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2014《金版教程》高考物理一轮复习实验专题精讲：实验十二探究单摆运动用单摆测定重力加速度1.某同学做“探究单摆的周期与摆长的关系”的实验时，测得的重力加速度数值明显大于当地的重力加速度的实际值．造成这一情况的可能原因是( )A. 测量摆长时，把悬挂状态的摆线长当成摆长B. 测量周期时，当摆球通过平衡位置时启动秒表，此后摆球第30次通过平衡位置时制动秒表，读出经历的时间为t，并由计算式T＝t30求得周期C. 开始摆动时振幅过小D. 所用摆球的质量过大解析：由T＝2πlg得g＝4π2lT2，造成g偏大的原因一是l偏大，二是T偏小，因此A错B对．振幅过小和摆球质量过大对实验结果没有影响．答案：B2．在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，有人提出以下几点建议，其中对提高测量结果精度有利的是( )A．适当加长摆线B．质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较大的C．单摆偏离平衡位置的角度不能太大D．当单摆经过平衡位置时开始计时，经过一次全振动后停止计时，用此时间间隔作为单摆振动的周期解析：单摆实验的精确度取决于实验装置的理想化程度及相关物理量的测量精度．适当加长摆线长度有利于把摆球看成质点，在摆角小于10°的条件下，摆球的空间位置变化较大，便于观察，选项A对．摆球体积越大，所受空气阻力越大，对质量相同的摆球其影响越大，选项B错．只有在小角度的情形下，单摆的周期才满足T＝2πlg，选项C对．本实验采用累积法测量周期，若仅测量一次全振动，由于球过平衡位置时速度较大，难以准确记录，且一次全振动的时间太短，偶然误差较大，选项D错．答案：AC3．如图所示，甲、乙、丙、丁四个单摆的摆长均为l，四个小球质量均为m，单摆甲放在空气中，周期为T甲；单摆乙放在以加速度a向下加速运动的电梯中，周期为T乙；单摆丙带正电，放在匀强磁场B中，周期为T丙；单摆丁带正电，放在匀强电场E中，周期为T丁；分别求出它们的周期．则下列说法正确的是( )A ．T 甲>T 乙>T 丙>T 丁B ．T 甲＝T 丙>T 乙>T 丁C ．T 乙>T 甲＝T 丙>T 丁D ．T 丁>T 乙>T 甲＝T 丙 解析：由题意知T 甲＝2πlg；乙处在加速下降的电梯中，T 乙＝2πlg －a；丙处在匀强磁场中，所受洛伦兹力始终沿绳方向，对单摆周期无影响，T 丙＝2πlg；丁处在电场中，等效重力加速度g ′＝g ＋qE m，所以T 丁＝2πl g ′.综上所述有T 乙>T 甲＝T 丙>T 丁．答案：C4．某同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中，先测得摆线长为97.50 cm ，摆球直径为2.00 cm ，然后用秒表记录了单摆振动50次所用的时间如图所示．则：(1)该摆摆长为________cm ，秒表的示数为________； (2)如果他测得的g 值偏小，可能的原因是( ) A ．测摆线长时摆线拉得过紧B ．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了C ．开始计时时，秒表过迟按下D ．实验中误将49次全振动数为50次解析：(1)由摆长公式l ＝l ′＋d /2，知l ＝98.50 cm ＝0.9850 m ，由秒表的读数方法，可求得单摆振动50次所用的时间t ＝短针读数(t 1)＋长针读数(t 2)＝3×30 s＋9.8 s ＝99.8 s ，同时可求得周期T .(2)通过g ＝4π2lT2，可知g 偏小的可能原因有二：一是摆长l 的测量值偏小，即测量值小于实际值，可知A 错，B 正确；二是周期T 的测量值偏大，如开始计时时，过早按下秒表；停止计时时，过迟按下秒表；误把n ＋1次全振动数为n 次等等．由此可知C 、D 选项皆错，故正确答案为B.答案：(1)98.5 99.8 s (2)B5．某同学想在家里做用单摆测定重力加速度的实验，但没有合适的摆球，他只好找到一块大小为3 cm 左右，外形不规则的大理石块代替小球．实验步骤是A ．石块用细尼龙线系好，结点为M ，将尼龙线的上端固定于O 点B ．用刻度尺测量OM 间尼龙线的长度L 作为摆长C ．将石块拉开一个大约α＝30°的角度，然后由静止释放D ．从摆球摆到最高点时开始计时，测出30次全振动的总时间t ，由T ＝t /30得出周期E ．改变OM 间尼龙线的长度，再做几次实验，记下相应的L 和TF ．求出多次实验中测得的L 和T 的平均值作计算时使用的数据，带入公式g ＝(2πT)2L 求出重力加速度g .(1)你认为该同学在以上实验步骤中有重大错误的是哪些步骤？为什么？(2)该同学用OM 的长作为摆长，这样做引起的系统误差将使重力加速度的测量值比真实值偏大还是偏小？你认为用何方法可以解决摆长无法准确测量的困难？解析：(1)实验步骤中有重大错误的是： B ：大理石重心到悬挂点间的距离才是摆长 C ：最大偏角不能超过10° D ：应在摆球经过平衡位置时计时F ：应该用各组的L 、T 求出各组的g 后，再取平均值．(2)用OM 作为摆长，则忽略了大理石块的大小，没有考虑从结点M 到石块重心的距离，故摆长L 偏小．根据T ＝2πL g ，g ＝4π2L T 2.故测量值比真实值偏小．可以用改变摆长的方法．如T ＝2πLg，T ′＝2πL ＋Δl g ，测出Δl .则g ＝4π2ΔlT ′2－T2. 6．将一单摆装置竖直挂于某一深度h (未知)且开口向下的小筒中(单摆的下部分露于筒外)，如图甲所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆振动过程中悬线不会碰到筒壁，测量出筒的下端口到摆球球心的距离l ，并通过改变l 而测出对应的周期T ，再以T 2为纵轴、l 为横轴作出函数关系图象，那么就可以通过此图象得出小筒的深度h 和当地的重力加速度．(取π2＝9.86)(1)如果实验中所得到的T 2－l 关系图象如图乙所示，那么正确的图象应是a 、b 、c 中的________．(2)由图象可知，小筒的深度h ＝________m ，当地的重力加速度g ＝________m/s 2. 解析：(1)由单摆周期公式T ＝2πL g 可得T 2＝4π2g L ，而L ＝l ＋h ，所以T 2＝4π2g(l ＋h )，即T 2＝4π2g l ＋4π2gh ，正确图象应是a .(2)由图象知4π2h g ＝1.20，4π2g ＝1.200.3，得g ＝π2＝9.86 m/s 2，h ＝0.30 m.答案：(1)a (2)0.30 9.867．[2012·重庆模拟]在“用单摆测定重力加速度”的实验中，为防止摆球在摆动过程中形成“圆锥摆”，实验中采用了如图甲所示的双线摆．测出摆线长度为L，线与水平横杆夹角为θ，摆球半径为r.