高三之含参不等式恒成立问题的求解策略

含参不等式恒成立问题的求解策略不等式是数学中的基础知识，它涉及到关系的研究，常用于数学等学科的计算。

它的解决方案可以用来帮助解决复杂的问题，或者提出观点并影响结果。

今天，我们将讨论如何解决含参不等式恒成立问题。

首先，让我们来讨论这种问题，即不等式含参恒成立问题，是指一个不等式变量以及一些参考变量满足不等式恒成立（比如x+y<5，当x=3，y=2时恒成立）的问题。

解决这类问题的思路主要有三种，分别是数学解法、程序求解法和证明方法。

1.学解法。

数学解法是常用的解决含参不等式恒成立问题的方法，通常需要先将输入的参数值代入不等式，然后利用求解方程的方法求解问题。

例如，当给定不等式为x+y<5，求解x=3,y=2时恒成立，则可以分别代入x=3和y=2，得到x+y<5，因此恒成立。

2.序求解法。

程序求解法是更加实用的方法，特别是在需要处理大量数据时。

它需要把不等式构造成一个程序，然后通过程序求解。

例如，当给定不等式为x+y<5时，可以用程序编写一段代码，把输入的参数代入不等式，并判断结果是否满足不等式，从而解决问题。

3.明方法。

证明方法是解决含参不等式恒成立的另外一种方法，即通过证明不等式恒成立来解决问题。

证明方法需要对不等式或者相关公式进行证明，以达到满足不等式恒成立的目的。

例如，当给定不等式为x+y<5时，可以通过证明x=3,y=2时，x+y也小于5，从而解决问题。

从以上内容可以看出，解决含参不等式恒成立的问题的策略有三种，分别是数学解法、程序求解法和证明方法。

其中，数学解法是最常用的方法，而程序求解法和证明方法则能够更加实用地解决复杂的问题。

因此在解决含参不等式恒成立问题时，要根据问题的复杂程度选择适当的策略，从而有效解决问题。

综上所述，解决含参不等式恒成立问题的策略有三种，分别是数学解法、程序求解法和证明方法，根据不等式的复杂程度来选择适当的策略，从而有效求解问题。

把握这些解决含参不等式恒成立问题的策略，能够帮助我们有效解决复杂的问题，从而更快提出观点，影响结果。

含参数不等式恒成立问题的解题策略一：分离参数，转化为求函数最值法 例1（2008安徽高考理20）设函数f(x)=1(01)ln x x x x>≠且 ① 求函数f(x)的单调区间②已知12a xx >对任意的x ∈(0,1)成立，求实数a 的取值范围.解：①略，易知f(x)的单调增区间为（0，1e）,单调减区间为（1e，1）和（1，＋∞）③对12a xx >两边取自然对数，得1xln2>alnx 两边同时除以lnx ，分离出参数a ，得a>ln 2ln x x（ln 0x <） 由①知,当0<x<1时，f(x)＝1ln x x 的最大值为f(1e)＝e -∴y=ln 2ln x x的最大值为－e ·ln2 ∴a>-e ·ln2即可保证原式恒成立.所以实数a 的取值范围是（－e ·ln2,+ ∞） 例2：（2008上海理19）已知函数f(x)＝2x -12x ①若f(x)=2 求x 的值②若2t f(2t)+mf(t)≥0对t ∈［1,2］恒成立，求实数m 的取值范围. 解：①略②当t ∈［1,2］时，原不等式等价于22112(2)(2)022t t tt t m -+-≥ 即2t （2t +1)2t 0m +≥对t ∈［1,2］恒成立 ∴m ≥－（22t +1）对t ∈［1,2］恒成立 ∵t ∈［1,2］ ∴-(22t +1) ∈［-17,－5］ ∴m ≥－5所以实数m 的取值范围是［－5，＋∞］二：分离参数，转化为求函数确界法.例3 已知函数f(x)=x 3- 2ax 2+ax+b 在区间（0,1］上单调递增，求实数a 的取值范围.解：依题意知：f ＇(x)=3x 2-ax+a ≥0在区间（0,1］上恒成立. 即a(x-1) ≤3x 2在（0,1］上恒成立. 当x=1时，上式恒成立.当x ≠1时，a ≥231x x -在（0，1）内恒成立（*）设g(x)=2313(1)2(01)11x x x x x ⎡⎤=-++<<⎢⎥--⎣⎦ 显然函数g(x)在（0,1）内不存在最大值，但存在上确界M 上＝0 ∴a ≥0即可保证（*）式恒成立，所以a 的取值范围是［0，＋∞）注：若函数f(x)在开区间（m,n ）内无最大值，但有上确界M 上，则 g(a)>f(x)在（m,n ）内恒成立g(a)≥M 上g(a) ≥ f(x)在（m,n ）内恒成立g(a)≥M 上 若函数f(x)在开区间（m,n ）内无最小值，但有下确界M 下，则g(a)＜f(x)在（m,n ）内恒成立g(a)≤M 下 g(a) ≤ f(x)在（m,n ）内恒成立g(a)≤M 下三:不分离参数，直接求最值法例4.（2008江苏14）设函数f(x)=ax 3-3x+1(x ∈R)，若对于任意x ∈［－1,1］，都有f(x) ≥0成立，求实数a 的值。

含参数不等式恒成立问题的求解策略一、 分离参数法例1 已知函数a x f x x 421)(++=在(]1,∞-上有意义，试求a 的取值范围。

分析：函数()x f 在(]1,∞-上有意义，等价于0421≥++x x 在区间(]1,∞-上恒成立，这里参数的系数04>x ，故可以分离参数。

【解析】 函数()x f 在(]1,∞-上有意义，等价于0421≥++x x 在区间(]1,∞-上恒成立，即(]1,,2141∞-∈⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥x a x x 恒成立，记(),2141⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x g(]1,∞-∈x ，因此问题又等价于()x g a ≥在(]1,∞-∈x 恒成立。

()x g 在(]1,∞-上是增函数，因此()x g 的最大值为()1g ，()x g a ≥在(]1,∞-∈x 上恒成立等价于()()431m ax -==≥g x g a ，于是a 的取值范围为43-≥a 。

