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函数极值证明不等式在高中数学学习中，不等式是一个非常重要的知识点，也是考试中常常出现的题型。
在不等式的证明中，常常需要运用到函数极值的知识。
本文将从函数极值的概念、求解方法和在不等式证明中的应用等方面进行探讨。
一、函数极值的概念函数极值是指函数在自变量取某些特定值时，达到最大值或最小值的点。
其中，最大值称为函数的极大值，最小值称为函数的极小值。
函数极值是函数图像上的特殊点，具有重要的几何意义。
二、函数极值的求解方法1. 导数法对于一元函数，如果其在某一点处的导数为0，则该点可能是函数的极值点。
因此，可以通过求导数来求解函数的极值。
具体步骤如下：（1）求出函数的导数；（2）令导数等于0，解出所有满足条件的自变量；（3）将解出的自变量代入原函数中，求出相应的函数值；（4）比较这些函数值，得出函数的极值。
2. 二次函数法对于二次函数，可以通过求其顶点来求解函数的极值。
具体步骤如下：（1）将二次函数化为标准式；（2）利用平移变换将函数图像平移到顶点处；（3）根据函数图像的对称性，得出函数的极值。
三、函数极值在不等式证明中的应用在不等式证明中，常常需要运用到函数极值的知识。
以下是几个典型的例子：1. 求证当$x,y,z>0$时，有$dfrac{x}{y+z}+dfrac{y}{z+x}+dfrac{z}{x+y}geqdfrac{3}{2}$。
解：将不等式左边的分式加起来，得到$dfrac{x+y+z}{y+z}+dfrac{x+y+z}{z+x}+dfrac{x+y+z}{x+y}-3$。
将其化简为$dfrac{2x}{y+z}+dfrac{2y}{z+x}+dfrac{2z}{x+y}-3$，再将其化为$dfrac{(x-y)^2}{(y+z)(z+x)}+dfrac{(y-z)^2}{(z+x)(x+y)}+dfra c{(z-x)^2}{(x+y)(y+z)}$。
由于分母都大于0，因此只需要证明分子之和大于等于0即可。
初中数学竞赛辅导2021届人教版初中数学第17章《几何不等式与极值2021年初中数学竞赛辅导专题讲义第17章几何不等式与极值问题17.1.1★一个凸行边形的内角中，恰好有4个钝角，求n的最大值．解析考虑这个凸行边缘的n个外角，n？四角≥ 90?, 为什么？N4.90?? 360? （严格）小于是由于4个钝角的外角和大于0?），因此n?8，n的最大值是7．易构造这样的例子。
如果恰好有k个钝角，则n的最大值是k?3.17.1.2 ★ 在里面△ ABC，AB？AC，P是BC侧的高ad点。
验证：ab？交流电？PB个人计算机apcbd分析易知ab?ac?pb?pc，又是AB2？ac2？bd2？cd2？pb2？pc2故有ab?ac?pb?pc．评论的读者可能希望考虑AD是角平分线和中线的情况。
17.1.3已知四边形abcd，ac、bd交于o，△ado和△bco的面积分别为3、12，求四边形abcd面积的最小值．adobc解析易懂s△abobos△bco??，故s△abo?s△cdo?s△ado?s△bco?36.s△adodos△dco从而s△abo?s△cdo≥2s△abo?s△cdo?12，什么时候△ 阿布？当s时，等号成立△ CDO（此时，四边形ABCD为梯形），因此四边形ABCD面积达到最小值2717.1.4★已知：直角三角形abc中，斜边bc上的高h?6．（1）求证：bc?h?ab?ac；（2）求?bc?h?-?ab?ac?.解析22? 卑诗省？H2.ab？交流电？2?bc2?h2?2bc?h?ab2?ac2?2ab?ac，一2021年初中数学竞赛辅导专题讲义从情况来看，知道2BC吗？H4s△abc？2ab？AC和AB2？ac2？BC2，那么？卑诗省？Hab？交流电？？h2？36注意：这同时解决了（1）和（2）.17.1.5 ★ 设置矩形ABCD，BC=10，CD？7.移动点F和E分别位于BC和CD上，BF？预计起飞时间？4.找出△ AFE区域ade22bfc分析设置BF？十、de?y??4?x?，则11秒△abf？s△艾德？s△ecf？？7x？10岁？？10? 十、7.Y70? xy？？22 by XY≤ 12? 十、Y4.因此△ AEF≥ 70 ℃ 70? 4.332当bf?ed?2时达到最小值．17.1.6 ★ 将P设置为固定角度？在a中的某一点，通过P的驱动直线与M和n中的两侧相交△ amn最小，P是Mn的中点mpαaβn解析如图所示，连接AP并设置？地图打盹从…起s△amp?s△anp?s△man，得是美联社？罪一美联社？罪是安辛又左式≥2ap?am?an≥sin??sin?，故s△amn当达到最小值时，s△ 放大器？s△ 所以p是Mn的中点n、ca、ab上，bm?cn?ap?1，17.1.7★正三角形abc的边长为1，p分别在bc、m、二12ap2sin?sin?。
用不等式法解力学中的极值问题以《用不等式法解力学中的极值问题》为标题，写一篇3000字的中文文章力学中极值问题是一个普遍存在的重要研究范畴，有助于解决实际问题的许多应用。
不等式法是一种普遍的求解极值问题的方法，它基于某种不等式条件来寻找极值。
本文利用不等式法探讨力学中的极值问题，在力学中，极值问题是指运动力学系统中变量的极值，这些变量可以是物理变量、机械变量或动力学变量。
一般来说，不等式法解极值问题的基本思路是：先给定一个目标函数，然后建立限制条件所限定的目标函数的非负不等式约束，然后在约束条件下求解极值，可以采用优化的方法来求解极值。
比如说，当求以目标函数为最小时，采用梯度下降法；而求以目标函数为最大时，采用梯度上升法。
在力学中，常用的极值问题有最小和最大势能、最小转动惯量、最小弹性模量、最小摩擦力等。
这些极值问题可以用不等式法来得到解。
例如，最小势能是求力学系统的最稳定态，可以建立势能的不等式约束来确定极值；最小转动惯量可以用不等式约束来求解，即求某一构件的转动惯量的最小值；最小弹性模量可以用不等式约束来求解，即求材料的弹性模量的最小值；最小摩擦力可以用不等式约束来求解，求摩擦力的最小值。
此外，不等式法还可以用于力学系统中自由度的极值问题。
在运动学中，自由度指的是某一系统内部约束中可以发挥作用的变量数。
当约束条件变化时，系统的自由度也会变化。
在力学中，常用不等式法求解自由度的极值。
例如，可以根据力学参数建立不等式约束来求解构件的最大自由度；或者根据运动参数给出不等式约束来求解构件的最小自由度。
另外，不等式法还可以用于求解某一构件的最小模量、最大模量、最小动力系数等极值问题。
不等式法求解极值问题的基本步骤为：根据力学参数建立一定的不等式条件，然后在这些约束条件下求解极值。
这样，在满足不等式约束条件的前提下，所得的极值结果才是有效的。
总之，不等式法是一种求解力学中极值问题的普遍有效的方法，不等式法可以得到最优的极值解，可以有效解决实际问题，同时有效提高解决问题的效率。
几何法证明不等式(精选多篇)^2(a,b∈r，且a≠b)设一个正方形的边为c,有4个直角三角形拼成这个正方形,设三角形的一条直角边为a,另一条直角边为b,(b>a)a=b,刚好构成,若a不等于b时,侧中间会出现一个小正方形,所以小正方形的面积为(b-a)^2,经化简有(b+a)^2=4ab,所以有((a+b)/2)^2=ab,又因为(a^2+b^2)/2>=ab,所以有((a+b)/2)^2<=(a^2+b^2)/2,又因为a不等与b,所以不取等号可以在直角三角形内解决该问题=^2-(a^2+b^2)/2=/4=-(a-b)^2/4<0能不能用几何方法证明不等式，举例一下。
比如证明sinx不大于x(x范围是0到兀/2，闭区间)做出一个单位圆，以o为顶点，x轴为角的一条边任取第一象限一个角x，它所对应的弧长就是1*x=x那个角另一条边与圆有一个交点交点到x轴的距离就是sinx因为点到直线，垂线段长度最小，所以sinx小于等于x，当且尽当x=0时，取等已经有的方法：第一数学归纳法2种;反向归纳法(特殊到一般从2^k过渡到n);重复递归利用结论法;凸函数性质法;能给出其他方法的就给分(a1+a2+...+an)/n≥(a1a2...an)^(1/n)一个是算术，一个是几何。
人类认认识算术才有几何，人类吃饱了就去研究细微的东西，所以明显有后者小于前者的结论，这么简单都不懂，叼佬就是叼佬^_^搞笑归搞笑，我觉得可以这样做，题目结论相当于证(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)≥0我们记f(a1,a2,……,an)=(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)这时n看做固定的。
我们讨论f的极值，它是一个n元函数，它是没有最大值的(这个显然)我们考虑各元偏导都等于0，得到方程组，然后解出a1=a2=……=an再代入f中得0，从而f≥0，里面的具体步骤私下聊，写太麻烦了。
极值问题与不等式在数学中，极值问题与不等式是两个重要的概念和主题。
极值问题与不等式的研究旨在确定一组数的最大值或最小值，并且在应用中有着广泛的应用价值。
本文将探讨极值问题与不等式的基本概念、解法以及其在实际中的应用。
一、极值问题的基本概念极值问题是数学中研究函数最大值和最小值的问题。
在一元函数的情况下，我们通常关心一个函数在给定区间上的最大值和最小值。
这些最大值和最小值称为极大值和极小值。
对于一个函数f(x)，我们称x=a是其定义域上的一个极小值点，如果在a的某个邻域内，f(x)的值都不大于f(a)。
同样地，我们称x=a是其定义域上的一个极大值点，如果在a的某个邻域内，f(x)的值都不小于f(a)。
二、极值问题的解法为了解决极值问题，我们需要使用微积分的工具和方法。
一般来说，我们通过以下步骤来找到一个函数的极值点：1. 找到函数f(x)的一阶导数f'(x)；2. 解方程f'(x)=0，找到导数为0的点，也就是函数的驻点；3. 利用二阶导数f''(x)的符号来判断驻点的性质：a. 若f''(x)>0，则x是极小值点；b. 若f''(x)<0，则x是极大值点；c. 若f''(x)=0，则二阶导数的判定方法失效，需要使用其他方法来进一步判断。
三、不等式问题的基本概念在数学中，不等式是比较两个数之间大小关系的数学表达式。
通常用符号">"、"<"、">="、"<="等来表示不等关系。
对于一元函数的不等式，我们可以通过解方程或者使用数学推导的方法来确定其解集。
而对于多元函数的不等式，则需要应用多元函数的性质来进行推导和求解。
四、不等式问题的解法解决不等式问题的方法有很多种，主要包括以下几种常见的方法：1. 代数法：通过代数运算和方程转化的方法，将不等式变形为更简单的形式，从而得到解集。
巧用不等式性质速求物理量极值
极值问题是物理应用中常见问题之一，解决这类问题的方法有几种，如二次函数配方法、二次方程判别法、三角函数法、几何作图法，对于同一问题采取方法不同，其效果往往并一样。
如果一类问题，涉及到两个变量和为定值，求相应量极值问题，即定和求积觅极值。
就可用不等式性质求极值，收到事半功倍的效果。
假设有变量、，且、，则一定有，
如果（定值），则当时，有极大值为
例：如图1，粗细均匀的玻璃管长厘米，开口向上竖直放置时，上
端齐管口有一段厘米的水银柱封闭着空气柱，大气压强为厘米汞柱，现使空气柱温度逐渐升高，问欲使管内水银全部溢出，温度至少升到多高？
解：设管内空气柱温度升高到T（开），管内尚有水银柱厘米，管的横截面积为S，则有
将数据代入，整理得：
如果再变为有关的二次函数求极值，解答就较为复杂，由于
为常数，所以当时，即当厘米
时，T有极大值为（开）。
例2：如图2所示电路中，已知电源电动势内阻，定值电
阻，，是总阻值为的滑动变阻器，闭合电键K，调节变阻触点，求通过电源的最小电流？
解：、、与电源组成的电路实际上是双臂环路，
通过电源电流最小时，实际对应总电阻最大，设AP段阻值为X，那么：
由于（定值），
所以当时，即时，有最大值，，因此通过电源电流
（A）
以上分析可看出，利用不等式性质求极值不失为一种好方法，我们不妨试一试。
高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法对于一个给定的函解析式，我们如果能大致作出其对应的函数图像，那么函数的许多性质都可以通过图像客观地反应出来。
因此，只要我们做出了函数图像，那么我们就可以根据图像找到极值点，从而求出函数的极值。
下面，我就从几个方面讨论一下，函数图象在求极值问题中的应用。
一、函数解析式中含有绝对值的极值问题。
我们给出问题的一般形式，设a≤x≤b,求函数∑=+=n i bi x ai y 1的极值。
很容易判断该函数为分段函数，其对应的图像是折线，因此只要做出函数的图像那么就可以准确的找出函数的极值点。
例1 设－2≤x≤3，求函数12+++-=x x x y 的最值。
解：若将函数示为分段函数形式。
作出函数图像根据图像我们可以判断：当x=0,min y 3=；当x=3,max y 8=,对此类型问题的思考：当函数解析式含有较多绝对值符号的时候，如果我们仍然通过做出函数图像来求解极值，那么过程就非常复杂。
那么是否有更简单的方法呢？经过对问题的分析，我们发现函数的极值点要么出现在函数定义域的端点，要么出在函数图像的拐点(使函数中某一个绝对值部分为零的点）因此我们只需将这些点求出来并代入函数解析式求出其所对应的值。
经过比较就得出了极值例如上题：f(－2)=7、f(－1)=4、f(0)=3、f(2)=5、f(3)=8、3min =y 、max y =8，据此我们下面给出解决这一类问题更一般的方法。
max y =max ｛f(bi)、i=1、2、3……n ｝, min y =min ｛f(－bi),i=1、2、3……n ｝.二、将极值问题转化为几何问题。
运用此方法解决极值问题关键在于深刻理解，挖掘解析式所蕴含的几何意义。
1. 转化为求直线斜率的最值。
例2 求函数θθsin 3cos 2-+=y 的最值 分析 函数解析式非我们常见的函数模型。
通过分析我们发现该函数可以看做过点A （3、2）与B （sin θ、－cos θ）两点直线的斜率。
第17章 几何不等式与极值问题17.1.1★ 一个凸行边形的内角中,恰好有4个钝角,求n 的最大值． 解析考虑这个凸行边形的n 个外角,有4n -个角90︒≥,故有()490360n -⨯︒<︒（严格小于是由于4个钝角的外角和大于0︒）,因此8n <,n 的最大值是7．易构造这样的例子。
