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(DP)
j = 1, 2, …, n i = 1, 2, …, m
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对偶规划的性质和原理
定理2.0 (对称性） 对偶规划的对偶规划是原规划
定理2.1 (弱对偶定理） 若 x, y 分别为(LP)和(DP)的可行解，则 cx ≤ yb
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推论(无界性) 若(LP)具有无界解，则(DP)无可行解。
原问题
对偶问题
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对偶问题的定义
对称形式：互为对偶 (LP) max z = c x s.t. Ax ≤ b x ≥0 (DP) min w = y b s.t. y A ≥ c y≥0
注意： x为列向量, y为行向量。
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原问题的最优单纯形表中关于对偶问题 的最优解的信息：
(LP) max z = cx s.t. Ax ≤ b x≥0
注：反之则不一定成立。 (DP)无可行解，对应(LP)或有无 界解，或无可行解
定理2.2 (最优性定理) 若x*, y*分别(LP)和(DP)的可行解，且 cx* = y*b, 那么x*, y*分别为(LP)和(DP)的最优解。
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定理2.3 (强对偶定理)
若(LP)和(DP)均可行，那么(LP)和(DP)均有最优解， 且最优值相等。
检验数行
经过若干次迭代
cB cB cB xB xB b B-1b xB I cN xN B-1N 0 xS B-1
检验数行
0
cN -cBB-1N
- cBB-1
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当单纯形表为最优表时，检验数行为： (cB, cN, 0) - cBB-1(B, N, I) = (0, cN - cBB-1N, -cBB-1) ≤ 0 令 y=cBB-1, 易看出 yA ≥ c y≥0 又因为 w = yb = cBB-1b = z 根据后面的强对偶理论知 cBB-1 为对偶问题的 最优解。而cBB-1就是最优单纯形表中对应于 松弛变量的检验数的负值。
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§4. 对偶单纯形法
基本思想 算法过程 算例
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基本思想
cB cB cB xB xB b B-1b xB I 0 cN xN B-1N cN -cBB-1N 0 xS B-1 -cBB-1
检验数行
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单纯形算法
从满足 B
1 1
b 0 的基解入手，在保持
B b0 的 条 件 下 寻 找 满 足
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非对称形式的对偶规划
原问题（对偶问题）
max z = cx
对偶问题（原问题）
min w = yb
n 个变量
xj ≥ 0 xj ≤ 0
n 个约束
a1jy1 + a2jy2 + … + a2jym ≥ cj a1jy1 + a2jy2 + … + a2jym ≤ cj
xj 无约束 m 个约束
ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn ≤ bi ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn ≥ bi ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn = bi
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例： 已知线性规划 max z = x1 + x2 s.t. -x1 + x2 + x3 2 -2x1 + x2 - x3 1 x1, x2 x3 0 试用对偶理论证明该线性规划无最优 解。
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解：
min w = 2y1 + y2 s.t. - y1 - 2y2 2 y1 + y2 1 y1 - y2 0 y1 , y 2 0
a1jy1 + a2jy2 + … + a2jym = cj m 个变量
yi ≥ 0 yi ≤ 0 yi 无约束
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举列说明： 设原规划中第一个约束为等式： a11x1 + … + a1nxn = b1 那么，这个等式与下面两个不等式等价 a11x1 + … + a1nxn b1 a11x1 + … + a1nxn b1
cB cN 0
cB
cB
xB
xB
b
B-1b≥0
xB
I 0
xN
B-1N cN - cBB-1N
xS
B-1 - cBB-1 ≤ 0
检验数行
称满足 c cB B1 A 0 的基解为对偶可行解。 对偶单 纯形算法就是从对偶可行解出发， 从一个对偶可 行解调整到另一个对偶可行解， 直至找到基可行 解。
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max z = 1500x1 + 2500x2 s.t. 3x1 + 2x2 ≤ 65 2x1 + x2 ≤ 40 3x2 ≤ 75 x1, x2 ≥ 0
min w = 65y1 + 40y2 + 75y3 s.t. 3y1 + 2y2 ≥1500 2y1 + y2 + 3y3 ≥ 2500 y1, y2, y3 ≥ 0
3
产品甲 设备A 设备B 设备C 利润（元/件） 3 2 0 1500
产品乙 2 1 3 2500
设备能力 （h） 65 40 75
设变量xi为第i种（甲、乙）产品的生产 件数（i＝1, 2）
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max z =1500x1 + 2500x2
s.t.