【能力提升】()x f a ≥恒成立等价于()()x f a x f a ≤≥;m ax 恒成立等价于()m in x f a ≤。

利用分离参数法求解不等式恒成立问题，前提条件是参数较易从变量中分离出来，基本的解题程序一般分三步：（1）分离参数，得到()x f a ≥（或()x f a ≤）；（2）求函数最值，得到()m x f =m ax （或()n x f =m in ）；（3）极端原理，即m a ≥（或n a ≤），把不等式中恒成立问题转化为求函数最值问题。

二、 主参换位法例2 设不等式()1122->-x m x 对满足2||≤m 的一切实数m ，都成立，求实数x 的取值范围。

【解析】设()()[]2,2,1212-∈-+--=m x m x m f ，则原不等式等价于()0>m f 对一切[]2,2-∈m 恒成立。

由于()m f 是关于m 的一次函数或常值函数，故有⎩⎨⎧>>-,0)2(,0)2(f f 即()()⎪⎩⎪⎨⎧>-+->-+--,01212,0121222x x x x 解得213217+<<-x于是，使原不等式在2||≤m 时恒成立的x 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-213,217。

含参不等式恒成立问题的求解策略本文旨在探讨不等式恒成立问题的求解策略。

不等式恒成立问题是一类有参数的约束优化问题，主要包括最小值问题、最大值问题和最优问题。

文中首先对不等式恒成立问题及其特点进行了简要介绍，然后主要从三个方面介绍研究求解不等式恒成立问题的策略，这三个方面分别是构造松弛优化问题、计算非线性规划问题的全局解和结合模拟退火算法构建求解策略。

具体来讲，构造松弛优化问题是通过对不等式恒成立问题的约束条件加以松弛，把形式转换为优化问题。

计算非线性规划问题的全局解，则是采用一类全局优化算法，如模拟退火算法、遗传算法等，以期解决不等式恒成立问题。

最后，结合模拟退火算法构建的求解策略是为了改进模拟退火算法的收敛性，使其能够更有效地解决不等式恒成立问题。

本文所提出的求解策略可以有效解决不等式恒成立问题。

不等式恒成立问题在数学和工程中得到广泛应用，是许多优化问题的重要组成部分。

它的出现深刻改变了优化理论和应用研究的研究方向，是很多复杂问题的突破口。

文中还分析了不等式恒成立问题的解的稳定性，给出了不等式恒成立问题的可行性图解法的一般步骤，以帮助理解不等式恒成立问题的问题特性，并介绍了不等式恒成立问题的求解算法。

本文针对不等式恒成立问题提出了一系列求解策略。

这些策略不仅有助于理解不等式恒成立问题，还有助于求解复杂的不等式恒成立问题。

然而，本文所提出的求解策略还有待进一步完善，未来可以考虑采用多种求解策略，如计算机仿真法、概率论方法、全局优化算法、勒让德方法等，以期获得更好的求解效果。

综上所述，本文探讨了不等式恒成立问题的求解策略。

文中首先介绍了不等式恒成立问题的特点，然后介绍了不等式恒成立问题求解的三种策略，在此基础上，介绍了结合模拟退火算法构建的求解策略。

本文的研究成果可以为不等式恒成立问题的研究提供有效的参考。

含参不等式恒成立问题的求解策略摘要：含参不等式恒成立的求解问题一直是高中数学教学的难点，综合性较强，该部分知识的得分率较低，基于此，笔者以实例的角度出发，提出几点相关求解的建议，希望能够帮助学生更深刻的理解该问题.关键词：不等式；含参；恒成立；策略含参不等式在给定范围内永远成立的问题称之为恒成立问题，具体表述为：对，有恒成立，其中函数或含有参数.在课改之后，作为选修内容的不等式修订为必修一的内容，可以看出新课改后对不等式知识模块的重视，然而在实际教学过程中发现，含参不等式恒成立问题是学生学习的难点，为了解决这一问题，笔者提出两步走策略：第一步：解题思想对于含有参不等式恒成立问题，首先需要对原不等式进行变形，整理为两类：一类是参数分离，另一类是参数混合；对于前者而言，主导思想考虑最值为切入点，对于后者而言，最值、导数与图像为切入点.第二步：解题方法1分参法分参法是学生使用较为频繁的方法之一，具体方法为：通过变形将原不等式进行参数分离，得到形如或的形式，将其等价为或，即通过寻找函数的最值，来确定参数的取值范围.例1 对于，不等式恒成立，求实数的取值范围.分析参数为一次函数系数，首先可以对不等式进行参数分离，参数在等号一侧，另一侧为复合函数，还以与导数相结合，确定复合函数的范围.解由于，不等式恒成立，所以当时，不等式恒成立，即恒成立.令，对函数进行求导，可知函数在处取到最大值，即，故实数的取值范围为 .例2 对于，不等式恒成立，求实数的取值范围.分析由于不等式中参数为幂函数的形式，所以采用“取对数”的方式进行分参.解不等式两边同时取对数，得到，由于，所以，进行分离参数得，恒成立，即恒成立.令，对函数进行求导，可知函数在处取到最大值，即，故实数的取值范围为 .例 3 函数，若不等式恒成立，求实数的取值范围.分析不等式参数为二次函数二次项系数，且为单系数，容易进行分参，采用分参法，且含有对数函数，所以的范围为 .解由于，不等式恒成立，所以当时，不等式恒成立，即恒成立.令，对函数进行求导，再令，对函数进行求导得，又因为当时，函数为零，所以函数在区间内恒大于零，内恒小于零，所以函数在处，取到最大值，即，故实数的取值范围为 .通过例1、例2、例3可以感受到使用分离参数解决含参不等式恒成立问题是一种便捷的方法，当把握了分参取最值的思想，就能够有正确的解题思路.分参后对于函数求值域是求解的关键，所以需要掌握求值域的方法；例1与例2在解题过程中，用到了一次求导，但例3则是典型的二次求导，并结合了零点的确认；对比例1和例2可以看出，当不等式中参数为幂函数时，可以采用等号两边同时取对数的方式.2构造函数构造函数法是解决恒成立问题的另一种常用方法，当参数不容易分离时，经常选择这种方法.具体方法为：通过移项、合并等变形将原不等式进行整理，得到形如的形式，构造新的函数，等价为讨论的最值，即或，即通过寻找函数的最值，来确定参数的取值范围.例4 当且时，不等式恒成立，试求出的取值范围.分析试想使用分参的方法，新得到的函数由两个分式函数组成，每个函数含有对数，进行求导相对而言稍微复杂，变换思路采用构造函数的方式，寻找某些式子恒正或恒负，进而简化函数.解通过对不等式整理得，再进行通分变形得到，由于的正负可以根据的取值范围进行确定，所以令，对函数进行求导得 .接下来对参数进行分类讨论：当，在上，，函数单调递增，所以，与题意不相符.当，函数有零点（），根据根与系数的关系可得，函数在上单调递增，，与题意不相符.当，在上，恒成立，所以函数在上单调递减，且，符合题意.综上所述，参数的取值范围为 .从例4可以看出，变形后新构成的函数正负的讨论与导数单调性、零点以及二次函数根的分布有密切关系，所以掌握好这些知识点将是解决此类不等式恒成立问题的关键.例5 当，不等式恒成立，求实数的取值范围.分析选择构造函数，由于考虑到例4对参数分类讨论存在不符合题意的情况，所以考虑采用缩参的方法将探讨的范围缩小，减少讨论的情况.解对不等式整理得，令，对函数进行求导得 .由于，且不等式恒成立，所以存在，满足，即，将参数的范围缩小为 .接下来，对参数的范围进行验证.当时，有成立，那么，结合经典不等式，可以得 .综上所述，实数的取值范围为 .在例5中，通过构造函数求参数方程，在求解的过程中，使用了缩参的思想，以及借用了经典不等式.结合例4、例5可以看出，构造函数的方法求参数方程，重点在于对复杂函数的分析能力.以上两种方法是解决含参不等式主观题目的常用方法，对于有些题目而言，两种方法都可以求解，但是在计算过程中，有所差异，那么应该如何选择恰当的方法，可以参考“端点效应”，即对于，不等式恒成立，确定参数范围的问题，分为两种情况：当时，满足，则选择构造函数方法，反之选择分离参数.需要强调的是，端点效应仅仅作为解决问题的参考，并不强制使用某一种方法。