如果恰好有k 个钝角,则n 的最大值是3k +.17.1.2★ 在ABC △中,AB AC >,P 为BC 边的高AD 上的一点,求证：AB AC PB PC -<-.PCDB A解析易知AB AC PB PC +>+,又2222AB AC BD CD -=- 22PB PC =-,故有AB AC PB PC -<-． 评注 读者不妨考虑AD 是角平分线与中线的情况．17.1.3 已知四边形ABCD ,AC 、BD 交于O ,ADO △和BCO △的面积分别为3、12,求四边形ABCD 面积的最小值．CB ODA解析易知ABO BCOADO DCOS S BO S DO S ==△△△△,故36ABO CDO ADO BCO S S S S ⋅=⋅=△△△△.从而12ABO CDO S S +△△≥,且当ABO CDO S S =△△（此时四边形ABCD 为一梯形）时等号成立,所以此时四边形ABCD 面积达到最小值27.17.1.4★ 已知：直角三角形ABC 中,斜边BC 上的高6h =． （1）求证：BC h AB AC +>+； （2）求()()22BC h AB AC ++-. 解析()()22BC h AB AC +-+222222BC h BC h AB AC AB AC =++⋅---⋅,由条件,知242ABC BC h S AB AC ⋅==⋅△,且222AB AC BC +=, 于是()()22236BC h AB AC h +-+==.注意：这同时解决了（1）和（2）.17.1.5★ 设矩形ABCD ,10BC =,7CD =,动点F 、E 分别在BC 、CD 上,且4BF ED +=,求AFE △面积的最小值．B FCED A解析设 BF x=,()4DE y x ==-,则()()()117101077022ABF ADE ECF S S S x y x y xy ++=++--=+⎡⎤⎣⎦△△△。
不等式的数学运算法则与证明技巧不等式在数学中扮演着重要的角色，它们广泛应用于各个领域，如代数、几何、概率等。
了解不等式的数学运算法则和证明技巧，对于解决问题和推导结论具有重要意义。
本文将介绍一些常见的不等式运算法则和证明技巧，帮助读者更好地理解和应用不等式。
一、不等式的基本运算法则1. 加法和减法法则：对于任意实数a、b和c，有以下运算法则：a > b，则a + c >b + ca > b，则a - c >b - c2. 乘法法则：对于任意实数a、b和c，有以下运算法则：a > b，且c > 0，则ac > bca > b，且c < 0，则ac < bc3. 除法法则：对于任意实数a、b和c，有以下运算法则：a > b，且c > 0，则a/c > b/ca > b，且c < 0，则a/c < b/c4. 幂法则：对于任意正实数a、b和c，有以下运算法则：a > b，则a^c > b^c这些基本的不等式运算法则可以帮助我们进行不等式的简化和变形，从而更好地理解和解决问题。
二、常见的不等式证明技巧1. 数学归纳法：数学归纳法是一种常用的证明技巧，可以用来证明一类不等式的成立。
它包括两个步骤：基础步骤和归纳步骤。
首先证明当n取某个特定值时不等式成立，然后假设当n=k时不等式成立，再证明当n=k+1时不等式也成立，由此可以得出当n为任意正整数时不等式成立。
2. 反证法：反证法是一种常用的证明技巧，可以用来证明某个不等式的否定命题不成立。
假设不等式的否定命题成立，然后通过推理和推导得出矛盾，从而证明原不等式成立。
3. 极值法：极值法是一种常用的证明技巧，可以用来证明某个不等式的最大或最小值。
通过求导或其他方法找到函数的极值点，然后证明在极值点附近不等式成立，从而得出结论。
4. 增减函数法：增减函数法是一种常用的证明技巧，可以用来证明某个不等式随变量的增大或减小而成立。
高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法对于一个给定的函解析式，我们如果能大致作出其对应的函数图像，那么函数的许多性质都可以通过图像客观地反应出来。
因此，只要我们做出了函数图像，那么我们就可以根据图像找到极值点，从而求出函数的极值。
下面，我就从几个方面讨论一下，函数图象在求极值问题中的应用。
一、函数解析式中含有绝对值的极值问题。
我们给出问题的一般形式，设a≤x≤b,求函数∑=+=ni bi x ai y 1的极值。
很容易判断该函数为分段函数，其对应的图像是折线，因此只要做出函数的图像那么就可以准确的找出函数的极值点。
例1 设－2≤x≤3，求函数12+++-=x x x y 的最值。
解：若将函数示为分段函数形式。
作出函数图像根据图像我们可以判断：当x=0,min y 3=；当x=3,max y 8=,对此类型问题的思考：当函数解析式含有较多绝对值符号的时候，如果我们仍然通过做出函数图像来求解极值，那么过程就非常复杂。
那么是否有更简单的方法呢？经过对问题的分析，我们发现函数的极值点要么出现在函数定义域的端点，要么出在函数图像的拐点(使函数中某一个绝对值部分为零的点）因此我们只需将这些点求出来并代入函数解析式求出其所对应的值。
经过比较就得出了极值例如上题：f(－2)=7、f(－1)=4、f(0)=3、f(2)=5、f(3)=8、3min =y 、max y =8，据此我们下面给出解决这一类问题更一般的方法。
max y =max ｛f(bi)、i=1、2、3……n ｝, min y =min ｛f(－bi),i=1、2、3……n ｝.二、将极值问题转化为几何问题。
运用此方法解决极值问题关键在于深刻理解，挖掘解析式所蕴含的几何意义。
1. 转化为求直线斜率的最值。
例2 求函数θθsin 3cos 2-+=y 的最值 分析函数解析式非我们常见的函数模型。
通过分析我们发现该函数可以看做过点A （3、2）与B （sin θ、－cos θ）两点直线的斜率。
不等式与极值问题的数学思路在数学领域，不等式与极值问题一直是一个研究的热点。
从初中的大小关系开始，到高中的三角函数极值，再到大学的多元函数极值，这一题型贯穿了我们的整个学习过程。
而不等式与极值问题不仅在学习中具有重要的地位，也在实际问题中应用广泛，如经济学中的供需问题、物理学中的最大最小功、生态学中的资源分配等等。
那么在解决不等式和极值问题时，应该如何思考呢？一、抓住特殊情况，化繁为简在解决不等式问题时，我们必须要有一个基本的要素：掌握数学符号、基本不等式以及有关性质的运用。
这些知识是解决不等式问题的基础。
而当我们面对一些比较复杂的不等式时，我们可以先把一些特殊情况进行分类，从而达到化繁为简的效果。
例如，在考虑如何解决一次函数的不等式时，我们可以根据系数的正负和零的不同情况，来判断其图像的正负和零的情况，从而讨论其可解域。
而对于二次函数、三次函数等，我们也可以通过分类讨论的方法，来简化解题过程。
二、画图找规律，提高几何直观性在解决极值问题时，我们可以通过几何直观性来帮助自己更好地理解问题。
而画图则是我们实现几何直观性的重要工具之一。
例如，在解决一道三角形的面积最大问题时，我们可以通过画图来模拟三角形的不同形状，并通过计算得到对应的面积，从而找到最大值所对应的形状。
除了画图外，我们还可以利用规律来提高几何直观性。
例如，在解决一个半径为r的圆能包含的最大正方形面积时，我们可以先找出正方形的对角线长为2r，从而推导出其边长为r*√2，进而计算出其面积为2r^2，即为圆能包含的最大正方形面积。
三、利用数学方法，寻找极值当我们无法通过直观的方式解决极值问题时，可以尝试利用数学方法来解决。
例如，在多元函数的极值问题中，我们可以试图寻找方程的导数，并令其为零进行求解。
此外，在某些特殊情况下，我们可以利用极端值来求解。
例如，在证明一个三次方程肯定存在实根时，我们可以利用其在x→±∞时的趋势来证明其存在实根，或者在解决解析几何中的直线方程问题时，我们可以通过利用直线在x轴和y轴的截距来求解其方程式。
高中数学目录高中数学目录第一章：数与式1.1 数的分类及其表示1.2 数的四则运算1.3 数的倍数和因数1.4 数的整除与公因数、最大公因数1.5 数的分解式1.6 代数式的概念和性质1.7 代数式的化简与展开第二章：方程与不等式2.1 方程的概念和性质2.2 一元一次方程2.3 一元二次方程2.4 二元一次方程组2.5 不等式的概念和性质2.6 一元一次不等式2.7 一元二次不等式2.8 不等式组第三章：函数3.1 函数的概念与表示3.2 常用函数3.3 函数的图像与性质3.4 函数的奇偶性3.5 函数的单调性3.6 函数的最大、最小值及求解问题3.7 函数的复合与反函数第四章：数列与数学归纳法4.1 数列的概念及表示4.2 等差数列4.3 等比数列4.4 求和公式4.5 数学归纳法第五章：三角函数5.1 角的概念和弧度制5.2 三角函数的定义和性质5.3 三角函数的图像及其应用5.4 三角函数的反函数5.5 三角函数的基本方程和解法第六章：解析几何6.1 直线方程与斜率6.2 直线的位置关系及交点6.3 圆的定义与性质6.4 圆的标准方程6.5 圆与直线的位置关系及交点6.6 椭圆、双曲线、抛物线的定义及性质6.7 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及图像第七章：导数与微积分初步7.1 导数的概念及表示7.2 导函数与导数的基本性质7.3 函数的单调性与极值7.4 函数的图像7.5 常用函数的导数7.6 微积分初步第八章：概率与统计8.1 概率的概念及基本公式8.2 事件的独立性与概率的乘法公式8.3 条件概率及全概率公式8.4 贝叶斯公式8.5 随机变量及概率密度函数8.6 统计数据的分析和处理8.7 常用分布及其应用以上就是高中数学目录的内容，希望对广大学生有所帮助。
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一、拉格朗日乘数法求极值[例题]已知：,x y 0>，且 x 2y 1+=，求(,)11f x y x y =++的最小值. [解析]先变换一下，记 1m x =，1n y= ； 则限制条件x 2y 1+=变为：121m n+= ①函数变为：(,)f m n m n =+② 由,x y 0>和x 2y 1+=得：(,)x 01∈，(,)1y 02∈ 于是由①式得：(,)m 1∈+∞，(,)n 2∈+∞ ③构建拉氏函数为：(,)()12L m n m n 1m n λ=+++- 采用拉氏函数乘数法(,)2L m n 10m m λ∂=+=∂，(,)2L m n 210n nλ∂=+-=∂则：32m λ=+，(321n 2λ=+故：(33221m n 2+=，即：33222m n +=+即：33222m n -=，即：(22332m n n 2m -=-平方得：()()()222223322m n m n n 2m -+=- 即：()()42242263364m 4m n n m n n 4m n 4m -++=-+即：()()4223642236m m m m m 4411144n n n n n-++=-+即：22326623464446m m m m m 44n n m m 1144n n44n n n +-+=-+-+即：2323m m 34n n-=-，即：m 3n 4= ，即：34m n = ③联立①③得：121m n +=，即：363m n +=，即：463n n+= 故：10n 3=，3n 10m 44== ④ 将④带入②得：(,)f m n m n =++101043=++1171010104312⎛⎛ =++=+= ⎝⎝故函数的极小值为：min (,)f x y 10=二、采用极坐标法求极值[例题]已知：,x y 0>，且 x 2y 1+=，求(,)11f x y x y=++的最小值. [解析]作cos x ρθ=，sin y ρθ=变换后就是极坐标.由,x y 0>得：(,)02πθ∈.此时，x 2y 1+=变换为(cos sin )21ρθθ+=，即：cos sin 12θθρ=+ ①(,)11f x y x y=++()cos sin 111f θρθθ⎛=++⎝ ② 将①代入②得：()(cos sin )cos sin 11f 2θθθθθ⎛=+++ ⎝cos sin sin cos 212θθθθ=++++cos sin sin sin cos cos 1223θθθθθθ=++++ cos (sin )sin cos 1213θθθθ++=++ ③ 当()f θ取极值()0f θ时，其导数为0，即：'()0f 0θ= 而()f θ的导数为：cos sin '()()'()'sin cos 11f 2θθθθθ++=+ (sin )(sin )(cos )(cos )(cos )(cos )(sin )(sin )sin cos 22112θθθθθθθθθθ--+--+=+sin cos cos cos sin sin sin cos 2222222θθθθθθθθ---++=+cos sin sin cos 22112θθθθ++=-+ ④ 当函数取极值时'()0f 0θ=，即：cos sin sin cos 0022001120θθθθ++-+= 即：sin cos cos sin 200200121θθθθ+=+ ⑤由于：(cos )cos cos sin sincos(cossin)22212121221122222θθθθθθθθ+-+==+++代入⑤得：cossin tan cos cossintan00121222θθθθθθθ===++ ⑥将tantan tan0202212θθθ=-代入⑥式得：tan tantan202121122θθθ=-+即：tan tantan tan 200012212212θθθθ-==-+ 即：tan123θ=⑦故：tantan tan 002021222333218411392θθθ⋅====--则：sin 035θ==，cos 045θ==代入③式得到极值：cos (sin )()sin cos 00000121f 3θθθθθ++=++()431215533455++=++ ()4523533341034++=++=++= 三、采用判别式法求极值[例题]已知：,x y 0>，且 x 2y 1+=，求(,)11f x y x y =++的最小值. [解析]先变换一下，记 1m x =，1n y= ； 则限制条件x 2y 1+=变为：121m n +=，即：12n 21m n n-=-= 即：nm n 2=- ①函数变为：(,)f m n m n =+② 由,x y 0>和x 2y 1+=得：(,)x 01∈，(,)1y 02∈ 于是由①式得：(,)m 1∈+∞，(,)n 2∈+∞ ③ 采用判别式法来解此题.()f m n =-+两边平方得：[()]()()22222m n f m n f 2m n f m n +=-+=-+++ 化简为：()2f 2m n f 2mn 0-++= ④将①代入④得：()2n nf 2n f 2n 0n 2n 2-++=-- 即：()()22n 2f 2n n 1f 2n 0---+= 即：2222f n 2f 2fn 2fn 2n 0--++= 即：()()2221f n f 2fn 2f 0-++-= ⑤⑤式是一个以n 为变量的一元二次方程，n 有解的条件是其判别式不小于0. 故：()()()222f 2f 421f 2f 0∆=+-⋅-⋅-≥ 即：[()()]22f f 2161f 0∆=++-≥即：()()2f 2161f 0++-≥，即：2f 4f 41616f 0+++-≥ 即：2f 12f 200-+≥，即：()()f 10f 20--≥ 故：f 10≥ 或 f 2≤由②式和③式可知，f 具有最小值，故：f 10≥，f 的最小值为f 10=.