2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的应用举例(教学设计)

2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的应用举例疱工巧解牛知识•巧学一、平面几何中的向量方法用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了.用向量法(即以向量和向量的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论)证明几何问题需把点、线、面等几何要素直接归为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些结果翻译成点、线、面的相应结果，可简单地表述为：〔形到向量〕——〔向量的运算〕——〔向量和数到形〕.学法一得用向量法证明几何问题的“三步曲”：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系.二、向量在物理中的应用向量还具有强烈的物理学实际背景.物理学中有两种基本量：标量和矢量.矢量遍布在物理学的很多分支，它包括力、位移、速度、加速度、动量等.虽然，物理学中的矢量与数学中的向量并不完全相同，例如力，它除了有方向和大小，还有作用点；数学中的向量则只有方向和大小，没有作用点.但是，这并不影响向量在物理学中的作用.学法一得向量在物理中的应用，实际上就是先把物理问题转化成数学问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象.在学习过程中，一要体会如何把物理问题转化成数学问题，即如何将物理量之间的关系抽象成数学模型，二要体会如何利用数学模型的解来解释物理现象.典题•热题知识点一用向量方法证明几何问题例1 已知AD、BE、CF分别是△ABC的三条高，求证：AD、BE、CF相交于同一点.思路分析：本题主要考查向量在几何中的应用.通常情况下，用向量作工具证明几何问题时，往往要先设一些向量作为基本向量，我们假设两条高BE、CF交于点H，再证明AD与BC垂直即可说明结论成立.图2-5-2证明：如图2-5-2，AD、BE、CF是△ABC的三条高，设BE、CF交于点H,=a，=b，=h，则=h-a，CH=h-b，=b-a.∵BH ⊥AC ，CH ⊥AB ， ∴(h -a )·b =0，(h -b )·a =0. ∴(h -a )·b =(h -b )·a . 化简得h ·(b -a )=0. ∴AH ⊥BC .∴AH 与AD 重合，即AD 、BE 、CF 交于一点.例2 在△ABC 中，点D 和E 分别在边BC 与AC 上，且BD=31BC ，CE=31CA ，AD 与BE 交于点R ，证明RD=71AD ，RE=74BE.图2-5-3解：设=e 1，=e 2.取{e 1，e 2}为基底，下面我们将用基底表示出来. 设=λ，=μ.由于=+31=e 1+31(e 2-e 1)=32e 1+31e 2， BE =BA +32AC =-e 1+32e 2，∴AR =λAD =32λe 1+31λe 2， ①=μ=-μe 1+32μe 2.=+=(1-μ)e 1+32μe 2， ②根据唯一性，由①和②可得32λ=1-μ，μλ3231=.解得λ=76，μ=73.于是AR=76AD ，RD=71AD ；BR=73BE ，RE=74BE.巧解提示：由A 、D 、R 三点共线，可设=λ+(1-λ)=32λ+(1-λ). ③ 由B 、E 、R 三点共线，又设CR =μCB +(1-μ)CE =μCB +31(1-μ)CA . ④根据唯一性，由③④可得λ=76，μ=74.将之代入③④得CR =76CD +71CA ，CR =74CB +73CE ， 即6176:71==RA DR ，4374:73==RE BR . ∴RD=71AD ，RE=74BE .例 3 如图2-5-4所示，在△ABC 中，设AB =a ，AC=b ，AP =c ，AD =λa (0<λ<1)，AE =μb (0<μ<1)，试用向量a 、b 表示c .图2-5-4思路分析：本题实质是平面向量基本定理的应用，因a 、b 不共线，故c 可用a 、b 表示.鉴于图形中三角形较多，所以需要从中找出相关的三角形，利用向量的加法、减法和向量相等的条件求解.事实上，若令λ=μ=21的话，则点P 就成为△ABC 的重心. 解：∵与共线，∴=BE m =m(-)=m(μb -a ). ∴AP =AB +BP =a +m(μb -a )=(1-m)a +mμb . ① 又∥，∴=n =n(-)=n(λa -b ).∴=+=b +n(λa -b )=n λa +(1-n)b . ② 由①②，得(1-m)a +m μb =n λa +(1-n)b . ∵a 、b 不共线，∴⎩⎨⎧-==-,1,1n m n m μλ即⎩⎨⎧=-+=-+.01,01m n m n μλ解之,得m=λμλ--11，n=1-λμμλμλμμ--=--111.将m 、n 代入①式，得c =(1-m)a +mμb =b a λμμμλμμλ--+--1111.知识点二 选择适当的直角坐标系，用坐标法解决有关几何问题例4 已知△ABC 中，∠C 是直角，CA=CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上一点，且AE=2EB ，求证：AD⊥CE.图2-5-5证明：建立如图2-5-5所示的直角坐标系， 设A(a ，0)，则B(0，a)，E(x ，y). ∵D 是BC 的中点，∴D(0，2a ). 又∵AE=2EB，即AE =EB 2，即(x-a ，y)=2(-x ，a-y)， ∴⎩⎨⎧-=-=-.22,2y a y x a x解之,得x=3a ，y=a 32. 要证AD⊥CE，只需证AD 与CE 垂直，即AD ·CE =0.∵AD =(0，2a )-(a ，0)=(-a ，2a )，OE =CE =(a a 32,3)， ∴AD ·CE =03131232322=+-=⨯+⨯-a a a a a a .∴AD ⊥CE ，即AD⊥CE.方法归纳 在未给出点的坐标的题目中，选用坐标法往往要考虑几何图形的特点，如直角三角形、正方形等用坐标法有时比较方便.例5 如图2-5-6，四边形AOBE 是菱形，其对角线OE 在x 轴上.在OB 的延长线上取一点C ，AC 交BE 于点D.若∠AOE=60°，BC=m ，菱形的边长为l ，求点D 的坐标.图2-5-6思路分析：欲求点A 、C 的坐标，必须要用∠EOA=60°，∠EOC=300°.这是解此题的出发点. 解：∵OA =(|OA |cos60°，|OA |sin60°)=(l l 23,2)，OC =(|OC |cos300°，|OC |si n300°)=(2)(3,2m l m l +-+)， ∴AC =OC -OA =()2(23,2m l m +-). 设OD =(x ，y)，∵AD =OD -OA =(x-21，y-l 23)且AC 与AD 共线，∴)2(232322m l l y ml x +--=-，即)2(3322m l ly m l x +--=-. ① 又OA 与DE 共线，DE =(l-x ，-y)，故lyl x l 232-=-，即31y l x =-.