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三招搞定高考题含参不等式恒成立问题已知不等式恒成立，求参数的取值范围问题是中学数学的重要内容之一，是函数、方程、不等式交汇处一个较为活跃的知识点。

这类问题以含参不等式“恒成立”为载体，镶嵌函数、方程、不等式等内容，综合性强，思想方法深刻，能力要求较高，因而成为近几年高考试题中的热点。

为了对含参不等式恒成立问题的解题方法有较全面的认识，本文以2010年高考试题的解法为例，对此类问题的解题策略作归纳和提炼，供大家参考。

一分离参数，转化为求函数的最值对于变量和参数可分离的不等式，可将参数分离出来，先求出含变量一边的式子的最值，再由此推出参数的取值范围。

例1（2010年全国卷1理）已知函数（Ⅰ）若，求的取值范围（Ⅱ）证明:解析：（Ⅰ），由得，令，于是，问题化为求函数的最大值。

，当时，；当时，。

当时，有最大值，（Ⅱ）略。

评析：含参不等式分离参数后的形式因题、因分法而异，因此解决含参不等式恒成立问题需把握住下述结论：（1）恒成立；（2）恒成立；（3）恒成立。

（4）恒成立。

二分离参数，转化为求函数的确界如果分离参数后相应的函数不存在最值，为了能够利用分离参数思想解决含参不等式恒成立问题，我们利用如下的函数确界的概念：函数的上确界为，记作；函数的下确界为，记作。

于是，有如下结论：（1）若无最大值，而有上确界，这时要使恒成立，只需。

（2）若无最小值，而有下确界，这时要使恒成立，只需。

例2（2010年湖南卷理）已知函数，对任意的，恒有（Ⅰ）证明：当时，（Ⅱ）若对满足题设条件的任意，，不等式恒成立，求的最小值。

解析：（Ⅰ）略。

（Ⅱ）由即恒成立，得从而，等号当且仅当，即时成立（1）当时，，令，则，则因为函数（）的最大值不存在，但易知其上确界为（2）当时，或0，，从而恒成立综合（1）（2）得的最小值为例3（2010年全国卷Ⅱ理）设函数（Ⅰ）若，求的单调区间。

（Ⅱ）若时，，求的取值范围。

解析：（Ⅱ）由对所有的成立，可得（1）当时，；（2）当时，，设，问题转化为求的最小值或下确界。

含参数的不等式恒成立问题的处理策略耒阳一中付运平含参数的不等式恒成立求参数的取值范围的实质是已知不等的解集求参数的取值范围。

学生遇到这类问题，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍解决这类问题的策略和方法。

一、分离变量法对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。

例1．不等式-2cos2x+4sinx-k2+k<0对一切实数x恒成立，求参数k的取值范围。

解：所给不等式可化为：（2 sinx+1）2< k2-k+3<==>（2 sinx+1）2max< k2-k+3 而（2 sinx+1）2max=9 ≨k2-k+3=9解之得：k > 3或k < -2故k的取值范围是（-≦，-2）∪（3，+≦）。

一般地分离变量后有下列几种情形：①f(x)≥g(k) <==> [f(x)]min≥g(k)②f(x)> g(k) <==> g(k) < [f(x)] min③f(x)≤g(k) <==> [f(x)] max≤g(k)④f(x)≤g(k) <==> [f(x)] max < g(k)二、数形结合对于含参数的不等式恒成立问题，当不等式两边的函数图象形状明显，我们可以作出它们的图象，利用图象直观和运动变化的观点进行转化，化归为某一极端情形如端点、相切等，从而得到关于参数K的不等式。