若测出摆动的周期为T，则此地重力加速度为________；某同学用10分度的游标卡尺测量摆球的直径时，主尺和游标如图乙所示，则摆球的半径r为________mm.解析：单摆的摆长为l＝L sinθ＋r，由周期公式T＝2πlg，此地的重力加速度为g＝4π2L sinθ＋rT2.由图知摆球的半径r＝12×16.0 mm＝8.0 mm.8. 在“探究单摆周期与摆长的关系”实验中，若摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻，如右图所示．光敏电阻与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t变化图线如下图所示，则该单摆的振动周期为________．若保持悬点到小球顶点的绳长不变，改用直径是原小球直径2倍的另一小球进行实验，则该单摆的周期将________(填“变大”、“不变”或“变小”)，图乙中的Δt将________(填“变大”、“不变”或“变小”)．解析：小球摆动到最低点时，挡光使得光敏电阻阻值增大，从t1时刻开始，再经两次挡光完成一个周期，故T＝2t0；摆长为摆线加小球半径，当小球直径变大，则摆长增加，由周期公式T＝2πlg可知，周期变大；当小球直径变大，挡光时间增加，即Δt变大．答案：2t0变大变大。
1．实验原理当偏角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2π，它与偏角的大小及摆球的质量无关，由此得到g＝.因此，只要测出摆长l和振动周期T，就可以求出当地重力加速度g的值．2．实验器材带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球，不易伸长的细线(约1米)、秒表、毫米刻度尺和游标卡尺．(3)测周期的方法：①要从摆球过平衡位置时开始计时．因为此处速度大、计时误差小，而最高点速度小、计时误差大．②要测多次全振动的时间来计算周期．如在摆球过平衡位置时开始计时，且在数“零”的同时按下秒表，以后每当摆球从同一方向通过最低位置时计数1次．(4)本实验可以采用图象法来处理数据．即用纵轴表示摆长l，用横轴表示T2，将实验所得数据在坐标平面上标出，应该得到一条倾斜直线，直线的斜率k＝.这是在众多的实验中经常采用的科学处理数据的重要办法．2．数据处理(1)公式法：测出30次或50次全振动的时间t，利用T＝求出周期；不改变摆长，反复测量三次，算出三次测得的周期的平均值，然后代入公式g＝求重力加速度．(2)图象法：由单摆周期公式不难推出l＝T2，因此，分别测出一系列摆长l对应的周期T，作l－T2的图象，图象应是一条通过原点的直线，求出图线的斜率k＝，即可利用g＝4π2k＝求得重力加速度值，如图所示．3．误差分析(1)系统误差的主要来源：悬点不固定，球、线不符合要求，振动是圆锥摆而不是在同一竖直平面内的振动等．(2)偶然误差主要来自时间的测量上，因此，要从摆球通过平衡位置时开始计时，不能多计或漏计振动次数．1．(多选)在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，有人提出以下几点建议：A．适当加长摆线B．质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较大的C．单摆偏离平衡位置的角度不能太大D．当单摆经过平衡位置时开始计时，经过一次全振动后停止计时，用此时间间隔作为单摆振动的周期其中对提高测量结果精确度有利的是________．解析：单摆实验的精确度取决于实验装置的理想化程度及相关物理量的测量精度．在摆角小于5°的条件下，适当加长摆线长度，有利于把摆球看成质点，摆球的空间位置变化较大，便于观察，选项A 正确；摆球体积越大，所受空气阻力越大，对质量相同的摆球其影响越大，选项B错误；摆角应小于5°，选项C正确；本实验采用累积法测量周期，若仅测量一次全振动，由于球过平衡位置时速度较大，难以准确记录，且一次全振动的时间太短，偶然误差较大，选项D错误．答案：AC2．(20xx·杭州质检)有两个同学利用假期分别去参观北大和复旦大学的物理实验室，各自利用先进的DIS系统较准确地探究了“单摆的周期T与摆长L的关系”，他们通过校园网交换了实验数据，并由计算机绘制了T2－L图象，如图甲所示．去北大的同学所测实验结果对应的图线是________(填“A”或“B”)．另外，在南大做探究的同学还利用计算机绘制了两种单摆的振动图象(如图乙)，由图可知，两单摆摆长之比＝________．解析：由T＝2π得，T2＝L，根据图甲可知>，即gA<gB，因为北大更靠近北极，其所在地的重力加速度更大些，所以应选B；根据图甲可知＝·＝＝，由图乙可得＝，由T2＝L得，＝gA,TgB)＝2.答案：B 21．(20xx·运城模拟)某同学想在家里做“用单摆测定重力加速度”的实验，但没有合适的摆球，他找到了一块大小约为3 cm、外形不规则的大理石代替小球．他设计的实验步骤是：A．将石块和细尼龙线系好，结点为M，将尼龙线的上端固定于O 点；B．用刻度尺测量OM间尼龙线的长度L作为摆长；C．将石块拉开一个大约α＝5°的角度，然后由静止释放；D．从摆球摆到最高点时开始计时，测出30次全振动的总时间t，由T＝得出周期；E．改变OM间尼龙线的长度再做几次实验，记下每次相应的l和T；F．求出多次实验中测得的l和T的平均值，作为计算时用的数据，代入公式g＝l，求出重力加速度g.(1)该同学以上实验步骤中有重大错误的是________．(2)该同学用OM的长作为摆长，这样做引起的系统误差将使重力加速度的测量值比真实值偏大还是偏小？你认为用什么方法可以解决摆长无法准确测量的困难？解析：(1)摆长应为石块重心到悬点的距离，故B步骤错误；计时开始的位置应为摆球振动的平衡位置，故D步骤错误；在用公式g＝l计算g时，应先将各项的l和T单独代入求解g值，不能先求l、T的平均值再代入求解，故F步骤也错误．(2)因为用OM作为摆长，比摆的实际摆长偏小，因此计算出的重力加速度的值比实际值偏小．可采用图象法，以T2为纵轴，以l为横轴，做出多次测量得到的T2－l图线，求出图线斜率k.再由k＝得g ＝.k值不受悬点不确定因素的影响，因此可以解决摆长无法准确测量的困难．答案：(1)BDF (2)见解析2．(2017·南通模拟)如图为用单摆测重力加速度的实验原理图．(1)(多选)为了减小误差，下列措施正确的是( )A．摆长L应为线长与摆球半径的和，且在20 cm左右B．在摆线上端的悬点处，用开有夹缝的橡皮塞夹牢摆线C．在铁架台的竖直杆上固定一个标志物，且尽量使标志物靠近摆线D．计时起点和终点都应在摆球的最高点且不少于30次全振动的时间(2)某同学正确操作，得到了摆长L和n次全振动的时间t，由此可知这个单摆的周期T＝________，当地的重力加速度g＝________．