四、解析几何法求极值[例题]已知：,x y 0>，且 x 2y 1+=，求(,)11f x y x y =++的最小值. [解析]先变换一下，记 1m x =，1n y= ； 则限制条件x 2y 1+=变为：121m n+= ①函数变为：(,)f m n m n =+② 由,x y 0>和x 2y 1+=得：(,)x 01∈，(,)1y 02∈ 于是由①式得：(,)m 1∈+∞，(,)n 2∈+∞ ③ 采用解析几何法求解. 由截距式得直线方程得：x y1m n+= ④④式的直线是：在x 轴的截距为m 、在y 轴的截距为n 的直线. 直线④式过点(,)D 12时，满足121m n+=，这就是①式，是本题的约束条件. ②式的f 是一个直角边分别为,m n. 几何画图如下：OA m =，OB n =，AB =⑴直角三角形AOB 的周长f ：f OA AB OB =++=m n =++其中，(,)C R R 为旁切圆圆心，(,)E R 0、P 、(,)F 0R 为三个切点. 由于AB AP PB AE BF =+=+，所以： f OE OF CE CF 2R =+=+= ⑤上式中，R 为旁切圆的半径，故：CE CF CP R ===.则在直角三角形PCD 中，斜边不小于直角边，即：22CD CP ≥C即：()()222R 1R 2R -+-≥ 即：()()222R 2R 1R 4R 4R -++-+≥ 即：2R 6R 50-+≥，即：()()R 5R 10--≥ 故：R 5≥ 或 R 1≤ ⑥其中，R 1≤对应于三角形的内切圆，R 5≥对应于三角形的旁切圆. 将R 5≥代入⑤式得：f 10≥.五、均值不等式法求极值[例题]已知：,x y 0>，且 x 2y 1+=，求(,)11f x y x y=++的最小值. [解析]作cos x ρθ=，sin y ρθ=变换后就是极坐标.由,x y 0>得：(,)02πθ∈.此时，x 2y 1+=变换为(cos sin )21ρθθ+=，即：cos sin 12θθρ=+ ①(,)11f x y x y=++()cos sin 111f θρθθ⎛=++⎝ ② 将①代入②得：()(cos sin )cos sin 11f 2θθθθθ⎛=+++ ⎝cos sin sin cos 212θθθθ=++++cos sin sin sin cos cos 1223θθθθθθ=++++cos (sin )sin cos 1213θθθθ++=++ ③ 采用均值不等式求极值. 将③式化简：cos (sin )sin cos 121f 3θθθθ++=++ cos (sin cos sin cos )sin cos cos sin 2222222222222322222θθθθθθθθθ++=++- cos (cossin )sin (cossin )(cos sin )22222322222θθθθθθθθ+=++-+cos (cos sin )sincos sin 22223222θθθθθθ+=++- (cot)cotcot2123212θθθ+=++-(cot )cot cot212241212θθθ-+=+-+-(cot)cot4121242θθ=++-+- (cot )cot 121642θθ⎡⎤⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=+ ④ 由于(,)02πθ∈，则(,)024θπ∈，故cot 12θ>于是，将均值不等式用于④式得：(cot )cot 41212f 6θθ⎡⎤⎢⎥-+⎢⎣=⎢-⎦+⎥⎥6≥+610≥+= 当cot cot412212θθ-==-时，即: cot 32θ=时函数()f θ达到其极小值min f 10=.。
几何不等式的证明及应用一、1．定义：几何问题中出现的不等式称为几何不等式. 常常表现为角的大小，线段的长短，面积的多少等. 在几何不等式的证明中，将综合运用到我们所学的很多知识，但最首要的是要注意运用几何中基本的不等关系和一些重要定理．证明不等式，视其论证过程中，以运用何种知识为主，大致分为三种方法：几何方法；三角方法；代数方法。
2．证明几何不等式常用方法（1）代数方法：利用变量代换、因式分解、配方等手段将几何问题转为代数问题，其思路是：适当地引入变量，将几何问题化为代数问题，特别是二次函数；恰当选择变量为关键；利用重要的几何不等式及代数不等式当证明涉及三角形不等式时，注意应用：①三边长的固有不等关系；②海伦公式；③边长的大小顺序关系与对应角的大小顺序关系相同，而与对应高、中线及分角线长的顺序相反.（2）三角方法：利用三角函数来反映几何图形的变化规律，从而将几何问题转化为三角问题，这时最常用的三角知识是：三角恒等变形：这主要是应用和、差、倍、半角公式，积化和差及和差化积公式等，制造出便于应用已知不等式的形式，以完成命题的证明；边角互换：这主要是利用三角函数定义、正弦定理、余弦定理等，把一个关于角（边）的不等式转化成边（角）的不等式.（3）几何方法：即指用纯粹的平面几何知识来证明几何不等式，这时最常用的平面几何知识是：抓住几何图形的特征，挖掘几何图形中最基本的几何不等关系.事实上，一些最基本的几何不等关系在有关几何不等式的论证中异常活跃，常常成为解决问题的钥匙；与面积有关的几何不等式也占有重要地位.其内容丰富，涉及面宽，富于智巧.证明这类不等式大都需要利用面积的等积变换、面积公式及面积比的有关定理等知识. 3．几个著名代数不等式：柯西不等式，排序不等式，算术平均不等式等. 4．几个著名的几何不等式（1）托勒密定理的推广：在凸四边形ABCD 中，一定有：BD AC BC AD CD AB ⋅≥⋅+⋅，等号成立时四边形ABCD 是圆内接四边形.证明1：取点E ，使ACD ABE CAD BAE ∠=∠∠=∠，则ABE ∆∽ACD ∆ ∴CD BE AC AB =，ADAEAC AB = ∴BE AC CD AB ⋅=⋅ （1） 又DAE BAC ∠=∠ ∴ABC ∆∽AED ∆ ∴ADACDE BC = ∴DE AC AD BC ⋅=⋅ ∴BD AC DE BE AC DE AC BE AC AD BC CD AB ⋅≥+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅)(上式等号成立当且仅当E 在对角线BD 上.此时ACD ABD ∠=∠，从而四边形内接于圆.Y XPCBAPF EDC BA证明2：复数法：设A 、B 、C 、D 对应的复数分别是1z 、2z 、3z 、4z 用到下面的恒等式142324313412()()()()()()0z z z z z z z z z z z z --+--+--=则12341423|()()||()()|AB CD AD BC z z z z z z z z ⋅+⋅=--+--12341423|()()()()|z z z z z z z z ≥--+--2431|()()|z z z z AC BD =---=⋅（2）（嵌入不等式） 设,,,(21),x y z R A B C k k Z π∈++=+∈， 求证：C xy B zx A yz z y x cos 2cos 2cos 2222++≥++等号成立的充要条件是：B z C y x cos cos +=及B z C y sin sin =. 证明：C xy B zx A yz z y x cos 2cos 2cos 2222---++)cos(2)cos cos (2222C B yz z y x C y B z x +++++-=222)sin sin ()cos cos ()cos cos (2C y B z C y B z x C y B z x -++++-=0)sin sin ()cos cos (22≥-+--=C y B z C y B z x 当且仅当B z C y x cos cos +=且B z C y sin sin =时取等号（3）艾尔多斯——莫迪尔（Erdos —Mordell ）不等式：在ABC ∆内部任取点P ，,A d B d ,C d 分别表示由点P 到顶点C B A ,,之间的距离，c b a d d d ,,分别表示由点P 到边AB CA BC ,,的距离， 则)(2c b a C B A d d d d d d ++≥++证明1：过P 作直线XY 分别交AC AB ,于Y X ,，使ABC AYX ∠=∠ 则AYX ∆∽ABC ∆ ∴BCABXY AY BC AC XY AX ==, 又∵A b c AXYd XY d AY d AX S ⋅≤⋅+⋅=∆212121 ∴b c A d XY AY d XY AX d ⋅+⋅≥即b c A d BCABd BC AC d ⋅+⋅≥同理：a c B d AC AB d AC BC d ⋅+⋅≥a b C d ABACd AB BC d ⋅+⋅≥ ∴)(2c b a C B A d d d d d d ++≥++ 证明2：F A E P ,,,四点共圆 则A d AEF=sin 在EFP ∆中，由余弦定理得)cos(2222C B d d d d EF b c b c +⋅⋅-+=22)sin sin ()cos cos (C d B d C d B d b c b c ++-=2)sin sin (C d B d b c +≥∴C d B d EF b c sin sin +≥ ∴b c A d ACd A B d sin sin sin sin +≥同理a c B d B C d B A d sin sin sin sin +≥a c C d CBd C A d sin sin sin sin +≥ ∴)(2c b a C B A d d d d d d ++≥++ 证明3：设γβα=∠=∠=∠CPA BPC APB ,,则αcos 2222⋅⋅-+=B A B A d d d d ABβcos 2222⋅⋅-+=C B C B d d d d BC γcos 2222⋅⋅-+=A C A C d d d d CA又βsin 2121⋅⋅=⋅C B a d d d BC ∴)cos 1(2)(sin cos 2sin 222ββββ-⋅⋅+-⋅⋅=⋅⋅-+⋅⋅=C B C B C B C B C B C B a d d d d d d d d d d d d d2cos 212sin 22sin )cos 1(2sin 2βββββC B C B C B C B C B d d d d d d d d d d ⋅=⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅⋅≤即2cos 21βC B a d d d ⋅≤ 同理2cos 21γA C b d d d ⋅≤2cos 21αB A c d d d ⋅≤ )2cos 2cos 2cos (21αγβB A AC C B c b a d d d d d d d d d ⋅+⋅+⋅≤++)(21C B A d d d ++≤（嵌入不等式） 证明四： 设2,2,2BPC CPA APB αβγ∠=∠=∠=，且αβγπ++=设它们的内角平分线长分别是a b c w w w 、、，且a a b b c c w d w d w d ≥≥≥、、 只要证更强的结论2()A B C a b c d d d w w w ++≥++112()()22B C B C B C a B C d d d d a d d a w ⋅++⋅+-=222(2)B C B C B C B C d d d d a d d ⋅+-+= 又222cos 22B C B Cd d a d d α+-=，即2222cos 2B C B C d d a d d α+-=∴22(1cos 2)cos B C B Ca B C B C B Cd d d d w d d d d d d ααα=+=≤++ 同理b A C w d d β≤，c A B w d d γ=∵αβγπ++=∴由嵌入不等式得2()2()a b c B C A C A B A B C w w w d d d d d d d d d αβγ++≤≤++（4）外森比克不等式：设ABC ∆的边长和面积分别为c b a ,,和S ，则S c b a 34222≥++，当且仅当ABC∆为正三角形时等号成立.证明方法很多，证明略5．费尔马(Fermat )问题：在ABC ∆中，使PC PB PA ++为最小的平面上的P 点称为费尔马点.当︒≥∠120BAC 时，A 点为费尔马点；当ABC ∆中任一内角都小于︒120时，则与三边张角为︒120的P 点为费尔马点. 例1 已知ABC ∆，设I 是它的内心，C B A ∠∠∠,,的内角平分线分别交其对边于///,,C B A ，求证：27841///≤⋅⋅⋅⋅<CC BB AA CI BI AI . 证明：令c AB b CA a BC ===,,由角平分线定理，易得c b a b C A c B A IA IA +===///∴cb cb a IA AA +++=/ ∴c b a c b AA IA +++=/易得121<+++<++++=c b a c b c b c b c b ∴)1,21(/∈+++=cb ac b AA IA同理)1,21(/∈+++=c b a c a BB IB )1,21(/∈+++=c b a b a CCIC 则2/////=++CC IC BB IB AA IA 处理（1）令3/2/1/21,21,21t CCIC t BB IB t AA IA +=+=+=，则21),1,21(,,321321=++∈t t t t t t ∴2783)21()21()21()21)(21)(21(3321321=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++≤+++t t t t t t ∴41)(21)(4181)21)(21)(21(321133221321321>+++++++=+++t t t t t t t t t t t t t t t ∴27841///≤⋅⋅⋅⋅<CC BB AA CI BI AI 处理（2）令z CCIC y BB IB x AA IA ===///,,，则2=++z y x ，且1,,(,1)2x y z ∈ ∴278)3(3=++≤z y x xyz 21113139(2)(2)()[()]22222416xyz x x z z z z z z z =-->--=-=--+ 又112z <<（2139[()]2416z --+在区间端点取到最小值）∴221391391[()][(1)]241624164xyz z >--+>--+= 处理（3）利用内切圆与三角形的切点把每条边分成两部分作变换令m k c k n b n m a +=+=+=,,)(22)(22)(22///k n m kn m k n m k n m k n m k n m CCBB AA CI BI AI ++++⋅++++⋅++++=⋅⋅⋅⋅ 41)(8))(()()(333>+++++++++++++=k n m mnk k n m nk mk mn k n m k n m说明：证明关于三角形内各元素的各种不等式时，常作如下变换：（由于三角形的内切圆存在，三条边总可表示为）)0,,(,,,>+=+=+=z y x x z c z y b y x a ，反之，若三个正数c b a ,,可以表示为上述形式，则c b a ,,一定是某个三角形的三边，并且相应的三角形的其它元素也可以通过上面变换用z y x ,,表示，有关三角形的一些几何不等式都可以化为关于z y x ,,的代数不等式例2 设P 是ABC ∆内的一个点，S R Q ,,分别是C B A ,,与PABC QRS S S ∆∆≤41.