例2 如果不等式x-5 ≠kx+2在[s，+≦]内恒成立求参数K的取值范围解：令f(x) =x-5 , g(k) = kx+2（x≥5）；f(x)的图象是抛物线y2=x-5位于x轴上方的部分，g(k)的图象则是斜率为k 在y轴上的截距为2的动直线过A（0，2）作y2=x-5的切线，令它的方程为y=kx+2，显然k≠0清去y得k2x+（4k-1）+9=0由△=-20k2-8k+1=0解得k =1，k=1 10 2y= 1x+2切抛物线y2=（x-5）于上半部y=-1x+2 10 2切抛物线y2=x-5于下半部，故y=1x+2与y= x+5 相10切，又KBA=- 2，其中A(0，2) B(5，0)，令y=1x切5 10y= x-5 于C，x-5 ≠kx+2 在[5，+≦）内恒成立。

含参不等式恒成立问题的求解方法在解决含参不等式问题时，数形结合思想，函数的单调性，函数的最值，主参变更，基本不等的式使用等，都是行之有效的方法．下面我们结合实例，介绍这类问题的集中求解策略．1 分离参数法含有参数的不等式问题至少有两个变量，将两个变量分离，再通过求函数最值的方法解题，这是解决这类题目的最常用方法．例1.1 已知)2lg(2)(),1lg()(t x x g x x f +=+=，R t ∈是参数，当10≤≤x 时，有)()(x g x f ≤成立，求t 的取值范围．分析 题目中有x ,t 两个变量,由题意先得到关于x 与t 的关系式，10),2lg(2)1lg(≤≤+≤+x t x x .通过变形将x 与t 分别置于不等式的两边，即10,12≤≤++-≥x x x t 要使得不等式恒成立,只要t 不小于10,12)(≤≤++-=x x x x f 的最大值即可，从而把题目转化为求函数最值问题． 解 由题意，10),2lg(2)1lg(≤≤+≤+x t x x 所以有，12+≥+x t x ，即12++-≥x x t 在10≤≤x 时恒成立．令 1+=x y ，由[]1,0∈x ，所以]2,1[∈y ，则：,22122++-=++-y y x x 所以，222++-≥y y t ，当]2,1[∈y 时恒成立．因为22)(2++-=y y y h 在]2,1[∈y 上有最大值1)1(=h ，所以1≥t 有)()(x g x f ≤在10≤≤x 时恒成立．这种方法是解决参数不等式恒成立问题最常用的一种方法，也体现这类问题的常规性，不仅是函数问题，在数列问题中也很适用 ．例1.2 求所有的实数k ，使得不等式)(13333d c b a k d c b a +++≥++++对任意的[)+∞-∈,1,,,d c b a 都成立解 当1-====d c b a 时，有k )4(3-≥-，∴ 43≥k 又当21====d c b a 时，有k 223≥， 43≤∴k ． 因此43=k ． 下面证明不等式)(4313333d c b a d c b a +++≥++++ ⑴ 对任意[)+∞-∈,1,,,d c b a 的都成立． 对一切[)+∞-∈,1x ，有0)12)(1(2≥-+x x ，既x x 3143≥+所以， d d c c b b a a 314,314,314,3143333≥+≥+≥+≥+．将上面的4个等式相加，使的⑴式成立． 故欲求的实数43=k ． 说明 本题先取特殊值猜测k 的值，进而证明猜测成立，这种“先猜后证” 的方法是解决这类问题的常用方法，另外证明x x 3143≥+的，也可设x x x f 314)(3-+=，[)+∞-∈,1x ，运用导数知识证明0)(≥x f 成立．2 构造函数 间接求解通过构造函数)(x f ，先求出函数)(x f 在给定范围内的最值，再求出参数的取值范围，其依据是:设函数)(x f 在给定范围内的最大值是M ，最小值是m ，若不等式a x f ≤)(在给定范围内恒成立，则M a ≥，若不等式a x f ≥)(在给定范围内恒成立，则a ≤m ．例2.1 设函数)1ln()1()(++=x x x f ，若对所有的0≥x ，都有ax x f ≥)(成立，求实数a 的取值范围．解析 构造辅助函数ax x x ax x f x g -++=-=)1ln()1()()(，原问题变为0)(≥x g对所有的0≥x 恒成立，注意到0)0(=g ，故问题转化为)0()(g x g ≥在0≥x 时恒成立，即函数)(x g 在[)+∞,0为增函数，于是可通过求导判断函数)(x g 的单调性,并求出使)0()(g x g ≥成立的条件．a x x g -++=1)1ln()('，由,0)('=x g 得 11-=-a e x ，当11->-a e x 时，为增函数)(,0)('x g x g >；当111-<<--a e x 时，0)('>x g ，)(x g 为减函数．那么对所有的0≥x ，都有)0()(g x g ≥，其充要条件是011≤--a e ，故得a 的取值范围是(]1,∞-．假若我们没有注意到0)0(=g ，那么在解0)(≥x g 对所有的0≥x 恒成立时，也可转化为)0(0)(min ≥≥x x g ，再以导数为工具，稍作讨论即可以得解．本题还可以采用参数分离法求解．由ax x x x f ≥++=)1ln()1()(对所有的0≥x 恒成立可得；R a x I ∈=时，当0)(；xx x a x II )1ln()1(0)(++≤>时，当 ， 设xx x x g )1ln()1()(++=，问题转化为求)(x g 在开区间()+∞,0上的最小值或下界，2')1ln()(xx x x g +-=，试图通过0)('=x g 直接求得稳定点，困难重重．退一步令)1ln()(+-=x x x h ，因为0,111)('>+-=x x x h ，故0)('>x h ，则)(x h 在()+∞,0单调递增，即0)0()(=>h x h ．从而0)('>x g ，于是)(x g 在()+∞,0单调递增，故)(x g 无最小值，此时，由于)0('g 无意义，)(x g 的下界一时也确定不了，但运用极限知识可得：)()(lim 0x g x g x +→>，然而求这些极限又超出所学的知识的范围，于是大部分考生被此难关扫落下马，无畏而终，事实上采用洛比达法则可得，[]11)1ln()1ln()1()(lim lim lim 000=++=++=+++→→→x x x x x g x x x ．故0>x 时，1)(>x g ，因而 1≤a ．综合)(),(II I 得的取值范围是(]1,∞-说明 此题通过换元变形，构造出新的函数，间接求解，简化了问题，求参数a 的范围也转化为函数最值问题，可见，利用函数的性质来处理含参数的不等式问题也是很有效的．例2.2 已知不等式632sin 2cos sin 6)4cos()32(2+<-++-+a a θθθπθ对于∈θ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π恒成立，求a 的取值范围． 解 设x =+θθcos sin ，则x 224cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πθ，12sin 2-=x θ， ]2,1[∈x 从而，原不等式可以化为()()63126322+<--++a x x x a ，即 04363222>++---a xx ax x 整理得 ])2,1[(0)2)(32(∈>-+-x a xx x ⑵ 因为 ]2,1[∈x ， 所以 032<-x ， 不等式⑵恒成立]2,1[(2∈<+⇔x a x x 恒成立max )2(x x a +>⇔．易知xx x f 2)(+=在]2,1[上递减，则]2,1[(3121)2(max ∈=+=+x x x ），所以，a 的取值范围是3>a ． 说明 此题通过换元变形，构造出新的函数，间接求解，简化了问题，求参数的范围也是转化为函数的最值问题．可见，利用函数的性质来处理函数的不等式问题是很有效的．3 利用二次函数根的分布解题把不等式转化为一元二次不等式，利用二次函数根的分布特点，同样也可以求解可以求解恒成立问题．例3.1 设a 为实数，函数x a ax x x f )1()(223-+-=在），（0∞-和），（∞+1都是增函数，求a 的取值范围．解析 有关三次函数的单调性问题，实质就是二次函数在相应的区间上恒正（或恒负）的问题，所以由0123)(22'≥-+-=a ax x x f 在），（0∞-和），（∞+1上恒成立, 即:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<≥≥>--=∆16200)1(0)0(0)1(12422a f f a a ①或 0)1(12422≤--=∆a a ． ② 由①得261<≤a ，由②得26-≤a 或26≥a ． 综上得：[)+∞--∞∈,1)26,( a ． 例3.2 不等式13642222<++++x x k kx x 对R x ∈恒成立，求实数k 的取值范围． 解 因为043)43(436422>++=++x x x ，所以原不等式等价于<++k kx x 222 3642++x x ，即 对0)3()26(22>-+-+k x k x 恒成立R x ∈．∴ 0)3(8)262<---=∆k k （，解得 31<<k ． 故实数k 的取值范围为31<<k ．4 数形结合 ，直观求解先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定范围内函数与函数图象之间的关系,列出条件，求出参数的取值范围．例4.1 已知函数x x a x f 4)(2--+=与134)(+=x x g ，若恒有)()(x g x f ≤成立，试求实数a 的取值范围．解 由题意a x x x -+≤-1344_2 ，令 x x y 421--= ， a x y -+=1342 ．如图1， 当直线与半圆相切时，a x x x -+=-1344_2 ， 有221)34(13422+-+⨯-=a ，得：535-=或a ，又01>-a ， 所以5-=a ，此时61=-a ．所以要使a x x x -+≤--13442，只需 61≥-a ，得5-≤a ．综上可得：5-≤a 时)()(x g x f ≤成立．事实上，本题也可以用分离参数的方法求解，13442++---≤x x x a ，其中04≤≤-x ，然后利用导数或三角换元求最值得解，数形结合的方明显较简洁．例4.2 不等式0log 2<-x x m 在210<<x 恒成立，求m 的取值范围 解 令2)(x x f =，x x g m log )(=，则在210<<x 时，函数)(x f 的图象总在函数)(x g 的图象的下方．如图2： 因为41)21(=f ，所以4121log 0=m 得1610=m 又为常数）)1,0((log )(00∈=x x m h m在10<<m 单调递增，所以1161<≤m ．。

