式变形为[]234y y =-，解得y 为4、133、223，于是x 的值是32、76、56．练习：1. 答案：3π－6简答：[]π3=，{}ππ3=-，讲这两个算式代入计算即可：[][]{}()102πππ33336ππ-+⨯=+⨯-=-．2. 答案：35；20112012简答：略． 3. 答案：6、7、8简答：略． 4. 答案：20简答：51525951011111111515105259555611111111111125520⨯⨯⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎛⨯⨯⎫⎛⨯⨯⎫⎛⨯⨯⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-=作业：6. 答案：（1）5.8；（2）13简答：略．7. 答案：（1）2、3或4；（2）0、1、2、3、4简答：略．8. 答案：129简答：略．9. 答案：11.5简答：[]{}{}44643x x x +-=，则有[]{}4432x x =+，得[]11x =，{}12x =，答案是11.5．10. 答案：3.5或3.25简答：原式可化为[]247x x =-，令2x y =有[]27y y =-，将[]{}y y y =+代入有[]{}27y y +=，再解方程可得7y =或 6.5y =，所以 3.5x =或 3.25x =．。

星系站备课教员：***第六讲比例解应用题一、教学目标： 1. 理解什么是按比例分配。

2. 会用多种方法解答按比例分配应用题。

3. 体会转化的思想。

4. 培养多种方法解题的能力、创新意识以及创新能力。

二、教学重点：正确理解按比例分配的意义，掌握按比例分配应用题的特征和解题方法。

三、教学难点：使题目转化为分数应用题或归一应用题。

四、教学准备：PPT。

五、教学过程：第一课时（40分钟）一、外星游记（5分钟）师：过年了，我想给每个同学发红包，同学们想要吗？生：想。

师：好，接下来我就开始发红包了，男的每人发5角钱，女的每人发1元钱。

好不好？生：好哦。

师：其实老师刚刚说的是一个游戏，大家会不会很失望？生：会。

师：为了弥补一下，我们一起来玩这个游戏好不好？生：好。

师：接下来老师来说说游戏规则。

游戏规则是：男同学发5角钱，女同学发1元钱，接下来我会说“发红包啊、发红包”，这时你们要说“发多少？”，然后我就会说一个钱数，这时你们要迅速的抱在一起，并且你们凑起来的钱数刚好是我所说的钱数，落单的和钱数错的将被淘汰哦。

都懂吗？生：懂了。

（游戏中）师：同学们玩得高兴吗？生：高兴。

师：可是我们不能光玩哦，我们还需要干什么呢？生：学习。

师：那你们从刚刚的游戏中学到了什么？生：……师：其实刚刚的游戏刚好用到了我们这节课所要学的知识，那就是比例解应用题，在学完这节课后，你们能很快地组成所要的钱数。

【板书课题：比例解应用题】二、星海遨游（30分钟）（一）星海遨游1（10分钟）某生产队由15个队员收割一块双季稻，8小时能割完，但割了3小时以后，由于天气突然发生变化，增加了10个社员进行抢收，问还需多少小时才能割完这块双季稻？师：这是一个关于什么的问题？生：工程问题。