（QRS ∆是塞瓦三角形）（分析：利用补集思想）证明ABC CQR BSQ ASR S S S S ∆∆∆∆≥++43证明1：令γβα===RACRQC BQ SB AS ,,，则由塞瓦定理1=αβγ 则)1)(1(++=⋅⋅=∆∆γααAC AB AR AS S S ABC ASR 同理)1)(1(++=⋅⋅=∆∆αββAB BC BS BQ S S ABC BSQ 、)1)(1(++=⋅⋅=∆∆βγγAB BC CR CQ S S ABC CQR 只要证明ABC CQR BSQ ASR S S S S ∆∆∆∆≥++43即43)1)(1()1)(1()1)(1(≥++++++++βγγαββγαα 只要证0)()(6≤++-++-γβαγαβγαβ只要证0)]()111[(6≤+++++-γβαγβα显然6)()111(≥+++++γβαγβα当12αβγ===时取等号，此时P 是ABC ∆的重心 证明2：设z S y S x S PAB PBC PAC ===∆∆∆,,则z x QB QC y z RC RA x y SA SB ===,,、))((y z y x xz AC AB AR AS S S ABC ASR++=⋅⋅=∆∆同理))((x z x y yzAB BC BS BQ S S ABCBSQ ++=⋅⋅=∆∆、))((z y z x xyAB BC CR CQ S S ABCCQR ++=⋅⋅=∆∆只要证明ABC CQR BSQ ASR S S S S ∆∆∆∆≥++43即43))(())(())((≥++++++++z y z x xy x z x y yz y z y x xz 通分整理3()()()()()()4xz x z yz y z xy x y x y y z z x +++++≥+++ 即22223()()()()()()4x y z y z x z x y x y y z z x +++++≥+++364xyz ≥⋅= 只要证xyz y x z z y x z x y 6)()()(222≥+++++事实上)()()(222y x z z y x z x y +++++ )()(222222zx yz xy x z z y y x +++++=xyz xyz xyz zx yz xy x z z y y x 6333332223222=+=⋅⋅+⋅⋅≥当且仅当z y x ==时取等号，此时P 是ABC ∆的重心 证明3：令,,AS BQ CR AB BC CA αβγ===，且)1,0(,,∈γβα则1,1,1BS CQ ARAB BC CAαβγ=-=-=- 由塞瓦定理得)1)(1)(1(γβααβγ---=整理得()12αβγαββγγααβγ++-++=-B)1(γα-=⋅⋅=∆∆AC AB ARAS S S ABC ASR 、同理)1(αβ-=⋅⋅=∆∆AB BC BS BQ S S ABC BSQ 、)1(βγ-=⋅⋅=∆∆ABBC CR CQ S S ABC CQR 只要证43)1()1()1(≥-+-+-βγαβγα 事实上(1)(1)(1)()12αγβαγβαβγαββγγααβγ-+-+-=++-++=-))1(2)1(2)1(2(411)1)(1)(1(21γγββααγβααβγ-⋅-⋅-⋅-=----=43411=-≥当且仅当21===γβα时取等号，此时S R Q ,,是中点，P 是ABC ∆的重心 例3 已知ABC ∆的面积为S ，三边分别为c b a ,,，求证：2)3(43c b a S ++≤，且当c b a ==时等号成立. 证明1：由海伦公式，设)(21c b a p ++=223)3(4393)3())()((c b a p p p c p b p a p p S ++==⋅≤---=当且仅当c p b p a p -=-=-即c b a ==时取等号 证明2： 欲证2)3(43c b a S ++≤只要证S c b a 312)(2≥++ ∵)(3222)(2222ca bc ab ca bc ab c b a c b a ++≥+++++=++故只要证S ca bc ab 34≥++由柯西不等式2)sin sin sin ()sin sin )(sin (B ca A bc C ab C B A ca bc ab ++≥++++S S 18)23(2==∴CB A Sca bc ab sin sin sin 18++≥++又233sin sin sin ≤++C B A ∴S SC B A S ca bc ab 3423318sin sin sin 18=≥++≥++ 从而结论得证，当且仅当c b a ==时，取等号 例4 在ABC ∆中，求证：392cot 2cot 2cot333≥++CB A 证明1：设x z b CA z y a BC y x c AB +==+==+==,,则3333333333)()()(2cot 2cot 2cot rz y x r z r y r x C B A ++=++=++ 又)())()((z y x xyz c p b p a p p S ++=---=、r z y x r c b a S )()(21++=++=/B //B /∴r z y x z y x xyz )()(++=++ ∴zy x xyzr ++=33333332cot 2cot 2cot r z y x C B A ++=++xyz z y x z y x r xyz ++++=≥)(3333933363=⋅⋅≥xyzxyz xyz 证明2：设x z b CA z y a BC y x c AB +==+==+==,,则3333333333)()()(2cot 2cot 2cot rz y x r z r y r x C B A ++=++=++ 由幂平均不等式333333z y x z y x ++≤++得3333)(91z y x z y x ++≥++ （1） 由例3得22)(93)3(43z y x c b a S ++=++≤∴)(93z y x z y x S ++≤++，即)(93z y x r ++≤ ∴r z y x 33≥++代入（1）即可得到结论.例5 设ABC ∆是锐角三角形，外接圆圆心为O ，半径为R ，AO 交BOC 所在的圆于另一点/A ，BO 交COA 所在的圆于另一点/B ，CO 交AOB 所在的圆于另一点/C ，证明：3///8R OC OB OA ≥⋅⋅，并指出在什么情况下等号成立？ 证明1：作过BOC 的圆直径OD 则︒=∠=∠90/DCO O DAABCAOC BAC DOC ∠=∠∠=∠2,ABC ACB AOC DOC OD A ∠-∠=∠-∠-︒=∠180/在COD Rt ∆中，BACOCDOC OC OD cos cos ==在OD A Rt /∆中)cos(cos //ABC ACB OD DOA OD O A ∠-∠⋅=⋅=OCBACABC ACB ⋅∠-∠=cos )cos(即RBACABC ACB OA cos )cos(/∠-∠=记为R A B C OA cos )cos(/-=同理R B C A OB cos )cos(/-=、R C B A OC cos )cos(/-=只要证8cos )cos(cos )cos(cos )cos(≥-⋅-⋅-BA C A CBC B A∵BA BA B A B A B A B A B A B A C B A cot cot 1cot cot 1sin sin cos cos sin sin cos cos )cos()cos(cos )cos(⋅-⋅+=+-+=+--=-令A C z C B y B A x cot cot ,cot cot ,cot cot ⋅=⋅=⋅=A C CB B A z y x cot cot cot cot cot cot ⋅+⋅+⋅=++CB C B A cot cot )cot (cot cot ⋅++⋅=C B C B C B cot cot )cot (cot )cot(⋅++⋅+-=1cot cot )cot (cot cot cot 1cot cot =⋅++⋅+-⋅-=C B C B CB C BB ///B /而对于ABC ∆是锐角三角形，0,,>z y x ∴zy x z y x z y x z y x x x C B A +++≥++++=-+=-))((2)()(11cos )cos( 同理z x y z y x A C B +++≥-))((2cos )cos(、yx y z z x A C B +++≥-))((2cos )cos(显然成立 证明2：如图，设BC AO ,交于D ，AC BO ,交于E ，AB CO ,交于F ， 由C O B A ,,,/四点共圆，得CBO BCO O BA ∠=∠=∠/∴BOD ∆∽BO A /∆∴OD BO BO O A =/ ∴OD R O A 2/= 从而OE R O B 2/=，OF R O C 2/= 处理方式（1）∴OF OCOE OB OD OA OF OE OD R RO C O B O A ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅33/// 令321,,S S S S S S COABOC AOB ===∆∆∆3///R O C O B O A ⋅⋅8132321231≥+⋅+⋅+=S S S S S S S S S 处理方式（2）令z OF OCy OE OB x OD OA ===,,则111,,111OBC OAC OBA ABC ABC ABCS S S OD OE OF AD S x BE S y CF S z ∆∆∆∆∆∆======+++ ∴1111111=+++++z y x （利用面积关系）（再去分母，整理得2xyz x y z =+++） ∴2323+≥+++=xyz z y x xyz令m xyz =3，则0233≥--m m ，即2(1)(2)0m m +-≥∴02≥-m ，即8≥xyz证明3： 由C O B A ,,,/四点共圆，由托勒密定理，得)(///B AC A R BC O A +=⋅∴R BC B A C A O A ///+= 易知21∠=∠∴BCCA B A BD B A CD C A ////+==而BD A /∆∽COD ∆∴OD AO OD R OD OC BD B A ===/ ∴R ODAO O A =/R OE BO O B =/，R OFCOO C =/令321,,S S S S S S COABOC AOB ===∆∆∆∴OF OC OE OB OD OA RO C O B O A ⋅⋅=⋅⋅3///8132321231≥+⋅+⋅+=S S S S S S S S S 证明4： 由C O B A ,,,/四点共圆，由托勒密定理，得)(///B AC A R BC O A +=⋅ ∴R BCBA C A O A ///+=设γβα=∠=∠=∠BOC AOB AOC ,, 在BC A /∆中，由正弦定理，得CBA BCBC A C A CB A B A /////sin sin sin ==又γαβsin sin ,sin sin sin ,sin sin sin /////=====C BA OC A BC A OB A CB A∴R R BC B A C A O A ⋅+=+=γβαsin sin sin ///同理R O B ⋅+=αγβsin sin sin /、R O C ⋅+=βγαsin sin sin / 以下略PCBA AOMNB CDABCOA 1B 1C 1例6 如图所示，设1C ，2C 是同心圆，2C 的半径是1C 半径的2倍，四边形4321A A A A 内接于圆1C ，将14A A 延长交圆2C 于1B ，将21A A 延长交圆2C 于2B ，将32A A 延长交圆2C 于3B ，43A A 延长交圆2C 于4B ，试证明：四边形4321B B B B 的周长大于等于四边形4321A A A A 的 周长的2倍，并请确定等号成立的条件.证明：设公共圆圆心为O ，连结211,,OB OB OA在四边形211B B OA 中，运用推广的托勒密定理112211211B A OB B B OA B A OB ⋅+⋅≤⋅ ∴11212122B A R B B R B A R ⋅+⋅≤⋅∴11212122B A B B B A +≤∴11222121222B A B A A A B B -+≥ 同理22333232222B A B A A A B B -+≥、33444343222B A B A A A B B -+≥、44111414222B A B A A A B B -+≥∴结论得证，当且仅当211,,,B B A O 四点共圆，∴21211241B OA B OB B OB A OA ∠=∠=∠=∠， ∴1OA 是214A A A ∠的角平分线， ∴O 到214A A A ∠的两边的距离相等 ∴1214A A A A =同理四边形4321A A A A 的各边相等，进而四边形4321A A A A 是正方形时，等号成立. 1. 如图，在ABC ∆中，,AB AC AM >为中线，P 为AMC ∆内一点，证明：PB PC > 证明：在AMC ∆与AMB ∆中，有两组对边对应相等，且AB AC >， 所以AMB AMC ∠>∠，于是90AMC ∠<︒，过P 作PH BC ⊥于H ，则垂足H 必在MC 的内部或延长线上，从而BH CH >， 因此PB PC >（斜线长与射影长的关系）2. 如图，20MON ∠=︒，A 为OM 上一点，3OA =B 是ON 上一点，D 为ON 上一点， 83OD =C 为AM 上任意一点，则12AB BC CD ++≥分析：以OM 为对称轴，作D 点关于OM 的对称点/D ，以ON 为对称轴，作A 点关于ON 的对称点/A ，连结/OA 、/OD ，则//60A OD ∠=︒，连结/BA 、/CD 、//A D ，则有//AB BC CD BA BC CD ++=++ 因为//3,83OA OD ==/A 、/D 为定点，而连结/A 、/D 以线段最短，∴///2/2//()()2cos6012AB BC CD A D OA OD OA OD ++≥=+-⋅⋅︒=．说明：本题把“折线化直”，然后利用两点间线段距离最短来证明，这种“化直法”在解决几何不等式问题中是常用的．3.设BC 是ABC ∆的最长边，在此三角形内部任意选一点O ，OA 、OB 、OC 分别交对边于1A 、1B 、1C ， 证明：（1）111OA OB OC BC ++<；（2）111111max{,,}OA OB OC AA BB CC ++≤分析：我们先证明一个简单但非常有用的引理：T SC 1B 1A 1OCBAX 设点M 是PQR ∆的边QR 上的一点，则max{,}PM PQ PR <．