破解含参不等式恒成立的5种常用方法含参数不等式恒成立问题越来越受高考命题者的青睐，且由于对导数应用的加强，这些不等式恒成立问题往往与导数问题交织在一起，在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势。

对含有参数的不等式 恒成立问题，破解的方法有：分离参数法、数形结合法、单调性分析法、最值定位法、构造函数法等。

一 分离参数法分离参数法是解决含问题的基本思想之一。

对于含参不等式的问题，在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等 式的性质将参数分离出来 ，得到一个一端是参数、另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的性式就可以解决问题。

例1 已知函数a x f x x 421)(++=在（－∞，1］上有意义，试求的取值范围。

分析 ：函数)(x f 在（－∞，1］上有意义，等价于0421≥++a x x 在区间（－∞，1］上恒成立，这里参数的系数04>x ，故可以分离参数。

解析：函数)(x f 在（－∞，1］上有意义，等价于0421≥++a x x 在区间（－∞，1］上恒成立，即⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥x x a 2141，∈x （－∞，1］恒成立，记)(x g a ≥，∈x （－∞，1］，因此问题又等价于)(x g a ≥在)(x g a ≥上恒成立，)(x g 在（－∞，1］上是增函数，因此)(x g 的最大值为)1(g 。

)(x g a ≥在（－∞，1］上恒成等价于43)1()(max -==≥g x g a 。

于是工的取值范围为43-≥a 。

【点评】)(x f a ≥恒成立等价于max )(x f a ≥；)(x f a ≤恒成立等价于min )(x f a ≤。

如果函数)(x f 不存在最值，上面的最大值就替换为函数值域的右端点，最小值就替换为函数值域的左端点。

解这类问题时一定要注意区间的端点值。

二 数形结合法数形到结合法是一种重要的数学思想方法，其要点是“见数想形，以形助数”，从而达到解决问题的目的，数形结合法是破解含参数不等式恒成立问题的又一个主要方案。