师：是的，工程问题里面涉及到哪些量？生：工作总量、工作效率、工作时间。

师：天气变化后，如果不增加人数，则还需要多少时间？生：8-3=5（小时）。

师：则还剩下多少工作量？生：15×5=75。

第六讲 直线型计算中的倍数关系例题1. 答案：如图所示详解：长方形一边确定，面积的倍数关系与另一邻边的倍数关系相同．例题2. 答案：30详解：△ABD 与△ADC 的面积比是1:1，可求出△ABD 的面积是90平方厘米．△ABE 与△BDE 的面积比是1:2，那么△ABE 的面积是()901230÷+=平方厘米．例题3. 答案：7详解：连结AE 、BF 、CD ，由等高三角形可以推出图中的7个小三角形面积相等．例题4. 答案：3倍详解：设△AEC 的面积是1份，那么有梯形的面积是4份，△ABC 的面积是3份．所以△ACD 的面积是1份．而△ADC 与△ABC 的高相同，所以底的比等于面积的比，即AD :BC =1:3．例题5. 答案：49详解：设正方形边长为a ，则有242450a a ++⨯=，a =7．例题6. 答案：7.5详解：连结CE ，将三角形切成两个小三角，设正方形边长为a 厘米．可列方程()2012220122a a ⨯÷=+÷，a =7.5．AB C E D F1 11 1 1 11练习1. 答案：15简答：先求出面积为6的长方形下面长方形的面积，应该是84612÷⨯=平方厘米．再求阴影部分的面积，20102÷=，()46812215+++÷=．练习2. 答案：15平方厘米简答：因为D 是AB 的中点，可知△BDC 的面积是△ABC 面积的一半，120260÷=．E点是BC 的中点，F 是BE 的中点，那么△DEF 的面积是△BCD 的四分之一，60415÷=．练习3. 答案：18简答：如图所示，连结AF 、BD 和CE ．根据等高三角形的性质可以求出其他三角形的面积．练习4. 答案：6简答：如图所示，连结EF ，使得ABEF 是一个长方形．那么长方形CDFE 的面积是长方形ABEF 的两倍，所以EC 是BE 的两倍，BE 长为6．作业1. 答案：5简答：长方形A 的面积是长方形B 的面积的3倍，因此长方形C 的面积也是长方形D 的面积的3倍，因此长方形D 的面积为5． A BCDE F B作业2. 答案：24简答：BD 长度是AD 长度的2倍，因此三角形BCD 面积也是三角形ACD 面积的2倍，因此三角形BCD 面积为24．作业3. 答案：16简答：由D 、E 分别为AB 、BC 边上的三等分点，可求得三角形BCD 面积为48，三角形CDE 面积为16．作业4. 答案：19简答：如图所示，连接AE 、BF 、CD ．由2AD DF =，2BE ED =，，可知三角形ADE ，三角形BEF ，三角形CEF 的面积都是2，而三角形ABE 、三角形CBF 、三角形ACD 的面积都是4．三角形ABC 的面积是444222119++++++=．作业5. 答案：288；162 简答：△ABC 的面积是正方形面积的一半，即2242882=平方厘米；△BCD 的面积是△ABC 的34，即32882164⨯=平方厘米；△CDE 的面积是三角形BCD 的34，即32161624⨯=平方厘米． 2CF FE = A B CEDF。

小学四年级第六讲数列1、数列：按一定顺序排成的一列数叫做数列。

数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。

数列中共有的项的个数叫做项数。

2、等差数列与公差：一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。

3、常用公式等差数列的总和=（首项+末项）⨯项数÷2项数=（末项-首项）÷公差+1末项=首项+公差⨯（项数-1）首项=末项-公差⨯（项数-1）公差=（末项-首项）÷（项数-1）等差数列（奇数个数）的总和=中间项⨯项数1、重点是对数列常用公式的理解掌握2、难点是对题目的把握以及对公式的灵活运用例1、在数列3、6、9……，201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？答案：共有67个数，第201个数是603解析：（1）因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式：项数=（末项-首项）÷公差+1,便可求出。

（2）根据公式：末项=首项+公差⨯（项数-1）解：项数=（201-3）÷3+1=67末项=3+3⨯（201-1）=603答：共有67个数，第201个数是603例2、全部三位数的和是多少？答案：全部三位数的和是494550解析：所有的三位数就是从100~999共900个数，观察100、101、102、……、998、999这一数列，发现这是一个公差为1的等差数列。

要求和可以利用等差数列求和公式来解答。

解：（100+999）⨯900÷2=1099⨯900÷2=49455答：全部三位数的和是494550。

例3、求自然数中被10除余1的所有两位数的和。

答案：459解析：在两位数中，被10除余1最小的是11，最大的是91。

从题意可知，本题是求等差数列11、21、31、……、91的和。

它的项数是9，我们可以根据求和公式来计算。

解：11+21+31+……+91=（11+91）⨯9÷2=459例4、求下列方阵中所有各数的和：1、2、3、4、……49、50；2、3、4、5、……50、51；3、4、5、6、……51、52；……49、50、51、52、……97、98；50、51、52、53、……98、99。

第六讲 六年级数学简便算法6―1、六年级分数加减运算（一）、分数加减法运算法则分数加法与整数加法意义相同；都是把两个数合并成一个数的运算。

分数减法与整数减法意义相同；都是已知两个加数的和与其中的一个加数；求另一个加数的运算。

①、同分母分数加、减法。

同分母分数相加、减；分母不变；只把分子相加减。

即 521041031103101==+=+ ②、异分母分数加、减法：异分母分数相加、减；先通分；然后按照同分母分数加、减法的法则进行计算。

即402340154088351=+=+ ③、带分数相加、减法：现可先把整数部分与分数部分分别相加、减；再把所得的数合并起来。

即87870)8289()33(823893823814413814=+=-+-=-=-=- ④、分数、小数加减混合运算：一是；能将算式中所有的分数都能化成有限小数的；把分数化成小数计算比较简便；这是因为减少了通分的麻烦。