将y=3(x-l)代入①，得)(2)2(m l m l l x ++=，)(232m l l y +-=.∴D 点的坐标是()(2)2(m l m l l ++，)(232m l l +-).例6 如图2-5-7，在Rt△ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以A 为中点，问PQ 与BC 的夹角θ取何值时，CQ BP •的值最大?并求出这个最大值.图2-5-7思路分析：本小题主要考查向量的概念、平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力.注意图形与坐标系的转化及向量的联系. 解：以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图2-5-8所示的平面直角坐标系.图2-5-8设|AB|=c，|AC|=b，则A(0，0)、B(c，0)、C(0，b)，且|PQ|=2a，|BC|=a.设点P的坐标为(x，y)，则Q(-x，-y)，∴BP=(x-c，y)，CQ=(-x，-y-b)，BC=(-c，b)，PQ=(-2x，-2y). ∴BP·CQ=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x2+y2)+cx-by.∵cosθ=2||||a bycxBCPQ -=，∴cx-by=a2cosθ.∴BP·CQ=-a2+a2cosθ.故当cosθ=1，即θ=0°(PQ与BC方向相同)时，BP·CQ最大，其最大值为0.方法归纳对于平面几何问题，除了用综合法和解析法对其证明外，还可引入向量，通过向量的线性运算或建立坐标系通过坐标运算去求解.知识点三向量在物理中的应用例7 一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1 000 km到达B地，然后向C地飞行.设C 地恰好在A地的南偏西60°，并且A、C两地相距2 000 km，求飞机从B地到C地的位移.图2-5-9解：如图2-5-9所示，设A在东西基线和南北基线的交点处.依题意，的方向是北偏西60°，||=1 000 km；的方向是南偏西60°，|AC|=2 000 km，所以∠BAC=60°.过点B作东西基线的垂线，交AC于点D，则△ABD为正三角形.所以BD=CD=1 000 km ，∠CBD=∠BCD=21∠BDA=30°. 所以∠ABC=90°. BC=ACsin60°=2 000×3100023= (km)，|BC |=31000 (km). 所以，飞机从B 地到C 地的位移大小是31000 km ，方向是南偏西30°.例8 已知力F 与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50 N ，一个质量为8 kg 的木块受力F 的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20 m.问力F 和摩擦力f 所做的功分别为多少?(g=10 m/s 2)图2-5-10解：如图2-5-10所示，设木块的位移为s ， 则F ·s =|F ||s |cos30°=50×20×350023= (J). 将力F 分解，它在铅垂方向上的分力F 1的大小为 |F 1|=|F |sin30°=50×21=25(N)， 所以，摩擦力f 的大小为|f |=|μ(G -F 1)|=(80-25)×0.02=1.1(N). 因此f ·s =|f ||s |cos180°=1.1×20×(-1)=-22(J). 即F 和f 所做的功分别是3500 J 和-22 J.问题•探究 方案设计探究问题 向量的运算是用向量解决问题的重要途径，特别是数量积，它涉及平行、垂直等重要的位置关系.我们通过学习平面向量的坐标表示和坐标运算，以及平面向量的数量积，提出怎样用向量坐标表示向量数量积的问题，那么这些问题具体如何解决，该怎样应用？ 探究思路:将数量积的坐标形式用于表示距离、角、垂直、平行等关系.探究结论:对于平面向量的数量积，我们有结论：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，将其进一步推广就有：①设a =(x ，y)，a 2=|a |2=x 2+y 2或|a |=22y x +；②设A 、B 两点的坐标分别为(x A ，y A )、(x B ，y B )，|AB|=22)()(B A B A y y x x -+-,这就是平面内两点间的距离公式；③设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，向量a 、b 的夹角为θ，cosθ=222122212121yy x x y y x x +•++；④设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则a ⊥b 的充要条件是a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0. 在学习时，一方面要注意与前面的知识进行联系，要熟悉向量的数量积的定义以及它的有关性质；另一方面，坐标运算是向量运算的一种重要的形式，因此要熟练掌握向量的数量积的坐标表示，注意有关的结论，并能熟练地应用它们解决有关的问题.在学习过程中，注重养成独立思考钻研的习惯和能力，初步了解对立统一的辩证思想，灵活处理向量与三角函数、不等式、解析几何、立体几何相结合的题目. 思维发散探究问题 已知a 、b 是两个非零向量，且满足|a |=|b |=|a -b |，试探究求a 与a +b 夹角的方法. 探究过程:基于向量表示上的差异，也就是表示方法上的不同，解本题常见的有三种方法.一是利用向量加减法的几何意义，用数形结合的方法求夹角；二是利用已知条件，找出a 的长度与a ·b 及a 的长度与a +b 长度间的关系.再利用夹角公式求解；三是设出向量a 、b 后再利用夹角公式求解.探究结论:方法一：根据向量加法的几何意义作图，如右图所示.图2-5-11在平面内任取一点O ，作=a ，=b ，以，为邻边作平行四边形OACB. 由于|a |=|b |=|a -b |，所以OACB 为菱形，CO 平分∠AOB，且∠AOB=60°. 所以∠AOC=30°，即a 与a +b 的夹角为30°.方法二：由|a |=|b |，得|a |2=|b |2，又由|b |=|a -b |，得|b |2=|a -b |2=|a |2-2a ·b +|b |2.所以2a ·b =|a |2.而|a +b |2=|a |2+2a ·b +|b |2=3|a |2，所以|a +b |=3|a |.设a 与a +b 的夹角为θ，则有23||3||||21||||||)(cos 22=•+=++•=a a a a b a a b a a θ，所以θ=30°. 方法三：设向量a =(x 1,y 1)，b =(x 2,y 2).由于|a |=|b |，则有x 12+y 12=x 22+y 22. 由|b |=|a -b |,得x 1x 2+y 1y 2=21(x 12+y 12). 则|a +b |2=2(x 12+y 12)+(x 12+y 12)=3(x 12+y 12). 设a 与a +b 的夹角为θ，则有233)(21)(||||)(cos 2121212121212121=+⨯⨯++++=++•=y x y x y x y x b a a b a a θ，所以θ=30°.。