事实上，过P 作PH QR ⊥，则利用斜线长和射影长的关系很容易说明便知引理成立．（1）过O 分别作//,//OX AB OY AC ，分别交BC 于X 、Y 点，再过X 、Y 分别作11//,//XS CC YT BB 分别交AB 、AC 于S 、T ，如图易知，OXY ∆∽ABC ∆，故XY 是OXY ∆的最大边， 由引理知，1max{,}OA OX OY XY <≤； 又因为BXS ∆∽1BCC ∆，YCT ∆∽1BCB ∆，所以1BX XS OC >=（1max{,}CC CA BC BC <=），1CY YT OB >= 所以111BC XY BX YC OA OB OC =++>++ （2）令z CC OC y AB OB x AA OA ===111111,,，那么1=++=++∆∆∆∆∆∆ABCOAB ABC OCA ABC OBC S S S S S S z y x ． 所以111111OA OB OC xAA yBB zCC ++=++111111()max{,,}max{,,}x y z AA BB CC AA BB CC ≤++= 说明：其实，由（2）和引理知（1）成立，所以我们也可以先证明（2），然后推得（1）．4. 设凸四边形ABCD 的面积为1，证：在它的边上（包括顶点）或内部可以找出四个点，使得以其中任意三个点为顶点的三角形的面积均不小于41析：如果ABCD 是平行四边形，那么41====∆∆∆∆ABD ADC BCD ABC S S S S ， 因此A B C D 、、、即为所求的点；如果ABCD 不是平行四边形，不妨设AD 与BC 不平行，且DAB CBA π∠+∠<，AD 与BC 交于E ，D 到AB 的距离不超过C 到AB 的距离，过D 作//DF AB ，交BC 于F ，分两种情况讨论：（1）DF 不超过AB 的一半，此时可在边AD ，BC 上分别取P ，Q ，使得PQ 与AB 平行，PQ 等于AB 的一半，则有111444APQ BPQ ABE ABCD S S S S ∆∆∆∆==>=,、11122222ABQ ABP APQ BPQ ABE ABCD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆====>= 即A B P Q 、、、即为所求的四个点.（2）若DF 大于AB 的一半，则在线段DC 与FC 上分别取P ，Q ，同样使//PQ AB ，且12PQ AB =，延长AP 交AE 于/E ，则PQ 是/ABE ∆的中位线再过A 作BC 的平行线l ，它与CD 的延长线的交点为G ，则/AGP PDA PCE S S S ∆∆∆=>,故有//ABCP PDA ABCP ABCD E AB PCE S S S S S S ∆∆∆∆∆=+>+=，于是同样可以证明A B P Q 、、、即为所求的四个点.说明：在遇到比较复杂的情形时，要注意从简单情形起步，合理规划，通过分类讨论，适时化归，使问题得以圆满解决.到ABC ∆三个顶点距离之和为最小的点，通常称为费尔马点.当ABC ∆各角均小于120︒时，与三边的张角均为120︒的点即为费尔马点；当有一个角大于120︒时，这角项点就是费尔马点.下面这个命题是与费尔马问题“反向”的问题.5. 在ABC ∆的内部或边界上找一点P ，使得它到三个顶点距离之和为最大.分析：若点P 在ABC ∆内，作一个以B 、C 为焦点，过P 点的椭圆，设椭圆与AB 、AC 交于1P 、2P 点，连结AP 并延长与12P P 交于/P 点，如图，那么/12max{,}P A P A P A <不妨设/1P A P A <则11111()P A P B P C PA P B P C PA PB PC ++>++=++所以点P 必定在边界上.下证P 只能是ABC ∆的顶点，不妨设点P 在线段BC 的内部，因max{,}PA AB AC <，设PA AB <，那么PA PB PC PA BC AB BC ++=+<+综上所述，所求的点必为ABC ∆的顶点，易知它是最短边所对的顶点. 说明：本题所用的方法是“局部调整”法，这是一种重要的思想方法.6．凸六边形ABCDEF 的每边长至多为1.证明：对角线AD 、BE 、CF 中至少有一条不超过2. 分析：连结AC 、CE 、EA ，在AEC ∆中，不妨设边CE 最大，即,CE AC CE AE ≥≥， 如图，对A 、C 、D 、E 四点用托勒密定理，有AE CD ED AC CE AD ⨯+⨯≤⨯ 所以21111=⨯+⨯≤⋅+⋅≤CEAE CD DE CE AC AD ，从而命题得证. 在证明与面积和周长有关的不等式时，下面的几个结论是很有用的，它们就是著名的等周问题.命题1 在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大；命题2 在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小；命题3 在给定边长为12,,,n a a a 的所有n 边形中，能够内接于圆的n 边形具有最大的面积命题4 在周长一定的n 边形的集合中，正n 边形的面积最大；命题5 在面积一定的n 边形的集合中，正n 边形的周长最小运用等周定理可以解决很多与几何不等式有关的问题，看下面一例：7．曲线L 将正ABC ∆分成两个等积的部分，那么它的长432a l π≥，其中a 是正ABC ∆的边长.分析： 以A 为圆心，R 为半径作圆弧/L 将ABC ∆的面积等分，那么有22432161a R ⋅=π，所以π2274=R ，/L 的周长/412623a l R ππ=⋅=，现在证明/l l ≥. 将ABC ∆连续翻转5次，由曲线L 形成了一条闭曲线，如图所示，由/L 形成了一个圆，而两者所围成的面积相等.根据命题2，知/66l l ≥，即/423al l π≥=.。
不等式证明与最值问题（一）均值不等式的运用(1)均值不等式的运用：a² + b²≥ 2ab；当a＞0，b＞0时，a+b ≥2√ab附：完全的均值不等式：√[(a²+ b²)/2] ≥(a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b)（二次幂平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均）注意：利用均值不等式，注意“一正二定三相等”；注意“1”的添加；注意拆项补项；可以先假设成立，然后逆推，看逆推出的式子是否成立；注意代换。
（1）注意“1”的代换：已知x＞0，y＞0，满足4/x+16/y=1。
求x+y的最小值解：x+y=(x+y)( 4/x+16/y)=20+4y/x+16x/y≥20+2√[(4y/x)·(16x/y)]=36注意：千万不可：1=4/x+16/y≥16/√(xy)，√(xy)≥16,故：x+y≥2√(xy)＝32 归纳：x,y a,b都是正数且(a/x)+(b/y)=1,求x+y的最小值。
解：因为(a/x)+(b/y)=1故：x+y=(x+y)[ (a/x)+(b/y)]=a+b+xb/y+ya/x≥a+b+2√(xb/y·ya/x)=a+b+2√(ab)练习：1、已知x,y＞0,1/x+2/y=1，求x+y的最小值。
（答案：3＋2√2）2、已知x，y＞0，1/x+9/y=1，求x+y的最小值。
（答案：16）（2）1、已知a＞0，b＞0，求证：(1/a+1/b) (1/a²+1/b²)(a³+b³)≥8解：(1/a+1/b) (1/a²+1/b²)(a³+b³)≥2√[1/(ab)]·2√[1/(a²b²)]·2√(a³b³)=82、已知a+b+c=1,a,b,c为不全相等的实数，求证：a²+b²+c²＞1/3解：a²+b²≥2ab, a²+ c²≥2ac, b²+c²≥2bc因为a,b,c为不全相等的实数，故：上面三式不能同时取等号。
第17章 几何不等式与极值问题17.1.1★ 一个凸行边形的内角中，恰好有4个钝角，求n 的最大值． 解析考虑这个凸行边形的n 个外角，有4n -个角90︒≥，故有()490360n -⨯︒<︒（严格小于是由于4个钝角的外角和大于0︒），因此8n <，n 的最大值是7．易构造这样的例子。
如果恰好有k 个钝角，则n 的最大值是3k +.17.1.2★ 在ABC △中，AB AC >，P 为BC 边的高AD 上的一点，求证：AB AC PB PC -<-.PCDB A解析易知AB AC PB PC +>+，又2222AB AC BD CD -=- 22PB PC =-，故有AB AC PB PC -<-． 评注 读者不妨考虑AD 是角平分线与中线的情况．17.1.3 已知四边形ABCD ，AC 、BD 交于O ，ADO △和BCO △的面积分别为3、12，求四边形ABCD 面积的最小值．CB ODA解析易知ABO BCOADO DCOS S BO S DO S ==△△△△，故36ABO CDO ADO BCO S S S S ⋅=⋅=△△△△.从而12ABO CDO S S +=△△≥，且当ABO CDO S S =△△（此时四边形ABCD 为一梯形）时等号成立，所以此时四边形ABCD 面积达到最小值27.17.1.4★ 已知：直角三角形ABC 中，斜边BC 上的高6h =． （1）求证：BC h AB AC +>+； （2）求()()22BC h AB AC ++-. 解析()()22BC h AB AC +-+222222BC h BC h AB AC AB AC =++⋅---⋅，由条件，知242ABC BC h S AB AC ⋅==⋅△，且222AB AC BC +=， 于是()()22236BC h AB AC h +-+==.注意：这同时解决了（1）和（2）.17.1.5★ 设矩形ABCD ，10BC =，7CD =，动点F 、E 分别在BC 、CD 上，且4BF ED +=，求AFE △面积的最小值．B FCED A解析设 BF x=，()4DE y x ==-，则()()()117101077022ABF ADE ECF S S S x y x y xy ++=++--=+⎡⎤⎣⎦△△△。
由()2144xy x y +=≤。
故 ()170704332AEF S -⨯+=△≥.当2BF ED ==时达到最小值．17.1.6★ 设P 是定角A ∠内一定点，过P 作动直线交两边于M 、N ，求证：AMN △面积最小时，P 为MN 的中点．解析 如图，连结AP ，设MAP α∠=，NAP β∠=，θαβ=+，由AMP ANP MAN S S S +=△△△，得sin sin sin AM AP AN AP AM AN αβθ⋅⋅+⋅⋅=⋅。
又 左式2AP ≥， 故 212sin sin sin 2sin AMN AP S AM AN αβθθ=⋅⋅△≥。
达到最小值时，须AMP ANP S S =△△，故P 为MN 之中点.17.1.7★ 正三角形ABC 的边长为1，M 、N 、P 分别在BC 、CA 、AB 上，1BM CN AP ++=，求MNP △的最大面积。
ABCMPN xyz解析如图，设BM x =，CN y =，AP z =，则0x ≤，y ，1z ≤，1x y z ++=。
()()()1111sin602APN BPM MNC S S S x z y x z y ++=-+-+-︒⎡⎤⎣⎦△△△， 于是问题变为求()()()111x z y x z y -+-+-的最小值，展开后约去()1x y z ++=，即求xz yx zy ++的最大值． 由不等式()21133xy yz zx x y z ++++=≤知，当13x y z ===时，29A PN BPM M N C A B CS SS S ===△△△△，此时MNP S △的面积达到最大值。
()max 13MNP ABC S S =△△. 17.1.8★ 设ABC △是边长为l 的正三角形，过顶点A 引直线l ，顶点B 、C 到l 的距离记为1d 、2d ，求12d d +的最大值．lCPBlAQ解析如图，若l 穿过BC ，则由“直角边小于斜边”知121d d BC +=≤，取到等号时仅当l BC ⊥.若l 不经过BC ，取BC 中点P ，作PQ l ⊥，Q 在l上，则1222d d PQ AP +==≤号仅当l BC ∥.综上所述，12d d +17.1.9在数1、12、13、14、15、16、17、18、19、110中，若任找三个数能组成三角形的三边，则称这三个数是“好搭档”，则总共有多少组“好搭档”？解析 此题可分类讨论。
显然1不可能为边．由于1115910<+，故15⎧⎨⎩，16，17，18，19，110⎫⎬⎭中任三数可构成三角形的三边，一共有6!203!3!=组。
当最大边为12时，次大边只能为13，最小边为14或15，有2组。
当最大边为13时，次大边为14或15．次大边为14时，最小边1113412>-=，故可取11~510；次大边为15时，最小边1123515>-=，可取16与17共有8组．当最大边为14时，次大边为15、16、17．次大边 为15时，最小边1114520>-=，可取11~610；次大边为16时，最小边1114612>-=，可取11~710； 次大边为17时，最小边1134728>-=，可取18和19。
共有11组。
综上所述，总共有41组． 17.1.10★ 设60XOY ∠=︒，A 、B 是OX 上的两个定点，P 是OY 上的一个动点，问当P 在什么位置时，22PA PB +最小？60°YPOA B X解析如图，设OA a =，OB b =，OP x =，不妨设a b <。
则222PA a x ax =+-， 222PB b x bx =+-，故 ()222222PA PB x a b x a b +=-+++()2222248a b a b x a b ++⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭。
显然当4a bx +=时，22PA PB +最小。
评注 容易验证，此时P 为AB 的中点在OY 上的射影。
17.1.11★ 设直角ABC △中，90C ∠=︒，求证：24ABC AB S △≤. 解析 如图，作A 关于BC 的对称点A '，连结'A B 、'A C ，则ACA'B'12ABC BAA S S =△△1'sin '4AB A B ABA =⋅⋅∠ 2211sin 244AB B AB =≤. 取等号仅当ABC △为等腰直角三角形。
17.1.12★ X 是ABC △的边AB 上一点，P 为ACX △的内心，Q 是BCX △的内心，M 是PQ 的中点，求证：MC MX >. 解析如图，连结XP 、XQ 、CP 、CQ ，则90QXP ∠=︒，12MX PQ =，又1902PCQ BCA ∠=∠<︒，故12CM PQ >，于是结论成立。
CBQMP X A评注 三角形某边上的中线分别大于、等于、小于该边的充要条件是该边所对内角为锐角、直角或钝角，这是一个常见的结论．17.1.13★★ 已知凸六边形ABCDEF 中，AF CD ∥，AB ED ∥，BC EF ∥， 求证：ACE BDF ABCDEF S S S +△△≥.QP REDC BF A解析如图，作ABCD □、QCDE □、EFAR □，于是出现三组全等三角形。