考点透视含参不等式恒成立问题经常以压轴题的形式出现.这类问题具有较强的综合性，需灵活运用不等式的性质，函数的图象、性质，导函数的性质、求导公式，方程的性质等来求解.下面结合一道例题，谈一谈解答含参不等式恒成立问题的两种方法.例题：已知函数f (x )=e x +ax 2-x ，当x ≥0时，f (x )≥12x 3+1，求a 的取值范围.该题中涉及了指数式、幂函数式，较为复杂，很难直接利用简单基本函数、不等式的性质求得答案，需采用函数最值法和分离参数法来求解.方法一：函数最值法函数最值法是求解含参不等式恒成立问题的常用方法.通常需先将不等式进行适当的变形，如移项、通分等，将所有的项置于不等式的一侧，以构造出一个新函数，有时可将变形后不等式两边的式子分别构造成两个新函数；再研究新函数的性质，求得新函数的最值，进而建立使不等式恒成立的新关系式，从而求得问题的答案.解：由f (x )=e x +ax 2-x 可得(12x 3-ax 2+x +1)e -x ≤1，设函数F (x )=(12x 3-ax 2+x +1)e -x (x ≥0)，则F ′(x )=-12x (x -2a -1)(x -2)e -x .由F ′(x )=0可得x 1=0,x 2=2a +1,x 3=2，①若2a +1≤0,即a ≤-12，则当x ∈()0,2时，F ′(x )>0，所以F (x )在(0,2)上单调递增，而F (0)=1，所以当x ∈()0,2时，F (x )>1，不符合题意，②若0<2a +1<2，即-12<a <12，当x ∈(0,2a +1)⋃(2,+∞)时，F ′(x )<0，当x ∈(2a +1,2)时，F ′(x )>0，所以F (x )在()0,2a +1和(2,+∞)上单调递减，在(2a +1,2)上单调递增，由于F (0)=1，所以F (x )≤1，所以F (2)=(7-4a )e -2≤1，即a ≥7-e 24，即当7-e 24≤a <12时，F (x )≤1.③若2a +1≥2，即a ≥12，F (x )≤(12x 3+x +1)e -x ，由②可得(12x 3+x +1)e -x ≤1，故a ≥12时，符合题意.综上可知，a 的取值范围是éëêùûú7-e 24,+∞.解答此题，需先将不等式移项，构造出新函数F (x )=(12x 3-ax 2+x +1)e -x (x ≥0)；然后对函数进行求导，以通过研究导函数的性质判断出函数的单调性，求得函数的最值，只需使F (x )max ≤1，即可确保不等式恒成立.在讨论函数的最值时，需分2a +1≤0、0<2a +1<2、2a +1≥2三种情况进行讨论.利用函数最值法解题，关键在于根据函数的单调性求得函数的最值.此方法的缺点是解题时的计算量较大，并且往往需要分多种情况进行讨论.方法二：分离参数法运用分离参数法求解含参不等式恒成立问题，需先将不等式中的参数、变量分离，使其分别在不等号的两侧，如f (x )<a 、f (x )>a ；再求得f (x )的最值，使得f (x )max <a 、f (x )min >a ，即可解题.在分离参数时，往往要根据不等式的结构特点进行移项、分解因式，或根据不等式的性质改变不等号的方向.解：当x =0时，不等式恒成立.当x >0时，a ≥12x 3+x +1-e xx 2，令g (x )=12x 3+x +1-e xx 2,g ′(x )=(x -2)(12x 2+x +1-e x )x 3,令h (x )=12x 2+x +1-e x ，可得h ′(x )=x +1-e x，易证h ′(x )≤0恒成立，所以h (x )在(0,+∞)上单调递减，h (x )<h (0)=0，所以当x ∈(0,2)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，当x ∈(2,+∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，则g (x )max =g (2)=7-e 24,所以a ≥7-e 24.运用分离参数法解答含参不等式恒成立问题，需先分离参数；再构造函数，找到函数值为零和导数值为零的点，以确定不含参数式子的临界值.相比较而言，运用分离参数法解题的计算量较小，但函数最值法比较常用.无论是运用函数最值法还是运用分离参数法，都需灵活运用数形结合思想、转化思想来辅助解题.（作者单位：江苏省高邮市第一中学）39Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

含参不等式恒成立问题常与函数、导数、平面几何、方程、不等式、三角函数等知识相结合，侧重于考查同学们的分析和逻辑思维能力.这类问题的难度往往比较大，很多同学经常不知该如何应对.事实上，我们只要选用恰当的方法，就能使问题迎刃而解.下面，谈一谈解答含参不等式恒成立问题的两个小措施.一、数形结合为了降低解答含参不等式恒成立问题的难度，我们可以采用数形结合法来解题.首先，将不等式进行适当的变形；然后，挖掘不等式中代数式的几何意义，如将y=ax+b看作一条直线，将y=()a-x2看作一条抛物线，将y=a x看作指数函数；再画出相应的几何图形，通过分析图形之间的位置关系、研究图形的几何性质，来建立使不等式恒成立的式子，从而使问题获解.例1.设函数f(x)=ìíîïï2-x-1,x≤0,x12,x>0,若f(a)>1恒成立，求a的取值范围.解：在同一坐标系中画出分段函数f(x)=ìíîïï2-x-1,x≤0,x12,x>0，以及直线y=1的图象，如图1所示.图1由图可知当a>1或a<-1时，函数f(x)的图象始终在y=1的上方，此时f(a)>1恒成立，所以a的取值范围为(-∞,-1)⋃(1,+∞).解答本题，主要运用了数形结合法.要使f(a)>1恒成立，只需使函数f(x)的图象始终在y=1的上方.于是根据函数f(x)的解析式，在同一平面直角坐标系内作出函数f(x)与直线y=1的图象，结合图形讨论两个图象的位置关系，便可顺利解题.例2.已知不等式()x-12<log a x对任意x∈()1,2恒成立，求实数a的取值范围.解：设y1=()x-12，y2=log a x，在同一坐标系中画出y1、y2的图象，如图2所示.x21)-x2=log a图2由图可知，在x∈()1,2时，y1=()x-12的图象始终在y2=log a x图象的下方，此时y1<y2，当x∈()1,2时，y1=()x-12∈()0,1，而在()1,2上，0<log a x<1，则0<y2<1，可得1<a≤2.故实数a的取值范围为(]1,2.本题若采用常规方法直接求解，比较复杂，借助图形可以更直观便捷地求得问题的答案.先将不等式两侧的式子看作两个函数解析式，并在同一平面直角坐方法集锦y=1 44。

高考中函数含参量不等式恒成立问题的解题令函数$f(x)$为定义在区间$[a,b]$上的连续函数，$a,b$ 为实数，且 $a<b$，$m,n$ 为任意实数，当 $m≤f(x)≤n$立时，称不等式 $m≤f(x)≤n$ $[a,b]$ 上恒成立。