2.5 平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的应用举例一览众山小诱学导入材料：在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.问题：如何从数学的角度解释这种现象？图2-5-1导入：我们把上面的问题抽象为如图2-5-1所示的数学模型.只要分析清楚F 、G 、θ三者之间的关系(其中F 为F 1、F 2的合力)，就得到了问题的数学解释.在这里不妨设|F 1|=|F 2|，由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道|F 1|=2cos 2||θF .通过上面的式子，我们发现：当θ由0°到180°逐渐变大时，2θ由0°到90°逐渐变大，cos 2θ的值由大逐渐变小，因此|F 1|由小逐渐变大，即F 1、F 2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力.温故知新1.什么是向量加法的平行四边形法则和三角形法则？答:平行四边形法则：把这两个向量置于同一起点上，以这两个向量为邻边作平行四边形，从公共顶点出发的对角线所对应的向量就表示这两个向量的和，它适用于不共线的两个向量求和.三角形法则：把两个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量就表示两个向量的和，它适用于任意两个向量作和.2.什么是平面向量的基本定理？答:平面向量的基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a =λ1e 1+λ2e 2.其中不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.3.如何计算向量的数量积？答:已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，把数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b =|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·b =0.百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。

2.5 平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例学 习 目 标核 心 素 养1.掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题．(重点)2.体会向量是处理几何问题、物理问题的重要工具．(重点)3.培养运用向量知识解决实际问题和物理问题的能力．(难点) 1.通过用向量方法解决几何问题，提升学生的数学运算和直观想象素养. 2.通过用向量方法解决物理问题，提升学生的数学抽象、数学建模素养.1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲〞(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译〞成几何关系． 2．向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等．(2)向量的加减法运算表达在力、速度、加速度、位移的合成与分解． (3)动量m v 是向量的数乘运算．(4)功是力F 与所产生的位移s 的数量积．1．平面内四边形ABCD 和点O ，假设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且a ＋c ＝b ＋d ，那么四边形ABCD 为( )A ．菱形B ．梯形C ．矩形D ．平行四边形D [由条件知OA →＋OC →＝OB →＋OD →，那么OA →－OB →＝OD →－OC →，即BA →＝CD →，∴四边形ABCD 为平行四边形．]2．△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，且a ·b ＜0，那么△ABC 的形状为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．不能确定A [由条件知∠BAC 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形．]3．一个物体在大小为6 N 的力F 的作用下产生的位移s 的大小为100 m ，且F 与s 的夹角为60°，那么力F 所做的功W ＝________J.300[W ＝F ·s ＝6×100×cos 60°＝300(J)．]4．三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(x ，y )的合力F 1＋F 2＋F 3＝0，那么F 3的坐标为________．(－5,1)[由F 1＋F 2＋F 3＝0，那么F 3＝－(F 1＋F 2)，∵F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，∴F 1＋F 2＝(5，－1)，即F 3＝(－5,1)．]向量在平面几何中的应用[1．用向量法如何证明平面几何中AB ⊥CD?提示：法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示AB →和CD →；③证明AB →·CD →的值为0；④给出几何结论AB ⊥CD .法二：先求AB →，CD →的坐标，AB →＝(x 1，y 1)，CD →＝(x 2，y 2)，再计算AB →·CD →的值为0，从而得到几何结论AB ⊥CD .2．用向量法如何证明平面几何中AB ∥CD?提示：法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示AB →和CD →；③寻找实数λ，使AB →＝λCD →，即AB →∥CD →；④给出几何结论AB ∥CD .法二：先求AB →，CD →的坐标，AB →＝(x 1，y 1)，CD →＝(x 2，y 2)．利用向量共线的坐标关系x 1y 2－x 2y 1＝0得到AB →∥CD →，再给出几何结论AB ∥CD .以上两种方法，都是建立在A ，B ，C ，D 中任意三点都不共线的基础上，才有AB →∥CD →得到AB ∥CD .【例1】 (1)非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·CA →|AC →|＝12，那么△ABC 的形状是( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形(2)四边形ABCD 是边长为6的正方形，E 为AB 的中点，点F 在BC 上，且BF ∶FC ＝2∶1，AF 与EC 相交于点P ，求四边形APCD 的面积．