即32.145.325.551145.3415=+-=+- 另一是；不能将算式中的分数化成有限小数的；可以把小数化成分数计算。

即 20194201232011853355.8=-=- （二）、分数加减法运算例题例6-1-1： 计算： 4.75 - 9.63 +（8.25 - 1.37）［思路分析］：先去掉小括号；使4.75和8.25相加凑整；再运用减法的性质：a – b - c = a -（b + c ）；使运算过程简便。

4.75 - 9.63 +（8.25 - 1.37）= 4.75 + 8.25 - 9.63 - 1.37= 13 -（9.63 + 1.37）= 13–11= 2例6-1-2： 计算： 1234 + 2341 + 3412 + 4123［思路分析］：整体观察全式；可以发现题中的4个四位数均由数1、2、3、4组成；且4个数字在每个数位上各出现一次。

1234 + 2341 + 3412 + 4123= 1×1111 + 2×1111 + 3×1111 + 4×1111=（1 + 2 + 3 + 4）×1111= 10×1111= 11110例6-1-3： 计算： 561542133011209127311-+-+- ［思路分析］：因为4131127+=；5141209+=；61513011+=；……。

第六讲 二次函数专项一 二次函数的图象和性质知识清单一、二次函数的概念一般地，形如 （a ，b ，c 为常数，a≠0）的函数叫做二次函数．其中ｘ是自变量，a ，b ，c 分别是函数解析式的二次项系数、 和常数项． 二、二次函数的图象和性质1. 二次函数的图象是一条 ．其一般形式为y =ax 2+bx +c ，由配方法可化成y =a （x -h ）2+k 的形式，其中h=2ba-，k=244ac b a -．2. 二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象和性质3. 二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与系数a ，b ，c 符号的关系ab ＜0（a ，b 异号）对称轴在y 轴右侧 c决定抛物线与y 轴的交点c ＞0 交点在y 轴正半轴 c =0 交点在原点 c ＜0交点在y 轴负半轴考点例析例1 抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（-1，0），（3，0），且与y 轴交于点（0，-5），则当x=2时，y 的值为（ ）A ．-5B ．-3C ．-1D ．5分析：画出抛物线的大致图象，可知抛物线的对称轴为x=1，根据抛物线的对称性可求出y 的值． 例2 一次函数y=ax+b 的图象如图1所示，则二次函数y=ax 2+bx 的图象可能是（ ）A B C D分析：根据一次函数y=ax+b 的图象经过的象限得出a ＜0，b ＞0，可知二次函数y=ax 2+bx 的图象开口向下，对称轴在y 轴右侧．例3 二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图2所示，下列说法中，错误的是（ ） A ．对称轴是x=12B ．当-1＜x ＜2时，y ＜0C ．a+c=bD ．a+b ＞-c图2分析：由图可知，对称轴是x=1+22-=12，选项A 正确；当-1＜x ＜2时，函数图象在x 轴的下方，所以当-1＜x ＜2时，y ＜0，选项B 正确；当x=-1时，y=a-b+c=0，所以a+c=b ，选项C 正确；当x=1时，y=a+b+c ＜0，所以a+b ＜-c ，选项D 错误．例4二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，对称轴为x ＝12，且经过点（2，0）．有下列说法：①abc ＜0；②﹣2b +c ＝0；③4a +2b +c ＜0；④若112y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，252y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，是抛物线上的两点，则y 1＜y 2；图1⑤14b +c ＞m （am +b ）+c （其中m ≠12）．其中正确的有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个图3分析：由抛物线的开口方向、对称轴的位置、与y 轴的交点可得a ，b ，c 的符号，从而可得abc 的正负；由对称轴x=2b a -=12，得b=-a ，由图象易知当x=-1时，y=a-b+c=﹣2b+c ＝0；根据抛物线经过点（2，0），可得4a+2b+c=0；根据“开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越大”可判断y 1与y 2的大小；由图象知当x ＝12时，y 有最大值为14a+12b+c=14b +c ，由此可判断14b +c 与m （am +b ）+c 的大小关系．归纳：（1）几种常见代数式的判断①2a ±b 2b a-与±1比较②a ±b +c 令x ＝±1，看纵坐标 ③4a ±2b +c 令x ＝±2，看纵坐标 ④9a ±3b +c令x ＝±3，看纵坐标⑤3a +c ，3b -2c 等关于a ，c 或b ，c 的代数式 一般由②③④式与①式结合判断（2①当已知抛物线的解析式及相应点的横坐标时，可先求出相应点的纵坐标，然后比较大小．ꎻ②利用抛物线上的对称点的纵坐标相等，把各点转化到对称轴的同侧，再利用二次函数的增减性比较大小． ③利用“开口向上，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越小；开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越大”也可以比较大小． 跟踪训练1.