这样便有()2ACE PQR PQR ABCDEF S S S S -+=△△△六边形，即 ()1+2ACE PQR ABCDEF S S S =△△六边形 12ABCDEF S 六边形≥. 同理有 12BDF ABCDEF S S △六边形≥.评注 不破除对称性，此题就比较复杂（当然不是所有的题目都能带给你好运）．另外，用这种方法还能证明ACE BDF S S =△△.17.1.14★★ 已知矩形ABCD ，3AB =，5BC =，P 是AD 上一点，CP 、BA 延长后交于M ，直线CQ 垂直于BP ，交BM 于Q ，若Q 为MB 中点，求AP .又条件同上，若BC 的长度不固定，求BC 的最小值．QCBDPA M解析如图，设AP x =，由MBC △∽CDP △，得MB CD BC PD =，代入得155MB x=-。
又APB △∽BQC △，得BQ AP BC AB =，53BQ x =。
由2MB BQ =，得3253x x =-，或221090x x -+=，解得x =若BC 长度不固定，设其为y ，3y MB y x =-，3xyBQ =，故由2MB BQ =得323x y x =-，或22290x yx -+=，由0∆≥得y ≥BC可取的最小值是P 为AD 中点。
17.1.15★★ 设I 为ABC △的内心，P 是ABC △内部的一点，满足P B A P C A P B C∠+∠=∠+∠. 求证：AP AI ≥，并说明等号成立的充分必要条件是P I =.IPCB A解析易知()12PBC PCB B C IBC ICB ∠+∠=∠+∠=∠+∠，因此 BPC BIC ∠=∠.故B 、C 、I 、P 四点共圆，即点P 在BCI △的外接圆ω上。
记ABC △的外接圆为Ω，则ω的中心M 为Ω的BC 的中点，即为A ∠的平分线AI 与Ω的交点。
在APM △中，有AP PM AM AI IM AI PM +=+=+≥， 故 AP AI ≥.等号成立的充分必要条件是点P 位于线段AI 上，即P I =.17.1.16★★ 延长一凸四边形形的四边和对角线，得六条直线，任两条直线有一个不大于90︒的夹角（这些线无两条平行），求这些夹角中最小的一个的最大值． 654321FEC B A解析 如图，标好各角，则12345612180ACB ABC ∠+∠+∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒，故总有一角30︒≤，当ABC △为正三角形，DB AB ⊥、DC AC ⊥时最小角达到最大值30︒ 17.1.17★★ 凸四边形ABCD 中，点M 、P 分别是BC 、CD 的中点，若AM AP a +=，求证：21<2ABCD S a 四边形。
B M CPDA解析如图，连结AC 、MP ，易知1142AMP BDC AMCP ABCD S S S S +==△△四边形四边形．又BDC ABCD S S <△四边形，1sin 2AMP S AM AP MAP =⋅∠△ 221()1288AM AP AM AP a +⋅=≤≤， 因此 2111248ABCD ABCD S S a <+四边形四边形，即212ABCD S a <四边形．17.1.18★★★ 在三角形ABC 中，4AC =，6BC =，2BAC ABC ∠=∠．P 是平面上任意一点，求32PA PB PC ++的最小值． 64CB AD解析 因为32U PA PB PC =++2()()PA PB PA PC =+++224AB AC AB +=+≥． 下面来求AB ．延长BA 至D ，使得DA AC =，连结CD ，则12D DCA BAC ABC ∠=∠=∠=∠，所以DCA △∽DBC △，故D C D AB D D C=，所以2DC DA DB =⋅，即364(4)AB =+，故5AB =． 所以，所求的最小值为14．17.1.19★★ 在锐角三角形ABC 中，求证：cos cos 2sin 2AB C +≤．解析 当B C ∠=∠时，显然有cos cos 2sin2AB C +=．下面不妨设AB AC >． BED CG H F A在AB 上取点F ，使A F A C =．作角平分线AE 、高AD ，则AE 垂直平分CF ．又作FH AD ⊥于H ，AD 与CF 交于G ，则2sin cos cos 2A CF FG CG FH CDB C AC FA AC FA AC==+>+=+．17.1.20★★ ABC △中，点D 为BC 之中点，点E 、F 分别在AC 、AB 上，求证： 2DEF ABC AEF S S S <-△△△．解析 如图，连结BE 、CF ，则由BD CD =，得 2DEF BEF CEF S S S =+△△△．CD B EFA而BEF BCF S S <△△，故BEF CEF BCF CEF ABC AEF S S S S S S +<+=-△△△△△△．于是结论成立． 17.1.21★★ 设a 、b 、c 为三角形三边长，则对任意实数x 、y 、z ，有 22()()()()a x y x z b y z y x --+--2()()0c z x z y +--≥．解析 设x y p -=，y z q -=，则x z p q -=+， 原式222()()a p p q b qp c p q q =+-++ 2222222()()a p a b c pq c q f p =+-++=．它的判别式 22222222()4a b c q a c q ∆=-+-22222[()][()]a c b a c b q =+---0≤．于是()0f p ≥．17.1.22★ 已知图中窗框总材料一定，问何时窗的面积最大？（图中6个矩形全等）BAC解析 设AB x =，AC y =，则总材料为109πl x y x =++（l 为常数），面积为2π62S xy x =+．于是(10π)9l x y -+=，代入，得2220π336l S x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．这个二次函数在240πlx =+时取到极大值，此时x 、y 均有实际意义．取得窗的最大面积为221203πl +．17.1.23★★ ABCD 和EFGH 都是边长为1的正方形，且AB EF ∥．两个正方形重叠部分的面积为116，求两个正方形中心距离的最小值．解析 如图，设ABCD 的中心为I ，EFGH 的中心为J ，过I 、J 分别作IK AB ∥，JK BC ∥，IK 、JK 交于K ．又设两正方形重叠部分为矩形BMHN ，HM x =，HN y =，则116xy =，11122IK x x ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，同理1JK y =-，所以222(1)(1)IJ x y =-+- 222()2x y x y =+-++21()2()2216x y x y =+-++-⋅ 277(1)88x y =+-+≥．所以，4IJ ≥． 当x，23y 时等号成立．故所求的最小值为． 17.1.24★★ 在锐角ABC △的边BC 、CA 、AB 上各有一动点D 、E 、F ，求证：DEF △的周长达到最小当且仅当AD 、BE 、CF 为ABC △的三条高．解析 如图，设D 关于AB 、AC 的对称点分别为G 、H ，GD 与AB 交于M ，DH 与AC 交于N ，则D△的周长22G F F E E H G H M N=++==∠≥≥42s i nABC SAD BAC BC'∠=⋅△ 2sin ABCS BAC R∠=△． HN CD BM GE FA这里AD '为ABC △的高，R 为ABC △的外接圆半径．又由对称性，除了AD BC ⊥外，BE 、CF 也分别必须垂直于AC 、AB 时方能达到．17.1.25★★ 直角三角形内切圆半径为1，求其面积的最小值．解析 设该直角三角形直角边长为a 、b，则易知其内切圆半径为1(12a b +=，整理，得222(2)a b a b +-=+，或2222ab a b =+-≥，此即22)2≥． 由于每条直角边均大于内切圆直径22>2积为3+17.1.26★★ 梯形ABCD 高为d ，上底AD a =，对角线交于P ，求用a 、d 表示APD △与BCP △面积之和的最小值．解析 如图，作EPF 与AD 、BC 垂直，垂足分别是E 、F ．设BC x =，则PE PF d +=，PE AD aPF BC x ==，解得ad PE a x=+，xd PF a x=+，于是2222111222APD BCPa d x d a x S S d a x a x a x++=⋅+⋅=⋅+++△△． CF B P DEA设22a x y a x+=+，则220x yx a ay -+-=有解，故0∆≥，即224()y a ay -≥，即22y a +≥，y的最小值为1)a，故最小面积为1)ad．此时1)x a =．17.1.27★★ 设D 是ABC △的边BC 的中点，E 、F 分别在边AB 、AC 上，DE DF ⊥，试比较BE CF +与EF 的大小关系．解析 如图，延长FD 至P 使DP DF =，由BD CD =，知BDP △≌(SAS)CDF △，故CF BP =．PCDB FEA又ED 垂直平分PF ，故EF PE =，易见EP BE BP <+，所以EF BE CF <+． 17.1.28★★ 一凸六边形ABCDEF 每条边长均为1，求证：AD 、BE 、CF 中至少有一个2≤． 解析 如图，由于720A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，不妨设240A F ∠+∠︒≤，作菱形ABGF ，则60GFE ∠︒≤，1FG FE ==，则GE 是FGE △最小边，1GE ≤，又1BG =，故2BE BG GE +≤≤．DCEGBFA17.1.29★★ 在正ABC △内，P 是一动点，求以P 在三边上的射影为顶点的三角形面积的最大值．解析 如图，ABC △内一点P 在BC 、CA 、AB 的射影分别为D 、E 、F ，则CD B PEFADEF EPF FPD DPE S S S S =++△△△△1()sin1202PD PE PE PF PF PD =⋅+⋅+⋅︒)PD PE PE PF PF PD =⋅+⋅+⋅． 由熟知的不等式21()3ab bc ca a b c ++++≤，及PD PE PF ++为常数（ABC △的高h ），得2)DEF S PD PE PF ++△21144ABC S ==△． 等式成立，仅当PD PE PF ==，此时P 为ABC △的中心．17.1.30★★ 证明：四边形四边的平方和不小于对角线的平方和，等号成立仅当该四边形为平行四边形时．解析 如图，设BD 中点为E ，由中线长公式知CBEDA222224AB AD BD AE +=-，222224BC CD BD CE +=-． 又由基本不等式，有22222()()AE CE AE CE AC ++≥≥，故用中线长公式代入，即得四边形四边平方和的不等式．等号成立时A 、E 、C 共线，且E 为AC 中点，即AC 、BD 互相平分，于是四边形ABCD 为一平行四边形．评注 又由托勒密不等式AD BC AB CD AC BD ⋅+⋅⋅≥，知有222()()()AD BC AB CD AC BD ++++≥，等号成立仅当四边形ABCD 为矩形．17.1.31★★ 设面积为1的锐角ABC △三条边分别是a 、b 、c ，动点P 在AC 上，P 在BC 上的射影是Q ，求BPQ △面积的最大值（用a 、b 、c 表示）． 解析 如图，作AR BC ⊥于R ．因为cot BQ PQ C BC +=（常数），于是4cot BQ PQ C ⋅⋅= 22()BC BQ CQ --．CQ R BPA当BR RC ≤，即A B A C ≤或c b ≤时，Q 可为BC 中点，此时BQ CQ =，从而BPQ S △可得最大值为2211sin tan 288cos a C BQ PQ BC C C ⋅⋅=⋅=22224cos 2()ABC a S a b C a b c ⋅==+-△． 当BR RC >，即c b >时，BQ CQ >．当Q 落在R 上，BQ CQ -达到最小，BQ PQ ⋅达到最大．此时BPQ S △的最大值为22222sin cos cos 22ABR c c a c b S B B B a a +-===△．17.1.32★★ 设D 为定线段AB 上一定点，P 为动点，PD 的长度固定，求PA PB +之最大值． 解析 由斯图沃特定理222PA BD PB AD AD BD AB PD AB ⋅+⋅=⋅⋅+⋅，注意等式右端为定值．BD A P又由柯西不等式（或展开后移项配方）有22211()()PA BD PB AD PA PB BD AD ⎛⎫+⋅+⋅+ ⎪⎝⎭≥， 故 2()PA PB +2()ABAD BD AB PD AB BD AD⋅⋅+⋅⋅≤222PD AB AB BD AD⋅=+⋅， 于是PA PB +的最大值是PA ADPB BD=，PD 为APB ∠的平分线． 17.1.33★★ 直角三角形ABC 的直角顶点C 在直角三角形DEF 的斜边DF 上，而E 在ABC △的斜边AB 上，如AC 、BC 、DE 、EF 分别等于10、15、12、12，求凸四边形ABFD 之面积的最大值． 解析 如图，由四边形面积公式，知1115022ABFD AECD EBFC S S S AC DE EF BC =+⋅+⋅=四边形四边形四边形≤．F BCEDA取等号须AC DE ⊥，EF BC ⊥．此时若将点C 位于DF 中点，则由DE 、EF 的值易知E 在ACB ∠平分线上，BC 垂直平分EF ，AC 垂直平分DE ，进而由AC 、BC 之值可知E 在AB 上，满足要求．所以ABFD S 四边形的最大值为150．17.1.34★★ 凸四边形一内点到四个顶点的距离分别是1、2、3、4，求这样的四边形的最大面积．解析 设凸四边形ABCD 内有一点P ， {PA ，PB ，PC ，}{1PD =，2，3，4}， 则ABP BCP CDP DAP ABCD S S S S S =+++△△△△四边形11112222PA PB PB PC PC PD PD PA ⋅+⋅+⋅+⋅≤ 1()()2PA PC PB PD =++ 2125()82PA PC PB PD +++=≤． 等号成立，必须PA PC PB PD +=+，比如1PA =，4PC =，2PB =，3PD =，且A 、P 、C 共线，B 、P 、D 共线，AC BD ⊥，此时，5AC BD ==，ABCD S 四边形取最大值252． 17.1.35★★ 面积为1的三角形ABC 中，三条边长a 、b 、c 满足a b c ≤≤，求a b +的最小值．解析 如图，过C 作直线l AB ∥，又作BE l ⊥于E ，延长一倍至D ，连结CD．则a b AC CD AD +=+≥h BE =．ABlECD显然有22448c h ch +=≥，于是a b +≥仅当A 、C 、D共线，即a b ==，且22c h ==时取等号，此时ABC △为等腰直角三角形．