解析：(1)摆长应为摆线长加上摆球的半径，摆长在1 m左右为宜，A错误；为使实验过程中摆长不变，悬点处用开有夹缝的橡皮塞夹牢摆线，B正确；在铁架台的竖直杆上固定一个标志物，且尽量使标志物靠近摆线可减小计时误差，C正确；计时起点与终点应在平衡位置，因为此位置摆球速度大，计时误差小，D错误．(2)由t＝nT知单摆的周期T＝.由T＝2π得g＝，将T代入得g＝L.答案：(1)BC (2) L3．(2017·咸阳模拟)某实验小组在进行“用单摆测定重力加速度”的实验中，已知单摆在摆动过程中的摆角小于5°；在测量单摆的周期时，从单摆运动到最低点开始计时且记数为1，到第n次经过最低点所用的时间为t；在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长(从悬点到摆球的最上端)为L，再用螺旋测微器测得摆球的直径为d(读数如图所示)．(1)该单摆在摆动过程中的周期为________．(2)用上述物理量的符号写出求重力加速度的一般表达式g＝________．(2)利用图象，取T2＝4.2 s2时，l＝________m．重力加速度g ＝________m/s2.解析：由T＝2π m，得g＝4π2或l＝T2，所以图象是过原点且斜率为的一条直线．(1)l－T2图象如图所示．(2)T2＝4.2 s2时，从图中画出的直线上可读出其摆长l＝1.05 m，将T2与l代入公式g＝，得g＝9.86 m/s2.答案：(1)见解析图 (2)1.05 9.865．(20xx·洛阳模拟)(1)“在探究单摆周期与摆长的关系”实验中，两位同学用游标卡尺测量小球的直径如图甲、乙所示．测量方法正确的是________(填“甲”或“乙”)．(2)某同学实验时改变摆长，测出几组摆长l和对应的周期T的数据，作出l－T2图线，如图所示．利用图线上任两点A、B的坐标(x1，y1)、(x2，y2)，便可求得重力加速度g＝______________．(3)作l－T2图线解决物理问题，可以提示我们：若摆球的质量分布不均匀，对测量结果将________(填“有影响”或“没有影响”)．解析：(1)应用游标卡尺测量外径时，被测量物体应放置于外测量爪的前端，故图乙正确．(2)由单摆的周期公式T＝2π，得摆长与周期的关系为l＝T2，图象的斜率k＝，由图象中的A、B两点坐标可得：g＝＝，解得重力加速度为g＝.(3)摆球的质量分布不影响图象的斜率，对测量结果没有影响．答案：(1)乙(2) (3)没有影响6．(20xx·江苏卷)在“探究单摆的周期与摆长的关系”实验中，某同学准备好相关实验器材后，把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度后释放，同时按下秒表开始计时，当单摆再次回到释放位置时停止计时，将记录的这段时间作为单摆的周期．以上操作中有不妥之处加以改正．解析：两处不妥之处分别为：。
第课时实验:探究单摆的运动、用单摆测定重力加速度1.在做“用单摆测定重力加速度”的实验中,有人提出以下几点建议,其中对提高测量结果精确度不利的是( D )A.适当加长摆线B.质量相同、体积不同的摆球,应选用体积较小的C.单摆偏离平衡位置的角度不能太大D.当单摆经过平衡位置时开始计时,经过一次全振动后停止计时,用此时间间隔作为单摆振动的周期解析:当适当加长摆线时,单摆的周期将增大,故可以减小周期测量的相对误差,选项A正确;质量相同,体积越大的摆球,所受的阻力对其做单摆运动影响越大,选项B正确;单摆偏离平衡位置的角度不能太大,选项C正确;选项D中,会增大周期测量的误差,选项D错误.2.(2012北京海淀区测试)某同学做“用单摆测定重力加速度”的实验时,测得的重力加速度数值明显大于当地的重力加速度的实际值.造成这一情况的可能原因是( B )A.测量摆长时,把悬挂状态的摆线长当成摆长B.测量周期时,当摆球通过平衡位置时启动秒表,此后摆球第30次通过平衡位置时制动秒表,读出经历的时间为t,并由计算式T=求得周期C.开始摆动时振幅过小D.所用摆球的质量过大解析:由T=2π得g=l,g值偏大说明l偏大或T偏小.把悬挂状态的摆线长当成摆长,会使l偏小,g值偏小,选项A错误;摆球第30次通过平衡位置时,实际上共完成15次全振动,周期T=,误认为30次全振动,T变小引起g值明显偏大,选项B正确;单摆周期与振幅和摆球质量无关,选项C、D错误.分析g的测量值偏大或偏小的原因时,关键结合公式g=及测量步骤分析.3.(2012石家庄月考)石岩同学利用单摆测重力加速度,他用分度值为毫米的直尺测得摆线长为89.40 cm,用游标卡尺测得摆球直径如图(甲)所示,读数为.则该单摆的摆长为cm.用停表记录单摆做30次全振动所用的时间如图(乙)所示,则停表读数为 s,如果测得的g值偏大,可能的原因是(填序号).A.计算摆长时用的是摆球的直径B.开始计时时,停表晚按下C.摆线上端未牢固系于悬点,振动中出现松动,使摆线长度增加D.实验中误将30次全振动记为31次解析:题图中游标卡尺的读数为2 cm+10×0.05 mm=2.050 cm,摆长为l=l'+=(89.40+1.025) cm=90.425 cm;停表的读数为57.0 s;因g==,如果测得的g值偏大,可能是因为l,n偏大,t偏小,选项A、B、D正确.答案:2.050 cm 90.425 57.0 ABD4.(2013德阳模拟)有位同学想知道家中一把小铁锁的重心位置,做了如下实验:把一根轻细线的一端系在小铁锁上,将其悬挂起来,如图(甲)所示,近似将其当作单摆处理.先用米尺量出悬点到小铁锁下端的距离L,然后将小铁锁拉离平衡位置一个小角度由静止释放,测出其30次全振动的时间,算出振动周期T.多次改变悬线长并重复上面操作,得到多组L、T的数据,作出L T2图像如图(乙)所示.则可知小铁锁的重心到其下端的距离为cm;同时可测得当地重力加速度大小为m/s2.解析:设铁锁的重心到其下端的距离为d,则T=2π,化简整理得L=d+T2,所以L T2图像在纵轴上的截距为d,其斜率为,结合题图可知,d=1.0 cm,=≈0.24 m/s2,g≈9.5m/s2,所以小铁锁的重心到其下端的距离为 1.0 cm;同时可测得当地重力加速度大小为9.5 m/s2.答案:1.0 9.55.(2012年天津卷)某同学用实验的方法探究影响单摆周期的因素.(1)他组装单摆时,在摆线上端的悬点处,用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线,再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧,如图所示.这样做的目的是(填字母代号).A.保证摆动过程中摆长不变B.可使周期测量得更加准确C.需要改变摆长时便于调节D.保证摆球在同一竖直平面内摆动(2)他组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下,用毫米刻度尺从悬点量到摆球的最低端的长度L=0.999 0 m,再用游标卡尺测量摆球直径,结果如图所示,则该摆球的直径为mm,单摆摆长为 m.(3)下列振动图像真实地描述了对摆长约为1 m的单摆进行周期测量的四种操作过程,图中横坐标原点表示计时开始,A、B、C均为30次全振动的图像,已知sin 5°=0.087,sin 15°=0.26,这四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是(填字母代号).解析:(1)橡皮的作用是使摆线摆动过程中悬点位置不变,从而保证摆长不变,同时又便于调节摆长,选项A、C正确;(2)根据游标卡尺读数规则可得摆球直径为d=12 mm+0.1 mm×0=12.0 mm,则单摆摆长为L0=L-d/2=0.993 0 m(注意统一单位);(3)单摆摆角不超过5°,故振幅应小于8.7 cm,选项C、D错误;为了减小实验误差,计时位置应从最低点(即速度最大位置)开始,故选项A的操作符合要求.答案:(1)AC (2)12.0 0.993 0 (3)A。