已知二次函数y=（a-1）x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＞0 B ．a ＞1 C ．a≠1 D ．a ＜12.二次函数y=x 2+4x+1的图象的对称轴是（ ）A ．x=2B ．x=4C ．x=-2D ．x=-4 3.关于二次函数y=2（x-4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ） A ．有最大值4B ．有最小值4C ．有最大值6D ．有最小值64.一次函数y=ax+b （a≠0）与二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A B C D5.如图3，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C．有下列结论：①ac＞0；②当x＞0时，y随x的增大而增大；③3a+c=0；④a+b≥am2+bm．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4第5题图6.定义：[a，b，c]为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[m，1-m，2-m]的二次函数的一些结论：①当m=1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m=2时，函数图象过原点；③当m＞0时，函数有最小值；④如果m＜0，当x＞12时，y随x的增大而减小．其中所有正确结论的序号是．专项二确定二次函数的解析式知识清单用待定系数法求二次函数的解析式时，若已知条件给出了图象上任意三点（或任意三组对应值），可设解析式为；若给出顶点坐标为（h，k），则可设解析式为；若给出抛物线与x轴的两个交点为（x1，0），（x2，0），则可设解析式为.考点例析例在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的解析式为（）A．y＝﹣x2﹣4x+5 B．y＝x2+4x+5 C．y＝﹣x2+4x﹣5 D．y＝﹣x2﹣4x﹣5分析：由抛物线的解析式求得抛物线的顶点坐标与点C的坐标，然后结合中心对称的性质，求得新抛物线的顶点坐标，用待定系数法求出新抛物线的解析式．跟踪训练1.若抛物线y=x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为4，对称轴为直线x=2，P为这条抛物线的顶点，则点P 关于x轴的对称点的坐标是（）A．（2，4）B．（-2，4）C．（-2，-4）D．（2，-4）2.在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了如图所示直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3），同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数解析式各不相同，其中a的值最大为（）A．52B．32C．56D．12第2题图专项三二次函数图象的平移知识清单二次函数图象的平移规律平移前的解析式平移方向及距离平移后的解析式口诀顶点坐标y=a（x-h）2+k （a≠0）向左平移m个单位长度y=a（x-h+m）2+k左加右减纵坐标不变向平移m个单位长度y=a（x-h-m）2+k向上平移m个单位长度y=a（x-h）2+k+m上加下减横坐标不变向平移m个单位长度y=a（x-h）2+k-m平移前后ａ值不变例将抛物线y=-x2-2x+3向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线必定经过（）A．（-2，2）B．（-1，1）C．（0，6）D．（1，-3）分析：先将y=-x2-2x+3转化成顶点式y=a（x-h）2+k，再利用二次函数的平移规律：左加右减，上加下减，得出平移后抛物线的解析式，最后把各选项的点代入判断即可．跟踪训练1.将抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移2个单位长度，以下说法错误的是（）A．开口方向不变B．对称轴不变C．y随x的变化情况不变D．与y轴的交点不变2.抛物线的函数解析式为y=3（x-2）2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数解析式为（）A．y=3（x+1）2+3 B．y=3（x-5）2+3 C．y=3（x-5）2-1 D．y=3（x+1）2-13.已知抛物线y=a（x-h）2+k与x轴有两个交点A（-1，0），B（3，0），抛物线y=a（x-h-m）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是（）A．5 B．-1 C．5或1 D．-5或-14.已知抛物线y=x2+kx-k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（）A．-5或2 B．-5 C．2 D．-25.把抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为．6.如图，二次函数y=（x-1）（x-a）（a为常数）的图象的对称轴为x=2．（1）求a的值．（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的解析式．第6题图专项四二次函数与一元二次方程的关系知识清单二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的关系：Δ=b2-4ac一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系Δ>0有两个不等的实数根有两个不同的公共点Δ=0有两个相等的实数根只有唯一的公共点Δ<0无实数根没有公共点考点例析例已知关于x的一元二次方程x2+x-m=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）二次函数y=x2+x-m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x-m=0的解．