思路点拨：(1)先由平行四边形法那么分析AB →|AB →|＋ AC→|AC →|的几何意义，由数量积为0推出垂直关系，再由AB →|AB →|·CA →|AC →|＝12求∠BAC ，最后判断△ABC 的形状．(2)先建系设点P 坐标，再根据A ，P ，F 和C ，P ，E 分别共线求点P 坐标，最后求四边形APCD 的面积．(1)C [由⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，得∠A 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC ，设AB →，CA →的夹角为θ，而AB →|AB →|·CA →|AC →|＝cos θ＝12，又θ∈[0，π]，所以∠BAC ＝π－π3＝23π，故△ABC 为等腰三角形．](2)[解] 以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立直角坐标系，如下图，∴A (0,0)，B (6,0)，C (6,6)，D (0,6)， F (6,4)，E (3,0)，设P (x ，y )，AP →＝(x ，y )，AF →＝(6,4)，EP →＝(x －3，y )，EC →＝(3,6)． 由点A ，P ，F 和点C ，P ，E 分别共线， 得⎩⎪⎨⎪⎧4x －6y ＝0，6(x －3)－3y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝3，∴S 四边形APCD ＝S 正方形ABCD －S △AEP －S △CEB ＝36－12×3×3－12×3×6＝452.1．将本例(1)的条件改为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，试判断△ABC 的形状． [解] ∵(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0， ∴(OB →－OC →)·(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝0， ∴CB →·(AB →＋AC →)＝0， ∴(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0， ∴AB →2－AC →2＝0，即|AB →|2－|AC →|2＝0， 所以|AB →|＝|AC →|， ∴△ABC 是等腰三角形．2．将本例(2)的条件“BF ∶FC ＝2∶1〞改为“BF ∶FC ＝1∶1〞，求证：AF ⊥DE . [证明] 建立如下图的平面直角坐标系，那么A (0,0)，B (6,0)，C (6,6)，D (0,6)，那么中点E (3,0)，F (6,3)， ∴AF →＝(6,3)，DE →＝(3，－6)，∴AF →·DE →＝6×3＋3×(－6)＝0， ∴AF →⊥DE →，∴AF ⊥DE .用向量法解决平面几何问题的两种思想(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法那么、运算律或性质计算(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.向量在解析几何中的应用【例2】 点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －6，点R 是直线l 上的一点，假设RA →＝2AP →，求点P 的轨迹方程．思路点拨：[解] 设P (x ，y )，R (x 0，y 0)，那么RA →＝(1,0)－(x 0，y 0)＝(1－x 0，－y 0)， AP →＝(x ，y )－(1,0)＝(x －1，y )．由RA →＝2AP →，得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝2(x －1)，－y 0＝2y .又∵点R 在直线l ：y ＝2x －6上，∴y 0＝2x 0－6，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝2x －2， ①6－2x 0＝2y ， ②由①得x 0＝3－2x ，代入②得6－2(3－2x )＝2y ，整理得y ＝2x ，即为点P 的轨迹方程．用向量方法解决解析几何问题的步骤：一是把解析几何问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原为解析几何问题．[跟进训练]1．△ABC 的三个顶点A (0，－4)，B (4,0)，C (－6,2)，点D ，E ，F 分别为边BC ，CA ，AB 的中点．(1)求直线DE 的方程；(2)求AB 边上的高线CH 所在直线的方程． [解] (1)设M (x ，y )是直线DE 上任意一点， 那么DM →∥DE →，因为点D ，E 分别为边BC ，CA 的中点，所以点D ，E 的坐标分别为D (－1,1)，E (－3，－1)， DM →＝(x ＋1，y －1)，DE →＝(－2，－2)， 所以(－2)(x ＋1)－(－2)(y －1)＝0， 即x －y ＋2＝0为直线DE 的方程．(2)设点N (x ，y )是CH 所在直线上任意一点，那么→⊥AB →，所以→·AB →＝0， 又→＝(x ＋6，y －2)，AB →＝(4,4)，所以4(x ＋6)＋4(y －2)＝0，即x ＋y ＋4＝0为所求直线CH 的方程.平面向量在物理中的应用[1．向量的数量积与功有什么联系？提示：物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积．2．用向量方法解决物理问题的一般步骤是什么？提示：用向量方法解决物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题中．【例3】 (1)一物体在力F 1＝(3，－4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)的共同作用下从点A (1,1)移动到点B (0,5)．在这个过程中三个力的合力所做的功等于________．(2)设作用于同一点的三个力F 1，F 2，F 3处于平衡状态，假设|F 1|＝1，|F 2|＝2，且F 1与F 2的夹角为23π，如下图．①求F 3的大小； ②求F 2与F 3的夹角．思路点拨：(1)求出合力、位移的坐标表示→利用数量积求功(2)①由三个力处于平衡状态用F 1，F 2表示F 3→用向量模的计算公式求F 3的大小②用F 1，F 2表示F 3→构造F 2·F 3→利用夹角公式求解(1)－40 [因为F 1＝(3，－4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，所以合力F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(8，－8)，AB →＝(－1,4)，那么F ·AB →＝－1×8－8×4＝－40，即三个力的合力所做的功为－40.] (2)[解] ①由题意|F 3|＝|F 1＋F 2|，因为|F 1|＝1，|F 2|＝2，且F 1与F 2的夹角为23π，所以|F 3|＝|F 1＋F 2|＝1＋4＋2×1×2×⎝⎛⎭⎫－12＝ 3. ②设F 2与F 3的夹角为θ， 因为F 3＝－(F 1＋F 2)， 所以F 3·F 2＝－F 1·F 2－F 2·F 2， 所以3·2·cos θ＝－1×2×⎝⎛⎭⎫－12－4， 所以cos θ＝－32， 所以θ＝56π.