实验九 用单摆测量重力加速度目标要求 1.知道利用单摆测量重力加速度的原理.2.掌握利用单摆测量重力加速度的方法．实验技能储备1．实验原理当摆角较小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T ＝2πL g ，由此得到g ＝4π2LT2，因此，只要测出摆长L 和振动周期T ，就可以求出当地的重力加速度g 的值． 2．实验器材单摆、游标卡尺、毫米刻度尺、停表． 3．实验过程(1)让细线的一端穿过金属小球的小孔，做成单摆．(2)把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记，如图所示．(3)用毫米刻度尺量出摆线长度L ′，用游标卡尺测出金属小球的直径，即得出金属小球直径d ，计算出摆长L ＝L ′＋d2.(4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(不超过5°)，然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t ，计算出单摆的振动周期T . (5)根据单摆周期公式，计算当地的重力加速度． (6)改变摆长，重做几次实验． 4．数据处理(1)公式法：利用T ＝t N 求出周期，算出三次测得的周期的平均值，然后利用公式g ＝4π2LT 2求重力加速度．(2)图像法：由T ＝2πL g 得T 2＝4π2gL ，作出T 2－L 图像，即以T 2为纵轴，以L 为横轴．其斜率k ＝4π2g，由图像的斜率即可求出重力加速度g .5．注意事项(1)一般选用一米左右的细线．(2)悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定． (3)应在小球自然下垂时用毫米刻度尺测量悬线长． (4)单摆必须在同一平面内振动，且摆角小于5°.(5)选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数．考点一 教材原型实验例1 (2023·江苏南通市模拟)某小组在“用单摆测量重力加速度”实验中：(1)组装单摆时，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线的上端，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图甲所示．这样做的目的有__________；A ．保证摆动过程中摆长不变B ．需要改变摆长时便于调节C ．保证摆球在同一竖直平面内摆动(2)安装好实验装置后，先用刻度尺测量摆线长l ，再用游标卡尺测量摆球直径d ，其示数如图乙所示，则d ＝________ mm ；(3)某次实验过程中，用秒表记录时间的起点应该是摆球运动过程中的________________(选填“最高点”或“最低点”)；(4)该组同学测出五组单摆振动周期T与摆长L的数据如表，请在图丙中作出T2－L关系图像．根据图像算出重力加速度g＝________ m/s2(结果保留3位有效数字)．次数1234 5L/m0.500 00.600 00.700 00.800 00.900 0T/s 1.43 1.55 1.67 1.78 1.90T2/s2 2.04 2.40 2.79 3.17 3.61(5)若测量值与当地重力加速度值相比偏大，可能原因是____________________(写出一个)．答案(1)AB(2)18.9(3)最低点(4)见解析图9.84(9.83～9.89范围内均可)(5)见解析解析(1)用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，可以在需要改变摆长时便于调节；用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，从而保证摆动过程中摆长不变．上述做法并不能保证摆球在同一竖直平面内摆动，故选A、B.(2)由题图乙可知摆球直径为d＝18 mm＋9×0.1 mm＝18.9 mm.(3)摆球在最高点附近运动速度较小，人由于视觉原因不可能精确定位摆球是否经过最高点，由此造成时间测量的相对误差较大．摆球在最低点附近速度较大，因位置判断造成的误差对时间测量的影响较小，所以应在摆球经过最低点时开始计时．(4)作出T2－L关系图像如图所示．根据单摆周期公式有T ＝2πL g 变形可得T 2＝4π2L g ，所以图像的斜率为k ＝4π2g ＝3.610.9s 2/m ，解得g ≈9.84 m/s 2.(5)本实验通过累积法来测量周期，即测量摆球完成n 次全振动的总时间t ，从而求得周期，若计算时不慎将n 的值记录得偏大，则所测周期偏小，会造成g 的测量值偏大．实验时，摆球有时不一定严格在竖直面内运动，而是做圆锥摆运动，在摆角为θ的情况下，小球向心力为F ＝mg tan θ＝m 4π2T2L sin θ，解得T ＝2πL cos θg，由上式可知摆球做圆锥摆运动时，所测周期比严格做单摆运动时偏小，从而造成g 的测量值偏大．还有可能在实验过程中，铁夹处摆线出现了松动，使摆长的真实值比测量值偏大，从而造成g 的测量值偏大． 例2 在“用单摆测量重力加速度”的实验中，由单摆做简谐运动的周期公式得到g ＝4π2lT 2，只要测出多组单摆的摆长l 和运动周期T ，作出T 2－l 图像，就可以求出当地的重力加速度，理论上T 2－l 图像是一条过坐标原点的直线．(1)某同学在家里做用单摆测量重力加速度的实验，但没有合适的摆球，他找到了一块外形不规则的长条状的大理石块代替了摆球(如图)，以下实验步骤中存在错误或不当的步骤是________(只填写相应的步骤前的字母即可)．A ．将石块用细尼龙线系好，结点为N ，将尼龙线的上端固定于O 点B ．用刻度尺测量ON 间尼龙线的长度L 作为摆长C ．将石块拉开一个大约5°的角度，然后由静止释放D ．从石块摆到最低点时开始计时，当石块第30次到达最低点时结束计时，记录总时间为t ，由T ＝t30得出周期E ．