17.1.36★★ 三角形两边长分别等于10和15，证明：这两个边的夹角的角平分线小于12． 解析 如图，不妨设15AB =，10AC =，AD 为角平分线．今在AB 上取一点E ，使E D A C ∥，则易知153255ED BD AB AC BC AB AC ====+， CDB EA故31065ED =⨯=，又由EAD DAC EDA ∠=∠=∠知6AE ED ==，于是12AD AE ED <+=．显然12是最佳上界．17.1.37★★ 正三角形ABC 边长为1，M 、N 、P 分别在BC 、CA 、AB 上（含顶点），AP AN BP BM MC CN +=+=+，求MNP △的最大周长和最小周长． 解析 如图，易知1AP AN BP BM MC CN +=+=+=．CMB PTNS A由PN AP AN +≤等知MNP △的周长3AB BC CA ++=≤，达到最大值时M 、N 、P 分别落在ABC △的三个顶点上．又作BAC ∠的平分线AST ，PT 、NS 分别与AST 垂直于T 、S ，由于30PAS NAS ∠=∠=︒，1222AP AN PT SN PN =+=+≤，故12PN ≥，取等号时PN AS ⊥，且P 、N 是AB 、AC的中点，同理有PM ，12MN ≥，故M NP △的周长32≥，取等号仅当M 、N 、P 为各边之中点时．17.1.38★★ 已知面积为T 的梯形ABCD 满足AB CD ∥，E 为边AB 上一点，且满足EC AD ∥，直线AC 、BD 、DE 交出的三角形面积为t ．当t T 最大时，求ABCD ． 解析 如图，设DE 与AC 交于M ，BD 与AC 交于N ，则MND S t =△．D设CD x =，()AB y x =≥，2ADCE ABCD S xS x y=+梯形，即2A D C E xT S x y =+，2()DMC xTS x y =+△，又设AM CM p ==，MN q =，则y A BA N p q x C DC N p q +===-，解出q y xp y x-=+，即2()2()2()DMN y x xT y x xT t S y x x y x y --==⋅=+++△．于是要2()()y x x x y -+达到最大，即21(1)k k -+达最大，其中1y k x =≥．令1112S k ⎛⎫= ⎪+⎝⎭≤，则222111212122(12)(1)2228k S S S S S S k -+-⎛⎫=-=⋅⋅-⋅= ⎪+⎝⎭≤，仅当212S S =-时达到最大，此时3k =．17.1.39★★ 已知ABC △的边AB 、AC 上分别有点D 、E ，F 在DE 上，求证：ABC S △，并求等号成立的条件．解析 如图，连结CD 、AF ．设1AD k DB =，2AE k CE =，3DFk EF=，则 CB EFDA23111111EFC EFC AFC ADC ABC AFC ADC ABC S S S S kS S S S k k k =⋅⋅=⋅⋅+++△△△△△△△△． 同理321321111DFB ABC S k k S k k k =⋅⋅+++△△． 于是31222221231111(1)(1)(1)44464EFC DFB ABC S S k k k S k k k ⋅=⋅⋅⨯⨯=+++△△△≤． 开方即得结论．取等号时1231k k k ===，即DE 是中位线，F 为DE 中点．17.1.40★★ 已知Rt ABC △中，90C ∠=︒，CD AB ⊥于D ，B ∠的平分线交CD 于E ，交CA 于F ，G 是EF 的中点，连结CG ，设CFG △、BED △、BFC △的周长分别为1C 、2C 、3C ．求123C C C +的最大值． ADGF EB C解析 易知1902CFB ABC BED CEF ∠=︒-∠=∠=∠，可得CE CF =，则CG 平分ECF ∠，而90ECF BCD ABC ∠=︒-∠=∠，所以FCG ECG CBF ABF ∠=∠=∠=∠，可推得CFG △∽BFC △∽BED △．因此13C CF C BF =，23C BEC BF =． 设CFx BF =，因为2BE BF GF =-，2CF GF BF =，所以 22121212BE GF CF x BF BF BF ⎛⎫=-⋅=-⋅=- ⎪⎝⎭． 因此，221212333199(12)2488C C C C CF BE x x x C C C BF BF +⎛⎫=+=+=+-=--+ ⎪⎝⎭≤，所以，当14x =，即4CF BF =时，123C C C +有最大值98． 17.1.41★★ BE 、CF 是ABC △的中线，且BE CF ⊥，设AC b =，()AB c c b =>． （1）求BC 之长（用b 、c 表示）；（2）若ABC △存在，求bc的范围． 解析 （1）设BE 交CF 于G ，则G 为ABC △的重心，故2GF GC =，2GE BG =，设G E x =，GF y =，因FGB △、EGC △、GBC △为直角三角形，于是有：CB EGFA22222222214,414,444.x y b y x c x y BC ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩①②③由①+②得222215()()4x y b c +=+，由③得 2221()5BC b c =+，即BC =（2）如果ABC △存在，则 AB AC BC AB AC +>>-， 于是有：0)c b c b c b ⎧+>⎪⎪⎨⎪-<>>⎪⎩从而2222221()(),51()().5c b b c c b b c ⎧+>+⎪⎪⎨⎪-<+⎪⎩④⑤不等式④恒成立；由不等式⑤得： 241040b b c c ⎛⎫⎛⎫-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解之得：122bc<<． 由于0c b >>，结合不等式⑤的解，得： 112bc<<． 所以，当112bc<<时，ABC △存在． 17.1.42★★ ABC △中，点D 、E 、F 分别在BC 、CA 、AB 上，求证：1min(,,)4AFE BFD CED ABC S S S S △△△△≤，并求等号成立的条件． 解析 如图，222A F EB F DDCA B C A B CAB S S S AF AE BF BD CD CE AF BF BD CD CE EA S S S AB AC AB BC BC CA AB BC AC ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅△△△△△△． CD B EFA易知221()4AF BF AF BF AB AF BF ⋅⋅=+≤，仅当F 为AB 中点时取等号，同理2BD CD BC ⋅，214CE EA AC ⋅≤，于是记min(,,)AFE BFD CED S S S S =△△△，则33164AFE BFD DCE ABCABC ABC ABC S S S S S S S S ⋅⋅△△△△△△△≤≤． 所以14ABC S S △≤，取等号时仅当D 、E 、F 为各边中点．17.1.43★★★ 已知：锐角ABC △中，角平分线AD 、中线BM 、高CH 交于一点P ，证明：45BAC ∠>︒． 解析 如图，若45BAC ∠︒≤，则由于90ACB ∠<︒，得45ABC ∠>︒，故A C B C >，AH BH >．MQPCDBHNA作边AB 上的中线CN ，交BM 于Q ，易知N 在AH 内，于是12AH HP NQ AC CP QC =<=，故在直角三角形AHC 中，60BAC ∠>︒，矛盾，于是45BAC ∠>︒．17.1.44★★★ 证明托勒密定理和托勒密不等式：对于凸四边形ABCD ，AB CD AD BC AC BD ⋅+⋅⋅≥，等号成立仅当A 、B 、C 、D 共圆．解析 如图，今在AB 或延长线上取一点M ，在AD 或延长线上取一点N ，使2A B A M A C A D A N ⋅==⋅，连结MC 、NC 、MN ．易知ABC △∽ACM △，故AC MC BC AB =⋅，同理，ACNC CD AD=⋅，又ABD △∽ANM △，故2AM BD AC MN BD AD AD AB=⋅=⋅．由于MN CM CN +≤，上几式代入，得2BD AC AC ACBC CD AD AB AB AD⋅⋅+⋅≤， 去分母，即得托勒密不等式．等式成立的条件是M 、C 、N 共线，此时 180ABC ADC ACM ACN ∠+∠=∠+∠=︒， 即A 、B 、C 、D 共圆．D NCMB A17.1.45★★★ 边长为1的正方形内部或边界上有n 个点，则必有两点距离(3)n -=，1(4)n =．解析 如图(a)，先说明一个结果：ABC △中AD 为角平分线，AA '是AD 的反向延长，则由90A AB A AC ''∠=∠>︒，得A B AB '>，A C AC '>．(a)CDBAA'先考虑3n =的情形，假定P 、Q 、R 三点在正方形ABCD （边长1）内或边上．若P 在内，则可用QPR ∠角平分线反向延长，交到正方形某边或顶点为P '，这样P QR '△的每边都不小于PQR △的相应边．于是P 、Q 、R 三点最终都被“调”到正方形ABCD 的边或顶点上．再通过平移，必能使某点落在正方形的顶点上，其余点若在正方形内，再按上述办法继续调，最终三个顶点都落在正方形边界上，且其中至少有一个点的正方形的顶点．不妨设P 落在A 的位置，若Q 在AD 或AB 上，则1PQ <≤于是由对称性，可设Q 在CD 上，而R 在BC 上．如图(b)．若AQ >(b)CRB QD A2DQ，1CQ<，同理1CR<，RQ综上所述结论成立．以下讨论4n=的情形．由于正方形内或边上最远两点距离是正方形对角线长度，故正方形ABCD（边长1）中四点P、Q、R、S中任两点距离如四点构成凸四边形PQRS，不妨设90S∠︒≥，则2222PS SR PR+≤≤，所以PS、SR中有一个1≤．如四点中S位于PQR△内或边上，不妨设12090PSR∠︒>︒≥，同理得min(,)1PS PS<．17.1.46★★★设ABC△三边长分别为a、b、c，D、E分别在AB、AC上，且DE平分ABC△的面积，求DE的最值（用a、b、c表示）．解析如图，设CF、BH为中线．HECBDFA设AD x=，AE y=，则由12ADE ABCS S=△△，有12xy bc=．又由余弦定理，222222cos()2(1cos)()(1cos) DE x y xy A x y xy A x y bc A=+-=-+-=-+-．因(1cos)bc A-为常数，故DE的大小取决于||x y-．由于xy为常数，故x y-是x的增函数．当||x y-取最大值，x需最大或最小，x最大为AB c=（这时y取最小值2b），最小为2c （这时y取最大值b）．因此DE的最大值是AB、AC中短边上的中线．比如当c b≥时，DE．记()f x x y=-，若()0f c≥，02cf⎛⎫⎪⎝⎭≤，则x y=可取到，于是当122cb≤≤时，DE的最=当12cb<或2cb>时，比如2c b>时，x总不会小于y，此时2cx=时，||x y-最小，DE就是CF，即为AB、AC中长边上的中线，所以在2c b>的前提下，DE最小值是．2b c >时可以类推． 17.1.47★★ 在Rt ABC △中，D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 的中点，H 为斜边AB 的高的垂足，G 是DH 的中点．设O 为AB 上的任一点，求证：EOF ∠取最大的角便是EGF ∠．F NB HGDOAEC解析 连结CH ，则HF 为Rt CHB △斜边BC 上的中线，故12HF BC FB ==． D 、E 分别为AB 、AC 中点，故DE ==∥12BC ，所以DE HF =，ADE ABC FHB ∠=∠=∠，从而EDG FHG ∠=∠．又DG GH =，故EDG △≌FHG △． 于是有EG GF =，EGD FGH ∠=∠．延长EG 至N ，使GN EG =，连结HN ，易知FGH △≌NGH △． 从而FH HN =．结合GF GN =知GH 为线段FN 的垂直平分线．设O 为AB 上任一异于G 的点，则OF ON =，且易知ON OF OE =>（若O 在G 的左边，OF OE >，O 在G 的右边，则OE OF >）．从而 OFG ONG OEM ∠=∠∠≤，在OEM △与MGF △中，EMO ∠与FMG ∠为对顶角，于是有： EOF EOM MGF ∠=∠∠≤（等号当且仅当点O 与点G 重合时取到）． 这就证明了EOF ∠取最大角时便是EGF ∠．17.1.48★★★ 设四边形四边依次为a 、b 、c 、d ，则其面积S 不大于)d 其中2a b c dp +++=．取到最大值时，仅当四边形内接于圆．解析 如图，连结AC 、BD ，交于O ，AOB θ∠=，则由四边形的余弦定理（见题13.1.7），得cbda O D CBA22222cos b d a c AC BD θ+--=⋅，又42sin ABCD S AC BD θ=⋅⋅四边形，两式平方后相加，得2222222164()ABCD S AC BD b d a c =⋅-+--四边形，即ABCD S 四边形 由托勒密不等式（参见题17．1．44），有AC BD ac bd ⋅+≤，故ABCD S 四边形==.由托勒密定理知，仅当ABCD 内接于圆时，面积取最大值. 17.1.49★★★中，D 、E 分别是边BC 、AB 上的点，且123∠=∠=∠．如果ABC △、EBD △、ADC △的周长依次为m 、1m 、2m ，求证：1254m m m +≤. 321EA解析因为23∠=∠，所以ED AC ∥，EBD △∽ABC △，1m BDm BC=；又13∠=∠，所以ADC △∽BAC △，2m AC m BC=，设A C b =，BC a =，由A D C △∽BAC △得22AC b DC BC a ==，222b a b BD a a a -=-=，这样，由2212m BD a b m BC a -==，2m AC b m BC a ==，可得2221221551244m m a b b b b b m a a a a a +-⎛⎫⎛⎫=+=-++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤.当12b a =，即2BC AC =时，等号成立．17．1．50★★★为ABC △内一点，过O 引三条边的平行线DE BC ∥，FG CA ∥，HI AB ∥．D 、E 、F 、G 、H ，I 为各边上的点（如图），记1S 为六边形DGHEFJ 的面积，2S 为ABC △的面积．证明：1223S S ≥.O E CFI BD G HA解析 可以从DGO △、OHE △，OIF △的面积与ABC △的面积关系入手． 设BC a =，CA b =，AB c =，FI x =，EH y =，DG z =.易知OIF △∽HOE △∽GDO △∽ABC △，所以，z OD BI c a a ==，y OE FCb a a==， 由此可得1x y z IF FC BIa b c a++++==. 