向量在物理中的应用(1)求力向量、速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的平行四边形法那么求解.(2)用向量方法解决物理问题的步骤： ①把物理问题中的相关量用向量表示；②转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决； ③结果还原为物理问题.[跟进训练]2．一条宽为3km 的河，水流速度为2 km/h ，在河两岸有两个码头A ，B ，AB ＝3km ，船在水中最大航速为4 km/h ；问怎样安排航行速度可使该船从A 码头最快到达彼岸B 码头？用时多少？[解] 如下图，设AC →为水流速度，AD →为航行速度，以AC 和AD 为邻边作▱ACED ， 当AE 与AB 重合时能最快到达彼岸．根据题意知AC ⊥AE ， 在Rt △ADE 和▱ACED 中，|DE →|＝|AC →|＝2，|AD →|＝4，∠AED ＝90°， ∴|AE →|＝|AD →|2－|DE →|2＝23，3÷23＝0.5(h)，sin ∠EAD ＝12，∴∠EAD ＝30°.∴船实际航行速度大小为4 km/h ，与水流成120°角时能最快到达B 码头，用时0.5小时.1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．2．用向量解决物理问题一般按如下步骤进行：①转化：把物理问题转化为数学问题；②建模：建立以向量为主体的数学模型；③求解：求出数学模型的相关解；④回归：回到物理现象中，用已获取的数值去解释一些物理现象．1．以下命题正确的是( )A ．假设AB →∥CD →，那么直线AB 与直线CD 平行． B ．假设△ABC 是直角三角形，那么必有CA →·CB →＝0C ．△ABC 中，假设AB →·BC →＋AB →2＝0，那么△ABC 为等边三角形D ．|AB →|＝(x B －x A )2＋(y B －y A )2D [A 错，可能为同一条直线；B 错，直角不一定是∠C ；C 错，由条件可得AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →＝0，∴∠BAC 为直角，即△ABC 为直角三角形，非等边三角形．] 2．过点M (2,3)，且垂直于向量u ＝(2,1)的直线方程为( ) A ．2x ＋y －7＝0 B ．2x ＋y ＋7＝0 C ．x －2y ＋4＝0D ．x －2y －4＝0A [设P (x ，y )是所求直线上任一点，那么MP →⊥u .又MP →＝(x －2，y －3)，所以2(x －2)＋(y －3)＝0，即2x ＋y －7＝0.]3．作用在点A 的三个力f 1＝(3,4)，f 2＝(2，－5)，f 3＝(3,1)，且A (1,1)，那么合力f ＝f 1＋f 2＋f 3的终点坐标为( )A ．(9,1)B ．(1,9)C ．(9,0)D ．(0,9)A [f ＝f 1＋f 2＋f 3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)， 设终点为B (x ，y )，那么(x －1，y －1)＝(8,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝8，y －1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝1，所以终点坐标为(9,1)．]4．△ABC 是直角三角形，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上的一点，且AE ＝2EB .求证：AD ⊥CE .[证明] 以C 为原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系(略)． 设AC ＝a ，那么A (a,0)，B (0，a )， D ⎝⎛⎭⎫0，a 2，C (0,0)，E ⎝⎛⎭⎫13a ，23a . 因为AD →＝⎝⎛⎭⎫－a ，a 2，CE →＝⎝⎛⎭⎫13a ，23a ， 所以AD →·CE →＝－a ·13a ＋a 2·23a ＝0，所以AD →⊥CE →，即AD ⊥CE .word。

学习资料2．5 平面向量应用举例2．5.1平面几何中的向量方法2．5。

2向量在物理中的应用举例内容标准学科素养1.学习用向量方法解决某些简单的平面几何问题。

2。

经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其他一些实际问题的过程.3.体会向量是一种处理几何问题和物理问题的有力工具.提升数学运算应用数学建模发展逻辑推理授课提示：对应学生用书第67页[基础认识］知识点一平面几何中的向量方法阅读教材P109～112，思考并完成以下问题平面几何中的点线关系用向量如何解释?（1）判断两直线(线段）平行，用向量如何判断?提示:常用向量平行的条件．（2)判断两直线(线段）垂直，用向量如何判断？提示：常用向量垂直的条件．(3）求与夹角相关的问题，用向量如何求解？提示：用向量的夹角公式．（4)求线段长度相关的问题,用向量如何求解？提示：用向量的模的概念及公式．问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝（x1，y1），b＝（x2,y2），b≠0.垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0,其中a＝(x1,y1)，b＝(x2,y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cos θ＝错误!(θ为向量a，b的夹角),其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义｜a｜＝a2＝x2＋y2，其中a＝（x,y），a为非零向量思考并完成以下问题（1）力、速度、加速度、位移的合成与分解相当于向量的什么运算？提示：向量的线性运算．(2）力所做的功相当于向量的什么运算？提示:力与位移两个向量的数量积．知识梳理（1)物理学中的许多量,如力、速度、加速度、位移都是向量．(2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法，其运算法则就是向量的三角形法则和平行四边形法则．[自我检测]1．在△ABC中，若(错误!＋错误!）·（错误!－错误!）＝0，则△ABC()A．是正三角形B．是直角三角形C．是等腰三角形D．形状无法确定答案：C2．力F＝(－1，－2）作用于质点P，使P产生的位移为s＝（3,4），则力F对质点P做的功是________．答案：－11授课提示:对应学生用书第68页探究一利用向量求几何度量［教材P109例1]方法步骤：(1）设基底；（2)用基底表示所求向量；(3）求模;（4）得结论．[例1]如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝1,AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．［解析］设错误!＝a,错误!＝b，则错误!＝a＋b，错误!＝a－b.由题意知|a｜＝1，|b｜＝2，｜a－b｜＝2.∴(a－b）2＝｜a－b｜2＝4,即a2－2a·b＋b2＝4。