分析：（1）由方程x2+x-m=0有两个不相等的实数根，可得Δ>0，列不等式即可求出m的取值范围；（2）根据二次函数图象的对称性，可得二次函数y=x2+x-m的图象与x轴的另一个交点，从而得到一元二次方程x2+x-m=0的解．解：跟踪训练1.已知直线y=kx+2过第一、二、三象限，则直线y=kx+2与抛物线y=x2-2x+3的交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．1或22.已知二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值见表格，有下列结论：①c=2；②b2-4ac＞0；③方程ax2+bx=0的两根为x1=-2，x2=0；④7a+c＜0．其中正确的有（）3.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y=x2+2x+k与x轴只有一个交点，则k=．4.对于任意实数a，抛物线y=x2+2ax+a+b与x轴都有公共点，则b的取值范围是．5.武汉）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c=0．下列四个结论：①若抛物线经过点（-3，0），则b=2a；②若b=c，则方程cx2+bx+a=0一定有根x=-2；③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若0＜a＜c，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2．其中正确的是．（填序号）专项五二次函数的应用知识清单构建二次函数模型解决实际问题的一般步骤：（1）审题，分析问题中的变量和常量；（2）建立二次函数模型表示它们之间的关系；（3）充分结合已知条件，利用函数解析式或图象等得出相应问题的答案，或把二次函数解析式用顶点坐标公式或用配方法化为顶点式，确定出二次函数的最大（小）值；（4）结合自变量的取值范围和问题的实际意义，检验结果的合理性.考点例析例1某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件．设该商品每件的销售价为x 元，每个月的销售量为y件．（1）求y与x的函数解析式；（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？分析：（1）根据“该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件”列出y与x的函数解析式；（2）设每个月的销售利润为w元，根据等量关系“利润=（售价-进价）×销量”列出函数解析式，配方后根据二次函数的性质求解．解：例2某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数解析式为y=-16（x-5）2+6．（1）求雕塑高OA；（2）求落水点C，D之间的距离；（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE=10 m，EF=1.8 m，EF⊥OD．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．分析：（1）根据给出的抛物线的函数解析式，令x=0，求出点A的纵坐标，可得出雕塑高OA；（2）根据给出的抛物线的函数解析式，令y=0，求出点D的横坐标，可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出OC的长，结合CD=OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离；（3）将x=10代入函数解析式y=-16（x-5）2+6求出y的值，将求出的y值与1.8比较后即可得出顶部F是否会碰到水柱．解：跟踪训练1.某快餐店销售A，B两种快餐，每份利润分别为12元，8元，每天卖出份数分别为40份，80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．2.某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2万元/吨，加工过程中原料的质量有20%的损耗，加工费m（万元）与原料的质量x（吨）之间的关系为m=50+0.2x，销售价y（万元/吨）与原料的质量x（吨）之间的关系如图所示．（1）求y与x之间的函数解析式；（2）设销售收入为p（万元），求p与x之间的函数解析式；（3）原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润=销售收入-总支出）第2题图3. 如图①是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24 m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF 为1.5 m ，以桥拱顶点O 为原点，桥面为x 轴建立平面直角坐标系． （1）求桥拱顶部O 离水面的距离．（2）如图②，桥面上方有3根高度均为4 m 的支柱CG ，OH ，DI ，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1 m ． ①求出其中一条钢缆抛物线的函数解析式；②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．