改变ON 间尼龙线的长度再做几次实验，记下相应的L 和TF ．求出多次实验中测得的L 和T 的平均值作为计算时使用的数据，代入公式g ＝⎝⎛⎭⎫2πT 2l ，求出重力加速度g(2)该同学根据实验数据作出的T 2－L 图像如图所示：①由图像求出的重力加速度g ＝________ m/s 2(取π2＝9.87)．②由于图像没有能通过坐标原点，求出的重力加速度g 值与当地真实值相比________(选填“偏大”“偏小”或“不变”)；若利用g ＝4π2lT 2，采用公式法计算，则求出重力加速度g 值与当地真实值相比________(选填“偏大”“偏小”或“不变”)． 答案 (1)BDF (2)①9.87 ②不变 偏小解析 (1)该同学以上实验步骤中有错误或不当的步骤的是B 、D 、F ，B 步骤中摆长应是悬点到大理石块重心的距离；D 步骤中第30次经过最低点，则此单摆一共完成了15个全振动，所以周期为T ＝t15；F 步骤中必须先分别求出各组L 和T 值对应的g ，再取所求得的各个g的平均值．(2)①图像的斜率k ＝4πg 2＝ 4.0－0[99－(－1)]×10－2 s 2/m ＝4 s 2/m ，所以加速度g ＝9.87 m/s 2. ②根据T ＝2πL g 得T 2＝4π2L g ，根据数学知识可知，T 2－L 图像的斜率k ＝4π2g，则当地的重力加速度g ＝4π2k ，由于图像不通过原点，则T 2＝4π2l g ＝4π2(L ＋r )g ＝4π2L g ＋4π2r g，根据数学知识可知，对于T 2－L 图像来说两种情况下图像的斜率不变，所以测得的g 值不变；经分析可知出现上述图像不过坐标原点的原因是摆长测量值偏小，若利用g ＝4π2lT 2计算，则求出的重力加速度g 值与当地真实值相比偏小．考点二 探索创新实验例3 (2023·广东深圳市模拟)某同学用图甲所示的装置研究单摆运动的规律，让摆球在竖直平面内摆动，用力传感器得到细线对摆球拉力F 的大小随时间t 变化的图线如图乙所示，且从最低点开始为计时起点，由图乙中所给的数据结合力学规律可得(1)该同学先用游标卡尺测量小球的直径如图丙所示，其读数为________ cm ； (2)由图像得该单摆的振动周期T ＝________ s ； (3)摆球的质量m ＝________ kg(g ＝10 m/s 2)． 答案 (1)1.570 (2)2 (3)0.05解析 (1)游标卡尺的读数为d ＝1.5 cm ＋14×0.05 mm ＝1.570 cm (2)由题图乙结合单摆运动规律可知，该单摆的振动周期为2 s ； (3)设最大摆角为θ，则有F min ＝mg cos θ F max －mg ＝m v 2L从最高点到最低点由动能定理得mgL (1－cos θ)＝12m v 2联立解得m ＝0.05 kg.课时精练1．利用如图甲所示的装置做“用单摆测重力加速度”的实验． (1)实验室有如下器材可供选用： A ．长约1 m 的细线 B ．长约1 m 的橡皮绳 C ．直径约2 cm 的均匀铁球 D ．直径约5 cm 的均匀木球 E ．秒表 F ．时钟G ．10分度的游标卡尺 H ．最小刻度为毫米的米尺用了米尺后，还需要从上述器材中选择________(填写器材前面的字母)．(2)用10分度的游标卡尺测量小球的直径d ，测量的示数如图乙所示，读出小球直径的值为________ mm.(3)将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，将其上端固定，下端自由下垂．用米尺测量摆线长度为L .小球在竖直平面内小角度平稳摆动后，测得小球完成n 次全振动的总时间为t ，请写出重力加速度的表达式g ＝________.(用L 、d 、n 、t 表示)(4)正确操作后，根据多次测量数据计算出实验所在处的重力加速度值，比较后发现：此值比北京的重力加速度值略小，则实验所在处的地理位置与北京的主要不同点可能是__________________________________________(写出一条即可)．答案 (1)ACEG (2)17.6 (3)4π2n 2⎝⎛⎭⎫L ＋d 2t 2(4)实验所在处比北京纬度低或海拔高(其他答案合理也可)解析 (1)摆线的长度不能伸长，所以摆线选择长约1 m 的细线，摆球选择质量大、体积小的球，所以选择直径约2 cm 的均匀铁球，实验中需要用秒表测量单摆摆动的时间，从而得出周期，实验中需用10分度的游标卡尺测量摆球的直径，故选A 、C 、E 、G .(2)游标卡尺的主尺读数为17 mm ，游标尺读数为0.1×6 mm ＝0.6 mm ，则小球直径为17.6 mm. (3)单摆的摆长l ＝L ＋d 2，单摆的周期T ＝tn，根据T ＝2πl g 得g ＝4π2lT 2＝4π2n 2⎝⎛⎭⎫L ＋d 2t 2. (4)多次测量数据计算出实验所在处的重力加速度值比北京的重力加速度值略小，可能实验所在处纬度低或海拔比较高．2．在“用单摆测量重力加速度”的实验中．(1)安装好实验装置后，先用游标卡尺测量摆球直径d ，测量的示数如图所示，则摆球直径d ＝________ cm ，再测量摆线长为l ，则单摆摆长L ＝________(用d 、l 表示)；(2)摆球摆动稳定后，当它到达________(填“最低点”或“最高点”)时启动停表开始计时，并记录此后摆球再次经过最低点的次数n (n ＝1、2、3、…)，当n ＝60时刚好停止计时．此时的停表如图所示，其读数为________ s ，该单摆的周期为T ＝________ s(周期要求保留三位有效数字)；(3)计算重力加速度测量值的表达式为g ＝______(用T 、L 表示)，如果测量值小于真实值，原因可能是________；A ．将摆球经过最低点的次数n 记少了B ．计时开始时，停表启动稍晚C ．将摆线长当成了摆长D ．将摆线长和球的直径之和当成了摆长(4)正确测量不同摆长L 及相应的单摆周期T ，并在坐标纸上画出T 2与L 的关系图线，如图所示．由图线算出重力加速度的大小g ＝________ m/s 2(保留3位有效数字，计算时π2取9.86)．答案 (1)1.84 d2＋l (2)最低点 67.5 2.25(3)4π2LT2 AC (4)9.86解析 (1)摆球直径d ＝1.8 cm ＋0.1 mm ×4＝1.84 cm ；单摆摆长L ＝d2＋l ；(2)摆球摆动稳定后，当它到达最低点时启动停表开始计时，并记录此后摆球再次经过最低点的次数n(n＝1、2、3、…)，当n＝60时刚好停止计时．此时的停表读数为67.5 s，该单摆的周期为T＝tn 2＝67.530s＝2.25 s；(3)根据T＝2πLg计算重力加速度测量值的表达式为g＝4π2LT2，将摆球经过最低点的次数n记少了，则计算周期T偏大，则g测量值偏小，选项A正确；计时开始时，停表启动稍晚，则周期测量值偏小，则g测量值偏大，选项B错误；将摆线长当成了摆长，则L偏小，则g 测量值偏小，选项C正确；将摆线长和球的直径之和当成了摆长，则L偏大，则g测量值偏大，选项D错误．