3x1 + 2x2 ≤ 65
2x1 + x2 ≤ 40 3x2 ≤ 75 x 1, x 2 ≥ 0
定理2.5
原问题单纯型表的检验数行对应对偶问题的一个基解
cB cB cB xB xB b B-1b xB I 0 cN xN B-1N cN -cBB-1N 0 xS B-1 - cBB-1
检验数行
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例2.3： 已知线性规划 max z = 50x1 + 100x2 s.t. x1 + x2 300 2x1 + x2 400 x2 250 x1, x2 0 的最优解为 x1* = 50, x2* = 250，求出该 线性规划对偶问题的最优解。
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这样，原规划模型可以写成
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此时已转化为对称形式，直接写出对偶 规划
这里，把y1看作是 y1 = y1’ - y1’’，于是 y1 没有非负限制。
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例2.1 写出右 边线性规划问 题的对偶问题。
变成第一个 约束条件的 系数
最小化问题：
m in z x1 x2 x3 x1 x2 2 x3 25 x1 2 x2 x3 2 x1 x2 x3 3 x1 , x2 0
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§2. 对偶问题的基本性质
(LP) Max z = j=1,2,…,n cj xj s.t. j=1,2,…,n aij xj bi , i = 1, 2, …, m xj 0, j = 1, 2, …, n Min w = i=1,2,…,m bi yi s.t. i=1,2,…,m aij yi cj , yi 0,
系数变成约束 条件右侧值
变成目标函 数的系数
最小化问题的对偶问题：
m ax w 25 y1 2 y2 3 y3
反过来，由下 往上也是一样 的。
y1 y2 y3 1 y1 2 y2 y3 1 2 y1 y2 y3 1 y1 , y2 0
max z = cx s.t. Axs.t. yA ≥ c y≥0
标准化 max z = cx + 0xs s.t. Ax + Ixs = b x, xs ≥ 0
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（标准化）原问题的初始单纯形表
cB cB 0 xB xS b b xB B cB cN xN N cN 0 xS I 0
运筹学 第二章
对偶理论与及灵敏度分析
Dual Theory and Sensitivity Analysis
1
本章内容重点
线性规划的对偶问题概念、
理论及经济意义 线性规划的对偶单纯形法 线性规划的灵敏度分析
2
§1.线性规划对偶问题
对偶问题的提出
例1.1:某工厂拥有A、B、C三种类型的设 备，生产甲、乙两种产品。每件产品在 生产中需要占用的设备机时数，每件产 品可以获得的利润以及三种设备可利用 的时数如下表所示：
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解： x1* + x2* = 300 y1* 0, 2x1* + x2* < 400 y2* = 0, x2* = 250 y3* 0; x1* > 0 y1* + 2y2* = 50, x2* > 0 y1* + y2* + y3* = 100. 所以， y1* = 50, y2* = 0, y3* = 50.
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例2.2： max z = 50x1 + 100x2 s.t. x1 + x2 ≤ 300 2x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250 x 1, x 2 ≥ 0 加松弛变量得标准形式： max z = 50x1 + 100x2 s.t. x1 + x2 + x3 = 300 2x1 + x2 + x4 = 400 x2 + x5 = 250 x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0
定理2.4 (互补松弛定理)
若X*,Y*为最优解，Xs,Ys为原问题和对偶问题的松弛 变量，则有YsX*=0,Y*Xs=0 也即，在(LP)和(DP)的最优解中： (1) 如果对应某一约束的对偶变量取值非零，则该约 束取严格等式； (2) 如果某一约束取严格不等式，则其对应的对偶变 量必取零。 22