备课资料一、向量与重心问题假如有两个质点M 1,M 2,它们的质量分别是m 1,m 2,由物理学知识,这两个质点的重心M 在线段M 1M 2上,并且分此线段为与质量成反比例的两部分,即1221m m MM M M =,或m 1M M 1=m 22MM . 现设点M 1、M 2、M,对应的向量分别是r 1、r 2、r ,则上式可以写成m 1(r -r 1)=m 2(r 2-r ).所以212211m m r m r m r ++=,点M 处的质量为m 1+m 2. 现求三个质点的重心问题.三个质点M 1、M 2、M 3的质量分别是m 1、m 2、m 3,所对应的向量分别是r 1、r 2、r 3, 我们可设M 1,M 2的重心在点D 处,该处对应的向量为r D =212211m m r m r m ++,该点的质量为m 1+m 2,然后求点D 与点M 3的重心M 所对应的向量r ,易得r =.321332211m m m r m r m r m ++++ 二、备用习题1.作用于同一点的两个力F 1和F 2，|F 1|=5,|F 2|=3,夹角为60°，则F 1+F 2的大小为_____________.2.一条渔船距对岸为4 km,现正以2 km/h 的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际航程为8 km,求河水的流速.3.在半径为15 cm 的均匀铁板上,挖出一个圆洞,已知圆洞的圆心和铁板中心相距8 cm,圆洞的半径是5 cm,求挖去圆洞后所剩下铁板的重心.4.如图9所示,重力为G 的均匀小球放在倾角为α的斜面上,球被与斜面夹角为θ的木板挡住,球面、木板均光滑,若使球对木板的压力最小,求木板与斜面间夹角θ的大小.图9参考答案:1.72.如图10所示,设AB 表示船垂直于对岸的速度,则AB +BC =AC ,图10知AC 就是渔船实际航行的速度.因为航行的时间为4÷2=2(h),所以在Rt △ABC 中,|AB|=2 km/h,|AC |=8÷2=4 km/h,则|BC|=23 km/h.答:河水的流速为23 km/h. 3.如图11所示,建立平面直角坐标系,两圆的圆心分别为O 1(0,0),O 2(8,0),圆O 2是挖去的圆,不妨设铁板的密度为ρ=1,则小圆的质量m 1=25π,挖去圆洞后,铁板的质量为m 2=(225-25)π=200π,设所求的重心为O 3.图11根据物理学知识,知O 3在直线O 1O 2上,即可设O 3(x 3,0),且满足2113O O O O λ=,其中λ=812002521==m m .由定比分点坐标公式知0=8118813+⨯+x ,解得x 3=-1, 即O 3(-1,0)为挖去圆洞后所剩下铁板的重心.4.对小球的受力分析如图9所示,重力为G ,斜面弹力为N 2(垂直于斜面向上),木板弹力N 1(垂直于木板),其中N 1与N 2的合力的大小恒为|G ′|,方向向上,N 2的方向始终不变,随着木板的转动,N 1的方向始终垂直于木板,N 1的大小在变化,且满足θsin |'|sin ||1G a N =,又|G ′|=|G |,∴|N 1|=.sin sin ||θa G ∴当sinθ取最大值1时,|N 1|min =|G |sinα,此时θ=2π. 2.5.2 向量在物理中的应用举例整体设计教学分析向量与物理学天然相联.向量概念的原型就是物理中的力、速度、位以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰.并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题的认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.用向量研究物理问题的相关知识.(1)力、速度、加速度、位移等既然都是向量,那么它们的合成与分解就是向量的加、减法,运动的叠加亦用到向量的合成;(2)动量是数乘向量;(3)功即是力与所产生位移的数量积.用向量知识研究物理问题的基本思路和方法.①通过抽象、概括,把物理现象转化为与之相关的向量问题;②认真分析物理现象,深刻把握物理量之间的相互关系;③利用向量知识解决这个向量问题,并获得这个向量的解;④利用这个结果,对原物理现象作出合理解释,即用向量知识圆满解决物理问题.教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较,得出抽象的数学模型.例如,物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型.同时,注重向量模型的运用,引导解决现实中的一些物理和几何问题.这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用.三维目标1.通过力的合成与分解的物理模型,速度的合成与分解的物理模型,掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤,明了向量在物理中应用的基本题型,进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识.2.通过对具体问题的探究解决,进一步培养学生的数学应用意识,提高应用数学的能力.体会数学在现实生活中的重要作用.养成善于发现生活中的数学,善于发现物理及其他科目中的数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯.重点难点教学重点:1.运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算.2.归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法.教学难点:将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(章头图引入)章头图中,道路、路标体现了向量与位移、速度、力等物理量之间的密切联系.章引言说明了向量的研究对象及研究方法.那么向量究竟是怎样应用于物理的呢？它就像章头图中的高速公路一样,是一条解决物理问题的高速公路.在学生渴望了解的企盼中,教师展示物理模型,由此展开新课.思路2.(问题引入)你能举出物理中的哪些向量?比如力、位移、速度、加速度等,既有大小又有方向,都是向量,学生很容易就举出来.进一步,你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗?你是怎样解决的？教师由此引导:向量是有广泛应用的数学工具,对向量在物理中的研究,有助于进一步加深对这方面问题的认识.