2014-2015学年高三数学总复习必修4教学课件：1章 阶段复习课

α＋cos 2
α2－1＝m22－1.]
(2)[解] ∵cos(α－75°)＝－13＜0，且 α 为第四象限角，
∴sin(α－75°)＝－ 1－cos2α－75°
＝－
1－－132＝－2 3 2，
∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝2
2 3.
1．例 3(2)条件不变，求 cos(255°－α)的值．
sin2α－75°＋cos2α－75°＝1，
由csoinsαα－－7755°°＝－5，
解得sinα－75°＝－52626， 或
cosα－75°＝
26 26
sinα－75°＝5 2626，
(舍)
cosα－75°＝－
26 26 .
所以sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝5
(1)1 [cos－siαntπa－nα7π＋α＝cos αstainnαπ＋α＝cossαin·tαan α＝ssiinn αα＝ 1.]
(2)[解] 原式＝[－sinα＋－1c8o0s°α]·c·soisn1α80°＋α ＝sinα＋1s8in0°αccoossα180°＋α ＝－ssininααc－oscαos α＝1.
[探究问题] 1．利用诱导公式化简 sin(kπ＋α)(其中 k∈Z)时，化简结果与 k 是否有关？ 提示：有关．因为k是奇数还是偶数不确定． 当k是奇数时，即k＝2n＋1(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α； 当k是偶数时，即k＝2n(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin α.
明确三角函数式化简的原则和方向 1切化弦，统一名. 2用诱导公式，统一角. 3用因式分解将式子变形，化为最简.

3
第二十八页，共四十九页。
2、函数(hánshù)y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的性质.
( 1 ) 对 称 轴 ： xk,kZ.
k 2
( 2 ) 对 称 中 心 : ( ,0),kZ.
(3)单调增区间： 解 不 等 式 2 k≤ x ≤ 2 k,k Z ,得 。
2
2
(4)单调减区间： 解 不 等 式 2 k≤ x ≤ 3 2 k,k Z ,得 。
则 sin
21sin2
-1
1cos2 cos
第十页，共四十九页。
(2).六个诱导(yòudǎo)公式
第十一页，共四十九页。
※记忆 方法： (jìyì)
奇变偶不变，符号看象限．
第十二页，共四十九页。
1、已知sin()1,(,0),
23
2
则tan 2 2
2 、 s in 2 ( x ) s in 2 ( x )1
B．f(x)的图象关于原点对称
D．f(x)的最大值为 2
解析 f(x)＝2sin xcos x＝sin 2x 是奇函数，因此关于原点对称， B 项正确； T＝22π＝π，C 项错； f(x)＝sin 2x≤1，D 项错； π4<x<π2⇒π2<2x<π，所以 y＝sin 2x 在π4，π2上递减，A 项错．
变换:
方法1:(按 ,ωA , 顺序变换)
y=sinx
向左>0 (向右<0) 平移||个单位
y=sin(x+)
横坐标变为原来(yuánlái)的1/倍
纵坐标不变
y=sin(x+)
纵坐标变为原来(yuánlái)的A倍
横坐标不变

数学 ·必修4(A)
第十七页，编辑于星期五：十一点 四分。
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已知函数 f(x)＝2sin2x－π6＋a，a 为常数． (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)求函数 f(x)的单调递增区间； (3)若 x∈0，π2时，f(x)的最小值为－2，求 a 的值． 思路点拨： 利用公式T＝|2ωπ|求周期 →
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三、三角函数的图象及变换 三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函 数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图 象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨 论函数的有关性质．具体要求： (1)用“五点法”作 y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，确定五个关 键点的方法是分别令 ωx＋φ＝0，π2，π，32π，2π.
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解析：设∠POQ＝θ，则 θ＝π3.又设 Q(x，y)，则 x＝cos π3＝
12，y＝sin
π3＝
3 2.
答案：A
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二、同角三角函数的基本关系与诱导公式 同角三角函数的基本关系和诱导公式是三角恒等变形的主 要依据，主要应用方向是三角函数式的化简、求值和证明．常 用以下方法技巧： (1)化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三 角函数化为弦，再化简变形． (2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有 时可将三角函数名称都化为正切，再化简变形．

13 2
4
D
)
A、 52 13
B、 72 13
C、 172 26
D、 72 26
解 ∵ s： i2 nco 2s 1 ,而 co s12| sin | 5 ,
13
13
又 ∵ ( 3,2)s ,i n 0 故 si n 5
2
13
cos ( )coscossi nsin
4
4
4
12 2(5) 2172 13 2 13 2 26
解：设该扇形 的的 弧圆 度， 心 数半 角 为径 r,弧为 长l， 为则
周长l： 2rar2r6 面积S： 1lr1ar2 2
22 求得 a1或a4
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第二部分 三角函数的公式
1、三角函数的定义 2、同角三角函数关系式 3、诱导公式 4、和差倍角公式
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题型一：借助坐标 例：复习卷第1、4、7题
B
A
7、已知 A向 B （ 4， 3量 ）A ，D （ 3， 1） ,点 A（ 1， 2），
则线 B段 的 D 中点坐标 ）为（
A、 1， 1 B、 1， 1 C、 2， 1 D、 2， 3
2
2
2
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第三十二页，编辑于星期一：十九点 二十六分。
（5）辅助角公式
例 six ： nco xs2( 2sixn 2coxs)
（ 2 sin2xcosco2sxsin)
4
4
2sinx( )
4
若sinx与cosx前面的系数是1：1，提取 2
例 six ： n 3co x s2(1sinx 3cosx)