(4)根据T＝2πLg可得T2＝4π2g L，由图像可知k＝4π2g＝4.85－3.251.20－0.80s2/m＝4 s2/m，解得g＝9.86 m/s2.3．(2023·广东佛山市调研)在“用单摆测定重力加速度”的实验中．(1)用游标卡尺测小球的直径d，读数如图所示，则小球直径为________ mm.(2)下列操作正确的是________．A．摆长应为绳长和小球直径之和B．测量周期时，应从小球经过的最高点开始计时C．若有直径相同的木球和铁球，应选择铁球来进行实验D．为了使实验效果明显一些，摆球的初始摆角应达到15°(3)测得单摆周期T与绳长l，则重力加速度g的表达式为________(用T、l、d、g等字母符号表示)．(4)下面是小明的某次测量：当小球稳定摆动后，以某次经过平衡位置时开始计时，并计数为1，此后小球每摆动到平衡位置一次，计数一次，依次计数为2、3……，当数到100时，停止计时，测得时间为t.小明以t50作为单摆周期来进行计算．根据你的判断，由此得到的g值将是________的(选填“偏小”“准确”或“偏大”)．答案 (1)11.25 (2)C (3)4π2(l ＋d 2)T2(4)偏大 解析 (1)游标卡尺的主尺读数为11 mm ，游标尺第五个刻度和主尺对齐，且为20分度，因此读数为d ＝11 mm ＋0.05×5 mm ＝11.25 mm(2)摆长为绳长和小球半径之和，A 错误；测量周期时，在小球经过平衡位置时即单摆最低点位置开始计时误差较小，B 错误；实验时，相同体积下铁球比木球质量更大，因此选择质量更大的铁球效果更好，C 正确；因为单摆的摆角较小时，才能近似为简谐运动，因此初始摆角不宜过大，大小不超过5°，D 错误．(3)单摆周期公式为T ＝2πl ＋d2g解得g ＝4π2(l ＋d2)T2 (4)当数到n 时，单摆的周期应为T ＝t n －12，当数到100时，T ＝t 100－12＝t 49.5，因此小明计算周期偏小，由T ＝2πL g 得g ＝4π2LT， 故由此得到的g 值偏大．4．(1)在“探究单摆周期与摆长的关系”的实验中，两位同学用游标卡尺测量小球的直径的操作如图甲、乙所示．测量方法正确的是________(选填“甲”或“乙”)．(2)实验时，若摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动的最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻，如图丙所示．光敏电阻与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R 随时间t 的变化图像如图丁所示，则该单摆的振动周期为________．若保持悬点到摆球顶点的绳长不变，改用直径是原摆球直径2倍的另一摆球进行实验，则该单摆的周期将________(选填“变大”“不变”或“变小”)，图丁中的Δt 将________(选填“变大”“不变”或“变小”)．答案 (1)乙 (2)2t 0 变大 变大解析 (1)游标卡尺应该用两外测量爪对齐的地方测量，正确的是题图乙．(2)一个周期内小球应该两次经过最低点，使光敏电阻的阻值发生变化，故周期为T ＝t 1＋2t 0－t 1＝2t 0；摆球的直径变大后，摆长变长，根据T ＝2πl g可知，周期变大；每次经过最低点时小球的挡光的时间变长，即Δt 变大．5．某实验小组利用图示装置做“用单摆测量重力加速度”的实验．(1)该组同学先测出悬点到小球球心的距离l ，然后用秒表测出单摆完成n 次全振动所用的时间t .请写出重力加速度的表达式g ＝____________；(用所测物理量表示)(2)在图甲所示装置的基础上再增加一个速度传感器，如图乙所示，将摆球拉开一小角度使其做简谐运动，速度传感器记录了摆球振动过程中速度随时间变化的关系，如图丙所示的v －t 图线．由图丙可知，该单摆的周期T ＝________ s ；(3)更换摆线长度后，多次测量，根据实验数据，利用计算机作出T 2－l 图像，并根据图像处理得到方程T 2＝4.00l ＋0.037 (s 2)．由此可以得出当地的重力加速度g ＝________ m/s 2.(取π2＝9.86，结果保留三位有效数字)答案 (1)4π2n 2l t 2 (2)2.0 (3)9.86 解析 (1)根据题意可得，单摆的周期为T ＝t n ，单摆周期计算公式为T ＝2πl g，联立可得g＝4π2n2lt2.(2)由题图丙可知，该单摆的周期为2.0 s.(3)由上述分析可知T＝2πlg，T2＝4π2g l，结合题中T2＝4.00l＋0.037 (s2)，可得4π2g＝4 s2/m，g＝π2 m/s2＝9.86 m/s2.。
第4节 实验：探究单摆的运动、用单摆测定重力加速度1.“用单摆测定重力加速度”的实验原理是( )A ．由g ＝4π2L T 2可知，T 一定时，g 与L 成正比B ．由g ＝4π2L T 2可知，L 一定时，g 与T 2成反比C ．由于单摆的振动周期T 和摆长L 可用实验测定，利用关系式g ＝4π2L T 2可算出当地的重力加速度D ．同一地区单摆的周期不变，不同地区的重力加速度与周期的平方成反比2.在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，有人提出以下几点建议：其中对提高测量结果精确度有利的是( )A ．适当加长摆线B ．质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较大的C ．单摆偏离平衡位置的角度不能太大D ．当单摆经过平衡位置时开始计时，经过一次全振动后停止计时，用此时间间隔作为单摆振动的周期3.在用单摆测定重力加速度的实验中所用摆球质量分布不均匀．一位同学设计了一个巧妙的方法．具体做法如下：第一次量得悬线长L 1，测得振动周期为T 1；第二次量得悬线长L 2，测得振动周期为T 2，由此可推算出重力加速度g ＝__________________.4.有一测量微小时间差的装置，是由两个摆长略有微小差别的单摆同轴水平悬挂构成．两个单摆摆动平面前后相互平行．(1)现测得两单摆完成50次全振动的时间分别为50.0s 和49.0s ，则两单摆的周期差ΔT ＝__________；(2)某同学利用此装置测量小于单摆周期的微小时间差，具体操作如下：把两摆球向右拉至相同的摆角处，先释放长摆摆球，接着再释放短摆摆球，测得短摆经过若干次全振动后，两摆恰好第一次同时同方向通过某位置，由此可得出释放两摆的微小时间差．若测得释放两摆的时间差Δt ＝0.165s ，则在短摆释放________(填时间)后，两摆恰好第一次同时向______(填方向)通过____________(填位置)；(3)为了能更准确地测量微小的时间差，你认为此装置还可做的改进是________________________________________________________________________.5.