我们可以通过对下面若干问题的研究,体会向量在物理中的重要作用.由此自然地引入新课.应用示例例1 在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗?活动:这个日常生活问题可以抽象为如图1所示的数学模型,引导学生由向量的平行四边形法则,力的平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题.这样物理中力的现象就转化为数学中的向量问题.只要分析清楚F、G、θ三者之间的关系(其中F为F1、F2的合力),就得到了问题的数学解释.图1在教学中要尽可能地采用多媒体,在信息技术的帮助下让学生来动态地观察|F |、|G |、θ之间在变化过程中所产生的相互影响.由学生独立完成本例后,与学生共同探究归纳出向量在物理中的应用的解题步骤,也可以由学生自己完成,还可以用信息技术来验证.用向量解决物理问题的一般步骤是:①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.解:不妨设|F 1|=|F 2|,由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识,可以知道 2cos 2||||||212cos 1θθG F G ⇒= 通过上面的式子,我们发现:当θ由0°到180°逐渐变大时,2θ由0°到90°逐渐变大,cos 2θ的值由大逐渐变小,因此|F 1|由小逐渐变大,即F 1,F 2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力. 点评:本例是日常生活中经常遇到的问题,学生也会有两人共提一个旅行包以及在单杠上做引体向上运动的经验.本例的关键是作出简单的受力分析图,启发学生将物理现象转化成模型,从数学角度进行解释,这就是本例活动中所完成的事情.教学中要充分利用好这个模型,为解决其他物理问题打下基础.得到模型后就可以发现,这是一个很简单的向量问题,这也是向量工具优越性的具体体现.变式训练某人骑摩托车以20 km/h 的速度向西行驶,感到风从正南方向吹来,而当其速度变为40 km/h 时,他又感到风从西南方向吹来,求实际的风向和风速.图2解:如图2所示.设v 1表示20 km/h 的速度,在无风时,此人感到的风速为-v 1,实际的风速为v ,那么此人所感到的风速为v +(-v 1)=v -v 1.令=-v 1,=-2v 1,实际风速为v .∵+=,∴DB =v -v 1,这就是骑车人感受到的从正南方向吹来的风的速度.∵+=,∴=v -2v 1,这就是当车的速度为40 km/h 时,骑车人感受到的风速.由题意得∠DCA=45°,DB ⊥AB,AB=BC,∴△DCA 为等腰三角形,DA=DC,∠DAC=∠DCA=45°.∴DA=DC=2BC=202.∴|v |=202 km/h. 答:实际的风速v 的大小是202 km/h,方向是东南方向.例2 如图3所示,利用这个装置(冲击摆)可测定子弹的速度,设有一砂箱悬挂在两线下端,子弹击中砂箱后,陷入箱内,使砂箱摆至某一高度h.设子弹和砂箱的质量分别为m 和M,求子弹的速度v 的大小.图3解:设v 0为子弹和砂箱相对静止后开始一起运动的速度,由于水平方向上动量守恒,所以m|v |=(M+m)|v 0|. ①由于机械能守恒,所以21(M+m)v 02=(M+m)gh. ② 联立①②解得|v |=.2gh mm M 又因为m 相对于M 很小,所以|v |≈gh mM 2, 即子弹的速度大小约为gh m M 2. 知能训练1.一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2 km/h,则经过3小时,该船实际航程为( )A.215 kmB.6 kmC.84 kmD.8 km图42.如图4,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为 N;若在图示坐标系中,用坐标表示合力F ,则F =___________.3.一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,而该船实际航行的方向与水流方向成30°角,求水流速度与船的实际速度.解答:1.B点评:由于学生还没有学习正弦定理和余弦定理,所以要通过作高来求.2.41 (5,4)图53.如图5所示,设表示水流速度,表示船垂直于对岸的速度,表示船的实际速度,∠AOC=30°,|OB |=5 km/h.因为OACB 为矩形,所以|OA |=|AC |·cot30°=|OB |·cot30°=53≈8.66 km/h, |OC |= 30cos ||=2335=10 km/h. 答:水流速度为8.66 km/h,船的实际速度为10 km/h.点评:转化为数学模型,画出向量图,在直角三角形中解出.课堂小结1.与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤.①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.2.与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型.①力、速度、加速度、位移都是向量;②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减;③)动量mv 是数乘向量,冲量Δt F 也是数乘向量;④功是力F 与位移s 的数量积,即W=F ·s.作业1.课本习题2.5 A 组3、4,B 组1、2.2.归纳总结物理学中哪些地方可用向量.设计感想1.本教案设计的指导思想是:由于本节重在解决两个问题,一是如何把物理问题转化成数学问题,也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型;二是如何用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象.因此本教案设计的重点也就放在怎样让学生探究解决这两个问题上.而把这个探究的重点又放在这两个中的第一个上,也就是引导学生认真分析物理现象、准确把握物理量之间的相互关系.通过抽象、概括,把物理现象转化为与之相关的向量问题,然后利用向量知识解决这个向量问题.2.经历是最好的老师.充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程,这也是学习数学,领悟思想方法的最好载体.学生这种经历的实践活动越多,解决实际问题的方法就越恰当而简捷.教科书中对本节的两个例题的处理方法,都不是先给出解法,而是先进行分析,探索出解题思路,再给出解法,就足以说明这一点.3.突出数形结合的思想.教科书例题都是先画图进行分析的,本教案的设计中也突出了这一点.让学生在活动的时候就先想到画图,并在这个活动中,体会数形结合的应用,体会数学具有广泛的应用,体会向量这个工具的优越性.。