本文将对函数参量不等式恒成立问题进行解析，为读者更好地理解这一概念提供一些解决实例。

一、函数参量不等式恒成立问题概述函数参量不等式恒成立问题是指，在定义函数 $f(x)$某个区间内，给出两个恒定的实数 $m$ $n$，使得不等式 $m≤f(x)≤n$成立，这就是函数参量不等式恒成立的问题。

二、参量不等式恒成立问题的解法1.性函数若函数 $f(x)$线性函数，那么参量不等式恒成立问题的解法很简单，直接求出 $f(x)$一次项系数和常数项即可。

例：$f(x)=2x+3$，若满足 $2≤f(x)≤6$ $xin[-0.5,2.5]$2. 二次函数当函数 $f(x)$ 为二次函数时，可以根据抛物线的准确性来判断参量不等式恒成立的解法。

例：$f(x)=x^2+3x+1$，若满足 $4≤f(x)≤9$ $xin[-1,4]$3.他函数当函数 $f(x)$ 不是线性函数也不是二次函数时，则可以根据函数的图形来确定参量不等式恒成立条件。

对于参量不等式恒成立问题，最重要的是分析函数的大致形状，因为不等式恒成立的解取决于函数给定区间内解的个数。

例：$f(x)=|x-4|$，若要求 $0≤f(x)≤4$，则取解 $xin[0,4]$三、结论解决参量不等式恒成立问题的一般方法是，先求出函数的表达式，然后根据函数的类型（线性函数、二次函数或其他函数），确定求解参量不等式恒成立条件的方法。

本文仅就一般情况介绍了参量不等式恒成立问题的解决方案，在实际应用中，由于函数的形状、参数等多种因素的影响，参量不等式恒成立问题具有非常丰富的多样性，只有熟练掌握各种不同函数类型的解题方法，才能有效地解决实际问题。

含参不等式恒成立问题的求解策略含参不等式恒成立问题的求解策略含参不等式的求解是高考、竞赛中的热点问题，而这类习题中含参数不等式恒成立的问题，方法灵活多样，令不少同学望而生畏，束手无策。

本文将结合事例，谈谈这类习题的常见求解策略。

一、利用一次函数的性质对于一次函数f(x)=kx+b(k≠0),x∈[m,n]有f(x)>0 恒成立f(m)0f(m)0;f(x)对于一次函数f(x)=kx+b(k≠0),x∈(m,n)有f(x)>0恒成立f(m)0f(m)0;f(x)例1、已知不等式x2+(t-4)x+(4-2t)>0对满足t∈(-1,1)的所有t都成立，求x取值范围。

分析：若直接解关于x的不等式，再由t的范围求出x的范围，不仅过程繁杂，而且也不易得出正确结论，然而，换一个角度，反客为主，整理成关于t的形式: (x-2)t+(x-2)2>0（显然有x≠2）令f(t)=(x-2)t+(x-2)2,则f(t)是t的一次函数。

由于f(t)>0对t∈(-1,1)恒成立，则有x25x60f(1)02x≥3或x≤1 f(1)0x3x20二、利用二次函数的判别式对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0,x∈R),有f(x)>0对x∈R恒成立a0; 0a0. 0f(x)例2、已知二次函数f(x)满足f(-2)=0，且3x+5≤f(x)≤2x2+7x+7对一切实数x都成立.(1)求f(-1)的值;(2)求f(x)的解析式分析:(1) ∵2≤f(-1)≤2 ∴f(-1)=2(2)设f(x)=ax2+bx+c (a≠0)则由f(-2)=0及f(-1)=2,得4a2b c0b3a 2 a b c2c2a4∴有3x+5≤ax2+(3a+2)x+(2a+4)≤2x2+7x+7对x∈R恒成立即ax2+(3a-1)x+(2a-1)≥0且(a-2)x2+(3a-5)x+(2a-3)≤0恒成立a0a2(显然a2)且22(3a1)4a(2a1)0(3a5)4(a2)(2a3)012a2a0a 1 且22(a1)0a3a10∴f(x)=x2+5x+6点评：此题第（2）问条件较隐蔽，但最终转化成了含参数a的两个不等式恒成立问题得到了解决。