3
6
第19页/共34页
在
第
四
象
限c，o s
(
)
4
2
5
A 则si n (3 )的 值 是 2
A. 3 B. 3 C. 3 D. 4
55
55
第20页/共34页
（1.4）知识小结
1、正弦、余弦函数的图象与性质
y=sinx
y=cosx
y
y
图
1
1
象
2
-1
o
2
3 2
2 x
o
2 -1 2
sin( k3600) sin
cos( k3600) cos
tan( k3600) tan
4、三角函数线
第10页/共34页
y P
A
MO
x
T
y T
M O Ax
P 第11页/共34页
yT P
O MA x
y
MA
O
x
P T
练习 已知角 的终边过点 P12,5 ，
求 的三个三角函数值.
解：由已知可得：
1
横坐标伸长(0 1 )或缩短( 1 )到原来的 倍
纵坐标不变
y sin(x )
纵坐标伸长(A>1 )或缩短( 0<A<1 )到原来的A倍 y Asin(x )
第二种变换： 横坐标不变
1
y sin x 横坐标伸长(0 1 )或缩短( 1 )到原来的 倍 y sin x
纵坐标不变
2 cos 代入原式
2 cos cos 4 cos 2 cos 2
2 cos2 2 3cos2 3
sin cos
方法2 : 分子分母同除以cos2

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2．已知 f(α)＝sin2πsi－nα－·πc＋osα2π·t－anα－·tαan＋－3ππ＋α. (1)化简 f(α)； (2)若 f(α)＝18，且π4<α<π2，求 cos α－sin α 的值； (3)若 α＝－474π，求 f( Nhomakorabea)的值．
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[解] (1)f(α)＝s－ins2iαn·cαos－α·ttaann αα＝sin α·cos α. (2)由 f(α)＝sin α·cos α＝18可知，(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin α·cos α＋ sin2α ＝1－2sin α·cos α＝1－2×18＝34. 又∵π4<α<π2，∴cos α<sin α， 即 cos α－sin α<0，∴cos α－sin α＝－ 23.
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[解] (1)依题意，点 P 到原点 O 的距离为|PO|＝ － 32＋y2，∴sin α＝yr＝ 3＋y y2＝ 43y.
∵y≠0，∴9＋3y2＝16，∴y2＝73， ∴y＝± 321. ∴点 P 在第二或第三象限．
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当点 P 在第二象限时，y＝ 321，cos α＝xr＝－34，tan α＝－ 37. 当点 P 在第三象限时，y＝－ 321，cos α＝xr＝－34， tan α＝ 37.
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(1)25或－25
(2)x2kπ≤x≤2kπ＋π3，k∈Z

[(1)r＝|OP|＝ －4m2＋3m2＝5|m|.
当 m>0 时，sin α＝yr＝53mm＝35，cos α＝xr＝－54mm＝－45，∴2sin α＋cos α
＝25.
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当 m<0 时，sin α＝yr＝－3m5m＝－35，cos α＝xr＝－－45mm＝45，∴2sin α＋cos

4.如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点 ( 4 , 0 ) 中心对称，
3
那么|φ|的最小值为_________.
【解析】由y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点( 4 , 中0 ) 心对称，
3
知 f ( 4 )＝即0，
3
3cos(所8以)＝0，
3
所以＝ k＋ － 8|φk| 的Z最． 小值为
所以f(x)为偶函数．
3.若角α和角β的终边关于x轴对称，则角α可以用角β表示
为( )
A.2kπ+β (k∈Z)
B.2kπ-β (k∈Z)
C.kπ+β (k∈Z)
D.kπ-β (k∈Z)
【解析】选B.因为角α和角β的终边关于x轴对称，所以
α+β=2kπ (k∈Z)．所以α=2kπ-β (k∈Z)．
【典例1】(1)15°的弧度是( )
A.
B. 3
C.
D. 5
12
12
6
12
(2)已知角α的终边与单位圆交于点 ( 3 , 1 )，则sin α的值
22
为( )
A.－ 3
2
B. － 1
2
C. 3
2
D. 1
2
(3)设0≤α<2π，若 sin 3cos，则α的取值范围是
()
A. ( , )
23
8＋ ＝ k＋ kZ，
3
2
.
6
答案：
6
5.设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一
条对称轴是直线 x ＝ .
8
(1)求φ.
(2)求函数y＝f(x)的单调递增区间．

余弦： 余余 正正 符号反 正弦： 正余 余正 符号同
tan( ) tan( )
tan tan 1 tan tan tan tan 1 tan tan
分式结构
上同下反
11
（4）二倍角的正余弦公式
sin 2 2sin cos 2 2 cos 2 cos sin 2 2 cos 1 2 1 2 sin
解：r (3) 2 (4) 2 5 sin a y 4 x 3 cos a r 5 r 5 y 4 4 tan a x 3 3
答案：D
9
2、三角函数的公式
（1）同角三角函数关系式
sin co s 1
2 2
sin tan cos
2019-2-22 2019-2-22 7
1、三角函数的定义
1、任意角的三角函数定义
r x y
2
2
y sin a r
sina
y
x cos a r
cos a
y
y tan a x
tan a
y
2、任意角的三角函数在各个象限的符号
+
+
–
x
+
–
xபைடு நூலகம்
+
–
o
–
–
o
+
+
o
–
8
x
例：
1、如果角a的终边经过点P0(-3,-4)， 求sin a, cos a, tan a
例：扇形的周长为6cm,面积为2cm² ，求该 扇形圆心角所对的弧度数。
解：设该扇形的圆心角 的弧度数为，半径为r, 弧长为l，则 周长：l 2r ar 2r 6 1 1 2 面积：S lr ar 2 2 2 求得a 1或a 4