① ②第3题图专项六 二次函数中的分类讨论思想分类讨论思想就是按照一定的标准，把研究对象分成为数不多的几个部分或几种情况，然后逐个加以解决，最后予以总结作出结论的思想方法．我们在运用分类讨论思想时，必须遵循下列两个原则：一是要有分类意识，善于从问题的情境中抓住分类对象；二是要找出科学合理的分类标准，应当满足互斥、无漏、最简原则. 引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面:①由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；②由数学变形所需要的限制条件引起的讨论；③由图形的不确定性引起的讨论；④由于题目含有字母引起的讨论等等． 考点例析例 已知关于x 的二次函数y 1=x 2+bx+c （实数b ，c 为常数）．（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x=1，求此二次函数的解析式； （2）若b 2-c=0，当b-3≤x≤b 时，二次函数的最小值为21，求b 的值；（3）记关于x 的二次函数y 2=2x 2+x+m ，若在（1）的条件下，当0≤x≤1时，总有y 2≥y 1，求实数m 的最小值．分析：（1）将（0，4）代入二次函数y 1=x 2+bx+c ，可求得c ，由对称轴为x=-2b=1，可求出b ；（2）二次函数y 1=x 2+bx+c 图象的对称轴为x=-2b ，需要分三种情况：b ＜-2b ，b-3＞-2b 和b-3≤-2b≤b 进行分类讨论；（3）设函数y 3=y 2-y 1，根据二次函数图象的增减性进行求解． 解：跟踪训练科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度y1（米）与小钢球运动时间x（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度y2（米）与它的运动时间x（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．（1）直接写出y1与x之间的函数解析式；（2）求出y2与x之间的函数解析式；（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？参考答案专项一二次函数的图象和性质例1 A 例2 D 例3 D 例4 B1．B 2．C 3．D 4．C 5．B6．①②③专项二确定二次函数的解析式例 A1．A 2．A专项三二次函数图象的平移例 B1．D 2．C 3．C 4．B 5．y=2x2+4x6. 解：（1）因为y=（x-1）（x-a）=x2-（a+1）x+a，图象的对称轴为x=2，所以+12a=2，解得a=3．（2）由（1），知a=3，则该二次函数的解析式为y=x²-4x+3．所以二次函数的图象向下平移3个单位后经过原点．所以平移后图象所对应的二次函数的解析式是y=x²-4x．专项四二次函数与一元二次方程的关系例（1）由题意，知Δ＞0，即1+4m＞0，解得m＞-14．（2）二次函数y=x2+x-m图象的对称轴为x=-12，所以该函数图象与x轴的两个交点关于直线x=-12对称．由图可知抛物线与x轴的一个交点为（1，0），所以另一个交点为（-2，0）．所以一元二次方程x2+x-m=0的解为x1=1，x2=-2．1．C 2．B 3．1 4．①②④专项五二次函数的应用例1 （1）y=300-10（x-60）=-10x+900．（2）设每个月的销售利润为w元．由（1），知w=（x-50）y=（x-50）（-10x+900）=-10x2+1400x-45 000=-10（x-70）2+4000．因为-10＜0，所以当x=70时，w有最大值为4000．所以该商品每件的销售价为70元时，每个月的销售利润最大，最大利润是4000元．x2=11．所以OD=11 m．．因为从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，所以OC=OD=11 m．所以CD=OC+OD=22 m1．12642．解：（1）设y与x之间的函数解析式为y=kx+b．w（万元）．（3）设销售利润为所以原料的质量x为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是65.2万元．3. 解：（1）根据题意，知点F的坐标为（6，-1.5），可设拱桥侧面所在抛物线的函数解析式为y1=a1x2．=a2（x-6）2+1．（2）①根据题意，知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），可设其解析式为y2②设彩带的长度为L m．所以当x=4时，L 最小值=2．答：彩带长度的最小值是2 m ．专项六 二次函数中的分类讨论思想例 （1）因为二次函数的图象经过点（0，4），所以c=4．（2）当b 2-c=0时，b 2=c ，此时函数的解析式为y 1=x 2+bx+b 2． 根据题意，分三种情况：所以（b-3）2+b （b-3）+b 2=21，解得b 3=4，b 4=-1（舍去）．（3）由（1），知二次函数的解析式为y 1=x 2-2x+4．设函数y 3=y 2-y 1=x 2+3x+m-4． 所以当x=0时，y 3即y 2-y 1有最小值m-4，所以m-4≥0，即m≥4．所以m 的最小值为4． 跟踪训练解：（1）y 1=5x+30．（2）当x=6时，y 1=5×6+30=60．因为y 2的图象是过原点的抛物线，所以可设y 2=ax 2+bx ． 因为点（1，35），（6，60）在抛物线y 2=ax 2+bx 上，所以=35366=60.a b a b ++⎧⎨⎩，解得=5=40.a b ⎩-⎧⎨，所以y 2=-5x 2+40x ．所以y 2与x 的函数解析式为y 2=-5x 2+40x ． （3）设小钢球和无人机的高度差为y 米． 令y 2=0，则-5x 2+40x=0，解得x=0或x=8．因为6＜x≤8，所以当x=8时，y的最大值为70．70米．。