一位同学用单摆做测量重力加速度的实验，他将摆挂起后，进行了如下步骤：A．测摆长L：用米尺量出摆线的长度．B．测周期T：将摆球拉起，然后放开，在摆球某次通过最低点时，按下秒表开始计时，同时将此次通过最低点作为第一次，接着一直数到摆球第60次通过最低点时，按下秒表停止计时，读出这段时间t，算出单摆的周期T＝t/60.C．将所测得的L和T代入单摆的周期公式T＝2πLg，算出g，将它作为实验的最后结果写入报告中去．指出上面步骤中遗漏或错误的地方，写出该步骤的字母，并加以改正．6.在用单摆测定重力加速度g实验中，某同学作出的L－T2图线如图12.4-1所示，此图线不过原点的原因是______________________________．图11.4-17.将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h(未知)且开口向下的小筒中(单摆的下部分露于筒外)，如图11.4-2甲所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆振动过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L，并通过改变L而测出对应的摆动周期T，再以T2为纵轴、L为横轴作出函数关系图象，那么就可以通过此图象得出小筒的深度h和当地的重力加速度．图11.4-2(1)现有如下测量工具：A．时钟B．秒表C．天平D．毫米刻度尺本实验所需的测量工具有________．(2)如果实验中所得到的T2－L关系图象如图11.4-2乙所示，那么真正的图象应该是a、b、c中的______．(3)由图象可知，小筒的深度h＝________m；当地g＝________m/s2(取π2＝9.87)．高:考+试☆题≒库。
2014届高三物理一轮复习课时作业及详细解析：第47讲机械振动用单摆测定重力加速度.基础热身1．简谐振动的弹簧振子的振幅增大为原来的2倍时(未超过弹性限度)，下列说法中正确的是( )A ．周期不变B ．周期变为原来的2倍C ．总机械能增加D ．经过平衡位置的加速度增大2．在“用单摆测重力加速度”的实验中，某同学的操作步骤为：a ．取一根细线，下端系住直径为d 的金属小球，上端固定在铁架台上b ．用米尺量得细线长度为Lc ．在摆线偏离竖直方向5°位置释放小球d ．用秒表记录小球完成n 次全振动的总时间为t ，得到周期T ＝t ne ．用公式g ＝4π2L T 2计算重力加速度 按上述方法得出的重力加速度值与实际值相比( )A ．偏大B ．相同C ．偏小D ．无法确定3．关于简谐运动的振幅、周期和频率，下列说法正确的是( )A ．振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处B ．周期和频率的乘积是一个常数C ．振幅增加，周期必然增加，而频率减小D ．做简谐运动的物体的频率固定，与振幅无关4．两个质点做简谐运动的表达式分别是x 1＝3sin(100πt ＋π3)和x 2＝5sin(100πt ＋π4)，下列说法正确的是( ) A ．它们的周期相同B ．它们的振幅相同C ．它们的相位差恒定D ．它们的振动步调一致技能强化5．将一个电动传感器接到计算机上，就可以测量快速变化的力，用这种方法测得的某单摆摆动时悬线上拉力的大小随时间变化的曲线如图K47－1所示．某同学由此图象提供的信息作出的下列判断中，正确的是( )图K47－1A ．t ＝0.2 s 时摆球正经过最低点B ．t ＝1.1 s 时摆球正经过最低点C ．摆球摆动过程中机械能减小D ．摆球摆动的周期是T ＝1.4 s6．某人在医院做了一次心电图，结果如图K47－2所示．如果心电图仪卷动纸带的速度为1.5 m/min ，图中方格纸每小格长1 mm ，则此人的心率约为( )图K47－2A ．80 次/minB ．70 次/minC ．60 次/minD ．50 次/min7．一质点做简谐运动，其位移x 与时间t 的图象如图K47－3所示．由图可知( )图K47－3A ．在t ＝0时，质点的位移为正的最大值，速度为负的最大值B ．在t ＝2.3 s 时，质点的速度正在减小，加速度为正且正在增大C ．在t ＝4 s 时，质点的位移为正的最大值，速度为负的最大值，加速度为零D ．质点的振幅为5 cm ，振动频率为0.25 Hz8．一质点做简谐运动，则下列说法中正确的是( )A ．若位移为负值，则速度一定为正值，加速度一定为正值B ．质点通过平衡位置时，速度为零，加速度最大C ．质点每次通过平衡位置时，加速度不一定相同，速度也不一定相同D ．质点每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同9．如图K47－4甲所示是演示单摆简谐运动图象的装置，当盛沙漏斗下面的薄木板N 被匀速拉出时，摆动着的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲线显示出摆的位移随时间变化的关系，板上的直线OO ′代表时间轴．图乙是两个摆中的沙在各自木板上形成的曲线，若N 1和N 2板拉动的速度v 1和v 2的关系为v 2＝2v 1，则板N 1、N 2上曲线所代表的振动周期T 1和T 2的关系为( )图K47－4A ．T 2＝T 1B ．T 2＝2T 1C ．T 2＝4T 1D ．T 2＝14T 1 10．如图K47－5所示是一个单摆做受迫振动时的共振曲线，表示振幅A 与驱动力的频率f 的关系，下列说法正确的是( )图K47－5A ．摆长约为10 cmB ．摆长约为1 mC ．若增大摆长，共振曲线的“峰”将向右移动D ．若增大摆长，共振曲线的“峰”将向左移动11．有一悬线长为L 的单摆，其摆的外壳为一个有一定质量的金属空心球，球底有一小孔，球内盛满水，在摆动过程中，水从小孔慢慢流出，从水开始流到水流完的过程中，此摆的周期的变化是( )A ．由于悬线长L 和重力加速度g 不变，所以周期不变B ．由于水不断外流，周期不断变大C ．周期先变大，后又变小D ．周期先变小，后又变大12．劲度系数为20 N/cm 的水平弹簧振子的振动图象如图K47－6所示，则( )图K47－6A ．在图中A 点对应的时刻，振子所受的弹力大小为0.5 N ，方向指向x 轴的负方向B ．在图中A 点对应的时刻，振子的速度方向指向x 轴的正方向C ．在0～4 s 内，振子做了1.75次全振动D ．在0～4 s 内，振子通过的路程为0.35 cm ，位移为零13．如图K47－7所示为水平放置的两个弹簧振子A 和B 的振动图象，已知两个振子质量之比为m A ∶m B ＝2∶3，弹簧的劲度系数之比为k A ∶k B ＝3∶2，则它们的周期之比T A ∶T B ＝________；它们的最大加速度之比为a A ∶a B ＝________.