2.5.1平面几何中地向量方法教学目地：1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何地问题地”三步曲”；2.明确平面几何图形中地有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量地线性运算及数量积表示.；3.让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中地优越性.教学重点：用向量方法解决实际问题地基本方法：向量法解决几何问题地“三步曲”. 教学难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题.教学过程：一、复习引入：1. 两个向量地数量积：. cos |||| θ=⋅2. 平面两向量数量积地坐标表示:.2121y y x x +=⋅3. 向量平行与垂直地判定:.0//1221=-⇔y x y x .02121=+⇔⊥y y x x4. 平面内两点间地距离公式： 221221)()(||y y x x AB -+-=5. 求模：=22y x +=221221)()(y y x x -+-= 二、讲解新课：例 1. 平行四边形是表示向量加法与减法地几何模型.如图，, , AD AB DB AD AB AC -=+=你能发现平行四边形对角线地长度与两条邻边长度之间地关系吗？ 思考1：如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？练习1. 已知AC 为⊙O 地一条直径，∠ABC 为圆周角.求证：∠明）思考2：运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？用向量方法解决平面几何问题地“三步曲”：(1>建立平面几何与向量地联系，用向量表示问题中涉及地几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2>通过向量运算，研究几何元素之间地关系，如距离、夹角等问题；(3>把运算结果“翻译”成几何关系.例2．如图，□ ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边地中点，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间地关系吗？三、课堂小结用向量方法解决平面几何地“三步曲”： (1>为向量问题； (2>通过向量运算，研究几何元素之间地关系，如距离、夹角等问题；(3>把运算结果“翻译”成几何关系.四、课后作业习题2.5 A 组第1题 2.5.2向量在物理中地应用举例教学目地：1.通过力地合成与分解模型、速度地合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题地步骤，明了向量在物理中应用地基本题型，进一步加深对所学向量地概念和向量运算地认识；2.通过对具体问题地探究解决，进一步培养学生地数学应用意识，提高应用数学地能力，体会数学在现实生活中地作用.教学重点：运用向量地有关知识对物理中地力地作用、速度分解进行相关分析来计算. 教学难点：将物理中有关矢量地问题转化为数学中向量地问题.教学过程：一、复习引入：1. 讲解上节作业题..,2,,62:),0,1(的轨迹方程求点若上的一点是直线点直线已知P l R x y l A =-=2. 你能掌握物理中地哪些矢量？向量运算地三角形法则与平行四边形法则是什么？二、讲解新课：例1. 在日常生活中，你是否有这样地经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂地夹角越小越省力. 你能从数学地角度解释这种形象吗？探究1.设两人拉力分别为1F ，2F ，其夹角为θ ，旅行包地重力为.(1>θ为何值时，|1F |最小，最小值是多少?(2>|1F |能等于|G |吗?为什么?探究2:你能总结用向量解决物理问题地一般步骤吗?用向量解决物理问题地一般步骤是：(1>问题地转化：把物理问题转化为数学问题；(2>模型地建立：建立以向量为主体地数学模型；(3>参数地获得：求出数学模型地有关解——理论参数值；(4>问题地答案：回到问题地初始状态，解决相关物理现象.例2. 如图，一条河地两岸平行，河地宽度d ＝500 m ，一艘船从A 处出发到河对岸.已知船地速度|1v |＝10 km/h ，水流速度|2v |＝2 km/h ，问行驶航程最短时，所用时间是多少<精确到0.1 min ）？思考3、: “行驶最短航程”是什么意思？怎样才能使航程最短？三、课堂小结向量解决物理问题地一般步骤:(1>问题地转化：把物理问题转化为数学问题；(2>模型地建立：建立以向量为主体地数学模型；(3>参数地获得：求出数学模型地有关解——理论参数值；(4>问题地答案：回到问题地初始状态，解决相关物理现象.四、课后作业习题2.5 A 组第4题申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途.。

2.5.2向量在物理中的应用举例一、教学分析向量与物理学密切相联. 向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念. 向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题的认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.二、教学目的：1.通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤，明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识；2.通过对具体问题的探究解决，进一步培养学生的数学应用意识，提高应用数学的能力，体会数学在现实生活中的作用.三、重难点教学重点：运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析来计算.教学难点：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.四、教学过程：新课导入：探究（一）：向量在力学中的应用思考1：如图，用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个重量是10N的灯具，根据力的平衡理论，每根绳子的拉力与灯具的重力具有什么关系？每根绳子的拉力是多少？思考2：两个人共提一个旅行包，或在单杠上做引体向上运动，根据生活经验，两只手臂的夹角大小与所耗力气的大小有什么关系？探究（二）：向量在运动学中的应用思考1：一条河的两岸平行，一艘船从A处出发到河对岸，已知船在静水中的速度|v1|＝10㎞/h，水流速度|v2|＝2㎞/h，如果船垂直向对岸驶去，那么船的实际速度v的大小是多少？思考2：如果船沿与上游河岸成60°方向行驶，那么船的实际速度v的大小是多少？思考3：船应沿什么方向行驶，才能使航程最短？思考4：如果河的宽度d＝500m，那么船行驶到对岸至少要几分钟？五、课堂总结：利用向量解决物理问题的基本步骤：①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.六、课后作业1. 阅读教材P.111到P.112;2. P.113 A组4 B组2感谢您的阅读，祝您生活愉快。