由柯西不等式知： 222222221133OIF OEH OGD S S S x y z x y z S a b c a b c ++⎛⎫=++++= ⎪⎝⎭△△△≥，从而223OHAG OEFC OIBD S S S S ++四边形四边形四边形≤.而四边形OHAG 、OECF 、OIBD 均为平行四边形，所以213AHG CEF BDI S S S S ++△△≤，即1223S S ≥.17.1.51★★★直角三角形ABC 中，1BC =，90C ∠=︒，30A ∠=︒，P 、Q 、R 分别在AB 、BC 、CA 上，求()max , , PQ QR RP 的最小值．解析如图，猜想最小值是当PQR △为正三角形时取到．为求此值，不妨设图中的PQR△为正三角形．作QD AC ∥，S 在AB 上．当S 在AP 上时1302PSQ PRQ ∠=︒=∠，故S 、P ，Q 至R 等距，S 在BP 上亦然．P SACQB于是S R R Q =，SR RQ =，RQ =，而显见SQ +，故37R Q =当37CQ =时，RQ．若能证明对一般的动点P 、Q 、R ，有()max , , PQ QR RP 问题就解决了．用反证法，假定PQ ，QR，RP <设ABC △的费马点为F （图中未画出），则120BFA AFC CFB ∠=∠=∠=︒，设FA a =，FB b =，FC c =，则由余弦定理，知2222223 , 1. ,4 a c ac b c bc a b ab ++=++=⎧++=⎪⎨⎪⎩①②③①-②，得()()1b c a b c -++=， ②-③，得()()2a b a b c -++=，故a b c >>，22a b b c -=-，32a b c =-，代入②得 2222331b c bc b c bc +-==++，于是224b bc =，2b c =，4a c =，代入上式得c，b =，a =，a b c ++=()12ABC APFR CRPQ BPFQ S S S S PR FA RQ FC PQ FB ==++⋅+⋅+⋅△≤)a b c <++=，矛盾！ 因此()max , , PQ QR RP. 评注PQR △实为费马点的等角共扼点的垂足三角形．a b c ++其实也等于(CD =，ABD △为向外作的正三角形．17.1.52★★★证明：若a 、b 、c 能构成三角形的三边长，则1a b +、1b c +、1c a+也能．又若a 、b 、c 构成锐角三角形三边长，则1a b +、1b c +、1c a+呢? 解析 不妨设a ≥b ≥c >0，问题归结为：若b c a +>，则111a b c a b c+>+++．证明如下： 111122a b c a b c b c +>+++++ 1112222b c b c b c>+=+++． 当a 、b 、c 构成锐角三角形时，1a b +、1b c +、1c a+也构成锐角三角形，证明如下(仍设a ≥b ≥c >0)：由于()()()()22112c a a b c a a b +++++≥，下证()()()221a b c a b c >+++即可，此等价于()222b c a bc ab ca +>+++，由于()2222222b c b c bc a bc a bc +=++>+>+，又()()()()2b c b cb c a b c a b a c +=++>+=+，两式相加即得结论．17.1.53★★★点D 、E 、F 分别在BC 、CA 、AB 上，若分别记AEF S △、BFD S △、CED S △为1S 、2S 、3S，证明：DEF S △≥AD 、BE 、CF 共点时等号成立．B D CEFA解析 设1AF BF λ=，2BD CD λ=，3CEAE λ=，则 ()()111311ABC S Sλλλ=++△， ()()222111ABC S S λλλ=++△， ()()332311ABC S S λλλ=++△，所以123DEF ABC S S S S S =---△△()()()()()()()()()123213213123111111111ABCS λλλλλλλλλλλλ⎡⎤=⋅+++-+-+-+⎣⎦+++△ ()()()1231231111ABCSλλλλλλ+=+++△． 又有()()()1231232322123111ABC S S S S λλλλλλ=+++△， 故 223123123DEF ABC DEF ABCABC S S S S S S S S S S S ⎛⎫⋅=⋅⎪⎝⎭△△△△△ ()212312314λλλλλλ+=≥，于是命题得证．仅当1231λλλ=时取等号，由塞瓦逆定理知，此时必有AD 、BE 、CF 共点． 17.1.54★★★已知定角()XOY θ=∠内有一定点P ，动直线l 过P ，交X O Y ∠两边于M 、N ，求OM ON +之最小值(假定POX α=∠，POY β=∠，PO d =)． 解析 如图，由面积得MON MOP NOPS S S =+△△△，即s i n s i n OMO N O M O P O N O Pθαβ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅，此式可化为sin sin sin ON OM dαβθ+=． βαPYNOK MX用柯西不等式(或展开后用平均不等式)，可得()()sin sin sin OM ON OM ON d ON OM θαβ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭2≥，故OM ON +的最小值为2sin dθ．等号成立，仅当OM ON =．其与sin sin sin ON OM d αβθ+=联立，可解得)sin sin dOM βθ=，)sin sin d ON αθ=．又作PK OY ∥，与OX 交于K ，则sin sin dOK βθ=⋅，OK OM <，这样的M 、N 的确存在．17.1.55★★★★已知锐角三角形ABC ，D 、E 、F 分别是BC 、CA 、AB 上的动点，求证：222DE EF FD ++达到最小时，满足GD BC ⊥、GE AC ⊥、GF AB ⊥，及等价的A B A C B CG F G E G D==，此处G 为DEF △重心，并用ABC △三边及面积表示这个最小值． 解析 如图，先设E 、F 固定，M 为EF 中点，则2222122DE DF MD EF +=+．当MD 达最小时，应有MD BC ⊥，如对三边作处理，便有GD BC ⊥、GE AC ⊥、GF AB ⊥，此时GFD GED S S =△△，sin sin FG FGD GE EGD ⋅=⋅∠∠，故sin sin FG B GE C ⋅=⋅，sin sin FG GEC B=，同理此值为sin GD A ，此即AB AC BCGF GE GD==．CD B GE MFA下证此时的DEF △确实达到三边之平方和最小．先求此值，设GF k AB =⋅，GE k AC =⋅，GD k BC =⋅，则()2222ABC k AB BC CA S ++=△．又2222cos DE GE GD GE GD C =++⋅⋅()2222cos k AC BC AC BC C =++⋅ ()222222k AC BC AB =+-，同理有另两式，加之，得()22222223DE EF FD k AB BC CA ++=++222212ABCS AB BC CA =++△． 下证对于一般的DEF △，有()()222222DEEF FD AB BC CA ++++212ABC S △≥．找到DEF △重心G ，由中线长，易知有()()222222DEEF FD AB BC CA ++++()()2222223FG GD GE AB BC CA =++++()23FG AB GD BC GE CA ⋅+⋅+⋅≥212ABC S △≥．评注 这里用到柯西不等式，不难得出等号成立之条件．此题还包含了另一个问题：三角形内求一点至三边距离平方和最小． 17.1.56★★★已知ABC △，D 、E 分别在BC 、AB 上，AD 、CE 交于O ，记A C O △、EDO △、BED △的面积分别是1S 、2S 、3S ，求3S 的最小值(假定1s 、2s 已知，用1S 、2S 表示之)．解析 如图，若设AEO S S =△，ODC S S =△′，则由简单的比例知S S ⋅′12S S =⋅，又O CBEA12AEC ACDEDC AED S S S AO CO AO CO S EO DO DO EO S S ⋅==⋅=⋅⋅△△△△ AEC ACD AED EDC S S BC ABS S BD BE =⋅=⋅△△△△ 12333ABC S S S S S S S S ++++'==△1233S S S S +++≥231S =+，故3S最小值为2S S S =′，即ED AC ∥．17.1.57★★★已知ABC △三边分别为a 、b 、c ，其中b 、c 确定，D 为BC 中点，ADC θ=∠，求sin θ的最大值(a 不固定，用b 、c 表示)．θCD A解析 易知2222cos a b c bc A =+-，()222212cos 4AD l b c bc A ==++(延长AD 一倍至E 并连CE 即知)．于是()22222sin 4sin ABC bc A S a l θ==△，()2222222222sin sin 1cos 4b c Ab c b c A θ=+-下证此式()222224b c bc+≤．这等价于()()22222222224cos sin bc b c A b c A +-+≥，这可由222b c bc +≥及2cos 0A ≥推出，故sin θ的最大值为222bcb c+，仅当90BAC =∠゜或AB AC =时成立．17.1.58★★★★(费马光行最速原理)光线由A 到B ，在介质分界面l 上折射．设C 为l 上一点，直线AC 、BC 与l 所夹锐角分别为1θ、2θ，又设C ′是l 上另一点．求证：当1v 、2v (光线在两种不同介质中的速度)满足θ2θ1B 1BDCC 'ElA F1122cos cos v v θθ=时必有1212AC BC AC BCv v v v ''+>+． 解析 作点B 关于直线l 的对称点1B ，则有 1B C BC =，1B C ′BC =′， 12DCB DCB θ==∠∠．过A 作CA 的垂线，过1B 作1B C 的垂线，两垂线交于点F ，且与l 分别交于E 、D ．在D E F △中，EF C ⋅′A DF C +⋅′()12C EF C FD B S S ''>+△△()22DEF CEF CDF S S S ==+△△△1EF CA DF CB =⋅+⋅．由正弦定理，得2211cos sin sin cos v EF FDE DF FED v θθ===∠∠， 故 2v A C ⋅′11v B C +⋅′211v AC v B C >⋅+⋅， 即 111212B C B CAC AC v v v v ''+>+， 得1212AC BC AC BC v v v v ''+>+．17.1.59★★★★ABC △内(或边界上)有一点D ，180ADC ABC +=∠∠゜，CD AB a ==，AC b =．a <b <2a ，求ABC ACD S S -△△的最大值(用a 、b 表示，需分情况讨论)．解析 易知90ADC >∠゜．如图，延长AD 至P ，使A P C A B C C D P ==∠∠∠，则C P C D A B ==，且A 、B 、P 、C 共圆，于是四边形ABPC 为等腰梯形，因此ABC ACD APC ACD DCP S S S S S -=-=△△△△△．BCPEDA问题归结为求DCP S △的最大值．当然是希望90DCP =∠゜，这样212DCP S a =△．下面来研究DCP ∠的可取范围，设DCP θ=∠．由于AE CE =，DAC DCA ∠≥∠，因此CD AD ≥． 在ACP△中，由等腰三角形CDP 知22b a AD AP -=⋅(见题9.2.3)2222sin 2AD AD DP CD CD DP a a a θ=+⋅+⋅=+⋅≤，即221sin 22b a θ-≤．因为b <2a ，故左式<1，θ总有解，下面讨论之．(1)当1ba<θ可取90゜，此时的最大面积正是212a ； (2)当2ba<时，取22sin 122b a θ=-，则22sin 22b PD a a a θ==-，DCP S △得最大值为2sin cos 22a θθ=．17.1.60★★★★已知：定角60O =∠゜，内有一定点P ，OP 平分O ∠，OP d =，过P 作一动直线交O ∠两边于A 、B (OAB ∠、90OBA ∠≤゜)，过A 、B 分别作OA 、OB 的垂线交于Q ．求四边形AOBQ 面积的最大值，并刻画此时AB 的位置．解析 不妨设OA a =，OB b =，作A D O B ⊥于D ，则c o s 602aB D b a b =-=-゜，2cos ab ABO AB-=∠，同理2cos b a OAB AB-=∠． 由正弦定理，s i n s i n B QA B B A Q Q =∠，或c o s s i n 60B QA BO A B =∠゜，故2b B Q a ⎫=-⎪⎭，2215222422ABQa b a b S BD BQ b a ab ⎫⎫⎛⎫=⋅⋅=--=--⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭△，又O A S a b =△，故)224OBQA S ab a b =--． 下面求出a 与b 之间的关系．由AOB AOP BOP S S S =+△△△，得sin30sin30sin60ad bd ab +=゜゜゜，不妨设d a b ab +=．由此得ab ≥4ab ≥． 又()()()()22222466938ab a b ab a b ab ab ab -+=-+=-=--≤． 于是当2a b ==时，OBQA S一般情况下．当a b =2)，此时AB OP ⊥．17.1.61★★★★ABC △的边BC 内有一点D ，AD BC ⊥，又在BC 上找一点E ，使BE CD=(E 比D 靠近B )，过E 任作一直线，交AB 于F ，交AC 的延长线于G ，求证：BC FG <．解析1 如图(a )，连结BG 、DG ，显然ABC ∠、ACB ∠均为锐角．由梅氏定理，有1BA FG EC AF GE CB ⋅⋅=，于是欲证结论变成求证1BA EC AF GE ⋅<，或BF GE CEAF CE-<． 作GH BC ⊥于H ，连结AE 、AH ，注意左边为BEG DCG DHG AHG AEG AEG AEG AEG S S S S CH EH CE GE CES S S S CE CE CE --=<===<△△△△△△△△． 于是结论成立．(b)(a)ME D CGNBFAHC DE BF A解析2 如图(b )，作FM 、GN 与BC 垂直，垂足为M 、N ．由梅氏定理知1AG CE BFGC BE AF ⋅⋅=， 用AG AC AF AB >及CE BDBE CD=代入，得。