含参不等式恒成立问题的求解王丹+谢伟含参不等式恒成立问题在高考试题中如同一颗璀璨的明珠夺人眼球，与函数、方程、数列、导数等知识结合，演奏出了一曲曲优美的乐章. 解决这类问题需要运用换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，下面举例介绍这类问题的求解策略.数形结合法有些含参不等式恒成立问题，从数的角度很难切入；但从形的角度入手，可以利用恒成立条件的几何意义直观求解.例1 若对任意[x∈]R，不等式[x≥ax]恒成立，则实数[a]的取值范围是（）A. [a-1]B. [a≤1]C. [a1]D. [a≥1]解析如图，其几何意义是[f（x）=x，][x∈R]的图象不低于[g （x）=ax，x∈R]的图象. 因此，[a≤1].答案B例2 若不等式[3x2-logax0]在[x∈0，13]上恒成立，则实数[a]的取值范围是________.解析由题意知，不等式[3x2 p如图，其几何意义是在区间[0，13]上函数[f（x）=logax]的图象在函数[g（x）=3x2]的图象的上方.若[a1]，则函数[f（x）=logax]的图象在函数[g（x）=3x2]的图象的下方，不合题意.若[0则[loga13≥13]，解得，[a≥127].所以，[127≤a1].综上所述，实数a的取值范围是[127，1].答案[127，1]点评对于具有明显几何意义的含参不等式恒成立问题，可以利用其几何意义建立关于参数的不等式，进而求出参数的取值范围.不等式解集法若不等式[f（x）0]的解集是集合[B]，则不等式[f（x）0]在集合[A]中恒成立等价于集合[A]是集合[B]的子集. 利用[A?B]建立关于参数的不等式，即可求出参数的取值范围.例3 已知[f（x）=x+a+__2]，若[f（x）≤__4]在[[1，2]]上恒成立，则实数a的取值范围是________.解析由题意知，[x+a+__2≤__4]在[[1，2]]上恒成立，也就是[x+a+2__≤4__]，即[x+a≤2]在[[1，2]]上恒成立.因为不等式[x+a≤2]的解集为[-2-a，2-a]，所以[[1，2]][?-2-a，2-a].从而[-2-a≤1，2-a≥2，]解得，[-3≤a≤0].答案[-3，0]例4 设[f（x）]是定义在R上的偶函数，且当[x≥0]时，[f（x）=2x]. 若对任意的[x∈[a，a+2]]，不等式[f（x+a）][≥f2（x）]恒成立，则实数[a]的取值范围是________.解析由题意知，[f（x）=2x].则[f（x+a）≥f2（x）]，即[2x+a≥2x2].亦即[x+a≥2x]对任意的[x∈[a，a+2]]恒成立.也就是[3x2-2a__a2≤0]对任意的[x∈[a，a+2]]恒成立.（1）当[a0]时，不等式[3x2-2a__a2≤0]的解集为[a，-a3].则[[a，a+2]][?a，-a3].从而[a0，-a3≥a+2，]解得，[a≤-32].（2）当[a=0]时，不等式[3x2-2a__a2≤0]的解集为.则[[a，a+2]][?0]，这是不可能的，所以[a∈?].（3）当[a0]时，不等式[3x2-2a__a2≤0]的解集为[-a3，a].则[[a，a+2]][?-a3，a]，这是不可能的，所以[a∈?].综上所述，实数[a]的取值范围是[-∞，-32].答案[-∞，-32]点评对于容易求出不等式的解集的含参不等式恒成立问题，可以根据给定恒成立区间是不等式解集的子集列出关于参数的不等式（组），从而求得参数的取值范围.函数最值法含参不等式恒成立问题中至少含有两个变量，根据条件构造函数，并用求函数最值的方式解题. 一般有两种解题策略.（1）分离参数法. 先分离参数[k]得，[kf（x）]，或[k f（x）]恒成立[?kf（x）max]；②[kp（2）不分离参数法. 不分离参数[k]，直接构造含参数[k]的函数[y=g（x）]，通过求含参数[k]的函数[y=g（x）]的最值，建立关于[k]的不等式，再求参数[k]的取值范围.例5 若不等式[x2+ax+1≥0]对[x∈0，0.5]恒成立，则实数a 的最小值是（）A. 0B. -2C. -2.5D. -3解析两种转化策略：（1）分离参数法，将不等式转化为[a≥__+1x]. 由题意知，它对[x∈0，0.5]恒成立，构造不含参数的函数[g（x）=__+1x]，[x∈0，0.5]并求出最值，只需[a≥g（x）max]. （2）不分离参数法，直接构造含参数[a]的函数[f（x）=x2+ax+1]，[x∈0，0.5]，并用参数[a]表示出最小值[h（a）]，只需[h（a）≥0]. 1]，由图可知，函数[f（x）=logax]的圖象必须经过点[a13，13]，或在[a]点的上方.方法一：将不等式转化为[a≥__+1x]，由题意知，它对[x∈0，0.5]恒成立.构造函数[g（x）=__+1x，x∈0，0.5].因为[y=g（x）=__+1x]在[0，0.5]上是增函数，所以[g（x）max=g（0.5）=-2.5].所以[a≥-2.5].所以实数[a]的取值范围是[{a|a≥-2.5}].方法二：构造函数[y=f（x）=x2+ax+1]，[x∈0，0.5.]①当[a≥0]时，[y=f（x）]在[0，0.5]上是增函数.则[f（x）1]，所以[a≥0]符合题意.②当[-1由题意得，[-1所以[-1③当[a≤-1]时，[y=f（x）]在[0，0.5]上是減函数.则[ymin=f（0.5）=1.25+0.5a].由题意得，[a≤-1，1.25+0.5a≥0.]所以[-2.5≤a≤-1].综上所述，实数[a]的取值范围是[aa≥-2.5].点评一般选择恒成立的变量和区间作为构造函数的自变量和定义域. 如例5中选择[x]而不是[a]作为自变量，选择[0，0.5]而不是其他范围作为定义域. 而且，通常用到一次函数、二次函数、[y=x+kx（k0）]型等函数的性质，以及利用导数的性质求函数的最值.例6 已知函数[f（x）=xln__ax2]在[x∈1e2，+∞]上是单调增函数，求实数a的取值范围.解析方法一：依题意得，[f（x）=ln__2ax+1≥0]对[x∈1e2，+∞]恒成立，即[2a≤lnx+1x]对[x∈1e2，+∞]恒成立.令[gx=lnx+1x]，则[gx=-ln__2].所以g（x）在[1e2，1]上单调递增，在（1，+∞）上单调递减.又当x→+∞时，g（x）→0，且[g1e2=-e2]，故[gxmin=g1e2=-e2].所以[2a≤-e2]，即[a≤-e22].所以实数[a]的取值范围是[-∞，-e22].方法二：依题意得，[f（x）=ln__2ax+1≥0]对[x∈1e2，+∞]恒成立.令[h（x）=ln__2ax+1，x∈1e2，+∞]，则[h（x）=ln__2ax+1≥0]对[x∈1e2，+∞]恒成立.则[h（x）=1__2a=-2ax+1x].①当[a≤0]时，[h′（x）0]，[h（x）]在区间[1e2，+∞]上单调递增.则[h（x）min=h1e2=-2ae2-1≥0].则[a≤0，-2ae2-1≥0.]解得，[a≤-e22].②当[a]0时，由[h′（x）0]得，[x=12a].当[1e212a]，即[0当[x→+∞]时，[g（x）→-∞]，故不合题意.当[1e212a]，即[ae22]时，h（x）在区间[1e2，+∞]上单调递减.当[x→+∞]时，[g（x）→-∞]，故不合题意.综上所述，实数[a]的取值范围是[-∞，-e22].点评两种解题策略的区别在于：构造的函数是否含有参数，而参数会对求最值产生影响. 一般优先选择分离参数法，如果分离参数比较困难，再选择不分离参数法. 0].0，1-a24≥0.]0]时，[ymin=f（-a2）=1-a24].。