图K47－7 挑战自我14．有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度．已知该单摆在海平面处的周期是T 0，当气球停在某一高度时，测得该单摆周期为T ，求该气球此时离海平面的高度h .(把地球看作质量均匀分布的半径为R 的球体)课时作业（四十七）【基础热身】1．AC [解析] 所有简谐运动的周期均与振幅无关，弹簧振子的周期只与弹簧本身有关，选项A 正确、B 错误；弹簧振子的振幅增大时，振子在最大位移处的弹性势能增大，动能为零，即总机械能增加，且振动过程中系统的机械能守恒，选项C 正确；振子经过平衡位置时的合力为零，加速度为零，选项D 错误．2．C [解析] 因为操作中只测出线长L ，将线长当作摆长代入g ＝4π2L T 2进行计算，所以测得的g 值比真实值偏小．3．BD [解析] 简谐运动的振幅是标量，无方向；周期和频率是倒数关系，乘积等于1；简谐运动的周期和频率与振幅无关．4．AC [解析] 由表达式可以看出两者的角频率ω＝100π rad/s 相同，故周期T ＝2πω也相同．它们的相位差Δφ＝π3－π4恒定，由于相位差不为零，故振动步调不一致． 【技能强化】5．AC [解析] 悬线拉力在经过最低点时最大，t ＝0.2 s 时，F 有正向最大值，故A 选项正确；t ＝1.1 s 时，F 有最小值，摆球位于最高点，选项B 正确；t ＝0.8 s 时摆球第二次经过最低点，所以振动周期为T ＝1.2 s ，选项D 错误；由图象知振幅减小，所以系统的机械能减小，C 选项正确．6．C [解析] 心电图中相邻两峰值之间的时间间隔为心跳的周期，故T ＝Δx v，心率f＝1T≈57次/min ，故选项C 正确． 7．D [解析] 由图象可知，当t ＝0时该质点处于最大位移处，此时速度为零，因此选项A 错误；当t ＝2.3 s 时，质点在从最大负位移向平衡位置运动的过程中，速度显然正在增大，加速度正在减小，选项B 错误； t ＝4 s 时与t ＝0时运动情况相同，因此选项C 错误；由图象可知质点的振幅为5 cm ，周期为4秒，即频率为0.25 Hz ，D 正确．8．D [解析] 如图所示，设质点在A 、B 之间振动，O 点是它的平衡位置，并设向右为正方向．在质点由O 向A 运动过程中，位移为负值，加速度为正值，而速度为负值．质点在通过平衡位置时，位移为零，回复力为零，加速度为零，但速度最大．振子通过平衡位置时，加速度为零，而速度方向可正可负．振子通过同一位置时，由F ＝－kx 知，x 相同时F 相同，再由F ＝ma 知，a 相同，但振子在该点的速度方向可能向左也可能向右．9．D [解析] 由图线中可以看出，板N 1、N 2拉动的距离s 相同，设拉N 1板和拉N 2板所用的时间分别为t 1和t 2，则s ＝v 1t 1＝v 2t 2，因为v 2＝2v 1，所以t 2＝t 12.由图知，t 1＝T 1，t 2＝2T 2，代入得2T 2＝T 12，即T 2＝T 14.故正确选项为D. 10．BD [解析] 由单摆做受迫振动时的共振曲线可知，当单摆发生共振时，驱动力的频率等于固有频率，即固有频率为0.5 Hz ，因而固有周期为2 s ，由单摆的周期公式可知，此单摆的摆长约为1 m ，选项B 正确；若增大摆长，则周期变长，频率变小，共振曲线的“峰”将向左移动，选项D 正确．11．C [解析] 由单摆周期公式T ＝2πL g知，摆长L 等于悬点到单摆重心(球壳和水组成的系统的重心)的距离．当球壳盛满水时，系统的重心在球心处，水流出过程中，系统的重心在球心之下，当水流完时，系统的重心又在球心处，可见在整个过程中系统的重心是先下降后上升，摆长L 先增大后减小，周期T 先变大后变小，故选项C 正确．12．B [解析] 振子所受的弹力F ＝－kx ＝－5 N ，选项A 错误；此时振子的运动方向沿x 轴正方向，选项B 正确；由图知T ＝2 s ，故在0～4 s 内振子做了2次全振动，振子通过的路程为8A ＝8×0.5 cm ＝4 cm ，位移为零，选项C 、D 均错误．13．2∶3 9∶2[解析] 由图可知，A 振子的周期为0.4 s ，B 振子的周期为0.6 s ，故周期之比为T A ∶T B ＝2∶3；加速度最大时，有m A a A ∶m B a B ＝10k A ∶5k B ，最大加速度之比a A ∶a B ＝9∶2.【挑战自我】14.⎝ ⎛⎭⎪⎫T T 0－1R [解析] 根据单摆周期公式T 0＝2πL g 0，T ＝2πL g，其中L 是单摆摆长，g 0和g 分别是两地点的重力加速度，根据万有引力定律公式可得g 0＝G M R 2，g ＝G M (R ＋h )2.由以上各式联立解得h ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫T T 0－1R .。
(1)了解单摆运动的特点。
(2)用单摆测定当地的重力加速度。
当单摆偏角很小时(θ<5°)，单摆的运动为简谐运动，根据单摆周期T ＝2π l g 得g ＝4π2lT2，因此，只需测出摆长l 和周期T ，便可测定g 。
中心有小孔的金属小球、长约1米的细线、铁架台(带铁夹)、刻度尺、秒表、游标卡尺。
(1)做单摆：让细线的一端穿过小球的小孔，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂。
且在单摆平衡位置处作标记，如图实－13－1所示。
图实－13－1(2)观察单摆运动的等时性。
(3)测摆长：用米尺量出摆线长l ′，精确到毫米，用游标卡尺测出小球的直径d ，也精确到毫米，则单摆长l ＝l ′＋d2。
(4)测周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放小球，记下单摆做30～50次全振动的总时间，算出平均每次全振动的时间，即为单摆的振动周期。
反复测量三次，再算出测得周期数值的平均值。
(5)改变摆长，重做几次实验。
(1)公式法：利用多次测得的单摆周期及对应摆长，借助公式g ＝4π2lT2求出加速度g ，然后算出g 的平均值。
图实－13－2(2)图象法：由公式g ＝4π2lT 2，分别测出一系列摆长l 对应的周期T ，作出l －T 2的图象，如图实－13－2所示，图象应是一条通过原点的直线，求出图线的斜率k ，即可求得g 值。
g ＝4π2k ，k ＝l T 2＝ΔlΔT2。
(1)摆线要选1 m 左右，不要过长或过短，太长测量不方便，太短摆动太快，不易计数。
(2)摆长要待悬挂好球后再测，不要先测再系小球，因为悬挂摆球后细线难免有伸长形变。
(3)计算摆长时要将悬线长加上摆球半径，不要漏掉加摆球半径。
(4)摆球要选体积小、密度大的，不要选体积大、密度小的，这样可以减小空气阻力的影响。
(5)摆角要小于等于5°(具体实验时可以小于等于10°)，因为摆角过大，单摆的振动不再是简谐运动，公式T ＝2πlg就不再适用。
